（电机与电器专业论文）框架式结构空心电抗器磁场的有限元分析及其优化设计.pdf

a b s t r a c t a i r - c o r er e a c t o rh a sb e e ni m p o r t a n te q u i p m a n ti np o w e rs y s t e ma tt h ep r e s e a t t i m e f r a m ea i r - c o r er e a c t o rh a san e wk i n do fs t r u g t u r e c o m p a r ew i t ht h eo d n l n l o n a i r - c o r er e a c t o r , f r a m ea i r - c o r er e a c t o rh a sm a n yg o o dq u a l i t i e s ，s u c ha sm u l t i l a y e r c o a x i a l ，h a l f - o p e n i n gs f h u c t u r e , l o ww e i g h t b e c a u s eo f o p e n i n g s t r u c t u r eo f t h ef l a m e a i r - c o r er e , a c t o r , i ti ss o l v e dc o m p l e t e l yt h a ta i r - c o r er e a c t o ri sb u r n e dd u r i n gi t s s e r v i c e i ts t a r t sl a t e rf o rd e v e l o p i n ga i r - c o r er e a c t o rb yo u r s e l v e si na 血执b u ta l s oi t i sn o t1 1 i g hf o ra u t o m a t i cd e s i g na n dm a n u f a c t u r e s of r o ms o c i a ld e v e l o p m e n ta n d r e q u i r e m e n t , i t i su t m o s tu r g e n c yf o rd e v e l o p i n ga n da p p l y i n go fs t r u c t u r e o p t i m i z a t i o nd e s i g nf o rf r a m ea i r - c o r er e a c t o r i nt h i sp a p e r , t h er e s e a r c hc o n c e n t r a t e s0 1 1t w oc o n t e n t s ： f i r s t l y , t h ei n d u c t a n c ep a r a m e t e ro ft h ea i r - c o r er e a c t o rc a l c u l a t i o na n dt h e s 缸 u c t m ed e s i g ni sb a s eo nt h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l da n a l y s i s t h u sf e mm a t h e m a t i c m o d e l ，o ft h ef r a m ea i r - c o r er e a c t o ri ss u m m a r i z e di nt h i sp a p e r a n dt h ep a r a m e t e r i n c l u d i n gt h es e l f - i n d u c t a n c ea n dm u t u a li n d u c t a n c ei sc a l c u l a t e d s e c o n d l y , t h ec a l c u l a t i o no fa i r - c o r er e a c t o ri sv e r yc o m p l i c a t eb e c a u s eo fs o m a n yd e s i g np a r a m e t e r s b a s e do nt h em e t h o do fe q u a lc u r r e n t , t h ef i a l n ea i r - c o r e r e a c t o ri so p t i m a l l yd e s i g n e du s i n gf e m a n dt h r o u g hs e v e r a lo p t i m a lt o o l s ，t h e b a l a n c eo fe f f e c t i v ei n d u c t a n c ea m o n gl a y e r si sk e p t i nt h ee n dt h eo u t c o m eo ft h e c a l c u l a t i o ni sc o m p a r e dw i t ht h er e s u l to ft h ee x p e r i m e n t i tp r o v e dt h a tt h ed e s i g n m e t h o do f t h e f r a m ea i r - c o r er e a c t o ri sf e a s i b l e k e yw o r d s ：a i r - c o r er e a c t o r , f e m ，f r a m es t r u c t u r e ，m a g n e t i cf i e l d ，o p t i m a l d e s i g n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘鲞盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：玲- 写争渺 签字日期：a 卯多年，月，口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫生盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘望可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：西碎砂 导师签名： 么芤 签字日期：妇占年f 月，护日 签字日期： o6 年1 月i 日 天津大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 近些年来，随着电网技术的迅速发展，输电半径、输电容量越来越大，而感 性无功相对不足，导致电网工频电压升高严重，对于无并联电抗器的5 0 0 k v 线路 电压水平一般在5 5 0 k v 以上，最高可以达n 5 6 5 k v 。这不仅使输变电设备负担过 重，更严重抬高了过电压水平，给系统的安全运行带来严重危害。电抗器是输电 线路上的重要电力设备之一。随着我国5 0 0 k v 输电系统的发展，以及电气化铁路 和大型钢铁基地的建设，特别是在城乡电网改造中，直接将许多2 2 0 k v 输电线路 降压到3 5 k v 输电线路，由架空线路转变为地下电缆输电，增加了输电线路的电 容效应，使输电线路产生的无功功率大于输电线路消耗的无功功率，导致在整个 电力系统中存在着剩余的无功功率( 电容性) 。解决这些问题的有效方法是在输电 线路上安装电抗器，来消耗这部分剩余的无功功率，以满足电力系统无功平衡的 需要，从而维持电力系统的电压水平。随着无油化的趋势，大批干式空心电抗器 投入了运行，对抑制电压过高起到了相当大的作用。 1 1 空心电抗器的特点及研究概况 1 1 1 空心电抗器的特点及分类 电抗器是一种电感元件。电抗器就其磁路结构而言，有空气式电抗器和带间 隙的铁心式电抗器两种。空气式电抗器无铁心，磁路主要由非铁磁材料构成，其 磁导率“a ，是常数，不随负载电流的变化而变化。带间隙的铁心式电抗器的 磁路由带气隙的铁心柱构成，当负载超过一定数值时，铁心就会饱和，其磁导率 会急剧下降，从而电感、电抗也就急剧下降，会影响电抗器所接系统的正常工作。 按照用途来分空心电抗器主要有以下几种： 限流电抗器串联在线路中以限制电抗器安装点线路的短路故障电流； 滤波电抗器与并联电容器组串联，形成l c 串联谐振电路以消除有害 谐波； 串联电抗器与无功补偿用电容器组串联，以限制电容器组的合闸涌流 并与电容器组形成串联l c 谐振电路以减少或消除线路上的高次谐波； 天津大学硕士学位论文第一章绪论 平波电抗器一用于直流高压输电系统中，起滤波作用，以减小输电系统 直流侧电流的脉动； 并联电抗器一补偿长距离输电线路上的容性无功功率，改善沿输电线路 的电压分布( 特别是线路空载或轻负载时) ； 双分裂电抗器属于一种特殊的限流电抗器，在通常情况下，提供一个 较低的感抗，故障条件下提供较高的感抗，用在多反馈电路中控制电流以平衡负 载； 线路平衡电抗器控制并联电路中的电流； 中性点接地电抗器连接在中性点与地之间，以限制接地故障时的故障 电流。 空心电抗器由于没有铁心，不存在磁饱和现象，它的电抗值在绕组匝数、绕 组形状，及电源频率不变的情况下始终是一个常数，不随其通过的电流的大小而 变化，不像铁心电抗器受电磁饱和对电抗值影响那样显著，克服了铁心电抗器震 荡声大，噪音大，外壳渗、漏油现象严重的缺点。同时它又不会像铁心电抗器那 样，因间隙多，零部件容易松动，而出现多点接地的故障，在维护上也比铁心电 抗器简单，并且防爆防燃，电气性能稳定。同时，与传统的油浸式铁心电抗器相 比，空心电抗器具有结构简单、重量轻、体积小、线性好、损耗低、维护方便等 优点，因此得到了迅速发展和广泛应用。 1 1 2 框架式空心电抗器的结构特点 五十年代末，空心电抗器主要用作限流电抗器。当时，大部分电气设备制造 部门生产的电抗器都是由水泥铸件支撑的电缆绕组组成。到六十年代初期，由于 新材料的使用和技术的革新，使空心电抗器的结构型式有了很大的改进，逐步形 成了目前普遍采用的干式空心电抗器的结构型式。千式空心电抗器一般由多个同 轴绕组包封组成，所有包封在电气上是并联的，在每个包封中有若干并联连接的 线圈，每层线圈又由数根小截面金属导线( 一般为铝导线) 并绕而成，每根导线 上包有聚酯薄膜或玻璃丝作为匝绝缘。电抗器的每个包封用浸有环氧树脂的长玻 璃纤维包绕，包封与包封之间用聚酯玻璃丝引拔作撑条，以形成包封之间的绝缘 和散热通道。各包封的导线首末端分别焊接在上下铝制星形架上，星形架除作电 气连接作用外，还起压紧线圈的作用，这样就使空心电抗器具有很高的机械强度 和整体稳定性。空心电抗器绕制完毕后。经加热固化，整个绕组包封形成一个坚 固的整体，经表面喷砂处理后，再喷覆一层特殊的抗紫外线辐射的硅有机漆。这 种空心电抗器的抗振动机械强度增加了，但是它的散热性能不够理想，重量增加 较大，长期运行中龟裂现象严重。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 无论是环氧树脂空心电抗器，还是水泥浇铸空心电抗器，由于包封的存在， 绕组被环氧树脂或者水泥包裹，散热性能较差，而且紧固件还会因导线的电磁振 动而松动，抗振能力和机械强度都较差，运行中龟裂现象时有发生。与以往的环 氧树脂空心电抗器和水泥空心电抗器相比，水利部电力工业部机电研究所研制开 发的框架式结构空心电抗器有以下特点： 框架式半开放结构的主线圈，机械强度高，散热性能好； 铝合金焊接吊架，抗拉强度高； 电感量制造误差小，互换性好； 调谐装置采用密封式结构，选用元件耐压值高，频率特性稳定，运行安全 可靠； 保护元件采用专用金属氧化物避雷器，性能优异，使用寿命长： 采用非磁性材料和特殊的制造工艺，工频损耗小，运行费用低； 采用有弹性半圆环引线，免除了引线发生故障的可能： 体积小，重量轻，容易安装。 图1 1 框架式结构空心电抗器 从图1 1 中x z k - 1 0 8 2 7 2 2 3 t 6 型空心电抗器的图片可以看出，这种框架 式的空心电抗器采用的半开放式结构散热性能良好，避免了龟裂现象的发生。因 为没有包封的存在电抗器重量大幅度减轻。由于框架式空心电抗器存在着传统结 构空心电抗器无法比拟的优势，所以得到了众多用户的青睐，在未来我国的电力 市场上，框架式结构的空心电抗器有着更加广阔的应用前景。 尽管框架式结构空心电抗器有上述优点，但是，由于绕组内部没有支撑，对 电感值较大的空心电抗器进行设计时，因磁路开放，计算精度的限制较大。所以 如何合理设计电抗器的结构，使得电抗器各项性能指标达到最优是电抗器设计中 天津大学硕士学位论文 第一章鳍论 的重点。 1 1 3 空心电抗器磁场分析及参数计算发展概况 空心电抗器的磁场分析是空心电抗器设计计算的一个重要方面，因为它是空 心电抗器各项性能参数计算的基础。关于空心电抗器磁场的计算，国内外有很多 人进行了研究并且发表了论文进行介绍。在空心电抗器的磁场中，由于没有铁磁 性材料，空心电抗器的磁场与铁心电抗器、变压器、电机等的磁场不同。空心电 抗器的磁场分布在一个很大的开区域上，要想对空心电抗器的磁场进行精确的计 算依靠人力手工计算是不可想象的。随着计算机的迅速发展和计算技术的不断完 善，数值计算方法已经成为工程技术领域中一种主导的分析计算方法。电磁场数 值计算正是电磁场理论与工程应用相结合。在电气与信息工程学科中衍生发展出 来的一门重要的应用学科分支。 从七十年代初开始，s f l v e s t e r 、c h a f f 等人把有限单元法引入电磁场计算，这 使电磁场数值计算发生了根本性的变化。将有限元方法应用到空心电抗器的磁场 分折及优化设计上，可以解决以前因为计算工作量大无法用数值计算方法实现的 困难。随着有限元法理论的逐渐完善和计算机技术的不断发展，利用有限元法对 空心电抗器的磁场进行求解的方法可以被应用于空心电抗器开发的前期研究，直 接指导设计过程，包括对电感值和结构参数要求苛刻的设计方案的实现，众多设 计方案的比较，设计方案具体内容的优化等。在空心电抗器的设计阶段就能对其 进行精确的计算，可节省大量的设计费用，在经济可比性上也进一步确立了其优 势地位。 随着计算机及其应用技术的普遍发展，从2 0 世纪7 0 年代初开始，空心电抗器 在国外得到了开发和应用，在这方面，最有成效的是加拿大的t e 公司和奥地利 的s e 公司。2 0 世纪7 0 年代末期，国外电力设备制造公司开始向中国电力系统销 售空心电抗器。1 9 8 5 年原水利电力部北京电力设备集团公司签订了专门的线路限 波器( 一种小型的空心电抗器) 以及制造设备技术转让协议。至此，国内开始了 这种空心电抗器的生产。进a 2 0 世纪9 0 年代，对空心电抗器的国产化研究工作开 始启动，到2 0 世纪9 0 年代中期，国内已经相继能够生产一些不同类型的小容量空 心电抗器。 空心电抗器的电气参数包括电抗器的电抗、等效直流电阻、额定容量和额定 电流等。在这些参数中，对电抗器的设计、制造影响最大的是电抗器的电抗计算， 也就是空心电抗器的自感和互感的计算。由于在电感量计算上的很小的误差都会 引起各层间电流分配上产生大的变化，甚至很容易造成仅在个别层之间流动的幅 值很大的环流的产生，这不仅会造成电抗器的损耗增加，而且会直接烧毁电抗器。 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 所以在计算电感量时，对准确度的要求极为严格。另外，空心电抗器是一个多层 结构，设计计算时要反复对各层的自感和层间互感进行计算，计算工作量非常大。 所以，在空心电抗器设计的电感值计算方面，主要的问题是要寻求计算准确度高 且计算速度较快的计算方法。其中，计算准确度是首要的。 关于空心电抗器电感计算方面的研究成果发表的论文和研究资料比较多。现 在普遍得到使用的有下列四种方法： 1 感应系数法前苏联人卡兰塔罗夫和采依特林合编了 电感计算手册， 书中通过近似公式和图表的方式，比较系统地给出了工程上常用的各种形状的载 流回路自身的自感及载流回路之间的互感。但是，该书所给出的公式基本上是在 确定的限制条件下，通过级数展开和近似的办法得到的，离开具体的限制条件往 往会使计算精度大大下降。而且书中所给出的各种系数和图表并不适合用于计算 机计算。 2 b a r t k y 变换法t h a r w a th f a w z i 和p e b l b 把诺以曼通用公式应用于同轴 空心螺线管，利用积分学原理推导出了有限长薄壁螺线管的自感计算公式和同轴 有限长螺线管之间的互感计算公式，并且给出了具体的递推计算公式。 3 矢量磁位法华中理工大学的陈乔夫等人用计算矢量磁位的办法对空心 电抗器的电感计算进行了研究，其中涉及到同轴和非同轴情况，给出了同轴及非 同轴情况下计算线圈电感的方法，但是对于同轴安装情形，该方法与其它参考文 献所给方法计算结果相比，其误差较大：至于非同轴方式，该方法计算比较繁琐。 4 能量变换法这种方法是通过利用有限元法对空心电抗器的磁场进行分 析，首先将连续的场域进行离散，认为在每个单元中的磁能密度为一个常量，求 出每一个单元的磁场能量，然后进行累加求出空心电抗器求解区域总的磁场能 量，再通过公式求出空心电抗器的电感。 空心电抗器需求量日益扩展的近代电力系统中，对电抗器参数的计算要求越 来越精确，尤其是在一些要求定制精确电感值的产品的设计生产中，能否快速准 确的设计及计算出空心电抗器的电感值就显得尤为重要。而在用有限元法对空心 电抗器磁场计算所求得结果的基础上进一步求出空心电抗器的电感值，可以达到 很好的计算精确度，所以本文采用有限元法对框架式结构空心电抗器进行磁场分 析和参数计算。 1 2 本课题的研究目的和意义 在空心电抗器需求量日益增加的近代电力系统中，对电抗器参数的计算要求 越来越精确。但是目前有关空心电抗器电磁场数值计算方面都还是基于以前传统 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 的包封式电抗器结构。将这些传统的参数计算方法应用到框架式结构空心电抗器 的设计中就不能很好的满足一些对设计精度要求严格的生产设计的需要。究其根 本原因是因为对框架式结构空心电抗器的磁场分析和计算不够准确，有许多因素 被忽略了。目前框架式结构空心电抗器的设计都是借鉴传统包封式结构空心电抗 器的计算方法，由于两者之间在结构上的差别显著，所以对于要求精确度高的产 品就很难达到设计要求。另外，目前大多数实际生产设计中的参数计算都是应用 一些计算公式，其中很多公式都含有经验系数修正，而这些系数的选择是针对于 某一种特定的空心电抗器的，一旦电抗器的结构变化了，这些计算公式就不能达 到原有的精确度了。 在竞争日趋激烈的电力市场中，生产厂家想要占有一定的份额，仅仅达到电 抗器基本设计要求是远远不够的。因为当今的社会，信息技术高速发展，科技力 量的竞争无处不在。传统制造业只有不断提高设计与制造的自动化程度，才能在 竞争中立于不败之地。由于我国自主开发电抗器起步较晚，所以设计与制造的自 动化程度并不高。而且，关于电抗器设计计算与设计基本方法方面仍然有一些比 较重要的理论问题和工程实际问题需要研究和解决。因此，针对框架式结构空心 电抗器这种特殊的结构方式电抗器进行磁场分析和参数计算并且在此基础上对 其优化设计是很有必要的，也是有着实际的现实意义的。 1 3 本课题的主要研究内容 本课题的主要任务是针对框架式结构空心电抗器，利用有限元方法对空心电 抗器的磁场进行分析，并且对空心电抗器的电感参数进行求解。在此基础上，采 用等电流方法对框架式结构空心电抗器进行优化设计。使设计生产更加方便高 效，降低成本，增强市场竞争力，更大范围的满足用户的需要。 本文的主要研究内容如下： 1 针对框架式结构空心电抗器建立有限元模型并且进行求解，对其磁场进 行分析； 2 在求出框架式结构空心电抗器磁场的基础上求解得到空心电抗器的电感 参数： 3 利用等电流法对框架式结构空心电抗器进行优化设计。 本文的研究目标为：通过有限元法在框架式结构空心电抗器的磁场分析及参 数求解中的应用，得到计算高精度的电感参数方法。对空心电抗器的优化设计方 法方面进行探讨，提出更加适合框架式结构空心电抗器的设计方法。 天律大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 2 1 空心电抗器电感参数计算方法 目前，普遍采用的空一t ) , e g 抗器电感参数计算方法主要有：感应系数法、b a r t k y 变换法和能量变换法。本节简单介绍这几种计算方法的计算原理。 2 1 1 感应系数法 传统的包封式结构空心电抗器每个包封的截面绕组为矩形，如图2 - - 1 所示。 缓缓 d ，。 d 。、d 7 。 图2 1 矩形截面绕组尺寸示意图 1 利用查表法计算矩形截面绕组的自感 图中所示矩形截面绕组自感的计算公式为 工= 手p 。三慨一k ) 叶u 式中：d 绕组的平均直径： 1 2 由a 、d 确定的量值，口= a d ，a 为绕组的长度； 置。随口和1 口而变化的系数，查表可得； 足p = r d 和，= r a 决定的系数，查表可得，r 为绕组截面径向尺寸。 2 利用平均电密法计算矩形截面绕组的自感 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 图2 2 是一个空心电抗器线圈，设流过线圈的电流为，总匝数为矿，则 在线圈截面上的平均电密为 聊 j2 2 ( a 2 - a 1 ) h x 2 口1 2 a , 图2 2 空心电抗器剖面图 在截面上取两个电流环：环i ( ，毛) ；环( r 2 ，乃) 。则两电流环上流过的电 流分别为 f im - j d r l d z l i 2 = j d r 2 d z 2 电流环在电流环i 处产生的向量磁位为 删= 訾r 露示耧专菰 则整个线圈电流环在环i 处产生的磁场能量为 d = 委4 ( 1 ，2 ) j 2 冗f id r , d z 。 二 线圈的自感为 工：当 三，2 2 代入以上各式便可以得到线圈的自感为 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 2 鼎r c o s e d 。c 吒d c 吃 l r 1 2 + r - 2 1 i t 2 c o s 0 一行i 万万j 丽 + 。l n 颦至壅戛堑丝k l 批+ 名+ 4 h 2 2 r i r 2c o s o 一2 j j 通过分部积分法和其它技巧还可进一步将上式化为二重积分形式。然后采用 高斯积分法编制程序就可以计算出线圈的自感。 传统包封式空心电抗器中任意两个包封为两个同心同轴同高的矩形截面绕 组，如图2 3 所示。根据四矩形定理和叠加定理，决定绕组1 和绕组3 的互感 可以转化为决定四个具有同一高度的绕组的自感的计算。 32l12 3 i 图2 3 两个同心同轴同高的矩形截面绕组 m 1 ，= 妻( 厶+ 厶一厶：一工2 3 ) 二 式中厶虚设绕组的电感 。 上1 2 3 、厶2 、k 分别由绕组1 2 3 、1 2 、2 3 组成的复合绕组的电感，由前 面介绍的求自感的公式可以求得。 至此，每个包封的自感及互感都可以求出来，则每个包封的电感为 d g ( i ) = ( 力+ m 自 簧 式中包封个数 整个空心电抗器的总电感量为 z d g = d g ( 1 ) d g ( 2 ) d g ( n ) 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 由于该方法需要查表计算，所以计算速度较慢。尤其是对于多包封的空心电 抗器来说应用这种方法求解速度慢成为一个很大的障碍。 2 1 2 b a r t k y 变换法 该方法是基于b a r t k y 变换的一种计算同轴圆绕组的自感和互感的公式。空 心电抗器每个包封的厚度相对于其直径几乎可以忽略不计，所以可以将各包封看 作无限薄螺线管绕组。 图2 4 同轴薄壁螺线管示意图 如图2 - - 4 中所示，半径为吒、r 2 高为啊、如，单位长度匝数为i ，2 ，中 心距离为s 的同轴螺线管之间的互感为 膨= 2 叩。l 2 “，2 彤1 2 【c “，r 2 ，z 。) 一c “，r 2 ，z ：) + c “，眨，乃) 一c “，2 ，毛) 】 其中：毛= 啊+ 也+ j z 2 = j i l h 2 + s z 3 = j i l j 如+ j ：= 一啊+ 2 + s 函数c “，r 2 ，= ) 定义如下 力=百上1r,2+r鬻+z：-2r,r200so s 逾2 。d 9 从上式出发，当 = 屹= ，；啊= h 2 = j l ，j = 0 时，还可以求得高度为h 、 天津大学颂士学位论文 第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 半径为，、单位长度匝数为n 的螺线管的自感为 工= 钿n 2 ，【c 1 1 ) 一卅 由上可知，螺线管的自感和互感的求解关键在于函数c “，吃，z ) 的求解。我 们可以通过b a r t k y 变换得到有效的解决方案。函数c g ，r 2 ，z ) 可以改写为下面的 形式 c c ，吃，z ，= 要f 彳s t n 2 。+ 丑c o s 2 。+ c ；i ：夏霎毛；赤 d 0 七2f a d s 20 + s i n 20 式中9 2 糍，0 + ， v = 一 。 4 _ ，2 艮黯謦，0 k 2 1 爿= 叫十捌 占：一兰 副1 一七2 c ：、t 而 b a r t k y 变换是一种计算椭圆积分的方法，该方法是不断迭代求积分，最后被 积分函数成为一个固定值。 函数嘶，吒，z ) 的数值解法如下 0 【。= l ，氏= l k i ， g o = l g l ，a o = 彳， b o = b ，c o = c ， d o = 0 ， 0 2o f , j + 岛， 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 p 州= 2 伍j p j ， 铂铆警， 钆= 鲁蛳、 b j + = 2 慨+ p j 4 j ， c j ，c j + 云 = 2 降q + q 按照上面的式子进行迭代求解，当，= 时，并且i 一纠，。1 时， c “，屹，z ) = 兰学+ i c i l 网a j + ) 1 + 。( 1 。一4 ) 求出的c “，吃，：) 值误差为l o ，其中d 是运算中的有效位数。这样就可以求 出螺线管的自感和互感。 2 1 3 能量蛮换法 根据电磁场原理可以知道，如果把空心电抗器看作一个整体或一个回路，那 么，当电流，流过空心电抗器时，则电流，产生的磁场即电抗器所建立的磁场中 的储能矿为 矿：工 2 式中三空心电抗器的电感； j 流过空心电抗器的电流； 如果能够求出磁场储能矿，则电感工为 工：2 婴 将磁场的能量密度对整个体积进行积分，即可得到该空心电抗器的磁场能 量 天津大学硕士学位论文 第二章空心屯抗器的磁场分析理论及参数计算方法 w f f i p d 矿 对于空心电抗器而言，其介质是线性的，任意点的磁能密度为 ：1 b h ：三曰旦：l 占z 22 p o2 p o 式中占求解空间中任意一点处的磁通密度； 日求解空间中任意一点处的磁场强度； p o 4 兀1 0 - 7h m 空气磁导率。 于是，磁场能量为 形：f l 口2 d 矿 ，2 o 则电感值可以表示为 = 吾f 2 d 矿 利用有限元法对空心电抗器的磁场进行分析，首先将连续的场域进行离散， 认为在每个单元中的磁能密度为一个常量，求出每一个单元的磁场能量，然后进 行累加，即 形2 否去丑2 沙伍) 式中e 剖分的单元总数； 曰 ) 、矿g ) 膏单元的磁通密度和体积。 则空心电抗器的电感值表示为 三弓喜2 g 沙 ) 据此可以看出，只要选择合适的空间范围对电抗器磁场进行有限元剖分利用 能量法就可以求出电感值。剖分越细则计算出来的电感值就越精确，当然，花费 的计算时长也就越长。虽然空心电抗器的磁场是一个开域场，但是，由于空心电 抗器的磁场的分布随距离的交化衰减速度很快，磁场能量的绝大部分都集中在电 抗器周围不大的空间范围内，只要确定了合适的能量积分区域，还是可以求得比 较满意的计算结果的。 天津大学硕士学位论文 第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 2 2 空心电抗器电磁场基本理论 2 2 1 电磁场数值分析的发展和现状 当今，由于工程实际中的电磁场问题的复杂性，应用于电磁场计算的各种解 析方法已经无法适应于广泛工程问题分析求解的需要。随着计算机的迅速发展和 计算技术的不断完善使得数值计算方法作为工程技术领域中的一种主要的分析 计算方法已深入到工业生产的各个领域，解决问题的面也越来越广，分析的问题 也日益复杂。电磁场数值计算是电磁场理论与工程实际应用相结合，在电气与信 息工程学科中衍生发展出来的一门重要的应用学科分支。实践表明为了适应电磁 场装置和系统的发展需要，在完善各类电气产品的电磁性能，设计并开发出新型 电磁产品等方面，电磁场数值计算理论及其工程应用具有重要学术意义和学科前 瞻性。 电磁场数值分析属于综合性的应用学科分支，涉及电磁场原理、数值分析、 计算方法、计算机应用基础及高级语言等多方面领域的知识。电磁场数值计算的 任务在于根据电磁场理论中的基本原理，即基于麦克斯韦方程组，首先建立逼近 实际工程电磁场问题的连续数学模型，然后采用相应的数值计算方法，经离散化 处理，把连续性数学模型转化为等价的离散型数学模型，即由离散数值构成的联 立代数方程组( 离散方程组) 应用有效的代数方程组解法，计算出待求离散数学 模型的离散解( 数值解) 。最后将通常所得电磁场的位函数再经过各种后处理过 程，就可以求出场域中任意点处的磁通密度，或任意区域的能量、损耗分布，以 及各类电磁参数值等，以达到对工程电磁场问题的理论分析、工程判断和优化设 计等目的。 电磁场数值计算基于计算机技术、计算数学的发展，并在工程实际问题不断 提出新的研究课题的推动下，取得了一系列的进展。一般来说，电磁场数值计算 方法主要可以分为：积分法( 积分方程法、边界积分法和边界元法等) 、微分法 ( 有限差分法、有限元法和网络图论法等) ，以及微分一积分相结合的方法( 或 称之为组合法) 。 有限差分法是电磁场数值分析中应用最早的一种方法。为了获得足够精度的 数值解，有限差分法要求精细的网格剖分，但是这往往受制于计算机的内存容量。 而且，实践证明，在相同剖分情况下，有限元法的计算精度高于有限差分法；尤 其当场域几何特征很不规则时，有限差分法的适应性将远远逊色于有限元法。 从7 0 年代开始，e p s f l v e s t e r 、c h a f f 等人把有限元法( f i n i t ee l o m e n tm d t h o d , 简称f e m 法) 引入电磁场计算，这使电磁场数值计算发生了根本性的改观。有 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 限元法能有效地计算非线性二维、三维静态、瞬变及交流稳态涡流场等问题。发 展到今天，有限元法在电磁场数值分析领域中得到了越来越广泛的应用。其突出 的特点有： 1 场域离散化过程保持了明显的物理意义基于物理的最小作用原理； 2 解题能力强，这主要表现在：能够处理边界几何形状复杂，场域中存 在多种媒质的问题；对于第二和第三类边界不必作单独处理；能够自动满 足不同媒质分界面上的边界条件；离散点分布具有随意性；计算精度较高； 程序通用性好； 3 从数学角度上讲，有限元法拓宽了微分方程的求解方法，推动了泛函分 析、计算方法的发展。 因此，自从有限元法诞生以来，在各个学科与工程领域内，该方法得到了及 其广泛的重视和应用，产生了大量有价值的研究成果。 有限元法和有限差分法的共同点是用有限个自由度来近似描述一个连续体。 在开域问题中，这两种方法均要求把边值为零的外界取定在足够远处，致使计算 的场域变得很大，剖分网格的节点数亦随之增加。对此，积分方程方法能较好地 解决开域问题以及连续场的计算问题，因为它只需对源区进行离散。就线性问题 而言，积分方程法具有较高的精度i 但是，对于非线性问题，所形成的离散方程 的系数矩阵是非对称满秩矩阵，需要相当大的内存来存储。相比之下，微分法解 非线性场时，形成的系数矩阵为对称稀疏矩阵，换句话说，对应非线性、多媒质 问题，积分方程法的实际应用受到明显的限制。 由边界积分法得到改进的积分方程法( b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ) ， 即边界积分的离散只涉及到铁区边界，从而使未知数大大减少。此外，系数矩阵 的形成吸取了有限元插值方法，减少了计算时间。对于线性或近似线性的情况， 可达到相当高的计算精度。为了解决非线性问题，1 9 7 8 年c w t r o w b r i d g e 等人 提出了双标量磁位法，该方法就是用两种标量位分别描述不同场区内磁场的数学 模型：在有电流存在的区域采用简化标量位，而在其他区域( 如铁区) 则用全标 量位来描述。这种方法亦称为积分一微分方程法。 近年来，边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm o t h o d ，简称为b e m 法) 也在工程 计算中得到了应用。它以边界积分法为基础，通过加权余量法或格林定理的变换， 将场域问题转换为边界积分求解的数学模型，从而可以求解无界域的电磁场定解 问题。对于线性问题，只需要划分边界单元，可以降低方程维数。边界元法的不 足之处在于形成方程组的系数矩阵不是稀疏矩阵，所有元素都要用数值积分求 出，所需计算时间难以压缩；对多种媒质中场的问题，方法的应用需分别对每一 种媒质取边界、建立方程，然后联立求解。因此，如果场区材料性质复杂，则难 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参致计算方法 度明显增大；同样，对于非线性问题，其应用难度亦明显增大。 网络图论法( g r a p h - t h e o r e t i cf i e l dm e t h o d ) 是将网络图论应用到电磁场数 值计算中，对连续场域问题，直接从物理图像建立代数方程组。因此，也可称为 直接离散模型，它体现了“场”与“路”两种方法的结合和两种理论的统一。该 方法在恒定磁场、交流稳态涡流场等问题的求解中有所应用。 随着计算机技术与数值计算技术的不断发展，一些新的求解偏微分方程方法 也已经发展起来，如小波法、无单元法、无限元法等求解偏微分方程方法也逐渐 地应用到了电磁场数值计算中来。 从电磁场数值计算的现状而言，如上所述，已经发展了许多方法。为适应电 磁装置和系统在高能量密度、高技术经济性能指标，以及新材料应用等方面日益 发展的需求，基于电磁场数值计算的计算机辅助分析( c a a ) 和计算机辅助设 计( c a d ) 等定量分析的研究，已成为一系列工程电磁场问题分析的可靠依据， 并进而作出相应的工程判据、优化设计等。 2 2 2 有限元法的基本原理 1 有限元法概述 有限单元法就是为了对某些工程问题求得近似解的一种数值分析方法。这种 方法是将所要分析的连续场分割为很多较小的区域( 称为单元或者元素) ，这些 单元的集合体就代表原来的场，然后建立每个单元的公式，再组合起来，就能求 解得到连续场的解答。这是一种从部分到整体的方法，分析过程大为简化。从数 学角度来说，有限单元法是从变分原理出发，通过区域剖分和分片插值，把二次 泛函的极值问题化为普通多元二次函数的极值问题，后者又等价于一组多元线性 代数方程的求解。 有限单元的思想最早出现在c o u r a n t 于1 9 4 3 年所发表的一篇著作中，作者 利用三角形单元的组合和最小位能原理，假定翘曲函数为线性分布，获得s t v e n a n t 扭转问题的近似解。当时由于受到一些客观条件的限制而未能得到很快的 发展。到五十年代，由于工程分析的需要，计算工具和计算方法都已具备了一定 的条件，有限单元法在研究复杂的航空结构中最先得到应用，而有限单元法这个 名称则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在他的著作中首先提出。 有限单元法是在变分原理的基础上建立起来的，因此理论基础牢靠。虽然这 一方法起源于结构分析，但是由于它所依据的理论具有普遍性，目前不仅广泛地 被应用于各种结构工程，而且作为一种分析方法已被推广，成功地用来解决其他 工程领域中的问题，例如热传导、渗流、流体力学、空气动力学、港湾和湖泊的 波动、土壤力学、机械零件强度分析、润滑问题、电磁场问题等等。 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 有限单元法是将所考察的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的函数 来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是 在求得集合体的代数方程之后再引进边界条件，因为边界条件不进入单个有限单 元的方程，所以对于内部的和边界上的单元能够采用同样的函数。把边界条件引 入集合体的方程，这一过程也比较简单，因为在变分法中自然边界条件隐含地得 到满足，只需考虑强迫边界条件。 有限单元法在处理复杂的几何形状时比有限差分法更为有利，对连续场的离 散处理也更灵活，适应性更强。 在有限单元法中，最终求解的是多元函数的极值方程，因此它的系数矩阵总 是对称的，对于正定的变分问题，有限单元法离散化后保持了正定性。而且有限 单元法的系数矩阵是稀疏的。 这个方法不仅适应复杂的几何形状和边界条件，而且能成功地用于多种介质 和非均匀质连续介质的问题，这是其他数值方法最难于处理的问题。但是有限单 元法却很容易通过简单的办法来处理，即对不同的单元规定不同性质。 利用有限单元法分析工程问题，如果处理得当，实践证明，所求得的解精度 较高。 任何维数的连续问题，其场变量具有无限多个值，因为它是解域内每一点的 函数，所以这是一个具有无限未知量的问题。而有限单元法将解域分割为有限个 单元，并在每个单元内采用假设的近似函数来表示未知场变量，这种有限单元的 离散工作就把问题简化成为有限个未知量的问题了。假定函数称为场变量模型或 内插模型。场变量模型由结点( 几个单元的汇交点) 处的场变量值所确定。场变 量的结点值和单元的场变量模型完全确定了在单元内场变量的性质。用有限单元 描述一个问题，场变量的结点值就成为新的未知量，一旦这些未知量求出之后， 场变量模型就确定了整个单元集合体的场变量。显然，解的正确性和近似程度不 仅与单元的大小、单元的数目有关，而且与所选择的场变量模型有关。 2 有限元法的实施 连续场的离散化 利用有限单元法对电磁场进行分析，首先对连续场进行离散，也就是将连续 场分割为有限个单元体。对于平面场单元可以是三角形、四边形等形状，对于空 间问题单元的形状可以是四面体、长方体或六面体等。在同一个解域内可以使用 不同类型的单元。如何划分单元，这是一个需要判断力的过程。对所考虑的具体 问题，必须决定有限单元的数目、大小和排列，以便有效的表示给定的连续场。 选择场变量模型 假设的场变量模型只是近似地表示真实的场变量分布。第二步就是要选取代 天津大学硕士学位论文第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 表单元上场变量变化的场变量模型。通常大多用多项式来作为场变量模型。因为 多项式容易进行积分和微分运算。多项式的项数取决于单元上结点的数目，在每 个结点的未知量的性质和数目，以及加在结点处和沿单元边界处的连续要求。 确定单元特性 一旦单元模型已经建立( 即已经选定单元形状和它的变量模型) 就可以去确 定表示每个单元特性的矩阵公式，对此可以采取不同的方法，但是通常最方便的 是变分方法。 集合单元特性得到方程组 为了求得由单元网络所组成的全系统模型的特性，就必须“集合”全部单元 特性。换言之，就是必须组合表示单元特性的表达式，以形成表示整个解域性质 的矩阵方程式。一般说来，集会过程所依据的原理是：在一些单元互相连接的结 点处，由于该结点为这些单元所共有，这就要求所有该结点处邻接的单元在该点 处的场变量相同。组合单元特性表达式为系统的矩阵方程、这是有限单元法分析 工程问题时不可缺少的工作，这项工作通常都由计算机完成。 求解方程组 在得出全解域的联立方程式之后就可着手求解方程组。这时首先必须考虑问 题的边界条件，然后求解以便得出未知结点的场变量值。通过这些结点值就能求 得场内任一点的数值。 2 2 3 空心电抗器磁场分析的数学物理基础 空心电抗器的电磁场求解的主要理论基础是麦克斯韦方程组，它适用于稳定 电场、稳定磁场、似稳电磁场和高频交变电磁场等各种情况。为了研究在任一点 上电磁场中各个量值的关系，必须应用麦克斯韦微分形式的方程组 三个媒质特性方程 其中，6 电容率； v x 日：j + a d 盘 v 冒：一挚( 2 - - 1 ) 出 v d ；o v b ；0 ( 2 2 ) 嵋疆晒 = = i | 旧y 天津大学硕士学位论文 第二章空心电抗器的磁场分析理论及参数计算方法 l v h = j v b = 0( 2 3 ) l b = 皿 2 2 4 电磁场的辅助位函数及其方程 在所求解的电磁场区域内，场量曰、，、e 都是有物理含义的可测物理量， 他们有确定的值。而引入的位函数是辅助计算工具，它们的引入应该保证矢量解 的唯一性，称为物理上的唯一性。此外，在构建位函数定解问题时，还应该保证 对一个具体的数学模型，位函数本身的解答是唯一的，称为数学上的唯一性。对 于同一个问题，即使选用同样的电磁位，也可以建立不同形式的数学模型，它们 对应的电磁位解答是不同的，但这些不同的电磁位的解答应当对应唯一的场矢量 的解，即位函数具有多值性的特征。 1 标量磁位驴及其拉普拉斯方程 静电场、电源以外区域的恒定电流场以及电流密度为零的空间范围内的磁场 都属于