激励学生探究体现数学思想——“二元一次方程组的解法——加减消元法（第1课时）”教学设计与评析.pdf

励学生探究体现数学恩想 ? 一厂一、 i i l i 磊磊磊磊磊两石再卜 邓泾河评析( 湖北省咸宁市教育科学研究院) 摘要：通过激励学生探究，引导学生在解二元一次方程的 过程中，掌握消元的方法，明确消元的数学思想培养学生的创 新能力、归纳能力，使学生会运用分析、综合、归纳的方法研 究数学问题 关键词：加减消元法；自主探究；数学思想 一、教学内容解析 本节内容是学习利用加减消元法解二元一次方程组的运算， 在学习本节课之前，学生已经学习了二元一次方程组和它的解， 并能用代入消元法解二元一次方程组学生已经学习了一种消元 方法，具有了“转化”的数学思想而本节课是在代人消元法的 基础上。学生探索、发现的一种新的消元方法：加减消元法本 节课内容的学习，丰富了学生的消元手段使学生能够更加熟 练地掌握解二元一次方程组的方法，为解决实际问题和解三元 一次方程组以及求一次函数图象交点坐标等后继知识打下坚实 基础 二、教学目标设置 1 教学目标 ( 1 ) 会用加减消元法解二元一次方程组； ( 2 ) 培养并提高学生的运算能力； ( 3 ) 通过对方程组中未知数系数的观察和分析，明确解二 元一次方程组的主要思路是“消元”，促使二元一次方程组向一 元一次方程的转化，培养学生的观察能力，更进一步体会转化 的数学思想； ( 4 ) 引导学生分析用加减消元法解二元一次方程组的依据， 养成在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯通过 研究解决问题的方法，培养学生合作交流的意识、创新意识和 探究精神 2 教学重点 在回顾代入消元法的基础上，引导学生通过观察发现：方 程组中未知数的系数特征，让两个方程直接进行相加( 相减) 的运算就能达到消元的目的，从而将二元一次方程组转化为一 元一次方程，这也是学生熟悉的转化思想的体现 三、教学难点 难点l ：加减消元法解二元一次方程组 由于学生习惯了使用代人消元法解二元一次方程组，不容 易发现新的消元法因此，教师在学生原有知识的基础上，引导 他们去发现新的消元法加减消元法明确这种方法产生的依 据和加减消元法在解二元一次方程组时的优越性，使学生体会 加减消元法的可靠性、简洁性 难点2 ：不直接满足加减消元法条件的二元一次方程组的 解法 这种方程组不能直接进行加减消元，对学生来说难度较大， 需要的思考量较大，通过观察未知数的系数，决定消去哪一个 未知数，并调整方程中的未知数的系数，这需要在方程两边进 行乘系数运算，将方程有目的地变形，而现阶段的学生缺少足 够的耐心和必备的运算能力，所以，教师设置了一组题目，由 浅入深，引导学生观察未知数的系数，分析解决这种问题的关 键，即将原有方程组转化为能够直接进行加减消元的方程组， 这是转化思想的体现，并在解题过程中不断总结、完善加减消 元的策略 四、学生学情分析 七年级学生的求知欲、好奇心、自我表现欲和探究能力都 处于发展阶段但是他们缺乏学习的主动性和创造性，还不太善 于观察，对稍微繁杂的运算缺乏耐心，并且他们现阶段还不善 于总结、积累经验在这一时期，学生容易出现两极分化因 收稿日期l2 0 1 3 - - 0 4 1 2 作者简介：宋彬( 1 9 7 4 一) ，男，黑龙讧哈尔滨人，中学一级教师，第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与展示活动一等奖，主要从事中 学数学教育与教学研究 6 6 o 激 万方数据 此提高学生的学习兴趣、动手能力和思考能力至关重要同 时，预防厌学情绪也不可忽视 五、教学策略分析 通过以上的分析，本节课让学生经历“知识回顾探究发 现一对比归纳一知识应用一问题研究一反思小结”的教学过程。 在这个过程中，以问题探究法为主，引导学生利用发现、比较、 综合、归纳等来探索发现加减消元法在加减消元法的应用过程 中，让学生感受到“转化”的本质倡导学生独立思考、自主学 习、互助学习 六、教学流程设计 1 知识回顾 用代入消元法解下列二元一次方程组，并回顾用代入消元 法解二元一次方程的思路与过程用代入消元法解二元一次方 程的依据是什么? 目的是什么? f x + v = 7 f 2 x + v = 9 ( 1 ) 。 ( 2 ) 。 t 2 x y ：5 ：t 3 x + y = 1 1 ( 学生独立完成，得出结果，师生一起回顾代入消元法的解 题思路与过程) 生，：将方程组的一个方程进行变形，用含一个未知数的代 数式表示另一个未知数 生：将这个方程代入到方程组的另一个方程，消元 生，：求出方程组的解 生。：用代入消元法解二元一次方程的依据是等式的性质， 目的是消元 【设计意图】通过复习，学生再次巩固消元法以及“转化” 思想，进一步熟悉解方程的理论依据，为加减消元法的学习起 到铺垫作用 2 探索发现 观察下列方程组，) j 的系数各有什么关系? 根据这种关系如 何消除未知数? 根据等式的性质，你能发现新的消元方法吗? ( 1 ) f 石+ ，。7 ( 2 ) f 及+ ，2 9 【复一y = 5 ：t 3 x + y = 1 1 ( 经过学生独立观察、比较、探究，小组讨论，教师请学生 阐述自己的观点) 生，：方程组( 1 ) 的y 的系数相反，方程组( 2 ) 的y 的系数相等 生。：方程组( 1 ) 可用第一个方程加上第二个方程消除未知数 y ，方程组( 2 ) 可用第一个方程减去第二个方程消除未知数y 生，：方程组( 2 ) 也可用第二个方程减去第一个方程消除未知 数y 师：这种方法有依据吗? 生。：这种解方程组的方法的根据是等式的性质 师：你们能归纳一下上述解二元一次方程组的过程吗? 生。：把两个方程组的两边分别相加或相减，就能消除一个 未知数，得到一个一元一次方程 生m 当两个二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系 数相反或相等时才行 师：上述解二元一次方程组的方法就叫加减消元法应用加 减消元法要看二元一次方程组的系数是否相反或相等通过上面 的练习，发现在解二元一次方程组时，加减消元法和代入消元 法的目的都是消元，加减消元法有时比代入消元法简单 【设计意图】让学生通过观察二元一次方程组中的未知数的 系数特点，得出新的消元方法，通过比较归纳总结，得出加减 消元法 3 新知应用 例1用加减消元法解二元一次方程组 ( 4 x + l o r = 1 8 1 1 5 z 一1 0 y ：2 0 ( 在学生独立思考后，师生共同研究解题过程的书写) 师：上述方程组的哪个未知数的系数相反或相等? 你想先 消除哪个未知数? 生：y 的系数相反，用加法进行消元，消除弘 【设计意图】在学生发现了加减消元法后，正确理解系数相 反或相等的意义，确定先消除哪个未知数，并让学生掌握这种 解题方法的准确书写过程 4 应用创新 用加减消元法解下列二元一次方程组 憎+ 2 ，= 9 ( 1 ) 。 1 3 算一2 y = 一l ： f 2 a + b = 3 ( 2 ) 【3 a + 6 = 4 ： f 3 x + 2 y = 3 ( 3 ) 。 i 一3 x 一3 y = 2 ： f 2 a 一3 b = - 5 ( 4 ) 1 2 a 一5 b = 一1 1 ( 学生以比一比、赛一赛的方式，独立解决这四个问题) 【设计意图】巩固学生对加减消元法的应用 5 拾级而上 例2 用加减消元法解方程组 ( 1 ) r 盼= 一7 1 5 x 一6 y = 3 3 ： ( 2 ) f 缸+ 冷= 3 ， 【5 石一6 y = 3 3 ： ( 3 ) 1 3 4 y = 1 6 ， 5 x 一6 r = 3 3 ( 学生观察思考，得出消元策略，在一名学生发言后，其他 学生可以补充) 师：上面的二元一次方程组有没有系数相反或相等? 直接 加减这两个方程不能消元，如何变形，使得这两个方程某个未 6 7 万方数据 知数的系数相反或相等? 生1 2 运用等式的性质，方程两边先同乘以一个数，可使得 这两个方程某个未知数的系数相反或相等 生1 3 乘以一个数时，要先考虑消除哪一个未知数 【设计意图】通过这组题中的未知数系数变化，进行变式训 练，更好地突破难点，使学生掌握未知数的系数既不相同又不 相反的方程组的解法，进一步向学生渗透转化的数学思想，在 解决问题的过程中，积累解题经验，提高消元策略 6 巩固提高 用加减消元法解下列二元一次方程组 ( 1 ) f 5 算+ 勿= 2 5 ， 【3 戈+ 4 y 21 5 ： f 2 x + 3 y = 1 0 ( 2 ) 。 【3 z + 2 y = 5 ： ( 3 ) p + 3 y 21 ， 1 3 x 一2 y = 8 ： f 2 ( 2 x + 5 ，) ：3 6 ( 4 ) 。 1 5 ( 3 x + 3 y ) = 9 ( 学生利用已经掌握的方法以及解题经验进行强化训练) 师：这几个方程组如何通过变形，使得这两个方程某个未 知数的系数相反或相等? 生一个方程组的两个方程都要分别乘以一个数 生1 5 两个方程所乘的数不同 生1 6 乘数是消除的未知数系数的最小公倍数 师：看来，解二元一次方程组时，先要确定消除哪个未 知数 【设计意图】通过强化训练，学生对所学内容进行巩固并提 高解题能力，更进一步强化“转化”思想的渗透，期望学生在 解题实践中积累经验，优化消元的策略 7 反思小结 学生谈一谈本节课的收获，教师加以总结，完善用消元法 解二元一次方程组的知识体系和思想方法( 如图1 ) 图l 8 作业布置 ( 1 ) 选择适当方法解下列二元一次方程组 f y 。1 5 【3 2 z + 2 4 y = 5 2 ： f 缸+ 8 y 。1 2 ， 【3 算一2 y = 5 ( 2 ) 课后思考题 f 戈+ y + 。= 1 2 算+ 2 y + 5 z = 2 2 l 算一4 y = 0 提示：选择多种方式消元比较不同方法的简洁性 ( 由学生课后完成) 【设计意图】( 1 ) 巩固本节课所学成果，让有能力的学生在 课后还能有所提升( 2 ) 对于三元一次方程组，供学有余力的学 生思考，进一步体会转化的数学思想，为后续学习埋下伏笔 七、课堂板书设计 课堂板书设计如图2 所示 八、评析 本节课以新课程观为指导，在引导学生探究二元一次方程 组加减消元法的过程中，以消元的思想作引导，层层深人，由 简到繁，逐级落实教师对课程标准理解深人，对教材理解透 彻，对学生引导到位，成功实现了预设与生成，是一节较成功 的课，取得了很好的教学效果本节课有如下特色与亮点值得我 们学习与借鉴 1 回顾知识，成功迁移 为了让学生顺利探究解二元一次方程的加减消元法，教师 在新课前练习用代入消元法解二元一次方程组的基础上，引导 学生回顾用代人消元法解二元一次方程的思路与过程，用代人 消元法解二元一次方程的根据和目的，让学生有思想和方法的 支持为新知识的生成作了非常好的预设，为成功实现迁移作 了充分的知识、方法和思想准备 2 引导探究，总结方法 在学生具备了必要的知识、方法、思想的基础上，教师通 过引导学生比较二元一次方程组系数的相反或相等，利用等式 的性质，探究如何消元，从而得到二元一次方程组的加减消元 法然后通过巩固练习，加深对二元一次方程组加减消元法的 理解 ( 下转第7 2 页) 万方数据 的方法，学生在小学已经经历过，但是没有经历严格的推理论 证而拼图的方法对学生来说是陌生的，这样，学生就会产生好 奇心和求知欲，产生了认知冲突既有一定的经验积累，又有一 定的挑战性学生在拼图活动中，按照自己的想法撕一撕、拼一 拼，并经过独立思考、合作交流，在教师巡视和适时指导下积 极踊跃展示 3 积累活动经验，发展几何直观 本节课的难点是三角形内角和定理的推理过程突破难点的 关键：让学生通过动手实践获得感性认识，将实物图形抽象转 化为几何图形，得出所需辅助线 仅仅通过撕下三角形的三个内角拼在一起，是很难发现拼 图与三角形三个内角的联系的本课设计了留下原三角形的痕 迹、留下拼图的痕迹，巧妙地将实物撕角拼图抽象成几何图形， 再通过恰当的引导分析，促使学生自然地领会了辅助线的由来 教师通过问题4 ( 如何将三角形内角的位置转移，并拼合为平角 呢) 引导学生仔细将拼图与原图进行比较并通过问题5 ( 拼图 中哪些角的位置被转移了? 转移后拼图中多出的线与原三角形 的边有何特殊的位置关系) 让学生明白为了达到转移角的目的， 需要作辅助线这样，通过操作的经验、思考的经验和探究的经 验，学生对辅助线有了理解性掌握，从而在直观上对三角形的 内角和等于1 8 0 。有了深刻认识，即发展了几何直观 4 创造性使用教材，促进专业发展 我们知道，人教版课标教材在动手实验、自主探究，建构 三角形的内角和等于1 8 0 。的环节上，只介绍一种拼法而这节 课学生一共展示出六种拼法，教学设计与教材的编写差距很大 带着这样的疑问对教师进行了访谈 访谈者：在动手实验、自主探究的环节上，你是如何理解 + - + - + + - + - + ( 上接第6 8 页) 教材编写者的意图的? 教师：教材通过“做一做”展示了一种拼法，并且介绍的 操作经验非常详细。给学生充分的操作、思考、探究的空间和 时间，使学生积累了基本活动经验，降低了教学难度，从而很 好地突破了难点 访谈者：那你为什么还让学生展示出六种拼法呢? 教师：我也借鉴了北师大版课标教材，北师大版课标教材 有两种拼法，我是把两个版本教材的方法综合在一起了并且我 班学生思想活跃，知识基础扎实，实践经验丰富；有较强的好 奇心，自我表现的意识强，所以我就让他们充分展示，课堂教 学效果也比较好 从访谈中可以看到，教师有正确的使用课标教材的方法， 不仅对人教版课标教材有深刻的理解，而且也能参考其他版本 教材，并能结合所在班学情，进行很好地整合，同时还有创造 性地使用不仅有效地解决了问题，还促进了自身的教师专业发 展，实现了研训一体 教学是- - f q 遗憾的艺术，任何一节课都没有最好，只有更 好这节课学生展示拼法的过程是充分的，分类也是清晰的，但 是这节课的“做一做”活动，是为了让学生积累活动经验，引 出辅助线，形成几何直观从而为演绎证明打下基础，因此关 于拼合为平角的拼图，可以不展示，或者放在课下，让学有余 力的学生去探究，可能效果会更好 参考文献： 1 曹才翰，章建跃数学教育心理学 m 北京：北京师 范大学出版社，1 9 9 9 ：4 5 4 8 2 孔凡哲教科书质量研究方法的探索 m 北京：人民 教育出版社，2 0 0 8 ：1 5 一1 8 - + - + 一+ 一+ - - 4 - - - + - + 一一- + 一一p - - 一+ 一+ - + - + 一+ 一+ - + - + - + - + - + 一+ 3 层层深入体现转化 学生基本理解和掌握了二元一次方程组加减消元法后，教 师例举“如果二元一次方程组的两个方程的系数不相反也不相 等，如何通过变形，使其系数相反或相等”，让学生创造条件使 用加减消元法，突破了难点使学生掌握未知数的系数既不相同 又不相反的方程组的解法，进一步渗透转化的数学思想，在解 决问题的过程中，积累解题经验 4 提示本质，渗透思想 本节课在围绕用加减消元法解二元一次方程组的过程中， 始终体现“消元”的数学思想，但消元主要看二元一次方程组 中两个方程的系数是否相反或相等，系数不相反或相等时，要 通过变形，使其相反或相等，这就体现了数学的“转化”思想， 从而进一步提高学生的能力 5 活动积极，效果显著 本节课为学生提供了主动探究、自主学习、合作学习的时 空为学生搭建自我展示的平台，让学生积极主动地参与课堂教 学活动，形成独立获取知识、创造性地运用知识解决问题的能 力，充分调动了学生的参与热情，学生始终处于积极、主动的 7 2 学习状态，思维始终处于“最近发展区”，在观察、比较、归 纳、总结中发现知识、运