（应用数学专业论文）强度为3的四元系填充.pdf

强度为3 的四元系填充 摘要 摘要 t 一( 钉，尼，a ) 填充设计是指一个有序对( kb ) ，其中y 是一个u 元集合，b 是y 中七元子集( 称为区组) 的多重集合，满足y 中任意t 元子集最多出现 在a 个区组中，其中t 称为强度使乒( u ，七，入) 填充设计存在的最大区组数称 为填充数，记为仇( t ，七，) 当t = 2 时，填充数已被广泛研究，见 1 1 】相比 之下，对于t 2 填充数的研究还不是很多，h a n a n i 1 4 】，b r o u w e r 【2 】和季利 均【2 3 等人基本确定了d ( ”，4 ，3 ) 的值 本文首先利用可分组3 设计，3 平衡设计与s 一，肌设计，基本确定了 风，9 ，4 ，3 ) 的存在性，并证明了c q 风( 夕m ：o ) 存在的必要条件也是充分的 进而，利用它们以及指标为a 的烛台形四元系，通过填洞构作获得最优填充 设计，从而基本确定了当入 1 时的填充数队( u ，4 ，3 ) ( 除一些参数外) ，即： d ( 钞，4 ，3 ) = 【i d 一l ，3 ，2 ) j 一2 ，当”三7 ，1 1 ( m o d1 2 ) 且a 三2 ( m d d1 2 ) 时， 【：a 一l ，3 ，2 ) j l ，当t ，= 7 且a 兰3 ( m 砌1 2 ) 时， 或当兰3 ( m d d1 2 ) 且a 兰6 ( 删1 2 ) 时， 其余情况 尚未确定的参数是：口= 3 1 且入三3 ( m d d4 ) ； = 2 7 且入三5 ，7 ( m o d1 2 ) ； 口= 1 5 且a 三1 1 ( 竹勘d d1 2 ) ；u 6 七+ 5 ：七t ) 上la 三1 ( m o d4 ) ；口 【6 七+ 3 ：七加且入三5 ( m 砌1 2 ) 其中m = m ：m 是奇数且3 m 3 5 ，m 1 7 ，2 1 ) u 4 5 ，4 7 ，7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 5 9 ) ，= n ：仃是奇数且3 死5 5 ，死 3 7 ，3 9 ，4 3 ) u 7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 5 9 ，1 6 1 ，1 6 3 ，1 6 5 ，1 6 7 ，1 6 9 ，1 7 1 ，1 7 3 ，1 7 5 ) 关键词：最优填充设计，带洞填充设计，烛台型四元系，日设计，可分组t 设计 作者：金晶 导师：季利均( 副教授) m a x i i n u mp a c 王d n 伊o ft r i p i e sb yq u a d r u p i e s英文摘要 m a x i m u mp a c k i n g so ft r i p l e sb yq u a d r u p l e s a b s t r a c t a 扛( 勘，七，a ) 一p 诎i n gi sap a i r ( v 召) w h e r ey i sa 一e l e m e n ts e ta n dbi sac o u e c t i o n o f 缸s u b s e t s ( c a l l e d6 2 0 c 埘o fy ，s u c ht h a te v e 巧扛s u b s e to fy o c c u r 8i n a tm o s ta b l o c k s ，w h e r e 恼嘲l e ds t r e n g t h t h ep 溅n g 肌m b e rd 入( u ，i | c ，t ) i st h em 商功砌 n u i n b e r0 fb l o c l 【si n 锄y 扣( u ，七，a ) 一p a d d n g f o rt = 2 ，m u c hw o r kh a sb e e nd o n e0 n p a c 舾n gn u l b e r sd a ( u ，七，2 ) ( s e e 【1 1 1 ) h o w - e 、，e r ，f 6 rt 2 ，n o t m c h i sk n o w i nt h i sp a p e r ，w eu s eg r o u pd i 、r i s i a b l e 孓d e s i g i l s ，t h r e e 谢s eb a l a n c e dd e s i g n s a n ds 一，口nd e s i g n st od e t e r 以n et h ee 】d s t e n c eo fa n 王以( m ，9 ，4 ，3 ) 晰t hs o m ep o s s i b l e 唧t i o 璐衄dt op r o v et h a tt h en e c e 鹋a 巧c o n d i t i o 璐f o rt h ee 妇s t e c e0 fac & ( 扩： 0 ) a r ea l l s 0s u 伍c i e n t t h e y ，t o g e t h e r 研t hc a n d e l a b r aq u a d r u p l es y s t e i i l 8a n dh o l e y q u a d l l j p l ep a d d n gd e s i g n 8 ，甜el l s e dt od e t e r n l i n et h e 职( ，4 ，3 ) 祈t ha 1 ，i e ， f 【i d a 一1 ，3 ，2 ) j 一2 ，i fu 三7 ，n ( m d d1 2 ) a n d 入兰2 ( m 砌1 2 ) ， 酏4 j 3 ) = p 心- 1 3 2 。川f ? 氢糍豸盖娶1 2 ) ， l 【：上h ( 钞一1 ，3 ，2 ) j ， o t h e r 奶s e t h e1 1 n d e t 鲫面n e dp 甜锄e t e r sa r e ：t 7 = 3 la n da 三3 ( m o d4 ) ；口= 2 7a n da 三 5 ，7 ( 7 n d d1 2 ) ；t ，= 1 5a n d 入三1 1 ( i o d1 2 ) ； 6 南+ 5 ：忌) a n da 兰1 ( l o d4 ) ； u 6 七+ 3 ：七加a n da 兰5 ( m o d1 2 ) ，w h e r e 朋= 2 时填充数队( u ，七，t ) 的研究还比较有限，除了 某些特定参数的零星结果外，大部分结论集中在t = 3 ，尼= 4 的情形 h a n a n i 【1 4 】通过构作s ( 3 ，4 ，u ) ，证明了当t ，三2 ，4 ( m d d6 ) 时，d ( u ，4 ，3 ) = u ( t ，4 ，3 ) 由这个结论以及s c h 6 n h e i m 【19 】中的结论可得当t ，三1 ，3 ( m 砌6 ) 时， d ( u ，4 ，3 ) = u ( u ，4 ，3 ) b r o u 帆r 【2 】证明了当u 三o ( m d d6 ) 时，d ( u ，4 ，3 ) = 【i d 一1 ，3 ，2 ) j 最近季利均【2 3 】又证明了除2 1 个可能的例外之外，当u 兰 5 ( m 砌6 ) 时，d ( 秽，4 ，3 ) = u ( 口，4 ，3 ) 令m = m ：仇是奇数且3 m 3 5 ，m 1 7 ，2 1 u 4 5 ，4 7 ，7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 5 9 ) ，上述结论可叙述成如下定理： 定理1 3 【2 ，1 4 ，1 9 ，2 3 】设口为正整数，若ug 6 七+ 5 ：七朋) ，则d ( ，4 ，3 ) = 【i d 0 1 ，3 ，2 ) j 另外，h a n a n i 【1 5 还证明了& ( 3 ，4 ，口) 存在的必要条件也是充分的，叙 述成定理如下： 定理1 4 【1 5 】& ( 3 ，4 ， ) 存在的充要条件是知三o ( m o d2 ) ，a ( u 一1 ) ( u 一2 ) 兰 o ( m d d3 ) 且a 钉( 一1 ) ( u 一2 ) 兰o ( m o d8 ) 2 强度为3 的四元系填充一引言 1 3 研究问题和主要结论 本文利用可分组3 设计，3 平衡设计，s 一，o n 设计，首先基本确定了指标为a ， 强度为3 ，区组长度为4 的风( m ，夕，4 ，3 ) 的存在性，并证明了c q & ( 夕仇：o ) 存 在的必要条件也是充分的进而，利用它们以及指标为a 的烛台形四元系， 通过填洞构作获得最优填充设计，从而基本确定了3 ( u ，4 ，a ) 填充设计( 记为 p q & ( u ) ) 的填充数队( u ，4 ，3 ) ( 除一些参数外) 区组数达到填充数的p q & ( u ) 称为最优填充设计，记为m 舶& ( ) 为了更好地研究四元系填充的结构， 我们还引入了“剩余”( 1 e a e ) 的概念，通过分析“剩余”的结构来改进填充 设计的上界 本文的主要结论以下列定理的形式给出： 定理1 5 如果正整数m ，9 ，a 满足a 仇9 三o ( 彻d2 ) ，a ( m 一1 ) ( m 一2 ) 9 2 三o ( 仇o d 3 ) 且入m ( m 一1 ) ( m 一2 ) 9 3 三o ( m d d8 ) ，那么，除了例外( 仇，9 ，a ) = ( 5 ，2 ，1 ) 和一 些可能例外m = 5 ，a = 1 ，g 三1 0 ，2 6 ( m 以4 8 ) 外，存在风( m ，9 ，4 ，3 ) 定理1 6 如果正整数m ，夕，a 满足幻兰o ( m 甜2 ) ，入+ 1 ) ( m 一1 ) 夕2 三o ( m d d3 ) 且a m ( m 一1 ) 夕2 ( m 夕+ 夕一3 ) 三o ( m 甜8 ) ，那么，存在c q & ( 扩：o ) 定理1 7 当u 三7 ，1 1 ( m d d1 2 ) 且a 三2 ( m o d1 2 ) 时， 队( 口，4 ，3 ) = 【i d a 0 1 ，3 ，2 ) j 一2 ；当u = 7 且a 三3 ( 仇以1 2 ) 或者当 三3 ( m d d1 2 ) 且a 兰6 ( m 甜1 2 ) 时，a ( 移，4 ，3 ) = 【i 队 一1 ，3 ，2 ) j 一1 ；其余情况，除一些可能例外，均成立 仇( u ，4 ，3 ) = 【i 协( 一1 ，3 ，2 ) j 其中可能例外是：u = 3 1 且a 三3 ( 仇d d4 ) ； 御= 2 7 且a 三5 ，7 ( 舢d1 2 ) ；口= 1 5 上i 入三1 l ( 仇d d1 2 ) ；t j _ 【6 七+ 5 ，七 f ) 且a 兰1 ( m d d4 ) ； 6 尼+ 3 ，七加且a 兰5 ( m d d1 2 ) ，朋= m ：m 是奇 数且3 m 3 5 ，m 1 7 ，2 1 u 4 5 ，4 7 ，7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 5 9 ) ，= 【钆：n 是奇数且 3 n 5 5 ，n 3 7 ，3 9 ，4 3 ) u 7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 5 9 ，1 6 1 ，1 6 3 ，1 6 5 ，1 6 7 ，1 6 9 ，1 7 1 ，1 7 3 ，1 7 5 ) 3 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预备结论 二基本构作和预备结论 为了给出本文的主要结果，我们需要介绍一些相关定义和预备结论 设t ，s 为非负整数，t 为正整数，为某些正整数的集合一个阶数为 u ，指标为a 的烛台形t 设计( 鲫1 d e f 口6 mt s 可s t e 呐是指一个四元组( x ，s ，9 ，4 ) ， 记为c & ( 岛k ，砂) ，它满足下列五个条件： ( 1 ) x 是一个u 元集； ( 2 ) s 是x 的一个s 元子集，称作干( s z e 们； ( 3 ) 多= 【g - ，g 2 ，g r ) 是由x 的一些非空子集构成的集合，且划分x s ， 9 中元素称作组或分支( 9 m 叼s 或6 m 仃c e s ) ； ( 4 ) 4 是由x 的一些子集构成的集合，其元素称为区组，满足，对每个a a ， 1 4 l k ； ( 5 ) 对于x 中每个t 元子集正如果对每个i ，成立j t n ( s ug t ) i t ( 1 t r ) ， 那么t 恰包含于4 中a 个区组，而5 r u q ( 1 i r ) 的任意亡元子集不 包含于4 中任何区组 通常把这样的设计记作c s ( t ，k ，u ) 若9 包含啦个大小为吼的组，( 1 i r ) ， 并且干的大小为s ，则称此c s 的型为夕? 1 谬妒：s 当入= 1 时，通常简记c 毋( t ，k ，u ) 为c s ( 屯k ，口) 当k = 【七) 时，通常记 k 为七特别地，当k = _ 【4 ) 时，c & ( 3 ，4 ，t ，) 称为指标为a 的烛台形四元系， 记作c q 风( 夕：1 毋妒：s ) 烛台形四元系在构造斯坦纳四元系时相当有用，见 8 】，在构作填充设计 时，它也发挥了重要作用因此，我们需要引入烛台型四元系的一些存在性 结果 4 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预备结论 引理2 1 【4 ，5 ，6 】对任意偶数s ，夕兰o ，s ( m d d6 ) 且夕s ，存在c q s ( 9 3 ：s ) 对 任意偶数占，9 且夕s ，存在c q s ( 9 4 ：s ) 引理2 2 9 ，2 2 ，2 3 ，3 1 ，3 4 】设a 是正整数对任意后3 ，当( 9 ，s ) ( 6 ，4 ) ，( 6 ，6 ) ， ( 1 2 ，2 ) ，( 1 2 ，6 ) ，( 1 2 ，1 0 ) ，( 1 2 ，1 2 ) ) 时，存在g q s ( 矿：s ) 当( 夕，s ) ( 1 2 ，1 1 ) ，( 1 2 ，9 ) ， ( 1 2 ，7 ) ，( 1 2 ，3 ) ，( 6 ，3 ) ) 时，存在c q 岛 ( 矿：5 ) 对任意七1 ，存在c q s ( 6 2 k + l ：2 ) 和c q 岛a ( 6 2 1 ：1 ) 引理2 3 【3 4 1 如果对每个l i 入，存在c q s ( 9 7 1 9 ；：妒：乳) ，且， 砌s i 三 o ( 仇甜a ) ，那么存在e q & ( 夕? - 谬妒：毕) 为了构造更多的烛台型四元系，我们引进可分组t 设计，不完全可分组 t 设计以及s 一，o 礼设计的定义z 设t ，为非负整数，t 为正整数，k 为某些正整数的集合一个阶数为 ”，指标为入的可分组t 设计( g r o u pd i 、，i s i a b l ed e s i g n ) ，记为t g d 队，是指一个三 元组( x ，9 ，聊，其中： ( 1 ) x 是一个u 元集，其中的元素称为点( p o i n t ) ； ( 2 ) 9 = g - ，g ：，) 是由x 的一些非空子集构成的集合，且划分x 9 中的 元素称为组或分支( g r o u p 或者b r a n c h ) ； ( 3 ) 召是x 的某些子集的集合，召中的元素称为区组( b l o c l ( ) ，满足，对任意 j e i 召，有吲k ，并且对任意g 9 ，有l bn g i 1 ； ( 4 ) x 中任意取自t 个不同组的t 元子集t 恰出现于在a 个区组中；否则， t 不出现在任何区组中 这样的可分组t 设计记作g d 队( 亡，k ，u ) 若它有啦个大小为仇的组，1 i r ，那么称它是型为9 p 铲卯r 的g d 协( t ，kt ，) 当a = 1 时，通常简 记为g d d ( ，k ，秽) 型为1 ”的g d 队( t ，k ，口) 称为指标为a 的t 平衡设计， 5 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预备结论 也记为& ( t ，k ，u ) 当入= 1 时，& ( t ，k ，u ) 简记为s ( t ，k ，u ) ( t b d ) 型为r m 的 g d d ( t ，k ，u ) 也称为日设计( 如【3 2 中定义) ，记为日( m ，n k ，t ) 型为一的 g d d a ( t ，k ，u ) 记为风( 仇，? ，k ，t ) 若将上述定义中第4 个条件换成： ( 4 ) 厂= g 小g 如，g “) 是g 中某些子集的集合( 称为洞) ，满足，对于x 中任意取自t 个不同组的。元子集t ，如果t 中点不全在洞中，那么t 恰出现在入个区组中，否则，t 不出现在任何区组中 可得一个洞为厂= g ，g 场，g 。) 的带洞t g d d a 定义，记作，g d d a ( t ，k ，u ) 由定义可知，任何一个g d 队( z ，k ，秒) 都可以看作一个j g d 队( t ，k ， ) ，因为任 意t 一1 个组或更少的组都可以看作洞指标为a ，型为r m ，洞由s 个组构成 的，g d d ( 3 ，4 ，口) 记作j 风( ( m ，s ) ，_ 4 ，3 ) 关于风( m ，r ，4 ，3 ) 的存在性问题，我们将在第三章讨论关于，风( ( m ，s ) ，r ， 4 ，3 ) ，我们有如下引理： 引理2 4 存在j 现( ( 7 ，3 ) ，3 ，4 ，3 ) ，j r 吼( ( 1 1 ，3 ) ，3 ，4 ，3 ) 证明：我们在易l 上构作j ( ( 7 ，3 ) ，3 ，4 ，3 ) ，记其组集为9 = g 1 ，g 2 ，g 7 ) = _ ( o ，1 ，2 ) ，( 3 ，6 ，9 ) ， 4 ，7 ，1 0 ) ， 5 ，8 ，1 1 ) ，_ 1 2 ，1 5 ，1 8 ， ( 1 3 ，1 6 ，1 9 ) ， 1 4 ，1 7 ，2 0 ) ) ，其中 _ g 2 ，g 3 ，g 4 ) 为洞区组由下列5 1 个基区组在置换群 作用下生成 o341 2 031 61 7 1351 6 131 82 0 2371 5 341 41 6 351 21 3 371 21 7 31 21 32 0 o341 2 031 61 8 1351 7 11 21 31 7 2371 6 341 51 6 351 21 4 371 21 9 31 21 41 6 0351 5 0 31 71 9 1371 4 2341 4 231 22 0 341 52 0 351 32 0 371 31 7 31 31 41 5 6 0351 5 o1 21 31 7 1372 0 2341 8 231 31 4 341 71 8 351 41 9 371 31 8 0371 4 1341 3 131 51 7 2351 8 231 51 9 341 71 9 351 62 0 371 51 9 0371 8 1341 3 131 81 9 2351 9 21 21 41 6 341 92 0 351 71 8 371 62 0 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预备结论 我们在历3 上构作，岛( ( 1 l ，3 ) ，3 ，4 ，3 ) ，记其组集为9 = o ，1 ，2 ) ， 3 ，4 ，5 ) ， 6 ，7 ，8 ) ，【9 ，1 7 ，2 5 ) ，| 【1 0 ，1 8 ，2 6 - ， 1 1 ，1 9 ，2 7 ) ， 1 2 ，2 0 ，2 8 ) ，_ 【1 3 ，2 1 ，2 9 ) ，【1 4 ，2 2 ，3 0 ) - ， 1 5 ， 2 3 ，3 1 ) ， 1 6 ，2 4 ，3 2 ) ) 前3 个组是洞区组由下列9 3 个基区组在置换群 作用下生成，其中画线区组只生成 6 个不同的区组，每个区组只取一次 0391 00491 00591 106 91 1o791 20891 2 091 31 9091 32 2091 42 10 91 42 3o91 52 21391 0 1491 01591 11691 117 91 21891 2191 31 9 191 32 2191 42 1191 42 3191 52 22391 12491 1 25 91 0 2691 02791 32891 3291 21 8291 22 2 291 42 4291 42 6291 52 63 691 237 91 1 3891 4 391 21 8 391 32 3391 32 43 91 42 6391 52 64691 2 47 91 148 91 4491 21 94 91 32 0491 32 4491 42 4 4 91 52 1 5691 65791 55891 5591 02 1591 21 9 591 22 2 591 31 8591 31 86 91 02 1691 32 0691 32 7 691 41 9 691 52 4791 01 97 91 02 2791 32 8791 42 0 791 62 3891 02 4891 02 7891 12 0891 12 3891 32 6 91 01 12 091 01 13 191 01 22 391 01 22 791 01 31 591 01 31 6 91 01 41 691 01 43 191 01 52 891 02 02 291 02 32 991 02 42 9 91 02 83 091 11 32 691 l1 41 691 11 51 891 11 82 l91 12 12 4 91 21 52 491 21 62 6 金羔墨2 羔2 z 口 h 疵m a n 在 9 】中构作烛台型四元系时还用到了s - ，o n 设计因此，我们 需要引入争，8 佗设计的定义： 个s - ，o 亿设计( 如文献 9 】定义) 是指一个升3 元组( x ，乡，岛，伤，玩，卵， 其中x 一个有限集，9 ，玩( 1 i s ) 和丁都是x 的某些子集的集合，且满 足下列3 个条件： ( 1 ) ( x ，9 ) 是一个l b d ； ( 2 ) 对每个1st s ，( x ，9u 剐是一个2 b d ； ( 3 ) ( x ，9u ( u 1 t r 脘) u 丁) 是一个3 b d 其中，9 中元素称为组( g r o u p ) ，( u ，! i 9 玩) u 丁中元素称为区组( b l o c 】( ) 若9 包 含啦个大小为吼的组，1 t r ，则称此s 一，n n 设计的型为贫，谬妒进一 7 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预奋结论 步，如果鼠( 1 z s ) 和丁中的区组大小分别取自集合k ( 1 t s ) 和坼，则 记此s ，o n 设计是型为贫1 谬妒的s f g ( 3 ，( 琏，恐，虬，坼) ， 衙阢啦) 。 利用s 厂口佗设计，h a r t m a n 给出了构作e s ( 3 ， ) 的一种递推方法： 定理2 5 【9 假定存在一个型为鳍1 彦扩的s f g ( 3 ，( 髓，圮，坼) ，口) 若 对任意的尼1 蜀，存在型为( 6 七- ：e 1 ) 的c s ( 3 ，l ，6 后。+ e 1 ) ，对任意的k ( 2 t s ) ，存在型为挎日的g d d ( 3 ，l ，6 + e i ) ，对任意的七硒，存在 型为泸的g d d ( 3 ，厶6 七) ，则存在型为( ( 的1 ) “，( 6 夕2 ) m ( 晰) ) ：1 i 9e t ) 的 c s ( 3 ，l ，的+ 1 逛。e i ) 利用上述定理，我们有： 引理2 6 对任意整数七3 ，存在c q s ( 1 2 七：8 ) 证明：当七三o ，1 ( m d d3 ) 时，由 1 4 】知存在s ( 3 ，4 ，2 七十2 ) ，从中删去两点得到 一个型为2 七的2 f g ( 3 ，( 3 ，3 ，4 ) ，2 后) 由定理2 1 和3 1 知，存在c q s ( 6 3 ：2 ) 和 型为6 4 的g d d ( 3 ，4 ，2 4 ) 因此，利用定理2 5 可得一个c q s ( 1 2 七：8 ) 当七三2 ( 仃加d3 ) 时，由定理2 2 知存在c q s ( 6 ( + 1 ) 3 ：o ) ，从两个不同组 中各删去一点得到一个型为2 的2 f g ( 3 ，( 3 ，5 ) ， 3 ，5 ) ， 4 ，6 ) ) ，2 尼) 由定理2 1 和2 2 知，存在c q s ( 6 3 ：2 ) 和c q s ( 6 5 ：2 ) 又由定理3 1 知存在型为伊的 g d d ( 3 ，4 ，町) ，歹 4 ，6 ) 因此，利用定理2 5 可得个c q s ( 1 2 知：8 ) 口 由烛台型四元系构作填充设计时，需要将它与带洞四元系填充结合因 此，我们还需引进带洞四元系填充的定义 指数为a ，阶为u ，带洞大小为s 的带洞四元系填充日p q & ( 口，s ) 是指一个 三元组，s4 ) ，其中x 是一个 元集，s 是x 的一个s 元子集，一4 是x 中 一些四元子集( 称为区组) 的集合，满足，对x 中任意三元集t ，如果tzs ， 那么t 至多出现在入个区组中，否则，t 不出现在任何区组中若将上述 定义中的”至多换成”恰好，则得到带洞四元系的定义，记作日q & ( u ，s ) 8 强度为3 的四元系填充 二 基本构作和预备结论 下面给出一个由烛台型四元系和带洞四元系填充构作四元系填充的定 理： 引理2 7 如果存在含。个区组的c q ( 9 7 1 谬妒：s ) 以及含有s o 个区组 的p q 艮( s ) 和含有巩个区组的日p q 民渤+ s ，s ) ( 1 i r ) ，那么存在含有 n + 1 f 9o t 玩+ s o 个区组的填充设计p q 风( 1 型，鲰啦+ s ) 证明：设( 五s ，9 ，4 ) 是已知的c q 风( 夕3 夕；，鳢：鲈：s ) ，记其柄上的点集为s 对组集9 中任意一个组g ，由假定，可在点集g us 上构作一个区组数为6 g 的日p q & + s ，s ) ，区组集记为对于柄上的点，由假定，可以构作一个 含有s o 个区组的p q 毋( s ) ，区组集记为s ，则，4 u g 岔& ) u 5 ) 是一个含有 口+ 1 衙o t “+ s o 个区组的填充设计p q & ( 州 3 且m 5 时，日( m ，夕，4 ，3 ) 存在当且仅当9 m 是偶数且 夕( m 一1 ) ( m 一2 ) 能被3 整除；当m = 5 时，若9 能被4 或6 整除，则存在 日( 5 ，7 ，4 ，3 ) 最近，季利均【2 4 】又证明了： 定理3 2 【2 4 】设夕是偶数，若9 2 且9 1 0 ，2 6 ( m d d4 8 ) ，则存在日( 5 ，9 ，4 ，3 ) 从上述已知的日( m ，夕，4 ，3 ) 出发，将区组重复a 一1 次可得风( m ，9 ，4 ，3 ) 因此，对于满足必要条件的参数m ，夕，入，我们只需考虑以下三种情况：( 1 ) 夕( m 一1 ) ( m 一2 ) o ( m d d3 ) ；( 2 ) 夕( m 一1 ) ( 仇一2 ) 三o ( m o d3 ) 且m ，g 是奇数；( 3 ) 仇= 5 为了构造满足上述参数条件的风( m ，9 ，4 ，3 ) ，我们需要引进日设计的一 些存在性结果和递推构作 王健敏和季利均证明了： 定理3 3 3 3 对任意正整数m 4 且m 5 ，存在日( m ，2 ， 4 ，6 ) ，3 ) 1 0 强度为3 的四元系填充 三风( m ，夕，4 ，3 ) 和c q 鲰( 夕m ：o ) 的存在性结果 由h a r t m a n 和p h e l p s 在f 7 】中对四面体四元系进行2 倍构造的过程可以 看出，对任意偶数9 ，存在c q s ( 夕2 ：o ) ，对任意整数9 2 ，存在c q 岛( 夕2 ：o ) 每个区组重复a 一1 次可得如下定理： 引理3 4 设入是正整数，对任意偶数9 ，存在g q 乳( 9 2 ：o ) ；对任意整数夕2 ， 存在c q 岛a ( 夕2 ：o ) 下面的定理是w i l s o n 基本构作 2 8 】的一个推广： 定理3 5 如果存在风，( m ，夕，k ，3 ) ，且对任意七k ，存在巩( 七，夕7 ，4 ，3 ) ，那么， 存在吼。a 。( m ，夕矿，4 ，3 ) 引理3 6 如果正整数m ，9 ，入满足夕( m 一1 ) ( m 一2 ) o ( m d d3 ) ，a 三o ( m d d3 ) ， a m 夕兰o ( m d d2 ) 且加( m 一1 ) ( m 一2 ) 9 3 三o ( m 砌8 ) ，那么存在风( m ，夕，4 ，3 ) 证明：由于夕( m 一1 ) ( m 一2 ) o ( 删3 ) ，所以m 三o ( 脚d3 ) ，我们将证明分成 下面两种情况： 情况1 ：m 三o ( m 甜6 ) 从定理1 4 中的q & ( m ) 出发，将其看作一个 凰( m ，1 ，4 ，3 ) ，利用定理3 5 ，输入相应的日( 4 ，夕，4 ，3 ) 可得风( m ，9 ，4 ，3 ) ，其中输 入设计的存在性由定理3 1 可知 情况2 ：m 三3 ( m d d6 ) ，仇4 如果9 是偶数，那么，从定理3 3 中的 日( m ，2 ， 4 ，6 ) ，3 ) 出发，利用定理3 5 ，输入风( 4 ，夕2 ，4 ，3 ) 和风( 6 ，9 2 ，4 ，3 ) ( 其存 在性由定理3 1 可知) ，可得风( m ，夕，4 ，3 ) 如果9 是奇数，那么由假设可知， m 三3 ( m o d1 2 ) ( m 4 ) 且a 三o ( 仇d d1 2 ) 或m 兰9 ( m d d1 2 ) 且a 三o ( 仇o d6 ) 因 此，从定理1 4 中的q & ( m ) 出发，将其看作一个以( m ，1 ，4 ，3 ) ，利用定理3 5 ， 输入相应的日( 4 ，夕，4 ，3 ) ( 其存在性由定理3 1 可知) ，可得风( m ，9 ，4 ，3 ) 口 任何一个3 b d 都可以看作一个组长为1 的日设计，关于3 b d ，有如下 定理： 定理3 7 【1 5 对任意偶数 ，存在s ( 3 ， 4 ，6 ) ，u ) 11 强度为3 的四元系填充 三风( m ，9 ，4 ，3 ) 和c q & ( 夕m ：o ) 的存在性结果 定理3 8 【2 0 】对任意正整数u 三o ，1 ，2 ( m d d4 ) 且u 9 ，1 3 ，存在s ( 3 ，( 4 ，5 ，6 ) ，口) h a n a n i 在【1 6 】中证明了对任意大于等于4 的整数，存在3 b d 这一结果 由季利均在【2 1 中加以改进，写成定理如下： 定理3 9 1 6 ，2 1 】对任意正整数t ，24 ，存在s ( 3 ， 4 ，5 ，6 ，7 r ，9 ，l l ，1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 3 ，27 r ) ，t ，) 引理3 1 0 如果正整数m ，9 ，a 满足9 + 1 兰a 三o ( m o d2 ) ，m 兰1 ( m d d4 ) 且 夕( m 一1 ) ( m 一2 ) 三o ( m d d3 ) ，那么存在风( 仇，g ，4 ，3 ) 证明：如果m 兰1 ，5 ( m o d1 2 ) ，从定理1 4 中的q & ( m ) 出发，将其看作一个 风( 仇，1 ，4 ，3 ) ，利用定理3 5 ，输入相应的日( 4 ，夕，4 ，3 ) ，可得风( m ，g ，4 ，3 ) 如果m 三9 ( 删1 2 ) ，那么，由条件知夕三3 ( 舢d6 ) 由定理3 8 知， 除m = 9 外，存在s ( 3 ， 4 ，5 ，6 ) ，m ) ，将其看作一个日( 仇，1 ，【4 ，5 ，6 ) ，3 ) 利用定 理3 5 ，输入设计风( 七，3 ，4 ，3 ) ，七 4 ，5 ，6 ) ，可得以( m ，3 ，4 ，3 ) 输入设计的存 在性由定理3 1 和文献【2 6 】保证再利用定理3 5 ，输入日( 4 ，夕3 ，4 ，3 ) ，可得 风，9 ，4 ，3 ) 对于m = 9 ，我们在历历上构作一个岛( 3 ，【4 ，6 ) ，9 ) 除3 个区 组磊 i ，j ) ( o i j 2 ) 外，其余区组列举如下。 ( z ，i ) ，( z + 1 ， ) ，( 暑，i + 1 ) ，0 ，i + 2 ) ) ：z ，暑，名磊，z + ! ，+ z 三i ( m o d3 ) 将每个区组重复一1 次可得昆( 3 ， 4 ，6 ) ，9 ) ，利用定理3 5 ，输入相应的 日( 4 ，夕，4 ，3 ) 和( 6 ，9 ，4 ，3 ) 可得风( 仇，9 ，4 ，3 ) 口 引理3 1 1 如果正整数m ，夕，a 满足9 兰1 ( m o d2 ) ，a 三m + 1 兰o ( m 砸4 ) 且 夕( m 一1 ) ( m 一2 ) 三o ( 饥d d3 ) ，那么存在风( m ，9 ，4 ，3 ) 证明：如果m 三7 ，1 1 ( m d d1 2 ) ，从定理1 4 中的q & ) 出发，将其看作一个 凤( m ，1 ，4 ，3 ) ，利用定理3 5 ，输入相应的日( 4 ，9 ，4 ，3 ) ，可得风( m ，夕，4 ，3 ) 如果m 三3 ( m d d1 2 ) ，那么，由条件知9 兰3 ( 仇o d6 ) 我们对任意正整数 u 4 ，构作一个& ( 3 ，( 4 ，6 ) ，口) 由定理3 7 知，对任意偶数口，存在s ( 3 ，( 4 ，6 ) ， ) ， 1 2 强度为3 的四元系填充 三风( m ，夕，4 ，3 ) 和c q 乳( 夕m ：0 ) 的存在性结果 将其区组重复3 次得& ( 3 ， 4 ，6 ，钉) ；对任意u 三1 ，2 砸3 ) ，存在q 岛( u ) 因 此，我们只需考虑秽三3 ( 删6 ) 的情形 对于 1 5 ，2 7 ) ，可写成 = 3 n 我们从凰( 礼，3 ，4 ，3 ) ( 磊历，9 ，b ) 出发 ( 其存在性由引理3 1 0 保证) ，设乡= ( g t ：g 产柳z 3 ，i 磊) ，对任意i 磊， 将gug + 1 看作一个区组，并将其重复一次；对i 磊，以g ；和g t + 1 为组， 构作c q ( 3 2 ：o ) ；对2 d 罟，以g 和g + d 为组，构作c q & ( 3 2 ：o ) ，易检 验，这样的设计是一个& ( 3 ， 4 ，6 ) ，口) 由定理3 9 可知，对任意正整数m 三3 ( m d d1 2 ) ，存在s ( 3 ， 4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ， 1 5 ，1 9 ，2 3 ，2 7 ，m ) ，将其看作一个日( 仇，1 ， 4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 3 ，2 7 ) ，3 ) 由于 对任意秒 4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 3 ，2 7 ，存在& ( 3 ， 4 ，6 ) ，口) ，将其看作风( ，1 ， t 4 ，6 ) ，3 ) 并利用定理3 5 可得日4 仲，1 ， 4 ，6 ) ，3 ) 再利用定理3 5 ，输入相应的 峨( 4 ，夕，4 ，3 ) 和矾( 6 ，夕，6 ，3 ) 可得风，夕，4 ，3 ) 由于这里的夕三3 ( m 砌6 ) ，所以 输入设计的存在性由定理3 1 和引理3 1 0 保证口 引理3 1 2 如果正整数夕，a 2 满足幻是偶数，那么存在风( 5 ，夕，4 ，3 ) 证明：若入是偶数，其存在性已经解决，见【2 6 】若入是奇数，则由假设可 知夕是偶数，我们从一个日3 ( 5 ，2 ，4 ，3 ) 【2 6 】出发，利用定理3 5 ，输入相应的 日( 4 ，g ，4 ，3 ) 可得凰( 5 ，9 ，4 ，3 ) 将其区组并上( a 一3 ) 2 个在相同点集和组集上 构作的玩( 5 ，9 ，4 ，3 ) 可得地( 5 ，9 ，4 ，3 ) 凸 定理1 5 的证明：结合引理3 6 ，3 1 0 ，3 1 1 ，3 1 2 可知，除了例外( m ，9 ，a ) = ( 5 ，2 ，1 ) 和一些可能例外m = 5 ，入= 1 ，9 三1 0 ，2 6 ( m d d4 8 ) 外，风( m ，9 ，4 ，3 ) 存 在的必要条件也是充分的口 由日设计，我们可以构作烛台型四元系 定理3 1 3 任意给定的正整数m ，9 和入，若存在风( m ，夕，4 ，3 ) 且幻是偶数， 则存在c q & ( 矿：o ) 1 3 强度为3 的四元系填充 三风( m ，夕，4 ，3 ) 和c q 又( 夕m ：o ) 的存在性结果 证明：从风( m ，夕，4 ，3 ) 出发，记其组集为乡若9 是偶数，则在多中任意两 个组上输入c q & ( 9 2 ：o ) 可得c q 艮( 矿：o ) ；若夕是奇数，则a 是偶数，在多 中任意两个组上输入g q & ( 9 2 ：o ) 可得c q & ( 矿：o ) 口 通过简单分析可得，c q & ( 扩：o ) 存在的必要条件是： a 夕三0 ( 7 n d d2 ) 入( m + 1 ) ( m 1 ) 9 2 兰o ( m d d3 ) a 仇( m 一1 ) 夕2 ( 竹姆+ 9 3 ) 兰o ( m d d8 ) 对于a = 1 ，有以下定理： 定理3 1 4 【10 】c q s ( 扩：o ) 存在的充要条件是9 = 1 且m 兰2 ，4 ( m d d6 ) ，或9 是偶数且夕( m 一1 ) ( m 一2 ) 三o ( m d d3 ) 定理1 6 的证明：对于任意满足c q 最( 矿：o ) 存在的必要条件的参数仇，夕和 入，若m 4 且m 5 ，或m = 5 且9 是偶数，其中9 2 ，夕1 0 ，2 6 ( 啪d4 8 ) ，则 存在风( 仇，9 ，4 ，3 ) 利用定理3 1 3 可知，存在c q & ( 夕m ：o ) 当m = 2 时，由 引理3 4 知，对任意满足必要条件的参数a ，夕，存在c q & ( 9 z ：o ) 当m = 5 且 9 = 2 ，或m = 5 且夕三1 0 ，2 6 ( m d d4 8 ) 时，由定理3 1 4 知，存在c q s ( 矿：o ) 将 其区组重复入一1 次可得c q & ( 9 5 ：o ) 因此，我们只需考虑m = 3 的情况 对m = 3 来讨论c q & ( 9 3 ：o ) 的存在性，我们将其分成4 种情况；( 1 ) a o ( m d d3 ) 且9 兰o ( 删l d6 ) ( 2 ) a 三o ( 仇甜3 ) 且夕兰o ( m o d2 ) ( 3 ) 入三o ( m d d1 2 ) 上i 夕三1 霉竞5 ( m o d6 ) ( 4 ) 入三o ( m o d4 ) 且9 三3 ( m d d6 ) 情况1 ：入o ( m o d3 ) 且9 三o ( m d d6 ) 由定理3 1 4 知，存在c q s ( 夕3 ：o ) 将其区组重复入一1 次可得c q & ( 9 3 ：o ) 情况2 ：入三o ( 仇d d3 ) 且9 兰o ( m d d2 ) 由定理1 4 知，存在q 岛( 夕) ( x ，b ) 令g 口= 口) 历，口x 对任意b 8 ，输入以【g 口：口b ) 为组集的何( 4 ，3 ，4 ，3 ) 且含3 个区组b 口( i 历) ( 存在性见【1 8 ) ，则可得一个以【瓯：o x ) 为 组集的风( 9 ，3 ，4 ，3 ) 易验证它含3 个子设计q s 3 ( 夕) ( x m ， b 似：j e i b ) ) 磊) 删除这3 个子设计中的区组令f = f 1 ，毋，乃。) 是点集x 上 1 4 强度为3 的四元系填充 三以( m ，夕，4 ，3 ) 和c q 炙( 9 “：o ) 的存在性结果 完全图的一个1 因子分解，对于 o ，6 f 1 ，在g d u g b 上构作q 岛( 6 ) 对于 【o ，6 ) g 只，构作以 g 口，g 6 ) 为组的c q 昆( 3 2 ：o ) ，可得一个g q 岛( 夕3 ：o ) 将其 区组重复a 3 1 次可得c q 氏( 9 3 ：o ) 情况3 ：a 三o ( m o d1 2 ) 且夕三1 或5 ( m d d6 ) 由定理1 4 知，存在q 岛2 ( 9 ) ( 名，召) 类似于情形2 ，可得一个以 瓯：o x ) 为组集的玩2 ( 9 ，3 ，4 ，3 ) 易验 证它含3 个子设计q s - 2 ( 夕) x 料， j e 7 料：b b ) ) 0 忍) 删除这3 个 子设计中的区组在g u g + 1 和g u g + 2 上同时构作q 岛( 6 ) 和c q ( 3 2 ：o ) ， 其余任意gug j 上构作c q 研：( 3 2 ：o ) ，可得一个c q 研：( 9 。：o ) 将其区组重复 a 1 2 1 次得到c q & 0