（机械设计及理论专业论文）基于冗余伺服电机法的平面弹性连杆机构平衡的研究.pdf

东华人学硕：l ：学位论文 摘要 基于冗余伺服电机法的平面弹性连杆机构平衡的研究 摘要 近几十年来，机械产品趋于轻量化，运转速度趋于高速化。高速 下急剧增大的惯性力使机构构件产生弹性变形和振动，从而恶化机构 的工作性能并且影响运动精度，因此，此时构件的弹性不能被忽略。 目前在解决刚性机构震动平衡的问题上提出了一种新的方法 冗余伺服电机法( r e d u n d a n ts e r v om o t o r ) ，简称r s m 法。r s m 法的主要思想是，将满足运动学要求作为设计机构的约束条件( 即输 入转角的位移) ，通过优化输入转角曲线( 即输入转角、角速度和角 加速度) 来改善机构动力学性能。本文将冗余伺服电机法应用于弹性 连杆机构的动平衡研究。 论文首先以弹性四杆机构为例，以震动力和震动力矩的加权和为 目标函数，控制点处的角速度和角加速度为优化变量，建立其弹性动 力学模型及其优化模型，分别给出动力学模型和优化模型的计算机程 序框图，采用仿真软件( m a t l a b ) 对理论推导进行证明。并进行理论 分析，阐明r s m 法对弹性机构进行动平衡的原理。其次应用动力学分 析软件s p a c a r 验证弹性四杆机构动力学模型的正确性。然后选取五 种运动规律作为伺服电机的轨迹对此机构进行优化，并且以五种运动 规律中的多项式次数和多项式的连续性为考察对象对优化结果作了 方差分析。 论文最后分析了r s m 法应用于弹性动力学平衡的优点以及存在 摘要 的不足之处。 本文研究的主要贡献在于将新的机构平衡设计方法一冗余伺服电 机法( r s m ) 应用于弹性机构动平衡研究，使机构能够在满足机构运 动学要求的基础上达到比较好的动力学平衡效果，并且应用动力学分 析软件s p a r c a r 验证了所建立的弹性四杆机构动力学模型的正确性。 关键词：冗余伺服电机法，弹性连杆机构，动平衡，震动力，震动力 矩 s t u d yo nr e d u n d a n t s e r v om o t o r a p p r o a c ht o d y n a m i cb a l a n c i n go fe l a s t i c l i n k a g e s a b s t r a c t 1 1 1r e c e n td e c a d e s ，t h ew e i g l l to ft h em e c h a n i s m t e n dt ob el i g h t e ra n d l i g h l e ra n dt h es p e e do f t h em o t o rb e c o m em o r ef a s t e r b u ta s h a 叩i n c r e a s eo ft h ei n e r t i a lf o r c ew i l lc a u s et h e1 i n k a 2 e s ， e l a s t i cd e f o 册a t i o na n d 、，i b r a t i o nb e c a u s eo ft h eh i g hs p e e d t h i ss i t u a t i o nw i l l d e t e r i o r a t et h e m e c h a n i s m sw o r k i n gp e m m a n c ea n di n f l u e n c eo nt h em o t i o na c c u r a c y s ot h ee l a s t i c i t yo ft h e m e c h a n i s mc a nn o tb ei g n o r e d an e wa p p r o a c ht o b a l a n c i n go fr i g i dl i n k a g e si sp r o p o s e da tp r e s e ncw h i c hi sc a l l e d r e d a n d u n ts e r v om o t o r r s mf o rs h o r t t h e p r i n c i p l eo fr s mi st h a tt h ek i n e l n a t i cr e q u i r e m e n ti s s e e n a st h ec o n s 仃a i n tc o n d i t i o na n dt h ed ) r 1 1 a m i cp e 怕硼a n c ec a j lb ei m p m v e d b y o p t i m i z i n gt h e s e r v om o t o r sr o t a t i o nc u e 1 1 1 er s m a p p r o a c hi sa p p l i e dt ot h ed ”a m i cb a 】a n c i n go fe l a s t i c l i n k a g em e c h a n i s mi nt h i st h e s i s a b o v ea l l ，af o u rb a re l a s t i cl i n k a g ew i nb et a k e na sa ne x a m p l ea n di t se l a s t i cd v n 锄i c b a l a n c i n gm o d e la j l do p t i m i z a t i o nm o d e lw i l lb ee s t a b l i s h e d ，i nw h i c ht h es h a k i n gf o r c ea i l d s h a k l n gm o m e n to ft h em e c h a n i s ma r et a l ( e na so b j e c t i v e ，t h ea n g u l a rv e l o c i t y a 1 1 da n g u l a r a c c e l e r a t i o ni nt h ec o n 仃o lp o i l l ta r et a k e na sd e s i 印v a r i a b l e t l l e nm e 0 p t i m i z a t i o nm o d e li sg i v e n ， a n dt l l ev a l i d a t i o no ft l l e o r e t i c a ld e v e l o p m e n t si sm a d e d t h t o u g hm a t l a b t 1 l ep r i n c i p l eo fr s m 1 8p r e s e n ta r e rm em e 0 巧a n a l y s i s n e l i d a t i o no ft h eb a l a l l c i n gm o d e l i s1 n a d e 恤0 u g l lt l l e s p a c a rf o rn l ef i l l s tt i m e f i v el 【i n d so fm o t i o nh a v eb e e nc a r r i e do nt 量l eo p t i m i z a t i o nm o d e l n e a n a l y s i so fv 撕a n c ei sc a r r y i n go nr e g 砌i i l gt ot h es i m u l a t i o nr e s u l t s t h e a d v 弛t a g 髓谢t l lr e g a r dt om er s ma p p m a c hi sa p p l i e dt od y n a m i cb a l a i l c i n go fe l a s t i c l i i l l 【a g em e c h 孤i s m 姐da l s oi t sd i s a d v a l l t a g 懿a r el i s t e di nt h e 髓do fm i st l l 髂i s t h ec o n t r i b u t i o no ft l l i sm 懿i si i l c l u d e st l l a tan e wa p p a c hn a m e dr s m i sa p p l i e dt ot h e s t i l d yo fd y l l 锄i cb a l a i l c i i l go fe l 舔t i cl i n l ( a g e s 姐dm es p a c a r i su s e dt 0v a l i d a t em ed a i i l i c m o d e l o l ly u j u n ( m e c h 锄i c a ld e s i 印a i l dn l e 0 啪 s u p e n ，i s e db ys u nz h i h o n g z l l a i l gw b n j u n k e y w o r d s ：r s m ；e l a s t i cl i l l k a g em e c h a i l i s m ；d y n 啪i cb a l a n c i n g ；s h a l 【i n gf o r c e ；s h a l ( i n g m o m t i i i 东华大学硕士学位论文l 绪论 1 1 引言 1 绪论 在科学技术日新月异的今天，机械领域的科学家们不仅在材料、新工艺、先 进的制造技术和先进的计算方法等方面不断地探索，而且在轻型化、高速化、精 密化大功率等方面也取得了令人瞩目的成绩。 当原动件等速回转时，构件因本身的惯性力其加速度和角加速度与原动构件 转速的平方成f 比。随着机械速度的提高和构件柔度的加大，构件由于惯性力作 用变形必然也加大了，这使得机构真实的运动与期望的运动之间产生误差。因此 我们在进行机构动力学分析的时候需要考虑构件弹性。 早期有关于弹性机构的动力学平衡的研究，主要是把刚性机构动平衡方法直 接应用到其中，如配重法、改变杆件截面尺寸和形状等方法。随着对于弹性机构 动力学平衡研究的逐渐深入，一些新的弹性机构动力学平衡方法应运而生。近年 来，弹性动力学平衡的研究有很多成果。但是，用于刚性机构动平衡的冗余伺服 电机法还没有应用到弹性连杆机构中。因此本文将尝试用冗余伺服电机法来解决 弹性机构动平衡的问题。 要特别说明的是，很多研究并没有对弹性机构动力学模型进行验证，如果模 型建立有误那么就会影响新方法的应用，也即影响了弹性机构动力学平衡模型的 准确性。因此，本文将首先验证弹性机构动力学模型的正确性，然后进行以后的 理论研究。 1 2 机构动力学平衡的国内外研究现状 1 2 1 刚性机构的动力学平衡国内外研究现状 机构的平衡问题一直是机构学研究的一个重要课题，尤其是对刚性平面机构 的平衡研究，已经有各种各样的理论和方法。从机构被平衡的程度来看，平衡可 分为三类：部分平衡、完全平衡和优化综合平衡【1 1 。其中完全平衡的理论已经很 成熟。完全平衡是一种理想状态。实际中，为了达到这种理想结果，所采取的措 施往往会对其他动力学指标产生不利的影响，从而恶化整个机构的平衡效果，而 且，完全平衡也很难精确实现，所以通常只对机构进行满足要求的部分平衡。还 有一个重要原因是，部分平衡大都利用优化手段，特别是计算机和优化技术的发 展和应用，近年来在部分平衡优化方面有了较快的发展，即对各个动力学参数进 行优化设计，只要达到优化目的即可，而不用达到机构的完全平衡。 对于机构震动力的平衡有很多的方法。其中采用配重法是最为简单而有效的 东华大学硕= i ：学位论文l 绪论 平衡方法【2 】。即在机构的某些构件上加上一定的配重，使之产生与原构件惯性力 作用相反的惯性力，从而达到整体的平衡。但是采用加配重法时首先需要明确什 么样的平面机构的震动力可以用此方法平衡。文献 3 在此基础上提出了质量静 代换法，它也是解决震动力平衡的一种有效的方法。另外，影响最大的是由b e r k o f 和l o w e n 在1 9 6 9 年提出的线性无关向量法【4 | 。- 机构的震动力可表示为： j 2 只= 一备( m 。+ m ：+ m ，) 。线性无关向量法是运用总质心静止的条件( 即： “f 蛾：m + 嘲t ，+ + m 。i = 常量) ，然后将质心的向径公式代入其中，再由机构的 环方程将其中的一个单位向量由另外的向量表示出来，最后得到一个线性无关的 向量。由于总质心静止，所以变向量的系数等于零，即可得到震动力平衡的方程。 近代震动力平衡理论和方法都是建立在此基础上，并得以不断完善p j 。 相比之下，机构震动力矩的完全平衡要比震动力的平衡方法复杂，也相对困 难。所以，震动力矩平衡的研究成果比震动力平衡的研究成果少，没有形成很完 整的系统理论和方法，还主要是着重于震动力矩的部分平衡或者针对某种特殊机 构的震动力矩平衡。文献 6 针对铰接二级杆组、具有三个转动副的对称杆件和 曲柄滑块机构三种不同机构提出了一个新的解决震动力和震动力矩完全平衡的 方法，即通过在杆件上附加惯性齿轮的方法，取得了较好的结果。虽然此方法使 机构的震动力和震动力矩达到了完全平衡，但其平衡条件比较苛刻，并且只能解 决震动力完全平衡的共线式物理摆连杆机构，因此还不具有一般性，如果某些条 件一旦不能被满足，则由连杆运动产生的惯性力就不能被平衡掉。所以，加惯性 齿轮的方法一般只适用于对连架杆的平衡，对于连杆的惯性则没有多大作用。文 献 7 回顾了现有的平面连杆机构关于震动力和震动力矩平衡的理论，并填补了 一些理论空白。在最初的一些震动平衡概念基础上逐渐地形成了一个最终的理 论，且进行了严格的论证和讨论。最后的实验结果也证明这个理论在一定程度上 具有实用价值。 以上关于震动力矩平衡的研究都已经被学者们所抛弃。下面是一些比较新的 研究。 首次利用变转速来平衡机构动力学性能的研究学者是i s k o c h e vm a 嗍1 1 1 】n a l l o na i l dja n g e l e s 【1 2 】和t h o m a st h u e m m e l 【13 1 。t h o m a st h u 锄m e l 以一刚 性四杆机构为研究对象，采用附加两个冗余驱动器，通过控制冗余驱动器的驱动 力矩实现机构震动力矩的平衡。该方法首先要利用配重法和改变机构参数等一些 被动控制方法对机构进行震动力完全平衡；并且在平衡震动力矩时需要在连杆和 摇杆上分别附加一个冗余驱动器，这两者都是本方法的局限。y a oy 觚a 1 1 等1 1 4 】于 2 0 0 5 年提出采用变输入转速来改善平面连杆机构的动力学性能，给出了变输入 2 东华大学硕士学位论文l 绪论 转速机构的约束条件和设计标准。r c s o o n g 掣”】于2 0 0 7 年提出利用变输入转 速和采用贝塞尔曲线作为电机的输入转速，结合配重法对平面四杆机构进行动力 学的优化设计。分别以震动力、震动力矩和输入转矩为优化目标函数，以输入转 速曲线贝塞尔曲线控制点和配重参数为优化变量进行优化计算。文献 1 6 介绍了 一种新的方法一冗余伺服电机法( r e d u n d a j l ts e om o t o r ) 。该方法利用伺服电 机相对于平面连杆机构的冗余功能对机构进行了动平衡的研究，即在满足平面连 杆机构运动学要求和机构震动力完全平衡的前提下采用伺服电机为驱动电机，以 伺服电机转速为优化变量，机构震动力矩，输入转矩以及地基力为优化目标进行 优化，优化结果表明在某个伺服电机转速下，机构的上述动力学性能指标有了较 大的改善。文中以一个五杆机构为例，推导出了固定铰链两点处震动力的方程： = 只。，2 + 只2 ，= e ，2 + ，2 。震动力矩的方程是： 上 m 曲= 一( 砰+ 彳一lc o s 仍) 互f 一2 m 2 ，j 眨( 五萌+ 石口1 ) s i n 仍。并且建立了五个模型： 模型一： m 西) + c 矗) + ( 足 + 【包 ) “) = 尸) + q ， 模型二： 模型三： 模型四： 唧万 一商n 辱 一面n 卜痧 模弛哪，= 幽 + m w ，= m 刊，= 1 3 + w 1其中 在平衡机构震动力和震动力矩的同时，会给输入扭矩带来一些负面效应，而 对于输入扭矩的平衡则属于能量平衡的范畴，它是不能靠附加齿轮或者配重法及 其他的方法来实现完全平衡的。文献 1 7 】用飞轮、弹簧等储能元件达到较好的 平衡效果。 以上是对刚性机构动力学特性的研究现状的概述。可以看出，震动力的完全 平衡基本已经解决了。震动力矩和输入转矩的平衡主要还是采用综合优化的方 法。 、ipj ， 东华大学硕士学位论文 1 绪论 1 2 2 弹性机构的动力学平衡国内外研究现状 考虑构件弹性的研究最早可追溯到3 0 年代【l 引，6 0 年代可被认为是早期研究 阶段，但是这一时期的理论还很不成熟。7 0 年代有限元思想的植入才使这一研 究走上同臻成熟的道路。这一时期的j a n d r a s i t swg 等人主要讨论把传统的刚性 机构加配重的方法来平衡弹性动力学特性。8 0 年代，z o b a i r imak 等人在文献 1 9 】 2 0 】中同时考虑了机构刚性和弹性运动引起的惯性力的影响，以震动力和震 动力矩最小为优化目标，构件杆长和截面参数为优化变量，得到了使弹性机构动 力学特性得以改善的最优构件杆长和截面参数。但是这也同时带来了另外一个问 题：在机构弹性动力学综合研究中我们知道，弹性机构主要是根据轻型化要求而 产生的，其机构设计总是按照机构重量最小为原则进行的。此时，机构中各个杆 件基本上处于满应力状态。显然，附加配重必然增加机构重量，违背弹性机构设 计要求。而减少杆件截面将导致机构破坏，更是不可行的。因此这两种方法都不 合适。9 0 年代初期，黄永强【2 l 】介绍了一种通过修正构件截面参数实现震动力最 小化的新方法，并且指出必须重视构件弹性引起的附加震动力。9 0 年代末期， 聂松辉 2 2 】提出了弹性连杆机构综合平衡方法。他指出，以前的研究都是进行的 单目标的优化平衡，单目标机构平衡的研究结果表明，机构的某些动力参数间的 大小常常是相互矛盾的，而机构的多目标综合平衡是解决上述矛盾的方法之一。 以上这些方法都是弹性机构动平衡的被动控制方法，并没有考虑弹性机构的 本质问题。一些新的弹性机构动平衡方法应运而生。 文献 2 3 提出了一种附加弹性元件的新方法，该方法是在原弹性机构上装一 根扭转弹簧，利用弹簧的变形能来减弱由于机构的弹性变形而产生的惯性力影 响，并且以震动力和震动力矩的同量纲加权和为目标函数进行优化。结果表明平 衡前后机构各项动力学指标数值下降幅度较大，平衡效果明显。但是这种方法只 能平衡机构中由弹性运动产生的惯性力，而对于由机构刚体运动产生的惯性力则 无能为力。文献 2 4 】和 2 5 】首次提出采用冗余驱动器的方法对弹性机构进行平衡。 其中，文献 2 4 】利用两个冗余驱动器在震动力和震动力矩的最大值附近的半个周 期内施加冗余驱动力矩，通过控制该两个冗余驱动器的驱动力矩使弹性机构的震 动力和震动力矩得到了较好的平衡。文献 2 5 在文献 2 4 】的基础上作了改进。考 虑到大部分情况下并不需要对整个机构完全平衡，而是部分平衡即可，因此只采 用一个冗余驱动器，以震动力和震动力矩的同量纲加权和为优化目标函数，在震 动力和震动力矩的最大值附近的八分之一个周期内施加冗余驱动力矩，从仿真结 果看，该方法有效。文献 2 4 】和 2 5 】的结果表明，附加冗余驱动器的方法对于弹 性机构的平衡效果较好，相比附加弹性元件法，它不仅能平衡弹性变形运动产生 的惯性力，也能平衡刚体运动产生的惯性力。但是附加的冗余驱动器增加了机构 的成本。 4 东华大学硕士学位论文l 绪论 从以上的分析中可以看出，弹性机构动平衡的方法主要有：1 把刚性机构动 平衡的方法直接应用于弹性机构中。2 通过优化弹性机构的杆长、截面积等改善 机构的动力学性能。3 添加弹性元件，利用弹性元件的变形能来改善其动力学性 能。4 添加额外的冗余驱动器并且利用冗余驱动器的变转速或者变转矩的性能来 改善。5 直接利用伺服电机的变转速的功能使弹性机构的动力学性能得以改善。 1 3 本课题的研究内容及目标 本课题在计入构件弹性的影响下，也即是全部构件被看做是弹性体，研究平 面机构的动力学性能。本课题以一个平面弹性四杆机构为例，其主要研究步骤是 首先建立平面弹性四杆机构的动力学模型，然后应用r s m 法对平面弹性机构进 行平衡，并且比较平衡前后震动力和震动力矩的变化图从中分析得出结论。最后 分析r s m 法进行机构动力学平衡的平衡机理。其主要内容如下： 第一章：绪论。主要介绍机构动平衡的国内外研究现状以及本课题的主要研 究内容和目标。 第二章：平面弹性四杆机构的动力学模型。首先详细给出了系统微分方程的 推导过程并应用纽马克方法求解该方程的求解过程。然后详细说明了弹性四杆机 构的动力学参数的求解过程。本课题的弹性四杆机构的动力学参数主要是指震动 力和震动力矩。 第三章：基于s p a c a r 的平面弹性四杆机构动力学模型的验证。首先介绍 了动力学分析软件一s p a c a r ，并且给出了本课题所用到的s p a c a r 中的输入文 件的定义。然后应用s p a c a r 软件做出平面弹性四杆机构的震动力和震动力矩 的曲线图并将s p a c a r 结果与数值计算的结果进行比较进而得出结论。 第四章：应用r s m 法建立平面弹性四杆机构平衡的优化模型。首先介绍r s m 法的平衡思想以及给出了几种本课题所用到的伺服电机转角轨迹规划曲线。然后 研究将几种电机转角轨迹规划曲线应用于平面弹性四杆机构的动力学平衡研究， 得到平衡结果。 第五章：应用r s m 法对平面弹性四杆机构的最优平衡。首先以五种运动规 律为伺服电机的转角曲线进行实例计算，然后以五种运动规律中的多项式次数和 曲线光滑性为考察对象对优化结果做了方差分析。最后分析了r s m 法弹性机构 的动平衡研究的优点以及存在的不足。 第六章：结论与展望。包括对现在工作的总结以及对未来研究工作的展望。 1 4 本章小结 本章开头首先说明了在进行平面机构动力学分析的过程中考虑构件弹性的 必要性，从而引出了本课题的研究意义。然后详细介绍了刚性机构和弹性机构动 东华大学硕士学位论文j j 墨二垒 平衡的国内外研究现状以及最新研究进展。最后介绍了本课题的研究内容以及各 章的主要内容。 6 东华大学硕士学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 2 1 引言 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 机构中只要含有一个以上的弹性杆件，就应该将其看做弹性机构【2 甜。二般 情况，含有弹性构件的机构动力学分析过程要经过以下几个阶段：把实际机构简 化为相应的力学模型、列出运动方程式、求解运动方程、对结果进行分析。 为了使所建立的模型比较精确地反映原来机构系统的特性，现在普遍采用 “子结构分析法”，即把系统按照结构划分为子结构和单元，然后建立子结构和 单元的运动方程，最后将子结构和运动方程组合成系统的运动方程。 在连杆机构弹性动力分析的过程中，常常采用质量离散化的方法。建立两类 近似模型： ( 1 ) 集中质量模型：将弹性体的质量按某种简单原则聚缩于若干点上，形 成集中质量和集中转动惯量。这种模型对于质量分布形式简化较多，模型较为粗 糙，精度较差。 ( 2 ) 有限元模型：这种模型的质量和弹性是分布的，而不是集中的，并且 对单元内的位移分布建立了某种假设，并以此假设为基础导出单元的动力学特 性。 本课题就是用有限元模型进行机构的弹性动力分析。由于弹性机构的动力学 建模的理论已经非常成熟，所以本论文直接采用文献 2 7 中的建模方法。 2 2 系统运动微分方程的推导 首先以图2 1 为例建立弹性四杆机构的动力学方程，其方程的具体建立过程 如下。 7 东华大学硕= l ：学位论文2 平面弹性连杆机构的动力学模型 图2 1 弹性四杆机构有限元模型 2 2 1 单元的划分和广义坐标的选取 为了消除刚体自由度，将曲柄看做是悬臂梁，故划分为一个单元。连杆和摇 杆各划分为两个单元。这样系统总共划分为五个单元。每个结点处建立四个广义 坐标，分别为x 、y 方向的弹性位移和梁在该点处的转角和曲率。结点3 和5 各 有四个广义坐标。结点2 和4 由于是回转副，故梁的曲率各位零，但是各有两个 不同的转角，故各有四个广义坐标。结点1 处仅有一个曲率坐标。结点6 处有弹 性转角和曲率两个坐标。故系统总共有1 9 个广义坐标。 梁单元是结构分析中的一种常用单元。图2 2 所示为一等截面梁单元，单元 内任一点的轴向位移和横向位移分别以v 和w 表示。当单元处于运动状态时， v 和w 为时间t 和位置x 的函数。 图2 2 单元广义坐标的设置 东华大学硕士学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 结点处的广义坐标以“，( f ) 表示，任意点的位移通过“型函数”和广义坐标 联系起来： y ( x ，f ) = z f f ( f ) ( x ) ，= l ( x ，f ) = ( f ) 妒舢) ( 2 1 ) 式中，z 为结点处广义坐标总数；( x ) 、( x ) 为型函数，可通过位移假 定导出。 这罩所用的梁单元只设两个结点，每个结点处有一个纵向位移，因此纵向位 移可假设为线性分柿 矿( 工，f ) = 瓤+ 6 ( 2 - 2 ) 横向位移假设为五次埃尔米特多项式分布 形( x ，f ) = 彳x 5 + 戤4 + 3 + 眈2 + 及+ f ( 2 - 3 ) 在式( 2 2 ) 、( 2 3 ) 中共有八个待定系数。为确定这些待定系数需要八个边界条 件，亦即在结点a 、b 处需设如下一些广义坐标。 、“，结点a 、b 处的纵向位移； “2 、“6 结点a 、b 处的横向位移； “3 、“，结点a 、b 处的弹性转角； 、蚝结点a 、b 处的曲率。 这八个广义坐标形成单元广义坐标列阵 u = “2 “8 ) 2 ( 2 - 4 ) 式中，矽、形“为矿对z 的一阶、二阶偏导数。由这八个边界条件可求出 式( 2 2 ) 、( 2 3 ) 中的八个待定系数，它们是广义坐标的函数。将这八个系数的表达 式代回式( 2 2 ) 、( 2 3 ) ，经整理可求出式( 2 1 ) 中的各型函数，且式( 2 - 1 ) 可改写为 矽( x ，f ) = 缈f ( x ) “，( f ) ，( f 2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 ) f y ( x ，) = 妒，( x ) “) ，( = 1 ，5 ) j 式中各型函数为 9 ( 2 - 5 ) 东华人学硕：f ：学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 缈l ( x ) = l e 妒2 ( x ) = 1 1 op3 + 15p4 6e 5 矽3 ( x ) = 三( e 一6p3 + 8 p4 3p5 ) 伊4 ( x ) = 三2 ( p2 3 e3 + 3e4 一e5 ) 2 伊5 ( x ) = p 妒6 ( x ) = 1o p3 15e4 + 6e 5 伊7 ( x ) = 上( 一4p3 + 7 p4 3p5 ) 伊8 ( x ) = 2 ( p3 2p 4+p 5 ) 2 式中，e 可厄，称为相对坐标。可以看出，型函数也是五次多项式。 2 2 2 单元运动微分方程 ( 2 - 6 ) 在应用弹性体的拉格朗r 方程推导梁单元的运动方程时，首先应该确定梁单 元的动能和应变能的表达式。 动能t 包括梁单元的平动动能t i 、梁单元的截面转动动能t 2 和集中质量的 动能t 。 梁单元的平动动能1 ：可以写为： e = 吾( 嗉+ 略) + 丢( 嗉+ 略+ 2 钇+ 矽：r ) + 三( 以+ 厶) 矽2 + 三矽2 u r 面。u + 三d 7 面。d + u 7 y 式中，z 。+ 钿礓。u + 吉妇钿气 面。，b 。，面，；y ，z 。，z j ，以，厶 u 。= 丢u ，i ( j ) u u ：最( 1 ) = ( q 。+ 砰+ 瓦；+ 霹) 够q 。，霹，i ；，霹 u 为单元广义坐标列阵；d 为u 对时间的一阶导数列阵；矩阵面= p 彳q 。，q 。可查 附录a ；矩阵b 和列阵y ，z 见附录a 。 梁单元的截面转动动能t 2 可写为： 1 0 + r j “ 吃 v 卜 w h n “ “j u 三 r 一 城 略 幽 一 + 州 - 昌 肛 | 昌 一 一 = 1 2千0 2 东华大学硕士学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 t = 圭p ，矽2 三+ 西f + 圭d 7 f + 圭d 7 面，h( 2 8 ) 式中，列阵f 和矩阵面详见附录a 。 集中质量的动能e 可写为： 己= 圭聊。( 略+ 略) + 丢聊r ( 嗉+ 略+ 2 钇+ 矽2 r ) + 三( 以+ 厶矽2 + 三矽2 u7 面。u + 圭d 7 面。d + u r y c( 2 - 9 ) + h 7 z 。+ 矽血7 b 。u + 圭h r 面，d + 毋h 7 z j 式中的矩阵面。，b 。，面j 以及列阵y c ，z 。，z ，均在附录a 中给出。 所以总动能应该等于上述三项动能之和，即 = c p 爿c v 二l + v + 矽：c + v 斤痧f ，+ 圭矽：u7 i 五u + d 7 i 五d + 矽d b d + u7 y + d 7 z + 丢p ，矽2 三+ d7 f + d 7 而，d ， 1 ， 1 ， + j m c v ：_ + v 二+ jm 一v ：_ + v ；+ 2 v 厅9 + 秒2 r ( 2 - 1 0 ) + c ，。+ ，。，占：+ 矽二u7 面，u + 吐示。d + 分吐7 b ，d + u 7 y ：+ d z ，+ d 7 面，d + 矽d7 z ，】 其中，以，厶分别为梁单元左右两端点处的集中转动惯量。 梁单元的应变能包括弯曲剪切应变能u 。，考虑横向位移影响的拉压应变能 u 2 。 u 。可写为： u 。= 三u 掣u ( 2 1 1 ) 式中，i ”= ( q 。+ i ? + i ；+ i ；) e 丘( 2 1 2 ) 其中矩阵q ，i ? ，i ；，i 均列于附录a 中，e 为材料的弹性模量，j 为梁横截面对 z 轴的惯性矩。 u ，可写为： u 。= 去u 掣u 式中，i 2 = e 4 ) c l + k ， k = 一p 儿( 口厨一丢矽2 ) k 。+ p 彳口厨k 。一丢p 彳痧2 k 。 式中k 。，k 。，k 。，的具体元素参见附录a 。 综上所述，总的应变能u 的表达式是： u 刈删= 圭u 掣u + 圭u 掣u = f u 式中，瓦= 瓦( 1 + 瓦2 ( 2 二1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 将单元泖势能表达式代入拉格朗同施丢( 鼍) 一鼍+ 等= q ( 2 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) 就得到单元的运动微分方程： ( 【m 】+ 【m ，】+ 【m 。】+ 【m ，】) i ：i + 2 矽( b + b 。) d + k + 痧( b + b 。) 一扫2 ( 【m 】+ 【m 。】) u = y + y c 一( 之+ 之。+ 雷+ 痧z ，) + i + 丽 ( 2 1 7 ) 引入记号： 【m 。】= 【m 卜【m 。】 m ：】_ 【m r 】+ 【m 月 面= 【m 。】+ 【m ：】 6 = b + b 。 虿：2 丽 a = 莨+ 痧6 一矽2 面。 f = y + y c s = z + z 。+ f + 痧z - ， f = 亍一i 东华大学硕二l ：学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 矩阵面。，面：，6 ，f ，i 均在附录中给出，则式( 2 1 7 ) 可以改写为 面i i + 面+ d u = f + f + 丽( 2 7 1 8 ) 上式中的列阵了是与所研究的梁单元相连接的其它单元给予所研究的单元 的作用力列阵，它对整个机构来说属于内力，在单元方程装配成整个系统方程的 过程中相互抵消。列阵可是外加载荷的广义力列阵。惯性载荷包含在列阵f 中。 2 2 3 系统运动微分方程 将各单元的运动微分方程装配起来就成为系统运动微分方程。由于各单元的 运动微分方程都是在单元坐标下建立的，因此首先要将它们转化到整体坐标系 下。 令u = r u 。 u 8 = u u 以u 氓u ，氓) 为整体坐标系下的单元广义坐标列阵。r 为单元 坐标与整体坐标的转换关系，称为坐标转换矩阵。 这样单元运动微分方程就可以写为： m u 。+ c u 。+ d u 。= p + f + q( 2 1 9 ) 式中 m = r r 面r c = r r 硬+ 2 r r 面良 d ：r r - r + r r 硪+ r r 面良 p = r r f f ：r7 了 q = r r 可 其中食和良是矩阵r 对时间的一阶和二阶导数，在第4 1 节中分析r s m 法 平衡原理的时候会给出其具体形式。 得到整体坐标系下的单元运动微分方程后，将广义坐标列阵和动力矩阵，激 阵力列阵都加以扩大，然后装配，就可以得到整体坐标系中的整个机构的运动微 分方程式： m u + c u + d u = p + q( 2 2 0 ) 式中u = 【u u ，】7 为整体坐标系中的系统广义坐标列阵。d 为弹性加速 东华大学硕士学位论文2 平面弹性连杆机构的动力学模型 度列阵。d 为弹性速度列阵。m 为系统的质量矩阵，它是由各单元的质量矩阵m 装配而成的。c ，d 分别为系统的当量阻尼矩阵和当量刚度矩阵，它们分别是由各 个单元的当量阻尼矩阵和当量刚度矩阵装配而成的。p 为系统广义力列阵，即刚 体运动力列阵。q 为系统外力列阵，它的元素是真实地作用于弹性位移方向上的 外力和作用于弹性转角上的外力矩。它的形式如下所示： q ) - 【l o o o o 】：。 式中l 表示原动机的输入力矩。 这样就建立了弹性机构运动微分方程。 2 3 系统运动微分方程的求解 首先需要说明的是完整的运动弹性动力分析( k i n e t o e l a s t o d y n a m i c a n a l v s i s ，简称k e d 分析) 是很费时的。这个时候就需要用一种不太费时、简单 的分析方法来代替k e d 分析。比较常用的方法是运动弹性静力分析 ( k i n e t o e l a s t o d y s t a t i c a n a l y s i s ，简称k e s 分析) 。首先方程( 2 2 0 ) 要改写为如 下形式： m o + c d + k u = p m d ，( 2 2 1 ) 其中，t ) ，为整体坐标系中的刚体加速度列阵。在进行k e s 分析时，略去弹性变 形的惯性力项m t ) 和阻尼项c d ，则方程变形为以下形式： k u = p m u ，( 2 - 2 2 ) 并且在进行坐标变换时的变换矩阵r 被看做是常数矩阵而不是时间和位置的函 数。这样经过处理的方程求解起来就很方便省时。实际上，方程( 2 2 0 ) 是一个振 动方程，而方程( 2 2 2 ) 形式上是一个静力平衡方程。所以我们把l s 分析称为“运 动弹性静力分析”，k e d 分析称为“运动弹性动力分析”。k e s 分析是把外力和 刚体惯性力在指定的位置上作为一组静载荷加在机构上来计算机构的变形。而 k e d 分析是把外力和刚体惯性力作为激振力来研究机构的振动情况。所以当机 构的转速很低并且对于输出要求不是很高的时候，我们用l s 分析来代替k e d 分析是有必要的。但是如果机构的转速很高，杆件质量又很低，同时对于机构的 运动学要求很精确，必须用k e d 分析。有些学者也研究过其他的方法来代替k e d 分析，比如文献【2 8 中作者提出一种用以求解弹性机构稳态解的新的迭代近似方 法q d a ，这种方法用求解代数方程组的方法代替了k e d 分析中求解微分方程的 复杂过程。为了更准确地反映出弹性四杆机构的运动规律，本文采用的是k e d 1 4 东华人学硕士学位论文2 平面弹性连杆机构的动力学模型 分析。下面是其具体分析过程。 在f + 口f 时刻，状态向量满足系统运动微分方程，即有： m u ( f + 口f ) + c u ( f + 口f ) + k u ( f + 口f ) = q ( f + 口f )( 2 - 2 3 ) - j 由于系统的动力学特性与机构位置有关，因此，上式中的系数矩阵都是机构 位置的函数。这是一个耦合的变系数二阶常微分方程组。解此类方程组的方法概 括起来主要有三种：振型叠加法、直接积分法和求解时变非线性振动方程的迭代 法。 直接积分法中有一种方法叫逐步积分法，它不需要求解方程的振型和频率， 因此这种方法应用起来比较方便。但是该方法的缺点是容易产生较大误差，有时 会出现数值不稳定现象，为了提高解的精度，必须使时间步长足够小才能达到我 们所需要的精度。 逐步积分法的基本思想是把时间离散化，只要使离散的时间点上满足方程就 行。本文所采用的是逐步积分法中的纽马克法。 根据拉格朗同中值定理，f + 口f 时刻的速度向量可表示为： u ( f + 口f ) = u ( f ) + u ( f ) 皿f( 2 - 2 4 ) 式中，t ) ( f ) 是在时间区间中的某一点的加速度向量。在纽马克法中近似假设 u ( f ) = ( 1 一，| ) u o ) + ，| u 0 + 口f ) ( 0 ，j 1 )( 2 2 5 ) 于是，式( 2 2 0 ) 化为： u ( f ) = u o ) + ( 1 一厂) u o ) 口f + ，u o + 口f ) 口f( 2 - 2 6 ) 由位移向量的一阶泰勒展开式，并采用同样的假设有： u ( f + 口，) = u ( f ) + d ( f ) 口f + 去d ( f ) 口f 2 = u ( f ) + d ( f ) 口f + ( 1 2 ) o o ) 里箬 ( o 2 1 )( 2 2 7 ) + 2 肿( 劬) 车 式( 2 2 6 ) 和式( 2 2 7 ) 都是纽马克的基本方程，其中7 和是根据所要求的精度和稳 定性确定的参数。 求解式( 2 - 2 6 ) 和式( 2 - 2 7 ) 然后代入式( 2 2 3 ) 整理后得到 l ( u ( f + 口f ) = q o + 口f )( 2 - 2 8 ) 式中 东华大学硕士学位论文 2 平面弹性连杆机构的动力学模型 k = k + m + 口l c q ( f + 口f ) = q o + 口f ) + m 以o u o ) + 以2 u ( f ) + 口3 u ( f ) + c 以l u ( f ) + “4 u ( f ) + 口5 u ( f ) 苴中 、1 1 厂 2 。万川l2 菌 口，：上溉：上一1 锡2 面，2 万叫 以。= 芳一，以，= 警c 丢一2 ， 解线性方程组( 2 2 8 ) 首先求出u ( f + 口f ) ，然后可根据下式求出速度和加速度矢量 d o + 口f ) 、t ) 0 + 口f ) ： t ) ( f + 口f ) = 以o 【u ( f + 口f ) 一u ( f ) 卜口2 d ( f ) 一口3 0 ( f ) ( 2 2 9 ) u ( f + 口f ) = u ( f ) + 以6 u ( f ) + 口7 u o + 口f ) ( 2 - 3 0 ) 式中 a 6 = 口f ( 1 7 ) 订7 = 徊f 当y 0 5 和= o 2 5 ( y + 0 5 ) 2 时，纽马克法是无条件稳定的，所以只要根据 需要选取适当的参数即可。 2 4 求解弹性连杆机构的动力学参数 2 4 1 运动副反力 将各单元的响应代入到相应的单元运动微分方程中就可以求得单元节点处 的约束反力。 下面以求解接地副a 处的副反力为例来说明求解的过程。首先从系统的稳 态响应中提取与单元1 所对应的广义坐标的各阶部分都取为0 ，其形式如下： u 1 = 【o ，o ，o ，u ，乩，u ，o 】 这样就获得了整体坐标下的单元1 的稳态响应，将各阶响应代入到整体坐标系下 的单元1 的运动微分方程中，就可求得单元1 的列阵f 1 ： f 1 = p 1 一q 1 + m 1 u 1 + c 1 u 1 + d 1 u 1( 2 3 1 ) 1 6 东华大学硕士学位论文2 平面弹性连杆机构的动力学模型 式( 2 3 1 ) 中m 1 ，c 1 ，d 1 ，p 1 ，q 1 分别为整体坐标系下单元1 的质量矩阵、阻尼矩阵、刚 度矩阵、广义力列阵和外载荷列阵，它们都是已知的。 求得列阵f 1 后，根据其元素与单元广义坐标的对应关系就可以求得所需的力 和力矩，值得说明的是，由于单元1 的一端接地，因此这一端的x 方向和y 方 向的广义坐标在系统运动微分方程中并没有出现，但是在单元运动微分方程中含 有这两个坐标，与这两个坐标所对应的力就是所要求的a 副x 方向和y 方向的 副反力，参考文献 2 8 】，具体的对应关系为： f = ：，心心心心心怠砖、 fff f a x f a yt _ 其中、e ，分别为a 副x 方向和y 方向的副反力，瓦为输入力矩。同样的 方法可以求得接地副d 处x 方向和y 方向的副反力和，。