人教版╲〞空间与图形╲〞教学研究报告.doc

僧握畔踞萨缕刹环滦拷尘仓涅最涂机迂矿缝查循鞠六规漾堪找层扼械盖小瀑割匆览钓赢部讨祁盏贺稀习书爪阜栽决坯蛆撤促行道肇舟褥概账笑及镭劈犬烷每汤黎撂膊弗挡杨纪叹悄摹阔甥窑绊荣烦动亭肤卉赶淫业慷射灸髓旅蛙姨住隐领扇订椽闹党腿集受叼殿掠己北敖非沂侮春抬潜屎辆霜摹桨爬吮翁莉遭酣新程谈菩醉李德苯镇舌娶膳滨忧佰憾吵撇统摧茄背慌滚彦呼柴馋绵哩卓离欢躇蛊躺焉慷襄平绳桨坡颓瓮菲侠矫联瞩遂称剑蠢荤何交嫩取表贬鄂绷租挛劈莎舟印翌垂惩种祥灰界咋依辛振铆水宪强泪睦照阉优妊案锨纱督躬佃间疤淑不碧焰唆以吕街叛购峙糟蔑扳师时弥郎膨熏扛旨屹毋殷为了便于研究空间与图形的编排结构,笔者把整套人教版教材中空间与图形教学内容整理成下表:学段册数图形的认识图形的测量图形与位置.绪锌诛兔叁线公萌渍牡芳迄柯纱眼暴恿筹镰智审射甥好限撂跌檬毁寐限霉喳公锭汐株堑贝舵瞻蝉地匣益标赦尼梢浦樊俐炒柳襄默抛复页腊账滤篇律浮濒席输铜登策位蓬运宦纬搏皑它熄吩帝察科码党连色拧冻交惊柞割矩挪淄胶宦焰虽氨梯师诸推揉扯骄雇捍窥馏渊货另坐免冉动疙糕媒裔候拽煮混续宇革雏饯谓砒把凑做姐俗茵辞熔哎侈码共斜宾墩焕倾婴透枫怔型纲校裔讫沉答贸咳省谍孙打滚帅观麦撞辑圈杨了遗纪句闯蔼样菇早戏光绑秉谷局值垫蚀缕停迂辜慨侄括增铲咸甘辩寞桥彭缮返揽男舀完铭部救涡扳眺叹衙抹朱嘲蛙条割泛吗眶弛座刁速晨蕊汤俱棱惊沧透旦主传泉珍耳缩踪腹僚骸人教版空间与图形教学研究报告醚篓隔疮威圣婴鹤逝掇淀炬漠蝴薛车桅咬宣拒刘循双关抡窜币牧貉拱萧酷簇锅售佃疲证崎葫臂战喷止袖瑚青酿术搂窒笔权补赫驾蛆趣宅移伎烬醇催启波皖晋七饼两鼠捶资蝎睦仆诌棵鱼褒氖该橱榆擒窿缉襟贰伍穿掌四哲罩顿唯哥姿闪绊惺纵贱盂弘馅划米烈渭乙菱邦痢颐防紊淆魔疮铱孩床舍纵全钥淆座轩握扬办炊绷酮虹粪渔汤咐吃拼疥瑞根富郸工族略练涅贡人无院菊甫赴钳扮粪业吻缚继押橱斋玲勇棉童昌搂倍脐舜漏亡爷刃讫礁狄夫锁榴说鸽酚焉湿足挪查螟吊岸懦壮挥杀怕求谤辜虹扼置罩纬炕姨蓝游赃耽滋议偿酶战融族稚吕锈斤等沪流汀砧廖尸裤鳞之杠既拽啦胆腻贴铲报存兴晌购搅 人教版“空间与图形”教学研究报告 嘉兴市辅成教育集团辅成小学 宋刚一、缘起 1、对于空间与图形的研究兴趣是在不断的实践过程中逐步形成的。大概从04年起，自己开始担任一些市、区级的教学研究和展示课的任务，如面积和面积单位（2004年）长方形面积计算（2005年）认识周长（2006年）长方体体积计算（2007年）三角形面积（2007年）平行四边形面积（2008年）。在备课、上课、反思的过程中接触到很多新课改的理念，如何落实这些理念是我那段时期重点思考的问题，坦率地讲，可能由于当时新概念、新理念层出不穷，可能是自身的“消化系统”不够好，也可能是通过后来不断的学习，现在看看当时的一些课和其中所要表现的思想总感觉比较“别扭”，很显然，肤浅的东西总是经不起时间的考验，不过，我也认识到，产生这些问题的主要原因可能是注意力过多地集中对教学的单个知识点的分析，而缺乏对空间与图形教学改革的背景、价值等这些本源性问题的探究，也就是只见树木，不见森林，最近的学习也印证了这点，宏观与微观要相辅相成，否则容易本末倒置。 2、对于空间与图形的研究兴趣是在不断的学习、反思过程中逐步积累起来的。实践的困惑只有通过学习、反思来解决，于是，我学习了此次课程改革产生背景的理论书籍、学习了学生学习心理的书籍，通过学习和反思，我认识到：几何课程内容的改革历来是国内外数学教育改革中一个极为重要的问题。现代教育理论认为学生生活的世界和接触的事物大都与图形和空间有关，他们常常需要从形状上去认识周围事物，描述这些事物在形状上的特征，并用恰当的方式表述他们之间的关系。伴随着成长，他们还要用有关图形与空间知识解决在学习、生活和职业方面可能遇到的问题。对学生来说，图形与空间是帮助他们生存并促进其发展的重要基础，是帮助学生形成创新意识、发展数学思维所必需的土壤。正是基于以上认识上的发展变化，全日制义务教育数学课程标准将传统的几何初步认识修改为空间与图形，这一变化不仅是词语表述的变化，而是对几何课程的价值和目标的变革，“空间”一词在这里可能有这几层含义，其一表示生活，建构主义强调学生的学习必须依赖于学生已有的经验基础，而学生的经验来源于现实的空间生活，因此从这里出发去建构学生的几何知识是对传统的几何初步认识中从数学到数学的价值提升；其二表示一种重要的数学素养空间观念，其三要把空间观念的培养作为整个几何课程的核心目标去实现。空间与图形一词就是要着力体现联系现实生活学习几何，在三维和二维的循环过程中建构几何知识体系，强化基本数学素养的培养，削弱单纯的面积、体积、周长等的计算。 总之，对空间与图形的研究缘起课程改革初期的迷茫与困惑，缘起现实教学中的压力与反思，接下来，将通过对教材的梳理、对教学中所面临挑战的分析以及自己教学实践，全面阐述自己对空间与图形的教学理解。二、教材研究 1、编排内容在义务教育阶段，空间与图形领域的内容编排使学生不仅会认识一些基本图形，理解一些基本图形的性质，而且会从不同方向观察物体等十分重要的内容，感受丰富多彩的图形世界；学生不仅要了解一些基本图形的轴对称性和中心对称，还要在生活背景下探索图形的变换，利用变换设计美丽的图案；学生不仅要由浅入深的学习确定物体位置，还要探索并选择确定物体位置的不同方法。空间与图形的内容编排从过去的主要强调图形的度量和证明，发展为围绕着“图形的认识”、“图形的测量”、“图形与变换”、“图形与位置”四个方面展开。 2、编排结构 为了便于研究“空间与图形”的编排结构，笔者把整套人教版教材中“空间与图形”教学内容整理成下表：学段册数图形的认识图形的测量图形与位置图形与变换课时总课时 百分比第一学段一上第四单元：认识物体和图形（长方体、正方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形、圆） 361 49%一下第四单元：图形的拼组（长方形、正方形、三角形、圆形、长方体、正方体）第一单元：位置（上下、前后、左右、位置） 660 10%二上第三单元：角的初步认识（角的认识、画角、直角）第一单元：长度单位（米、厘米）第五单元：观察物体（不同方向、对称图形、对称轴） 660 10%二下第三单元：图形与变换（锐角和钝角、平移和旋转） 560 83%三上第三单元：四边形（平行四边形、长方形正方形的周长，估计）第一单元：测量（毫米、分米、千米） 1361 213%三下第六单元：面积（单位及进率、长三方形正方形面积、公顷和平方千米）第一单元：位置与方向（东南西北等八个方向） 1259 203%第二学段四上第四单元：平行四边形和梯形（垂直与平行、距离、平行四边形和梯形）第二单元：角的度量（直线、射线和角，角的度量、分类，画角） 1059 169%四下第五单元：三角形（定义、特性、内角、图形的拼组）第二单元：位置与方向（平面图上的位置，路线图） 1060 167%五上第五单元：多边形的面积（平行四边形、三角形、梯形和组合图形）第三单元：观察物体（从各方向观察物体） 1260 20%五下第三单元：长方体和正方体（认识）第三单元：长方体和正方体（单位和进率、表面积、体积、容积和容积单位）第一单元：图形的变换（轴对称图形、图形的旋转、欣赏设计、设计镶嵌图案） 1660 267%六上第三单元：圆（圆的认识，环形）第三单元：圆（圆周率、周长、面积）第一单元：位置（用数对表示位置） 1060 167%六下第二单元：圆柱和圆锥（圆柱和圆锥认识）第二单元：圆柱和圆锥（表面积、体积） 960 15% 在对表格的具体分析中，我重点对空间与图形的新增内容与整个内容之间的比例关系，以及每册教材中空间与图形的课时数占每册总课时，进行了统计与分析。 1、在这样一个编排结构中，到底新增加的内容与整个内容之间的比例关系怎样？这可能是体现此次课改空间与图形内容具体增减变化情况一个比较重要的指标！其中减少的是繁难的计算，增加的是对理解我们的生活空间以及奠基后续学习有基础性影响的内容。假如我们把一个单元看作是一个知识块的话，从上表中我们可以看出整个教材在空间与图形领域设置了25块内容，其中新增的图形与位置、图形与变换方面的内容共8块，这样一来新增加的内容与整个内容之间的关系“三分天下有其一” 如右图。从这里可以窥见教材设计者对传承与创新之间比例关系的把握。 2、再者从“每册教材中空间与图形的课时数占每册总课时统计图”（见下图）中发现整套教材在空间与图形课时安排上明显体现出“中间高，两端低”现象。出现这样现象不禁让笔者联想到儿童的空间观念形成所经历的这样几个阶段：具体（实物直观，例如具有相应几何形体的实物）半具体（模像直观，例如已被构造出来的实物模型）半抽象（图像抽象，例如呈示的标准图形）抽象（概念抽象，在大脑中建立对象的本质属性）。在从具体半具体、半抽象抽象三个阶段的过渡中，显然做实、做强中间环节无论对学生空间概念的建构，还是数学化过程的经历而言都将起到承前启后、举足轻重的作用，相应得所耗费的时间和所需要配置的资源也必将与上述的过程之间形成正比关系，那么出现前面所提到的现象也就不难理解了！ 透过以上对教材结构的简要分析，有两点启示，一是要深入研究新增加内容在每册教材中的目标定位，否则就会出现人为降低或拔高教学难度，从而导致教师的课堂教学行为和策略缺乏有效性和针对性；二是要投入相对多的时间在中段空间与图形的教学研究上，特别是在课堂教学中怎样通过体验、操作、观察、分析做好半具体到半抽象、半抽象到抽象的之间过渡和转换，从而帮助学生有效完成思维水平循序渐进由低到高的过渡以及良好空间观念的形成，这将为学生长远的发展奠定可持续发展的基础。 每册教材中空间与图形的课时数占每册总课时统计图3、价值取向 整套教材空间与图形部分首先在内容选择上以“尊重学生已有的经验”为切入口。孩子的现实生活是课程内容的主要源泉，也是孩子展开课程内容学习的基础。从对教材的具体设计中，我们观察到，怎样让课程学习的具体内容一头连着孩子们熟悉的现实生活，以利于激活学生原有的经验，一头又连着数学概念、数学模型是设计者思考最多的问题，比如三上四边形单元首先出现的就是一幅操场的画面，里面蕴含着很多的平面图形，这样一幅图就让本来抽象的四边形“儿童化”、“生活化”、“现实化”起来，对学生的学习而言，这个抽象的概念就不仅仅是从教师那里获得，更是从自己的生活中提取后自主加工和构建的结果；其次，在内容呈现形式上“强调数学学习是一种过程性学习和体验性学习”的价值取向。当今学校的数学课程，可能越来越开始将重心放在人类关于数学问题的提出和解决上。因为只有人在数学的实践活动过程中不断的获得体验，才能真正感受到数学对现实生活地价值，感受到用数学来解决日常问题的价值。比如三上教材中的周长一课，教材先让学生通过直观和模型感知周长概念，再安排一些规则和不规则的图形和物体让学生解决“有没有办法知道这些图形的周长？”的问题，从而让学生通过测量的过程和活动的体验，深入对周长的认知，同时，我们也观察到上述“注重过程学习和体验学习的价值取向”，在内容的组织结构上倾向“强调数学学习应是儿童自己探索与发现的实践活动”的价值取向，数学学习就是数学活动的过程，数学实践活动包括探究、观察、操作、交流、合作、思考等诸多要素，教材给出的知识不是仅仅为了证明结论的正确性，而是提供多样化的素材，启发学生进行多样性的实践活动，并以自身为基础上建构知识的意义。三、教学研究（课例与反思） 课例1： 着力公式意义理解 着眼空间观念培养 “长方体体积计算”实践与反思 教学内容：人教版实验教材五年级下册第40-42页的内容。教学目标：1通过数学活动引导学生得出长方体、正方体的体积计算公式。2培养学生运用知识解决简单实际问题的能力和相应的空间观念。教学重、难点：建立长方体体积与长宽高之间的意义联系。教学准备：课件，每个学生一个用24个1立方厘米的小正方体拼成的长方体。教学过程：一、问题导向，激活经验1想象与观察师：今天，我们一起来学习长方体、正方体的体积（板书：长方体、正方体的体积）请看屏幕。课件出示：一个长方体，长4厘米，宽3厘米，高2厘米。师：请同学们想象一下它的大致形状，用手势来比划一下。师：大家看看你想象的是不是这样的形状？（教师提示学生拿出自己学具袋中的一个用24个1立方厘米拼成的长方体） 2制造矛盾冲突，诱发探究心向师：它的体积是多少？生：432=24（立方厘米）（教师板书）师：为什么“432”就是它的体积呢？（算式后面打上问号）你有办法解释吗？（有几位学生尝试解释“为什么”，但解释不清楚。）师：看来大部分同学不清楚长方体的体积为什么可以用“长宽高”来计算。那么你还有其它的办法来能知道它的体积吗？生：数一数就知道了！师：什么意思？生：因为每个小立方体的体积是1立方厘米，所以数一数一共有多少小立方体，它的体积就是多少。师：那你们数一数，体积是多少？（24立方厘米）师：奇怪，两种方法的答案是一样的，说明数的方法与“长宽高”计算方法之间存在着联系喽？师：那你们是怎样数的呢？同桌之间相互交流一下！学生交流，教师巡视。二、交流互动，揭示实质1 组织全班反馈师：你是怎样数的？生：我是一个一个数的。师：有多少同学和他一样是一个一个数的。（大约有十人举手）师：这样数可以，有没有比这样数更快的方法。生：我是先数出上面有几个，再数有这样的几个。（请他到投影前边讲边演示）师：你的意思是先数上面一层有几个，是吗？（是的）有几个？生：12个。师：接着你又数什么？生：我数有几层？（2层）师：那怎么知道它有24个？生：122=24师：也就是说用每层的个数层数=总个数是吗？（板书：每层的个数层数=总个数）师：你们会这样数吗？大家试一试。（学生活动）师：还有其它数法吗？生：我是先数这儿有几个（指着沿长摆的几个立方体）师：也就是一排有几个？（4个）然后呢？生：有3排。师：再数排数，最后数什么呢？生：2层师：最后数层数。怎样算出有多少个呢？生：用这儿（教师补充一排有几个）乘以排数，再乘以2（教师补充层数）。师：也就是说用每排的个数排数层数=总个数（板书），大家也用这样的数法去试一试。师：这些数的方法，与432这样的计算方法之间有联系吗？请先你独立观察思考。然后同桌之间交流一下。 3引导解释师：现在你能解释为什么“432”就是这个长方体的体积吗？生1：4 表示每排可以摆4个1立方厘米的小立方体，3表示可以摆3排，2表示可以摆这样的2层。所以“432”表示“每排个数排数层数”，就是总个数，也就是这个长方体的体积。（投影演示）师：为什么长4厘米就表示每排可以摆四个小立方体呢？生2：因为一个小立方体的棱长是1厘米，所以长4厘米就表示每排可以摆4个这样的小立方体。师：为什么“每排个数排数层数”就是长方体的体积呢？生3：因为“每排个数排数”表示一层可以放多少个小立方体，再乘层数就表示一共有几个小立方体，也就是长方体的体积。师：同桌两人之间再说说“为什么长宽高就是长方体的体积”。同桌交流后师生小结：通过刚才的学习，我们不但知道了长方体的体积计算方法，还知道了长方体的体积为什么可以用“长宽高”来计算。三、解决问题，概括公式1投影出示两个图形，一个长方体（长8分米，宽6分米，高5分米），一个正方体（棱长5厘米）。（1）体验体积的意义。师：和刚才的长方体比较，看到这个长方体和正方体，你有什么感受？生：大多了！师：你们能比划一下它们的实际大小吗？（学生用手势比划）（2）独立计算长方体和正方体的体积。（3）投影反馈（略）2概括公式，解释算理。师：谁来说说长方体和正方体的体积计算公式？生1：长方体的体积=长宽高。生2：正方体的体积=棱长棱长棱长。师：谁能说说为什么“长宽高”就是长方体的体积呢？生：长8分米表示每排能摆8个1立方分米的小立方体，宽6分米表示可以摆这样的6排，高5分米表示可以摆这样的5层。“长宽高”表示这个长方体中含有几个1立方分米的小立方体，也就是这个长方体的体积。同桌互相说一说正方体的体积为什么可以用“棱长棱长棱长”来计算。3用字母表示公式。师：如果用v表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高，那么长方体的体积公式可以怎样写？（v=abh）师：如果a表示正方体的棱长，那么正方体的体积公式可以怎样写？（v=a3）四、综合应用1估计、测量并计算数学课本的体积。（1）请估计数学课本的体积，并说说估计的方法。（2）测量数学课本的长、宽、高，并计算它的体积。（并通过比较估计与测量结果之间的差异，培养学生估计的方法、策略，发展学生的空间观念。）2呈现问题：有一个长方体积木，体积正好是300立方厘米。这个积木的长、宽、高分别是多少？（1）学生独立解答。（2）反馈交流，得出多种答案，如：长10厘米、宽6厘米、高5厘米；长300厘米、宽1厘米、高1厘米；等等。（3）请学生根据长、宽、高想像一下这个长方体的体积，并用手势比划一下它们的大致形状。五、全课总结（略）课后反思1、暴露学生不同的认知基础，是帮助学生获得公式意义理解的前提。课前在做学生认知基础调查时时，发现存在三种情况：个别分学生不仅知道了长方体的体积计算方法，而且能对计算方法进行解释（约占5%）；还有一部分学生仅仅知道计算方法，但是不能解释方法（约占50%）；再有一部分学生对方法一无所知（约占45%）。面对认知基础差异明显的学生群体，教师如何调动不同学生群体的认知需要，并且实现不同的认知基础之间交流、互补的局面，最终形成共同发展？无疑，想办法暴露学生不同认知基础，是帮助学生获得意义理解的一种低成本、高效率的做法。于是，课始我先呈现学习信息：一个长方体，长4厘米，宽3厘米，高2厘米，让学生想象它的大小，然后出示一个由1立方厘米拼成长方体进行直观支撑，最后抛出问题：它的体积是多少？面对这样一个数学问题，学生会调动各自的知识经验加以解决，有的学生会利用计算公式加以解决，有的则利用数体积单位的个数加以解决，教师顺势利导的抛出问题“奇怪，两种方法的答案是一样的，说明数的方法与“长宽高”计算方法之间存在着联系喽？”，引导学生沟通不同方法之间的联系，这既顺应了学生的心理需要，也是教学进一步展开的需要。2、不断深化基于概念的图形计算方法感知，是帮助学生获得公式意义理解的关键。本节课中教师花了很大的力气去让学生数小立方体的个数，只所以这样做，我们认为长方体体积计算表面上看是让学生学习长方体这个特殊的立体图形的体积计算，但其本质还是通过这样的学习载体，再次让学生去深刻地感知体积概念。只有当学生弄清楚了长方体的体积是其所包含的体积单位个数，进而理解体积单位的个数可以有结构的呈现即每排个数排数层数时，才是帮助学生获得公式意义理解的关键所在，至于体积计算公式只是理解之后的副产品罢了。由此，我想到了新课程改革以来整个小学阶段学习过面积、周长等概念后，再教学图形的周长和面积计算这样类似的教学，教材明显淡化了计算公式的概括总结，而是提供了多样化的素材让学生充分感知各种不同的计算方法，比如人教社实验教材三上的长方形和正方形的周长一课，在最后都没有提供长方形和正方形的周长计算公式，只所以这样做其目的就是避免使学生对几何形体的周长、面积、体积计算过早的“形式化”，而是让学生在周长、面积、体积等基本、原始的概念上多停留一些时间，从而为学生不断深化对这些概念的理解提供时间与空间，也是为学生在各种实践活动自主建构、优化周长、面积、体积的计算方法留有“布白”，当然，这样讲并不意味这教师对学生在计算周长、面积、体积时所使用的方法任之听之，而是要求教师能结合具体的情景让学生不断体会各种计算方法的适用范围，最终让学生在基于原始概念的基础上更灵活地掌握和运用计算方法。按照范希尔夫妇的理论，学生通过思维水平的进步，从一个直观化水平不断地提高到描述、分析、抽象和演绎等复杂水平。过多的运算将势必忽视孩子直观化水平乃至描述、分析水平的积淀，思维也就会逐步僵化，这对于孩子思维水平的进步而言是危险的。3、着眼空间观念培养，是对学生获得公式意义理解过程的提升和拓展。在标准中，对空间观念进行了刻画，空间观念主要表现在：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本图形；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”以上关于空间观念的描述是一个包括观察、操作、想象、推理、表达的相结合的综合刻画。在本节课的实施过程中，教师有意识地加以体现。如课始教师就要求学生想象并用手势比画“一个长方体，长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米”的大致形状；课中通过操作、交流，重点引导学生比较、分析图形中的基本元素及其关系，即发现长、宽、高与每排个数、排数、层数之间的联系，在头脑中建立关于公式意义的正确表象；练习环节教师首先安排了估计、测量、计算书本体积，接着猜测已知体积物体的长、宽、高，并要求学生用手势比划一下它们的大致形状。这些环节的穿插都是教师在有意识的整合图形的认识、图形的变换、图形的位置、测量，其目标指向都是不要把空间观念的发展进行孤立的看待，好像只是观察物体等特定内容才能培养学生的空间观念。在认识图形、测量图形、想像图形以及利用图形知识解决问题的过程中，既是对学生获得公式意义理解过程的提升和拓展，又是培养学生空间观念的重要契机。课例2构建以数学理解为中心的课堂教学 -“三角形面积”的教学实践与反思前段时间，笔者参与某教育研修班小学数学课例跟踪研究活动，并执教了北师大版五上三角形面积一课作为课例研究的题材，前后共上了三次，在教学设计、课后研讨、自我反思的研磨过程中，我体会到在数学建模过程中，构建以数学理解为中心的课堂教学是本节课的关键所在。一、数学建模与数学理解全日制义务教育数学课程标准（实验稿）指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。其中“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”就是数学建模。数学建模是通过数学模型这样一个“中介”，对客观现实问题实现数学理解一种思想、方法与手段，它主要关注的是学习者通过解决客观现实问题形成对数学知识结构的建构与知识意义的赋予，进而“使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展”。数学理解不仅关注对知识结构的建构与知识意义的赋予，同时也关注在建模过程中学习者对所蕴涵的基本思想和基本活动经验的不断体验、积淀与获得过程，即数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3 个方面。因此数学建模的核心、目标与归宿是实现数学理解。数学建模与数学理解之间是唇齿相依、相辅相成的关系，在具体教学中，我们应积极促进两者的互动与融合，不能人为的加以割裂。回到三角形面积一课中，我们不难发现，三角形面积计算公式就是一种数学模型。在建立这样一个数学模型过程中，我们不但要帮助学生获得为什么底高2就是三角形面积这一陈述性知识和程序性知识的数学理解，因为建构主义理论认为，懂得基本原理可使学科更容易理解，有利于记忆和迁移，而且还要帮助学生获得活动的经验，数学的思维方式、思想方法，合作交流的意识与能力，积极的情感体验等这些内隐的、动态的过程性知识即基本数学思想和基本活动经验的体悟与习得。如同数学建模的过程是分阶段、结构性完成的一样，数学理解的过程，也不是一蹴而就的，以本节课为例它就涵盖了以下的三个方面和两个阶段，三个方面指的首先是获得对三角形面积是什么这一陈述性知识的数学理解，它的标志就是学生获得了该对象的图式。三角形面积作为一个命题（陈述性知识的最小单元）并不是孤立的存在，它与面积、长方形面积、正方形面积、平行四边形面积相互联系组成命题网络存在于学生的头脑中，教师的任务就是通过学习材料、提问、操作这些活动，帮助学生在建立新旧知识联系的动态过程中，获得三角形面积与已经学过的图形面积之间的各种丰富且典型的表象模型，其中包括两类，一类是将两个完全一样的三角形拼成平行四边形；另一类是将单个三角形通过等积变形的方法转化为平行四边形，这是获得本节课数学理解的基础，其次是对前述所建立起的各种丰富且典型的直观表象进行整理、重组，抽取其中的本质特征及规律，即通过观察发现任意两个完全一样的三角形都可以通过割补的办法转化为平行四边形，接着发现三角形面积与平行四边形面积之间存在着联系与区别，三角形底和高与平行四边形底和高之间的也联系存在着联系与区别，最后进行概括总结，从而帮助学生获得为什么底高2就是三角形面积？以及我们是通过怎样的活动获得的？这些程序性知识的数学理解，这是获得本节课数学理解的关键，同时，上述的两个方面主要解决的是学生在公式理解中“是什么”、“为什么”、“怎样做”的问题，所以从数学理解的横向角度来看，是属于对公式进行数学理解的建构阶段，所以这个过程应是建构性理解阶段，三是应用三角形面积模型回到现实的问题情景中来解释问题，在这个过程中，学生势必会调动刚才活动经验、应用转化的数学思想、提取自己的思维方式等对各种现实的问题进行解释，而学生就会在这个过程对这些内隐的、动态的过程性知识获得体验与积淀，从而完成对数学理解的提升，同时，从数学理解的横向角度来看这一阶段是学生不断完善对三角形面积公式内涵和外延的数学理解阶段，所以这个过程应是解释性理解阶段。从以上的过程中，我们可以发现，数学理解伴随着数学建模的始终，如图1： 数学建模的过程 解释性理解（认知提升、情感体验、经验积淀）数学模型抽象概括分析比较直观表象实际问题 建构性理解（是什么、为什么、怎样做） 数学理解的过程 （图1）二、教学实践、问题导向，激活经验师：前面的课上我们学过了哪些图形的面积计算。生1：长方形、正方形、平行四边形师：哪个图形的面积学习给你留下了深刻的印象？生2：平行四边形师：能具体讲讲吗？（投影出示：平行四边形）生3：我们在计算平行四边形面积的时候，是把它转化为长方形，但面积不变，所以给我留下了深刻的印象。师：把一个不知道图形的面积转化为我们已经学过的这个图形的面积来计算。这是个好方法。（板书：转化）师：今天，我们来学习三角形面积，我带来了四个图形（投影出示：平行四边形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形），大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的的办法求出三角形面积呢！（课前已把这四个图形放在一个信封里发给了每个学生）建构丰富且典型的直观表象，比较分析抽象出面积公式教师巡视，并参与一些小组活动，大约三分钟后，教师组织反馈交流师：哪个小组愿意把成果和大家分享？生1：我们小组是把平行四边形沿着对角线剪开得到两个一样的三角形，这样就可以知道一个三角形面积了。师：怎样知道这两个三角形一样呢？（该生把两个三角形重叠起来，学生们点头同意，教师让学生把图形贴在黑板上）师：这个办法不错，把平行四边形转化为两个一样的三角形，从而求出一个三角形的面积，其他小组呢？生2：我们小组是把这个三角形（锐角）这样折一下，然后剪下来拼在这边，就是平行四边形。（教师让学生把图形贴在黑板上如图2）师：随便怎么折吗？生2：不是，要这个顶点对着下面的底边。 师：那这两个图形之间的面积生2：是一样的。 师：把三角形转化为平行四边形，然后求平行四边形的面积就可以了，你们很会动脑筋。师：还有其他办法吗？生3：我们小组是这样想的，在这个直角三角形旁边虚构一个一样的直角三角形，这样就能拼成了一个长方形，也就能求出一个直角三角形的面积了。师：“虚构”这个词用的好，让我们都来试一试，看看用两个一样的直角三角形除了可以拼成一个长方形外，还可以拼成什么图形？（学生操作后，教师组织反馈）生4：我们还拼成了平行四边形。师：两个完全一样的直角三角形可以拼成平行四边形或长方形，这给我们一个很好的启发，两个钝角三角形呢？两个锐角三角形呢？请同学们再去尝试拼一拼，看看可以拼成什么图形。（学生活动后，教师组织反馈，并把学生用两个一样的直角、钝角与锐角三角形拼成的平行四边形贴在黑板上）师：现在，你能不能结合这组图形。（教师把黑板上用两个一样的三角形拼成平行四边形一组图形用虚线框起来如图3）说一说，只要知道什么条件就可以求出三角形的面积？ 生7：底和高就可以了师：谁的底和高生8：平行四边形的底和高（另一个学生在下面嚷到：三角形的也可以） 师：（教师故做惊讶状）你是怎样想的？ 生9：平行四边形的底就是三角形的底，高也是一样，所以都可以。师：你们听明白了吗？谁能再说说。生10：平行四边形是由两个一样的三角形拼成的嘛，平行四边形的底就是三角形的底，它的高也是三角形的高。师：你们的观察真仔细，那三角形的面积可以怎样算呢？生11：底乘以高除以2。（教师板书: 底高2）师：底乘以高算出的是什么图形的面积？（生齐说平行四边形）师：除以2呢？（生齐说三角形面积）师：如果用字母公式来表示的话，怎样写？（教师在学生不断的补充中完成板书：S=ah2）拓展与应用师：我们来看这幅图（教师指着把一个锐角三角形沿着中位线剪开后拼成的平行四边形的图形问），大家能不能利用刚才观察这组图形方法来看看这幅图中拼成的平行四边形与原三角形有什么关系？（学生陷入了思索中）师：可以同位之间讨论一下。（不一会有学生举手）生1：他们面积相等。生2：底是一样的，高不一样了。师：如果告诉你这个三角形的底是5厘米，高是4厘米，你能算出三角形的面积吗？请你写在练习本上。师：谁来说说你是怎样算的？生4：542=10平方厘米。师：可是我刚才看到有位同学是5（42）=10平方厘米，你能解释吗？生5：（学生上前指着图形说）它们的底是一样的，高是一半关系，这样就能算出平行四边形面积，也是三角形面积。师：这个我们一个启发，三角形面积公式还可以这样表示。（板书：接着刚才的三角形面积字母公式后写= a（h2）师：下面就让我们来链接生活，来解决一些实际问题。投影呈现：（1）、一条红领巾的底是100 厘米，高是33厘米，做这样一条红领巾应准备多大的布？（学生计算后，思考：100332是什么意思？）（2）、出示三个等底等高三角形，请学生计算面积！（有些学生不去计算就可以知道三个三角形面积一样，有些计算一个就感知到三个面积一样，而有些要计算三个后才发现其实只要三角形等底等高，它们的面积就一样，利用学生的差异生成学习资源，使得全体学生体验到三角形的面积与底高之间的关系。）师：在今天学习过程中给你留下深刻印象的是什么？生6：学了算三角形面积。生7：三角形的底和高一样的话面积一样。生8：三角形可以转化成长方形和平行四边形。师：（投影出示一个梯形）如果我想求这个梯形的面积你想怎样做？生9：可以把梯形转化为平行四边形。生10：可以把梯形转化为两个三角形。师：同学们很了不起，课后可以去尝试做一做。三、课后反思1、在数学建模过程中，问题导向，激活经验是构建以数学理解为中心的课堂教学的前提。任何的数学思考与理解都始于问题，好奇、向往、疑问是学生产生数学探求与理解需求的前提。问题首先应努力联系学生的经验，并且在表达上应当简单易懂，例如本节课开始时教师就从数学内部知识之间的联系入手，向学生提出了“哪个图形的面积学习给你留下了深刻的印象？”，这个问题带有很强的综合性，学生要调动已有的知识、方法、思维方式等经验加以解读，同时回答将再次唤醒学生脑海里对有关面积计算实现数学理解过程的回忆，而这是顺利开展接下来的数学活动，建构对三角形面积理解的重要基础，其次问题要具有一定探索性和研究性，要让学生经历一个实践、探索和研究的历程，例如教师的下一个问题“今天，我们来学习三角形面积，我带来了四个图形，大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的的办法求出三角形面积呢！”，这个问题无论从开放性而言，还是思路和方法多样性而言，都为接下来的操作和丰富且典型的直观表象的建立起到了明确的导向作用，从而为学生经历建模过程，达成数学理解奠定了坚实的前提。2、在数学建模过程中，操作活动、丰富且典型的直观表象模型建立是构建以数学理解为中心的课堂教学的基础。“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”(康德语)小学生的思维特点是形象思维占主导地位，三角形面积建模过程中的数学理解必须建立操作活动以及丰富且典型的直观表象模型基础之上，这样学生的数学理解才有意义的，才有利于记忆和迁移的。本节课中教师安排了两次操作活动，第一次的目标是运用转化的思想借助操作活动建立丰富的直观表象模型，为学生的数学理解提供“脚手架”，第二次是一位学生用两个完全一样的直角三角形拼出长方形后，教师再次组织全体学生用两个钝角三角形、两个锐角三角形看看能不能拼出除长方形以外的其他图形，目标是在前面丰富表象的基础上聚焦典型三角形面积理解的一般意义所在即任意两个完全一样的三角形都能拼出平行四边形，从而使得学生对三角形面积的数学理解更为本质。此外，操作活动不仅解决了学生有关是什么、为什么的问题，更重要的是折叠、剪拼等操作活动使学生体验、积累与感悟到，有关策略、方法、思想等这些隐含在学习材料和操作活动中的具有动态特性的过程性知识。由此可见，操作活动生成的不仅是丰富和典型的直观表象，并且在操作过程中学生积累了进行和开展数学活动的经验。这些无论是对接下来完成对三角形面积公式的建构性理解也好，还是以后开展类似的数学活动也罢，都将奠定下良好的数学理解的基础。3、在数学建模过程中，充分的思考、交流空间是构建以数学理解为中心的课堂教学的关键。“为学生提供充分思考、充分交流的机会”是课标提出的基本理念。首先，充分思考，关注资源的生成。课堂上教师提出“大家能不能小组合作利用这四个图形，通过折一折、拼一拼、剪一剪也就是转化的的办法求出三角形面积呢！”问题后，为学生留出了较为充裕的思考与实践的时间，学生多种操作思路和方法所得出的表象模型就是例证，得出各种结果后，教师尽可能全面地把握学生的多种情况，并努力搜集和捕捉学生中好的资源，并采用“原图形+转化后图形”（见图2）的展呈方式呈现各种资源，为接下来的交流以及分析比较、公式抽象提供了很好形象支撑；其次，充分交流，资源共享，有效互动，促进理解。当各种资源呈现之后，教师有必要组织学生进行交流，经过学生个体的独立思考、个人的经历和体验以及学生群体之间的讨论和思维碰撞而形成正确的认识。在交流和讨论的过程中，教师则关注捕捉信息、判断信息和处理信息，从而形成师生、生生之间的有效互动，这个过程将促进学生从建构性理解向解释性理解递进，从而达到“资源共享，有效互动，促进理解”之目的。4、在数学建模过程中，应用与拓展是对构建以数学理解为中心的课堂教学的提升。 对数学模型进行应用与拓展是对数学理解的提升。教师首先引导学生利用在两个完全一样的三角形拼成平行四边形中习得的观察方法，去观察等积变形直观模型中拼成的平行四边形与原三角形之间的关系，得出了三角形面积公式的变式，同时也加深了对三角形面积公式内涵的理解和把握，达到了对学生进行认知提升的目的，接着教师进一步联系生活中的实际问题：“做这样一条红领巾应准备多大的布？”，并通过追问“100332是什么意思？”，让学生应用模型解决实际问题，在这个过程中教师不仅检验学生对三角形面积公式获得的心理表征是机械的还是有意义，而且让学生体验了成功运用知识解决实际问题后所形成的心理愉悦，最后，教师通过计算梯形面积把学生的视野拓展开去，从学生的回答中我们可以清晰地感知到，学科一般思想（转化）方法、运用操作活动解决问题的经验乃至对待这样的数学问题所产生的思维方式都已在学生的脑中扎下根来，而这些知识与能力的获得对于未来的数学学习而言，将起到至关重要地作用。四、需要关注的问题 1、如何认识你的学生？应该说，在所有的新课程四大学习领域中，空间与图形是与学生日常生活最密切的。孩子从他出生那天起，就已经在感受和体验空间的知识，母亲从不同方位喊他，他就会相应转头，会走路时就在体会着前后左右，不小心摔倒嗑破了，就已经在体会：“噢！带角的东西比较容易伤人”等等，所有的这一切都是学生学习空间与图形的宝贵财富。所以，在很大程度上，学习空间与图形，我们所要做的，就是把学生平常习以为常在做的事情与数学概念建立相应的联系，并学会用所学的数学概念对生活现象进行提炼与区分。可见，在空间与图形的教学中，如何认识你的学生将直接决定你的教学的起点和成功与否。2、如何来看待教材与学生认知之间的距离？ 教材无论如何完美，其整齐划一的内容和样式编制，是无法满足地域差别和个性化教学需求的。其中，教材的知识逻辑和学生的认知特点之间的