（应用数学专业论文）回归函数基于分割估计及其改良估计的统计推断理论.pdf

回归函数基于分割估计及其改良估计的统计推断理论 摘要设( x 1 ，y 1 ) ，( x z ，y 2 ) ( x 。，y 。) 为从取值于r a r 1 的总体( x ，y ) 中 抽出的n 个样本，e i y i o o 。回归函数i t i ( x ) = e ( y 1 x = x ) ，x r “。如何由上 述n 个样本对m ( z ) 进行估计，一段时间成了概率、统计界研究的热点之一。现有 文献中，主要有两种方法：回归函数的核估计及最近邻估计，所有文献均在i i d 样本及某些相依样本( 如q 混合) 下，分别讨论了回归函数m ( z ) 的核估计，最近邻 估计，改良核估计，改良最近邻估计的大样本性质。 最近，美国学者p a u l a l g o e t 和l t i s z l 5 g y o r f i ( 1 9 9 9 ) 提出了回归函数m ( z ) 基 于分割的估计m 。( z ) ；而后，我国著名统计学家赵林城教授( 2 0 0 2 ) x 于m 。( z ) 进行 改良，并证明了在i i d 样本下，改良基于分割估计的强相合性。经研究我们发 现回归函数基于分割估计及其改良估计的其它大样本性质，国内外均无文献涉 及。如渐近正态性；截尾数据时估计量的强相合性；相依样本下估计量的强相合性 等等，而这些性质在非参数回归估计理论中均占有重要地位。因此本论文研究了 回归函数基于分割估计及改良基于分割估计的大样本性质，利用鞅的有关理论， 在比较自然的条件下，证明了其渐近正态性；首次构造了截尾样本的回归函数基 于分割估计及改良基于分割估计，并证明其强相合性；同时把有关结果推广到相 依样本下( 如中混合) ，获得了改良基于分割估计的强相合性及收敛速度。 关键词回归函数，基于分割估计，改良基于分割估计，截尾样本，币混合，渐 近正态性，强相合性，收敛速度。 s t a t i s t i c a li n f e r e n c et h e o r yo fp a r t i t i o n i n g e s t i m a t i o na n di t sm o d i f i e de s t i m a t i o nf o r n o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o n f u n c t i o n a b s t r a c t l e t ( x 1 ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( x 。，y 。) b er a n d o mv e c t o r st a k i n gv a l u e si nr d r 1 w i t he iy i 灸弛i 1 导师签名 砂学红 签字日期：叫：年r 月) 1 日签字同期：纱绛厂码歹日 学位沦文作者毕业后去向 一作单位： 通讯地址： 电话 邮编 致谢 时间过得飞快，猛然间，意识到自己似乎缺少了什么，于是尽管自己年龄偏 大，尽管别人不很理解，我还是踏上了继续学习的征程! 首先，感谢导师杜雪樵教授! 正是他的鼓励、支持，使我能鼓足勇气，报名参 加硕士生入学考试。并被录取；在研究生学习期间，学业上，导师对我严格要求，并 制定了详细的培养计划，为两年完成学业打下了良好的基础；工作上，导师同样给 予耐心细致的教诲和热心的指导；除此之外，在我们的e t 常交流中，教会了我许多 做人的真谛，使自己在为人和做学问两方面都得到了很大的提高! 在论文的开 题、研究、撰写过程中。自始至终得到导师的多次指点、帮助，倾注了导师的大量心 血。导师严谨的治学态度，为人师表，诲人不倦的高尚师德，甚称吾辈学习的楷 模，必将使我受益终生! 其次，感谢朱功勤教授、苏化明教授、周永务教授、檀结庆教授、黄有度教授 等，在我研究生学习期间对我的悉心关照和热情指导；对胡舒合教授多年来对我 的一惯支持、鼓励、帮助表示最真诚的谢意! 同时对惠军老师，杨志林老师在学业 上给予的关心、帮助表示诚挚的感谢! 最后。感谢我的夫人多年来的鼎力相助，使我能全身心投入到学习工作中去， 为按时完成学业提供了必要的保证! 一句话。向所有给予我关心、帮助并理解我的同事表示深深的谢意! 第一章综述 1 1引言 设( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( x 。，y d 为从取值于r 4 r 1 的总体( x ，y ) 中抽 出的n 个样本，elyi 。回归函数m ( 。) = e ( y x = z ) ，z r a o 如何由 上述n 个样本对m ( z ) 进行估计，一段时间成了概率、统计界研究的热点之一，称 之为非参数回归函数估计问题。n a d a r a y a w a s t o n 1 ，2 首次建议用核估计 c 小耋距( 宁) 偿k 1i ( 辛) f ， + j 2 1 此处，k ( z ) 是r 。上可测函数，称之核函数，h 为窗宽，0 h = h 。一0 ，此估计的 点收敛及一致收敛，l p 收敛早期已被众多学者研究过，见 3 5 。我国统计学 家成平教授 6 对回归函数的上述核估计作了改良，其优点在于对y 的矩不作其 它要求，因此提出了回归函数的改良核估计 m l n ( z ，= 耋wc 一_ ) ( m ，k ( 警) 耋k ( 警) 其中0 b 。一o o ，( n 0 0 ) ，并证明了其强相合性且给出其收敛速度；而后，著名 统计学家胡舒合教授 7 对上述文献中的结果作了进一步的推广，在相依样本下， 获得了改良核估计m 。( z ) 的强、弱相合性、完全相合性、积分平均相合性。但在某 些实际问题中，h 受到一个与( x f ，y i ) 独立的随机变量t 的干扰，且 t i ，i 1 独立，有共同的已知分布g ，这样，我们观察到的不是诸y f 本身，而是z i = m i ”( k ，足) 及筑= j ( e t i ) ，( i = 1 ，1 ) ，为此，郑程康教授 8 】首次提出利 用k 类函数来构造m ( z ) 基于截尾数据的核估计。设 k = 赴尹i ( z f ) + ( 1 一最) 尹2 ( z ：) ， i = 1 ，2 ( 1 1 ) 其中p l ，尹2 连续，与( x ，y ) 分布无关，满足对任意y 成立 ( 1 一g ( y ) ) p 1 ( y ) + i 。妒2 ( f ) g ( d t ) = y ， ( 1 2 ) 从而基于( x i ，。) ，i = 1 ，2 ，n ，构造m ( z ) 的核估计及改良核估计 c 小耋h 。k ( 学) 僵k ( 半) m 2 n ( 小妻i = 1 州( 旧l k ( 警) 砉k ( 警) ， 其中0 k o 。( ”一c o ) ，文献 9 在一定条件下。证明了m 2 。( z ) ，m 2 。( z ) 的 强相合性。 回归函数另一种估计方法为最近邻估计 1 0 ，基于样本( x f ，y ) ( i = l n ) ，对固定z r 。，将( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( x 。，l ) 按照 i i 繇。一xi l i ix r ：一zi i i ix r 。一z l i 的次序重新排列，约定当1 1 墨一zl l = i 墨一zn 而i j 时，1 1x t z1 1 在上 式中排在i ix i zi i 之前。模i i i i 可取通常的欧氏模。设 u i ，i n 为一给 定权，u ；0 砜卜1 ，令 w 虚( z ) = v n i i = 1 n 定义 m 3 。( z ) = w n ；( z ) y i 为。( 。) 的最近邻估计。文献 1 1 对此作出了改良，提出了改良最近邻估计 蒜( z ) - w 耐( z ) w ( 1 y i l 6 。) 其中0 6 。一。( n o o ) 。并证明了其强相合性。文献1 1 2 对上述改良估计 m l n ( 。) ，磊( z ) 作出了推广，在相依样本下，获得了改良估计的强相合性及收敛 速度。 最近文献 1 3 首次提出回归函数基于分割的估计。对n 1 ，记硝矛 a 。1 ， a 小 为r 。中一列有限或可数个b d m z 子集构成的一个分割，对z r 4 ， a 。( z ) 表示包含点z 的分割西的原子，即 a 。( z ) = a “如z a n i 由样本( x 1 ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( e ，l ) ，基于分割西的回归函数m ( 。) 的估计定 义为 f ：) ( 墨) y i m 。( z ) = 生 _ 二一 ( 1 3 ) i a 如) ( x i ) 其中x a ( z ) 为集a 的示性函数，记“百0 ，为o ；文献f 1 4 3 利用截尾的方法构造改良 基于分割的估计 i a 。) y j ( 1 y i i 0 ，使ei yi2 + 。 c o ；又分割瓯单调增，且 满足：对每一个以原点的心的球s ，( 1 5 ) 式成立，则当 m ，。一o 。0 1 。使e iy 。7 c o ；分割瓯单调 增，且满足：对每一个以原点的心的球s ，( 1 5 ) 式成立，则当 m 妻= 六七。n 2 口e f ( 1 1 。) 时，有： m 。( x ) + m ( x 】 n s ( ”一o o ) 。 ( 1 1 1 ) 定理4设( x 1 ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( x 。，l ) 为从取值于r 。r 1 的总体( x ， y ) 抽取的一列i i d 样本，ei y i o o ；分割鹂单调增，且满足：对每一个以 原点的心的球s ，( 1 5 ) 式成立，则当 鳃两 o ；n 2 = o 。n 。“f ( 1 1 2 ) 时，有： m 。+ ( x ) + m ( x ) 口s( ”，c o ) 。 ( 1 1 3 ) 本文第四章，我们研究了当( x l ，y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ，( x 。，l ) 为同分布的9 混 合样本下，估计量m 。( 。) 的强相合性及收敛速度。结果如下： 定理5 设( x 1 。y 1 ) ，( x 2 ，y 2 ) ( x 。，y 。) 为从取值于r 4xr 1 的总体( x ， d y ) 抽取的一列p 混合样本，( 薯，y i ) = ( x ，y ) i = 1 ，2 ，；ejyf 。；分 割西单调增，且满足：对每一个以原点的心的球s ，( 1 5 ) 式成立，又混合速度 p ( ) 及= v n ( z ) 满足 ( 1 ) 中( m ) o o甲( m ) + 0 则 4 诧廿“ b n z o g n 口p 【f ( 1 1 4 ) ；i ( z ) 三二竹( z ) 口。z s ( f ) 。 另外，在一定条件下，我们获得了此强相合的收敛速度为： z ( z ) 一。( 。) ：l o ( 。) 。s ( f ) ( 0 q 1 ) 。 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 第二章回归函数基于分割估计及其改良估计的渐近正态性 2 1 引言及若干引理 设( x l ，y 1 ) ，( x 。，y 。) 为从取值于r 。xr 1 的总体( x ，y ) 中抽取的一列i i 。矗样本，e l y l o o 。回归函数m ( z ) = e ( y l x = z ) ，。r d o 对n 1 ，记 矛 a a 。， 为r 4 中一列有限个或可数个b 0 ”z 子集构成的一个分割。对x r 。，a 。( z ) 表示包含点z 的分割硝的原子，即若z a 。a 。( z ) = a m 文献 1 3 中给出了m ( x 】基于分割崩的估计： h 。( 。) ( x i ) y i m 。( z ) = 点 一 ( 2 1 ) i a 。( 。) ( 墨) 其中h ( z ) 为集a 的示性函数，为方便起见记“百0 ，7 为o 。 最近文献 1 4 定义了回归函数m ( z ) 改良基于分割估计： z 。，：圣竺垡兰! ! ! ! 兰! 兰! ：!。2 埘 i n 。( 。) ( x 1 ) 其中o 0 ，则有 h = m ( x f ) + v 引x f ) e ，( i = 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 ) 显然，e ( s 。i x 。) = 0 ，n s ，e ( e ；2 l 墨) = 1( 。- s ) 事实上，令羔；掣垒；， y 2 ( x i ) 则e ( 叫墨) ：丛肄鼍鼬：o 。 v ：( x i ) e ( e 1 2 ：址拶= 澍= - 引理1设上述分割a 。是单调增，满足：对每一个以原点为中心的球s ，有 ，a s n u 冬。d 缸ma “一o 一。( 2 4 ) n f l g ( z ) f d f ( z ) o 。，贝o l i r a 。x ) - g ( t ) i 最= 。 f ( 2 5 ) 或 。l i m 。，g ( ：) 耥2 g ( z ) n e f ( 2 6 ) 当f 9 2 ( z ) f ( 如) 0 ，使e l y l2 + 6 0 ，z r 。 证明：由( 2 1 ) 、( 2 3 ) 式，我们有： ( m ( x i ) 一m ( z ) m 。( j ( x e 7 j 。、 。 一一 “ i 瓦( ，n 。( z ) 一m ( z ) j = i 瓦三= l _ _ 二+ j a 。( 。) ( x ) v ( x 1 ) i a ( x ) ( 墨) e ；j 一 厶瓦d - 一垒b 。+ r 。( 2 1 4 ) i a ( 。) ( x i ) h z s , , 一a 。1 。蚤 l 知) ( x i ) ，全7 杀v ( 甄) i 小) ( 磁) 由e iy p 。 。及条件期望的j e n s e n 不等式，我们有 e ( v l + ( x 1 ) l 。， 2 + 8 ) ：e iy 一。( x ) 1 2 + 8 。， 及 e v ( x ) = e ( e ( y m ( x j ) 2 f x ) = e fy m ( x ) i 2 o o 故由引理1 的( 2 6 ) 式，有 璐2 辛( 删h 扣删) 2 静n 。p r ，矗 o 。， 此处f ( a 。( z ) ) 垒p 。又对于每个自然数。及 ( 2 1 5 ) 1 ，2 ，记罗冬 口( x l ，y 1 托，磙) 垒既其中a ( x l ，y r - 墨，k ) 表示由x l ，y i 溉，妖产生的 。域，故莎仁莎趣“矿。且由样本独立性的假设，知( 缸，噩) 与 ( x 1 ，y 】毪一】h 一1 ) 独立且 e f j 冤一1 ) = e ( k k j 玩一。) = e k k ：e ( e ( k k i x k ) ) = 了b v ( 琢讥。( 。) ( 噩) e k ) ：o。，( 2 1 6 ) 行口” 蚤e ( r 幺川弘i e ) l 巩一- ) 5 善e l2 + 6 l 气一- ) = 当n e j k ，j 2 + 8 t o iok le 2 1 丽1 ”e ( v 1 + g ( x - ) k ( 。) ( x - ) e ( 1 f 2 + 8 x t ) 因 等- h 。) 黼r a 、z ， e c v l + ( x 。) e ( 1 ；，i2 + 8 l x 。) ：e ( y - + ! ( x 。) ir 。i ：+ 。) 0 ，使e ly 1 2 坩 0 ，由c r 不等式，我们有： e i 矾p c 赢 砜小删i m 墨p + e i a 。( 。) ( x t ) i m ( x r ) 12 + o ( i y , i 6 。) + j m ( z ) i 中。 = c 南 。上，i 一洲i 印) + fi m ( 州2 + 喳( i ( i y , i 6 。) f ( 出】+ i n ( z ) 1 2 + 印。 i z = c 意 。p p 8 耥 + 。，i ”u ( z ) 2 + ? e ( j ( i1 二i 6 一) i t ) 耥+ i n ( 。r ) 1 2 + 。 ( 2 3 。) 由定理条件知，e i m ( x ) l2 + 8 0 ，使b 。 b 同理，再由引理1 有 l i r a s “p i 加) l2 + 嚏( i k l ) 耥 一。 上z ) “ l i r a l i r af 胪蚍i y i l 6 i c ) 耥 6 一。 土z ) 。、。1 ” ：“。l m ( z ) l 鬯( i ly i l b i z ) = 0 ( 2 3 1 ) 故当。一。( 一。o ) 时，由引理2 ，( 2 3 0 ) 、( 2 3 1 ) 有ej 矾1 2 ”一o ( ”一 o 。) ，从而( 2 2 9 ) 式成立。最后由( 2 2 9 ) 、( 2 2 2 ) 知 ( i ) 一o ( n o 。) ， ( 2 3 2 ) 再记 孙垒了1 y ( 墨) 厶。( 。( 墨q f ( 1 k i 6 。) 一e y ( 鼍) k ( 。) ( 噩j ( 1 k j 6 。) ， 则 e ( l 嚣一1 ) = e ( 。k l 巩一1 ) = e = 0 ， a s ( 2 3 3 ) 从而 i 为一鞅差序列，且 e k 主_ e y ( x 1 ) “( ；) ( x - ) s i f ( i g l i 6 n ) y0 批 1 ee d 2 + y rjj a r 2 柚 e 。 = 麦c e ( v ( x t ) k 。( x ) ( x - ) e t 2 i ( 1 y f b n ) ) 一( e v l ( x t ) 1 。) ( x 。( i y ，i b o ) ) 2 2 掣a b ，v ( t ) e ( e - 2 i ( i y t l b n ) t ) f ( d t ) 一( v ( t ) e i y t f b 。) ( d t ) ) 一( v e ( 1 i ( j y - 1 b 。) f t ) f ( d t ) ) 2 垒e 1 。一e 2 。一e 3 。， 由引理1 ，引理2 ，v ( 。) 可积性，及e ( e 1 2j t ) = ln s ，知 一l i r a = l i r ap - - 4 护，苁= 帮 再由e t2 础及e i y - l 2 + 8 ，? e 2 。c e v n 占b n ( 占 o ) ， 从而 l i m e 2 。= 0 ， 2 去( 。脚( y i 删) 2 c 去旁一 ( 2 3 9 ) ( 2 ，4 0 ) ( 2 4 1 ) 中 出f “ yey 如 一出旧 知 f s ，卜 o e矗 仉上牡上 i j e h 用 e 利 从而 l i r a e 3 。= 0 ， ( 2 4 2 ) 最后由( 2 3 9 ) ( 2 4 2 ) 知 客毗) 二鬻鲥( n 一毗 ( 2 4 3 ) 再取扎= n ，由引理3 得 g “二n ( 0 ，一 ) ( n o o ) ， ( 2 4 4 ) 从而由( 2 。2 2 ) 知， ( i i ) o n ( 0 ，一2 )( n o 。) ， 一2 一a z ( x ) v ( z ) 。 ( 2 4 5 ) 又记t 。垒了l 竹e ( h 。( ：) ( x - ) v l ( x t ) e 。j ( iy - l 6 。) ) ，则 。击i 。l v l ( t i e ( c l 川y ，i 训加) i 兰iy j ( ) i e ( e 。川y ，l b 。) i ) l f ( d t ) 4 n v a 1 。) c 舞责卺。 因此。由定理条件及引理2 知 l 一0 ( n c o ) ， ( 2 4 6 ) 由此及( 2 2 2 ) 式知， ( ) 一o( n 一一) 。 ( 2 4 7 ) 故结论成立。证毕。 1 6 第三章截尾数据时回归函数基于分割估计的相合性 3 1 引言及若干引理 设( x ，y ) ，( x 1 ，y 1 ) - ( 矗，y 。) 为取值于r 。r 1 上i i d 样本，e1 y i ( i i ) li g ( z ) j f ( 出) 0 。有： 榭骞c 墨一踊，j e ) 2 唧 - 煮鸶 c s 。， 证明：见 1 7 下文中。要多次用到引理1 、引理2 ，且对某个随机变量z ( eizi 6 ) l x = z ) = 08 e l f ( 3 1 0 ) 且使( 3 6 ) 、( 3 7 ) 、( 3 8 ) 、( 3 1 0 ) 不成立的例外集之并仍为f 零集。故不妨设此并 集为空集。 1 8 3 2 主要结论及证明 取定。s ( f ) ，下面我们给出本文的主要结论及证明： 定理1设引理1 的条件( i ) 满足，且了2 r 1 ，使：e 则当 耋嘉。正1 1 f ( z ) 口。， ( 3 2 0 ) 利用m 口痛。不等式( 如 1 8 中p 2 3 1 ) ，c ，不等式及( 1 9 ) 式，对v o ，有 刖s 。) 一飚) i e ) = p 砉( 烈z ) 一e z 批) 1 【一”e l z 翥( z ) 一e z 纛( z ) i e n 镄e i z z e 出) 六寿 c ( z 万1 再1 “d 万1 去 ( 倒数第- - - r 不等式用到( 3 2 0 ) 式，倒数第一个不等式用到1 r 2 及。一 o ( n 0 0 ) ) 故由( 3 1 1 ) 式及b o r e l c a n t e l l i 引理知： s 。( z ) 一e s 。( z ) 一0 d s( n o o ) 。( 3 2 1 ) 由( 3 1 7 ) 、( 3 2 1 ) 式知( 3 1 4 ) 式成立。 再利用m a r k o v 不等式，c ，不等式及1 e n s e n 不等式，当1 1 ) 不存在时，可考虑下面的改良基于分割的估计： j a 。( ：) ( 恐) k 川y f + l k ) m 。( x ) = 2 l 了一 ( 3 2 3 ) h 。( ； ( 墨) 其中0 6 ) i x = z ， 注意到 ( x i ，y i 。) ，i 1 仍为i i d 及e ( y l + ix 1 ) = e ( y l i x 1 ) ，完 全类似于 2 0 】中( 1 7 ) 的证明，知： e s 。( z ) 一0( 2 一o o ) ，( 3 2 8 ) 再记 瓢，：丝型等警蜊，则 i ( z ) 一e 矛( z ) = 上7 l i 受；l ( 云( z ) 一e 云( z ) ) ， 由b 。一0 0 ( n 0 0 ) ，利用引理3 及( 3 2 4 ) 式，有： p ( i 矛( z ) 一e 矛( z ) i e ) = p ( i 1l 塞( 云( z ) 一e ( z ) ) i e ) 2 e x p ( 训z ，鲁) c ( z ) 1 ， 故由b 0 删一c a n 抬l l i 引理知 一 ，1 。一，一 s 。( z ) 一e s 。( x ) 一0 a s ( ”一o o ) ，( 3 2 9 ) 由( 3 2 9 ) 、( 3 2 8 ) 知( 3 2 6 ) 成立。 再由引理3 及b 。一o o ( n o o ) ，同理可证： p ( il ( z ) 一1 i e ) = p ( 丢i 奎i = 1 ( “卜，( 墨) 一砜小) ( 墨) ) l e p 。) z 唧z 晤) c ( z ) 孝。 ( 3 3 0 ) 从而，由b o r e l c a n t e l l i 引理，知( 3 2 7 ) 式成立。 最后，由f u b i n i 定理，知( 3 2 5 ) 式成立。 第四章相依样本下非参数回归函数改良基于分割估计的 强相合性及收敛速度 4 1 引言及若干引理 设( x ，y ) ，( x 1 。y 1 ) ，( x 。，l ) 为取值于r 4 r 1 上同分布的9 混合随机 向量序列，elyi 0 表示一个常数，c ( z ) 0 表 示仅与z 有关的常数，这些常数每次出现，即使同一个式中，也可能不同值。 引理1 假设( i ) 分割可矛 a 。i 1 单调不减且满足：对每一个以原点为 中心的球s ，有： 。：x 套缸m a n l o ( n 一。0 ) ( 4 3 ( i i ) i l g ( z ) 1f ( d x ) o 。，贝4 鳃a 小，i 出) _ g l 篇_ 0 f ( 4 4 ) 或列a _ ：黹羝：g ( z ) f ( 4 - 5 ) 证明：见 1 4 中引理1 。 引理2 记= ( z ) 为集a 。( z ) 的体积，且引理1 的( i ) 满足，则， 一 个非负有限函数z ( z ) ，使 而景两一酝) ( n 一一)。e f ( 4 6 ) 证明：见 1 4 及其所引参考文献。 引理3 假设 袅，1 为妒混合序列，且： e 袅= 0 ，i 袅i m e ) c 。e 一例一圻1 c 。 其中c 。，c 是与n ，e 无关的绝对正常数。 证明：见 1 2 。 下文中多次用到引理l 、引理2 ，且对某些r 世，( eizi 6 ) | x = 3 7 ) = 0 ， n d f ( 4 - 8 ) 6 一 4 2 改良基于分割估计的强相合性 d 定理1 ( x i ，y f ) f 为9 混合，( x i ，k ) = ( x ，y ) ，设ei yl 6 ) i x = z 。 不妨设 蚤- ( z ) ( 墨) 0 ， 从而 “小础) = 渊， ( 4 1 1 ) 其中 往证： s 小，= 客揣， t 勘，= 骞撬器， 乙t ( z ) = 厶，( 。) ( x z ) ( y j ( ih i 6 。) 一m ( z ) ) 。 a j s 。( z ) 一o ( 托一) 。a e f 】( 4 1 2 ) 2 7 l ( z ) 一a b s 1 ( ”一。) ，口p f 。( 4 1 3 ) 利用同分布性知 砜c 小地为掣， 而 z ”l ( z ) = i a 。( 。) ( x 1 ) ( y l j ( i y if 6 。) 一m ( z ) ) 2h 。( ；) ( x 1 ) ( y 1 m ( z ) 一y i i ( i y 1i 6 。) ) ， 故 慨c 蚓f 出d 畔浆铲剑f + f 出锩等掣 = 1 1 。( z ) + 1 2 。( z ) ( 4 1 4 ) 从而由引理1 知 几( 扯f a - ( 礼) - 砒) ) 篇f a 如，出) 硝一。( ，z 一一) f ， 目p 1 1 。( z ) 一0 ( ”一o o ) ，n 口 f 。 f 4 1 5 ) 又 1 2 n ( z ) a 小，i m m ) | 带：尚， 一 取定b 0 ，利用6 。一。( n 一。) 及引理1 的( 4 5 ) 式，类似于 1 2 0 ( 3 8 ) 式 的证明。有 ：l i r a s u p f ”。，in m ) | 篇尚= 。 f 。 从而f 2 。( z ) 一0 ( n o 。) ，n e f 。 ( 4 1 6 ) 故 e s 。( _ z ) 一0 ( 一。) n d f 。 f 4 1 7 ) 又 5 心) _ e s 拈) = 妻i = 1 毪器， 记 毫= z 耐( 1 7 ) 一e z ( z ) 显然 邑，i 1 为同分布的妒混合变量，且 e = 0 ，l 矗l b 。+ 1 ，竹( z ) l ， 利用引理3 ，ve 0 ，当n 充分大时，有： 川s 山) 一瓯( z ) i e ) = p ( 1 丢宴i = 1 岛i c f ( “z ) ) 0 ，使p 。c ( z ) 口。 口e i f ，又 由lm ( z ) i e ) c 1 1 口。 f ， 故，由b c 引理有 s 。( z ) 一e s 。( z ) - - 0 ( n 一* ) ，n e f 。 ( 4 1 9 ) 结合( 4 1 9 ) 、( 4 1 7 ) 知( 4 1 2 ) 式成立。 再证( 4 1 3 ) 式成立。记 r i = i a 。( 。) ( 五) _ e i m 。( ，) ( 墨) ， 则 弘i 1 也为妒混合变量，e q 。= 0 ，l 啦i 2 ，n s ，故由引理3 ，当n 充分大时， p ( f l ( z ) 一1 l e ) = p 壹i = l 琅i 印。) e ) c 1 ， d e f ( 4 2 1 ) 再由b c 引理知( 4 1 3 ) 式成立。从而由( 4 1 1 ) 、( 4 1 2 ) 、( 4 1 3 ) 知( 4 1 0 ) 成立。 4 3 改良基于分割估计的收敛速度 为讨论收敛速度，我们给出m ( z ) 满足的一个条件：设j d ( z ) 0 及0 0 ，当口。= 口。( z ) 1 ，el y ir e ) q 刊枷c 1 3 0 ( 4 2 6 ) 故 o n - q 巩一1 ( s 。( z ) 一e s 。( z ) ) = o ( n o o ) ，n - p f 。 ( 4 2 7 ) 由( 4 2 7 ) 、( 4 2 5 ) 、( 4 1 3 ) 、( 4 1 1 ) 知( 4 2 4 ) 成立，从而知( 4 2 3 ) 式成立。 第五章总结及展望 研究非参数回归函数估计方法并讨论其大样本性质，一直是统计界非常有趣 的课题。尽管本论文研究了非参数回归函数的基于分割估计及其改良估计的部分 大样本性质，但仍有许多问题值得研究，如非参数回归函数基于分割估计及其改 良估计的渐近正态性，此收敛速度如何? 在相依样本下，非参数回归函数基于分 割估计及其改良基于分割估计的渐近正态性及收敛速度如何? 能否获得在截尾 样本下回归函数基于分割估计的渐近正态性及收敛速度；对q 混合过程下，本文 获得了改良基于分割估计的强相合性及收敛速度，那么其它相依样本，如a 混合 过程是否也有类似的结论；更加有意义的是，能否获得回归函数基于分割估计及 其改良估计相合性的充要条件等。我们有理由相信，随着更加符合实际背景模型 的不断出现，非参数回归函数的统计推断理论必将得到进一步的深入发展，也必 将成为概率统计界研究的重点方向之一。 参考文献 1 n a d a r a y a ，e a ，o ne s t i m a t i n gr e g r e s s i o n ，t h e o r yp r o b a b i l i t ya p p l 9 ( 1 9 6 4 ) ， 1 4 l 一1 4 2 2 w a t s o n ，g s s m o o l lr e g r e s s i o na n a l y s i s ，s a n k h y a ，s e r i e sa 2 6 ( 1 9 6 4 ) ，3 5 9 3 7 2 3 n o d a 。k ，e s t i m a t i o no fr e g r e s s i o nf u n c t i o nb yt h ep a r z e nk e r n e i t y p ee s t i m a t o r s 。a n n i n s t s t a t i s t m a t h ，2 8 ( 1 9 7 6 ) ，2 2 1 2 3 4 4 s c h u s t e r ，e f ，j o i n ta s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fe s t i m a t e dr e g r e s s i o nf u n c t i o na ta f i n i t en u m b e ro fd i s t i n c tp o i n t 。a n n m a t h s t a t i s t 4 2 ( 1 9 7 2 ) 8 4 8 8 5 d e v e o y e ，l pa n dw a g n e r ，t j ，d i s t r i b u t i o n f r e ec o n s i s t e n c y r e s u l s i o nn o n p a r a m e t r i cd i s c r i m i n a t i o n a n dr e g r e s s i o nf u n c t i o ne s t i m a t i o n ，a n n s t a t i s t 8 ( 1 9 8 0 ) ，2 3 1 2 3 9 6 成平回归函数改良核估计的强相合性及收敛速度，系统科学与数学，3 ( 4 ) ， ( 1 9 8 3 ) ，3 0 4 3