分块矩阵的应用.doc

近代数学课程设计说明书(论文)作 者:学 号：学院(系):理学院 专 业:数学与应用数学系题 目:分块矩阵及其应用 指导者： 评阅者： 28近代数学课程设计说明书（论文）中文摘要 摘要：矩阵论是代数学中的一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。分块矩阵可以简化运算，解决一些较为繁琐抽象的问题。本文将分块矩阵运用于运算行列式，解线性方程组，求广义逆以及矩阵分解问题的求解，还包括在计算机编程思想方面简化方法以便提高效率的问题。近代数学课程设计说明书（论文）外文摘要Title ： Applicatons of Block MatrixAbstract：The matrix theory is not only a significant part of algebra,but also a subject which is worth studying,also it plays an impotrmant role in linear algebra.We can use block matric to make the structure of matrix much clearer and simplify the related calculation solve some of the more complicated and abstract problem.This article will block matrix used in computing the determinant,solving linear equations,find the generalized inverse matrix factorization problem solving,and also in order to improve the efficiency of the simplified method of computer programming ideas.近代数学课程设计（论文）评语 姓 名： 学 号： 题 目： 分块矩阵及其应用 成 绩： 目 录绪论61 分块矩阵的基本内容：61.1分块矩阵的概念61.2分块矩阵的运算61.3分块矩阵的性质72 分块矩阵的应用92.1计算行列式及矩阵92.2分块矩阵与矩阵的特征值的相关证明122.3分块矩阵在广义逆矩阵中的应用142.4求解方程202.5分块矩阵在矩阵LU分解中的应用：222.6分块矩阵在矩阵满秩分解中的应用232.7分块矩阵与ChoIesky分解242.8分块矩阵与可中心化矩阵的自共轭分解27参考文献29绪论 矩阵作为数学工具之一有起重要的实用价值，它常见与很多学科中，如：线性代数，线性规划，统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行计算，如在各循环赛中常用的赛程表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很繁琐的过程，因此这是我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生。 矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。就如矩阵的元素一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。把矩阵分块运算有许多方便之处，因为在分块后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，一般来说，不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法。本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和分解两大方面为主。1 分块矩阵的基本内容：1.1分块矩阵的概念 由矩阵的若干行，若干列的交叉位置元素按原来的顺序拍成的矩阵成为A的一个子矩阵。把一个矩阵的行分成若干组，列也分为若干组，从而A被分成若干个子矩阵，把看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。矩阵分块的好处是:使得矩阵的结构变得更明显清楚，而且使得矩阵的运算可以通过它们的分块矩阵形式来进行，从而可以使有关矩阵的理论问题和实际问题变得较容易解决。1.2分块矩阵的运算 1）加法 将，用同样的分法分块为,其中与的级数相同，则2) 数乘 3) 乘法 将,分块为,则，其中，i=1，.，t；j=1，.，r4) 转置 设，则。 1.3分块矩阵的性质 1)分块初等矩阵均是可逆矩阵，即 ， ，. 2）用分块初等矩阵左（右）乘(要可乘可加）相当于对其作相应的分块初等行（列）变换（只列出左乘的结果）， ， ，。 3)四分块三角矩阵（如下形式的分块矩阵或，其中A，D均为方阵称为四分块上（或下）三角矩阵。当A与D均可逆时，四分块三角矩阵的逆矩阵为 4） 准对角矩阵（如下形式的分块矩阵，Ai为矩阵（i=1,2，.,n）称为准对角矩阵。 对于两个有相同分块的准对角矩阵，与同级，有， ， 。 5)分块矩阵的初等变换(1) 将m+n阶单位矩阵分块进行如下变换：(1) 对进行两行互换得：；(2) 用一个可逆阵p左乘的某一行的所有子矩阵得：或；(3) 将的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵p再加到另一个的对应子矩阵上去得：或；2 分块矩阵的应用 2.1计算行列式及矩阵定理1：设矩阵=，且满足，求证：=。证明：设是阶矩阵，为阶单位矩阵，用左乘,得= (6)因为，故存在。令得，代入(6)式，取行列式得：,即得=例1：计算：的值.解：直接利用定理1的结论：原式=其中 又因为，而，所以原式=定理2：设是分块n阶行矩阵，其中A，D分别为K阶和S阶方阵：若A可逆，则若D可逆，则证明：以为A是可逆的，所以有对上面的式子两边取行列式，得同理可证例2：证明，其中。则由上面的定理得：可知所要证得结论即证定理3：设，都是n阶方阵，则有证明：以为同样两边取行列式得 所以结论得证。例3：计算解：由上面的定理我们可令则有。例4：计算行列式解：对矩阵T进行分块，其中，。由于可逆，且.所以例5：设，求及。解：令，利用分块方法，可写成，2.2分块矩阵与矩阵的特征值的相关证明 在矩阵特征值证明中，有些题目涉及到的矩阵不是具体的，如果继续用针对计算题的方法来进行证明，或许能够解出，但过于冗杂繁琐，考虑用分块矩阵初等变换来解决，将未知的矩阵符号化，简单化。例：设，,均为n阶方阵，且，i=1,2.若，则，,的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等。证明：1）可逆时，即，因为，所以，又，由已知得，得到，所以,是幂等矩阵，,和有相同的特征值，所以，,的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等。2）当时，即，结论显然成立。3）设，即为非零又不可逆矩阵，故存在可逆矩阵P，使得， 令，这里，从而，这样，且，故存在可逆矩阵Q，使得， 设 设同上可得，故又，从而同样，及故有，综上所述，对于，结论都成立。 2.3分块矩阵在广义逆矩阵中的应用 定义：设，若存在满足下列Penrose方程： 则称X是A的一个Moore-Penrose广义逆(M-P逆），记为.表示矩阵A的共轭转置，即. 例如：有某个X，只要满足式（1），则X为A的1广义逆，记为；如果另一个Y满足式（1）、（2），则Y为A的1，2广义逆，记为；如果，则X同时满足四个方程，它就是MoorePenrose广义逆，等等。例1：求矩阵的1广义逆.解：构造分块矩阵，通过适当的行列变换，可将A化为的形式，在和的位置上记录的就是P和Q的信息。由分块矩阵的运算法则可得。因此，。分别取X，Y，Z为零矩阵，于是A的一个逆是，当X，Y，Z取不同的矩阵时得到不同的逆。 对于不同的广义逆，结构形式都不尽相同，下面我们就来研究下逆的结构，首先，先看一个定理： 定理：给定矩阵，.则存在酉矩阵和，矩阵，具有结构其中，矩阵，具有结构其中，且当时，是对角元都是正数的对角矩阵，当时是空矩阵，非奇异矩阵，其中，取或取，使得矩阵有如下的分解式：由于此定理的证明过于繁杂，且跟分块矩阵无关，故在此不再赘述。知晓了上述的定理，再来看由此定理推导出的一个引理：引理：对于给定的矩阵，存在非奇异矩阵，和酉矩阵U，使得，其中，其中，.证明：在定理中令，立即可得到上述引理的形式。结合引理我们开始讨论逆的结构形式： 例2：设矩阵，和。假定矩阵的形式由上述引理给出，则M的逆具有下面 的结构形式，其中，其中，和都是具有指定维数的任意矩阵。证明：由和，的分块，有，等价于，。将按照引理中的进行分块，得到所以由与左式得到。所以结合有所以结合，有所以从这个例子中我们可以看出M的逆具有某些特殊的结构，如中某些块矩阵为零矩阵或是给定的矩阵。2.4求解方程 对于未知数较多的方程组，如果还用对付元数较低的方法来求解，那么相对的计算量就显得反常大了，这里我们通过分块矩阵的方法来简化计算。 设n个未知数m个方程的线性方程组为： ，设，则方程的矩阵形式为。把方程的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式，其中方程组有解时，我们解方程组时总是把化成简单的同解方程组，从而求出其解。例：求解方程组解：将方程写成矩阵方程，并进行分块，有，这里，先求出的逆阵，计算。将方程两端左乘以矩阵，得到.解矩阵方程得，所以。所以方程组的解为。 可能对于5个未知数的方程组，分块矩阵的算法还不足以很明显的突出其运算的简便性，当未知数个数达到十个甚至几十个的时候就能很好地突显了，这里由于篇幅的原因不在例举较为繁杂的例子。 2.5分块矩阵在矩阵LU分解中的应用： 例：设的头个前主子式不为零，即有。则存在唯一下三角形矩阵，其所有对角元素，与唯一上三角矩阵，使得，这里证明：对A的阶数n应用归纳法.如n=1，则结论显然成立，家丁本结论对n-1阶矩阵成立，考虑n阶矩阵情形.将A写成对称分块矩阵形式，这里，.按归纳假定，有唯一三角分解：，其中为对角元素皆等于1的n-1阶下三角形矩阵，为n-1阶上三角形矩阵。由于,故与都是非奇异的。现令与. 则容易验证，式中的L与U便是满足条件的下三角形与上三角形矩阵.因为，于是有.现在证明这样三角分解的唯一性。 假定与为满足的上三角形与下三角形矩阵，的对角元素皆为1.按分块矩阵乘法可得.根据归纳假定，；根据与的非奇异性，得出与，因而得出.因此，与。2.6分块矩阵在矩阵满秩分解中的应用定理：设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，其中F为列满秩矩阵，G为行满秩矩阵，使得。证明：设，根据矩阵的初等变换理论，对A进行初等行变换，可将A化为标准型，于是存在有限个m阶初等矩阵的乘积P，存在有限个n阶初等矩阵的乘积Q，使于是记则F为列满秩矩阵，G为行满秩矩阵，得。满足上述定理条件的分解称为复矩阵的满秩分解。当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。例1：设复矩阵的秩为，则有满秩分解。证明：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵，其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积，记作，有，或者，将矩阵分块为 ，其中为矩阵，为矩阵，并且，。 则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。 但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有。例2：求矩阵的满秩分解。解：对矩阵进行初等行变换其中所以，；而，其中由此可见，所以有。2.7分块矩阵与ChoIesky分解 在实际工程应用中，许多问题的求解所归结出来的线性方程组的系数矩阵常常是对称正定的，如应用有限元求解结构力学问题时，最后就归结为求解线性方程组，其系数矩阵大多具有对称正定的性质。对于对称正定矩阵，利用其数据对称的特点，可以推导出更为有效的三角分解方法，这就是所谓的Cholesky分解法，它比一般的LU分解法节省大约一半的计算量和存储单元。下面给出Cholesky分解法的描述。 对线性方程组，若系数矩阵对称正定，则可以证明可以三角分解成的形式，为下三角阵，其对角元素全为正，即 式中，阵中个元素的计算同样由矩阵乘法求得。第一步，有， 故可求得一般地，设的前k-1列元素已求出，则第k步，由矩阵乘法得 于是 式即为对称正定矩阵A的Cholesky分解。事实上，式可以合并到中，最终有 一旦求得下三角阵后，线性方程组Ax=b的解就很容易通过求解两个方程组和得到。从可看到，阵中元素的计算只需要用到矩阵下三角部分元素，即 与LU分解相比，Cholesky分解只需计算一个三角阵的元素，同时分解后得到的下三角阵中的元素可放回的下三角元素所在的位置。因此，Cholesky分解大约可节省一半的计算量和存储单位。同样，若给定的上三角部分元素，则可分解成的形式，即 式中为上三角阵，它与上面的关系为，其元素的计算公式相应为 在计算机中直接计算Cholesky分解，运算效率不高，因此在此引入分块算法，来提高运算速率。我们以的分解形式，介绍分块算法。将任意所给矩阵分成块，式可写成 式中，分块子矩阵为上三角阵，为下三角阵，其余为矩形阵。计算可得式为对子矩阵进行Cholesky分解，由式可计算出。在解得后，由式可计算出，然后通过式计算。将式改写成令则式成为式的含义为通过对进行修正或更新，修正后的子矩阵仍为上三角阵（对称正定）。式为对进行Cholesky分解，由式计算出。这样，矩阵A的Cholesky分解运算就转化成分块子矩阵和的Cholesky分解以及的求解和的修正计算。只要的分块足够小，的分解计算(运用式)就有可能在高缓内进行。的求解(式(4)和的更新计算(式(6)也都是在较小的子矩阵之间进行的，并且均为矩阵与矩阵之间的运算。接下来，对子矩阵的Cholesky分解，可进行同样的分块处理和计算，直至最终产生的足够小，可直接用不分块的方法即式计算。2.8分块矩阵与可中心化矩阵的自共轭分解首先看下可中心化的定义：定义：设，的特征矩阵上化简为其中是首1的，且.若，则称满足中心化条件，即称是可中心化矩阵.（表示体K上的关于未定元的一元多项式环）例：设，则可中心化的充分必要条件是 Hermite相似于，即存在一个可逆的自共轭四元数矩阵Q使得。（四元数：四元数是