（通信与信息系统专业论文）非线性系统参数和状态联合估计新算法研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者： 日期沙i p 年口歹月刁日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。 根据郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部 门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州 大学可以将本学位论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或者其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学 位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑 州大学。保密论文在解密后应遵守此规定。 学位论文作者： 冯 日期沙f 口年吵刁日 摘要 摘要 目前，非线性信号处理是备受关注并且极富挑战性的研究课题，它在自动 控制、无线通信、经济统计、人工智能、信息融合和图像处理等众多领域等有 着诱人的应用前景，成为当前国际上众多学者研究的一大热点。当非线性系统 中存在未知参数时，系统的估计任务为：根据系统的观测数据和先验估计信息， 通过一定的算法，估计出所需要的待估量，当系统参数未知时，需同时估计系 统的状态和参数。扩展卡尔曼滤波是解决非线性信号处理的最为普遍的方法， 该方法对于弱非线性的系统可以得到很好的估计结果，但是，对于非线性较强 并且系统噪声为非高斯的模型，它的估计精度会大大降低，并且有可能造成滤 波器的发散。 粒子滤波方法是近年来兴起的一种新的滤波方法，它可以有效的解决非线 性、非高斯问题。该算法是在蒙特卡罗模拟和递推贝叶斯估计的基础上，通过 一个加权的样本序列来描述后验概率密度，然后用这一近似的概率密度来计算 系统的状态估计。从粒子滤波被第一次提出来以来；它已经被成功应用到了信 号处理、目标跟踪、生物统计学等众多领域。 本文深入讨论了卡尔曼滤波算法( k f ) 、扩展卡尔曼滤波( e k f ) 、无味卡 尔曼滤波( u k f ) 的具体算法流程并仿真比较了它们的状态估计结果；研究了 粒子滤波( p f ) 算法，并分别针对粒子退化和粒子枯竭两个方面，讨论了具体 的改进算法。仿真实验表明，改进算法p f u k f m c m c 估计精度高于其他几种 估计方法。 本文提出了一种新的联合估计算法，该算法利用粒子滤波方法，结合核平 滑收缩技术，同时采用标准贝塔分布代替传统的高斯分布，来拟合系统未知参 数的后验分布，最终实现非线性系统中参数的迭代估计。仿真结果表明该算法 在参数和状态估计精度和收敛性方面都优于双重卡尔曼状态和参数估计 ( d e k f ) ，可以有效解决非线性信号参数和状态联合估计问题。 本文在参数和状态联合估计算法的基础上，把参数和状态扩展为二维向量， 针对观测方程为线性和非线性两种情况进行了仿真研究，实验表明了本文算法 在混合信号分离的问题中也可以得到彳艮好的运用。 关键词：粒子滤波状态估计参数估计混合信号分离 a b s t r a e t a b s t r a c t a tp r e s e n t ，n o n l i n e a rs i g n a l p r o c e s s i n gi sac o n c e r na n dac h a l l e n g i n gr e s e a r c h t o p i c i tp l a y sa na t t r a c t i v ep r o s p e c ta u t o m a t i cc o n t r o li nw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n s ， e c o n o m i cs t a t i s t i c s ，a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，i n f o r m a t i o nf u s i o n , a n di m a g ep r o c e s s i n g a n do t h e rf i e l d s i tb e c o m e sam a j o rh o ts p o tf o rm a n ys c h o l a r st os t u d yi nt h e i n t e m a t i o n a l w h e ni nt h en o n l i n e a rs y s t e mh a st h eu n k n o w np a r a m e t e r s ，s y s t e m s e s t i m a t ed u t yi s ：a c c o r d i n gt o s y s t e m so b s e r v a t i o nd a t aa n dt h ep r i o re s t i m a t e i n f o r m a t i o n ，t h r o u g hc e r t a i na l g o r i t h m ，e s t i m a t e dn e e d st oe s t i m a t e ，w h e nt h es y s t e m p a r a m e t e r sa r eu n k n o w n ，w en e e dt os i m u l t a n e o u s l ye s t i m a t es y s t e m sc o n d i t i o na n d t h ep a r a m e t e r e x t e n d e dk a l m a nf i l t e ri st h em o s tc o m m o nm e t h o dt os o l v e n o n - l i n e a rs i g n a lp r o c e s s i n g ，i tc a nh a v eav e r yg o o de s t i m a t i o nr e s u l tf o rt h ew e a k l y n o n - l i n e a rs y s t e m s ，h o w e v e r , w h e nf a c i n gt h es t r o n g e rn o n l i n e a rs y s t e mw i t h n o n g a u s s i a nn o i s e s ，i t se s t i m a t i o na c c u r a c yw i l lb eg r e a t l yr e d u c e d ，a n dm a yc a u s e f i l t e rd i v e r g e n c e p a r t i c l ef i l t e rm e t h o di san e wf i l t e r i n gm e t h o di nr e c e n ty e a r s ，w h i c hc a n e f f e c t i v e l ys o l v et h en o n l i n e a r , n o n - g a u s s i a np r o b l e m s t h ea l g o r i t h mb a s e so nt h e m o n t ec a r l os i m u l a t i o na n dr e c u r s i v eb a y e s i a ne s t i m a t i o na l g o r i t h m ，t h r o u g ha s e q u e n c es a m p l e sw i t ht h ew e i g h tt od e s c r i b et h ep o s t e r i o rp r o b a b i l i t yd e n s i t y , a n d t h e nu s et h i sa p p r o x i m a t i o nt oc a l c u l a t et h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yo f t h es t a t ee s t i m a t i o n f r o mt h ep a r t i c l ef i l t e rw a sf i r s tp r o p o s e d ，i th a sa l r e a d yb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e dt o s i g n a lp r o c e s s i n g ，t a r g e tt r a c k i n g ，b i o m e t r i c sa n dm a n yo t h e rf i e l d s i nt h i sp a p e r , w ei n - d e p t hd i s c u s st h es p e c i f i cp r o c e s so ft h ek a l m a nf i l t e r a l g o r i t h m 陋) ，e x t e n d e dk a l m a nf i l t e r ( e k f ) ，u n s c e n t e dk a l m a nf i l t e r ( u k v ) a l g o r i t h ma n ds i m u l a t i o nt oc o m p a r et h e i rs t a t ee s t i m a t i o nr e s u l t s ；w es t u d yt h e p a r t i c l ef i l t e r ( p f ) a l g o r i t h m ，a n da i m e da tp a r t i c l ed e g r a d a t i o na n dp a r t i c l ed e p l e t i o n r e s p e c t s ，w e d i s c u s ss p e c i f i c i m p r o v e m e n ta l g o r i t h m s ，a tl a s t , t h e s i m u l a t i o n c o m p a r i s o ns h o w st h a tt h ee s t i m a t i o na c c u r a c yo fp f - u k f - m c m ci sh i g h e rt h a n s e v e r a lo t h e re s t i m a t i o nm e t h o d s i nt h i sp a p e r , i tp r o p o s e san e wj o i n te s t i m a t i o na l g o r i t h m ，t h ea l g o r i t h mu s e s a b s u a e t p a r t i c l ef i l t e rm e t h o d s ，c o m b i n e dw i t ht h ek e r n e ls m o o t h i n gc o n t r a c t i o nm e t h o d , r e p l a c e st h et r a d i t i o n a l 眦o ft h eg a u s s i a n d i s t r i b u t i o nw i t ht h es t a n d a r db e t a d i s t r i b u t i o nt of i tt h ep o s t e r i o f fd i s t r i b u t i o no ft h eu n k n o w np a r a m e t e ro ft h es y s t e m , i no r d e rt oa c h i e v et h ei t e r a t i o no ft h ep a r a m e t e re s t i m a t i o no ft h en o n l i n e a rs y s t e m n es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h mi nt e r m so fa c c u r a c ya n dc o n v e r g e n c e i s s u p e r i o r t ot h ed u a lk a l m a ns t a t ea n dp a r a m e t e re s t i m a t i o n ( d e k f ) i tc a r l e f f e c t i v e l yr e s o l v et h ej o i n te s t i m a t i o np r o b l e mo ft h ep a r a m e t e r sa n ds t a t u s i n n o n - l i n e a rs y s t e m n l i sa r t i c l e i nt h ep a r a m e t e ra n dt h ec o n d i t i o nu n i o ne s t i m a t ea l g o r i t h m s f o u n d a t i o n t h ep a r a m e t e ra n dt h ec o n d i t i o ne x p a n s i o ni st h et w o - d i m e n s i o n a lv e c t o r , c o n d u c t e dt h es i m u l a t i o nr e s e a r c h - i nv i e wo ft l l eo b s e r v a t i o n a le q u a t i o nf o rl i n e a ra n d t h em i s a l i g n m e n tt w ok i n do fs i t u a t i o n s ，t h ee x p e r i m e n th a di n d i c a t e dt h i sa r t i c l e a l g o r i t h mm i g h ta l s oo b t a i nt h ev e r yg o o d u t i l i z a t i o ni nt h ec o m p o s i t es i g n a l s e p a r a t i o n sq u e s t i o n 、 k e y w o r d s ! p a r t i c l e m i x e d - s i g n a ls e p a r a t i o n f i l t e rs t a t ee s t i m a t i o n m 目录 目录 摘要一i a bs t r a c t “：i 第1 章绪论- 1 1 1 研究背景1 1 2 粒子滤波的发展现状“2 1 3 论文的主要结构3 第2 章粒子滤波及其改进算法5 2 1 状态空间模型? 5 2 2 贝叶斯重要性采样6 2 3 粒子滤波基本算法“8 2 3 1 序贯重要性采样及重要性函数的选取一一8 2 3 2 粒子退化问题一“9 2 3 3 重采样1 0 2 3 4 粒子滤波基本算法流程1o 2 4 粒子枯竭问题1 1 2 5 粒子滤波改进算法1 2 2 5 1u n s c e n t e d 卡尔曼粒子滤波器1 2 2 5 2m c m c 策略”1 4 2 5 3 正则化粒子滤波器l5 2 6 仿真实验”1 6 2 6 1 仿真模型一1 6 2 6 2 仿真结果及分析17 2 7 本章小结2 1 第3 章非线性系统参数和状态联合估计2 2 3 1 状态空间模型一一2 2 3 2 扩展卡尔曼参数和状态二元估计算法2 3 3 2 1 扩展卡尔曼滤波一2 3 目录 3 2 2 基于e l ( f 的参数估计2 4 3 2 3d e k f 算法2 5 3 3 基于粒子滤波的非线性系统参数和状态联合估计算法2 6 3 3 1 参数和状态联合估计的粒子滤波算法 o 2 6 3 3 2 参数粒子退化问题2 8 3 3 3 参数核平滑收缩技术2 8 3 3 4 贝塔分布2 9 3 3 5 联合估计算法2 9 3 4 仿真实验3 1 3 4 1 仿真模型一3l 3 4 2 仿真结果及分析一3 2 3 5 本章小结：3 5 第4 章非线性混合信号分离3 6 4 1 状态空间模型3 6 4 2 混合信号分离算法3 7 4 3 观测方程为线性的仿真实验3 8 4 3 1 仿真模型3 8 4 3 2 仿真结果及分析t 3 8 4 4 观测方程为非线性的仿真实验“ 4 4 1 仿真模型一4 4 4 4 2 仿真结果及分析。4 4 4 5 本章小结4 9 第5 章总结与展望二5 0 致 射5 1 参考文献，5 2 攻读硕士学位期间发表的学术论文和获奖情况5 4 v 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究背景 非线性信号处理问题广泛存在和应用于自动控制、目标跟踪、图像处理、人 工智能等很多信号处理领域。当接收信号为一路信号，并且只受噪声干扰时， 非线性信号处理问题就转化为信号的滤波去噪问题，而信号的去噪在信号处理 中都是必不可少的步骤；当系统存在未知参数时，非线性信号处理问题就变成 参数和状态的估计问题；而如果有多个信号混合，那么就变成信号的分离问题， 它同样应用非常广泛：在图像处理中，若干个图像重叠的情况经常发生，需要 经过相应的信号分离处理才能做进一步的研究；在语音信号处理中，需要利用 某个信号分离的方法对接收的信号进行处理；在生物医学中，要想检查怀孕母 亲本人和胎儿的健康状况，需要把他们的e c g 重叠信号进行分离。总之，非 线性信号处理是一个富有挑战性并且实用价值非常高的研究课题。 扩展卡尔曼滤波乜( e k f ) 是非线性信号处理领域具有代表性的一种方法。 它是一种近似方法，其基本思想是利用泰勒级数展开来线性化状态转移方程和 状态观测方程，并假定线性化后的状态仍然服从高斯分布，用高斯分布来近似状 态的后验概率密度分布，而后采用卡尔曼滤波来进行状态估计。虽然扩展卡尔 曼滤波简单易行、存储空间小，可是它只针对弱非线性系统有比较好的估计效 果，而对于非线性程度比较高且含有非高斯系统噪声的情况，扩展卡尔曼滤波 的估计结果往往非常不理想，状态估计结果偏差很大，并且有可能导致发散。 粒子滤波是从上世纪9 0 年代发展起来的基于蒙特卡罗的一种新的滤波技 术。其基本思想是在状态空间产生一组离散的随机样本点，用这些随机样本来 描述待估量的后验概率密度函数，这些样本被称为“粒子，然后在观测量的基 础上，不断调整这些粒子的权值和粒子的位置，而后通过计算粒子的均值来表 示系统的估计值哺1 。粒子滤波的最大优势是原则上它可以用于各种非线性非高斯 系统的信号处理，这是扩展卡尔曼滤波所不能媲美的。不过，相对扩展卡尔曼 滤波，粒子滤波的计算量非常大，计算相对比较复杂，早期粒子滤波遇到硬件 计算能力等一系列阻碍，但是，随着计算机处理能力的不断增强和并行计算技术 的迅速发展，这些阻碍已逐渐被克服，粒子滤波技术的发展和应用已经具备巨 第l 章绪论 大的潜力。目前，粒子滤波技术已经成功应用在目标跟踪、图像处理、人工智 能、生物信息等众多领域。 1 2 粒子滤波的发展现状 非线性系统模型的最优估计应用非常广泛。在贝叶斯框架下，根据观测信息， 如果状态的估计值，包括状态的均值和方差都可以从状态的后验概率密度函数 ( p d f ) 中获得，那么这种滤波方法即是最优滤波，而针对线性高斯系统，卡尔 曼滤波( i 心，进行下一步。 ( 4 ) 重要性采样重采样 根据多项式重采样算法进行重采样，同时所有粒子权重回到1 。 ( 5 ) 输出结果 输出一组粒子融；，) l f = 1 ， ，得到当前时刻状态的后验均值估 计结果。 ( 6 ) 令七= 后+ 1 ，当下一时刻的观测值到来时，返回步骤( 2 ) 。 2 4 粒子枯竭问题 上面提到，为了解决粒子滤波算法中的粒子退化现象，提出了重采样算法。 但是，重采样也带来了一些其他的负面问题，即粒子枯竭。粒子枯竭是指经过 若干步迭代之后，重要性权重比较大的粒子会被多次选中复制，采样结果出现 了很多的重复的粒子，导致粒子丧失了多样性，出现了粒子枯竭。针对粒子枯 竭问题，国内外学者也做了大量的研究，其中包括正则化粒子滤波( r p f ) ，加入 马尔科夫链的蒙特卡罗粒子滤波( p f m c m c ) 。下面将针对粒子滤波出现的的粒 子退化和粒子枯竭问题，介绍几种有代表性的改进的方法。 第2 章粒子滤波及其改进算法 2 5 粒子滤波改进算法 2 5 1u n s c e n t e d 卡尔曼粒子滤波器 无味卡尔曼滤波是一种递归式贝叶斯估计方法，通过结合无味t ) 2 2 变 换和卡尔曼滤波两种方法，用一组确定的样本点来近似状态的后验概率密度函 数。它与扩展卡尔曼滤波不同的是，它直接利用非线性状态空间模型来估计状 态的后验概率密度，比扩展卡尔曼滤波的估计性能更高。 u t 变换是非线性系统随机变量概率密度函数的一种计算方法。设x 是，z ，维 的随机变量，z = g b j ，g 【) 是一非线性函数，假设x 的均值和协方差分别为 一夏，e 。为了计算z 的概率分布，选择2 刀，+ 1 个带有权值的样本点( 也称s i g m a 点) s = 职，筋 ，形表示第f 个s i g m a 点权值，并且满足形= 1 。s i g m a 点的选 择以及权值的产生过程如下：。 x o = 又 石= i + 怕丽土 石= 元一拓了砸) f 哌神= 南 刀。十九 i = 1 ，一，n x i = + l , - - - , 2 n 工 i = 1 ，2 致 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中力= 口2 ，+ k ) 一刀了是尺度调节因子，口的值决定了选择的s i g m a 点 在其均值i 附近的扩展范围，通常将口设置为一个很小的正数( 如0 0 0 1 ) 。k 一 般设为0 ，是次级尺度调节因子。是用来结合关于x 的先验分布的参数( 对于 高斯分布，的最佳取值为2 ) 。 将每个s i g m a 点通过非线性函数向前传递得到： z ，= 烈石)f = o ，2 n ,( 2 2 9 ) 那么z 的均值和协方差为： ， 1 2 第2 章粒子滤波及其改进算法 乞= 彬( 研) z ，( 2 3 0 ) 一l 、。 2 兀 t e = 彬c 亿一三她，一三 ( 2 3 1 ) u k f 利用u t 变化，通过扩展带有噪声的状态空间= b j w v j 】实现滤 波。另刀口= 力善+ n w - i - n ，为被扩展的状态空间维数，其中刀w ，n ，分别是噪声吨 和v k 的维数。无味卡尔曼滤波算法( u k f ) 具体流程为： ( 1 ) 初始化 限0 01 胃= k o o r ，聪= io 矽o1 、( 2 3 2 ) 【00 叫 ( 2 ) 迭代过程 计算s i 鲫a 点： 屁= k ，死。拓丽】 ( 2 3 3 ) 时间更新： ，、 确七- 1 = 厂坛1 ，旖) ( 2 3 4 ) 孙一= 艺彬胂坛岫 + ( 2 3 5 ) 砀七- 1 = 办嘲如j ( 2 3 6 ) 蜀足二= 艺彬埘嘞k - i ( 2 3 7 ) p k k - i - - 兰旷习七d k 旧一习“】r ( 2 3 8 ， 观测更新： k = 羔b 旷蜀七q k 矿弱m 】r 3 9 ) k = 兰眇，k 阻一习七一k 七一一蜀七。】r 。2 m ， k 七= k 喘 ( 2 4 1 ) 第2 章粒子滤波及其改进算法 夏= 夏岫+ k 七( y k - - 或一 r = _ h k 七p y , yk ： ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 无味卡尔曼滤波( u k f ) 方法有两个特点：1 、算法在状态的先验信息的更新 循环中，引入了最新的观测信息。2 、算法把u t 变化和卡尔曼滤波结合，由此 产生的状态的后验概率密度更接近真实的后验概率密度函数。 u k f 算法在状态的先验信息的更新循环中，引入了最新的观测信息，并把 u t 变化和卡尔曼滤波结合，估计精度得到了进一步的提高，但是其不足是切旺 仍用高斯分布对状态变量的后验分布进行近似。采用先验分布作为重要性函数 的粒子滤波算法虽然可以对任意非线性、非高斯系统进行估计，但是在估计的 过程中由于没有考虑到最新的观测量而使状态粒子点不能准确地描述状态变 量的后验分布晗羽。m e r w e 等人提出用u i ( f 生成重要性函数的方法来改进传统的粒 子滤波算法，称为u n s c e n t e d 卡尔曼粒子滤波器( p f u k f ) 。p f u k f 算法一方面充 分利用了当前的观测信息，另一方面也提高了重要性函数与状态变量的实际分 布的相似程度，比u k f 和传统的粒子滤波器估计精度更高。 2 5 2m c m c 策略 重采样算法虽然克制了粒子滤波算法中的粒子退化问题，不过也丧失了粒 子的多样性，出现了粒子枯竭问题。因此需要采取措施来增加粒子的多样性， 一个有效的解决方法是把粒子滤波和马尔科夫蒙特卡罗方法相结合，即 p f m c m c 算法【2 4 】。 假设粒子磁。；服从后验概率密度分布p 眩t i y 。：。j ，那么实施核为k b 似l 瓦t ) 的马尔科夫变换之后，在保证f k b o ：七 o ：女加瓯七i y 呲k ：女= p go = 女l yo = ) 的前提 下，仍然能得到一组满足同样后验概率密度分布的粒子集合，在序贯重要性采 样的每次迭代中，结合m c m c 可以使粒子移动到状态空间不同的地方，从而避 免粒子枯竭现象。并且p f m c m c 算法用马尔科夫变换后的粒子群来描述后验 概率密度函数，产生的误差不会大于变换前，可以更为准确地描述当前的后验 分布。m c m c 有多种方法，最常用的是g i b b s 抽样1 7 和m h 方法 ( m e t r o p o l i s h a s t i n g ) 【2 5 1 。 利用粒子滤波和m c m c 方法的过程如下，其中m c m c 采用m h 方法： ( 1 ) 按照均匀分布，在 0 ，1 e i 茸- j 抽样得到门限值“，“u o ，1 】o 1 4 第2 章粒子滤波及其改进算法 ( 2 ) 按照概率密度分布p g 。i x ：一，) ，抽样得到x ：7 ，即x ：7 p b i i 以i 一。j 。 ( 3 ) 若“ 0 为核带宽，聆。为状态变量x 的维数，喀，f = 1 ， 为归一化重要性权重，核密度满足下式： ，x k ( x 皿= 0 ，| | 习1 2 k ( x d x 3 0 ( 2 5 2 ) 其中w k 为系统噪声，取g 弗，2 ) ，k 为观测噪声，唯p ，0 o 0 0 1 ) 。 观测时间为t = 6 0 ，进行1 0 0 次独立实验。状态的初始值为x o = 1 ，u t 变换参 数为口= 1 ，夕= o ，盯= 2 。定义一次独立实验的均方误差为： r m s e = b 2 6 2 仿真结果及分析 辎 墨 蕊 妲 均 等 t k = l , x l 2 像一政) 2l ( 2 5 3 ) 图2 16 种方法状态估计比较 1 7 搿 筮 ：墨 妲 伯 篓 鄹 - - l 七 坦 粕 葵 第2 章粒子滤波及其改进算法 图2 2e k f 和u k f 状态估计比较 图2 3p f e k f 和p f u k f 状态估计比较 郁 董 七 坦 粕 等 第2 章粒子滤波及其改进算法 群 羞 七 妲 怕 葵 图2 4e k f 、p f - e k f 、p f - e k f m c m c 状态估计比较 图2 5u k f 、p f - u k f 、p f - u k f m c m c 状态估计比较 1 9 第2 章粒子滤波及其改进算法 图2 66 种方法均方误差比较 图2 1 给出了e k f 、u k f 、p f e l 、p f u 汀、p f e l 叮m c m c 、 p f _ 1 f m c m c 等六种方法在非线性非高斯环境下的状态估计结果，可以看出， e k f 的状态估计精度最低，离真实值偏差最远，p f u k f m c m c 状态估计精度 最高，能够比较准确地与真实状态吻合。图2 2 给出了e k f 和u k f 在非线性非 高斯环境下的状态估计结果，可以看出u k f 比e k f 更好地逼近真实状态。图 2 3 给出了p f e k f 和p f l 珏妤的状态估计结果，从图中能够看出p f u k f 与 p f e k f 相比，估计精度有了进一步的提高。图2 4 给出了e k f 、p f e k f 、p f - e k f 的状态估计比较，可以看出，p f e k f m c m c 能最好地与真实状态吻合，e k f 估计最差。图2 5 给出了u k f 、p f u k f 、p f u 江m c m c 的状态估计比较，从 图中看出，p f u k f m c m c 的估计精度最高，i j l 妤估计精度最低。综合以上结 果，p f u k f m c m c 方法估计精度最高，能够最好地逼近真实状态。图2 6 给 出了这六种方法5 0 次试验的均方误差曲线，从图中可以看出，这六种方法状态 估计的均方误差从高到低依次为：p f u k f m c m c 、p f u 江、u l 江、 p f e k f m c m c 、p f e k f 、e k f 。这同样反映在表2 - 1 中，表2 - 1 给出了这六 种方法经过5 0 次独立实验后产生的均方误差的均值和方差。 2 0 第2 章粒子滤波及其改进算法 表2 16 种方法经过5 0 次试验后均方误差的均值和方差 r m s e a l g o r i t h m m e a n v a r e k f 0 。3 4 9 3 l0 0 0 9 3 6 2 5 u k fo 2 6 1 5 80 0 0 7 9 19 3 p f e k f 0 2 9 3 4 5 0 0 10 2 7 3 p f wo 0 7 1 5 4 60 0 0 4 6 5 2 4 p f e k f m c m c0 2 8 2 4 50 0 10 9 6 4 p f u k f m c m c0 0 6 37 6 20 0 0 5 0 9 17 2 7 本章小结 本章首先介绍了贝叶斯重要性采样、序贯重要性采样( s i s ) 、重采样和重要 性函数的概念，给出了粒子滤波基本算法的流程。然后针对粒子滤波算法中容 易出现的粒子退化和粒子枯竭问题做了详细的探讨，仿真比较了这几种滤波算 法在状态估计方面的性能，实验验证了加入了马尔科夫链的p f u k f m c m c 算 法的状态估计精度最高。 2 1 第3 章非线性系统参数和状态联合估计 第3 章非线性系统参数和状态联合估计 本章我们将详细论非线性系统中存在未知参数的情况下的滤波问题，这时 系统的估计任务为：根据系统的观测数据和先验估计信息，通过一定的算法， 估计出所需要的待估量，当系统参数未知时，需同时估计系统的状态和参数。 参数粒子会出现退化和枯竭现象，本章详细讨论了增加参数粒子多样性的方法， 重点介绍了参数核平滑收缩技术，同时，在核函数的众多选择中详细介绍了b e t a 函数，最后综合核平滑收缩技术，b e t a 分布，粒子滤波三种理论提出了一种基 于粒子滤波的非线性系统参数和状态联合估计算法。 3 1 状态空间模型 在处理很多实际的问题时，往往需要在知道一些观测数据的情况下，估计某 些未知状态，假设系统存在未知参数9 ，本文只讨论参数为非时变的情况，需要 根据观测量虮同时估计系统状态和系统参数口。假设动态系统的状态空间 模型为 状态转移模型：x k 兰f k _ 1 ，乡) + w k( 3 1 ) 状态观测模型：y k = h t x | i j + v i ( 3 2 ) 其中，表示系统在k 时刻的状态，以表示k 时刻的观测向量，乡为系统 未知参数，厂( ) 和西) 分别表示系统的状态转移函数和测量函数，和屹为独立 的噪声，分别表示系统的状态噪声和观测噪声。为完全描述该模型，假设k 时 刻求得的参数0 = 幺，通常给出状态的先验概率p k ) 和参数的先验概率p ( e o ) 。 状态和参数估计的实质为根据观测信息和系统的先验估计信息，通过状态 和参数估计器，由估计器估计出未知参数和系统的状态变量。下图为一类估计 器的示例： 图3 1 一类参数和状态估计器 第3 章非线性系统参数和状态联合估计 3 2 扩展卡尔曼参数和状态二元估计算法 扩展卡尔曼状态和参数联合估计( 皿口) 啪1 是一类参数和状态估计器经常使 用的方法，j e k f 将系统未知参数和状态看成一个联合的高维状态，利用扩展卡 尔曼滤波算法，根据观测信息，同时估计出系统的未知参数和状态变量。虽然 j e k f 方法结构简单，但是当系统的状态变量和未知参数维数较高时，矩阵运算 比较复杂，容易带来数值病态问题，并且j e k f 容易受初始误差和不良观测的影 响而导致估计结果发散。 扩展卡尔曼状态和参数二元估计( d e k f ) 心 由e a w a n 等人提出，d e k f 利用 两个卡尔曼滤波器，分别估计系统的状态和未知参数。如图3 2 所示，d e k f 首 先进行参数估计，得到估计的参数，而后根据估计值和系统模型估计出系统的 状态，参数估计和状态估计交替进行，不仅降低了计算的复杂性，而且增强了 处理方法的灵活性和系统的稳定性，并且d e k f 适合于在线估计。 3 2 1 扩展卡尔曼滤波 图3 2d e k f 算法流程 现实生活中存在着大量的非线性、非高斯系统，扩展卡尔曼滤波( e k f ) 是非 线性信号处理领域最常用的方法。它是一种近似方法，其基本思想是利用泰勒 级数展开来线性化状态方程和观测方程，并假定线性化后的状态仍然服从高斯 分布，用高斯分布来近似状态的后验概率密度分布，而后采用卡尔曼滤波来进 行状态估计。 假设非线性系统的状态空间模型为： 状态转移方程：x k = 一l j + ( 3 3 ) 状态观测方程： y k = h l , x | ，+ v 七( 3 4 ) 第3 章非线性系统参数和状态联合估计 其中心和k 为独立的噪声，n ( o ，) ，k n ( o ，) ，那么扩展卡尔曼 滤波算法( e i ) 为： 状态转移方程的雅可比矩阵： 状态观测方程的雅可比矩阵： 状态预报值： 先验分布的协方差矩阵： 残差方程为： 状态估计的均值： 状态估计的协方差矩阵： 其中k 七为卡尔曼增益： k 。= 掣h 卜。 c 吒一1 o 耻掣h q戗l i 毫i 七。= 厂e 娜。j 砒- i = a k _ l k _ l l k _ l a k f f + w i 七= y k h ( x k 旧) 气七= x “k l k q + k 七i j 黾l 七=+ k 七lj 七i 露= 七i 七1 - k 七b 七t i 七- l ， k l k - ib k k - i i c 1 k 七= 瓦丽 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 ：1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 扩展卡尔曼滤波只是非线性函数的一阶泰勒展开式，线性化后状态的均值 和方差也只能精确到一阶，因而引入了额外的误差导致滤波精度降低，其改进 结果不是很明显，并且扩展卡尔曼滤波只适合弱非线性系统，对于强非线性系 统，它的滤波性能极不稳定，甚至有可能导致滤波发散n 。 3 2 2 基于e k f 的参数估计 e k f 参数估计在如下状态空间模型中使用： 状态转移方程： 秒j + 1 = 秒七十7 7 七 ( 3 1 3 ) 状态观测方程：y 露= 厄b 七，伊七) + e j ( 3 1 4 ) 其中刁t ，e 七分别为系统噪声和观测噪声，7 7 七，e 七服从以下统计特性： e 切七 = o ，ek 七 = o c o v b 豇，刁_ ，- - 鳞，c 0 v k 七，g ，j = 尺? 。 e k f 参数估计的目的是使参数估计a ( o ) 的代价函数最小，即 量t ， ，( 口) = 一办k ，矽) ) ) 1 抚- h ( x , ，1 5 7 ) ) ( 3 1 5 ) t = l 基于e k f 的参数估计算法如下： 弟3 覃非线性系统参数和状态联合估计 ( 1 ) 初始化 a o = e e 1 p ：e 陆鼠一反) t ( 2 ) 时间更新 吼= o k l( 3 1 6 ) ， 髟= 畦l + 醴l( 3 17 ) ( 3 ) 测量更新 k ：= 髟僻) t 投影) t + r k 目) _ 1( 3 1 8 ) 反= 玩+ k ：七一办佤，吒一，) )( 3 1 9 ) ， 形= ( i k ：口露( 3 2 0 ) -7 口= 乎k ( 3 2 。) 其中，磺为参数在k 时刻的协方差矩阵，k ：为参数的卡尔曼增益。 3 2 3d e k f 算法 d e k f 在含有系统噪声和观测噪声的情况下，根据观测信息和系统的先验 知识，用两个卡尔皋滤波器并行处理，同时估计系统的状态和未知参数。 假设动态系统的状态空间模型为 状态转移模型： 政= 厂( 魂一】，+ 毗 ( 3 2 2 ) 状态观测模型： y j | = h ( x | | ) + v 露 ( 3 2 3 ) 、d e k f 算法如下： ( 1 ) 初始化： f i d = e e 1 p ：= e 陆反如一玩) t 1 ( 3 2 4 ) 岛= e x l p o = e k 一袁) 0 一或) t j ( 3 2 5 ) ( 2 ) 参数滤波器时间更新： o k = 吼一1 o 2 6 ) 耳= 略l + 醴l ( 3 2 7 ) ( 3 ) 状态滤