导数的经济意义及在经济分析中的应用研究论文.doc

导数的经济意义及在经济分析中的应用研究论文 导数的经济意义及在经济分析中的应用研究摘 要数学是一种适于定量分析的比较严密的抽象符号系统具有较强的客观性应用数学知识解决经济问题在一定程度上能减少分析中主观因素的影响微积分的创立是数学发展中的里程碑导数作为微积分的核心概念之一在经济学领域有其丰富的实际背景和广泛的应用论文就导数在经济领域中的应用对边际分析弹性分析以及经济优化问题作出探讨并给出导数在经济领域中的应用实例旨在拓宽人们分析问题的思路提高人们解决问题的能力说明高等数学处理复杂经济问题的优越性和重要性为广大企业管理者进行科学决策提供参考关键词导数经济学边际分析弹性分析优化分析目 录1 引言12 文献综述121 国内外研究现状122 国内外研究现状评价223 提出问题23 导数的概念与意义24 经济分析中常用的函数341 需求函数与供给函数342 成本函数与平均成本函数343 价格函数收入函数和利润函数45 导数在经济分析中的应用451 边际分析4com 边际成本4com 边际收入5com 边际利润分析552 需求价格弹性分析及应用7com 需求价格弹性的概念与分析8com 需求价格弹性在企业经营中的应用8com 需求价格弹性在国家经济决策中的应用1053 收入弹性分析及应用146 最优分析及案例1561 用边际函数求最低成本1562 利用边际函数求最大利润1763 资源合理利用的优化分析197 结论2171 主要发现2172 启示2173 局限性2174 努力方向21 参考文献231 引言 数学是一种适于定量分析的比较严密的抽象符号系统具有较强的客观性应用数学知识解决经济问题在一定程度上能减少分析中主观因素的影响当然在经济研究中应用数学也会有它的局限性它不可能使经济理论家或实践者彻底摆脱在现实经济中所遇到的困境和烦恼但总体来说在经济研究中应用数学是很有益的从当前来看在国内外经济学文献中应用数学作分析工具的越来越多应该说这是经济学进步的一个重要标志即它使经济学走向了定量化精密化和准确化微积分的创立是数学发展中的里程碑导数作为微积分的核心概念之一在经济学领域有其丰富的实际背景和广泛的应用如何运用导数知识去分析解决经济中的问题是一个必须引起重视和研究的课题本文本着数学为体经济为用的原则就导数在经济领域中的成功应用范例著名的边际分析弹性分析以及经济优化问题等作一些探讨并给出导数在经济领域中的一些应用实例旨在拓宽人们分析问题的思路提高人们解决问题的能力通过本文的讨论我们不难发现利用导数说明和解决经济问题是非常有效的方式使我们可以从数学的角度得出结论又可以在经济的理论上得到合理解释从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的2 文献综述21 国内外研究现状 现查阅到的文献中分别就导数在经济研究中的应用做出以下说明其中高汝憙在文献1中精确的解释了导数的概念强调了对数学概念的精确理解是解决问题的前提 高鸿业哈尔R范里安周晓晖宋承先分别在文献25中对导数在经济领域中的应用类型和相应的方法给予了较详细的说明并介绍了经济学中常见的函数及大量的实例 李凤香程敬松在文献6中对边际的概念展开描述并举例说明边际收益边际成本等概念文献8中 张贤澳对需求价弹性与收益进行了详细的的解析 文献1012中刘玉红李春萍彭文学通过弹性分析说明了数学在经济领域中的具体应用周学勤在文献14中提出了导数在经济应用中应注意的问题 叶子祥于信宿金勇 保罗A萨缪尔森等在文献1516中提出针对生活中的有些问题可利用优化分析的方法达到经济效益的最高的策略22 国内外研究现状评价文献116分别就导数的经济意义与其在经济中的应用做出说明文献中主要阐述了经济方面相关的基础知识没有很全面地介绍导数在研究经济各方面的运用而且文献中对最优化分析给出的分析也相对较少对导数在经济中的应用所需要注意的问题也未给出详细深入的说明23 提出问题 本文从数学的基本理论导数的概念出发探讨了经济管理学中重要的概念-边际函数和弹性函数研究它们的经济意义进而分析了经济科学中常见的函数及应用实例给出了利用导数解决经济管理学问题的一般方法通过数学与经济学的结合来分析问题说明导数在经济生产中的重要性和优越性3 导数的概念与意义定义11设函数y fx在点的某个邻域内有定义当自变量 x在点处取得增量点仍在该邻域内时相应地函数y取得增量 f-f如果与之比当0时的极限存在则称函数y fx在点处可导并称这个极限为函数y fx在点处的导数记为即若函数 y fx在某区间内每一点都可导则称 y fx在该区间内可导记为y fx在该区间内的可导函数简称导数函数增量与自变量增量之比yx是函数在以和为端点的区间上的平均变化率而导数则是函数y 在点处的瞬时变化率它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度函数y 在点的导数的几何意义是曲线y 在点处的切线的斜率西方经济学家研究涉及边际经济变量时都是用增加某一个经济变量一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少如边际效用边际成本边际收益边际替代率等等这些概念都是经济学中非常重要的概念而在这些经济学概念中几乎都要用到导数的概念它们的数学表达式也可以用导数来表示因此导数在边际分析弹性分析最优化分析等方面都具有重要的作用经济分析中常用的函数41 需求函数与供给函数1需求函数市场上的任何一种商品其需求量受到很多因素影响如商品的市场价格消费者的喜好等为了便于讨论我们先不考虑其他因素假设商品的需求量尽受市场价格的影响即Q表示某种商品的需求量P表示此种商品的价格则用 Q fP表示对某种商品的需求函数例如某空调的价格从3000元台降到2000元台时相应的需求量就从600台增到1000台显然需求是和价格相关的一个变量一般来说对某种商品的需求量Q随价格减少而增加随价格增加而减少所以需求函数是单调减少的函数如图12供给函数站在卖方的立场上设Q表示对某种商品的供给量P表示此种商品的价格则用Q FP表示某种商品的供给函数一般来说作为卖方对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加随价格P的减少而减少所以供给函数是单调增加的函数如图242 成本函数与平均成本函数1成本函数产品的成本一般有两类一类随产品的数量变化如需要的劳动力消耗的原料等这种生产成本称为可变成本另一类成本无论生产水平如何都固定不变如房屋 设备的折旧费保险费等称为固定成本设Q为某种产品的产量C为生产此种产品的成本生产每个单位产品的成本为a固定成本为则成本函数为C CQ aQ2平均成本函数用表示每单位的平均成本函数243 价格函数收入函数和利润函数1价格函数一般来说价格是销售量的函数生活中随处可见买的东西越多消费者就可以把价格压得更低例如某批发站批发100件衣服给零售商批发定价30元若每次多批发10件衣服相应的批发价格就降低2元显然价格是和销售量相关的一个变量在厂商理论中强调的是既定需求下的价格在这种情况下价格是需求量的函数表示为P PQ要注意的是需求函数 Q fP与价格函数 P PQ是互为反函数的关系2收入函数在商业活动中一定时期内的收益就是指商品售出后的收入记为R销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格因此收入函数为R RQ PQ其中 Q 表示销售量P表示价格3利润函数利润是指收入扣除成本后的剩余部分记为L则L LQ RQ-CQ其中Q 表示产品的的数量RQ表示收入CQ表示成本总收入减去变动成本称为毛利再减去固定成本称为纯利润5 导数在经济分析中的应用51 边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念通常指经济变量的变化率利用导数研究经济变量的边际变化的方法即边际分析方法是经济理论中的一个重要分析方法在经济学中习惯用平均和边际的概念描述一个经济变量y对于另外一个经济变量x的变化平均概念y表示在自变量x的某一个范围内的平均值显然平均值x随着范围不同而不同边际概念表示当x的改变量x趋于0时y的相应改变量y与x的比值yx的变化即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化com本设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数c q 可导则其边际成本定义为3边际成本是总成本函数c q 关于产量q的导数其经济含义是当产量为q时再生产一个单位即q 1所增加的总成本为c q 因此近似地记为例1 生产某种产品q个单位时成本函数为c q 200005求生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本解边际成本为 01q当q 90时 0190 9当q 100时 01100 10即生产90个单位该产品与生产100个单位该产品时的边际成本分别为9和10在这里需要注意的是平均成本平均变化率边际成本三个概念虽然都反映一定意义下的平均但是又有一定的区别平均成本C q q是生产一定数量产品时的成本平均它只与产量范围q有关平均变化率C q q是生产一定数量产品时再增加生产q时成本增加值C在q范围内的平均这个比值既与产量q有关又与增量q有关边际成本是极限意义下的平均是当增量q0时总成本C q 的瞬时变化率这个值只与产量q有关com 边际收入与边际成本类似边际收入定义为即边际收入是总收入函数R q 关于销售量q的导数其经济含义是当销售量为q时再销售一个单位即q 1所增加的总收入R q 例2 某企业某种产品的收入R 单位元 是产量q 单位吨 的函数求生产200吨时的边际收入解边际收入为生产200吨时的边际收入为其经济含义是当销售量为200吨时再销售一吨即q 1所增加的总收入为700元com润分析边际利润与边际成本类似边际利润定义为总利润函数L q 关于销售量q的导数其经济含义是当销售量为q时再销售一个单位即q 1所增加的总利润L q 在这里要强调的是边际利润0与利润L q 0是不同的概念 0即边际利润小于零这意味着当产量销量为q时再改变一个单位的产量销量 即q 1 总利润将减少此时可能是亏损也可能是盈利即总利润减少不一定是亏损而L q 0即利润小于零则意味着当产量销量为q时企业是亏损的例3 设某厂生产某种产品的总成本C元是产量Q件的函数每件产品的销售单价为800元试写出利润函数边际利润及生产350件398件及400件时的边际利润并说明其经济意义解设产量与销量一致令Q为产量 或销量 由题设收益为总成本从而利润函数边际利润于是 经济意义为 表示当产量在350件的基础上再生产一个单位产品时利润将近似地增加96元 表示在产量398件的基础上再生产一件产品时利润将不再增加而且开始减少 表示在产量为400件的基础上再生产一件产品利润就要近似地减少4元例44 假定有酒100吨现价8元公斤多陈一年可增值2元公斤贮存费每年10000元因贮存酒积压资金引起机会成本每年增加其中为酒的贮量P为当年白酒价格r 为利息率且假定r 10那么这些酒须储存多久效益才最大呢分析假设须贮X年才最佳由已知可得如下函数关系1 x年增加的总收入函数元2 x年增加的贮存总成本元3 x年净增利润函数元此时边际收入边际成本因为当时利润最大所以有即x 275年由于驻点唯一故只有当储存期为275年时企业才能获得最佳经济效益其最大净增利润为151250元由上进一步表明边际分析这种以导数为工具以经济现象为内容的数学分析方法已深深融人到了经济学中并成为经济学的一个重要组成部分52 需求价格弹性分析及应用在西方微观经济学中 弹性是用来表示因变量对自变量变化的反应的敏感程度具体地说 当一个经济变量发生1的变动时 由它引起另一个经济变量变动的百分比因此 需求的价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度或者说它是衡量一种商品的需求量对其价格变化的反应敏感程度 这种敏感程度通常是用需求价格弹性系数来表示其公式为需求的价格弹性系数 需求量变动率价格变动率5同样 供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的价格变动对于该商品的供给量变动的影响其公式为供给的价格弹性系数 供给量变动率价格变动率需求的价格弹性和供给的价格弹性分为点弹性和弧弹性而价格弧弹性的计算可以有三种情况 它们分别是涨价时的弧弹性降价时的弧弹性 以及中心公式计算的弧弹性至于到底应该采用哪一种计算方法 这需要具体情况和需要而定并且 一种商品需求的价格弹性与供给的价格弹性的大小是各种影响因素综合作用的结果 是决定商品供求变化方向均衡数量及价格水平的重要因素6用西方经济学的价格弹性理论研究中国市场的价格弹性的变化 最关键是科学地计算产品的供给价格弹性和需求价格弹性定义27 设函数y fx在点x处可导函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比当时的极限称为函数y fx在点处的相对变化率或称为弹性函数记为com格弹性的概念与分析需求价格弹性的概念经济学中把需求量对价格的相对变化率称为需求的com函数是价格的递减函数所以需求弹性一般为负值其经济意义为当某种商品的价格下降或上升1时其需求量将增加或减少当 -1即 1时称为单位弹性即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等com格弹性在企业经营中的应用1需求价格弹性在厂商定价中的应用对厂商来说利润最大化是其经营目标而厂商一般通过调整价格来实现这一目标然而通过这一方式能否达到预期效果还要由Ed来定在市场上厂商若能判定某些商品是属于需求富有性的则可以采取降价的策略也就是薄利多销策略薄利就是降价降价能多销因需求增加而增加的收入大于价格下降而减少的收入会使总收益增加但不能采取提价的策略比如公园除了比较大的节日像五一节六一节十一节去游玩的人比较多以外其余的时间游人非常少造成了社会资源的闲置非常可惜公园的门票就属于需求富有弹性的商品票价应该下降因为下降以后可以吸引大批的本地居民去公园消费而且对于园来说一般是固定费用较大而变动费用较少游客增加公园支出的总费用不会有太大影响公园在增加收入的同时支出的费用却增加很少何乐而不为呢8在市场上商家若能够准确地判断出某种商品是属于需求缺乏弹性的话就不能采取降价的策略而应该采取提价的策略比如在农产品市场上由于粮食是生活必需品需求价格弹性小也就是说人们不会因为粮食便宜而多吃粮食由于丰收了而造成粮价下跌并不会使需求量同比例地增加从而使总收益减少农民蒙受损失这就是中国古语谷贱伤农经济学道理意思是丰收了由于粮价的下跌农民的收入减少以上分析了产品的需求价格弹性大小与企业总收益之间的关系及其在实际中的一些运用在真正应用时我们还要注意两点一是上面所提到的总收益包括了成本与利润总收益增加并不意味着利润增加总收益减少不意味着利润减少二是商品的需求价格弹性会由于人们收人水平所处的地区等因素的改变而改变综上所述企业在制定或变动产品价格时一定要考虑自己产品需求价格弹性的大小这样才能够更好地利用价格策略在竞争中求得生存与发展例59 某企业某产品的需求价格弹性在15-20之间如果预计明年把价格降低10问明年的销售量预期会增加多少总收入将会增加多少 解由因此时 当时所以明年该企业销售量预期会增加15-20总收入将会增加5-10由此可见在市场经济中企业经营者关心的是商品涨价p 0或者降价p 0对总收入的影响程度利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收降价未必减收2需求价格弹性在价格预测中的作用由于Ed在公式上等于需求量变动的百分比与价格变动的百分比之比所以在产品需求弹性基期价格已知的条件下我们可以在预测未来需求量或需求量变动率后预测商品在未来某一时期的价格如某一商品的弹性系数为22005年的销售价格是500元预计2006年的销售量会从2000件上升到3000件则可预测2006年的价格变动率 需求变动率弹性系数 502 25预期价格 基期价格 1价格变动率 500125 6253需求价格弹性在需求量预测中的作用在基期需求量和已知Ed的条件下企业在知晓价格变化的情况后也可以用上面的原理来预测一下自己的商品在未来某一时期内的需求量com格弹性在国家经济决策中的应用1利用需求价格弹性合理调控经济做出科学决策在现实生活中某些需求缺乏弹性的商品如农场品在供给量增加后价格大幅下降而需求量不会增加很多从而使均衡价格维持在很低的水平这就会极大的挫伤生产者的积极性最终使得未来供应量减少而在供应量减少后该产品的价格就会大幅上升而价格的大幅上升又不会引起需求量的大幅减少因此会均衡价格达到很高的水平如近来猪肉价的大幅上涨就与这种情形相似而这种价格水平的急剧波动对经济的健康发展造成很大的危害因此国家对这商品应采用最低保护价政策维持价格的稳定2利用需求价格弹性制定科学的国贸政策一般情况下人们普遍认为一国的货币贬值可以改善国际收支实际上一国货币贬值是否能达到这种效果还看该国进出口商品的Ed来定 即进出口商品的Ed之和大于1只有在这个条件下一国的货币贬值才能改善这个国家的国际收支因此国家在制定国际贸易政策时要充分考虑本国进出口商品的Ed这样才可以提高决策的科学3利用需求价格弹性制定科学的税收政策国家根据财政收支的需要和国家产业的发展规划对具有不同Ed的商品制定不同的征税标准对那些Ed为零且不关乎国计民生的商品征收较高的税收从而增加国家的财政收入而对那些富有弹性的商品降低税率已达到增加需求量促进经济增长的目的而对那些低弹性且关乎国计民生的商品如农产品国家不仅不征税还要提供财政补贴鼓励这些弱势产业的发展例610 某商品的需求函数为求1需求价格弹性函数2当P 5时的需求价格弹性并说明其经济意义3当P 10时的需求价格弹性并说明其经济意义4当P 15时的需求价格弹性并说明其经济意义解1按弹性定义2由于所以当P 5时该商品的需求缺乏弹性此时价格上涨1需求量下降 3 由于所以当P 10时该商品具有单位弹性此时价格上涨1将引起需求量下降14由于所以当P 15时该商品是富有弹性的此时若价格下降1将导致需求量增加3那么边际与弹性之间有什么联系与区别呢请看下面一个例子例7 某商品的需求函数为P为价格1求P 4时的边际需求2求P 4时的需求弹性3当P 4时若价格上涨1总需求将变动百分之几上升还是下降若价格增加一个单位总需求将变动多少增加还是减少4当P 4时若价格上涨总收益将变动多少上升还是下降若P 6时将如何变化5P为多少时总收益最大解1 2 3由弹性的经济意义及2的结果可知若价格上涨1总需求将下降054 由边际的经济意义及1的结果可知若价格增加一个单位总需求将下降8个单位由3可以看出弹性是一个相对量的比较价格变动1相应的需求量将变动而边际则是一个绝对量价格增加一个单位需求量将增加或减少多少个绝对量边际与弹性一个从绝对量变化的角度一个从相对量变化的角度但有一点它们是相同的就是它们都是考虑在某一点时的瞬间变化情况均是局部性的概念而不是对整个变化过程做研究下面看第4问总收益应为需求量与价格的乘积即边际收益收益弹性表示p 4时价格上升1总收益增加046价格增加一个单位总收益增加27个单位边际收益收益弹性 表示P 6时价格上升1总收益将减少085价格增加一个单位总收益减少33个单位由上可见边际与弹性随着P点的不同而不同是一个局部性的概念掌握边际 与弹性的概念注意它们的区别与联系在市场管理和制定商品价格确定生产量等方面都具有重要的经济意义那么总收益有时升有时降何时才能使总收益最大呢这是一个整体性问题 若用边际或弹性来解决则显得有些罗嗦在经济数学中一般可用最大小值来解决 舍去 所以P 5时总收益最大53 收入弹性分析及应用收入弹性包括需求收入弹性和供给收入弹性需求收入弹性是指价格一定下需求量变化比例与收入的变化比例之比是用来分析消费者收入变化与商品需求量变化的数量关系及其规律性的用公式表示11一般地商品价格不变条件下消费者收入的变化与需求量的变化是同向的故弹性值为正但有些情况下消费者收入水平提高后对某些商品需求量反而下降此时的弹性值为负例如当消费者收入水平提高后食物结构中粗粮和蔬菜的比重会有所下降供给收入弹性是指供给量对销售者收入变化的反映程度其值为供给量变化率除以收入变化率所得之商对一般的商品生产者即销售者来说其收入的增加表明利润的增多因而供给量也随之增大但对一些自给程度高 商品率低 的商品生产者来说他们的收入增加后供给量反而有减少的现象比如农民家庭收入提高后农副产品如禽蛋等供给就会减少在经济计划中如果要从最终产品出发进行综合平衡就需要确定各部门的最终产品然后通过投入产出模型求出各部门的总支出这时可用收入弹性进行指标分解通常是先估计出下一时期的消费总额各类产品的收入弹性并把消费总额分解为各类产品的最终需求例8 某地区1995年消费总额为180亿元某产品的消费额为4亿元其收入com6年该地区预计消费总额为200亿元则1996年该产品的消费额估计数X是多少解由弹性公式得 有X-4 com 13764 故得X 53764亿元用同样的方法可估计出其它产品的消费额恩格尔定律是需求收入弹性应用的一个范例其含义是对于一个家庭来说收入水平越低食物支出占消费总支出的比重就越大反之则相反对于一个国家来说也是这样12因此如果用恩格尔系数来表示食物支出变化率与总支出变化率的比值那么其大小同收入水平的高低 或家庭的富裕程度 成反比由于收入等于消费储蓄故消费总支出可用收入代替因此恩格尔系数也可表示为食物支出变化率与收入变化率之比其实质就是需求的收入弹性西方统计学家经常以恩格尔系数的高低作为划分低中高收入国家的标准事实上恩格尔系数不仅可以反映一个家庭 或国家 的收入水平和生活水平而且更重要的是可反映出在商品价格变化的情况下价格的同一变动对不同收入水平的家庭 或国家 的影响不是同的比如食物价格上涨幅度大于其它消费品价格上涨幅度时低收入家庭更加不利目前恩格尔系数已被广泛应用于消费结构的变化分析我国的小康标准就有恩格尔系数值的规定6 最优分析及案例最优化问题是经济管理活动的核心通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低总收入最大总利润最大等问题对企业经营者来说对其经济环节进行定量分析是非常必要的将导数作为分析工具可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析收入最大化分析利润最大化分析资源合理利用的优化分析成本最小化分析以及最优组合分析等通常伴随一些约束条件通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益并尽量降低生产成本和管理费用意义非常深远设函数是可导的那么导函数在经济学中叫做边际函数西方经济学家对它的解释是当时若x再增加一个单位的量y将增加多少它反映的是经济量的变化率若是边际成本则反映生产量处于某一水平时总成本的变化率等等在经济学中有边际需求边际成本边际收入边际利润等61用边际函数求最低成本1总成本平均成本和边际成本企业的生产成本通常被看成是企业对所购买的生产要素的货币支出它可以表示成产品的函数设为C q 平均成本是总成本中每生产一单位产品的所消耗的成本边际成本2总成本平均成本和边际成本曲线由平均成本和边际成本定义可知任何产量水平上的平均成本值都可用连接原点到总成本曲线上相应点的线段的斜率给出任何产量水平的边际成本可用总成本曲线相应点曲线的切线的斜率给出由于随着产量的增加企业投入的成本必定增加所以总成本曲线是一条向右上方倾斜的曲线由西方经济学研究知在达到一定的产量水平之前总成本的增量是递减的在达到这个水平之后总成本的增量是递增的所以总成本曲线存在拐点所以平均成本曲线和边际成本曲线都呈U型133边际成本对企业生产的指导作用任何有理性的企业主总是想扩大生产规模和追求利润的最大化那么扩大生产规模有无限制条件利润最大化的前提条件是什么呢设某企业的销售函数为R x 利润函数为P x 则P x R x -C x 由导数的知识知利润P x 的最大值一般位于 0处此时 即边际收益等于边际成本时企业利润最大 萨缪尔森原则 例914 生产某种产品q台总成本C单位千元的函数为求当产量为90台时的总成本 当产量为90台时的平均成本 当产量由90台增加到100台时总成本的平均变化率 当产量为90台时的边际成本解总成本函数当产量为90台时总成本为千元 当产量为90台时平均成本为 千元 当产量由90台增加到100台时总成本平均变化率为 千元台 当产量为90台时边际成本为所以千元台上式中表示当产量为90台时再多生产1台总成本将增加9千元62利用边际函数求最大利润利润最大化是企业决策考虑的根本目标由微积分基本原理知道利润最大化的点在边际利润等于零的点获得15在经济研究中生产某种产品的总成本C x 总收入R x 与总利润都是产量x的函数因而有 R x -C x 即总利润是总收入中除去总成本的那一部分价值从数学的角度上来讲利润就是x的函数从而将研究经济中的最大化问题转化为求函数的最大值问题由于发生最大值的点往往是函数的驻点 即导数为0的点 由此我们来分析上面的问题在 R x - C x 两边关于产量 x求导得 即记作其中MR x 与MC x 分别表示总收入与总成本对产量的导数在经济学中分别称为边际收入与边际成本令得 MR x MC x 这就是使得利润最大的 x所满足的条件 在实际问题中最值总是存在 而且唯一 也就是说能够使边际收入等于边际成本的产量值就是利润最大化的产量值 记作 这也是经济学中的一个重要定理此外要保证利润是极大值利润对产量的二阶导数必须小于零即 也就有 其中是边际收益的变动率即边际收益曲线的斜率是边际成本的变动率即边际成本曲线的斜率所以利润最大化的必要条件是边际收益等于边际成本充分条件是边际收益曲线的斜率小于边际成本曲线的斜率这一法则适用于所有的厂商不管是竞争性的还是非竞争性的值得注意的是许多人认为产量越高所得利润就越大因而他们就极力使自己的产量增加当然他们所获得的总收入也在增多但其所得利润不一定增多通过上面的分析我们可以看出来在达到某一点之前企业增加产量导致利润增加过了这一点利润会减少以上只是关于导数在经济最优化问题方面中应用的一小部分类似最优化的问题在现实生活中随处可见例如税收的最大化问题最佳存款利息最佳批数和批量等等而此类问题在引入导数的概念以后更加容易解决例10某企业6月份最多生产机床100台销售x台的销售额函数其成本函数为Cx 500x400 元 求该企业生产多少台时获得的利润最大解令 即3000-40x 500解得x 62 台 即该企业生产62台机床时利润最大例11 某种产品的总成本C 单位万元 是产量x 单位万件 的函数求当生产水平为x 10万件时从降低单位成本的角度看继续提高产量是否得当解当生产水平x 10万件时总成本为万元这时单位产品的平均成本为 元件 边际成本为 元件 此时再加一件成本仅需4元低于总平均成本 加进这件产品时平均成本得到下降所以该企业还可继续提高产量63资源合理利用的优化分析通过运用导数知识解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把实际问题翻译为数学语言找出问题的关键根据题中所给条件把主要关系近似化形式化抛开实际意义抽象出一个数学模型运用导数相关知识加以解决具体方法是 1 用求导法则求出函数导数 2 令导数等于0得出驻点及其不可导点 3 用这些点把区间分成几个部分然后讨论函数的单调性 4 求出极值点及其极值 5 求出区间端点值与极值进行比较得到最值也可以通过讨论目标函数的二阶导数的正负来判断最值例12 16某大楼有50间办公室供出租若定价每间每月租金为120元则将全部租出租出的办公室每月需由房主负担维修费10元若月租每提高一个5元将空出一间办公室试分析每月租定为多少时比较合理解设每间月租提高x个5元租金收入为R x 50-x 1205x -5130x6000维修费为10 50-x 元利润f x 50-x 1205x -10 50-x -5140x5500由实际情况定出定义域为1x50求f x 在150上的最大值令f x -10x140 0得x 14时f x -10 0所以x 14处取极大值根据例1判定最值方法知f x 在x 14处取最大值即当月租为120514 190 元间 时可获利最大最大利润为f 14 6480此时闲房14间而R x -5x2130x6000R x -10x130令R x 0得x 13R x -10 0当x 13时即月租定为120513 185 元间 时收入最大利润为f 13 6475由此看出最大收入时的利润与最大利润很接近考虑到价格对人们心理的作用月租定为每间185元比较合理此时获利6475元闲房13间例13 某家银行准备新设某种定期存款业务假设存款量与利率成正比经预测贷款投资的收益率为16那么存款利息定为多少时才能收到最大的贷款纯收益解设存款利率为x存款总额为M则由题意M与x成正比得M kx k是正常数 若贷款总额为M则银行的贷款收益为016M 016kx而这笔贷款M要付给存户的利息为xM k从而银行的投资纯收益为 贷款收益-付给存户的利息 016kx-k 016k2kx 0得X 008又由 -2k 0和驻点唯一知X com利率为8时可创最高投资纯收益例14 某工厂生产某种商品其年销售量为100万件分为N批生产每批生产需要增加生产准备费1000元而每件商品的一年库存费为005元如果年销售率是均匀的且上批售完后立即生产出下批 此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半 问N为何值时才能使生产准备费与库存费两项之和最小解设每年的生产准备费与库存费之和为C批量为x即x 100万N则由得驻点由知驻点为最小值点因此x 20万件时C最小此时以上通过例题利用导数知识分析了最佳存贷款利息最佳批数和批量等在现实生活中具有现实意义的问题此外产量或需求量最大征税收益最大等等问题也可通过导数在经济领域的最值问题给予解决总之在经济工作的实施和研究过程中最少投入最大收入是经济学者研究的主要内容而最少和最大正是数学理论中的最值问题这就为导数在经济领域的应用提供了一个广阔的舞台7 结论71 主要发现导数在经济中有着多方面的应用本文通过归纳总结导数在经济中的各种应用并对相应的应用给出了具体的方法与例子对于人