泛函分析心得体会.doc

西南大学研究生课程论文考试科目 泛 函 分 析 论文题 目 学习泛函分析心得体会及应用 院 、所、中心 电子信息工程学院 专业或专业领域 信号与信息处理 研究方向 级 别 2013级 学 年 20132014 学 期 第一学期 姓 名 杨世菊 学 号 112013333002098 类 别 （ 全日制博士 全日制硕士 教育硕士 高师硕士工程硕士 农推硕士 兽医硕士 进修)2013年12月6日西南大学研究生院制课 程 类 别课程考试方式 题号得分教 师 评 价一二三四五六七八九十总分任课教师签名：备注：成绩评定以百分制或等级制评分，每份试卷均应标明课程类别（必修课选修课同等学力补修课）与考核方式（闭卷笔试口试开卷笔试课程论文）。课程论文应给出评语。学习泛函分析心得体会及应用通过对泛函分析这门课的学习，让我了解到泛函分析在各个方向的应用，它作为各个学科的一种数学工具，是现代数学中一个较新的重要分支。经过这么长时间的学习，我的收获还是很多的，虽然对于泛函分析知之甚少，但还是感触颇深，尤其是在讨论班上的脉冲控制理论的学习中，有不少地方还是会用到泛函分析，在脉冲控制中，赋范空间的用处是相当大的。就觉得泛函分析很多理论及定义作为一种重要的数学工具来用，还是很方便的。下面就对泛函分析的学习做一些简单的分析与综合。泛函分析起源于经典数学和物理中的一些变分问题和边值问题，并且通过对他们的学习。让我能够综合运用分析代数和几何的观点及方法对数学，物理等一些学科的问题有了更缜密，更具有逻辑的分析与解决。但是由于泛函分析的概念比较抽象而且比较难懂，涉及的知识也比较广泛和深刻，学起来比较困难，并且越看是简单的，平时都作为正确的理论和结论，让证明的时候，还不知道怎么去证明。越是抽象的越具有普遍性的问题，分析起来就感觉要稍微困难些。但我觉得遇到困难还是要有信心，必须静下心来慢慢的去分析，学习泛函分析不仅培养了我独立思考的能力，还更加锻炼了我的思维。由于自己本身没有学到多少这方面的知识，老师让我们做几道题或者写心得体会作为期末成绩的时候，我还是选择都做，尤其是做题，让我更加体会了泛函分析中的证明是如此的严谨，每一步都不能马虎，必须清清楚楚的知道每一步都是在做什么，这样才是学习数学的经典之处。所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。而作为工科学生，以前不是学数学的，也没有接触过泛函分析的相关课程，所以学这门课还是很吃力的。泛函分析虽然是选修课，但是只要学习到它的思想，学习数学的思维方式，就已经很满足了。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。 一、泛函分析的起源 英国数学家Newton于1666年开始研究微积分，并于1687年出版了名著自然哲学的数学原理。德国数学家Leibniz独立地于1674年开始研究微积分，并于1682年和1692年在Acta Eruditorum上发表了两篇标志性论文（这个杂志由Leibniz于1682年创刊，1782年停刊）。上述成果标志着微积分的正式诞生。在微积分的早期应用中，涉及到两类全新的问题：变分问题和积分方程求解问题。对这两类问题的系统研究最终催生了泛函分析这门全新的数学分支。十九世纪后，数学发展进入两人一个崭新阶段，由于对欧几里德第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。 非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。 研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。二、泛函分析的特点和内容 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。 正如研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。 半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。三、泛函分析在实际中的应用所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑结构和代数结构）的抽象集。某元（或点）可以是数，向量，函数等。根据不同拓扑结构和代数结构，泛函空间可以分为各个类别。力学和工程中常见的有：（1）度量空间。对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。从而，度量空间是一种特殊的拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（2）线性拓扑空间(拓扑向量空间，同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑就是在抽象集中规定某些开集)，有了拓扑后，即能引入极限，连续，紧致和收敛等初等分析的重要概念。（3）线性赋范空间。每个元是普通向量长度的推广。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。（4）Banach空间。它是完备的线性赋范空间，完备使该空间具有十分良好的性质，例如图像定理，逆算子定理等。（5）内积空间。内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富，内积把普通的几何术语带到了抽象空间中。例如：长度，两向量交角，直交性等。（6）Hilbert空间。它是完备的内积空间。泛函分析的各种强大的空间，使得泛函分析在力学，工学