概率论与数理统计课后习题详解_宗旭平版.pdf

第 1 页 共 28 页 概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计 第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布课后习题详解随机变量及其分布课后习题详解随机变量及其分布课后习题详解随机变量及其分布课后习题详解 习题习题习题习题 2-12-12-12-1（p27p27p27p27） 1.1.什么是随机变量？随机变量与普通变量有什么区别？什么是随机变量？随机变量与普通变量有什么区别？ 设为某一随机试验的样本空间，如果对于每一个样本点 ，有一个实数 x()与之对应，这样就定义了一个上的实 值函数 x=x()，称之为随机变量。 随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验 的结果确定时，随机变量的值也确定下来。因此，如不与某次试 验联系，就不能确定随机变量的值。所谓随机变量，实际上是用 变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)和实数之间 的一个对应关系，不过在函数概念中，函数 f(x)的自变量是实数 x，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样 本点)。随机变量的取值随试验结果而定。 2.2.一箱产品共一箱产品共 1010 件件, ,其中其中 9 9 件正品件正品 1 1 件次品件次品，一件一件无放回的一件一件无放回的 抽取抽取，直到取到次品为止直到取到次品为止，设取得次品时已取出的正品件数设取得次品时已取出的正品件数为为 x x，试用，试用 x x 的值表示下列事件。的值表示下列事件。 （1 1）第一次就取得次品；）第一次就取得次品； （2 2）最后一次才取得次品；）最后一次才取得次品； （3 3）前五次都未取得次品；）前五次都未取得次品； 第 2 页 共 28 页 （4 4）最迟在第三次取得次品。）最迟在第三次取得次品。 解： （1）第一次取得次品，即：取出 0 件正品，可表示为x=0 （2）最后一次取得正品就是已取出 9 件正品，即x=9 （3） 前五次都未取得次品， 就是至少已取出 5 件正品， 即x5 （4） 最迟在第三次取得次品， 就是最多取得两件正品， 即x2 习题习题习题习题 2-22-22-22-2（p31p31p31p31） 3.3.袋中装有袋中装有 5 5 只乒乓球只乒乓球，编号为编号为 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5，从中任取从中任取 3 3 只只， ， 以以 x x 表示取出的表示取出的 3 3 只球中的最大号码只球中的最大号码， 求随机变量求随机变量 x x 的概率分布的概率分布。 解：p(x=1) =0 p(x=2) =0 p(x=3) = 3 5 1 c =0.1 p(x=4) = 3 5 2 3 1 1 c cc =0.3 p(x=5) = 3 5 2 4 1 1 c cc =0.6 随机变量 x 的概率分布为： 6.03.01.0 543x p 4.4.设随机变量设随机变量 x x 的概率分布为的概率分布为 p p x=k=x=k=18 ak (k=1,2,(k=1,2,.9).9) 第 3 页 共 28 页 (1)(1)求常数求常数 a a (2)(2)求概率求概率 px=1px=1 或或 x=4x=4 (3)(3)求概率求概率 p-1p-1xx 7 2 解： （1） 1 k k p= (1234567891 18 a + + +=） 2 5 a= 则 p x=k= 45 k （2）p x=1 或 x=4= p x=1+ p x=4= 1 45 + 4 45 = 1 9 （3）p-1x 7 2 = px=1+ p x=2+ px=3= 123 454545 += 2 15 5 5一箱产品中装有一箱产品中装有 3 3 个次品，个次品，5 5 个正品，某人从箱中任意摸出个正品，某人从箱中任意摸出 4 4 个产品，求摸得的正品个数个产品，求摸得的正品个数 x x 的概率分布。的概率分布。 解：x 的可能取值有 1,2,3,4 31 35 4 8 22 35 4 8 13 35 4 8 04 35 4 8 1 1 14 3 2 7 3 3 7 1 4 14 c c p x c c c p x c c c p x c c c p x c = = = = 所以 x 的概率分布为： x1234 p1/143/73/71/14 第 4 页 共 28 页 6.6.袋中共有袋中共有 6 6 个球，其中个球，其中 2 2 个是白球，个是白球，4 4 个是黄球。在下列两种个是黄球。在下列两种 情况下，分别求出取到白球个数情况下，分别求出取到白球个数 x x 的概率分布。的概率分布。 （1 1）无放回抽取，每次抽）无放回抽取，每次抽 1 1 个，共抽个，共抽 3 3 次；次； 解：x=0 时 4 3 21 p=* *= 6 5 45 x=1 时 2433 *3 6545 p= x=2 时 2 3 211 * 655 pc= （2 2）有放回抽取，每次抽）有放回抽取，每次抽 1 1 个，共抽个，共抽 3 3 次次。 把每次抽到白球看作一次实验，对抽到白球的个数看作 3 重伯努 利概型， 故 x 服从参数为 n=3， p=1/3 的二项分布， 即 xb(3,1/3), 其概率分布为： () k3 3 p x=k =c(2/3)0,1,2 k k = k （1/3） 7.7.某街道共有某街道共有 1010 部公用电话部公用电话， 调查表明在任一时刻调查表明在任一时刻 t t 每部电话每部电话 被使用的概率为被使用的概率为 0.850.85，求在同一时刻，求在同一时刻 (1)(1)被使用的公用电话部数被使用的公用电话部数 x x 的概率分布的概率分布 (2)(2)至少有至少有 8 8 部电话被使用的概率部电话被使用的概率 (3)(3)至少有至少有 1 1 部电话未被使用的概率部电话未被使用的概率 (4)(4)为了保证至少有为了保证至少有 1 1 部电话未被使用的概率不小于部电话未被使用的概率不小于 90%90%， 应再安装多少部公用电话？应再安装多少部公用电话？ 解： （1） 10 0.85 0.15 10 0,1,2.10 kkk pxkck = （2）p8 p x=89100.8202xp xp x=+=+= x012 p1/53/51/5 第 5 页 共 28 页 （3） “至少有一部电话未被使用”的对立事件为“所有电 话都被使用” 1100.8031p x= （4） 0 110.85 0.1590 nn n p xnc= % 0.850.1 n 0.1 0.85 logn 14.1681n 15-10=5 应再安装 5 部电话。 8 8 尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角 是不可能的，但每年总有一些是不可能的，但每年总有一些“发明者发明者”撰写关于用圆规和直尺撰写关于用圆规和直尺 将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数将角三等分的文章。设某地区每年撰写此类文章的篇数 x x 服从参服从参 数为数为 6 6 的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。的泊松分布，求明年没有此类文章的概率。 解:由题意可得：x 服从参数为 6 的泊松分布，即=6， 所以当 k=0 时 0 6 6 0 0! p xe= 6 e 所以明年没有此类文章的概率为 6 e. 9.9.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数一电话交换台每分钟收到的呼唤次数 x x 服从参数为服从参数为 4 4 的泊松分的泊松分 布，求布，求 （1 1）每分钟恰有）每分钟恰有 3 3 次呼唤的概率；次呼唤的概率； （2 2）每分钟的呼唤次数大于）每分钟的呼唤次数大于 2 2 的概率。的概率。 解： （1）pxk= ! 4 k k 4 e 第 6 页 共 28 页 3k= 时， 3 3 3! 4 p x= 4 e = 432 3 e (2)112p xp xp x= =2 = 44 148 ee = 4 1 12e 习题习题习题习题 2-32-32-32-3（p36p36p36p36） 1010、 设设 x x 服从参数服从参数 p=0.2p=0.2 的的 0-10-1 分布分布， 求随机变量求随机变量 x x 的分布函数的分布函数， ， 并作出其图形。并作出其图形。 解： 00 ( )0.201 11 x f xx x = 图示 y y y y x x x x 0.20.20.20.2 1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 11.11.某射手射击一个固定目标某射手射击一个固定目标，每次命中率为每次命中率为 0.30.3，每命中一次每命中一次记记 2 2 分分，否则扣否则扣 1 1 分分，求两次射击后该射手得分总数求两次射击后该射手得分总数 x x 的分布函数的分布函数。 解：两次都没击中(即得-2 分)的概率 p1=0.7*0.7=0.49 一次击中一次未中(即得 1 分)的概率 p2=0.7*0.3*2=0.42 两次都击中(即得 4 分)的概率 p3=0.3*0.3=0.09 第 7 页 共 28 页 其概率分布图为 x-214 p0.490.420.09 x 的分布函数为： ( ) 02 0.4921 0.9114 14 x x f x x x = 1/2;px1/2;（3 3）p-1xp-11/2 =1-px1/2 =1-f(1/2) =1-1/2=1/2 (3)p-1x2=f(2)-f(-1)=1-0=1 1313某人求得一随机变量某人求得一随机变量 x x 的分布函数为的分布函数为 ( ) 00 1 01 2 1 12 3 12 x x f x x x = 第 8 页 共 28 页 他的计算结果是否正确？试加以说明。他的计算结果是否正确？试加以说明。 ( )( )() ( )( ) 1212 11 23 x xf xf x f x = 解：由分布函数的性质得： f x 是单调不减函数。即当时，有 所以，f x不符合分布函数的性质，因此不正确。 习题习题习题习题 2-4(p43)2-4(p43)2-4(p43)2-4(p43) 1414设随机变量设随机变量 x x 的概率密度为的概率密度为 sin (0) 0 ( )a xx f x = 求（求（1 1）系数）系数 a a（2 2）p0p0 2 x 解： （1）0+ 0 sinaxdx =1 0 cos/1ax = ()1aa = 1 2 a= (2) 0,0 11 ( )( )cos ,0 22 1, x x f xf t dtxx x =1/x0.5;(3)px1/x1x2p 1x1|x2= p x2p x2 p 1x2 =2e|e x x dx dxdx a dxee dxe + + + + + = += = = = = = = -2 + - 解：（1）根据规范性f(x) （2） （ ）= = 或 （3） = -4-2 2 -2x224 0 0 -4-2 42 e p x1|x2 e1e1 x dxe + = = + + = + = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 21 1 21 2 2 16 1 1 1 01 01 2212 0 , 101 111 111arcsin11 2 1 11 1 001 1 00 1 01 2 2 1 2112 2 1 x x f xx x xx f xxx x y oxx f xdtxxx t x dtx t x xx f x xxx = = = =+ + = 、设随机变量x,y的概率密度为 1 其他 求的分布函数 解： 2x 第 10 页 共 28 页 ( ) 5 3 5 2 1 )1()2(12112x1 2x1x 5 50 0 1 5 1 0 )( 50 0 5 1 )( 5 , 0 0244 5 , 0.18 2 20 0 0 4 1 2 1 )()()2( 2 1 1 2 1 4 2 2 1 ) 1 ()2(21 4 3 4 1 2 1 ) 1 (1) 1 ( ).()2(;21, 1) 1 ( 2 20 0 1 4 1 2 1 2 1 .17 2 11 e = = = = =+ = =+= =+= =0.05使它满足; ; （3 3） 1 p 2x 3 =求 ，使它满足 解： （1）p x=0 =0 p x1.251. = （125）=1-08944=01056 p x 0.68 =p x0.68x1.05( )0.95x= =当时，p（ ）=0 1.64= 0p x=1-(1- (- )=0.0502( ) 223 pxp x = = 时 0.86= (与条件不符) 1 0p 2xp x=1-p -= 223 = 当时， 2 (-)= 23 得0.86= 所以0.86= 2020、 () 2 1, 设，4求 （1 1）p x2.56 ;(2)(2)p x1.72 ;(3)(3)p x+11 解： （1）由()() x+1 10,1 4 2 ，4，得 x+12.56+1 p x2.56 =p=1- (0.89)=1-0.8133=0.1867 44 (2) 11.72 1 1.72(0.68)0.7517 44 x p x + = = （3） -5+1x+13+1 p x+1 4 =p2x=1- ()+ ()=0.8253 444444 或或 ( )() ( ) .10.05,0.06 10.050.12) 10.05 (0,1) 0.06 10.05 22 0.06 10.05 9.9310.17 22 0.06 221 2 0.9772 1 0.9544 cm xx yn x x pxp = = = = = = 2 21设某厂生产的螺栓长度x（单位：cm)服从参数的正态分布， 规定长度在（内为合格品。求该厂产品的合格率 解： 1x, 22设某建筑材料的强度() ( ) ( ) () () ( ) 2 200 1180 a : 200,18 (0,1) 200180200 180 1818 20010 189 10 9 0.8665 200 2160 18 xxn mpa x x yn x p xp x p x p xp = = = = = = 2 2 是一个随机变量，且，18， 求该材料强度不低于的概率； 2 如果某工程所用建材要求以99%的概率保证强度不低于160mp ，该材料是否满足这个要求？ 解 x, 20 9 20 9 0.9868 0.98680.99 = = 不满足 第 13 页 共 28 页 23.23.某校抽样调查表明某校抽样调查表明，该校考生外语成绩该校考生外语成绩（百分制百分制）服从正态分服从正态分 布布 n n（7272， 2 ） ，已知已知 9696 分以上的占考生总数的分以上的占考生总数的 2.3%2.3%，求考生的求考生的 外语成绩在外语成绩在 6060 分到分到 8484 分之间的概率。分之间的概率。 解：因为 xn(72, 2 ) 所以 x-72 n(0,1) 由题意得 px96= x-729672 p = 7224x p = 24 =1- 24 =0.023 所以 24 =0.977 查表得 24 =2.00 所以12 =1.00 因为 6072728472 6084 x pxp = = 12 21 =20.8413-1 =0.6826 习题习题习题习题 2-52-52-52-5（p48p48p48p48） 24.24.设随机变量设随机变量 x x 分布为分布为 第 14 页 共 28 页 试分别求试分别求 y=2x+3y=2x+3 和和 2 z=x的概率分布。的概率分布。 解：由题可得 p0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 x-2-1012 y=2x+3 -11357 2 z=x 41014 所以可知 y -11357 p 0.10.30.30.20.1 z 014 p 0.30.50.2 2525 设随机变量设随机变量 x x 的概率密度为的概率密度为( ) x fx()x +, ,求求 5 yx=的概率密的概率密 度。度。 解：( ) () 5 55 xx fyp yyp xyp xyfy= ( ) 441 5555 11 ().() 55 yxx fyfyyyfy = 26.26.设随机变量设随机变量 x x 的概率密度为的概率密度为 2 1 2 ( )3 x x fx = -1y 0 其他 ， 求求 2 yx=的的 x-2-1012 p0.10.30.30.20.1 第 15 页 共 28 页 概率密度概率密度 解：解： 2 2 2 0 ( )0 ( )( )0 ( )( ) 1111 ( )().3 622 ( )()() 1111111 ( )( )()(). 3332222 ( ) yy x yx xx yyxx y yxz yp yyp xy fyfy yp yyp xyfy fyfyyy yy ypyxyfyfy fyfyfyfyyyy yyyy fy = = = = = = =+=+= y y y 当y0时 f 当0y1时f 当1y4时f 当y4时()() 11 ( )()()000 22 1 6 1 ( ) 3 xx yxx y fyfy fyfyfy yy y fyy = =+=+= = 00 时， ( )()lnln x yx fyp yyp eyp xyfy= 即 第 16 页 共 28 页 ( ) () 00 ln0 y x y fy fyy = 从而，y 的概率密度为 ( ) () ()2 1 ln 2 1 ln0 00 1 0 2 00 x y y fyy yfy y ey y y = = （2）由于 y=x 2 0,故当 y0 时， 2 ( )0 y fyp yyp xy= 当 y0 时， ()() 2 ( ) yxx fyp yyp xypyxyfyfy= 即 () 00 ( ) ()0 y xx y fy fyfyy = 从而，y 的概率密度为 () 11 22 11 ()0 22( ) 00 1 0 2 00 xx y y fyfyy yyfy y yey y + = = 28.28.设设 x x 服从参数服从参数=1=1 的指数分布，求的指数分布，求 y=y=x-1-1 的概率密度。的概率密度。 解：由题 ( ) 0 00 x x ex fx x = 第 17 页 共 28 页 由于 y=x-1-1,故当 y-1 时， ( )10 y fyp yyp xy= = 当 y-1 时， ( )()()()111111 yxxx fyp yyp xypyxyfyfyfy= = +=+ =+ 即 ( ) () 01 11 y x y fy fyy = + 从而，y 的概率密度为 ( ) () 1 11 01 1 01 x y y fyy fy y ey y + = = 29.29.测量球的直径，设测量值服从测量球的直径，设测量值服从a,ba,b上的均匀分布，求球的体上的均匀分布，求球的体 积的概率密度。积的概率密度。 解：设 x 为球的直径，责球的体积为 3 3 4 y= 326 x x = ，已知 x 满足 ( ) 1 0 axb fxba = 其他 当axb时 33 66 ayb ( ) 11 11 33 3 33 66 6 yx fyp yypxyp xyfy = 第 18 页 共 28 页 ( ) ( ) 111 112 333 333 1 2 3 33 3 61612 39 12 966 0 yx y fyfyyy ba yayb fy ba = = 其他 复习题复习题复习题复习题 2 2 2 2（p49p49p49p49） 3030一串钥匙共一串钥匙共 n n 把，只有一把能将门打开，今逐个任取一把试把，只有一把能将门打开，今逐个任取一把试 开，求下列两种情况下打开此门所需开门次数开，求下列两种情况下打开此门所需开门次数 x x 的概率分布。的概率分布。 （1 1）打不开门的钥匙不放回）打不开门的钥匙不放回 （2 2）打不开门的钥匙任放回）打不开门的钥匙任放回 解： 将 n 把钥匙编号为 1,2， n,假设编号为 1 的钥匙能打开门。 1）法一：因钥匙已编号，将用过的钥匙依次排列，则 n 把 钥匙的每个排列就是一个基本事件， 所以基本事件总数为数 码 1,2， n 的全排列： n npn=！ 因为在第k 个位置上排列的钥匙一定是编号等于1 的钥匙的个 数只有一种排法，在其他 n-1 个位置上钥匙的排列种数为 （n-1）!,即事件 k x的基本事件数等于（n-1）! ()1 !1 ! n p xk nn = 法二：只关心第 k 次取到什么编号的钥匙，不考虑其他因素。 所以，样本空间的基本事件总数就是第 k 次可能摸到球的个数 为 n. k x的基本事件数为 n,编号为 1 的钥匙的个数为 1 第 19 页 共 28 页 () ()() 1 1 p x=k1,2,. p xk n xkn n = =的概率为： 2）是有放回的拿钥匙 基本事件总数为 k-11前次未拿到编号为 的钥匙 () k-1 可能的结果为n-1，而第 k 次首次摸到编号为 1 的钥匙只有 一种结果。 () 1 11 k n 基本事件为 () () 1 p x=k 1 k k n n = 3131甲甲、乙两人独立地轮流投篮乙两人独立地轮流投篮，直至某人投中为止直至某人投中为止，让甲先投让甲先投， ， 若甲投中的概率为若甲投中的概率为 0.40.4，乙投中的概率为乙投中的概率为 0.60.6，求甲求甲、乙投篮次乙投篮次数数 x x，y y 的概率分布。的概率分布。 解： 甲投篮(1)k k次中止游戏，则伴随前面甲与乙都有一次未投 中，所以 111 (,1)(1 0.4)(1 0.6)0.40.60.4 kkkk p xk yk =iii 乙投篮(1)k k次中止游戏，则伴随前面甲有 n 次与乙有 n-1 次未投中，所以 111 (,)(10.4) (10.6)0.60.60.4 kkkk p xk yk + =iii（k=1， 2， 3） 所以，x 的分布律： 第 20 页 共 28 页 1111 ()(,1)(,) 0.60.40.60.40.76 0.24 kkkkk p xkp xk ykp xk yk + =+= =+=iii （k=1，2，3.） y 的分布律： (0)(1,0)0.4p xp xy= 当1n时， 111 ()(,)(1,) 0.60.40.6 0.41.9 0.24 kkkkk p ykp xk ykp xkyk + =+=+= =+=iii （k=1，2，3） 32.32.设设 xpxp（） ，且，且122p xp x=，求，求0p x。 解：因为 xp（） ，所以 ! k p xke k =（k=1，2，3） 因为122p xp x=，所以 12 2 1!2! ee = i 所以1= 所以 1 0101p xp xe= = 3333已知随机变量已知随机变量 x x 的概率密度为的概率密度为 01 ( ) 0 axbx f x + 1 2= = 5 8 (1)(1) 求常数求常数 a,ba,b (2)(2) 计算计算 pp 1 4 xx 1 2= 5 8 px 1 2= 3 8 又 px 1 2= 01/2 0 0()dxaxb dx + 2 1113 *( )*( ) 2228 ab+= 即 a+4b=32) 由 1） 、2）式得 a=1,b= 1 2 (2) p 1 4 x 1 2=f( 1 2)-f( 1 4)= 1 2* 2 1 2 + 1 2- 2 1 4 - 1 4 = 177 * 2 1632 = (3)由 pxc=5/32 得 2 115 2232 cc+= 即 2 161650cc+= （4c-1）(4c+5)=0 c= 1 4 或 c= 5 4 当 x 0 或 x1 时,f(x)=0 c= 5 4 舍去 c= 1 4 34.34.在区间在区间00，aa上任意投掷一个质点，用上任意投掷一个质点，用 x x 表示该质点的坐标表示该质点的坐标。 。 设这个质点落在设这个质点落在00，aa中任何小区间内的概率与这个小区间的长中任何小区间内的概率与这个小区间的长 度成正比，试求度成正比，试求 x x 的分布函数和概率密度。的分布函数和概率密度。 解：由题意知 x 满足正态分布，则有 第 22 页 共 28 页 x 的分布函数 0000 0 ( )00 0 11 xx xx f xxaxa aa aa = xx x 的概率密度 1 0 ( ) 0 xa f xa = 其他 35.35.设连续型随机变量设连续型随机变量 x x 的分布函数为的分布函数为 ( )arctanf xabx=+()x + 求（求（1 1）常数）常数 a a，b b； （2 2）x x 的概率密度的概率密度 f(x)f(x)； （3 3） 2 10p x 。 解： （1） ()( ) ()( ) limlimarctan0 0 2 limlimarctan1 1 2 11 , 2 xx xx ff xabx ab ff xabx ab ab + =+= = + =+= += = （2） ( ) ( )( ) 2 11 arctan 2 1 (1) f xx fxfx x =+ = + （3） ( )()() 1111 1111arctan1arctan1 222 pxff =+= 第 23 页 共 28 页 36.36.设设 xnxn（ 2 , ） ，x x 的概率密度为的概率密度为 ( ) 2 2 4 32 1 xx k f xk e + =()x + 试确定常数试确定常数 12 , ,k k 的值，并写出的值，并写出 2 1 yxk =的概率密度函数。的概率密度函数。 解： （1） () ( ) () () 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 , 1 2 232 4 1 4 2 4 2,4 x xn fxe k xxxk k = = = = =+ = ( )() ( ) ()() 22 33 88 1 4 2 1 42828 2 11 2 4 22 2 yx yy y yx fyp yypxyp xyfy fyee + = =+=+ = 37.37.设设 () 2 2,xn, ,且且 p2x4=0.1,p2x4=0.1,不查表计算不查表计算 px0px0。 解：由题意得： 第 24 页 共 28 页 ( ) ( ) ( ) ( ) () 2 2 2 2 2 2 2 2 1() 22 1() 2 22 1() 22 1 2 24 24 222 024000.1 2 0.1 0.50.6 222 011 0.6 y y y x fxe x ufxe xx ye fye xy ypxpy p xp yf = = = = = = =+= = = = 其他 现有一大批此种元件现有一大批此种元件（设各元件损坏与否相互独立设各元件损坏与否相互独立） ，任取任取 5 5 只，求其中至少有只，求其中至少有 2 2 只寿命大于只寿命大于 1500h1500h 的概率。的概率。 解 ： 任 取 一 只 元 件 ， 其 寿 命 大 于 1500h 的 概 率 为 p(x1500)= 2 1500 10002 3 dx x = 以 y 记所取 5 只中寿命大于 1500h 的元件的数目， 则 y 服从 二项分布 b(5, 2 3 ),故所求概率为 ()()() 0514 01 55 2101 2121 1 cc 3333 232 243 p yp