（应用数学专业论文）几类离散的holling型捕食被捕食系统的稳定性与分岔分析.pdf

摘要 动力系统有着其复杂的一面。分岔是一种常见的重要的非线性现 象，并与其他非线性现象( 如混沌，突变，分形等) 密切相关，因此， 在非线性科学中分岔研究占着重要的地位。 本文所作的主要工作是： 1 用欧拉法离散具有h o l l i n gi i 型和i i i 型功能反应函数的 l e s l i e h o l l i n g 微分系统，得到对应的离散动力系统，分析新系统 各不动点的存在性和稳定性，采用中心流形方法降维及规范型方法， 讨论f l i p 分岔和n e i m a r k - - s a c k e r 分岔，最后用m a t l a b 模拟出各种 情况下的分岔图，最大李雅普诺夫指数图和各阶段相图，用 m a t h e m a t i c a 计算重要的分岔指标值。主要结论是系统( 2 4 ) 有5 ，6 ， 8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 7 ，2 0 ，2 4 ，2 6 ，4 2 ，6 7 一周期轨道，也有2 ，4 ， 8 ，1 6 倍周期轨道，准周期轨道及混沌吸引子。系统( 2 5 ) 有7 ，1 4 ， 2 l ，6 3 ，7 0 一周期轨道，也有2 ，4 等倍周期轨道，准周期轨道及混沌 吸引子。 2 针对h o l li n g i i i 型捕食一被捕食离散动力系统，利用k u z n e t s o v 的分岔理论，分析系统的动力学性态，讨论n e i m a r k - - s a c k e r 分岔及 其方向问题，最后用m a t l a b 模拟重要结论，验证分析结果的正确性。 主要结论是系统( 3 9 ) 存在吸引的不变闭曲线，也有复杂的动力学性 态。 关键词动力系统，分岔，非线性，中心流形，规范型 a b s t r a c t t h ed y n a m i cs y s t e mh a si t sc o m p l i c a t e ds i d e t h eb i f u r c a t i o ni sa c o m m o na n di m p o r t a n tn o n l i n e a rp h e n o m e n o n ，a n dt h e r e ss o m e t h i n g w i t ho t h e r n o n l i n e a rp h e n o m e n a ( l i k ec h a o s ，m u t a t i o n ，f r a c t a la n ds oo n ) t h u st h eb i f u r c a t i o nr e s e a r c hp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h en o n l i n e a r s c i e n c e 砀em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： 1 m a k et h el e s l i e h o l l i n gd i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hh o l l i n gt y p e i i a n dt y p e i i if u n c t i o n a lr e s p o n s ed i s c r e t eb yt h ef o r w a r de u l e rs c h e m e a n da n a l y z et h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h ef i x e dp o i n t so ft h en e w d i s c r e t ed y n a m i cs y s t e m s t h e nd i s c u s st h ef l i pa n dt h en e i m a r k s a c k e r b i f u r c a t i o nb yt h ec e n t e rf o l d ，w h i c hc a nr e d u c et h ed i m e n s i o n ，a n dt h e f o r m a l m e t h o d s f i n a l l y d r a wa l lk i n d so fb i f u r c a t i o n f i g u r e s ，t h e m a x i m u ml y a p u n o ve x p o n e n tf i g u r e sa n dt h ep h a s ef i g u r e sb ym a t l a b a n dc o m p u t et h ei m p o r t a n tv a l u e sa st h eb i f u r c a t i o ni n d i c e sb ym a t h e m a t i c a 1 h em a i nr e s u l ti st h a ts y s t e m ( 2 4 ) e x i s t sp e r i o d 一5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 7 ， 2 0 ，2 4 ，2 6 ，4 2 ，6 7o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni n c l u d i n g p e r i o d2 , 4 ，8 ，1 6o r b i t s ，q u a s i p e r i o d i co r b i t sa n dt h es t r a n g ea t t r a c t o r a n d s y s t e m ( 2 5 ) e x i s t sp e r i o d 7 ，1 4 ，2 1 ，6 3 ，7 0o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni n c l u d i n gp e r i o d 一2 ，4o r b i t s ，q u a s i - p e r i o d i co r b i t sa n dt h e s t r a n g ea t t a r c t o r 2 a p p l yt h eb i f u r c a t i o nt h e o r i e sb yk u z n e t s o vt ot h ed i s c r e t e p r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hh o l l i n gt y p e - i i i t h e na n a l y z et h ed y n a m i c q u a l i t i e so ft h es y s t e m ，m a i n l yf o rt h en e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na n di t s d i r e c t i o np r o b l e m f i n a l l ym i m i ct h ei m p o r t a n tr e s u l t sb ym a t l a bt ot e s t t h er i g h t n e s s t h em a i nr e s u l ti st h a ts y s t e m ( 3 9 ) e x i s t sa na t t r a c t i n g i n v a r i a n tc l o s e dc u r v ea n dc o m p l i c a t e dd y n a m i cq u a l i t y k e yw o r d s d y n a m i cs y s t e m ，b i f u r c a t i o n ，n o n l i n e a r ，c e n t e rf o l d ， f o r m a l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：墓金日期：2 翌l 年卫月生日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：握导师签名堑覃数期：磐卫月生日 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 动力系统中分岔理论的发展与研究方法 混沌理论的提出是二十世纪的三大科学革命之一，作为与量子力学、相对论 相齐名的一个重大科学理论，混沌理论产生了巨大的影响，同时也被广泛应用于 各领域。随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越来越被人们看作 是复杂系统的一个重要理论 1 5 1 。 动力系统是随时间的变化而演化的系统，它主要研究随时间的长期发展，系 统的状态是如何改变和演化的。动力系统有着复杂系统的一面，它的理论起源于 对常微分方程的研究【9 】。例如，在十九世纪末二十世纪初，法国的著名数学家 p o i n c a r 6 在研究三体问题时，发现解对初始条件极为敏感，三体引力相互作用就 能够产生极为复杂的动力学行为，同时p o i n c a r 6 还提出了一系列的重要概念， 象动力系统、稳定性、分岔、同宿和异宿等，1 9 6 3 年美国麻省理工学院的e l o r e n z 在用计算机研究大气对流模型时，发现在计算时间足够长之后，方程的解出现了 非周期的无规律现象，类似于随机现象。二十世纪前期，混沌在动力系统中的理 论仍未被真正发现，伴随二十世纪后期高速计算机突飞猛进的发展，利用电脑计 算实现仿真，让人们对非线性动力系统的了解大大提升，这是计算机时代前所无 法想象的f 5 1 。 分岔问题起源于研究一些力学失稳现象，早在十八世纪中叶，b e r n o u l l i 和 e u l e r 等人就已经研究过杠件在纵向压力作用下的屈曲问题，1 8 3 4 年，j a c o b i 在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首先引进分岔这个术语， 1 8 8 5 年，p o i n c a r 6 提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论，1 8 8 3 年， r e n o 发现在临界r e n o 数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流体稳定性的研 究，二十世纪三十年代，v a nd e rp o l 、a n d r o n o v 等在非线性振动研究中发现大 量的分岔现象，分岔理论在二十世纪六十年代形成基本框架，到八十年代才逐步 完整起来，随后的重要成果包括a n d r o n o v 和p o n t r y a g i n 建立的分岔和动力系统 结构稳定性的关系，d u m o r t i e r 和g o l u b i t s k y 等人在突变理论的基础上，发展 了研究局部分岔问题时十分有效的奇点理论。分岔理论的发展之所以这么缓慢， 是因为结构不稳定系统可以以多种形式出现分岔现象，分岔发生的层次也不尽相 同，这导致分岔理论的内容不断向纵向深入发展，对于许多微分方程，由于不能 得到其通解的表达式，着眼于从方程本身的特性去研究其解应具有的各种性质， 解的某些局部的或大范围的形态往往要随着方程的变化( 常体现为系统中参数的 硕士学位论文第一章绪论 变化) 而发生变化5 1 。 分岔问题中通常使用的方法有：l y a p u n o v s c h u m i d t ( l s ) 方法和奇异性理 论、中心流形法和规范型理论、摄动法、胞映射法等方法，其中摄动法比较简单， 易于被只有古典分析数学基础的人接受和运用，它可用于静态分岔、h o p f 分岔、 次谐和超次谐分岔等一系列问题，并能给出近似的解析结果；l s 方法和中心流 形方法是主要的降维方法，是将高维或无限维非线性方程化为低维非线性方程的 一种方法，它们是分岔研究中常用的方法；奇点理论是现代数学的一个重要分支， 它可研究可微映射的退化问题，并成功地处理许多非线性现象，不仅用于静态分 岔，而且可以处理通有的和退化的h o p f 分岔，因此它是一种研究平衡点分岔统 一且有效的方法；规范型理论是在平衡点附近，用近似恒同的非线性变换将常微 分方程化简，只保留共振项，便得到方程的p o i n c a r 6 一b i r k h o f f ( p b ) 范式，这种 方法适用于研究局部分岔，对于高维系统，在使用规范型理论之前，往往要先用 中心流形方法降维；胞映射法是近二十多年来发展起来的，它把动力系统研究转 化为在相空间中胞映射形态的研究，它需要通过计算去实现，它是全局分俞研究 的一种有效方法f 5 1 。 近年来，国内外学者重视研究系统中存在的分俞现象的原因之一在于分岔有 可能导致复杂的运动，同时，分岔理论还与工程问题有着紧密的联系：神经网络 的分岔问题、超导问题中的分岔现象分析、对称系统中的分俞等等。 分岔是一种常见的重要的非线性现象，并与其他非线性现象( 如混沌，突变， 分形等) 密切相关，因此，在非线性科学中分岔研究占着重要的地位【8 】。 1 2 预备知识 1 2 1 分岔的基本概念 在研究分岔之前，先介绍系统的结构稳定性。结构稳定性是指动力系统受到 扰动后，其拓扑结构保持不变的性质。结构稳定性理论与分岔理论有着密切的关 系。分岔理论研究非线性常微系统由于参数的变化而引起的解的不稳定性从而导 致解的数目的变化行为。如果一个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的 扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的质的变化，这种质的变化称为分岔【1 9 】。 根据研究的侧重点不同，可以将分岔划分为多种类型。按系统是否显含时间 t 划分，分岔可分为自治系统分岔和非自治系统分岔；按所研究的分岔空间域划 分，分岔可分为局部分岔和全局分岔；按研究对象划分，分岔可分为静态分岔和 动态分岔；按系统的维数划分，分岔可分为一维分岔和多维分岔；按系统的余维 划分，分岔可分为余维1 分岔和高余维分岔【5 】。 2 硕士学位论文第一章绪论 这里主要讨论倍周期分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔。 简单地说，倍周期分岔就是指随着自变量的变化，因变量从1 个吸引的不动 点分岔成为到2 1 个吸引的不动点，再到2 2 个吸引的不动点，再到2 3 、2 4 个吸 引的不动点，直至混沌【2 1 。而h o p f 分岔就是指随着自变量的变化，因变量从一 个吸引的不动点变为一个稳定的极限环【1 9 】。h o p f 分岔是针对微分系统的，同样 的分岔情况，在离散动力系统中，我们通常称为n e i m a r k - s a c k e r 分俞【2 】。 引理1 2 1 【1 6 j ：当f ) = 矛+ 鼢+ q 时，假定f ( 1 ) 0 ， 和九是f o ) = 0 的两个根，则 ( 1 ) i f 1 ，l a ：i oh q 1 营e ( - 1 ) - oh q 1 ； ( 4 ) 九= 一l a ：i 1 争f ( 一0 = o 且e o ，2 ； ( 5 ) 和允：是复数，且r i - - 1 4 2 l - 1 营p 2 一蛔 o r q 一1 设 和t 是不动点所对应的特征值。 当k f 1 时，不动点叫做源( s o u r c e ) ，源是不稳定的； 当j l 1 时，不动点叫做鞍点( s a d d l e ) ； 当h i l k l 1 时，不动点叫做双曲的( h y p e r b o l i c ) 。 1 2 2f i ip 分岔定理 对于二维系统，对应的特征方程对应有两个特征值，当其中一个值为一i ， 这时系统所产生的分岔是f l i p 分岔【4 】。应用中心流形定理降维，此时的分岔分 析就成为倍周期分岔分析。 定理1 2 1 【1 】：假设，：足2 一尺是c 3 的，g ，肛) 记作无g ) ，若函数，g ，) 满 足： ( 1 ) 厂k ，a 。) = ； ( 2 ) k ) 一一1 ； 3 硕士学位论文第一章绪论 ( 3 ) 叫去q 1 ( 训o f 、i ( 0 叫2 f 儿 l ，乩 b 軎，心1 萨02 f ) ) - 0 则存在包含z 。的区间，和包含。的区间j ，以及可微函数aa 胁g ) ：，- - j ， 使得以下条件成立： ( 1 ) 不动点的稳定性在t o 处发生改变：如果口。 0 ，则当 肛。时，不动点 吸引；如果口。 0 ，则当 。时，不动点吸引。 ( 2 ) 点o ，所o ) ) 是2 一周期点：f2 g ，朋g ) ) 一z ，但是，g ，川b ) ) = x ，当x 乒x 。； ( 3 ) 曲线= m g ) 经过点0 。，o ) ，即：m ( x 。) = j l o ； ( 4 ) 曲线m 在ix j 坐标中给出了所有的2 一周期点； ( 5 ) 函数m ( x ) 的导数满足所b 。) ；0 ，且朋”g 。) ；一生0 ，所以 历b ) 嘶一去b 喵) 2 + 。b o | 3 ) o 女日果一 。，当胪j c 。时，出现2 - 周期 轨道；如果一垒 0 ，当 o 时，2 一周期轨道是吸 引的；当口： 0 时，2 一周期轨道是排斥的。事实上， 掣b 小4 如吨) 2 + 。仳吨1 3 ) 1 2 3n ei m a r k - s a c k e r 分岔定理 对于二维系统，对应的特征方程有两个特征值，当这两个特征值是一对模为 1 的共轭复数时，这时系统所产生的分岔是n e i m a r k - s a c k e r 分岔【4 】。 n e i m a r k s a c k e r 分岔至少在二维以上系统中才能发生。 4 硕上学位论文 第一章绪论 定理1 2 2 【4 l ：设二维含参数系统 x 呻，g ，口) ，x e r 2 , a e r( 1 1 ) 在参数口一0 时有不动点一0 ，且特征方程对应的特征值。2 。e “，则在x 。的 邻域内，当参数口穿过0 时，从不动点x o 处产生唯一的不变闭曲线。 从相图上可看到，n e i m a r k - s a c k e r 分岔会出现不变闭曲线。产生稳定的不变 闭曲线的分岔叫做超临界的n e i m a r k s a c k e r 分岔，产生不稳定的不变闭曲线的分 岔叫做次临界的n e i m a r k s a c k e r 分岔【4 】。 1 2 4 中心流形定理 这里我们介绍离散动力系统含参数的中心流形定理。 设离散动力系统为 睇y 锻b y ：嬲y 黑 q 劲 l 州= 。+ g 也，。，f ) 、7 其中g ，y ) e n x r 5 ，且 f ( o ，0 ，0 ) = 0 ，o f ( 0 ，0 ，o ) 10 ， g ( o ，0 ，0 ) = 0 ，d g ( 0 ，o ，0 ) 10 ( 1 3 ) 定理1 2 3 【3 l ：在系统( 1 2 ) 中，设函数厂，g 在原点附近是c 7 ( 厂22 ) 的，则 在原点附近存在中心流形 w 。k ，y ) e r r px r ：y - j l ，) ，h 6 ，h g , h ( o ，o ) 一o , o h ( o ，0 ) 一0 其中，阱同 o ，y o 中不动点的存在性和稳定性，接着分析了对于象限r ：内 部的不动点，当参数取某些值时，系统( 2 4 ) 有f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔， 最后在数值模拟部分，我们不但验证了理论分析部分的正确性，并列出了系统 ( 2 4 ) 的复杂动力学行为，比如系统( 2 4 ) 有5 ，6 ，8 ，9 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 7 ，2 0 ，2 4 ，2 6 ，4 2 ，6 7 周期轨道，还有2 ，4 ，8 ，1 6 倍周期轨道，准周期轨道及混沌吸引子，l y a p u n o v 指数 和维数的计算和上述分析也吻合。 8 硕上学位论文第二章两类捕食被捕食l e s l i e - h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 2 2 1 不动点的存在性和稳定性 卜叶焉】 l 叫卜譬) 引理2 2 1 ：对所有参数，系统( 2 4 ) 都有不动点k ，o ) 和唯一的正不动点 e g ，y ) ，其中x ，y 满足 煳两 亿。 征方程的特征值的模判定的。根据定义，可知系统( 2 4 ) 在点b ，y ) 的j a c o b i a n 矩 因此， j ( x ，y ) =丝k 簖 l 工+ 口) 。 & s y 2 z 2 6 似 x + 9 1 + 蠡一2 & s y 工 删2 卜斟 ，g ，y ) ；( 南一等) _ 岛 婪 1 一盘 定理2 2 1 - 不动点伍，o ) 所对的两个特征值分别为： t 1 一，6 ，屯；1 + s 6 。则 设 a 伍，o 耀鞍点，若o 0 ，f ( 一1 ) 一4 + 2 g 6 + 胁6 2 定理2 2 2 ：设不动点e g ，y ) 是系统( 2 4 ) 的正不动点，则 a 不动点e 。b ，y 旌汇，若下面情况之一成立： 1 0 硕士学位论文第二章两类捕食被捕食l e s l i e h o u i n g 模型的稳定性与分岔分析 ( 1 ) 一2 压g o 且o 6 一面g ； ( 2 ) g 一2 压且。 6 - g 弋- 、g r 2 _ 4 一h s b 不动点e b + ，y 避鞍点，若 g 一2 压且业h s 6 - g + f i g 2 - 4 h s h s c 不动点e 。b ，y 避源，若下面情况之一成立： ( 1 ) 一2 4 - f f ；sg o i l d 一面g ； ( 2 ) g 一2 4 - f f ；且。- g + 、r g 2 _ 4 h s ； d 不动船b ，y 避非双曲的，若下面情况之一成立： g “压肌华- g * - g 2 - 4 h s 且群； ( 2 ) 一2 伍 g o 且6 - 一面g 由引理1 2 1 ，我们可以知道当定理2 2 2 的d ( 1 ) 成立时，不动点e ，y ) 的 一个特征值是一1 ，另一个既不等于i ，也不等于一is 当定理2 2 2 的d ( 2 ) 成立 时，不动点e o ，y ) 的特征值是一对模为1 的共轭复数。 令 叫弘双舻 趴6 一竿皿砺正畸 或 和( r , k , a , f l , s , h , 3 加一华肚蛎胤一) ， 当参数在b 。或b ：的小邻域内变化时，系统( 2 4 ) 在不动点e + ，y ) 产生f l i p 分岔。 令 1 1 堡兰竺竺堕 第二章两类捕食被捕食l e s l i e h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 耻卜眦啪加育g 一2 瓜 g 0 ，其他参数均为正数卜 当参数在日口的小邻域内变化时，系统( 2 4 ) 在不动点e ，y ) 产生n e i m a r k s a c k e r 分岔。 下面我们研究系统( 2 4 ) 的f l i p 分俞和n e i m a r k s a c k e r 分岔。 2 2 2f ii p 分岔和n e i m r a k - s a c k e r 分岔 在2 2 1 节的基础上，我们选择6 为分岔参数，应用中心流形定理和分岔理论 【3 , 5 1 ，5 5 ，6 8 ，研究系统( 2 4 ) 的f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔。 下面我们先讨论当参数在b 。附近扰动时，不动点e + ，y ) 发生f l i p 分岔的情 况，参数在最：附近扰动的讨论类似。 任取参数( 厂，k ，口，卢，s ，h ，6 。) 瓦。，则系统( 2 4 ) 成为： 咖 川出1 一言) 一南 川十譬) ( 2 8 ) 系统( 2 8 ) 有唯一正不动点e + o ，y ) ，由定理2 2 2 - - i j n ，不动点e ，y ) 的 特征值分别为九一- 1 ，a 2 = 3 + g j ，且k i 1 。 由于( 厂，k ，口，f l , s , h ，6 。) b 。，6l-_-g-g2_4hs，选6 为分分岔参数，我们 1 - 1 s 考虑系统( 2 8 ) 如下的扰动系统： ，z 、 【y 广 z + g 川州1 一素) 一南】 y + 卟等) 其中，p j 0 ，则从e o ，y + ) 分岔出的2 一周期轨道是稳定的，反之则不稳定。 下面我们讨论当参数在h 口附近扰动，系统( 2 4 ) 在不动点e + ，y ) 处发生 n e i m a r k - - s a c k e r 分俞的情况。 任取( 厂，k ，a ，声，s ，h ，6 ：) 日。，系统( 2 4 ) 改写为： 驴 川z 朴一言) 一南 川z 妙( 卜等) ( 2 1 4 ) 由于( ，- ，k ，口，卢，s ， ，6 ：) 日口，6 ：一一面g ，选择万+ 为分岔参数，我们考虑系统 ( 2 1 4 ) 的扰动系统： 即 x + g ：玎啪一言) 一南 y + g z 疗卟譬) 其中，i 万+ i 1 是一个很小的扰动量。 1 6 ( 2 1 5 ) 硕士学位论文 第二章两类捕食被捕食l e s l i e h o u i n g 模型的稳定性与分岔分析 令“a 石一x ，v = y y + ，将不动点e ，y ) 平移到坐标原点，系统( 2 1 5 ) 转化 为 呻l ? ：? ：o 嚣嚣艺二爨锹m 秒) ) 9 其中口l l ，口1 2 ，口1 3 ，口1 4 ，e l ，9 2 ，口2 l ，露2 2 ，露2 3 ，口2 4 ，口2 5 ，d l ，d 2 由( 2 11 ) 给出，且6 = 6 2 + 万。 系统( 2 1 6 ) 的线性部分在0 ，y ) = ( o ，o ) 时的特征方程为 a 2 + p p n + 口悟) 。0 ， 其中， p 悟) 一一2 一g 0 ：+ 万) ， 口信) ；1 + g ( 5 ：+ 万) + 胁0 ：+ 万+ ) 2 由于( 厂，k ，口，卢，s ，h ，6 ：) 日口，根据定理2 2 2 ，可知不动点( 0 o ) 的特征值是一对 模为1 的共轭复数a 和万，其中 瓶。- p 芝( r ) 兰厮而研小掣掣、一4 h s - g 2 ， 且 m i 嗣一剖n 。一一争 要使系统( 2 1 6 ) 发生n e i m a r k s a c k e r 分岔，则当万；0 时，要求刀，矛一1 ， ( ，”= l 2 ，3 ，4 ) ，即p ( o ) 一一2 , 0 , 1 , 2 。 因为( ，k ，口，声，s ，h ，6 ：) h 丑，所以p ( o ) 一一2 , 2 。 我们只需要求p ( 0 ) 一0 , 1 ，从而 g 2 2 h s ，3 h s 犯1 7 ) 下面研究万0 时，系统( 2 1 6 ) 的正规型。 鲥| o ，令霉1 + 孚，缈一垒2 厨，构造可逆矩阵 1 7 硕七学位论文 第二章两类捕食- 被捕食l e s l i e h o l l i n g 模型的稳定性与分俞分析 应用变换 则( 2 1 6 ) 式化为 其中 岳仁，歹) ； 丁。f a 1 2 l l 一a l l斗 沪防 ( ；) - ( ：_ _ ) ( ；) + ( ；凄爹；) ， e - - u 3 + e 2u 2 v + d 蛔 a 1 2a 1 2 。 口1 3 ( 一口1 1 ) 一口1 2 口2 3 + a 1 2 “2 +口。( 一a l i b 。：口拼 a 1 2 t o 罗1 ) 4 ) ， “v 一堕v 2“v o v 一 缈 比2 一口鑫y 2 ，“y a 1 2 “一a l l 弦2 一口1 2 研， ，2 一( 一口1 。) 2 2 2 2 ( u a l x k 万+ 2 罗2 ， 五一2 a 。：口1 3 + 2 0 一k 。，磊一一a 。4 c o ，磊一0 ， 名= 6 a 。：l ：( - 口1 。) + e i a l 2 】，岛= 一2 a ：，岛= 岛一o ， g 赢 g 嚣 ( 2 1 8 ) ；三0 。： 口，。o _ 口1 ，- a 1 2 a 2 a + ( 1 比- a u 牡。似- 口l ，- a 1 2 a 2 4 】一口为( f l - - a 1 1 ) z ) ， 。 一( 一口l l x 2 口2 5 一口1 4 ) + 口1 2 口2 4 ，季茆一一2 a 2 5 0 j ， t 粤 口。：k ，( - 口l 。) 1 ：d 。】+ ( - 口l 。k ：似- 口1 。- - a 1 2 d ：丑， 玛，2 a 。：k d e 2 ( 一a 1 1 ) 】，赫a 嘞| 0 要使系统( 2 1 8 ) 发生n e i m a r k s a c k e r 分岔，还要求下面的判别量a 不为零 【3 ，5 1 ，5 5 。 口；- r e ( f ( 1 2 a 炉 1 一a h 小蚺r e 阮) 1 8 万- o ! ! ：兰些堕= 苎! = ! ! 墅! ：塑! 型! ! 些! 堕! ! ! ! 型! ! ! 坌堑 其中 和弘一岛+ + r k 一岛一z 焉l - 善- ：瞻+ 磊+ r b + 岛1 如，；【莳一磊一碥+ z k 一知+ ：岛l ， 岛。一去k + 岛+ 赫+ 岛+ r b + 岛一岛一岛l 根据以上的分析和定理【3 ，5 1 ，5 5 ，我们得到： 定理232 ：当条件( 21 7 ) 成立，且0手很小时，则系统( 2 4 ) 在小动点 e o ，y ) 处发生n e i m a r k s a c k e r 分岔；若口 0 ( ) o ) ，则从不动点e o ，) 分 岔出吸引( 排斥) 的不变环。 针对上面的分析，画出系统( 24 ) 的f l i p 分衍和n e i m a r k s a c k e r 分岔在以 f 两种情况下的分岔图，相图和晟大李雅普诺夫指数图，考虑f 而i 町种情形： ( 1 ) 0 2 j6 ( 04 2 ，固定h - l 5 8 ，一2 ，k 一2 ，a - 2 ，口- 1 ( 2 ) 0 2 6 04 5 ，固定h - s - 1 , r - 9 ，k - 2 ，a - 8 1 1 7 ，芦一1 1 7 在情形( 1 ) 中，h 一1 , s 一8 ，3 , k2 ，口- 2 ，芦一1 ，根据引理221 可知，系 统( 2 4 ) 有一个正币动点，经过计算，当d - 0 2 9 8 0 m j ，在不动点( l i ) 发生f l i p 分荷，q 6 7 1 2 2 ，a ：- 1 2 1 2 5 1 ，h p ，k ，口，卢，j ，h ，6 ) - 如2 ，2 , 1 , 8 , 1 ，0 2 9 8 0 ) 。 圈2 1 ( a 1 验证丁定理23 1 的正确性。 匈 恬懈惜，喁sd 竺主兰壁堡兰翌= 苎堕茎苎童：竺堕童型竺些! 墼堡兰塑壁星丝。! 竺苎坌堑 圈2 1 ( 接上) 参数为h - l ，s = & r = 2 k = 2 d - 2 ，b = l 初值为( 07 05 ) ，( a ) 、( c ) 为系统( 24 ) 在( 6 x ) 、 ( 6 y ) 甲耐_ j ：的分估圈，( b ) 、( d ) 分别为( a ) 、( c ) 的月部放大图( 6e 03 7 ，04 0 4 ) ( e ) 为( a ) 、( c ) 的强 人事雅昔诺夫指教蚓( f ) 为( e ) 的局部放丈幽( 5e o3 7 04 0 4 ) 在图2 1 ( a ) 中，我们可以看到当6 to 2 9 8 0 时，不动点( l 1 是稳定的，在 d 。o 2 9 8 0 时，不动点( u ) 失去稳定性，发生倍周期分禽，对应的最大李雅普诺 夫指数图见图21 ( e ) 。局部的动力学性态更加复杂，局部放大的分衍图和对应 的最大李雅普诺夫指数图分别见图2i ( b ) 、( d ) 和( f ) 。对应的相图见图2 2 。 在与分岔图21 对应的相图22 中，我们看到，当6 e o2 8 , 0 3 7 5 5 1 时，系统 ( 24 ) 有2 ，4 ，8 ，1 6 一周期轨，当6 e 1 0 3 7 6 ，0 4 0 3 时，系统有5 ，6 ，1 0 ，1 2 ，1 4 ， 2 0 一周期轨。当d - 0 3 7 7 7 时，系统( 2 4 ) 产生混沌集。在图21 ( e ) 中，我们可以 看到相应的最大李雅普诺夫指数是大于零的，再次验证了混沌集的存在。 硕上学位论文第二章两类捕食- 被捕食k s l i e h o l l m g 模型的稳定性与分岔分析 ( a ) ( c ) ( e ) l ( b ) ( d ) 图2 2 i ( f ) 硕士学位论文 第二章两类捕食- 被捕食l e s l i e - h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 ( i ) ( k ) ( h ) ( j ) 图2 2 ( 接上) ( 1 ) 堡兰些堡兰墨三兰堕差塑堡堕塑堡堡坐：! ! 坐坚茎型塑塾里丝! 竺垒竺堑 圈28 ( 接上)目2 1 对戊曲相目。( a ) 6 = 02 8 ( b ) 8 = o3 ( c ) 6 = 03 5 ，“) 6 = 03 7 3 ( e ) 6 = 03 7 8 ( f ) 6 - 03 7 6 6 ( g ) 6 加3 7 7 7 ，( h ) 5 - 03 8 0 8 ( i ) 6o3 8 i ，( j ) 503 8 3 2 ，( k ) 6 一o3 9 0 8 ，( 1 ) 6 = 03 9 1 2 ( ) 5 - 04 0 2 8 ( n 】6 却4 0 8 3 在情形( 2 ) 中，h 小t r = 9 ，k = 2 ，a = 8 1 1 7 ，卢= 1 1 7 ，根据引理2 21 可 知，系统( 2 4 ) 有个正不动点，经过计算，当6 - 0 2 6 3 2 删 ，在不动点n ，i ) 发生 n e m r k s a c k e r 分岔，t - 。8 3 5 5 t f 0 5 4 9 5 ，k l - 】，f 剖一。6 2 5 0 ) 。 口一一0 4 7 5 5 ，并且- ，k ，口，卢，j ，h ，6 ) - ( 9 ，2 , 8 1 1 7 ，1 1 7 , 1 , 1 ，0 2 6 3 2 ) e h 口。图23 验 证了定理232 的正确性。 圈23 堡! 兰壁堡兰里三里苎差塑堡：蔓塑堡生! ! 型! ! ! ! 些基兰塑翌塞堡皇坌生坌堑 幽23 ( 接e ) 参数为r - 9 ，1 ( 2 ，a = 8 1 1 7 ，b - 1 1 7 s = h 1 初值为( 07 。05 ) ( a ) 、( c ) 为系统( 24 ) 在( 6 x ) 、( 5 y ) 甲面上昀分岔圈( b ) 、( d ) h 别为( a ) 、f c 】的月部放 圈( 6e 03 4 5 ，04 0 7 ) ，( e ) 为( a ) 、 ( c ) 的最 车雅普失指数圈( f ) 为( e ) 的目部艘人幽( 6 03 4 5 n4 0 7 ) 在图23 ( a ) 中，我们看到在dc0 2 6 3 2 时，不动点( 1 , 1 ) 是稳定的，在 6 = o2 6 3 2 时，不动点( u l 失去稳定性，发生n e i m a r k - - s a c k e r 分岔出现吸引 的不变闭曲线，图2 3 ( b ) 足图2 3 ( a ) 局部的放大。 在图23 ( e ) 中我们看到，当6 e ( o 2 ，02 6 3 2 ) 时，最大李雅普诺夫指数小于零， 很明显，非混沌区间远远小于混沌区间( o2 6 3 2 , 0 “) 。当6 e l o3 4 5 , 0 4 0 7 l 时，犀 大李雅普诺夫指数有的大于零，有的小于零，所以在混沌区内有稳定的周期窗口。 硕士学位论文第二章两类捕食被捕食l e s l i e h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 ( a ) l ( c ) ( e ) ， ( b ) i ( d ) 图2 4 i ( f ) 硕十学位论文 第二章两类捕食被捕食i a s l i c - h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 i ( g ) ( k ) i ( h ) l ( j ) 图2 4 ( 接上) i ( 1 ) 璺! ：兰竺堡塞 里三! 苎垄塑堡：些丝垦堕坐：! 型! ! 坚堡星箜整塞丝! 垡苎坌堑 4 参 奶一 、篡 + 、j f l j 套鸯； “i 庶强j 圈24 ( 接上) 幽23 对应的相幽( a ) 6 = 02 4 ( b ) 6 = o2 6 3 2 ( c ) 6 = o2 6 3 5 。( d ) 6 - 02 7 韧值为 ( 10 0 1 ，10 0 2 ) ，( e ) 6 = 02 7 1 ( f ) 6 = 03 4 7 ，( g ) 6 = o3 6 9 , ( h ) 6 - 03 7 9 ，( 1 ) 6 = o3 8 8 ，( j ) 5 = 03 9 1 ( k ) 5 = 04 0 2 ，( i ) 6 却4 0 6 ，( m ) 6 = o4 0 6 5 ( ) 6 = o4 0 8 ( o ) 6 - 04 1 4 ( d ) 5 一o4 3 图2 4 中的相图清楚地描述了系统( 2 4 ) 如何从一个稳定的不动点产生吸引 的不变闭曲线。当6 ，o 2 6 3 2 时，系统产生了不变环，并随着6 的增大，不变环 的半径越来越大，直到d 大于某一临界值，不变环消失。比如6 03 4 7 时，出 现9 一周期轨道。我们还可以看到8 ，1 7 2 4 ，2 6 ，4 2 ，6 7 一周期轨道，和一些准 周期轨道。 2 3 具有l o sije h oij in g h 型功能反应函数的模型的分岔分析 下面分析2 1 节中的模型( 25 ) ，分析过程采用相同的方法，所以这里只通 过数值模拟柬体现具有h o l l j n g i i i 型功能反应函数的模型( 2 5 ) 的动力学性态。系 硕士学位论文第二章两类捕食- 被捕食l e s l i e h o l l i n g 模型的稳定性与分岔分析 统( 2 5 ) 有7 ，1 4 ，2 1 ，6 3 ，7 0 周期轨，也有2 ，4 等倍周期轨道，准周期轨道， 最后出现混沌吸引子。 考虑下面两种情形： ( 1 ) 0 7 墨6 1 1 5 ，固定h = l , s 一1 2 ，r 一3 ，k = 2 ，口= 9 ，卢一5 ( 2 ) o 2s6s0 4 5 ，l 司定h