中学数学对称思想研究.pdf

内蒙古师范大学 硕士学位论文 中学数学对称思想研究 姓名 刘盛利 申请学位级别 硕士 专业 学科教学 数学 指导教师 代钦 20070605 中文摘要 纵观古今 对于数学中对称思想方法的追求在一定程度上为科学研 究指明了方向 对称思想方法 不仅在数学中具有重要的理论价值和实 践价值 而且在各行各业中也具有广泛的应用价值 如建筑 艺术 医 学 生物工程 装饰 陶瓷 壁画等等 所以 对学生而言 不论将来 从事科学研究还是生产实践 一生受用无穷的 我认为当属对称思想方 法 然而 在我们现行的 课标 九年制义务教育数学课程标准 和 数学课程标准 高中版 中 关于对称思想方法 让学生了解多少 怎样掌握它 掌握到什么程度等 这些问题都没有被明确提出具体的要 求 针对上述问题 笔者认为 对中学生而言 只要我们教者认真钻研 教材 引导学生细心观察 系统总结 那么关于对称思想方法的掌握 应用就具备一定的可行性 本文正是以对称思想方法为主线 以中学数 学教材为研究对象 应用教育学与心理学的相关理论知识 剖析蕴涵对 称思想方法的知识点 挖掘其美的内涵 探究这些知识点的教学方法 研究学生的认知规律 让学生在欣赏数学美的同时 潜移默化地受到对 称思想方法的熏陶 从而主动地运用对称的思想方法解答具有对称性的 中学数学题 用对称的思想方法去思维 去学习其它科目 把数学作为 自然科学的基础学科的功能 淋漓尽致地发挥出来 当然 对我们教育 工作者而言 在日常的教育教学中 也可以应用对称思想方法来设计自 己的教案 本文在最后一章给出了笔者在课堂教学中 应用对称思想方 法的详细案例 充分体现了对称思想方法对课堂教学的影响 本论文共分四章 第一章 历史上的数学对称思想方法举例 主要以泰勒斯 赫尔曼 外 尔 张奠宙等教授为代表 论述他们的对称思想在中学数学教材中的体 现 分析 周易 的对称思想对中学数学的影响 第二章 中学几何中的对称思想方法及其在问题解决中的应用 从 平面图形的轴对称 中心对称和空间图形的面对称三方面展开论述 第三章 中学代数中的对称思想方法及其应用 以自然对数的来源 为例 说明对称思想在选用对数底数时所起的关键性作用 依次展开论 述函数中的对称思想 方程中的对称思想 第四章 中学数学中对称思想方法的影响 主要从三方面论述对称 思想的影响 首先 理论上图形变换中有对称思想 其次 课堂教学和 问题解决中可应用对称思想 各学科中都能找到对称思想的影子 最后 潜移默化中对学生进行美育的熏陶 关于中学数学中对称思想方法的研究意义 笔者认为关于对称性的 考虑在一定程度上促进了数学的发展 如关于逆运算的考虑导致了数系 的不断扩展 而且中学数学中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维 方法 充分挖掘教材中的对称思想 具有重要的理论意义和现实意义 特别具有审美教育的价值 当然中学数学中的对称思想方法覆盖面广 还有待于我们进一步去研究 关键词 中学数学对称思想方法 教学 变换 a b s t r a c t m a k i n gag e n e r a lo b s e r v a t i o no f a l lt i m e s t h ep u r s u i n gf o rt h es y m m e t r y t h o u g h ti nm a t h e m a t i c s h a si n d i c a t e dt h ed i r e c t i o nt ot h es c i e n t i f i cr e s e a r c hi n c e r t a i nd e g r e e t h es y m m e t r yt h o u g h td o e sn o th a v ea l li m p o r t a n tv a l u ei n t h e o r ya n dp r a c t i c e b u ta l s op l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nv a r i o u st r a d e sa n d o c c u p a t i o n s f o re x a m p l e a r c h i t e c t u r e a r t s m e d i c i n e b i o e n g i n e e f i n g d e c o r a t i o n c h i n aa n dp a i n t i n gs oo n t h e r e f o r e a sf a ra sia n lc o n c e r n e d t h e s y m m e t r yt h o u g h tw i l lb e n e f i ts t u d e n t sa l lt h e i rl i v e sn om a t t e rt h a tt h e yw i l l t a k eu ps c i e n t i f i cr e s e a r c ho rp r o d u c ep r a c t i c ei nt h ef u t u r e b u tt h ep r e s e n t c o u r s es t a n d a r d t h en i n ey e a rc o m p u l s o r ym a t h e m a t i c sc o u r s es t a n d a r d a n dm a t h e m a t i c sc o u r s es t a n d a r d s e n i o rm i d d l es c h 0 0 1 d o e s n tm a k ea c l e a rr e q u i r e m e n to nh o wm u c ha n dw h a td e g r e es t u d e n t ss h o u l dm a s t e ri ta n d h o wt om a s t e ri t i nv i e wo ft h ea b o v eq u e s t i o n s it h i n ki fo n l yw e t h e t e a c h e r s s t u d yt h et e a c h i n gm a t e r i a lc a r e f u l l ya n dg u i d es t u d e n t st oo b s e r v e c a r e f u l l ya n ds u m m a r i z es y s t e m a t i c a l l y w i l lt h es t u d e n t sm a s t e ra n du s et h e s y m m e t r yt h o u g h tw e l l t h i st h e s i su s e st h es y m m e t r yt h o u g h ta sam a i nc l u e a n dt h em a t h e m a t i c a lt e a c h i n gm a t e r i a la st h eo b j e c to fs t u d ya n di ta l s ou s e s t h es t u d e n t s c o g n i t i o nr u l e sw i t ht h ec o r r e s p o n d e n tk n o w l e d g e o f p s y c h o l o g y a n d p e d a g o g i e s t o a n a l y s i st h ek n o w l e d g es p o t sw h i c hh a v es y m m e t r y t h o u g h ta n de x p l o r ei t sb e a u t i f u lc o n n o t a t i o n t h et h e s i sa l s os t u d i e st h e t e a c h i n gm e t h o d o l o g yo ft h e s ek n o w l e d g es p o t s w h i l es t u d e n t s a r e a p p r e c i a t i n gt h eb e a u t yo ft h em a t h e m a t i c s t h e yw i l ls u b t l ya n dg r a d u a l l y r e c e i v e st h e i n f l u e n c eo fs y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o d t h e r e f o r e s t u d e n t s w i l la c t i v e l yu s et h es y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o dt os o l v et h em a t h e m a t i c a l p r o b l e m si n m i d d l es c h o o l w h i c hi n v o l v et h ek n o w l e d g eo fs y m m e t r i c a l t h i n k i n gm e t h o d a n dt h e yw i l ll e a r nt h eo t h e rs u b j e c t sw i t ht h es y m m e t r i c a l t h o u g h t t h es t u d e n t sw i l li n c i s i v e l yd i s p l a y s t h ef o u n d a t i o nf u n c t i o no f m a t h e m a t i c st ot h en a t u r a ls c i e n c e s w h a tsm o r e t ou st h et e a c h e r s w em a y u s et h es y m m e t r i c a lt h o u g h tt od e s i g no u rt e a c h i n gp l a n si no u rd a i l yt e a c h i n g a n de d u c a t i o n i nt h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ip r o v i d ed e t a i le x a m p l e s w h i c hh a v eu s e dt h es y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o d a n d t h e yf u l l ym a n i f e s tt h e i n f l u e n c eo fs y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o do nt h ec l a s s r o o mi n s t r u c t i o n t h et h e s i sh a sf o u rc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e r e x a m p l e so fs y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o di nh i s t o r y t h ee x a m p l e sa r et a k e nf r o mt h ep r o f e s s o r s s u c ha st h a l e s h e r m a r mw e y l z h a n gd i a n z h o ua n dd a iq i n i td i s c u s s e s t h ee m b o d y i n go ft h ef o u r s c h o l a r s s y m m e t r i c a lt h o u g h ti nt h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c a lt e a c h i n g m a t e r i a l a n da n a l y s e st h ei n f l u e n c eo fs y m m e t r i c a lt h o u g h ti nz h o uy iu p o n t h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c s t h es e c o n dc h a p t e r s y m m e t r yi nm i d d l es c h o o lg e o m e t r y i tl a u n c h e s t h ee l a b o r a t i o nf r o mt h r e ea s p e c t s f l a ts u r f a c ea r t w o r ka x i a ls y m m e t r y c e n t r e s y m m e t r ya n ds u r f a c es y m m e t r yi ns p a c ea r t w o r k t h et h i r dc h a p t e r s y m m e t r yi nm i d d l es c h o o la l g e b r a i tt a k e st h e o r i g i no fl o g a r i t h ma sa ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ei m p o r t a n c eo fs y m m e t r y t h o u g h tw h e nc h o o s i n gt h eb a s en u m b e ro fl o g a r i t h ma n di tt a k e st u m st o d i s c u s s e st h es y m m e t r y t h o u g h ti nf u n c t i o na n de q u a t i o n t h ef o u r t h c h a p t e r t h e i n f l u e n c eo fs y m m e t r yt h o u g h to nt h e m a t h e m a t i c so fm i d d l es c h 0 0 1 i td i s c u s s e st h ea b o v et o p i cf r o mt h r e e a s p e c t s f i r s t t h et h e o r e t i c a lg r a p ht r a n s f o r m a t i o n h a st h es y m m e t r i c a l t h o u g h t s e c o n d w ec a na p p l yt h es y m m e t r yt h o u g h tt ot e a c h i n ga n ds o l v i n g p r o b l e m s t h es h a d o w so fs y m m e t r yt h o u g h tc a nb ef o u n di na l ls u b j e c t s f i n a l l y i te d i f i e st h ea e s t h e t i ce d u c a t i o no nt h es t u d e n t si ne x e r t i n gas u b t l e i n f l u e n c eo nt h e i rt h i n k i n g it h i n kt h em e a n i n g so fs t u d y i n gt h es y m m e t r yt h o u g h ti nm i d d l es c h o o l m a t h e m a t i c si st h a ti tp u s h e st h ed e v e l o p m e n to ft h em a t h e m a t i c a lf o r w a r d e g t h ec o n s i d e r a t i o no fi n v e r s eo p e r a t i o nl e a d st ot h ee x p a n s i o no ft h e n u m b e rs y s t e m m o r e o v e ri nt h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c s s y m m e t r i c a l t h o u g h tc o n t a i n sr i c he s t h e t i c st h o u g h t sa n dt h i n k i n gm e t h o d s e x p l o r i n g d e e p l yt h es y m m e t r yt h o u g h ti nt e a c h i n gm a t e r i a l sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a lm e a n i n g sa n de s p e c i a l l yh a st h ev a l u eo fe s t h e t i ce d u c a t i o n o f c o u r s e t h es y m m e t r i c a lt h i n k i n gm e t h o di nm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c s c o v e r sb r o a da s p e c t s w h i c hi sw a i t i n gf o ro u rf u r t h e rs t u d i e s k e y w o r d s s y m m e t r yt h o u g h ti nm i d d l l es c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g t r a n s f o r m a t i o n 内敛古师范人学教育顾i j 学位论文 绪论 随着社会的发展和中华民族的振兴 科教兴国 越来越成为我国在新世纪谋求 国家富强与民族振兴的重要战略 在这一重要战略背景下 深化教育改革 全面推进 素质教育便成为教育改革与发展的主旋律 建国以来 我国先后进行了七次教育改革 每次改革都取得了明显成效 最近一次比较全面的教育改革是在 中华人民共和国义 务教育法 颁布后 2 0 世纪8 0 年代后期至9 0 年代初期 经过几年的努力 形成了 我国基础教育课程的现行体系 尤其2 0 0 1 年 九年制义务教育数学课程标准 以下 简称 初中谋标 和2 0 0 3 年 数学课程标准 高中版 以下简称 高中课标 的颁布 j 下是教育改革的重要体现 这两份纲领性文件明确提出数学教育的新理念 人人学有价值的数学 人人都能获得必需的数学 不同的人在数学上得到不同的发展 人人学有价值的数学 是指作为教育内容的数学 应满足学生未来生活的需要 能 适应学生个性发展的需求 并有益于启迪思维 开发智力 在更广泛的意义上 有 价值的数学 是满足素质教育的数学 它应当有助于学生健全人格的发展和积极向上 价值观的形成 有助于学生自信心 责任感 合作意识 创新意识 求实态度和科学 精神的培养 有价值的数学 不仅是针对学生进一步学习有用的数学 而且是针对 学生从事任何事业都有用的数学 人人都能获得必需的数学 是指 有价值 的数 学应该也能够被每一个学生所掌握 它意味着 初中课标 和 高中课标 中所规定 的内容及教学要求是最基本的 是每一个地区的每一个智力正常的学生 在教师的引 导和学生自身的努力下 人人都能够获得成功体验的 1 有价值的数学 和 有 用的数学 二者是相辅相成的 特别在 高中课标 的总体目标中又明确提出 通 过数学教师的教学 为学生的终身发展 形成科学的世界观和价值观奠定必要的物质 基础 通过数学教师的人格影响 为学生的终身发展 形成科学的世界观和价值观奠 定必要的外部条件 使学生获得适应未来社会生活和进 步发展所必需的重要数学知 识以及基本的数学思想方法和必要的技能 初步学会运用数学的思维方式去观察分析 现实社会 去解决日常生活中和其它学科学习中的问题 增强应用数学的意识 体会 数学与自然人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学的理解和学好数学的 信心 具有初步的创新精神和实践能力 在情感态度和一般能力方面都能得到充分发 中学数学对称心想研究 展 这是 高中课标 的核心内容 在学习内容中虽然强调了让学 e 掌握 定的数 学思想方法 但是没有提及关于数学思想方法应用方面的具体要求 我认为 要实现 上述目标 首先应该培养学生学习数学的兴趣 美育的熏陶办是一个重要方面 因为 爱美之心人皆有之 而数学中存在着丰富的美 简洁美 奇异美 对称关 统一 美 2 j 因此 在中学数学的教学过程中 充分挖掘数学美的因素 并通过各种有效途 径传授给学生 会对数学教学产生积极的影响 中学数学中的对称美就是最好的教材 所以 我认为 最好把与对称相关的基本内容和对称的数学思想方法重视起来 正如 2 0 世纪德国著名数学家赫尔曼 外尔 3 1 说 对称是一种思想 通过它 我们毕生追 求 并创造次序 美丽和完善 可见对称美及其思想方法的重要性 而我们 初 中课标 只要求掌握教材中的内容 没有具体要求学生理解掌握这种对称的思想方法 的应用 原因可能是 在界定和刻画适合于义务教育阶段学生领悟和掌握的数学思想 方法方面 目自口积累的研究成果还不够充分 高中课标 规定 学生将从丰富的平 面图形对称变换的实例 学习群的表达方法 学会求出一些比较简单的几何图形的对 称群 并进一步体会群在研究事物对称性和研究其它数学对象中的重要作用 我非常 赞同这个观点 遗憾的足 高中课杯 却把这部分内容定为选修内容 纵观国内外科学发展的历程 我们都能在各项重大成果中找到对称思想所折射出 的光芒 古希腊的毕达哥拉斯 4 学派非常重视对称性 他们认为一个图形的对称性越多 这个图形就越美 因此 他们提出一切立体图形中 最美的是球体 一切平面图形中 最美的是圆 他们出于对对称性美学的追求 又提出亘古闻名的论断 万物皆数 巧妙地将世间力i 物统一成数 于是在研究数的过程中 他们创立了神圣的比例 m g g h 并给出了详细的作图过程 这就是我们现在的黄会分割 米洛 5 1 每黄会分割巧妙地运用于自己的雕塑作品维纳斯身上 使维纳斯成为世界 上流行至今的美的象征 美的商标 西奥多 a 库克 6 在他的 生命的曲线 一书中 研究了人体的黄金分割 发现人体结构的黄金分割点 上肢的黄仓分割点在肘关节 肚脐以下部分的分割点在膝关节 肚脐以上部分的分割点在咽喉 为人类评价人体 体型优劣提供了科学的依掘 狄拉克1 7 把量子力学的薛定谔力 程推广到了棚对论领域 得f 的r 多结果都和实 验相符 却遇到了 uf i f 能7 i 负能量的刚雕 按照常规观念 负能值破认为是 无意义 内豢古帅地人学教育坝k q 位论义 的 然而 出于对称性的考虑 狄拉克大胆地认为负能态是可能 进而提出了负能区 域己被电子所填满的思想 按照狄拉克的解释 这种 负能态的海洋 就是通常所说 的真空 显然 按照这样的思想 如果负能区域中的电子逸出的话 在负能态海洋中 就会出现一个 空穴 我们应当怎样看待这些空穴呢 狄拉克认为在空穴和普通电 子之间有对称性 又假如有一个洞 那个洞就是实验物理室还不知道的一种新粒子 同电子的质量相同 电荷方向相反 我们可以把这种粒子叫做反电子 这样 出于对 称性的考虑 直接导致了正电子概念的产生 物理学家法拉第 8 1 认识到既然电能生磁 那么磁也一定能生电 这样才显出自然 界的对称完美 在对称思想的指导下 于1 8 2 1 年他成功地验证了磁生电 又在这种 对称思想的推动下 法拉第于1 8 4 5 年证实了磁 光 电的统一理论 综上所述 对于数学中对称美的追求在一定程度上为科学研究指明了方向 对称 性思想方法 不仅在数学中具有重要的理论价值和实践价值 而且在各行各业中也具 有广泛的应用价值 如建筑 艺术 医学 生物工程等 所以 对学生而言 不论将 来从事科学研究还是生产实践 一生受用无穷的 我认为当属对称思想方法 本文以 中学数学教材为研究对象 分析教材中所蕴涵的对称思想 应用教育学与心理学的相 关知识理论 探究这些知识点的教学方法 研究学生的认知规律 让学生在欣赏数学 荚的同时 潜移默化地受到对称思想的熏陶 从而主动地运用对称的思想方法解答具 有对称性的中学数学题 用对称的思想方法去思维 去学习其它科目 把数学作为自 然科学的基础学科的功能 淋漓尽致地发挥出来 本论文共分四章 第 章 历史上的数学对称思想方法举例 主要以泰勒斯 赫尔曼 外尔 张奠 宙 代钦教授为代表 论述四位学者的对称思想在中学数学教材中的体现 分析 周 易 的对称思想对中学数学的影响 第二章 中学几何中的对称思想方法及其在问题解决中的应用 从平面图形的轴 对称 中心对称和空间图形的面对称三方面展开论述 第三章 中学代数中的对称思想方法及其应用 以自然对数的来源为例 说明 对称思想在选用对数底数时所起的关键性作用 依次展开论述函数中的对称思想 方 程中的对称思想 第四章 中学数学中对称思想方法的影响 主要从三方面论述对称思想的影响 中学数学对称思想研究 都能找到对称思想的影子 潜移默化中对学生进行美育的熏陶 关于中学数学中对称思想方法的研究意义 笔者认为关于对称性的考虑在一定程 度上促进了数学的发展 如关于逆运算的考虑导致了数系的不断扩展 而且中学数学 中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法 充分挖掘教材中的对称思想 具有 重要的理论意义和现实意义 特别具有审美教育的价值 4 内蒙古帅范人学教育琐i 学位论文 一历史上的数学对称思想方法举例 对称 词最早出现在公元前5 世纪 是古希腊的雕塑家波利克里托斯删在一 本讨论雕塑中的理想比例关系的著作中提出的 关于对称的解释 可谓仁者见仁 智 者见智 毕达哥拉斯学派认为 平面中的圆形 空间中的球体是最完美的几何图形 因为它们有着全部的旋转对称性 弗赖 1 0 1 指出 对称意味着静止和约束 不对称意味着运动和松弛 前者有秩序和规律 后者却 任意和偶然 前者拘于形式上的刻板和约束 而后者有生气 有变化 有自由 美国教育家波利亚 说 一个整体具有几个可以互换的部分 就可以称之为对称的 赫尔蔓 外尔 1 2 1 认为 对称性一词在日常生活中有两种含义 一种含义是对称的即意味着是非常匀称和 协调的 另一种含义是对称性则表示结合成整体的好几部分之间所具有的那种和谐 性 优美是和对称性紧密相关的 徐一鸿 认为 如果对一个几何图形进行某种操作 而图形保持不变 那么图形对这种操作是对 称的 不管人们对对称如何理解 关于对称性的考虑 总是作用在每个人的思维中 对 我们的所见所闻 总是潜意识地以对称性作为标准来作出判断 尤其以理性思维而著 称的西方数学家 更是崇尚对称美 下面以泰勒斯 赫尔蔓 外尔为代表 论述他们 的对称思想在中学数学中的体现 一 国外数学中的对称思想方法举例 1 泰勒斯的对称思想 泰勒斯 l 卅是希腊历史上第一位留名于世的数学家 天文学家 哲学家 他在数学 方面划时代的贡献就是开始引入了命题证明的思想 命题的证明 就是借助一些公理 或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思维过程 它标志着人们对客观事 物的认识从经验上升到理论 这在数学史上是一次历史性的飞跃 命题的证明直接导 致了希腊几何学基本精神的产生 证明命题 下面主要列出泰勒斯的思想在中学数 中学数学对称心想州究 学中的体现 1 1 估测会字塔的高度 据史料记载 泰勒斯利用人的身高和影子的关系 得出金字塔的高和影子也具有 相似的关系 从而成功地测出了金字塔的高度 后柬数学大家分析泰勒斯的这种测定 方法估计出两种可能性 一种是在特定的日子 特定的时间 不用比例就能量出金字 塔的高 另一种是应用比例原理 不受时间所限 只做两次观测 就可算出金字塔的 高 不管哪种方法 在我们现行的中学数学教材中 都能找到它们的影子 如现在的 课程标准 要求培养学生的数感 注意观察生活 学会估算 学会测量等 这正是 泰勒斯第一种可能的方案 而应用比例原理测金字塔的高度 则是我们现行教材中的 重点内容 要求学生应用相似比原理 恰当地构建数学模型 测出不易直接测量的物 体的高度 深度 宽度等 这两种方法 都反映了泰勒斯的对称变换思想 第一种是 恒等变换下塔高与影长的一致性 第二种是射影变换下 对应边比例的不变性 可见 泰勋斯的数学造滔多么高深 1 2 泰勒斯发现以下命题 1 圆的直径将圆平分 这j 下是我们教材上所谓的 圆关于它的直径成轴对称 图形 这一命题有一定的现实意义和理论意义 一方面 古埃及的纪念碑上 常看 到将圆分成若干扇形 而这些扇形全部相同 体现出匀称 和谐 另一方面 毕达哥 拉斯学派继承了泰勒斯的思想 提出圆是平面图形中最完美的图形 因为圆既是轴对 称图形 又是点对称图形和面对称图形 2 等腰三角形两底角相等 尽管我们对该命题相当熟悉 但是在公元前5 4 7 年静就能提出该命题 实属不易 他用相似描述相等的角 说明在他看来 角是具有 某种形状的图形 这和古埃及人的观点一致 不管角是图形还是可测的量 该命题反 映的都是一个典型的轴对称图形 只是泰勒斯本人没有把对称轴明示出来 3 两直线相交 对顶角相等 言简意赅 在世界名著欧几罩得的 几何原本 中 该命题是第1 5 命题 掘史料考证 最早使用这一方法的是泰勒斯 该命题既包含 了旋转不变的对称性思想 又体现了中心对称和轴对称的思想 确实令我们叹服 4 有两角央一边分别相等的两个三角形全等 这和我们现行教材中判定两三 角形全等的 角边角 定理一致 掘史料记载 泰恸斯不仅发现该命题 还应用该命 题测 船只到岸边的距离 数学史家们设计了一种简单易行的方法 一顶军帽定河 内未古师范大学教育硕l 学位论文 宽 人站在岸边 将军帽戴得底一点 使得眼睛望着彼岸某一点 同时看到帽檐 这 时 视线 河宽和身高构成一直角三角形 现在转过身来 同样顺着帽檐看到此岸一 点 这一点和人的距离就是河宽 这种测量法 如图i i 既用到了俯角的知识 又抽象出了人与地面的位置关系 垂直 该方法与我国古代甄鸾f 1 5 在 数术记遗 中所述的方法 如图i 2 理论上一样 都用到了三角形全等的知识 即对称变换中 的平移变换 也可看作是对称变换中的旋转变换 全遮 图1 1圈l 一2 图卜l 中 o a 是人眼到地面的距离 z o a c 是视线与人所在直线的交角 a b 是人 眼与看此岸点b 的连线 z o a b 是视线与人所在的直线的交角 二 l o a b l o a c a o 是 公共边 z a o b l a o c 9 0 s 丝s 故河面的宽为0 b 的长度 图卜2 中 线段m n 的长度是河宽 在同一直线m n 上将三表 北表 中表 南表 放最在河的北岸 在河的一侧测河宽 三表之间及南表到河的北岸等距 测量者在 北表a 点处 以平行于m n 的方向望南表 记为a 点 可知中表所在的直线为线段a a 的垂直平分线 然后在中表处调整位髯 分别望河的北岸与南岸 使点a 与点m 共线 此时测量者在中表的位置记为o 望河南岸时视线o n 与南表的交点i 己为b 然后在北 表上截取线段a b 使得a b a b 可得b b7 也被中表垂直平分 四边形a b b a 为矩 形 所以l a o b l a o b 最后在中表o 点处向北望 视线o a l 与直线6 i n 交于点m 视线o b 与直线m n 交于点n 中表与直线蚋的垂足记作点c 由 o m c 丝 删 c 可 得 o 州篮 o m n 测量线段m n 的长度即为所测河宽m n 的长度 天各一方的两个人 却如此不谋而合地应用相同的原理解决了相同的问题 后者 虽然步骤较多 却比前者测量的结果更准确 5 对半圆的圆周角是直角 史料记载 这是泰勒斯从埃及学到的 说明文明 古国的文化更是渊远流长 表面看该问题似乎与对称毫不沾边 但是圆周上的各点到 圆心的距离相等 这是旋转不变的对称性 如果圆周角的直角顶点的位置取得特殊一 中学数学对称思想研究 点 构成等腰直角三角形 则该命题就是内外都对称的几何图形 该命题的提出 为 人们掌握更多的知识提供了理论依据 以上这些命题虽然不难 有的仅凭直观就能判断 然而泰勒斯从理性的思维高度 论证命题的正确性 诚然泰勒斯的证明还有直观经验性 并没有完成达到纯粹理性的 程度 他却促使数学从具体的 实验的阶段 过度到抽象的 理论的阶段 逐渐形成 一门独立的 演绎的科学 这启发我们在教育学生学习数学时 不仅要提醒学生记住 定义 公理 而且要引导学生能学会用公理化体系表达科学真理的这种理性思维的方 法 更重要的是倡导学生阅读数学史方面的知识 与古人种交 对比古今对同 知 识点的不同叙述方式 寻找对称思想的历史渊源 2 赫尔蔓 外尔的对称思想 外尔的对称思想 我们通过他的论著 对称 一书 可窥一斑 该书是举世闻名 的大手笔小册子 是赫尔曼 外尔退休前 唱出的一支天鹅曲 作为2 0 世纪最伟 大的数学家之一 外尔或许是迄今最有资格谈论数理科学中对称性的人 为了更大地 扩充 对称 的读者群 外尔还收入了大量精美的艺术和生物图片 并通过这些例子 对双侧对称 平移对称和旋转对称等多种概念做了生动而不失严谨的描述 从对称这 一角度 全书几乎对无机和生物世界乃至人类文化做了 次全面的数学解读 作者在第一章中提出双侧对称性 解释为左和右的对称性 并给出精确的几何定 义 一个物体 即 个空间构形 如果在关于给定平面e 的反射下变成为其自身 我们就说它关于e 是对称的 i 并结台几何图形 外尔详细解释了双侧对称性的内 涵 他指出 几何对称性就是指诸如反射和旋转的那样的操作 通过分析古希腊的 雕像 祈祷的男孩 得出结论 支配着大自然的数学定律是自然界中对称性的起源 接着列出苏美尔人的纹章 巴比伦的印章 基督升天 等视觉上具有双侧对称性的 图案 分析他们所包含的文化 图章中部分不对称的原因 最后指出人们的欣赏标准 甚至在不对称的图像中 人们仍感觉到对称是一个准则 依此准则人们在一种要实 现不匀称性质的推动力的支配下再偏离开它 1 研读外尔的上述观点 我们可以发现 外尔的双侧对称性定义囊括了我们现行数 学教材中所有的对称 轴对称 点对称 面对称 因为把平面e 换成一条线 空间 图形换成平面图形时 就是我们关于轴对称的定义 如果把平面e 换成点0 的话 则 双侧对称性又成了我们熟悉的中心对称 可以毫不夸张地说 外尔及其简洁地将中学 内蒙古师范大学教育顾f 学位论文 数学中所有的对称性含义全部定义了出来 达到了高度的统一 外尔还给出了变换自同构的定义 空间的一个映射s 将其中每一点p 映为点p p p 一对映射s s p p7 p 一p 若其中一个是另一个的逆映射 即s 将p 映为p 而s 将p 映回到p 反之亦然 则我们把它们称为两个一对一的映射或变换 数学 家把能保持空间结构的变换 如果我们按亥姆霍兹的方式来定义空间的结构 这就 意味着该变化将任意两个叠合图形映射为两个叠合图形 称为自同构 l 8 1 平面中的反射就是一个自同构 这正是中学数学中轴对称变换 相似变换 旋转 变换等几何概念的思想依据 如果把两个相似的图形置于空间当中 且让两相似图形 对应点的连线交于一点0 那么 这两个图形又满足射影变换 即关于这点成中心对 称图形 这就是大家的商明之处 一言九鼎 另外 外尔提出的平移对称性 旋转对称性等的概念和应用 正是我们中学数学 中的向量平移 向量加减法 坐标变换等知识点的思想渊源 我们平时在课堂教学中 往往就题论题 只讲数学中抽象的知识 外尔却通过大量优美的图案 如矮棕榈条 威尼斯总督官邸 多格斯宫 圆盘水母 比萨斜塔 德国美因茨的罗马大教堂等 图文并茂来说明对称性 这启发我们 中学数学的教学 不仅仅是知识的简单传授 更重要的是让学生运用数学的思维去观察生活 欣赏美景 陶冶情操 创造美感 正 如罗丹 j 9 1 所指出 世界上并不缺少美 而是缺少发现美的眼睛 二 国内关于对称思想方法的研究举例 从中国古代数学发展的历程和数学本身的特征看 中国吉代数学也表现出对称 性 统一性等科学美学特征 中国古代数学美的思想方法对数学 数学教育的发展曾 经起到过积极作用 在今后的科学研究 数学教育中还会起到一定的启迪作用 尤其 周易 2 0 1 的对称思想方法对中国传统思维具有重要意义 而且从某种意义上看 周 易 为现代数学多媒体教学的开展提供了思想渊源 另外 周易 又蕴涵着中学数学 中集合 代数式 排列组合等中所含的对称思想方法 1 周易 的宇宙观 对称 周易 一书由两部分组成 一部分是6 4 卦的卦辞和3 8 4 爻的爻辞 称为 易 经 另 部分是解释卦辞与爻辞的注释和论述 称为 易传 周易 吸取了甲骨占 卜中成对作双的基本概念 从复杂的自然现象和社会现象中抽象出阴 阳两个基本范畴 9 中学数学对称思恕 o f 究 阴阳原义只是指同光的背向 向闩为阳 背同为阴 后来周人将阴阳这一对范畴推广到 世问万事万物 对我国的文化结构起着极其深远的影响 不论是中国哲学 还是中固科 学 都是在这 基本的科学美学思想的指导下发展的 值得一提的是 周易 认为凡 是符合动态美原则的即为吉卦 体现了古代中国人民朴素的唯物主义哲学思想 周易 把阴阳的互相组合与作用 看成是世界万事万物生成变化的基础 而阴 阳的平衡统一是自然和人类社会能够获得和谐发展的根本条件 只有这种和谐统一才 能给世界带来稳定 否则就没有世界的稳定与发展 这是阴阳对称的重要意义 八卦 的阴阳在总体上是对称平衡的 首先 八卦中阴爻和阳爻的总数是相等的 都是1 2 个 其次 八卦在结构上也是两两相对 相反对称 再次 八卦在空间上的排列也是 对称的 即东 震 东南 巽 南 离 南西 坤 西 兑 北西 干 北 坎 北东 艮 八个方位 不断循环的 个结构 周易 的这种对称思想 不仅对中国 古代科学技术产 上了深刻的影响 而且在现代科学研究中也有启发性作用 如张衡发 明的地震测定仪中 八只青蛙所处的方位 与八卦在空问上的排列 致 既对称又循 环 如图1 3 还有精湛的中函陶瓷艺术也折射出对称的光芒 如图l 一4 周易 与 二进制具有相辅帽成的关系 6 4 卦中的每一卦都对应一个二进制的数 如果用1 表示 阳 用0 表示阴 那么前四卦可分别表示为1 1 1 1 1 l 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 周 易 八卦符号的选取与排列 一方面 非常讲究和谐与平衡 每一卦看上去都是 个 幽1 3 i 璺li 4 完美的对称图形 另 方面 将阴阳两字简化成 与一一号 耿两画为一卦 得四 卦 再取三画为一卦 得八卦 f 好与人们从自然界中抽象出来的八种事物一 对应 然后由八卦再两两组合 便得6 4 卦 再对每卦六个笔画分别作爻 则得3 8 4 爻 卦 和爻的演化 蕴涵一种数理之美 用现代数学理论柬说 这就是中学数学中的排列组 合问题 周易 系辞 况 方以类聚 物以群分 这罩所说的 类 与 群 就与数学中的 集合 概念非常相近 而集合论足现代数学的基础 它不仅渗透到数 内蒙古帅范人学教育坝 学位论义 学的各个领域 也渗透到许多自然科学和社会科学领域 将八卦用集合论的语言描述 就会更方便 更清楚 更精确 八卦与代数式也有一定的联系 令a 表示阴爻 b 表 示阳爻 并规定a b b a 则当r l 2 时 我们所熟悉的平方和公式就成为 口 6 2 口2 十a b b a b 2 对应于八卦的四象 当玎 3 时 立方和公式就成了 6 3 a 3 口2 b a b a 缸2 柏2 6 曲十b 2 a b 正好对应于四象所生的八卦 八 卦在矩阵 群论 概率论中都有其数学解释 由此可见 八卦思想在中学数学中具有 定的积极意义 2 张奠宙教授论中学数学中的对称思想 自徐利治 2 1 教授提出数学美的概念以 束 国内论述数学美的论著层出不穷 不过 中学数学教学并不满足于数学美的论述 更重要的是如何在数学教学的过程中展现数 学美 使学生能够感受和欣赏数学美 把数学的美育功能真正落实到中小学的数学课 堂上 在这一点上 张奠宙教授 埘应用层次性理论 把数学教学中的美育分为四大层 次 美观 美好 美妙 完美 并从对称性角度出发 列举了中学数学中的对称案例 他说 几何学常常带给人们直观的美学形象 几何图形中的圆 是全方位对称图形 美观 匀称 无可非议 正三角形 五角形等常用的几何图形都因对称和谐而受到人 们喜爱 在培养学生几何图形审美能力方面 已有许多成功的经验 如同本一堂公开 课的题目 在一块矩形场地上筑一花坛 使其面积为场地的一半 要求设计美观 这 是将数学和艺术相结合的典型课题 又如上海迸才中学教研组提倡用二次曲线画 米 老鼠 或其它画作 发挥学生用几何曲线 写出方程 进行美术创作的想象力 他们 在进行立体几何教学时 要求学生以 柱体 台体 维体 球体 圆柱 圆 锥 等三维几何图形 制作 枚运动会的奖杯 并要求学生写出每个部件的方程式 同学们的作业琳琅满目 美不胜收 有些老师要求学生收集我国古建筑中 窗格 的 几何图形样式 或者将一些著名商标中的几何图形进行陈列和比较 都很成功 由此 可见 寓数学美于课堂教学设计 只要用心去做 并非是什么难事 张教授还列举 了算术 代数中满足对称与和谐的公式和法则 a b n a n b n l b a d c b d a c a b b a a b a b 中学数学对称思想研究 接着又指出中学生根据对称 和谐原则 得出的错误结论 a b 2 a 2 一b 2 l g m n i g m 1 9 n s i l l