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内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 近年来，b a n a c h 空间几何理论得到了迅速的发展，到目前为止，一 般b a n a c h 空间的凸性，光滑性，可微性，粗性，滴性，收敛性的研究相对来 说己比较完善，但以某些已知凸性和光滑性为特例的某些缸凸性和红 光滑性还没有得到深入研究1 9 8 6 年，俞鑫泰充分研究了光滑点和支撑 函数的范数到，的连续性及g 可微的关系，2 0 0 6 年魏文展等引进k - g 可微的概念，得到舡光滑空间的若干特征，但是专门讨论二次对偶空间 x ”的舡光滑性特征的文章尚未见到1 9 9 0 年，南朝勋和王建华给出了 缸严格凸空问的对偶概念珏光滑空间，此后，刘证和曹温淳在缸 光滑空间的基础上引入了缸非常光滑空间，得到了红非常光滑空间的 一些特征刻画，2 0 0 2 年，张子厚、苏雅拉图进一步研究了红非常光滑 空间，得到了肛非常光滑空间的另一些特征刻画2 0 0 1 年冼军引入了 缸极光滑空间的概念，但是这一类光滑性空间尚未得到深入研究，甚 至这一类光滑性与其它光滑性之间的关系尚未弄清楚本文主要进 行了上述几种肛光滑性的研究，得到了较好的结果，全文共分为三章 第一章：直接从x ”为髓光滑的定义出发，并以局部自反原理为 工具研究了x 的二次对偶空间x ”的缸光滑性，得到了x 的二次对偶 空间x ”的舡光滑性的若干新特征，这些新特征是无法从一般b a n a c h 空间x 的肛光滑性特征在特殊的b a n a c h 空间x ”上的限制来得到的 第二章：利用局部自反原理研究了缸非常光滑空间，得到x 是肛 非常光滑空间当且仅当对v x s ( x ) ，有d i ms ，= ，- k 且量是x “的，光 内蒙古师范大学硕士学位论文 滑点；并深入研究了b a n a c h 空间x 的如光滑性和k - 4 乍- 常光滑性，又得 到了肛非常光滑空间得若干新特征 第三章：深入研究了肛极光滑空间，得到了它的一些性质以及它 与其它光滑性之间的关系另外，还证明了：若x 是弱局部压一致凸 空间，则对每个i es ( x ) ，f e 足是x 的舡光滑点 关键词：k - 光滑空间，肛非常光滑空间，缸极( 非常极) 光滑 空间，弱中点局部肛一致光滑空间，弱局部舡一致凸空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h er e c e n ty e a r s ，t h es t u d y i n go nb a n a c hs p a c eg e o m e t r i ct h e o r y h a sb e e nd e v e l o p e dr a p i d l y u pt on o w ，t h ee x p l o r a t i o n so nc o n v e x i t y ， s m o o t h n e s s ，d i f f e r e n t i a b i l i t y , r o u g h n e s s ，d r o p - p r o p e r t y a n dt h e c o n v e r g e n c e o fb a n a c h s p a c e h a sb e e np e r f e c t r e l a t i v e l y ，b u t t h e g e n e r a l i z a t i o no fs o m ek n o w nc o n v e x i t ya n ds m o o t h n e s so fb a n a c h s p a c e sh a sn o tb e e nd e e p l ys t u d i e d t h e r e f o r e ，i nt h i sp a p e r , im a i n l y e x p l o r et h et h r e ek i n d so fk - s m o o t h n e s si nb a n a c hs p a c e s ，a n dd i v i d et h e p a p e rt h r e ec h a p t e r s c h a p t e ro n e ：i nt h ec h a p t e r , w es t u d i e dt h ek - s m o o t h n e s so f s e c o n d d u a ls p a c eo fxb yu s i n gt h el o c a lr e f l e x i v ep r i n c i p l e ，a n do b t a i n e dt h e s o m ec h a r a c t e r i s t i co ft h e m c h a p t e rt w o ：w es t u d i e dt h ek - v e r ys m o o t hs p a c eb yu s i n gt h el o c a l r e f l e x i v ep r i n c i p l e ，a n do b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t ：xi sk - v e r ys m o o t h s p a c ei f a n do n l yi f f o ra n y x s ( x ) ，t h e r eh o l d sd i m s x = 厂ska n dji s r - s m o o t hp o i n to fx “a l s o ，w eo b t a i n e dt h es o m en e wc h a r a c t e r i s t i co f k - v e r ys m o o t hb a n a c hs p a c e s c h a p t e rt h r e e ：w es t u d i e dt h ek - v e r ys m o o t hs p a c e s ，a n do b t a i n e d s o m e p r o p e r t i e so ft h e m a l s o ，w eo b t a i n e dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n k - e x t r e m e l ys m o o t h n e s sa n dv a r i o u st y p e sk - s m o o t h n e s s i na d d i t i o n ，w e 内蒙古师范大学硕士学位论文 p r o v et h a ti fx i sw e a k l yl o c a lk - u n i f o r m l yc o n v e xs p a c e s ，t h e nf o re a c h p o i n tx s ( x ) ，厂s ，a r e t h ek - s m o o t h p o i n t so fx k e y w o r d s ：七一s m o o t hs p a c e s ，j | 一v e r ys m o o t hs p a c e s ，k - e x t r e m e l y s m o o t hs p a c e s ，w e a k l ym i d p o i n ts m o o t hs p a c e s ，k - u n i f o r m l ys m o o t h s p a c e s ，w e a k l yl o c a lk - u n i f o r m l yc o n v e xs p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 、z0 ，b 签名：孳骣日期：加呷年厂月形日 f 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 ， 签钒钢苌导师签名：猁朝 日期：别年r 月毋日 v b a n a c h 空间几种红光滑性的进一步探讨 引言 1 9 3 6 年，j a c l a r k s o n 【1 1 首先引入了致凸b a n a c h 空间的概念，并证明了如 h i l b e r t 空间一样，取值于一致凸b a n a c h 空间的向量值r a d o n - n i k o d y m 定理是成立的 由此产生了从b a n a c h 空间单位球的几何结构出发来研究b a n a c h 空间性质的方法，这 就开始了b a n a c h 空间凸性的研究1 9 6 6 年，m a r i e f f e l ( 2 1 引入了可凹集概念，将 b a n a c h 空间几何理论与r a d o n - n i k o d y m 性质更加紧密地联系在一起，使b a n a c h 空 间几何理论研究呈现出一派生机勃勃的景象，产生了一系列有深刻理论价值和应用价 值的效果，使人们对b a n a c h 空间的几何结构有了更深刻的理解 后来，b a n a c h 空间的各种凸性和与它对偶的光滑性以及可微性、粗性、收敛性 等几何性质相继被引入和充分地研究，尤其是凸性和光滑性的研究更为活跃由于凸 性具有更鲜明的几何意义，凸性的研究吸引了众多数学工作者的兴趣j a c l a r k s o n 和m g k r d n 分别独立地引进了严格凸的概念，并给出了这一类b a n a c h 空间的一些很 有意思的性质随后许多数学家都对严格凸的性质进行了讨论为了对b a n a c h 空间的 凸性进行分类，人们对已知的凸性进行了推广vl s m u l i a n 在1 9 3 9 到1 9 4 0 年间，引 进了弱一致凸和弱一致凸；1 9 5 5 年，a r l o v a g i a 研究了局部和弱局部一致凸空间 的性质；1 9 6 0 年，k w a n d e r s o n 在他的博士论文中引进了中点局部一致凸空间，而 各向一致凸是a l g a r k a v i 引进的此后人们详细讨论了各种凸性的性质和它们在 最佳逼近及不动点理论中的应用v s m u l i a n 在1 9 3 8 到1 9 4 1 年间，发表了一系列论文， 研究了范数的可微性质和各种凸性及光滑的联系，他找到了范数g a t e a u x 可微和 f r e c h e t 可微的充要条件，证明了严格凸和g a t e a u x 可微是共轭的随后，b a n a c h 空间的 光滑性作为范数的可微性和凸性的共轭性质，得到了迅速发展j d i e s t e i 和b f a i r e s 引 进了非常光滑，并证明若x 具有等价的非常光滑范数，则x 具有r a d o n n i k o d y m 性 质；证明了若x 是弱局部一致凸的，则x 是非常光滑的1 9 6 0 年，l , s i n g e r t 3 1 引进了七一 严格凸，并讨论了它在逼近中的应用对凸性的研究而言，一致凸空间是目前所知道 的具最强凸性的b a n a c h 空间，e s u l l i v a n t 4 l 于1 9 7 9 年把这一经典的凸空间成功地推广 为k 一一致凸空间( k - i 时为一致凸空问) ，这是一类很广泛、凸性很好的、应用范 内蒙古师范大学硕士学位论文 围非常广且很重要应用的b a n a c h 空间自k 一一致凸空间的概念被提出以来，国内外 数学工作者大量研究了k 一一致凸空间的性质，得到了很多令人鼓舞的结果 在光滑性的研究方面，b a n a c h 空间的光滑性作为凸性的对偶性质得到了充分研 究1 9 8 6 年俞鑫泰吲详细讨论了范数g a t e a u x 可微性和光滑性的关系以及支撑函数的 范数到广连续性而作为k 一严格凸的对偶概念的k 一光滑性，直到1 9 9 0 年，由南朝勋， 王建华吲给出，他们首先引入k 一光滑和k 一强光滑的概念，说明它们分别是光滑性和 强光滑性的推广，然后证明了k 一光滑性与k 一严格凸具有对偶性；x 为k 一强光滑当 且仅当x 是t l 反、k 一严格凸且具有( 日) 性质1 9 9 5 年，曹温淳进一步研究了k 一光 滑空间，得到了k 一光滑空间的若干特征刻画众所周知，关于g a t e a u x 可微性和光滑 性之间有如下关系：是b a n a c h 空间x 的光滑点当且仅当范数在点是g a t e a u x 可 微的那么可微性和k 一光滑性有什么关系呢? 2 0 0 6 年魏文展等嗍引进k g 可微的概 念，并利用此概念和支撑映射在k 维子空间上的范数到下半连续性给出了关于k 一 光滑空间的像文献5 1 定理5 2 1 2 给出的光滑性那样的漂亮而完美的结果虽然，关 于b a n a c h 空间石的k 一光滑性研究开展的比较理想，但是专门研究二次对偶空间x ” 的k 一光滑性特征的文章尚未见到( 当然把一般b a n a c h 空间x 的k 一光滑性特征考虑 在特殊的b a n a c h 空间x ”上可得到若干结果) 笔者直接从x ”为k 一光滑的定义出 发，并以局部自反原理为工具研究了x ”的k 一光滑性，得到了x 的二次对偶空间x ” 为k 一光滑的若干特征，这些新特征是无法从一般b a n a c h 空间x 的缸光滑性特征在 特殊的b a n a c h 空间x “上的限制来得到的，这是我的硕士论文的第一个工作 虽然k 一一致凸性较早被提出来且结果令人鼓舞，但是与k 一一致凸性对偶的k 一 一致光滑性没能及时地给出直到1 9 9 7 年，苏雅拉图和吴从：i ；斤例给出了k 一一致光滑 概念，使得这一理论更加完善从光滑性而言，强光滑空间是目l j 所知道的仅次于一致 光滑空间的具有良好性质的b a n a c h 空间，1 9 9 0 年南朝勋 a i 把它推广为k 一强光滑空间 ( k = 1 时为强光滑) ，1 9 9 8 年苏雅拉图和吴从j 圻0 1 引进了k 一强凸的概念，它是强凸 2 b a n a c h 空间几种k 一光滑性的进一步探讨 概念的推广然后证明了k 一强凸性与k 一强光滑具有对偶性质，并给出k 一强光滑空 间的若干特征刻画同年，刘证】进一步研究了k 一强光滑空间，得到些k 一强光滑 空间的特征刻画此外，2 0 0 4 年苏雅拉图【1 2 1 还给出了严格介于k 一一致凸( k 一一致光 滑) 和k 一强凸( k 一强光滑) 之间的凸性超k 一强凸( 超k 一强光滑) 1 9 9 5 年曹 温淳 7 1 提出k 非常光滑的概念( k = l 时为非常光滑) ，并研究了它与k 一光滑、弱 h a h n b a n a c h 光滑以及r a d o n n i k o d y m 性质的关系，还讨论了k 一非常光滑和k 一强光 滑的一些等价关系2 0 0 2 年张子厚【1 3 1 充分讨论了b a n a c h 空间的k 一非常光滑性和k 一 非常凸性，又得到了一些k 一非常光滑空间的特征刻画2 0 0 3 年，苏雅拉图 1 4 1 利用局部 自反原理，给出k 一非常光滑空间的当d i m s x = k 时的一个特征，并引进k 一弱暴露点， 得到一些k 一非常光滑空间的特征刻画笔者在f 州4 】这些文章的基础上利用局部自反 原理，给出k 一非常光滑空间的一个新特征，推广了文0 4 的结果，并在相关文献的基础 上，深入研究了k 一非常光滑空间，又给出了k 一非常光滑空间的若干新特征，这是笔 者的第二个工作 1 9 8 6 年，刘世伟瞰1 引入了极光滑、很极光滑、一致极光滑的概念此后，许多数 学工作者对这几种极光滑性进行了研究1 9 9 7 年，苏雅拉图【1 6 1 引入了极凸的概念，但 未能明显体现和极光滑的对偶性1 9 9 9 年，郝飞1 7 1 重新定义了极凸，并进一步定义了 很极凸、一致极凸，证明了它们与极光滑、很极光滑、一致极光滑是对偶概念2 0 0 1 年冼军1 8 1 推广了极光滑空间的概念，给出了k 一极光滑空间的确切定义，但未对其进 行深入的研究，虽然文【1 8 j 给出了k 一极光滑空问的一个特征刻画，但未给出其证明同 时，作为与k 一极光滑概念对偶的想法，文呻1 给出了k 一极凸的概念，但此概念未能明 显体现和k 一极光滑的对偶性2 0 0 8 年，苏雅拉图和李广利l l g 重新定义了k 一极凸，证 明了修正后的k 一极凸恰好是k 一极光滑的对偶概念，并充分地研究了这一类凸性空 间虽然k 一极光滑空间的概念较早被提出来，但是这一类光滑空问尚未得到深入研究， 甚至这一类光滑性与其它光滑性之问的关系尚未弄清楚，笔者深入研究了这一类光滑 空间，得到了它的一些性质以及与其它光滑性质之间的关系，这是笔者的第三个工作 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 全文共分为三章 第一章：二次对偶空间的k 一光滑性特征 直接从x ”的定义出发，并以局部自反原理为工具研究了b a n a c h 空间x 的二次 对偶空间x “的k 一光滑性，得到了二次对偶空间x ”的k 一光滑性的若干新特征，这 些新特征是无法从一般b a n a c h 空间x 的k 一光滑性特征在特殊的b a n a c h 空间x ”上 的限制来得到 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下面文章： 1 二次对偶空间的k 一光滑性特征，大学数学( 已接收，待发表) 第二章：k 一非常光滑空间的特征刻画 利用局部自反原理研究了k 一非常光滑空间；得n - x 是k 一非常光滑空间当且仅 当对v x s ( x ) ，有d i m s x = ，k 且曼是x ”的r 一光滑点；并深入研究了b a n a e h 空间 x 的k 一光滑性和k 一非常光滑性，得到k 一非常光滑空间得若干新特征 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的下面文章： 2 k 一非常光滑空间的若干新特征 j 内蒙古大学学报，2 0 0 9 ，4 0 ( 1 ) ：3 1 - 3 6 第三章：k 一极光滑空间及其性质 深入研究了k 一极光滑空间，得到了它的一些性质以及它与其它光滑性之间的关 系，另外，还证明了：若x 是弱局部k 一一致凸空间，则对每个工s ( x ) ，f s ，是x 。 的k 一光滑点 本章内容主要取材于笔者在导师指导下完成的文章： 3 关于k 一极光滑空问( 已投中山大学学报) 4 第一章二次对偶空间的后光滑性特征 第一章二次对偶空间的缸光滑性特征 1 1 有关定义、记号和引理 本文中所涉及的空间x 为实b a n a c h 空间，j 表示x 的对偶空间，工”表示x 的 么c而，恐，矗。=su匕兰1：二芝1：j-二芝1：j：z，五，以scx寸 当l i ma p 一( 工“) = l i m 一( 石”) = 1 ，有慨，。叫i n f 。j 肺州s u 如p + i ) 川) 少”) 一缈一( y ”) i = o 量 引理1 1 2 1 2 0 1 设x 是b 锄a c h 空问，f ，z ，六x ，如果nk e r 彳ck e r f ，则存 f ；i 在吒, - - , r k 使得厂= ，；石+ + 气石 引理1 1 3 2 1 ( 局部自反原理) 设矗”和x 0 “分别是x ”和x ”的有限维子空间， 则对任何s ( o ，1 ) ，存在一一有界的线性算子r ：矗”专x ，使 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 1 ) ( 1 一占) i i 妒0 i i r ( 伊) 0 ( 1 + 占) 0 缈0 ，矽墨”； ( 2 ) f ( t ( f p ) ) = 缈( f ) ，缈墨”，f 瑶； ( 3 ) r ( f ) = 厂，厂x r 、f 引理1 1 4 1 7 ) 设而，+ l s ( x ) 若对任何f l ，* e9 五s ( x ) 有 1 f l ( x 2 ) ( 工：) 则五，气+ 。线性相关 l z ( + 。) 五( 以+ 。) = 0 ， 引理1 1 5 1x 是缸光滑空间当且仅当对协s ( x ) 及叫。cs ( x ) ，i = 1 , 2 ，k + l ，当满足条件彳( x ) 专l ( n 专) 时，对任何五9 1 9 s ( x ) 有 f 1 i d ( 而) l ； 眇( ) l z 2 ( x o 刀2 ( 而) 1 “( 而) 爿“d ( 吒) 一00 专) 引理1 1 6 嗍石s ( x ) 为x 的七一光滑点当且仅当对任何匕，存在y s ( 匕) ，使 工为s p a n x ，少) 的光滑点 引理1 1 7 嘲若j s ( x ) 不为x 的k 一光滑点，则存在t 和口 0 及线性无关的 ， ， + l s ，使tck e r + l 且对任何y s ( r 工) ，存在，l ，k ，使 i f , ( y ) - a + ，( y ) | 口 0 1 2 二次对偶空间的卜光滑性特征 定理1 2 1x 是b a n a c h 空间，则以下条件等价： ( 1 ) 若对任何x ”s ( x 。) ，v k z + ，对每个f ( 1 f k + 1 )及任一序列 一) ：cs ( x ) ，当工”( 订) _ l ( n 专) 时，对任何y - ，y 7 ，y 7 s ( x ”) 瞻1z 暑1 l y t t f 2 + 1 y t t f 2 + 6 寸0 ；( 1 2 1 ) 第一章二次对偶空间的肛光滑性特征 ( 2 ) x ”是k 一光滑罕l 司； 对帆”删n 默i 毗n f 。，业 坐- o 证明( 1 ) j ( 2 ) 假设结论不真，即x ”不是肛光滑空间，则存在某工：s ( x “) ， 但它不是x ”的肛光滑点，即d i ms ，： k ，于是存在k + 1 个线性无关的 缈l ”，吼+ l s 疗cs ( x ”) ，当然鲲一吼+ i ，依一依+ - 是线性无关的，由文献【2 2 】的 推论3 3 1 知( 也可参见文献 1 l 】定理1 的充分性的证明) ，存在 彳) ；。cs ( x 。) ，使 c 鲵一体，c 彳，= 乞；二；：l j = - ，后， 这里岛 0 u = 1 ，2 ，七) 因为s p a n 仍t ，婊+ ) 和s p a n z ，彳，i ) 分别是x ”和x ” 中的有限维子空间，任取正数列 占。) ，满足占。一o ( n o o ) ，由局部自反原理，对每个 刀z + ，存在一列有界线性算子 s p a n 仍，绲+ 。) - f ，使l 满足以下条件： 击i i r ( 仍) 9 i 1 ( 万户l ，2 ，川) ； 弓( z ( 仍) ) = 仍( 弓) ，( f = l ，k + l ，j = 1 ，后) ； ( 瓦( 仍) ) = 仍( 磊) ，o = l ，七+ 1 ) 令0 0 = 瓦( 仍) l l 瓦( 仍) 0 ，( f = l ，七+ 1 ) ，则 爿 cs ( x ) ，! i m 。l i t ( ，) 0 = 1 ，并且 删) ) - 识褊) 2 隅圳一是 ll l ( ”) z _ ( 2 ) z ：( “u ( ”) z 7 ( f 2 2 ) z ：( 一“” 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 赢， b 离， 1 仍( z - ) 慨( 仍) i | 仍( z ：) 忆( 仍) | l i ( 仍一仇+ 。) ( z - ) j l ( 仍一) ( z f ) l i ( 仍一仇+ 。) ( z ：) = b , h 0 这与( 1 2 1 ) 式相矛盾 ( 仍一仇+ 。) ( z - ) ( 仍一依+ 。) ( z ) ( 仇一仇+ 。) ( z - ( 仇一仇+ ) ( z f ( 仍一仇+ x z t ) ( 纯一仇+ i ) ( z ： ( 2 ) j ( 1 ) 假设结论不真，即存在某z ；s ( x ”) ， ) 篙1cs ( x 。) ，虽 l 妻妻z 萋：至ij；j三：杰：j专。 1 z 1 ”( 0 1 ) 五( d ) 1 苟( 刀2 ) z k ”( 2 ) = 怪 l 1 z ：) 矗2 ，( 彳) z “1 ( z ： z _ ：) z 2 ( z k ”) 力“( z ：+ l c o 由于u ( x 一) 是弱紧的，由b a n a c h a l a o g l u 定理，存在院1 ) 的子网 亢。) 弱收 敛到仍u ( x 一) ，由于每一个收敛子网收敛到相同极限，所以仍( z 孑) = l ，仍；同理， 存在 力2 ) 的子网 乃2 ) 弱收敛到仍u ( x “) ，且妒：( z ) = l ，缈z s ：；对于 8 ) 一川 ) 一删 “一 “ “一 纯一纨纨一仇z一乙ll 有勺 ， 一 - i ) 一邝 ) 一邝 仍一仍 仍一仍 打一 玎 ， 一一， 斗。乙一慨瓦一慨 竹 - 上 j1川 + +一 z；z ，l，i 毛 乙 第一章二次对偶空间的肛光滑性特征 i = 1 ，2 ，七+ l 重复这个过程，可得到存在仍s 孝，使 充。) 的子网 乃。) 收敛到仍，这样 就有 i 1 。协( 彳) i |仍新一1 扪ll ：i 仍( 才) 纹+ 。( 彳) 1 仍晶：败+ 一 z o z l z k 仍( z ：) 仍( z ? ) q 2 ( z k ”) 依 依 依 l e o ， 由引理1 1 4 仍，仍，纸+ l 线性尢夭，即d i m k ，这与x ”是舡光滑空间相矛盾 ( 2 ) j ( 3 ) 若( 3 ) 不成立，则存在占 o ，石”s ( x 。) ，l 。及数列敝) ，五 o ， i：乏j：=1，2，)，；l。，使，!观，jl!：!：!：!：!：l!i：学；!：。，(122) 对每个y 。s ( 5 ) 及 o ，因i x 。+ 以y 。0 = s i 诈u p l - l g , ( x * * + 五y ，i 肛”一以y ”1 1 2 潜妙一 y 。i 可以选取碟s ( x - - ) ，蟛s ( x ”) ，使 端二主豁茹锛主 n 2 蝾( x ”) 一 伊孑( 夕。) i k 。一以y ”8 一名， 、7 于是肛”+ y ”0 + l x 。一以j ，“8 2 名 o ，使得对任何y ”t ，有l 墨黔仍 ”) 一。卿仍o ”) l 口 o ，于是 畦二：2 二删三二二2 二匕 允 s u p 非 卿 笛。 = s u p 非 竹) 省 m a x 一雠m a x 加”，i 昙 1 学一眺m a m x 吣1 卜 一删y ”，口 一驯y 。，口 三 鼢咖# ) _ 。卿。咖”) k ， i 坟l ，i m i n f 、妊二二尘，二蛙旱盐兰，这与( 3 ) 相矛盾 z 沁+ j ，”e s ( l 五 2 定理1 2 2x ”是舡光滑的当且仅当对v x ”s ( x ”) ，0 及u 。 ， 岛) cs ( x 。) ， 若熙，瓴) 2 熙广魄) = 1 冠l j 朋l i m 。，。咧i n f l ) h i e n k 帅s u p + i ) 川l y 。( 厶) 一y 。( g m ) f 2 0 证明必要性设v x ”s ( x ”) ，y m 及 厂。) ， g 。) cs ( x ) ， 若 一h r n x ) = l ，一l i m x ( g 。) = 1 ，则显然，矿。) ，) c s ( ，) 且。l i r a 。l ( x ”) = 。l i m 岛( 石”) = 1 n ，卜- 册 口口 由x ”是肛光滑空间的假设及引理l 1 l 知，牌，鲴i n t ) 酬器州 k 旷) 一岛扩) 1 2 0 l 进而有舰y 。叫i n f 匕。) 。咖川s u 1 槲p ) 川jy 。( 厶) 一y 。( g 卅) l 2 0 充分性若x ”不是肛光滑空间，则存在葛s ( x ”) ，使不是x ”的k - 光滑点， 于是存在仍，纯+ 线性无关，再由引理1 1 2 知， nk e r q 岱k e r 纺，于是由文献 【2 3 】知( 可参见文献【2 3 】定理1 的证明) ，可以选取z _ ，东。s ( x ”) ，使缈，( z 7 ) = a j 0 ， 仍( 彳) = o ，f 歹；f ，j = l ，k + 1 令k = s p a n ( z ? ，z ：) 则d i my ，2k 且 1 0 第一章二次对偶空间的肛光滑性特征 z 叠k ，对任何y “s ( k ) ，令j ，”= b , z _ + + 仇z ：，则l = 眇“1 1 - 廿，。i 口 o 因为s p a n q ，l ，仇+ 。) 和s p a n z ；，z ：，) 分别是x “和x ”中的有限维子空间，由 局部自反原理，存在一列有界线性算子乙。s p a n 9 1 ，依+ 。) 一r ，使满足以下条件： 两i l i r a ( 仍) i i o 使i i 小6 且对上述毛及 ) ，”s ( 0 ) ，有 i y ”( 南) 一y ”( 名“l ) i - i y ”( 0 七) l - 1 6 0 i 取g ，= 矗川，( m = l ，2 ，) ；k = 舒，( 棚= l ，2 ，) ，则 但是，对y ”s ( ) 有， 南 矿a o ， 五( ) 一1 ，( k ) 专1 ，( m _ ) s u p陟”( k ) 一y “( g 。) i = s u p p ”( 爿0 ) - y “( z “ ) l 兰 0 ， m e ( n k + 1 i n + l i + i 】 m e ( n k + 1 ( n + 1 ) i + l 】- 。 c ， 这与假设相矛盾 定理1 2 3 对任何z ”s ( x ”) 及t l i r ai n f 畦二：2 ：18 l 二二2 二二三：o 2 。o y s ( o ) l 当日仅当 内蒙古师范大学硕士学位论文 l l ml n rs u n a - - * o + j ”e s ( 1 一) 非v - - s ，r 。 一 f = 0 一 一 l = 溉若已知黔! 嚣，坠盟攀= o , e h 于对任眼。，。 五 o + j ，_ e s ( y )2 。 j 工 及任何y ”1 ，有 从而 s u p 赡s i n f s u p ，”e s ( 匕” 非 一 e y e s * * y s u p 一 。 l 一 l i o ，使对任何y ”l 。，有i 墨黯仍( y ”) 一。m 北i 川n 仍( 少”) i 口 o s u p 睢s ” s u p 非 仍；譬 m a x 1 一 y ，缈) 1 i 。 l 一 y ，缈) 1 i i m ，于是存在r + 1 个线性无关的 仍，仍，仍+ l cs ( x ) ，当然仍- f p 小仍一体+ l 体- q t + l 是线性无关的，e h 3 c 献【2 2 】的推论3 3 1 知，存在 办) ；，lcs ( x ”) ，使 c 仍一饩+ 。) ( 办，= 乞；二皇l = t ， 这里岛 0 ，( i = l ，2 ，) 因为s p a n 伊i ，伊2 ，伊，+ i ) 和s p a n b n ，矽2 ，c r ，舅o ) 分别是 x ”和x ”中的有限维子空间，应用局部自反原理，与定理1 , 2 ，1 中( 1 ) ( 2 ) 类似得到 悖川曩1 一：+ ”， l c r ( f ： 1 ) ) 力( 2 ) 咖( 川，) j 6 , 6 2 6 ， 0 【2 1 1 j 另一方面，一。( 屯) 一l ( i = 1 , 2 ，+ 1 ) ，由假设知 一o ) 均是相对弱紧集，于是由 e b r l e i n - s 二u l i a n 定理知，对每个f ，q ，必存在子列；和厂( f ) x ，使得 ) 与厂n ，( ，专) 再由对角线方法可选出 甩) 的子列 研) ，使 以o 均弱收敛， 设 以7 ) 与厂m ，i = l ，2 ，+ l ，于是l - j 。( 厂) = 厂( ) ，进而有0 厂m 8 1 又由于 u ( x ) 是x 的凸集且范闭集，于是由b a n a c h m a z u r 定理知，u ( x ) 是x 的弱闭集，由 1 4 第二童k 一非常光滑空间的特征刻画 假设知砩。 cv ( x ) ，故i i 守易知， z 口( x ) 1 及”( 量) = 1 由引理1 1 5 及假设条件曼是x ”的，- 光滑点知，对任何 办，办，c r s ( x ”) ，有 娥：；= 妻 再由引理1 1 4 知，蜀，g r ，t l t , s 线性相关，注意到蜀，g ，的线性无关性，可推出 x o “。s p a n g l ，g ，) cx ，这表明 l ) 是相对弱紧集 注：由于l - 非常光滑空间等价于非常光滑空间，1 光滑点等价于光滑点，于是考虑 上述定理在七= 1 时的特殊情形，可得以下结论：x 是非常光滑空间当且仅当对 v x e s ( x ) ，有- d i m s = i 且量是x ”的光滑点此结论又等价于对v 工s ( x ) ，点j 是 n ，n ， 群；眉 ，- ) c 吮 存 ill耐叫l h 肾 j ) ) 扩扩一旷 一 一 一妒胪妒 。 o = u朋月 一 n 0 一刀 办 办 ” ” 0 一。一 办 办 口 口正六。帆 么 咖 m h p = 内蒙古师范大学硕士学位论文 x ”的唯一支撑泛函，这恰好是非常光滑空间的最原始的定义 定理2 1 2x 是缸非常光滑空间当且仅当x 是缸光滑空间且对任何z s ( x ) ， 当v l ( n 专哟时， 以) 是相对弱紧集等价于对任何s ( x ”) ，有 d ( ( ) ，矽( 置) ) 2 篮眵( 正) 一矽( g ) i o ( n - o o ) 必要性设v 抚) c 双f ) ，当五( 曲一l o 专叫时， 以) 是相对弱紧集假设结论 不真，则存在某毛 o ，死s ( x ”) 及 ) 的子列( 仍用 正) 表示) ，使得 d ( 。地p ，庐一i n f ，i 矽。仉) 一九b ) l 占。 ( 2 1 2 ) 由帆) 是相对弱紧集知，存在饭) 的子列 厶) ，使与厂，显然f s 毒且 d ( 九( 以) ，九( s ，) ) ( 厶) 一九( ) i 专o ，这与( 2 1 2 ) 式相矛盾 充分性设对任何s ( x ”) ，有d ( ( ) ，( 足) ) 2 班i 矽( 正) 一矽( g ) l 专0 ( n - - o o ) 因最是x 中的有限维非空有界闭凸集，故对任何痧s ( x ”) ，集合矽( 墨) 也是有界凸 集，并且还是闭的事实上对任何y 砸) ，存在吃最，使。l i r a ( 吃) = y ，因最是 x 中的有限维非空有界闭凸集，所以足为紧集，故存在 j i l 几) c 九) ，使得 l i h , 一h l - , o ，( 七一) ，进而有l ( j i l 凡) 一( j 1 1 ) l 例舭一h l