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2 8 中等数学 2 0 1 4 年全国高中数学联赛辽宁赛区预赛 中图分类号：g 4 2 4 7 9 文献标识码：a 文章编号：1 0 0 5 6 4 1 6 ( 2 0 1 5 ) 0 5 0 0 2 8 0 6 一、选择题( 每小题5 分，共3 0 分) 1 已知 4u 曰u c = o ，b ，c ，d ，e ，f ， a n b = o ，b ，c ，d ，c a n b f l c 则符合题意的 4 ，曰，c 共有() 组 ( a ) 1 0 0( b ) 1 4 0 ( c ) 1 8 0( d ) 2 0 0 2 已知集合 s l = ( x , y ) i l 0 9 2 ( 1 + 戈2 + 广) l + l 0 9 2 ( x + y ) ， 并且集合 是= ( x , y ) i l o g + ；( 2 4 - x 2 + 广) - 2 + l o g 专( x + ，) 则j s ：与s 。的面积比为() ( a ) 2 ：1( b ) 4 ：1( c ) 6 ：1( d ) 8 ：1 3 已知a b c 的三边o 、b 、c 成等比数 列，口、b 、c 的对角依次为么a 、么b 、么c 则 s i n 日+ c 0 8b 的取值范围是( ) ( a ) + 譬】 ( b ) ( 1 ，厄 ( c ) ( 1 1 + 譬】 ida 1 ，在】 4 已知a b c 的三个内角为么a 、么b 、 么c 若 s i n4 + ，f c o s ，47 丁c 忑i 萧叫锄西 则s i n2 曰+ 2 c o sc 的最大值为() ( a ) 号( b ) 1 3 ( d ) 2 5 正项数列 口。 满足 j 一+ j 一+ 上：1 ( n z + ) ， + + = l n ) t g n t , + 1u n t t n + 2“n + i n + 2 o l + 口3 = 6 ， 口。、o ：、口。单调递增且成等比数列若s 。为 o 。 的前, 项和，则 s ： 的值为( ) ( 石 表示不超过实数戈的最大整数) 对于剩下的数a 。，口：，口。，接下来，证 明有2 1 种取法 事实上，由式，知口。 2 m ，2 m + 1 ， 即a 。有两种取值方式 以下对每个t ( 2 m 一1 ) ，当o 。，口。一l ， ，口( 这些数均不小于t + 1 + m ) 取定后，再 利用式，知口，取自集合 t + m ，t + m + l ，2 m + 1 ， 且不能取该集合中，口。一l “，o 这些元 素，故口：的取法数为 2 m + 1 一( t + m ) + 1 一( m t ) = 2 当a 。，a 。一l 一，o ：均取定后，o 。的取值 方式唯一确定，从而，根据乘法原理知血。， 口。一l ，0 1 的取法有2 1 种 以上表明，在符合题意的排列中，满足 口。+ 。= 1 的排列共有2 1 个类似地，满足 a 。+ 。= 2 m + 1 的排列也有2 一个 因此，当n = 2 m + 1 时，符合题意的排列 有2 1 + 2 1 = 2 “个 综上，当1 2 为偶数时，符合题意的排列恰 有1 个；当t l , 为奇数时，符合题意的排列恰有 n l 2 丁个 ( 顾鸿达刘鸿坤 熊斌李大元 叶声扬命题) 万方数据 2 0 1 5 年第5 期 2 9 ( a ) 53 6 8( b ) 53 6 7 ( c ) 53 6 3( d ) 53 6 2 6 已知直线z 与球0 有且只有一个公共 点p ，从直线z 出发的两个半平面a 、卢截球 0 的两个截面圆的半径分别为l 、播，二面角 a f j e i 的平面角为詈则球0 的半径为 () ( a ) 万( b ) 2 , h - ( c ) 湎( d ) 21 湎 二、填空题( 每小题5 分，共3 0 分) 7 若非零复数戈满足戈+ 土：1 ，则 20 1 4 1 戈+ 而2 8 不等式 竺二二_ 0 时，八戈) 0 ，并且对任意 m 、凡r ，均有 八，n + n ) = 以，n ) + 八凡) ( 1 ) 讨论函数八戈) 的奇偶性及单调性； ( 2 ) 设集合 a = ( z ，y ) i f ( 3 x 2 ) + 八4 y 2 ) 2 4 ， b = ( 戈，y ) i f ( 戈) 一八n ) ，) + 八3 ) = 0 ， c = y ) l f ( x ) = 拟严) + f ( a ) ) 且八1 ) = 2 若anb g 且anc 囝，试求 实数口的取值范围 1 4 ( 2 0 分) 如图2 ，锐角a b c 的外心 为0 ，直线b o 与a c 、c o 与a b 分别交于点 曰、c 直线日c 与a b c 的外接圆交于 点p 、q 若a p = a q ，证明：a b c 为等腰三 角形 a _ + _ + _ 船( 以+ ) = o 图1 图2 则过点c 且以a 、h 为两焦点的双曲线 1 5 ( 2 5 分) 在数列 o 。 中，已知口。= 2 ， 的离心率为 对于任意的p , q z + ，有 1 1 设a 为由任意1 0 0 个互不相同的正 + ，= + o ， 整数组成的集合，令( 1 ) 求数列 n 。 的通项公式 万方数据 中等数学 ( 2 ) 若数列 b 。 满足 b l b 2 b 3 b 4 a n2 丽一乏可+ 歹玎一三可扣一+ ( 一1 ) ”1 南( n z + ) ， 求数列 b 。 的通项公式 ( 3 ) 设c 。= 3 “+ a b 。( nez + ) ，是否存在 实数又，当1 7 , ez + 时，c 川 c 。恒成立? 若存 在，求实数a 的取值范围；若不存在，请说明 理由 1 6 ( 2 5 分) 设抛物线c ：y 2 = 2 p x ( p 0 ) ， 直线z 与抛物线c 交于4 、曰两点，联结a 及 抛物线顶点0 的直线与准线交于点b ，直线 b o 与准线交于点a ，且从与b b7 均平行于 戈轴 ( 1 ) 证明：直线z 过定点； ( 2 ) 求四边形a b b 7 a7 面积的最小值 参考答案 、1 d 如图3 ，集合a u buc 可分为七个互 不相交的区域，分别 记为，。，厶，7 已知ce 厶，元 素a 、b 、d 属于厶、，7 中的某一个区域，共 有8 种可能，元素e 、 图3 厂属于“，2 、厶、厶、，6 中的某一个区域，各有5 种可能，共有2 5 种可能 因此，符合条件的 a ，曰，c 共有2 0 0 组 2 c 由题意，知s ，表示圆内部( 包括圆周) ( 戈一1 ) 2 + ( y 一1 ) 2 1 ， 面积为7 c ； s ：表示圆内部( 包括圆周) ( 戈一2 ) 2 + ( y 一2 ) 2 6 ， 面积为6 兀 凼此，s 2 与s l 面积比为6 ：1 3 b 由已知及余弦定理得 口c = b 2 = a 2 + c 2 2 0 c c o sb 7 2 a c 一2 a c c o sb 则c 。s 曰i 1 因此，0 么b 詈 故s i nb + c o sb = 在s i n p 手) ( 1 ，在 4 c 庐丝鱼塑丝：! ：兰竺至 c o sa v 5 - s i na 1 一t a na t a n 要 - t a n 卜詈) j 么a + 詈= 篆j 么a = 手 因为2ab 十2 么c ：孥，所以， s i n2 b + 2 c 。sc = s i n ( 莩一2 c 1 + 2 c 。sc = 一c o s2 c 牟2 c o sc = 1 2 c o s 2 c + 2 c o sc = 一2 ( c 。sc 一号) 2 + 互3 2 3 i 当么c = 要时，上式等号成立 从而，s i n2 b + 2 c o sc 的最大值为睾 5 a 由已知得 a n + a 川+ a n + 2 = a n a 川a n + 2 于是，a l + a 2 + a 3 = a l a 2 a 3 而0 1 n 3 = 口；，故 a ；= a 2 + 6 j ( a 2 2 ) ( a i + 2 a 2 + 3 ) = o 万方数据 2 0 1 5 年第5 期 3 l 号a 2 = 2 由a ，、a ：、a ，成等比数列 ja i + 生：6j a i ：3 店 u l 又n 。、a ：、n ，单调递增，知a 。= 3 一怕 结合式得 a n + i + a n + 2 + a n + 3 = a n + l a n + 2 a n + 3 一得 ( a 。+ 3 一a 。) ( 1 一a n + l a 。+ 2 ) = 0 从而，a 。= a 。+ ，即 a 。 是以3 为周期的 周期数列 贝0n 20 1 4 = n 1 = 3 一s 故s 20 1 43 s 20 1 3 + 0 20 1 4 ：半( 6 + 2 ) + 3 一万 = 53 6 8 + ( 3 一万) 因此， | s ：0 1 4 = 53 6 8 6 r 由题意及球的对 称性，知图形的剖面 图如图4 所示 记0 1p 、0 2 p 分 别为两截面的半径， 设0 l p = 1 ，0 2 p = 3 ， 0 l0 = d 1 ，0 2 0 = d 2 ， 球的半径为r p 图4 则由题意及余弦定理得 f 研+ 1 = d i + 3 = r 2 ， h 2 弘2 d d 。s 詈= 1 + 3 - 2 万c o s 菩 f d j = 2 7 ， 【d ：= 2 5 因此，球的半径r = 2 刀 二、7 一1 由戈+ 土= 1 = 争戈= e 2 丁1 因此，戈20 1 4 ：e t 芈i = e t 故戈20 1 4 + 1 - 2 c 。s 警= _ 1 z j 8 【圳u ( 。，斟 显然，戈一号，z o 原不等式化简得 z 2 ( 8 x - 4 5 ) oj 戈 4 虿5 故一号z o 或o o 由以戈) 为奇函数并结合已知得 八戈2 一x 1 ) = 八x 2 ) + 八一戈1 ) = 厂( 戈2 ) 一八戈1 ) 0 从而，八戈) 在r 上为增函数 ( 2 ) 注意到， 以1 ) = 2 ，以m + 凡) = 八m ) + 八n ) 故以3 x 2 + 4 y 2 ) 2 4 = 1 2 厂( 1 ) = 以1 2 ) j a = ( 戈，y ) 13 x 2 + 4 y 2 1 2 由八戈) 一八吖) + 八3 ) = 0 j 八x 一町+ 3 ) = 八0 ) 与b = ( 戈，y ) lx 一口，+ 3 = o ； 由火石) = 去7 c 。( n z + ) 故3 “+ 1 + ( 一1 ) “( 2 ”+ 2 + 2 ) a 3 “+ ( 一1 ) 8 1 ( 2 “+ 1 + 2 ) a 贝4 ( 一1 ) “( 2 4 + 2 + 2 ) 一( 一1 ) “一1 ( 2 8 + 1 + 2 ) a 3 “一3 “+ 1 = 一2 3 “ 于是，( 一1 ) “( 3 2 8 “+ 4 ) a 2x 3 4 当珏为正偶数时，恒有 ( 3x 2 “+ 1 + 4 ) a 一2x 3 4 j a ( _ 志) 。 l3 阿+ 2 r1 一丽 当凡为正奇数时，恒有 一( 3x2 “+ + 4 ) a 一2x 3 “ j a c 。恒成立 1 6 ( 1 ) 设直线f 的方程为y = k x + m ， 点a ( ，y a ) ，b ( 戈矗，y 日) 由题意得 f y = k + m ， l y 2 = 枷 将式代人式得 严一+ 警- o 由韦达定理知 ) ，门b k ，y a y 日= 警 于是肌2 筹 又直线a b 的方程为y = 丛菇，因为点b 在准线上，所以，点b7 的纵坐标为 = * 铲一筹 由a a 与b b 均平行于算轴，知y b = y 扩 从而，警：一p f y a 姆a三咒a 又因为点a 在抛物线c 上，所以， n 2 = 跏 将式代a m 得m ：一譬 故直线z 的方程为y = 尼( 戈一号) 因此，直线2 过定点f ( 号，o ) ( 2 ) 由抛物线的定义及性质得 i a a 7 i = i a f l ib b i