（应用数学专业论文）求解声波散射问题的几种方法和大尺度墩柱上的波浪力的数值模型.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 反问题的研究是数学物理中一个较新的研究领域声波反散射问题是一类典 型的反问题，它在雷达和声纳等领域有广泛的应用前景声波反散射问题被证明 是不适定的，其求解起源于2 0 世纪6 0 年代中期t i k h o n o v 的基础性论文在这 些论文中t i k h o n o v 提出了求解不适定问题的方法一t 岫o n o v 正则化方法因 此，这一方法被广泛的应用于声波反散射问题上其中，声波散射问题是在入射 波和散射区域等己知的条件下，求解其散射波和散射波对应的远场模式反散射 问题则是由散射方程的解来确定其散射区域或其它定解条件本文对声波正散射 问题和反散射问题都进行了研究，得到了很好的数值结果本文主要作了以下工 作： 1 利用位势理论将散射问题的外边界问题转化为第一类边界积分方程求 解，再利用b a e k u s - g i l b e r t 方法给出了二维空间的数值结果，与n y s t 蟛m 方法 比较，虽然精度稍差一些，但是计算方法和计算机实现比较简单 2 应用汉克儿函数的组合来逼近散射波，最终把反散射问题转化为一个最 优化问题本文给出了一种反演方法，数值例子显示了这种方法是可行和精确 的 3 利用散射波的远场数据来同时反演阻尼区域和系数，并给出了数值方 法，数值例子表明这中方法的简单性和准确性 4 利用位势理论最终把时间调和声波在非均匀介质中的正散射问题转换为 一个l i p p m a n n s c h 丽n g e r 方程来求解，本文对l i p p m a n n s c h 丽n g e r 方程的l o g 奇性核进行了处理，最终求得时间调和声波在非均匀介质中的正散射问题，并 给出了数值例子 5 墩柱结构是一种常见的工程建筑物，正确求解作用在墩柱上的波浪力具 有重要的意义，本文主要考虑大尺度墩柱上的波浪力的计算，应用线性水波绕 射理论来计算作用在大尺度墩柱上的波浪力，本文应用线性小振幅波理论把水 波绕射问题转化为一个二维的h e l n l l l o l t z 方程来求解，再应用n y s t r 6 m 方法来 求解二维的h e l i n h o l t z 方程，通过求得的数值解与解析解的对比，证明本文给 出的数值模型有很高的精度 关键词：位势理论，障碍反散射，远场模式，t 汕o n o v 正则化方法，反演，散 射区域，h a n k e l 函数 摘要 a c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m sf o rt h es e v e r a lm e t h o d s a n dm a t h e m a t i c a lm o d e lo fw - a ef i o r c em o d e lf o rl a r g es c a l e c y l i n d e r a b s t r a c t ：t h e 丘e l do fi n v e r s ep r o b l e mi sar e l a t i v e l yn e wa r e ao fm a t h e m a t - i c a lr e s e a r c h ，h a v i n gi t so r i g i i l si nt h et h ef u n d a m e n t a lp 印e r so ft i k h o n o vi nt h e m i d 1 9 6 0 s 1 1 1t h e s ep a p e r s ，t i k h o n o vi n t r o d u c e dt h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sf o r 1 i n e a ri u p o s e dp r o b l e i i l s i tw 召i sr e a l i z e dt h a ti n v e r s ep r o b l e r r l sw e r ei 1 1 一p o s e d t h ei n v e r s ea c o u s t i cp r o b l e mi sat y p i c a li n v e r s ep r o b l e m i th a sb r i g h tf u t u r e i na p p l i c a 土i o no nr a d a ra n ds o n a r ，e t c b e f o r ec o n s i d e r i n gi tw ei m l s th a 、，et h e r e s m t so fd i r e c tp r o b l e m t h ed i r e c tp r o b l e mi s ，百v e nt h ei n c i d e n tw a e sa n dt h e s c a t t e r i n gb o u n d a r v ，t of l n dt h es c a t t e r e dw - a 、圯sa n di np a r t i c u l a ri t sb e h a i o ra t 1 a r 目ed i s t a n c e s ，i e i t sf a r 丘e l dp a t t e r n t h ei r e r s ea c o u s t i cp r o b l e mt 出st h i s a 瑚w e ra si t ss t a r t i n gp o i n ta n da s l 【sw h a ti st h ei n c i d e n tw a v e sa n dt h es c a t t e r i n g b o u n d a 珂，w h i c hg i v er i s et os u c haf 打6 e l db e h a 历o r i nt h i sp a p e r ，s o m ep r o b l e n l so fd i r e c to b s t a u c l es c a t t e r i i l ga n di i e r s es c a t t e r i n gp r o b l e i n s 缸ei i e s t i g a t e d ， s o m es a t i s f a c t o r vc o n c l u s i o 璐a r er e a h e d d e t a i l sa f ea sf o n o 飘r s ： 1 p o t e n t i a lt h e o r yi su s e dt ot r a n s f e rt h ee x t e r i o rb o u n d a r y 、，a l u ep r o b l e mi n t o t h eb o u n d a wi i l t e 鼬a le q u a t i o no ft h e6 r s tk i l l d ab a u c k u s - g i l b e r tm e t h o di sp r e - s e n t e dt os o l v et h et i m 争h 盯m o n i c 猢璐t i cw a v es c a t t e r i l l gp r o b l e m n u m e n c a lr e - s u l ti 1 1t w dd 洫e i l s i o ni s 舀v e n c o m p a r e d 谢t hw i t hn y s t 而mm e t h o d ，t h i si n e t h o d h a sl e s sa c c u r y ，b u tc o m p u t ei sm o r es i m p l e 2 t h ec o m b i n e dh a n k e lh m c t i o ni su s e dt oa p p r o a c ht h es c a t t e r e dw a v e s a n dt h e 曲v e r s et i m e - h o r m o n i ca u c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e mi sc h a n g e di n t oa no p - t i m i z a t i o np r o b l e m a na p p r o 妇m a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l e s a r e 酊v e nt os h o wt h a tt k s l e t h o di sb o t ha c c u r a t ea n ds i m p l et ou s e 3 t h ep a p e ru s et h ed a t eo ft h ef 盯6 e l dp a t t e r nt od e t e i l i n et h es h a p e a n di m p e d a n c ec o e 伍c i e n to fa no b s t a c l e a na p p r o ) ( i m a t i o nm e t h o di sp r e s e n t e d n u m e r i c 以e x 锄p l e s 盯e 百v e ns h o w i n gt h a tt l l i sm e t h o di sb o t ha u c c u r a t ea n d s i i n p l e 4 t h ep 印e rc o n s i d e r e sd i r i c b 】e ts c a t t e r i n gp r o b l e mo fa c o u s t i ct i m 争h a r m o n i c w a e si nai n h o m o g e e o u s l e d i u m p o t e n t i 以t h e o r yi su s e dt ot r a i l s f e rt h ed i r i c h l e t s c a t t e r i i l gp r o b l e mo fa c o u s t i ct i m e - h a r m o n i cw a v e si nai n h o m o g e n e o u sm e d i u m i n t ol i p p m a n n - s c h w i n g e re q u a t i o nt os o l v e t h ep 印e rg e t st h es o l u t i o no fd i r i c h l e t s c a t t e r i i l gp r o b l e mo fa c o u s t i ct i m e h 缸m o n i cw a 、r e si nai n h o m o g e n e o u sm e d i u m b yd e a l i n gw i t h1 0 9 a r i t h 面cs i i l g u l a r i t y a n dn u i n e r i c a le x a m p l ei s 舀v e n 5 。c v l i n d e ri so n et h em o s tc o i n m o no n s h o r eo ro h | s h o r em a r i n ei n s t a l l a t i o n a p p r o p r i a 土e l yc a l c u l a t i n gt h ew a v el o a d sa c t i n go nt h ec y l i n d e ri si m p o r t a n t t h ep 印e rs t u d yc a l c u l a t i n go fw 打er 0 r c ef o rl 缸g es c a l ec y l i n d e r u s i n g1 i n e a r w a v ed i 册t i o nt h e o 巧t oc o m p u t e 戳帆f o r c ef o rl a r g es e a l ec y l i n d e r ，t h ep a p e r i i i 西北大学硕士学位论文 p r e s e n tam e t h o dt os o l v et h ep r o b l e mo f l i n e a rw a ed i 册a c t i o n t h em a t h e m a t i c 以 m o d e lo fl i n e a rw r a v ed i 缶a c t i o ni st r a 璐f o r m e di n t oat w od i m e i l s i o nh e l i i m 0 1 t z e q u a t i o nb yt h ea i r yw a v et h e o r y t h en y s t 而mm e t h o di su s e dt os o l v et h e h e l m h o l t ze q u a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e si l l u s t r a t et h ea c c u r 解yo ft h em e t h o d k e y w o r d s ：l a y e rp o t e n t i a lt h e o r y i i e r s eo b s t a c l es c a t t e r i n g ，f k 丘e l dp a t t e r n ， r e c o 、r e r ，t i k h o n o vr e g u l 缸i z a t i o nm e t h o d ，s c a t t e r i n gb o u n d 邮，h a n k e lf u n c t i o n i v 知识产权声明和独创性声明 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关部门或 机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论 文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 论文作者签名：爽钦! 豳 指导教师签名：之蒸! 堂 o o 了年歹月 侈日 矽。缉6 月，歹日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 论文作者签名： 判丕! 查 油。万年 占月侈日 第一章绪论 1 1反问题的介绍 第一章绪论 对反问题的研究是个相对新的研究领域它源于六十年代t i k h o n o v 的基础 性论文在科学史上有一个著名的“盲人听鼓”的问题，这是一位丹麦物理学家 在1 9 1 0 年提出的一个数学问题在己知鼓的形状的条件下，要确定鼓的发声规 律，这在数学物理研究中早己是成熟的课题反之，仅仅通过鼓的声音能否判断 出鼓的形状呢? 生活经验告诉人们“以耳代目”具有一定的可能性例如，我们 挑选西瓜时，通过拍打瓜皮发出的声音，就可知道瓜瓤长得怎样这是因为当物 体的材料确定后，它的音调高低与其形状密切相关，有经验的人不难发现它们 之间的某些联系经过数学家们近一个世纪的深入探讨、巧妙解析，使人们对于 现实中普遍存在的类似问题有了更加透彻的理解在“盲人听鼓”的问题中，虽 然不能推算鼓面的精确形状，但是从鼓声中可以得到相当多的有关形状的信息 例如，通过鼓的音谱，可以计算出鼓面的大小和周边的长短，甚至鼓的内部有 否凹洞，都可以由计算公式确定 在实际生产、生活中，类似的数学问题经常可以遇到随着社会的发展和科 技的进步，很多应用中的难题不能通过传统的科学研究去解决，它们向数学家 们寻求新的解答方法比如要探求位于不能触及到之处的物质变化规律，根据特 定的功能对产品进行设计，按照某种目的对流程进行探制，在工业生产中希望 得到某种新材料等等由此，在数学中派生出一个新兴的分支学科一反问题研 究 反问题的研究起源于数理方程，在数学物理中，通常研究的是数理方程的 正问题，也就是给出微分方程及其解应满足的某些给定条件，如初值条件、边 值条件或混合初边值条件，求满足给定条件的解及研究解的正则性质然而在实 际中，常常会遇到与求解正问题相反的情况作为代表某种物理场的微分方程的 解，我们不仅知道它们应取的初、边值，面且还可以观测到解( 场) 的某些进一 步的信息，但是反映场源结构性质的某些物理参数或几何参数却作为未知量出 现在微分方程的系数中，或出现在微分方程的右端部分，或初边值条件中，要 求我们利用解的进一步附加信息去反求这些未知参数，这就是数理方程反问题 其反演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多 思想和技巧近年来，计算数学在计算机技术飞速进步的基础上，结合解决科学 与工程中的计算问题，构造和发展新型算法，取得了丰硕的成果，也为解决反 问题提供了重要的条件 反问题是从各个领域，各个学科的实际需求中提出的，因此反问题研究是 一门交叉性学科，解决反问题必须进行跨学科、多领域的携手合作首先，能否 提出一个归纳到数学范畴的，具备可行条件的反问题，不仅需要一定的数学理 论水平，而且要掌握某个领域或学科的专业情况，这是反问题研究最重要的前 提 1 西北大学硕士学位论文 数学正以前所未有的广度和深度向其它学科领域渗透，数学正在有力地影 响着经济生产的发展和社会生活的进步作为数学的一门新兴学科，反问题与人 类生产、生活密切相关反问题的出现，为传统数理方程的研究开辟了新的领 域，也推动了数学工作者积极参与解决生产和生活中的实际问题反问题研究有 着十分广阔而实际的发展前景，反问题研究的丰硕成果将不断造福于人类 1 2 声波反散射问题研究现状 声波反散射问题是一个典型的数学物理反问题。声波反散射理论的大量研 究工作是近几十年的事，由于利用介质外部的测量信息去重建介质内部结构， 材料无损探伤，医学成像，声纳，雷达，地质勘探和医疗诊断等领域的迫切需 要，声波反散射问题的研究具有广泛的应用前景但是由于反散射问题的不适 定性和非线性性，长期以来该理论的发展都处于停滞状态，直到二十世纪八十 年代，随着计算机的出现和发展，大规模的数据计算成为可能，这为反问题的 发展创造了条件 二十世纪九十年代之前，对声波反散射问题的研究大致可分为两个方面： 一是解析方法f 1 1 ，该方法是将总体场展成f o u r i e r - b e s s e l 级数，求区域使得总 体场在区域的边界上为零，这种方法只对软表面障碍有效且收敛性要求散射波 的奇点远离障碍的边界，但这对未知区域是很困难的，数值试验很难实现；解 析方法还有利用复变函数的方法2 1 ，利用保形映射将未知区域映成单位球， 问题就归结为求该映射，但问题的收敛性受制于苛刻的附加条件，对于解析 函数，小的扰动都有可能破坏其解析性，数值实现几乎是不可能的二是非 线性最优化方法，其理论结果似乎很完美，但数值实现也很困难，原因是要 求从边界到远场模式这个映射的m c h e t 导数且每迭代一次都需要解一个正 问题，即求解一个n e d h o l m 方程二十世纪九十年代之后，对声波反散射问 题的研究，无论在理论上还是在数值应用方面都取得了长足的进展，在这方 面，c o l t o n 、k r e s s 和k i r c h 等利用积分方程方法对反散射问题作了很深刻的研 究，得到了一些很好的结果f 3 ，5 一1 5 1 我国对反散射问题的研究较少，尤其是 在声波反散射区域的重建方面，对声波反散射问题的研究，无论是理论结果还 是数值方法，与实际问题相结合的力度都还很有限，这是因为对区域较理想的 重建对原始数据的要求相当高，在这方面，需要解决的问题还很多，如何降低 对原始数据的要求，如何建立有效的数值方法及先验估计都是迫切需要解决的 问题 反演声波散射区域目前较为有效的方法有三种：一种是c o l t o n 和m o n k 方法，通过对未知区域的估计，直接处理稳定化问题，充分利用h e g l o t z 波函数f 6 ，7 1 ，将正散射问题归结为一个最优化问题，利用拟牛顿法求解 散射场的一个近似解，再利用散射波的渐近性，得到远距离行为：远场模 式( f a rf i e l dp a t t e r n ) ，最后把远场模式当作已知信息，去解适定的反问题；二 种是k i r s h 和k r e s s 方法，出发点是假定在未知区域可嵌入一封闭曲面所围成的 2 第一章绪论 区域，利用t i k h o n o v 正则化方法求解这两种方法均给出了数值例子 8 ，1 2 1 ， 对较规则的区域效果很好1 9 9 6 年c o l t o n 和k i r s c h 首次求解反散射问题的一 种新的方法一l i n e a rs 锄p l i n g 方法对声波反散射的研究，目前的研究方法主 要是基于积分方程方法，一种重要的途径是利用远场模式，关于这方面的研究 很多g i l b e r t 和x u 主要针对有限海洋问题研究了如何利用远场模式反求系数 和区域等问题并给出了一些数值例子1 6 2 0 1 ，虽然他们的研究只限于理论方 面，但为将声波反散射理论应用于海洋问题提供了一种可行途径 利用积分方程来反演区域或边界条件中的相关系数优点在于：对问题的唯 一性和稳定性容易得到证明，但不同于正散射问题，通常的反散射问题既是不 适定的又是非线性的，其中由远场模式确定散射波这个问题是不适定的，非线 性性是由于要寻求区域，使得总体场满足边界条件这个问题是非线性的就数 值计算而言，不适定性带来的困难更为明显，这给理论研究和数值应用都带来 了很大困难，正因为如此，反散射问题的研究远不如正散射问题那样成熟和完 善，还有大量的问题需要解决r a m m 在1 9 8 6 年至1 9 9 0 年先后发表了多篇论 文，主要研究系数反问题，讨论了解的唯一性和稳定性c o l t o n 等人利用远场 模式研究了声波和电磁波反问题 3 1 t i k h o n o v 正则化方法f 2 1 和拟解方法f 2 2 】 被广泛地应用于反问题当中，特别是正则化方法显示了其强大的活力，解不适 定问题的正则化方法是1 9 6 3 年前苏联数学家a ht i k h o n o v 院士提出来的，其 后他和他的学生们在这方面作了许多工作，1 9 7 4 年t i k h o n o v 等人合著的不 适定问题的解法出版，它系统地总结了正则化方法及其理论，正则化方法一 直被认为是一种有效求解不适定问题的方法 1 3 声波障碍反散射问题 古典声波逆散射理论有两个基本问题：一是时间调和声波在非均匀介质中的 逆散射问题，二是不可穿透的障碍逆散射问题，本论文主要讨论第二种情形 首先，假定入射波是时间调和声波u = e 凫z 。，其中后= “，岛是波数，u 表示频率，岛表示声波在均匀介质中的传播速度，d 表示传播方向，那么在非 均匀介质中最简单的声波散射问题可归结为求总体场u 使得 u + 忌2 n ( z ) 仳= o ，i n r m ，仇= 2 或m = 3( 1 1 ) 孔( z ) = e 龇d + 珏3 ( z ) 熙r ( 筹地u 忙o ，i n r 3 熙( 筹以u s ) - 0 i n r 2 3 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 西北大学硕士学位论文 其中r = ，凡= 诺c 2 是折射率，c 表示声波在非均匀介质中的传播速度，矿 称为散射波，( 1 3 ) 和( 1 4 ) 称为s o m m e r f e l d 辐射条件对不可穿透障碍d ，正 散射问题可归结为求解u 满足 u + 后2 n ) u = o ，i i l r m d ，m = 2 或m = 3( 1 5 ) u ( z ) = e 船d + t 正3 ( z )( 1 6 ) 牡= 0 o n a d 挲：o ，o n 扣 l ， 笔枷( 咖- 0 ，锄。 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 熙r ( 筹以u 8 ) 一0 i n 萨 ( 1 1 0 ) 熙( 筹以u 卜o ，i n r 2 ( 1 1 1 ) ( 1 7 ) 表示软表面障碍，称为d i r i c h l e t 边界条件 2 4 】，物理学上可解释为总体压 力在障碍边界上等于零( 1 8 ) 表示硬表面障碍，称为n e u m a n n 边界条件，| ， 是a d 的单位外法线向量，物理学上可解释为声波沿法向的速度在障碍边界上 等于零( 1 9 ) 表示阻尼边界条件，其中的a 是阻尼系数 反散射问题是已知远场模式u 和入射波，求解散射区域或阻尼系数，归 结为求解算子方程 f ( a d ) = u 首先注意到反散射问题的存在性问题这个提法本身就是不准确的，因为在求解 反问题时，由于原始数据本身就不准确，往往使得问题在常规意义下不可解， 因此正确的提法应是如何定义反问题的解并稳定化这个反问题，进而求得其近 似解 将反问题线性化是研究反散射问题的一种途径，这种方法将反问题归结 为求解一个第一类积分方程，对问题( 1 1 ) ，( 1 4 ) 利用b o r n 和脚o v 方法， 对d i r i c h i e t 边界条件可利用k i r c h h o f 或物理光学逼近方法使其反问题线性 化，最初这种方法很有吸引力，这是由于数学上的简单性，但该方法忽略了反 散射问题非线性这个基本的特征，因而使得解很难反映出问题的真实特性， 这方面工作可参考2 3 1 不采用线性化方法而研究反散射问题，最早的结果 是由i m r i a l e 和m i t t r a 给出1 1 ，该方法基于解析方法，8 0 年代初出现了很 多重建区域的方法，这些方法的共同特征是将反散射问题化为一个非线性最 4 第一章绪论 优化问题，不足之处是每迭代一次都需解一个正问题，计算量很大，k i r s c h 和k r e s s 1 1 ，1 2 1 与c o l t o n 和m o n k f 6 ，7 】分别给出了重建散射区域的方法，避免 了以上不足，也较容易作数值实验，是目前认为较好地重建散射区域的方法 这两种方法的共同特点是将障碍反散射问题分为两步：先处理一个线性不适定 问题，再处理一个适定的非线性问题本文主要采用k i r s c h 和k r e s s 方法，下 面给出此方法的简要介绍： 假定事先知道未知区域d 的一些信息，设d 包含一个封闭曲面r 所围成 的区域d r 在其内部，并且七2 不是负l a p l a c e 算子的特征值 对于散射波u s ，寻求一个单层( 或单双层) 位势逼近 厂 u 8 ( z ) = f妒( 可) 西( z ，可) d s ( y ) 以扣z 。比) 帮d s ( 沪i 7 7 z 。舭班如) ， 其中西( z ，剪) 是h e l i n h o l t z 方程的基本解【2 】，妒( 秒) 三2 ( a d ) 为密度函数 散射波矿有以下渐近性 以加等讣。( 荆巾i _ ， 因此，对应于散射波u 8 的远场模式为 乱水) = 篇小。皓姒咖 或 u ( 司：笔：( 胁( 可) + 叼) e 埘掣矧d s ( 可) u ( 司2 赢以。( 胁( 可) + 叼) e 。1 珏掣矧d s ( 可) 对给定的远场模式乱o o ，解第一类积分方程 f 妒= 仳( 1 1 8 ) 通过解方程( 1 1 8 ) 求得密度妒，即求得散射场“8 的一个逼近钍墨，然后寻求未 知区域d 或未知系数a ，使得u i + u 各( u i 表示入射波) 满足边界条件，即在某 个允许的集合上，求解极小化问题，从而得到散射区域或系数的一个逼近 1 4不适定问题的解法 反散射问题可归结为求解第一类算子方程，而第一类算子方程被证明是不 适定的正则化方法就是对不适定方程建立一个稳定的近似解的方法本节介 绍求解不适定问题的正则化方法，这些方法是求解反问题的基础。 下面引入正则化理论以下的定义和定理在【2 - 4 】中可以见到 5 西北大学硕士学位论文 定义1 1 ：设k ：ucx _ y ，其中x ，y 是赋范空间方程k z = y 是适定 的，是指k 是双射，且k - 1 ：y _ u 是连续的，否则，为不适定的 由以上定义可知，不适定方程有三种类型： k 不是满射，即存在y ，对任意z u 有k z 可 k 不是单射，即存在u ，秽u ，且u 使得k 仳= k k 一1 不连续，即方程k z = 的解不连续依赖于数值， 本文考虑第一类线性积分方程的解，因此，在没有特殊声明的情况下， 都假定算子k 是单射的线性紧算子则对任意可k ( x ) ，第一类算子方 程k z = 的解是唯一的假设算子方程k z = 可右端项可y 有扰动矿y ， 即存在6 0 使得 一确1 6 正则化方法的主要目的是求解其扰动方程k = 矿但由于矿不一定包 含在k 的值域k ( x ) ，所以一般情况下此方程是不可解的作者希望得到一个 近似解x ，来逼近精确解z ，且要求连续依赖于矿因此，必须找到 一个无界线性算子r ：y x 来逼近k 的逆算子k 1 ：k ( x ) _ x 于是， 引入以下正则化序列的定义 定义1 2 ：假设k ：x y 是有界线性算子，其中x ，y 是赋范空间，算子k 是单射，有界线性算子序列吼：y _ x ，a 0 ，使得r k 逐点收敛，即 l i mr 。k z = z ，v z x ， o + u 则如称作算子k 的正则化序列，参数q 称作正则化参数 正则化序列的构造方法比较多，简便而又经典的方法是通过奇异系统建立 起来的，首先引入奇异值的定义及奇异值分解 定义1 3 ：设x 和y 是胁f 6 e 庀空间，k ：x _ y 是紧算子且有对偶算 子k + ：y _ x 自共轭算子k + k ：x _ x 的特征值序列九，z 的平方 根玩= 瓜称为算子k 的奇异值 很明显，如果k + k z = 妇，则入( z ，z ) = ( k 4 k z ，z ) = ( z ，k z ) o ， 即入0 因此k + k 的特征值都是非负的 定理1 1 ：设k ：x _ y 是紧算子，k + ：y x 是其对偶算子，p 1 肛2 p 3 o 是算子k 的按照其大小关系编号的正奇异值序列则存在正交系 统( 兢) cx 及( 坎) cy ，对任意i 有以下关系 k z t = p i 玑k + 玑= p t z i 系统( 地，甄，玑) 称为k 的奇异系统对每个z x 有以下奇异值分解 z = 跏+ ( 哪i ) 兢 z o ( k ) ， i 6 第一章绪论 其中( k ) 表示算子k 的零空间对任意k z k ( x ) 有 k z = 胁( 叩 ) 玑 i v 的奇异值分解式 根据以上定理，可得到以下关于正则化序列构造的定理 定理1 2 ：设k ：x _ y 是紧的且有奇异系统( 肌，翰，玑) ，存在双变量函 数g ：( o ，) ( o ，i l k _ r ，若函数g 有以下性质 对所有q 0 及0 p o 及o 弘 j j k j ，存在c ( 口) 使得j g ( q ，p ) l c ( q ) p 对所有0 0 ，则死她。扎d 秽函数厶有唯一最小值点z q x 这个最小值点是第二 类算子方程 0 1 z q + k + k z q = k + ( 1 2 7 ) 的唯一解 显然，方程( 1 2 7 ) 的解矿可以写成护= r 口可的形式，其中 如：= ( 乜j + k + k ) _ k + ：y 叫x 选取紧算子k 的奇异系统( 胁，兢，玑) ，可知如有以下表达式 砌= 薹惫曲铲薹掣砌蚪2 9 ， 其中口( q ，p ) = p 2 ( q 十肛2 ) 容易得知，这个函数符合定理1 2 中所提到的关于 正则化过滤函数的三个约束条件，可见凰是一个标准的正则化序列由上节 正则化方法的误差定理我们容易得出t i k h o n o v 正则化方法的误差估计 1 5本文的主要工作 本文的研究工作主要包括以下几个方面的内容： 1 用b a u c k u s - g i l b e r t 方法求解声波正散射问题 2 用h a n k e l 函数组合对声波阻尼系数及区域进行了反演 3 应用远场模式对对声波阻尼系数和区域进行了同时反演 4 给出了求解非均匀介质的声波正散射问题的一个方法 5 应用n y s t 而m 方法求解大尺度墩柱上的波浪力 本文的章节安排如下： 第一章：绪论介绍了课题提出的意义，分析了反散射问题领域国内外研究 现状，由此确立了本文的研究内容 第二章：声波正散射问题的数值方法。用b a c k u s g i l b e r t 方法对声波正散 射问题进行了求解，并与经典的n v s t 而m 方法进行了对比说明该方法的适用性 和精确性 8 第一章绪论 第三章：声波逆散射问题的数值方法1 ，对声波阻尼系数及区域同时进行 了反演2 利用h a n k e l 函数组合对声波阻尼系数或区域进行了反演 第四章：非均匀介质的声波正散射问题利用位势理论最终把时间调和声波 在非均匀介质中的正散射问题转换为一个l i p p m a n n s c m n g e r 方程来求解，本 章对l i p p m a n n _ s c h 丽n g e r 方程的l o g 奇性核进行了处理，最终求得时间调和 声波在非均匀介质中的正散射问题，并给出了数值例子 第五章：大尺度墩柱上的波浪力的数值模型墩柱结构是一种常见的工程 建筑物，正确求解作用在墩柱上的波浪力具有重要的意义，本章主要考虑大 尺度墩柱上的波浪力的计算，应用线性水波绕射理论来计算作用在大尺度墩 柱上的波浪力，本章应用线性小振幅波理论把水波绕射问题转化为一个二维 的h e l i n h o l t z 方程来求解，再应用n v s t r 6m 方法来求解二维的h e l m h o l t z 方 程，通过求得的数值解与解析解的对比，证明本文给出的数值模型有很高的精 度 9 西北大学硕士学位论文 第二章声波正散射问题的数值方法 在声波反问题求解之前，我们必须事先知道散射场的一些信息因而，必须 首先研究正散射问题对于不同条件下的正散射问题，本文主要是用位势理论将 正散射问题归结为第一类或第二类边界积分方程对于第一类积分方程，本文应 用b a c k u s g i l b e r t 方法求解，对于第二类积分方程用n y s t 蚶m 方法求解，用求 得的数据来求解反散射问题 2 1 声波正散射问题的的提法及位势理论 声波正散射问题主要包括两个方面：一是时间调和声波在不可穿透障碍 的散射问题，二是时间调和声波在非均匀介质中的传播问题本章主要研究前 者时间调和声波在不可穿透障碍的散射问题根据不同的边界条件又分为三 种：d i r i c h l e t 边值问题，n e u i i l i n a 眦边值问题以及阻尼边值问题本章主要研究 二维情形下的时间调和声波在不可穿透障碍的散射问题的d i r i c h l e t 边值问题 2 1 1 声波正散射问题的提法 考虑在均匀介质中传播的声波，此声波碰到一个无穷长的柱体，柱体截 面dc 冗2 ，母线平行于z 轴入射波缸是平面波u ( z ) = e 惫z ，z r 2 ， 其中后 0 是波数，a 为一单位向量此声波碰到柱体后发生散射，产生散射 波札8 ，记总体场为让= u + “8 ，则总体场扎c 2 ( r 2 ) 万nc ( r 2 ) d 满足 u + 七2 u = 0i nr 2 d ( 2 1 ) 散射波u s 有如下定义和性质 定义2 1h e l n 山o l t z 方程的一个解u s ，它的定义域包含一个球的外部，u 5 称为h e l n l l l o l t 方程的辐射解，如果它满足s o m m e r f e l d 辐射条件： 熙倍“u ) = 0 吲叫 上面的极限对所有方向一致成立 定理2 1 每个辐射解札s 有以下渐进性质： ，珑例1 功2 菊p ) + 伙亩” l 圳_ o o 其中宕= z h ，仳是对应于散射波u 5 的远场模式 下面的引理给出远场模式和其散射波之间的关系。 引理：假设有界集d 是一无界开集的补集，令扎c 2 ( r 2 d ) 是h e l n 山o l t z 方程的解且满足 熙k 阳s 划 】0 第二章声波正散射问题的数值方法 则在区域d 外有“= 0 这个引理表明散射波和远场模式之间有一对应的关系同时也表明了外边 值问题的解具有唯一性 声波正散射问题是求解总体场满足h e l 1 1 1 0 1 t z 方程和以下边界条件 u = 0o n d d 挲：o o na d 譬+ 枞u ：o o na d ( d i r i c h l e t 边界条件) ( n e u m m a n n 边界条件) ( 阻尼边界条) 时，散射波u 8 所对应的远场模式为u 其中七 0 为波数，a 为阻尼系 数 2 1 2位势理论 二维情形下h e l i n h o l t z 方程的基本解为 西( 删) = 羞硪1 ( 七卜可i ) ， z 可( 2 2 ) 其中舔1 是第一类零阶h a n k e l 函数 给定可积函数妒，积分 u ( z ) = 妒( 可) 圣( z ，可) d s ( 可) ，z r 2 d( 2 3 ) 和 出) = z 。咖) 帮d s ( 珐。耐。 ( 2 4 ) 分别称为密度为妒的声波单层位势及声波双层位势 3 - 它们分别是h e l i 工血o l t z 方程在d 内及冗2 d 的解，且满足s o m m e r f e l d 辐射条件 对于连续的密度函数妒，单双层位势在区域d 的边界上满足下面的跳跃关 系 定理2 1 ：设a d 是c 2 类的，妒是连续的，那么，以连续函数妒为密度的单 层位势u ( z ) 在兄2 是连续的，且对任意依赖于a d 的常数c 0 有 | l u l l ，r z c j | 妒j i ，a d 在区域d 的边界上有 牡( z ) = 妒( 可) 圣( z ，y ) d s ( y ) ， z a d ( 2 5 ) 等= z 。咖) 帮d s ( 岍扣，刑。( 2 6 ) 西北大学硕士学位论文 等( z ) ：= 艘。( ( z ) ，g r a d u ( z 士 ( z ) ) ) 可以被认为是在边界上一致收敛，其中的积分是不定积分 双层位势秒( z ) 可以连续地从d 拓展到万，从五2 万拓展到冗2 d ，并 且有 吐垆z 。础) 帮d s ( 舭扣，删。 ( 2 7 ) 其中 u 士( z ) ：2f 娥秒( z 土 ( z ) ) 此积分是不定积分双层位势的法向导数有如下关系 艘。 嘉( z 伽) 一( z 一叫圳) - 0 z 扣 对于妒不连续时的情形，引入以下三个算子s ，k 以及k 7 ( s 妒) ( z ) = ( k 妒) ( z ) = ( k 7 妒) ( z ) = 8 ， 8 ，