（基础数学专业论文）与grushin算子相关的等周不等式、特征集和迹定理.pdf

姐- i l ：l 业人学硕十学位论文 摘要 摘要 本文致力于与g r u s h i n 算子相关的等周不等式、特征集和迹定理的研究。 第一一章介绍了g r u s h i n 算子的一些基本概念以及结论，给出本文所研究问题 的研究背景以及进展。 第二章借助变分法和s t e i n e r 对称的思想讨论了g r u s h i n 平面上的等周不等 式，并给出了等周集和它的最佳常数：进一步通过探索g r u s h i n 球与等周问题 解的关系，推导出欧氏空问中b n t m l m i n k o w s k i 不等式在g r u s h i n 平面上的自然 推广是不成立的。 第三章讨论了与g r u s h i n 算子相关的特征集，给出了一类g m s h i n 亚椭圆算 子相应于g r u s h i n 平面上余维数为1 的予流形的特征集在对应g r u s h i n 度量下的 精确h a u s d o r f f 维数和h a u s d o r f f 测度。 第四章利用g m s h i n 平面上迹不等式的研究方法，对局部不满足h o r m a n d e r 有限秩条件的g r u s h i n 算子，通过精确估计我们建立了多维g r u s t i i n 向量场中边 界曲面上一类非特征迹不等式。 关键词：g r u s h i n 算子，g r u s h i n 平面，等周不等式，特征集，迹不等式 曲北工业火学硕士学位论文a b s t r a c l a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y ，c h a r a c t e r i s t i c s e t sa n dt r a c et h e o r e mr e l a t e dt ot h eg r u s h i no p e r a t o r i nc h a p t e r1 ，s o m eb a s i cn o t a t i o n sa n dr e s u l t so ng r u s h i no p e r a t o ra r eg i v e n w ea l s od e s c r i b et h ep r o b l e m sa n db a c k g r o u n ds t u d i e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，b yv i r t u eo fv a r i a t i o n a lm e t h o da n ds t e i n e rs y m m e t r y , w ed i s c u s s t h ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t y ，g i v et h ei s o p e r i m e t r i cs e ta n di t ss h a r pc o n s t a n ti nt h e g r u s h i np l a n e ；m o r e o v e r ，b ym e a n so f e x p l o r i n gt h er e l a t i o nb e t w e e ng r u s h i n b a l i s a n dt h es o l u t i o nt oi s o p e r i n a e t r i cp r o b l e m ，w es h o wt h en a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no f b r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yi nt h ee u c l i d e a ns p a c ed o e sn o th o l dt ot h eg e o m e t r i c s e t t i n go f t h eg r u s h i np l a n e i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i s t i cs e t sr e l a t e dt og r u s h i no p e r a t o la n d g i v et h es h a r ps i z eo f t h ec h a r a c t e r i s t i cs e t s ，f o rt h ec o d i m e n s i o n1s u b m a n i f o l du n d e r t h eg r u s h i nm e t r i cc o r r e s p o n d i n gt oac l a s so fg r u s h i ns u b e l l i p t i co p e r a t o ri nt h e g r u s h i np l a n e i nc h a p t e r4 ，w em a k eu s eo ft h em e t h o dt oi n v e s t i g a t et h et r a c ei n e q u a l i t yi nt h e g r u s h i np l a n e ，f o rt h eg r u s h i no p e r a t o rd i s s a t i s f y i n gl o c a lh r r m a n d e r r a n kc o n d i t i o n ， a n de s t a b l i s ht h et r a c ei n e q u a l i t yo nan o nc h a r a c t e r i s t i cs u r f a c eo nt h eb o u n d a r yo f a c l a s so fd o m a i n si nt h eh i g h d i m e n s i o ng r u s h i nv e c t o rf i e l d s k e y w o r d s ：g r u s h i no p e r a t o r ，g r u s h i n p l a n e ，i s o p e r i m e t r i c i n e q u a l i t y , c h a r a c t e r i s t i cs e t ，t r a c ei n e q u a l i t y 西北工业大学硕士学位沦文第一章 1 1 引言 第一章绪论 1 9 6 7 年，瑞典著名数学家h o r m a n d e r 发表了他的经典文章“h y p o e l l i p t i c s e c o n do r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ” 1 后，由非交换向量场构成的线性以及拟线性 偏微分方程的研究引起了国际数学界的广泛关注，特别是他提出的向量场满足所 谓的h o r m a n d e r 条件已经成为向量场研究中重要的前提条件，在理论和应用上把 偏微分方程的研究深入到一个更广阔的空间中，得到了许多深刻而广泛的结果。 围绕各种算子进行研究是偏微分方程中的热门课题，而其中g r u s h i n 算子 ( 亦称之为b a o u e n d i g r u s h i n 算子) 上= ，+ l x l “，( 口 o ，x r ”，y 秽) 一直是一 个受到广泛关注的算子。g r u s h i n 算子蕴含着一些重要的性质，它由数学家 g r u s h i n 首先证明了其亚椭圆性而得名。从七十年代左右至今，与此算子相关的 大量成果涌现出来，例如h o l d e r 估计，s o b o l e v h a r d y 不等式，p i c o n e 恒等式等； 由它诱导出的g r u s h i n 平面，g r u s h i n 型空间以及与之相关的线性和半线性方程 的解等问题。 特别指出的是，在当今偏微分方程和次黎曼几何等数学分支中非常重要的 c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 度量以及c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 度量球的概念就是八十年代 f r a n c h i 和l m l c o n e l t i 在文献 2 中研究g r u s h i n 算子时所提出来的，它们在次黎曼 几何和偏微分方程的研究中扮演着重要的角色。本文就是围绕g r u s h i n 算子进行 的研究，得到了一些结果。 1 2 等周不等式和b r u n n - m in k o w s ki 不等式的研究进展 欧式空间中经典的等周不等式为 一兰土r 4 r e l 西北：业人学硕b 学位论文 第一童 其中a 表示月”巾闭区域的面积，表示它的欧氏周长。欧式空问中等周集的问 题已经得到了解决。 对于h e i s e n b e r g 群中的等周不等式，p a n s u 3 给出了如下的不等式 吲c h ( e ) “， 其中e 是个有界丌集，晶( e ) 表示它的h e i s e n b e r g 周长，c 。是一个相关常数。 但遗憾的是，至今h e i s e n b e r g 群上等周集问题以及最佳常数c 。都还没有得到解 决，迄今较好的结果是l e o n a r d i 和m a s n o u 在文献 4 】中得到的。 迄今为止，对等周不等式的研究已经取得了大量的结果，例如用代数的方法 研究c a m o t 群上的等周不等式；g e r s t e n 5 等人得到了幂零李群上等周不等式： j a i g y o u n gc h o e 6 研究了r i e m a n n i a n 流形上的等周不等式及最小曲面；l e o n a r d i 和r i g o t 7 得n tc a r n o t 群上的等周集；g a r o f a l o 和n h i e u 的经典论文 1 7 等。 接下来我们简单回顾一下b r u n n m i n k o w s k i 不等式的研究进展。 b r u n n m i n k o w s k i 不等式的表述形式很多，其基本形式为： 设0 a 2 ，那么对任意的s ，0 ，峨。( ) = 0 。如果 = 2 ，集合鼠是由些孤 立点构成的。而且，这个结果是精确的。 在文献 18 】中，z o l t i n 和b a l o g h 得到了h e i s e n b e r g 群和欧氏空间中特征集的 有关结果，这个结果包含了f r a n c h i 和w h e e d e n 的上述结论，并把曲面光滑性推 广到c 。( 0 0 ) 。对 任意g ，y ) r2 ，在g r u s h i n 平面上定义垂直平移g ，y ) bo ，一十 ) ( r ) 和伸缩 变换( x ，y ) 卜瓯( x ，y ) = ( 五x ，舻“y ) ( 五 0 ) 。 引入检验函数族 f ( r 2 ) = 如= ( 竹奶) 碟( r 2 ；r 2 ) ：。 - 1 ， a 0 ，称 巨= p r 2 ：d i s t 。( p ，e ) s 净g b ( p ，) = e - e ( o ，f )、 口l j 一 为五的一畚b 域。 定义2 2 2 设e 是r2 上的有界开集，如果下列极限存在，则定义e 的边界 o e 的m i n k o w s k i 容度为 叫卧姆掣。 定义2 2 3 设e 是r 2 上的可测集，e 的g r u s h i n 周长定义为 只( e ) = s u p ( 吼觋+ 1 x t 。a y e s ) d x d y ：研，仍q ( r 2 ) ，窜( 衍+ 戎) “s t 。 若只( e ) + c 。，则称集合e 是有有限g r u s h i n 周长的。 西北j 业人学硕士学位论文 第二章 定义2 2 3 是 2 0 中c a r n o t - c a r a t h g o d o r y 空l a j 中集合周长定义的一个特殊情 形，也是 2 u 中对一般度量空问中集合周长= 描述的特殊情形。本文仅考虑 j e j o ( 仅依赖d 和e ) 叫v ”出( x ) v ：”( v ；+ ( x ) 2v 刑d h ls c s ， l ( v 1 。+ ( x ) v ：y ：) d 日1 - i c s 。 令( ) 删是一族磨光算子，定义= + 妒，则e g ( r2 ；r 2 ) ，i i k 1 ， 而且当叩一0 时， 。斗缈。现选定妒= ，叩 0 足够小，得到 西，名p ( _ 一) = l i ( v l p ( 石，) + ( x ) 匕仍( 工，) ) 矗h 1 - i c 占， ( 2 22 ) 在( 2 2 2 ) 的两端取上确界后，得到乞( e ) i - c s ，由s 的任意性，得圪( e ) 。 西北j ：业入学硕士学位论文 第二章 设e cr2 是一个l e b e s g u e 可测集，表示l e b e s g u e 测度。令q = 口+ 2 ，q 是g r u s h i n 平面的齐次维数，则e 的l e b e s g u e 测度和g r u s h i n 周长关于伸缩以分 别是q 次齐次和q 一1 次齐次的，即对所有的五 0 ，有 定理2 2 2 ( 圳疋( e ) l = 舻i e l ，( i i ) 圪( 瓯( e ) ) = a 步1 乞( e ) 。 证明：( f ) 的结果是显然的，在此就不证明了。我们仅证明( i i ) 。令妒f ( r 2 ) ， 记x = 五孝，y = 2 “+ l q ，j j l 4 l ( 。) d i v r p ( x ，y ) d x 咖= l ( ( a ，仍( _ y ) + 御( 工) a ，仍( x ，y ) ) d x d y = 如印心1 叩) 彬咄) 击咖( 始玎) 卜倒叩 = a 。id i v , ，( ( o 。占。) ( 吉，呀) d f d 叩旯。一1 只( e ) 。 因为妒。s ，( j r 2 ) ，在等式两边对检验函数伊( e y ) 取上确界，再结合g m s “。n 周长定义2 2 3 ，得到只( 民( e ) ) 丑圪( e ) 。采用上述类似的证明思想，我们 可证得逆不等式a 纠只( e ) 只( 以( e ) ) 成立。得证。 为了问题考虑的方便，我们把g r u s h i n 周长的研究转化到欧氏i 青：n t 。引进 映射，甲：r 2 斗r 2 ，定义 中( 锄) = ( s s n ( 洲嘉，玎 ，( ) = ( s g n ( x ) 忙i 。+ 1y ) 。 当掌o 时，i d e t i ，( 驯卜南针而。 定理2 2 3 没e r2 是一个可测集，定义f = _ ；f ，( e ) ，则p ( f ) = 乞( e ) a 证明：取检验函数妒( x ，y ) f ( r 2 ) ，令x = 埘，y = “7 7 ，则 饥p ( x ，y ) d x d y = 上瞳仍( ) + 珊( x ) a ，仍( x ，y ) d x d y = l r 纷( 鸳，1 叩) + u t 善) a ，。仍( 蟛，1 叩) d ( 鸳) d ( 1 口) 两北一f + 业火学硕_ ：? 学位论文 第二章 = 肛a ( 。) 刁) + a 。( 鸭。巾) ( 善，7 7 ) d 善嘲。 由于a 。纷在紧支集上有界，而且奇异项蚓一i 局部可积，则在o ( 月2 ) 上有 a ；( 纯。m ) ( f ，7 7 ) = a l + l i 亭i 一南( a ；仍) ( 中( f ，7 7 ) ) ， ( 仍。中) ( 手，刁) = i 备i 叩 一眚( a ，仍) ( 中( f ，叩) ) ， ld i v j p ( w ) 蚴= 丙1 拈向屯蛾) ( 中) ) m 者( 敛) ( m ( 勃) 归咖 根据s o b o e v 空间稠密性定理，得到 p ( f l = 心s u 料p 历v ( 驯蟛咖 = s u p i 斫v ( 掌，v ) d c d v ：，：e w u ( 月2 ) ，? + 啦s 1 ， 即c f 魄妒( ) 出痧sp ( f ) 。 ( 互2 3 ) 对( 2 2 3 ) 中两端检验函数取t 确界，z 。，i 只( e ) r ( f ) 。 逆不等式p ( f ) 兰只( e ) 的证明，可采取同样的思想，只要用函数y 取代巾即可。 接下来我们引进集合几何性质的两个概念：对称和凸以及引理2 2 1 。 如果( x ，y ) e j ( 一x ，y ) e ，则称集合ecr 2 是x - 对称的：如果 ( x ，y ) e j ( x ，- y ) e ，则称e c r 2 是y 一对称的：如果集合e 既是x 一对称又是 y - 对称的，则称e 是个对称集。 设e 亡r 2 ，对每个z ，y r ，我们定义 e 。= y r ：( x ，y ) e ，e = x t r ：( x ，y ) e e 。 如果对所有的y r ，集合e 是一个开区间，则称e 是x - 凸的；如果对所有的 x r ，集合e 是一个丌区间，则称e 是y - 凸的；如果e 既是x 一凸又是y - 凸的， 则称e 是个分离凸集。 引理2 + 2 1 设e c r 2 是个可测集，只( e ) + 。，0 0 ，使得对任意的可测 集e r 2 ，其中0 吲 0 ，b 0 ，它们仅依 赖和卢。事实上，固定占 0 ，令丸c 1 ( r ) 是一个递增函数，若y 占，使得 以( y ) = l ；若y 一f ，使得疵( y ) = 一l 。取e 匕q ，设 a = s u p x 0 ：e 。1 0 ，6 = s u p y 0 ：e l 0 ，盯8 = s u p x 0 ：e 4 i 2 9 ， 也= s u p y 0 ：e ”l 2 f ) ，其中o a 。 o ) 和垂直平移( x ，y ) h ( x ，y + ) ( r ) 下，等周集e 是唯一不变的( 【2 4 】) 。 定理2 2 。5 设口1 ，q = 僻+ 2 ，令c ，是最佳常数，对任意有界开集e c r 2 召 l e i c 坂( 疆) 盍。 d 证明：设e ，c r 2 是有界开集，记p ( x ，) = d i s t 。( ( x ，_ y ) ，e ) a 对任意的g o ， 令疋= ( 曩y ) r2 ：p ( x ，y ) 掣不魁否贝| j ( 2 2 1 0 ) 式冁对 任意占 0 ，存在r ( s ) ( o ，s ) ，使得 只( 剐掣， ( 2 2 1 1 ) 利用g r u s h i n 周长的下半连续性质，k - ( 22 ，1 1 ) 式两边取“l i m i n f ”得： l i 罂舻只( 训鲥卿掣，眠( e ) 姒( 耙) 。 再由定理2 2 4 知，p o ( e ) ：c f n 万o - i ，则c ，蚓百o - 1 收( 汜) ，所以 1 e f s c ，m 。( 嬲) 西。 0 2 3 g r u s h in 平面上的b r u n n - m in k o w s k i 不等式 在这部分我们讨论o r u s h i n 平面上g r u s h i n 球与等周问题( 2 2 4 ) 的解的关系， 进一步得到了在g r u s h i n 平面上b r u n n m i n k o w s l d 不等式是不成立的。 g r u s h i n 平面上集合a ，b 的m i n k o w s k i 和定义为： ab = x y ：x 爿，j ，b 。 我们通过证明g r u s h i n 球与等周问题解的关系晚明b r u n n m i n k o w s k i 不等式在 o r u s h i n 平面上的推广： l1 i 爿b 陌- i a i 百+ 1 8 1 百， ( 2 31 ) 是不成立的。这里爿，b 是有界开集，q 表示g r u s h i n 平面的等周维数。 定理2 3 1 设b 是一个g r u s h i n 球，那么圪( b ) = m 。( o b ) 。 证明：不失一般性，我们假定b = b ( o ，1 ) 表示中心在原点半径为l 的g m s h i n 球。令s 0 ，b 。表示b 的邻域，考察距离函数p ：p h d i s g ( p ，o b ) ，并且记 b 。= b ( 0 ，1 + s ) 。同时假定当s 斗0 时， b ：b l 收敛到0 ，否则m 。( o b ) = + 。 ls 曲北l 业人学硕士导：位论文 第一二毒 令x ；= a 。，x ! = ( x ) a ，x = 、，2 ) 表示g r u s h i n 平面上的g r u s h i n 梯度， 那么r x p ( x ，y ) | = ( 仅p ( x ，y ) f + 棚( z ) 2 协p ( 墨圳2 ) “，根据 2 2 中定理3 ，l 可得到 e i k o n a l 方程i x p ( x ，y 】= 1 成立，其中0 ，y ) r2 b ，同时由 2 0 中定理5 2 的 c o a r e a 公式得 l 、。j x p ( x ，y ) 陋田= r 只( e ) 折= f p o ( b ( o ，1 + ，) ) 曲， ( 2 - 3 ，2 ) 然后结合g r u s h i n 周长的性质定理2 2 2 ，得到只( b ( o ，1 + s ) ) = ( 1 + ) 争l 尸。( b ) 。 那么由( 2 3 2 ) 式可得 i b 。b i = l 、。蚴= f p o ( b ( o ，) 净= p o ( b ) 0 + f ) 争1 西。 最后由定义2 2 2 计算容易得到 m 。( 船) = 脚掣= 圪pl i m l 。f ( ) 班= 只( b ) 。 定理2 3 2o r u s h i n 平面上的g r u s h i n 球不是等周问题 m i n 只( e ) ：e c r2 , i e i = 1 ) 的解。其中e 是平面上的可测集。 证明：不失一般性，我们考虑口= 1 的情形，当口 1 时，可以类推。则由定 理2 2 4 得： 且= ) 承i y i 眦c o s t 叫衙，i 州i o 首先回忆到在g r u s h i n 平面上中心在点( o ，0 ) 半径为t 的球丽，即8 ( o ，t ) 的 边界由下列参数方程( 2 5 ) x = x o ) ，y = y o ) ，0 f s 2 ，r 所决定，其中 ft ，t = 0 ，0 ， ，= 0 ， 谁卜隆n 言，鳓，必卜涪( f _ s m ) o 0 ，0 o 有 撕北业人学硕 学位论文第三章 b o xp ，缘) b ( ) e b 。x ( p k r ) 。 ( 3 _ 7 1 ) 我们称( 3 2 1 ) 式为盒一球估计式，它是次黎曼几何研究中的一个重要工具。在本 文定理的证明中也起着重要的作用。其中 r n x ( ) = p + u ：u = 。2 ，州p ，l 。 而且，关系式( 3 2 1 ) 在某些c a r n o t - c a r a t h 6 0 d o r y 空间中也是成立的。 g r u s h i n 平而上子流形s 的特征集c ( s 1 定义如下： c ( s ) = j p s ：巧s = h ，g ， 这里l s 表示光滑流形s 在p 点的切空间，爿。g 表示g r u s h i n 向量场x t = a ， x ：= l x l 9a 。中切丛粥的水平次丛。 下面我们介绍g r u s h i n 平面上几个重要的概念：s 一维h a u s d o r f f 容度；s 一维 h a u s d o r f f 测度和h a u s d o r f f 维数。 定义3 2 ，1 对任意的子集a r2 和指数s 0 ，g r u s h i n 平面上相应于 g r u s h i n 度量的s 一维h a u s d o r f f 容度定义为 h ；。( 4 ) = i n f p 州，】5 ：a c _ u a ， ， l rj 这里闭集a 。c 月2 ，d i a m a 。表示子集4 的直径，即d i a m a i = s u p 吐( x ，y ) 。 定义3 2 2 对任意的子集a r 2 和指数s 0 ，令s 0 ，g r u s h i n 平面上相 应于g m s h i n 度量的s 一维h a u s d o r f f 测度定义为 叫小l 缈i mr 悻胁州：爿吵础州叫。 注3 2 1 由定义3 2 1 和定义3 2 2 易知h ：。( a ) 玉h d ( a ) 是成：芷的，并且 由【1 1 】不难得到h ；。( a ) = 0 曲h ：( a ) = 0 。 定义3 2 3 对任意的子集a r 2 和指数s 0 ，g r u s h i n 平面上相应于 g r u s h i n 度量的h a u s d o r f f 维数定义为 西北， ：业大学硕士学位论文 第三章 d i m “a = i n f s o ：屹( 爿) = o - i n f p o ：峨。( 4 ) = o 。 类似地，在欧氏平面中相应于欧氏距离略也可以定义s 一维h a u s d o r f f 容度 h ；。( 爿) ：s 。维h a l l s d o r f r 测度h ；( j 4 ) 和h a u s d o r f f 维数d i m e a 。 3 3 本文主要结果 定理( 1 ) 如果s 是r 2 中一个c 1 光滑、正则的超曲面，那么h ：( c ( s ) ) = 0 。 ( 2 ) 如果s 在r2 中是c 1 1 “( 0 0 ，存 在一个常数k = k ( s ，t ) 使得 h # 胪“”( c ( s ) ) sk h 铲( c ( s ) ) ， 并由此不等式可导出 d i m 。；c ( s ) d i m e c ( s ) 十一口。 证明：出于考虑的予流形s 是特征点邻域内的个正则啦面，因此我们可以 假定s 是一个c 函数在某局部的像。设s 是映射厂：q _ r 的像，则记 s = 厂( z ) ) ：z e 9 ， 这里q 是x 轴上长度为1 中一1 1 , 在原点的闭区间。 对任意岛，x q ，利用t a y l o r 展式有 厂( x ) 一f ( x 0 ) = ，( ) ( x x 。) + r ( t x 0 ) ， ( 3 3 1 ) 这里r ( x ，) 是t a y l o r 展式中的拉格朗日型余项。改写( 3 3 1 ) 式得： r ( x ，) = s ( 4 - s ( x o ) 一厂( 粕( x - x 0 ) = f ，x o + f o ) ) 一，( 氏) ( z 一) 出