数学建模论文-评阅试卷算法建模.doc

数学建模论文论文类别：A题论文题目：评阅试卷算法建模参赛队员：学号、姓名、联系电话队员一： 队员二：队员三： 评阅试卷算法建模摘要：本文主要研究了，在论文评审中，由于聘请的评委用于评卷的时间有限，评审费用也是竞赛组委会必须考虑的问题。面对大量的参赛论文，竞赛组委会在既要保证论文评分的公平又要兼顾评委时间及费用的前提下，常采用尽量保证论文评分公平的折中方法来对论文评分。对怎样避免人员不同带来的差异以及怎样在保质保量的情况下来折合分数或校正分数，在对所给数据的进行分析后来建立数学模型，建立科学合理评阅试卷的方法。我们给出三种计算总分的方法分别为：求平均值法，去掉阅卷人不同带来的差异法，加权系数法，然后从公平合理的角度分析比较这三种方法的优劣。根据所给数据利用查询法统计A、B卷每位老师各自的工作量，并且分别A、B评阅方法的误判的概率，通过比较误判的概率和工作量来分析两种方法的优劣。我们通过估计法来估计评阅方法在第一轮时有多少被去掉。最后，我们根据上述方法二 ，提出一个阅卷方案，在公平合理、保质保量的前提下，使20位阅卷人在3天时间内评阅630份答卷以及在此之上评阅2000份需要多少评卷人。我们采用matlab和lingo软件编程得到A、B评阅方法的误判的概率分别为:A题误判的概率：Pa=4.917119604038%B题误判的概率：Pb= 1.938945837024%20位阅卷人在3天时间内评阅630份答卷需要随机抽取x1=30份试卷由所有的评阅人评阅，剩下的600份试卷由随机的x2=2位老师评阅，评阅2000份至少需要最少请45个评阅人才能保证保质保量在三天内完成评阅2000份试卷。关键词：matlab编程 误差分析 数据处理 加权校正 评阅试卷算法 如何建模 LINGO编程等一、问题综述A题 评阅试卷竞赛论文评分问题在一些科技活动的竞赛中（如全国大学生数学建模竞赛等），参加竞赛者是通过提交论文来完成竞赛的。然后，评委对所有提交的论文进行打分，竞赛组委会再通过这些论文的分数来确定参赛者的获奖等级。在论文评审中，由于聘请的评委通常科研和教学活动繁忙，使得他们能用于评卷的时间有限，此外，给评委的评审费用也是竞赛组委会必须考虑的问题。面对大量的参赛论文，竞赛组委会在既要保证论文评分的公平又要兼顾评委时间及费用的前提下，常采用尽量保证论文评分公平的折中方法来对论文评分。如在某地的数学模型竞赛有两份试题。A题有380份答卷，由13位评阅人组成的小组来完成评阅任务；B题有250份答卷，由8位评阅人组成的小组来完成评阅任务。理想的方法是每位评阅人看所有的试卷，并将他们排序，但这种工作量太大。另一种方法是进行一系列的筛选，在一次筛选中，每位评阅人只看一定数量的答卷，并给出分数。评阅人的任务是从中选出1/3的优胜者。每份试卷最多评阅3次。试卷满分为100分。A题，第一轮，每份试卷由两位评阅人随机抽取评阅。当两位评阅人给分相近时，将两个评阅成绩累加作为该答卷的总分；当两位评阅人给分相差大于一定值时，经第二轮，随机地请第三位阅卷人评阅，从三个评阅成绩中取两个相近的分数之和作为该答卷的总分。最后按这样得到的总分排序。因为只要选出1/3的优胜者，为了减少工作量，所以在第一轮之后，对前两位评阅人给分之和排在后40%的答卷不再进入第二轮处理。B题，每份试卷由三位评阅人随机抽取评阅，评阅人均不重复，将三个评阅成绩累加作为该卷的总分排序。题目中的数据是一次竞赛评卷后的实际统计数据。请利用所给的数据完成下面的工作：（1）对A题和B题，分别给出3种计算总分的方法，比较其优劣。（2）分别计算A题和B题评阅人的工作量；并分别计算A题和B题评阅方法造成误判的概率，分析两种评阅方法的优缺点，哪一种评卷方法在哪方面更好。（3）对A题，在第一轮评阅轮后，你认为可以去掉多少试卷后，再进行第二轮的评阅。说明你的理由。（4）在现有条件下，20位阅卷人在3天时间内评阅630份答卷，你们能否提供一个阅卷方法实现公平合理、保质保量的原则。 （5）如果论文总数不小于2000份，最少应该聘请多少名专家？数据见附件二、问题分析2.1分析：（1） 由于对同一份答卷不同的老师会给出不同的分数，每一份试卷是由随机的两到三位老师评阅的，每一份试卷的得分基础是不同的，因此存在不同的计算总分的方法，这些方法各有优劣。（2） 评阅人的工作量可以由老师评阅的试卷份数来表示。理想的评阅方法是每位老师改所有的试卷，而题中所给方法只是每份试卷由随机的两到三位老师评阅，这样的评阅方法得到的分数和理想的方法得到的分数存在差距，这就造成了误判。（3）因为只要选出1/3的优胜者，为了减少工作量，所以在第一轮之后，对前两位评阅人给分之和排在后40%的答卷不再进入第二轮处理，所以可以采用估计法。（4） 在评阅人人数、时间给定的情况下，设计一种使每份试卷得分基础相同的评阅方法，实现公平合理、保质保量的原则。2.2假设：1.每个老师标准公平地评阅每一份试卷.2.每一份试卷的评阅人是随机的。3.假设如果校正之后的分数大于100分则将他的的分考虑成100分4.每位评阅人给分的期望值反映了各自的评判标准。5.理想的分数值位于0到100之间。6.评阅人对所阅参赛作品均细致阅读，认真评分，不受外界活情绪的影响。7.每个人所给分数近似服从正态分布 8.所给数据均有效 9.假设论文总数为2000份，时间同样三天。10. 假定每个老师每天评阅的最大试卷数为30份。2.3符号说明： essa(i)对应于第i位评阅A卷的评阅人的平均误差essb(i)对应于第i位评阅B卷的评阅人的平均误差quana(i)第i位评阅A卷的评阅人的权系数quanb(i) 第i位评阅B卷的评阅人的权系数A题：第i位老师给分的期望：所有老师给分的期望：第i位老师的差异因子误判的概率为：PaB题：第i位老师给分的期望：所有老师给分的期望：第i位老师的差异因子误判的概率为：Pb x1:从630份试卷中随机抽取x1份试卷x2: 630-x1份由x2位评阅人来评阅x01:总共需要的人数x02:随机抽取的试卷数x03:剩下的2000-x02由x03位评阅人评阅三、模型假设、建立与求解(一)模型建立：问题一：三种计算总分的方法方法一：求均值法A题：由三位阅卷人评阅的试卷时，实际分数=由两位阅卷人评阅的试卷时，实际分数=并将分数从高到低进行排序。B题：由三个阅卷人评阅的试卷，分数= 给出数据中有一份只有两位老师评阅，2293850分数=并将分数从高到低进行排序。方法二：去掉阅卷人不同带来的差异法 A题： i位老师给分的期望： 所有老师给分的期望： 差异因子： （2）求实际所给分数由三位老师评阅的试卷：由两位老师评阅的试卷：并将分数从高到低进行排序。 B题： i位老师给分的期望： 差异因子： （2）求实际分数当三位老师评阅的试卷：给出数据中有一极端值（只有两位老师评阅），并将分数从高到低进行排序。 方法三：加权系数法 根据裁判一直以来的评卷风格,分别给每个评阅人考虑权系数ess。假设评委评卷的分数基本上服从正态分布,正态分布的分布密度函数为f()与分布函数F()为 f()= F()=式中, 为标准差(或称方均根误差);e为自然对数的底,其值为2.7182它的数学期望为E=0它的方差为 其平均误差为 =0.79790.8此外由 =1/2得 A题:权系数quana(i)= (1i13)。由下表(由所给数据进行求方差开根号)可以知道essb标准差16.14222412.72909415.5182610.60713715.49959911.19894612.693912.177613平均误差12.9137810.1832712.414618.48570912.399688.95915710.155129.7420915.93312813.8047878.74226649.488000611.07939612.746511.043836.9938137.59048.863517求实际所给分数由三位老师评阅的试卷： 由两位老师评阅的试卷：并将分数从高到低进行排序。B题:权系数quanb(i)= (1i0的次数.利用MATLAB编程:见附表七运行得:A题工作量序号甲乙丙丁戊己庚辛A题工作量6166616074617248序号壬癸甲甲乙乙丙丙A题工作量62707010296B题工作量序号甲乙丙丁戊己庚辛工作量90858383898987862.2 计算误判的概率(以方法二的值来计算)1）计算误判的概率由三个评阅人评阅的试卷，从三个评阅成绩中取两个相近的分数之和取平均作为该答卷的总分，由两个评阅人评阅的试卷，两个评阅成绩直接相加取平均作为该答卷的总分。这样得到的第j份试卷的分数是fenshu1 (j)。该题误判的概率为：Pa% (1j380)由三个评阅人评阅的试卷，三个评阅成绩之和取平均作为该答卷的总分，数据中的极端值（由两个评阅人评阅的试卷），则两个评阅成绩直接相加取平均作为该答卷的分数。这样得到的第j份试卷的分数是B0(j)。该题误判的概率为：Pb% (1j231) 2.）结果 A题误判的概率：Pa=4.917119604038% B题误判的概率：Pb= 1.938945837024%分析优缺点由于Pa Pb则A评卷方式比B评卷方式的误判率要高，但工作量要小一些。 3）.程序见附表八问题三: 对A题，在第一轮评阅轮后，你认为可以去掉多少试卷后，再进行第二轮的评阅。说明你的理由。因为只要选出1/3的优胜者，为了减少工作量，所以在第一轮之后，对前两位评阅人给分之和排在后40%的答卷不再进入第二轮处理。所以至少可以去掉40%但是必须小于等于60%问题四: 在现有条件下，20位阅卷人在3天时间内评阅630份答卷，你们能否提供一个阅卷方法实现公平合理、保质保量的原则.1. 阅卷方法：（我们考虑用方法2去掉差异法）从630份试卷中随机抽取x1份试卷，每一份由所有的评阅人评阅，得到i位老师给分的期望： 所有老师给分的期望： 差异因子： 把630份试卷从1号编到630号 ,前已被打分的试卷的分数相应的乘以其相应的差异因子,后630-x1份由x2位评阅人来评阅.方法如下:试卷计算得分：p(j)=编号为j的试卷被第i位评阅人打分* 如果，就取。在利用MATLAB编程对630份试卷的得分p(i)做一个从高到低的排列，得到排名。2. 最佳的x1、x2的求解整数非线性规划。假定每个老师每天评阅的最大试卷数为30份。最佳的x1、x2应该使得在限定的工作量条件下老师的总工作量达到最大，据此我们得到以下方程组：Max=20x1+(630-x1)x2用Lingo求解得到（程序见附录九）：Local optimal solution found. Objective value: 1800.000 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 134 Variable Value Reduced Cost X1 30.00000 -18.00000 X2 2.000000 -600.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1800.000 1.000000 2 29.00000 0.000000 3 600.0000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 18.00000 0.000000 6 0.000000 0.000000 即随机抽取x1=30份试卷由所有的评阅人评阅，剩下的600份试卷由随机的两位老师评阅，计分方法同上所述。（5）如果论文总数不小于2000份，最少应该聘请多少名专家？ 假设请x01位随机抽取x02份让所有人评阅剩下的随机由x03个人来评阅,假定每个老师每天评阅的最大试卷数为30份。由于论文总数不小于2000份假定取2000份.最佳的x01、x02、x03应该使得在限定的工作量条件下老师的总工作量达到最大，据此我们得到以下方程组：min=x012=x03=x011=x02=1;x02*x01+(2000-x02)*x03=x01*30*3;gin(x01);gin(x02);gin(x03);用Lingo求解得到（程序见附录十）：Local optimal solution found. Objective value: 45.00000 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 241 Variable Value Reduced Cost X01 45.00000 1.000000 X03 2.000000 0.000000 X02 1.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 45.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 43.00000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 1999.000 0.000000 6 44.00000 0.000000 7 7.000000 0.000000最少请45个评阅人才能保证保质保量在三天内完成评阅2000份试卷.四、模型评估1. 问题一方法一是根据题意最直接思路最简单计算方便的方法，但由于给每份试卷评阅的老师只有两到三人，相对老师总体人数较少，这样由这两到三个分数的平均值作为试卷的成绩，局部性太强，误判的概率很大,没有考虑人员不同带来的差异.方法二考虑到不同老师评判标准的不同对分数的影响从一个方面去掉阅卷人不同带来的差异法,并没有从误差的本质意义上考虑评阅结果.方法三从误差产生的本质原因来考虑评阅结果,未考虑评阅人生理上的等特殊原因.如心情,疲劳程度等.2.问题二 根据每位老师各自给分的期望值可以代表该老师的评判标准，我们就可以由每一份试卷已有的分数推断出每一位未评该试卷的老师会给该试卷的分数。在已有基础上得到真值表，以此就可求出误判的概率。我们所求得的期望值是在不同样本的情况下得到的，因此算法本身存在误差。3.问题三 采用了估计法来大概估计结果.4.问题四 首先，我们根据相同的样本得到每位老师给分的期望值，这样得到的值是无偏差的。 其次，在保质保量的情况下，老师的工作量实现了平衡，这样就最大限度地体现了公平性。 另外，样本的抽取以及剩下试卷评阅老师的选取都是随机的，这也体现了公平。 只随机抽取30份试卷作为样本求得每位老师给分的期望值，样本量偏小。同时剩下的试卷每份只有两位老师评阅。5.问题五在问题四的基础上,利用整型规划来求解,得到最少请45个评阅人才能保证保质保量在三天内完成评阅2000份试卷.实现了公平性.五、参 考 文 献【1】 数学模型（第三版）姜启源 谢金星 叶俊 高等教育出版社 2003年8月【2】 大学生数学建模竞赛辅导教材（三） 叶其孝主编 湖南教育出版社 1998年5月【3】 数学建模优秀集 轮胎生产方案 中国矿业大学 2002年10月【4】 周义仓，赫孝良，数学建模实验，西安：西安交通大学出版社，1999，8。【5】 MATLAB、LINGO使用教程【6】 数学建模（）/【7】 数海 /yunyan8/【8】 数学建模 (本科册) 湖北省大学数学建模竞赛专家组主编 华中科技大学出版社 2006年2月【9】 其它图书馆资源应用 :8080/book/queryIn.jsp六、附录附表一：%=%方法一的A题MATLAB程序%=A=000092000820000007808500000000007407800000000000007800700000000788167000000000830080600000000000760000670000006400078780000006307800077000000007806100760000074000000006507800000600000740000066720000007384530084000000000830008200055000008265072000000070000000670000000800800056000000000078790000580000000007462000000610007774000006100000076740005800000076075000000000007406074000690006500000000068660000000006600000000068006000000073000057075780000000000000590000650070074077000580000000007672000600000000000069063000470008474000000056000750730000000007000006100000000008207104800000006000700000000066000640000000080000490068750000075000540007473000000056000745473000000000000069000590000000068600000000670000000060000067000005900070000064063000000000008700680000390005200006774000000586800000000066000006000000000006106500000000000047078006378000000000520730770440800000000007776000000470059650000000000000075000440790006400000590000000000071730510000000007072052000007800000000820670000065570000000000006300005900000000620000600063000560000500000006900052680000005806300000000000059000062000060061000000006776000530000000053750670000000006258000000000000083730000036000000720007504400052000716700000000000076700042000000740069000444800070000068000004900000069670000067005100006606400000000000547600079380000000075000000070470000006500520000000850000075070006900730000000470048006872000000000006871000004800000670700000490000000506906600000650000068051000640052000067000005660000000000000006000005600670000000000644800061054000000058000570000000000806900000003400006806600480000000067650000049000000666400005000000630650000510000000620000052000061000000053680780000590000000000000061005300000000006054000000000590005500000000005658000000000005856006500750000000380064072000000041000630006900044000000000005261000055005800000005500000000005800560000000057000000000580704206200000000005000500000620005600000000580000540000005705500000000490730045000064000000000039720000460750480000065630000000004606248000000006300006261000000490530000000005800058000000000530000007158000003940000070057000004268000000560000000000006255004800000000061540490000580000000520460000063000052590000000000500005200000005700000520005700000000000005600530000059000066004246000058620000000057000000510000570000510000000000000000535500000660000540041006100000004653046000610000052000000000006004751610000004800059000570000000050000000055520000005500000000520005300000005400000004557006100000000566100000450600000055000460000000600540046000000590047530000048000000000058000000000055510710560006200000000000000071050340007035000000049600000000068037006559000000004000400580000065000062005700000043000440056000610000000580550004700570000000000480510000000054000005200000000053000064000005104000005100000530004000000006300495859000000004400057440000005900000560005700046005600590000480000000000000475600000005600047000005400049000000490000000005400540490000000000000000053005000000000610049041006000000000480424400000000580470000048054000000000490000000530490053000000000000000000049530000470006100004000430584600000000460000000005500000000480000530000061430000039047000053000000360000063041000000006100038400000000000006039390000056000000384356000430000000370000530000004600005700069007400049360062000000000480006100370000004700003806000060380460000000000000450005804000000004400058400000000043570004100000000564204200000560000410042054000000004004400000045530000000000046052000000000047000005100000000005048000048500000000000047000006000370005846000000039005600450004100005500004400000426800079000005800000540430000000047500000000000480049000000000000006600000030000005937000000000000005600040000000550000410000000000055041000000000049470003000065000000000000003362000056000000003900000000004205300520000000000043050000000000045000000000045500000000000005045000000004900460000000000048470000047000048000058000000000036000480000560000000000053000041051000004300000000510000000043000000504400000004800000000046380000000055000000000005100420000000004604700000000000460470310610000000000056000000360000000005600000360000560003600000054000000000380000000053390000041000000005100000043000049000044000000000048000000000454700002900620000000000000000052039000000000004150004400000000470047000000000044000470