2-3函数的奇偶性.ppt

重点难点重点：奇偶函数的定义及其图象的对称特征难点：函数奇、偶性的应用知识归纳1函数奇偶性的定义设函数yf(x)的定义域为d，若对d内的任意一个x，都有xd，且f(x)(或f(x)成立，则称f(x)为奇函数(或偶函数),f(x),f(x),2关于函数奇偶性的注意事项(1)函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的显然，函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)函数按奇偶性分类可分为：是奇函数不是偶函数、是偶函数不是奇函数、既是奇函数也是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数(3)如果一个奇函数f(x)在x0处有定义，那么f(0)；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则其值域为，但逆命题不成立若f(x)为偶函数，则恒有f(x)f(|x|),0,0,(4)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称(5)两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数；两个奇(偶)函数之积、商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数(以上函数都不包括值恒为0的函数)3判别函数奇偶性的方法(1)定义法：第一步先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断,即若有：f(x)f(x)，f(x)f(x)0，f(x)/f(x)1，则f(x)为奇函数若有f(x)f(x)，f(x)f(x)0，f(x)/f(x)1，则f(x)为偶函数(2)图象法：利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称来判断(3)复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”一般地，我们只讨论两个基本初等函数复合的情形,(4)性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集4函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式,(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性，求参数常常采用待定系数法利用判断式f(x)f(x)0产生关于x的恒等式，利用对应项系数相等求得字母的值误区警示判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称如函数yx2(x(1,1)并不具备奇偶性因此，一个函数是奇函数或偶函数，其定义域必须关于原点对称,一、方程的思想运用方程观点看待问题，就是将问题转化为方程问题来解决，或者通过构造方程来达到解题的目的分析：奇偶性讨论的就是f(x)与f(x)的关系，如果题目中涉及x与x的函数值之间的关系，一般考虑用奇偶性解决如果告诉了函数的奇偶性，应从f(x)f(x)入手,二、恒等式f(x)为奇(偶)函数是说对函数f(x)定义域内的任意x的值都有f(x)f(x)，(f(x)f(x)，这是关于x的一个恒等式f(x)是周期为t的周期函数是说，对于f(x)定义域内的任意x，都有f(xt)f(x)成立，这也是关于x的恒等式处理恒等式问题关键是利用x取值的任意性，常用比较系数法和赋值法求解,分析：判断函数奇偶性时，第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数进行适当的化简，以便于判断，化简时要保持定义域不改变；第三，利用定义进行等价变形判断第四，分段函数应分段讨论，要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断,(2)x1，f(x)(x)2x2f(x)x1时，x1，f(x)x2f(x)1x1时，f(x)0，1x1，f(x)0f(x),点评：分段函数(2)判断奇偶性画图判断更方便直观(3)中到()后，验证f(x)f(x)0更方便些,(2010广东理，3)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为r，则()af(x)与g(x)均为偶函数bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数cf(x)与g(x)均为奇函数df(x)为奇函数，g(x)为偶函数解析：f(x)3x3xf(x)，f(x)为偶函数，而g(x)3x3x(3x3x)g(x)，g(x)为奇函数答案：b,分析：f(x)为奇函数，定义域x|xr且x0，对任意不为零的实数x，都有f(x)f(x)，从而当x取某个特殊值x0时，f(x0)f(x0)成立，即可解出a的值，本题中注意到分子含x1，故取x01.,解析：f(x)为奇函数，f(1)f(1)，a1.答案：1点评：已知奇偶性求参数的值或取值范围时，可以用赋值法，也可以用比较系数法或利用性质等,(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)，xr，是偶函数，则实数a_.解析：令g(x)x，h(x)exaex，因为函数g(x)x是奇函数，则由题意知，函数h(x)exaex为奇函数，又函数f(x)的定义域为r，h(0)0，解得a1.答案：1,例3已知定义在r上的奇函数f(x)的图象关于直线x1对称，并且当x(0,1时，f(x)x21，则f(462)的值为()a2b0c1d1,解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)图象关于直线x1对称，f(2x)f(x)，f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2(2x)f(2x)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，f(462)f(11542)f(2)，f(2x)f(x)成立，f(2)f(0)，又f(x)是r上奇函数，f(0)0，f(462)0.故选b.答案：b,(2010杭州模拟)若函数f(x)是定义在r上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是()a(，2)b(2,2)c(，2)(2，)d(2，)解析：由题意知，f(x)在(，0上是减函数，在0，)上是增函数，f(2)f(2)0，2x2时，f(x)0时，f(x)x22即可,解析：(1)证明：函数定义域为r，在f(xy)f(x)f(y)中令yx得，f(0)f(x)f(x)令x0，f(0)f(0)f(0)，f(0)0.f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)解：设x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)0.,f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，f(2)0，则函数yf(x)在区间(0,6)内的零点至少有()a2个b3个c4个d5个解析：f(x)为奇函数，f(2)0，f(2)0，f(x)以3为周期，f(1)f(2)0，f(1)f(2)0，f(4)f(1)0，f(5)f(2)0.另外，f(0)0，f(3)0，在区间(0,6)内至少有5个零点故选d.答案：d,总结评述：解答本题易出现如下思维障碍：(1)无从下手，不知如何脱掉“f”解决办法：含函数记号“f”的不等式，一般都是利用函数的单调性(2)无法得到另一个不等式解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反，提到奇偶性，通常要分类讨论,已知yf(x)是定义在r上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0bf(x1)f(x2)0df(x1)f(x2)0，|x1|x2|，0x1x2又f(x)是(0，)上的增函数，f(x1)f(x2)又f(x)为定义在r上的偶函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)0.选d.答案：d,一、选择题1函数yf(x)是r上的偶函数，且在(，0上是增函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是()aa2ba2c2a2da2或a2答案d解析函数yf(x)是偶函数，且在(，0上是增函数，函数yf(x)在0，)上是减函数，由f(a)f(2)，得f(|a|)f(2)，|a|2.故选d.,2(文)定义在r上的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)()a在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数b在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数c在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数d在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数,答案b解析f(x)为偶函数，在1,2上为减函数，f(x)在2，1上为增函数，f(x)为偶函数，f(x)f(2x)，xr.f(x)f(2x)，xr，f(x)的一个周期为2，f(x)在1,2上为减函数，f(x)在3,4上为减函数,答案c解析当1x0时，3x44，f(x4)x2，又f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，f(x)x2(1x0)，又f(x)是偶函数，0x1时，f(x)f(x)x2，因此f(x)在0,1上单调递减，0f(sin1),答案a,答案b,答案c,5(09江西)已知函数f(x)是(，)上的偶函数，若对于任意x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2008)f(2009)的值为()a2b1c1d2答案c解析f(x)是偶函数，