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滚珠保持器的数 学模型 复旦大学数学系苏步青 内容提 要 在上海浦江轴承厂参观学习中 , 看到了从某国进口的某种滚 珠保持器 , 它比过去的一套具 有较轻便和使用材料较经济等优点 . 作者在工人师傅帮助下 , 对这种保持器进行一些几何学 结构的初 步分析 , 从此设想了两种计算窗口高和宽的近似方 法 , 以供有关方面参考 . 一 、 问 题的提出 我们首先对所讨论的滚珠保持器大体形状和 用途简单描述一下 , 以便了解搞这一实 际 问题的意义 . 这种保持 器很象医生动手术时戴 的一顶帽子 , 只是顶上 开个圆孔 , 套在滚 轴上 ;周 围开着若干个窗口 , 使装在保持器内的每个腰鼓形的 滚珠 , 都能通过各自对着的窗 口露出一 部分曲 面 . 整个器件还被装进一个球带形 的轴承里面 , 使各滚珠以其露出部分与 轴承相切而滚动 , 用来减低由于滚轴滚 动而产 生的阻力(图 2 是示意图 , 其中仅表 出一个 滚珠和一个窗口的截面) . 窗口如果开得 太小 , 果然可以保持滚珠 , 但会引起滚珠滚动的 不 灵活 , 以致阻力增加 , 滚珠表面受到磨损 . 窗口如果 开得太 大 , 滚轴的振动就会引起滚 珠相撞击甚至受到 破损 , 被震出窗外 , 发生 全面故障 . 如何按照滚珠的大小及其与轴承相 对的 位置适当地穿开窗口 , 使保持器既 能保持滚珠在 器内正常滚动 , 又能避免滚珠间相互 撞击的 发生 , 这就是我们需要解决的课题 . 现 将具体的情况分述于下 . 滚珠的 形状 腰鼓形 的滚珠曲面是将 半径 R 。的 圆弧在 圆 平面上一条轴 的 周 围迥 转而成 的 (图 1) . 现 在 , 把这样大小相同的若 干个 (比方说1 4 个) 滚珠等间隔地 、 但中 间各留有空隙地摆进一个装有滚轴的 旋转面上 , 并套在保持器里面 , 不过 每个滚珠都要露 图 2 出一部分曲面到保持器窗口外面 , 以便于它们同球带形 (半径 R) 的轴承相切而滚动(见 图 2) . 因此 , 保持器上开着和滚珠个 数相等的若干个窗口 . 保持器的形状假定它是开了若干个窗口的 圆锥面 , 顶角是2甲 。 (甲 。很小 ) , 底圆的半 径是 , ( r簇 R ) . 各个窗口曲线应 该是每个滚珠曲面 (腰鼓面)和保持器圆锥面的交线 . 对 于这条复杂的交线 , 我们将 用纵横 各两条曲线加以逼近 . 实际上 , 纵的两条是保持器锥面 的某些母线;横的两条则有两种取 法 : 一种是把它们看做腰鼓面上两条平行环平面和保持 器锥面的交线(椭 圆弧);另一种是把它们看做保持器锥面上的圆 弧(各条圆弧所在平面都 和锥轴垂直) . 这两对近似 曲线构成一个窗口 , 计算每个窗口的各边 长度就是我们的问 题 . 在上述两种近似计算中 , 纵的两边的 长度即窗 口高度大致相同 , 这时不需 要积分 . 至 于横的 两条弧(椭 圆或圆)的长度即窗口宽度(上 下不相等) , 在前一种计算中需要用椭 圆 积分 , 而在后 一种则不需要了 . 二 、 腰鼓面的表示 如 图 2 取坐标系 o x y z , 使所讨论 的滚珠轴 a 落在”平面上 , : 轴是保持器锥面 c 和 轴承球带 s 的共同轴 . 设 a 的方程是 : 、 y 戈 U , b + 三 l , (2 . 1) 式中 石 , 。 , 并且 b r R . a 上任何一点M 的坐标可以写成 (o , b产 , c, ) , (2 . 2) 其中 产 + v 一 1; 当M在y z平面 的第一象限时(以后我们都限于讨论这种情况) , o 产, v o) . (2 . 。) 现在 , 从 a 轴上的任意点M , 并在 ”平面上引 a 的垂线 l使和腰鼓圆弧相交于N 点 . 容易知道 , l的方程是 x 0 , b(夕一b产)一 c ( z 一 cv )一 o , 或者它的参数表示是 万 贵 耳 “ , 洁 不 (2 . 6) 一一 ,产V 八U . bC 一一 一 一一一 X勺 矛 Z r l L 在 ( 2 . 6 )里 , 孟表示l 上的M点到其一般点N的距离(包括符号) , 它的正负号是按N点在 M点的左侧或右侧而定 的 . 特别是 : 当N在腰鼓圆弧上时(见图 2) , 又0 ) : 甘, 石 Zc , + b吕 c, + c ;b Z + Zb obcoc 一Zb obc, 一Z cocb, 一(吞 , + c Z)(吞2 + cZ )拼 , 一 2(c Z + b ob 一 e o c )产 + c, 一Zc Q 十 尺 , 一 2 尺双。 . 这里已按 产+ , 1 把 , 消去掉 . 因 此 , 腰鼓圆弧上的点N的 坐标如下 : (2 . 10) 。 , c又 b又 一 “ ” 一 ” 一 骊而不 , 一 一 “ 一 石不不万 (2 . 1 1) 而 几则决定于(2 . 8) . 其次 , 通过M点引 。 轴的垂直平 面 二,: 它的 方程显然是 去(夕一b产)一 c ( 二 一 v) 一 0 . 腰鼓面则 可以看作为 与以M为 中心 、 又为半径 的球面 (M ; 劝这两者交线(圆) 的轨 迹 . 所以腰鼓面的方程是 b夕一 cz 一 bJ产+ cZ, 0 , x, +(y一如) 2 + ( z 一 , ) (2 . 1 2) 最后 , 从平面 , , 上任一点的参数表示 b产+ c夕, v 十bP . V 沙Z产 J ,s e 、 还可求出腰鼓面的参数表示 : 二 土 了 *,一(, , + :, ); , , y=bI L+ cp , z c万 + bP , (2 . 1 3) 其中 p 和 产 (或 , 1一产)是独立参数 . 三 、 窗口曲线的表示 要找出窗口曲线的数学表示 , 除了腰鼓面的方程(2 . 12) 以外 , 还需要保持器锥面 c 的方程 . 按 照c的定义 , 顶点是(。 , 0 ,r c t g 物);它的底圆上任一点是( , c o s6 ,si n o , M点的左侧或右侧而定 的 . 特别是 : 当N在腰鼓圆弧上时(见图 2) , 又0 ) : 甘, 石 Zc , + b吕 c, + c ;b Z + Zb obcoc 一Zb obc, 一Z cocb, 一(吞 , + c Z)(吞2 + cZ )拼 , 一 2(c Z + b ob 一 e o c )产 + c, 一Zc Q 十 尺 , 一 2 尺双。 . 这里已按 产+ , 1 把 , 消去掉 . 因 此 , 腰鼓圆弧上的点N的 坐标如下 : (2 . 10) 。 , c又 b又 一 “ ” 一 ” 一 骊而不 , 一 一 “ 一 石不不万 (2 . 1 1) 而 几则决定于(2 . 8) . 其次 , 通过M点引 。 轴的垂直平 面 二,: 它的 方程显然是 去(夕一b产)一 c ( 二 一 v) 一 0 . 腰鼓面则 可以看作为 与以M为 中心 、 又为半径 的球面 (M ; 劝这两者交线(圆) 的轨 迹 . 所以腰鼓面的方程是 b夕一 cz 一 bJ产+ cZ, 0 , x, +(y一如) 2 + ( z 一 , ) (2 . 1 2) 最后 , 从平面 , , 上任一点的参数表示 b产+ c夕, v 十bP . V 沙Z产 J ,s e 、 还可求出腰鼓面的参数表示 : 二 土 了 *,一(, , + :, ); , , y=bI L+ cp , z c万 + bP , (2 . 1 3) 其中 p 和 产 (或 , 1一产)是独立参数 . 三 、 窗口曲线的表示 要找出窗口曲线的数学表示 , 除了腰鼓面的方程(2 . 12) 以外 , 还需要保持器锥面 c 的方程 . 按 照c的定义 , 顶点是(。 , 0 ,r c t g 物);它的底圆上任一点是( , c o s6 ,si n o , 四 、 窗口曲线的近似化 如 同第一节中所述的那样 , 我们要对窗口曲线(3 . 9) 进行曲线逼近 , 以便于求出窗口 的各边近似值 . 首先 , 我们采用锥面 c 的 母线中和窗口曲线 (3 . 9) 相切的那两条 , 作为窗口的近似纵 边(见图 3) . 了了了群群 尸尸尸石石 矛矛 牢牢牢 钾钾 设这两条母线所对应的O角分别是内和 二一几, 那末 , eM(,一内也) 必须是使方程 (3 . 6)的二根x 相等 , 因 为每条 母线和腰鼓面的二交点必须重合 , 就是说 , 由(3 . 1 )决定各 交点的 中必须相等 , 从而 (3 . 4) 表明对应的二根x 相等 . 通过对(3 . 6)的判别式的具体演 算 , 并把(2 . 9)的j 值代进其中 , 我们获得关于 产的二次方程: 4(乡 2 + cZ)(云c 一 石 。 一 c。石)2 + ( c, + 。一 coc ) , 产 , 一 2(bZ+ 2)(Z + b 。占一 coc )( reo s 甲。一 c 滋n甲。)之 + 。, 一 2 。: 十 双 , 一 2 尺尺。产 + (b J + eZ)(r eo s 甲。一 c s in甲。),+ c , 一Zc 。: + 左2 一 2及R 。; 一 4(云c 一 bo c 一 c。乡)(r eos甲。 一 c s i n 甲。)2 0 . (4 . 1) 设所求的根是 产M , 由于 0 产M 1 , 这个根是唯一的 , 因此 , 所对应的 x , 决定了 6M : 二一丝 丝二二左里望旦 ( 。 。 , 二丫 b 2 / (4 . 2) (见 图 3 左) . 其次 , 我们将进行对窗口曲线的近似横边的假定和计算 . 为此 , 考虑窗口曲线和y z 平 面 的二交 点N , 和N : (见图 3 右) , 就是 , 在 (3 . 6) 中 , 令 口 二 , 而且相应地 x x 。一 ct g 甲。+b . 这样一来 , 我们获得一个关于 产的方程 , 用以决定二点N , 桥的位置 . 经过 一些计算包括对 J 的有理化 , 可以证明 : 结果的方程是关于 产 的四次代数方程 , 具体表示 如下 . 令 A (b , + :2)之 es己甲。, B c(bZ + c, )( , Ct g 甲。一 c ) 。 se, 中。一(b Z + cZ)(cet g 甲。+去) K (r et g 甲。一 c ) ct g 甲。一(c , + b ob 一 coc )( cc馆 甲。+云), , c c,ese, 甲。 ( , et g 甲。一 c ) , 一 Zc ( ret g 甲。一 c ) 2 ( e etg 甲。 + b) ct g 甲。 +(二、, 。 + 占)2 (一、, 。 一 ) 2 一 2 (b 一b 。 一 :。b), b Z 十 cZ +(c Z 一 Z coc + R Z 一ZR oR )( cet g 甲。+b), , , 占c 一 石 nc 一 占 c 。 z “ 一 一一二( 下一二一一气c ct g 甲。十 刃 一, b 山 呀 门 C 那个决定N :, N : 的 位置的方程可以表成: A产2+ZB解+cD d . (4 . 3) 将 d 的 表示式(2 . 9) 代进这里 , 并经过有理化 , 我们就得到所求的四次代数方程 : A Z产 + 4 AB矿+ Z A C+4B z 十 D Z(bZ + cZ)2 那 , + 4刀 e 一 2(占 , + cZ )( c, + bob 一 coc )产 + C Z 一 D , (b c 一 bo c 一 cob ) 2 一(b , + c, )D Z x ( c, 一 Zc oc 十 R , 一 ZR R 。) 一 0 . (4 . 4) 我们所求的二根 。产: 拼2 1 , 是在(4 . 4) 的四根中能使 (4 . 3) 的左边与 (b c 一 b 0 : 一 c ob) 取相反符号的两个 . 设各根 产(i 1 , 2) 的 对应点N , 的坐标是(O , y , , z*) , 那末 : y , 一臼达玺丛土 望土三鱼 丛二 , 才 c c t g 甲。十石 ,ct g 甲。 十 (夕半 ,2、, , _ _, (4 . 5) 21 rct g 甲。一 bt g甲。+ 现在 , 我们通过各点N , 弓 ! a 轴 的垂直平面殉(i 1 , 2 ) , 即腰鼓面上平行环所在的 平面 , 并且把 , , 和锥面c的交线(一般是椭 圆弧)取做窗口的第一种近似横边 . 这两条横 边和上述两条近 似纵边一起构成近似窗口(见 图 3) . 设这近似窗口的高是 l, . 为了计算 它 , 在(3 . 劝里令 口 氏 , 产 拌 : (于是 v 一 1一 片) , 我们便获得对应的 甲、( , 1 , 2): ,ct g 甲。一尸 +(夕+ 2 )片 r(c c t g 甲。+b 如 口 , ) (i一 l , 2) . 从此便有 : 甲2一甲 , (丢 2 + cZ) (娜: 一 产,) , ( cet g 甲。+去s i n s, ) (4 . 6) 由 (3 . 1) 知z、 (甲 2 一甲 1), 。s。甲。, 从而推出 : _ (b , + c, )(产 : 一 产: ) 右血OA ,s i n 甲。+ c e os 甲。 (4 . 7) 显然 , 近似窗口的二纵边是等长的 . 第一种近似横 边曲线都是椭圆 , 它的参数表示如下: 在(3 . 4)里 , 令 产 产; (i一 l , 2) , 并且把 cr c 馆甲 。 +(b , + e, )拜 、 一 e, b 滋ns+ c et g 甲。 (4 . 8) 代进 (3 . 1) , 便得出每条(上或下)横边上的动点的坐标 : E 、一些竺旦一一一- b s in6+ cct g 甲。 sin s bs in口十 cct g 叭 (4 . 9) r ctg 甲。一 E bs i n s十 cctg 甲。 一一 一 一 七5 粉 护 尸 ! 、 . . . . . . 、 式中 石表示常数: E , : r et g 甲。+ (b 孟 + c,)产 一 . , 而且参数 8的取值是: 内 0成 , 一内 . 由此算出上下横边的长度即近似窗口的宽 : (4 . 1 0) (4 . 11) 丫萝; , (o)+ , ; , (a)+乙: , (a) de 如 .丁 产. . .!口 , 一一 L b,+ (b , + c,)e 官 甲。+Zb cct g 甲 。n a一b之c官甲 。“n o . I J E ,臼 x (b sin 6+ cet g 甲。)一公口 . ( 4 , 1 2) 右边是第二类L eg en d r e 椭圆积分 . 最后 , 我们从各点N 引锥面 c 的轴的垂直平 面 , 并且把各条交线 ( 圆弧 )取做窗口的第二种近 似横边 , 使和前述的两条近似纵边一起构成第二 种 近似窗口(见图 4) . 各垂直平面的方程是 : z, (4 . 13) 其中 二, 决定于(4 . 5 ) 公 21 rctg 甲。一 E , + bt g 叭 (4 . 14) 从(3一) , 和(4 . 1 3) 得出对应的 甲: 二 . E . , etg 甲。 ( c + 石t g甲。) (i 1 , 2) , (4 . 15) 于是作为第二种近似横边的 圆弧决定于下列表示: 二 ; 甲1 e os 日 , y r甲劝n o , (内镇a城 , 一a M) 宕 万正 。 这个圆弧的半径 , 1甲 , 所以弧长即第二种近似窗口的上下宽度是 : L r 甲 t(, 一2口 、) (i z , 2) . 同样 , 容易证明第二种近似窗口的高是: (4 . 16) re o s 甲。( c + 去t g甲。) (4 . 1 7) 同 (4 . 7)相比较 , 第一种和第二种近似窗口的高虽不相等 , 但非常相似 . 52 五 、 推广 当滚珠保持器不是第一节中所述的圆锥面 c 而是一只半径 , ( , R )的 、 和轴承球 面 S 同心(中心 0 )的球面时 , 前节的窗口曲线近似化就不适 用了 . 这时 , 保持器球面的 方程是: x Z+夕 2 + 22 一 r Z, 或 (5 . 1) 88 邸 如 甲甲甲 s 1 n s l nc o s 一 一 一 一 一 X V J忿 式中 ” ” 斌 的意义如前 , 但是 “甲 含 贝”表示球面上动点尸的 向径 。” 和 二 轴 的交角 . 当然 , 我们可用 ( 5 . 1 )代替(3 . 1 ) 来推导窗口曲线的参数表示 , 实际上 , 我们得到(3 . 9) 的类似方程: bZr Z+ (b Z+ cZ )尸一 c; J 一 Zc r (去 2 + cZ)产一c, X一(b Z + c Z)XZ, z 一 吞 十一 , 一生 。, x +( , + , )产一 。, , b 忿 rX , (5 . 2) 而这里 c . 犷c 。 . R ; 一 ZRR 。 b涵 一 c n广 + 2 入 嘴 . 一一 州卜 一 一 r Z c r Z c r (b