（计算机软件与理论专业论文）基于身份验证的多方量子安全直接通信研究.pdf

东南大学硕士学位论文 摘要 s h o r 于1 9 9 4 年提出多项式时间内求解大因数和离散对数的量子算法，使得目前使用的基于大因 数分解困难性提出的r s a 公钥密码体制可以被量子计算机快速破解：g r o v e r 提出量子搜索算法，极 大地提高量子计算机利用暴力攻击方法破解经典密码的效率，使得经典密码体制受到威胁。于是， 更高安全性能的通信和密码机制的创新迫在眉睫。量子密码通信应运而生，发展迅速，其研究重点 分布于量子密钥分配，量子秘密共享以及量子安全直接通信等领域。 在本文中，我们提出基于身份验证的多方量子直接安全通信协议( a u t h e n t i c a t e dm u l t i p a r t y q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l ，简称a m q s d c p ) ，即基于身份验证的多对一量子直 接安全通信协议( m a n y t o o n ea m q s d c p ) 和基于身份验证的一对多量子直接安全通信协议 ( o n e t o - m a n ya m q s d c p ) 。我们将量子超密编码和c s s 码引入协议中，并利用4 粒子g h z 纠缠态 的量子特性，完成了三个通信用户以及一个身份认证中心共四个通信参与者的量子密码通信协议。 这两个协议具有共同的量子身份验证过程，可能通过各用户事先与认证中心共享的身份密钥与公开 的单向h a s h 函数，利用纠缠特性以及公开信息，完成各用户的身份验证以及安全检查。这两个协议 具有不同的量子直接通信过程。超密编码在直接通信过程中发挥着重要作用，它不但提高了通信的 效率，也在一定程度上提高了协议的安全性。我们已经证明，我们提出的两个基于身份验证的多方 量子直接安全通信协议可以抵御截获一重发攻击、纠缠攻击、参与者攻击( 包括t r e n t 攻击) 等攻 击方式，在现有的安全评估体系中保证了很高的安全水平。这两个协议的提出，为今后量子通信的 研究提供了一个新的方向，也为量子通信网络的结构规划提供了一条新的线索。 关键字：量子安全直接通信、身份验证、量子密码通信、基于身份验证的多方量子安全直接通信、 超密编码 东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e c u r i t yo fr s as y s t e mw h i c hi sb a s e do nt h ea s s u m e dc o m p l e x i t yf a c t o r i z i n gt h ep r o d u c to ft w o h u g ep r i m en u m b e r si su n k n o w nw i t hc l a s s i c a lc o m p u t a t i o nw h i l ei th a sb e e np r o v e nt ob ei n s e c u r ei fe v e h a saq u a n t u mc o m p u t e rb ys h o ri n19 9 4 f o r t u n a t e l y , q u a n t u mc r y p t o g r a p h ya n dq u a n t u mc r y p t o g r a p h y c o m m u n i c a t i o nc a l lb e u s e dt or e a l i z et h e u n c o n d i t i o n a l l ys e c u r eq u a n t u ms y s t e ma n dq u a n t u m c o m m u n i c a t i o ns y s t e mb a s e do nq u a n t u mt e c h n o l o g y i nt h i sp a p e r , a u t h e n t i c a t e dm u l t i p a r t yq u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l sa r ep r e s e n t e d b yu s i n gg h zs t a t e sa n ds u p e r - d e n s ec o d i n g ，w h i c ha r ea u t h e n t i c a t e dm a n y t o o n eq u a n t u ms e c u r ed i r e c t c o m m u n i c a t i o np r o t o c o la n da u t h e n t i c a t e do n e - t o - m a n yq u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c 0 1 t h ef o r m e ro n ei su s e df o rm a n y t o o l l ec o m m u n i c a t i o n w h i l et h el a t t e ro n ei su s e df o ro n e - t o m a n y c o m m u n i c a t i o n a n a l y s i ss h o w st h a tt h e s et w op r o t o c o l sn o to n l ys e c u r ea g a i n s ti n t e r c e p t - r e s e n d i n ga t t a c k a n de n t a n g l e m e n ta t t a c k ，b u ta l s oi n l e ra n t i c i p a t o r s a t t a c k s ( i n c l u d i n gt r e n t 。sa t t a c k s ) k e y w o r d ：q u a n t u m s e c u r ed i r e c t c o m m u n i c a t i o n ，q s d c ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h yc o m m u n i c a t i o n ， a u t h e n t i c a t i o n ，m u l t i p a r t y , s u p e r - d e n s ec o d i n g 1 1 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：叁盖盗 导师签名： 研究生签名：之盖氅 导师签名： 、o 海溆从 日 第一章绪论 1 1 研究目的 第一章绪论 现实通信中，信道总是可以被窃听、信号总是可以被窃取。在不安全的信道中，人们利用加密、 解密技术试图保证窃听者得不到任何信息，同时保证合法的通信用户可靠地传输信息，实现安全通 信。 c s h a n n o n 于1 9 4 9 年从理论上证明了一次一密乱码本是唯一无条件安全的密码算法l jj 。一次一 密乱码本要求密钥必须是随机的，其长度等于消息长度且不能重复使用。代替无条件安全，经典密 码体制是计算安全的，是建立在数学复杂性基础上的。 现在广泛应用于信息安全与保密通信中的密码理论和技术基本上都是基于单钥密码体制和公钥 密码体制。单钥密码体制中的密钥分配取决于建立一个物理上安全的信道：而公钥密码体制安全性 总是建立在没有严格证明的数学难题之上的。首先，由于单钥密码体制和公钥密码体制都是基于数 学复杂性，它们都不能保证绝对的安全性。数学难题的突破必将给经典密码算法带来毁灭打击。其 次，根据摩尔定律：计算机每隔1 8 个月计算速度增长一倍，使得破译密码难度不断降低，密钥长度 不得不不断增长。最后，量子计算理论的发展使得某些数学难题具有量子可解性。pw s h o r 于1 9 9 4 年提出多项式时间内求解大因数和离散对数的量子算法1 2 j ，使得目前使用的基于大因数分解困难性 提出的r s a 公钥密码体制1 3 j 受到很大威胁。l g r o v e r 提出量子搜索算法”l ，在j _ 个记录的无序数据 一 库中搜索的时间复杂度为o ( 4 n ) ，可以提高量子计算机利用暴力攻击方法破解经典密码的效率，使 得经典密码体制受到威胁。当然现在量子计算机以及量子计算的研究正处于初始阶段，量子计算研 究成果还未对经典密码体制有任何影响。 以量子力学为基础的量子密码通信在安全性上达到更高的高度。量子力学的微观特性是宏观世 界不具有的，如“h e i s e n b e r g e r 测不准原理”、“量子不可克隆原理”、“量子纠缠特性”和“非正交量 子态不可区分原理”等。以量子为载体的通信，具有以往经典通信不可比拟的安全优势，因而量子 安全通信受密码学界和物理学界的高度重视。人们针对经典通信中的安全问题寻求量子解决方案， 以期实现无条件安全或可证明安全。人们也逐渐发觉一些量子安全问题在经典通信安全中找不到对 应，如量子隐形传态、量子安全直接通信等。 量子密码通信的前景推动着光子调控技术的发展。随着光通信技术的发展，光子在光纤中远距 离传输早己成为现实，量子密钥分配协议下的量子密码通信已在实验条件下实现，量子密码通信在 不久的将来必进入逐步实用化阶段。 1 2 研究现状 当前的量子通信可分量子密钥分配( q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ，简称q r , 9 ) 、量子秘密共享 ( q u a n t u ms e c r e ts h a r i n g , 简称q s s ) 和量子安全直接通信( q u a n t u m s e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o n ，简 称q s d c ) 等方向。 量子密钥分配( q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ，简称q k d ) 是一个可证明为安全的密钥分发协议，双 方通过它可以在量子信道上创建若干会话密钥。这些会话密钥可用于实现现有的经典单密码体制， 进行安全地通信。但是对q k d 有惟一的要求是，会话密钥可以以低于某个阈值的差错率在公开信道 东南大学硕士学位论文 上通信。密钥的安全性由量子信息的性质保证，以物理学基本定律的正确性为前提。该研究分支发 展得最早，现在理论和成果都比较成熟，其代表协议有：b b 8 4 t l ，e 9 1 1 6 1 ，b 9 2 1 。 量子秘密共享( q u a n t u ms e c r e ts h a r i n g ，简称q s s ) 的概念由h i l l e r ym ，b u z e k 和b e r t h i a u m e 于1 9 9 9 年首次提出，他们设计了一个基于g h z 态的量子秘密共享协议( h b b 协议) 1 8 1 。其后还出 现了基于2 粒子非正交纠缠态的q s s 协议( k k i 协议) 1 9 1 ，分别基于g r o v e r 算法i l0 1 、纯态纠缠态传 输未知量子比特l j 、直积态l l 纠和运用单光子实现q s s i l 3 】等多种方案。 量子安全直接通信( q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o n ，简称q s d c ) 与量子密钥分配( q k d ) 不同，根据协议其通信双方或多方直接进行通信，而不是像量子密钥分配( q e d ) 中那样通过双方 共同生成密钥后再进行通信。q k d 可以采用当发现有人窃听时抛弃传输结果的机制来保障机密信息 不会泄漏给e v e ，而q s d c 传输的都是明文，必须在机密信息泄漏前就能判断窃听者e v e 是否监听 了量子信道，所以q s d c 比q l 安全性的要求更高。 量子安全直接通信( q s d c ) 最早是由b e i g e 等于2 0 0 2 年提出的一个基于单光子的q s d c 方案 p 4 ，该协议需要辅助经典信息才能读出传输的内容。在2 0 0 2 年b o s t r 6 m 和f e l b i n g e r 提出了一个q s 【x z 协议：p i n g - p o n g 协议i l 引。该协议对量子安全直接通信( q s d c ) 的发展影响巨大。首先，其通信模 式已经跳出了量子密钥分配( q k d ) 的框架而不需要事先生成密钥进行通信，它本身的目的就是进 行安全的直接通信，且不像b e i g e 等提出的协议i l4 j 需要辅助的经典信息来解读密文。其次，由于其 自身的一些缺陷，有针对此协议的多种攻击方式1 m 1 1 17 】【1 8 l i l 9 】【2 0 1 等，并有对p i n g p o n g 协议的修改对抵 御这些攻击方式。通过这些讨论，使得量子安全直接通信的研究得到的深化，针对p i n g p o n g 协议的 这些攻击方式也成为了以后q s d c 协议的安全标杆。邓富国等提出t w o s t e p 量子直接通信协议1 2 ( 基于e p r 对块) 和q u a n t u m o n e t i m e p a d 模型1 2 2 | 。蔡庆宇提出一个使用单比特叠加态的确定性 安全直接通信框架l l s l 。在这些研究成果基础上，人们中也分别提出了一些q s d c 协议1 2 3 1 1 2 4 1 。t w o s t e p 量子直接通信协议是基于正常的b e l l 纠缠态，其后基于高维量子超密度编码的q s d c 协议【2 副被提出， 协议中每个携带信息的粒子可以携带l o g d 2 比特信息( 其中d 高维贝尔基态的维度d 3 ) ，大于二步 协议每个携带信息的粒子携带的信息。主动攻击( 如伪装攻击、中间人攻击等) 使以上部分协议无 能为力，针对这种情况，基于认证的双方甚至多方通信协议f 2 6 】1 2 7 】出现了。 又由于q s d c 是单向通 信协议，为实现双向通信提高传输效率，基于贝尔纠缠态的量子对话协议1 2 8 1 f 2 9 】【3 0 】f 3 1 1 出现了。 1 3 研究目标与内容 虽然国内外学者在量子密码通信方面做了大量的工作，但是还存在许多问题没有解决。现在的 研究一直都是致力于点对点的通信研究，也即是指两个用户之间如何进行安全可靠的量直接通信， 对于网络通信中常见的一个应用广播，在量子密码通信领域中却没有任何研究。我们在双方( 点 对点) 量子安全直接通信的研究基础上，提出了基于身份验证的多方量子直接安全通信协议 ( a u t h e n t i c a t e dm u l t i p a r t yq u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c o l ，简称a m q s d c p ) ，分为多 对一量子直接安全通信协议( m a n y t o o n e a m q s d c p ) 和一对多量子直接安全通信协议( o n e - t o m a n y a m q s d c p ) 。这两个协议的提出，为今后量子通信的研究提供了一个新的方向，也为量子通信网络 的结构规划提供了一条新的线索。我们所做的工作主要有以下几个方面： 1 将量子方法的身份验证推广到多方( 三方) 。在一个可信的身份认证中心的协助下，任意参 与通信的三个用户均可在消息实际传输之前进行三方的身份验证，以保证信息的安全传送。这个身 份验证方法是通用的，可以移植到其它量子通信协议中( q k d ，q s s ，q s d c ) 。 2 首次提出了基于身份验证的多对一量子安全直接通信协议( m a n y - t o o l l ea m q s d c p ) 。根据 此协议，两个用户可以共用一组4 粒子g h z 纠缠态，而分别完成对第三方用户的密文安全传输。 3 首次提出了基于身份验证的一对多量子安全直接通信协议( 一对多量子直接安全通信协议 2 第一章绪论 ( o n e - t o m a n y a m q s d c p ) 。根据此协议，信息发送者可以利用一组4 粒子g h z 纠缠态将密文同时 安全地传输给不同的用户。 4 在基于身份验证的多方量子安全直接通信协议的直接通信过程引入超密编码思想，提高信息 传输效率。 5 。在基于身份验证的多方量子安全直接通信协议的直接通信过程中引入安全检测码和错误更 正码( e r r o r c o r r e c t i o n c d 如，e c c ) 。前者是为了加强通信安全，以侦测窃听行为；后者是为了保证 在有噪声的量子通信信道中，信息的传输错误能得到检测及更正。 6 对于提出的两个基于身份验证的多方量子安全直接通信协议进行了全面的安全分析。 本文主要是阐述了基于身份验证的多方量子安全直接通信协议( a u t h e n t i c a t e dm u l t i p a r t y q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o np r o t o c 0 1 ) 。全文共分为六章。第一章主要介绍研究背景和研究目 标；第二章介绍了量子力学的基本概念和基本原理；第三章介绍了量子安全直接通信协议以及其中 的几个关键技术；第四章介绍了我们提出的两个基于身份验证的多方量子安全直接通信协议；第五 章着重分析了我们提出的两个基于身份验证的多方量子安全直接通信协议的安全性，并与以有的量 子安全直接通信协议在安全水平方面做出比较；第七章为全文的总结。并对将来的研究工作做出展 望。 3 东南大学硕士学位论文 第二章量子密码通信的理论原理 2 1 量子力学基础 量子密码通信的安全性是建立在量子力学物理规律之上的。量子力学是发展物理理论的数学框 架。本节命题、定理及定义均引用自文献 4 1 】【4 2 】。 2 1 1 量子系统状态空间 定理2 1 ( 量子力学第一假设) 量子系统的状态由h i l b e r t 空问中的向量完全描写。 量子力学系统是一个系统状态空间的复内积向量空间( 即h i l b e r t 空间) ，在量子力学中称为态 矢空间。在量子力学中，与粒子相伴的波函数的模平方具有概率密度的意义，波函数本身不表示概 率，而且由于它是复数，它不表示任何物理量。在量子力学中引入概率幅( p r o b a b h i 纱a m p l i t u d e ) 使 得量子力学根本区别于任何经典统计。通常采用复数表示概率幅，其实部和虚部的平方和( 模的平 方) ，即为概率。美国物理学家d i r a c 引用一个称为右矢的符号i ) 表示量子态，一个具体的量子态用 缈) 表示，其中缈为具体量子态的特征量或符号。( l 表示左矢，仞l 是量子态l 缈) 的共轭。量子系统 空间中的两个量子态i 仍) 、i 仍) 的内积记为( 仍i 仍) 。 定义2 1 量子态缈用符号l 妒) 表示，其所处空间h ( 本文讨论限于有限维) 具有一组完备的基 底 k ) ，l z ：) ，i 乙) ) ，复数q ，哆，分别是f 妒) 在基底l 毛) ，l z ：) ，l 乙) 上的系数。量子态i 伊) 可肯示为在各个基底上的分量之和，即： 妒 - - ml z ，) + 口：l z 2 ) + + l 乙) - - ( i z , ) | z 2 ) )( 2 1 ) 其中k ，1 2 + 陋：1 2 - t - - - + 1 1 2 = 1 ，即量子态的各分量的系数满足归一化要求。 归一化要求的物理解释为：一个量子态在某个基底上出现在概率为在该基底上的系数的模的平 方，量子态在各基底上出现的概就之和应等于1 。概率解释是理解量子力学的钥匙。 定义2 2 量子态伊用符号j 矽) 表示，如( 2 1 ) 式。定义( 伊| - ( 哆+ ) 为l 矽) 的共 轭向量，其中口i 为口，的共轭复数。 定理2 2 ( 量子态叠加原理p r i n c i p l eo f s u p e r p o s i t i o n ) 若量子力学系统可能处在i 仍) 和i 仍) 描 述的态中，线性叠加态l 仍) + l 仍) 也是量子系统的一个可能态。其中q 和口2 是复数，且满足 4 第二章量子密码通信的理论原理 2 + 蚓2 = 1 。 量子力学态叠加原理与经典物理中的波叠加原理虽然形式相同，但意义有重大差别。首先，两 个相同态 仍) 和i 仍) 的叠加在经典物理中代表着一个新的态，而在量子物理中则表示同一个态。其 次，在经典物理中l 仍) 和i 仍) 的叠加态表示两列波的叠加，在量子力学中是属于同一个量子系统的 两个可能的态。在叠加态中，量子系统将部分地处于各个叠加态中。 定理2 3 ( 量子力学第四假设) 复合物理系统的状态空间是子物理系统的张量积，若将子系统 编号为1 到刀，系统f 的状态被置为l 仍) ，则整个系统的总状态为l 仍) o l 仍) 固 1 ) 。 复合物理系统张量积是将h i l b e r t 空间合在一起，构成更大h i l b e r t 空间的一种方法。设y 和形 分别是维数为掰和 的h i l b e r t 空间，则v 沙是一个m ? l 维的h i l b e r t 空闻。v w 中的量子态都 可表示为张量积i 仍) o l 仍) 的形式，简记为l 仍) i 仍) 。其中i 仍) 是矿中的量子态，i 仍) 是矽中的量 子态。 2 1 2 完备正交基和量子比特 定义2 3 从y o y 到c 的函数( ，) 定义为内积，如果它满足以下条件： ( 1 ) ( ，) 对第二个自变量是线性的，鄂 ( 1 y ) ，丑l 哆) ) = 五( h l ，f ( 2 ) ( h i 国) ) = ( 1 缈) ，i y ) ) 。 ( 3 ) ( 卜) ，l 缈) ) 0 ，当且仅当i y ) = 0 时取等号。 内积是向量空间上的二元复数函数，带有内积的向量空间称为内积空间。 定义2 4 疗维月泐酬空间c ”的一组基底 l 毛) ，i 乞) ，i 乙) ) 是其上的一组线性无关的量子态， 若其中的态向量均两两相互正交( 内积为0 ) ，则称这样的一组基为一组完备正交基。 采用g r a m s c h m i d t 正交归一化过程可以由空间的任意一组基底构造一组完备正交基。 相对于经典信息的基本存储单元比特( b i t ) ，量子信息的基本存储单元称为量子比特( q u b i t ) 。 在经典信息处理程序中，经典信息的二进制存储单元比特由经典状态l 和0 ( 如电压高低) 表示。 对于量子信息而言，量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态i o ) 和l1 ) ( 参 见图，对应于经典状态的。和，其向量表示为i 。，= ( 三 ，1 1 ，= ( o ) 。 量子比特的重要特性在于一个量子比特可以连续地、随机地处于状态l o ) 和i1 ) 的任意的叠加状 东南大学硕士学位论文 态上。即一个处于纯态的量子比特l 妒) 在量子系统空间中可以表示为： i 妒) = 口i o ) + 1 1 ) ( 2 2 ) 其中口和是复数，且满足归一化要求p 1 2 + l p l 2 = 1 。量子比特一个很有用的图形如图2 1 ， 式2 2 可以改写为 l 妒) = p 妒( c 。s 导l 。) + p ，伊s ；n 詈i ，) ) ( 2 3 ) 从式2 3 中可以看出，数目和p 定义t - - 维单位球面上的一个点，这个球面常称为b l o c h 球面。 它是使单个量子比特状态可视化的有效办法，也是量子计算与量子信息思想的极好试验台。 陟 图2 1 量子比特的b l o c h 球面表示 不难验证，在空间c 2 中， l o ) ，1 1 ) ) 是一组完备的正交基， l + ) ，l - ) 也是一组完备的正交基， 其中i + ) = 百1 ( 1 0 ) + l 】) ) ，l 一) = 去( 1 0 ) 一1 1 ) ) 。 v - q i，=l，i，=l，pl，=(?)。(?)=； 。 c 2 4 ， 6 第二章量子密码通信的理论原理 i o o ) = i 。) l 。) = l 。) 圆i 。) = ( 三) 。( 三 = 。，) = i 。) l ) = i 。) 固i ) = ( 三 ( ； = l 。) = i ，) f 。) = i ，) q l 。) = ( ? ( 三 = ” 小 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 不难证明，此二量子比特系统对应一个四维h i l b p 空间， i o o ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) ，1 11 ) ) 构成此空间的 一组完备正交基。肼，6 p r f 空间的完备正交基并不是唯一的，我们将会用到的 i 2 ) ，i 甲沁是此空间 的另一组完备正交基，其中： i = 忑1 ( | 0 0 ) 1 1 1 ) ) ，i = 万1 ( 1 0 1 ) i l o ) ) o ( 2 8 ) 通常称这组完备正交基为b e l l 基，称其四个基态为b e l l 态，亦称做e p r 态或e p r 对。 2 1 3 演化 定义2 5 矩阵u 定义为酉矩阵，当且仅当u u = 1 ，其中u 是u 的共轭转置( 由取u 的转 置和复共轭得到) ，1 是恒等矩阵。 定义2 6 若a 是h i l b e r l 空间矿上的线性算子，且a 的共轭转置仍为a ，则称a 是h e r m i t e 算 子或自伴( s e l f - a d j o i n t ) 算子。 定理2 4 ( 量子力学第二假设) 一个封闭量子系统的演化可以由一个h a m i l t o n i a n 算子来刻划， 系统状态l 妒( f ) ) 随时间变化的规律是& 加d 旃馏盯方程 厅昙) ) = ) ， ( 2 9 ) 式中h = h ( x ，p ，f ) 是系统的h a m i l t o n i a n 算子。 系统的h a m i l t o n i a n 算子是位置算子、动量算子的函数，有时是时间的函数。此处满足 s c h r o d i n g e r 方程的为量子态l 缈) ，是概率幅。该原理规定了外界环境给定情况下微观系统的运动 规律。由于s c h r o d i n g e r 方程是时间的一阶微分方程，就可以从某一个时刻系统的初态得出所有时 刻系统的状态。 孤立的量子系统量子态随时间的演化可以用演化算子u 来表示。u 定义为 7 东南大学硕士学位论文 妒( f ) ) = u ( t ，0 ) l 伊( ) ) 。 ( 2 1 0 ) u ( t ，乇) 将f 0 时刻的态映射为t 时刻的态。将式2 1 0 代入式2 9 ，得到 砌掣：h u 。( 2 1 1 ) 8 t 、 又有初始条件u ( f ，o ) = 1 ，在h a m i l t o n i a n 算子不显含时间的情况下，等式2 1 1 可改写为 u ( t ，t o ) = 口州u 叫 ( 2 1 2 ) 又因h 为h a m i l t o n i a n 算子，不难证明其为h e r m i t e 算子，因此其必须满足 u t u = u u = ， ( 2 1 3 ) 综上所述h a m i l t o n i a n 与时间无关的独立量子系统的演化是一个酉操作。u 的酉性保证了量子 系统总概率不变。 演化算子的酉性对量子信息处理中的逻辑操作提出了限制条件：首先量子计算中的所有逻辑操 作必须为酉操作；其次由于酉操作总有逆操作存在，所以量子信息处理中的逻辑操作都是可逆的。 酉性是对量子门的惟一限制，每个酉矩阵均定义一个有效的量子门。例如，p a u l i x 门，p a u l i y 门， p a u l i z 门以及h a d a m a r d 门定义如下： 定义2 7 定义矩阵x 三( ? 三 为x 门c 比特翻转门，它将量子比特i 驴) = 口i 。) + | 1 ) 映射为 i 妒) = l 。) + 口1 1 ) ；定义矩阵z 三( 三二 为z 门c 相位翻转门，它将量子比特l 妒) = 口i 。) + 1 1 ) 映射为l 缈t ) = 口i 。) 一| 1 ) ；定义矩阵y 三( ? o l 为y 门c 比特一相位翻转门，同时使得比特翻转 和相位翻转；定义矩阵日兰击( ：二。卜帅，它将量孔特i o 蝴j 郅，的中问状态 l + = 去( 1 。) + ) ，将量子比特1 1 ) 映射到i 。) 至1 1 的中间状态i 一 = 击( i 。卜i l ) 。 2 1 4 量子测量 定理2 5 ( 1 ) 描述微观系统物理量的是h i l b e r t 空间中的h a m i l t o n i a n 算子5 ( 2 ) 物理量所能取的值，是相应算子的本征值； ( 3 ) 物理量a 在量子态l 妒) 中取某个h ) 的概率，与量子态i 缈) 按彳的归一化本征基向量 i 毛) ，l 乞) ，l 乙) 的展开式中l z ，) 系数的模平方成正比( 其t gi = l ，2 ，聆) 。即与下式中i 刁) 系数 的模平方成正比： 8 第二章量子密码通信的理论原理 伊) = 口托) ， j = i 口，= ( z i 妒) ，i = 1 ，2 ，力。 ( 2 1 4 ) 假设三中的物理量a 表示h i l b e r t 空间中的h a m i l t o n i a n 算子。假设三还可以推断出，量子力学 所掌握的关于微观系统的规律是一种统计规律，它只能描述在某一时刻一个微观系统的各物理量取 不同值的概率。 定理2 6 ( 量子力学第三假设) 量子测量由一组测量算子 坂) 描述，这些算子作用在被测量 系统状态空间上，下标i l l 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是i 缈) ， 则结果m 发生的可能性由 p ( 聊) = ( 口o i m l m 。i 妒) ( 2 1 5 ) 给出，且测量后系统的状态塌缩为 下警磐毫。 ( 2 】6 ) 1 2 = = = = = = = = = = = 2 o i juj ( 缈i m ：m 。i 妒) 。 由于测量算子满足完备性方程，有 m ：m 。= ，。 ( 2 1 7 ) 完备性方程表达了概率之和为1 的事实： 1 = p ( 研) - - z ( 缈l 朋巴m 。i 妒) 。 ( 2 1 8 ) 该方程对所有i 妒) 成立，等价于完备性方程。 测量的一个简单又重要的例子是，单量子比特在计算基下的测量。这是在单量子比特i 缈) 上的 测量，有由两个测量算子m 。= i o ) ( o i 和m ，= 1 1 ) ( 1 i 定义的两个测量结果。由于两个测量算子都是 h e r m i t e 的，_ r m 0 2 = m o ，m 1 2 = m 1 ，根据完备性关系有，= m j m o + m j m l = 眠+ m l 。设被 测状态i 妒) = 口i o ) + 1 1 ) ，则获得测量结果0 的概率是 p ( o ) = ( 妒i a 砧m 。l 妒) = ( 妒i m 。i 妒) = i 口1 2 。 ( 2 1 9 ) 同理，获得测量结果1 的概率为p o ) = i 1 2 。两种情况下，测量后的状态分别塌缩为 背= 即 亿2 。， 铧= 钟。 亿2 ， 东南大学硕士学位论文 定理2 7 ( 投影测量定理) 投影测量由被观测系统状态空间上的一个可观测量h e r m i t e 算子m 描 述。该可观测量具有谱分解 m ：ym 只 j m 卅 ( 2 2 2 ) 其中己是到特征值m 的本征空间m 上的投影。测量的可能结果对应于测量算子的特征值m 。 测量状态l 妒) 时，得到结果聊的概率为 p ( m ) = ( c o l p 1 口o ) 。 给定测量结果m ，测量后的量子系统的状态塌缩为 只i 伊) x p ( m ) 投影测量( 定理2 7 ) 可以视为定理2 6 的特殊情况。 由定义，我们可以很容易地计算投影测量的平均值 e ( m ) - - z m p ( m ) - - z 聊( 妒1 只i c , o ) - - o l ( x 所乞) l 妒) = ( 妒i m l 力。 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 常将观测量m 的平均值写作( 肘) = i 肘i 缈) 。 从这个平均值公式可导出与观测m 相联系的标准偏差公式 【( m ) 】2 = ( ( m 一( m ) ) 2 ) = m 2 ) 一( m ) 2 。 ( 2 2 6 ) 关于测量有两种均被广泛采用的说法。一种广泛采用的说法可以是，先简单地列出一组满足关 系只= ，和乞乞= 乞的正交投影算子己，而不是给出观测量来描述投影测量，这种做法 其相应观测量为m = m e 。另一种广泛采用术语在基l 肌) 上测量”，其中l 坍) 构成标准正交基， 就是指进行使用投影己= i 聊) ( 聊l 的投影测量。 量子测量假设( 即定理2 6 ) ，涉及两个要素。首先，它给出了一个描述测量统计特性的规则， 即分别得到不同测量结果的概率；其次，它给出描述测量后，系统状态的规则。但对于某些应用， 1 0 第二章量子密码通信的理论原理 系统测量后的状态几乎没有任何意义，主要关心的是系统得到不同结果的概率。 定理2 7 ( 朋聊测量定理) p o v m 测量由一组测量算子 e ) 描述，这些算子作用在被测量系统 状态空间上，指标聊表示实验中可能的测量结果。若测量算子m ，在状态为i 妒) 的量子系统上测量， 则得到结果为脚的概率由p ( 肌) = ( 缈l m ：m 。i 缈) 给出。而与测量算子 m 。) 相联系的e o v m 元e 由坂决定，即 已= 肘：m 。 ( 2 2 7 ) 2 1 5 密度算子 此章节以前均是使用状态向量的语言描述量子力学，另和种描述方法是称为采用密度算子或密 度矩阵的工具。密度算子语言为描述状态不完全已知的量子系统提供了一条方便的途径。 定义2 8 设量子系统以概率尼处在一组状态l 仍) 的某一个，其中f 是一个指标，则称 b ，i 够) ) 为一个纯态的系综( e n s e m b l eo f p u r es t a t e ) 。系统的密度算子定义为 p = z p , i 仍) ( 够i 。 f ( 2 2 8 ) 卺度算于常被称作罾度矩| 咩。 定义2 9具有精确已知状态的量子系统称为处于纯态( p u r es t a t e ) ，其密度算子为 p = l 妒) ( 妒l ，满足t r ( p 2 ) = 1 ；否则，p 处于混合态( m i x e ds t a t e ) ，称为在p 的系统中不同纯态的 混合，满足护( p 2 ) ii 伊) m ( 2 3 0 ) 就称i 伊) 是非纠缠的，或称i 妒) 是可分离的。非纠缠态是两子系统的张量积( 直积态) 。式中 l 和n 2 分别代表两子系统的维数，n ( n = l + 2 ) 代表两个子系统构成的复合系统的维数。 窜艾2 1 2 两个子系统构成的复合系的混合杰是纠缠态，当目仅当它无法表述为 p ( a ，b ) - - z 只l 仍( 彳，b ) ) ( 缈( 彳，b ) i ( 2 3 1 ) ， 的形式，其中p i o ，只= 1 。上式中每个成分态l 仍( 彳，b ) ) 都是可分离态，否则就说它是混 合非纠缠态。 定义2 1 3 各个子系统的约化密度矩阵是单位矩阵的倍数的纠缠态称为最大纠缠态。 例如，b e l l 态= 疆1 ( | o o ) 1 1 1 ) ) ，= 万1 ( | 0 1 ) | 1 0 i ) ) ，g h z 态 协击( 1 0 0 0 ) + 1 1 1 1 ) ) 都是最大纠缠态，但态扣) 一半| 1 0 ) 就不是最大纠缠态。 本文所提出的两个基于身份验证的多方量子直接安全通信协议就需要认证中心t r e n t 制备一组 处于状态l 缈) 月口愆= 下1 ( i o o o o 一b 庀+ 1 1 111 ) 加陀) 的4 粒子g h z 纠缠态，这正是最大纠缠态。 2 2 量子力学基本原理 前面论述了量子通信中用到的一些基本概念。量子密码通信最大的特点就是具备无条件安全性， 而无条件安全性须依赖三个基本原理：“h e i s e n b e r g e r 测不准原理”、“量子不可克隆原理”和“非正 交量子态不可区分原理”。本节定理均引用自文献【4 1 】。 2 2 1h e i s e n b e r g e r 测不准原理 1 2 第二章量子密码通信的理论原理 定理2 8 ( f l e i s e n b e r g e r 测不准原理) 设c 和d 是两可观测量，算子【c ，d = c d d c ，i 妒) 是 一个量子态，h e i s e n b e r g e r 测不准原理表示为 ( c ) ( d ) 掣。 ( 2 3 2 ) h e i s e n b e r g e r 测不准原理的解释为：若我们制备大量具有相同状态i 缈) 的量子系统，对一部分系 统测量c ，对另一部分系统测量d ，那么c 的结果的标准差( c ) 与测量d 的结果的标准差a ( d ) 将 满足以e 不等式。 2 2 2 量子不可克隆原理 定理2 9 ( 量子不可克隆原理) 对于未知量子态不可将其完全克隆而不改变原来的状态。 如果量子态是已知的，我们可以重复地制备它。困难在于我们不能通过单次测量来获知量子系 统的确切特性。因为一旦进行测量，原来的量子态就改变了，测得的结果只是组成此量子态的各种 可能状态之一。除非被测量子态恰好是测量算子的本征态，否则测量将不可避免并不可逆地改变原 来的量子态。 2 2 3 非正交量子态不可区分原理 定理2 1 0 ( 非正交量子态不可区分原理) 没有测量能够可靠地区分非正交量子态l 缈) 和l 矽) 。 这个定理表明，不可能造出完全克隆两个非正交量子态的量子克隆机。基于两个非对易 ( i c ，d i = c d d c 0 ) 可观测量的单光子量子通信方案( 如单光子量子密钥分配) 中，随机传 lj 送的正是非正交量子态。任何窃听者，如果要从携带有信息的单光子获取有关信息，一定要进行测 量，必然会在某种程度上改变单光子原本的状态，从而导致量子误码率的异常增加。量子误码率是 指量子系统所引起的码值错误的概率，记为q b e r 。有效的窃听行为将引起q b e r 异常增加，于是 被通信双方( 多方) 发觉。现有的经典密码通信主要是依靠计算的复杂性，使偷听者无法在特定时 间内破译密钥。与之不同的是量子密码通信利用量子力学原理对信息进行编码，通信双方( 多方) 密切监控量子误码率( q b e r ) 的异常增加，从而判断是否有窃听者。一旦发觉窃听者的存在，立即 终止，重新进行通信。 同时，量子力学原理排除了对未知量子态进行克隆( 即不改变原状态而将其复制) ，也就是说窃 听者不能保存量子态的克隆而不干扰通信。这正是量子密码通信优于经典密码通信的地方。在经典 密码通信过程中，窃听者即使不能实时破译，仍可以将经典密码通信的内容先复制下来，以后再用 较先进的计算方法及计算机器对其破译。 】3 东南大学硕士学位论文 第三章量子安全直接通信协议 3 1 量子安全直接通信的基本模型 在讲述有代表性的量子安全直接通信协议之前，我们先简略介绍下量子安全直接通信的基本 模型。 图3 i 经典量子通信模型 如图3 1 所示，该模型包括量子信源、编译码器、信道、量子测量装置和量子信宿几个主要部 分。这个模型与经典通信的模型很相像，其中：量子信源是以量子态为表示单位的消息产生器；量 子信宿是量子消息的接受者；量子编码器是将量子比特来表示信息，用量子态作为消息的载体以传 输量子信息；量子译码器是用于从量子态中译出消息，把量子信息转换成经典信息；信道包括量子 传输信道( 图3 1 实线表示) ，即以量子态为载体传输量子信号的通道；信道中的辅助信道是指除了 传输信道和测量信道外的其他附加信道，如经典信道( 图3 1 虚线表示) 。在这个模型中，量子信道 可以单独使用，也可以与经典信道结合起来使用以传送信息等。量子噪声是环境对量子信号传输影 响的总称。可以发现，像有代表性的b b 8 4 1 5 、e 9 1 【6 】、b 9 2 1 7 等量子密钥传输协议，某些量子隐形 传态( t e l e p o r t a t i o n ) 和量