（基础数学专业论文）均匀三角多项式b样条性质研究.pdf

摘要 均匀三角多项式b 样条是把b 样条的某些多项式用三角函数代替而得到，它 是对b 样条的发展在曲线曲面设计中有广泛的应用本文对比研究均匀三角多项 式b 样条与基数多项式b 样条的性质指出它们相同或相类似的性质然后给出 均匀三角多项式b 样条的几个新的性质：均匀三角多项式b 样条可以构造l 2 ( r ) 中的一个闭子空间链，以及它的两尺度方程和基函数的性质 基数多项式b 样条的性质决定了它可以用来构造小波基，样条小波基是小波 分析中一类重要的小波基多分辨分析是小波分析的核心概念构造小波的常规方 法就是先用尺度函数构造出多分辨分析框架，然后再进一步构造小波基均匀三角 多项式b 样条具有与b 样条相类似的性质因此在本文中第三部分，探讨了用它 构造多分辨分析的可行性问题非常遗憾的是，由于它的基函数用三角函数替换了 多项式函数，而不满足多分辨分析伸缩性的条件而弥补这个缺点构造的闭子空间 不满足多分辨分析的其它条件，因此得到否定的结论不能使用与多项式b 样条相 类似的方法用均匀三角多项式b 样条构造多分辨分析 关键词：均匀三角多项式b 样条；基数b 样条；多分辨分析；小波基 a b s t r a c t s o m eb a s ef u n c t i o n so fp o l y n o m i a lb s p l i n ea r er e p l a c e db yh y p e r b o l i cf u n c - t i o n s w h i c hf o r m su m f o r mh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lb - s p l i n e i ti st h ed e v e l o p m e n t o ft h eb s p l i n e i th a saw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o ni nd e s i g n i n gc u r v e sm a ds u r f a c e s t h i sp a p e rh a sr e s e a r c h e dt h ep r o p e r t i e so fi tb yc o m p a r i n gw h i tt h ep r o p e r t i e so f b a s i cd i g i t a lp o l y n o m i a lb s p l i n e l i s tt h es a l n eo rs i m i l a rp r o p e r t i e so ft h e m a n d t h i sp a p e rh a sg e ts o m en e wp r o p e r t i e so fu n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lb s p l i n e i th a sc o n s t r u c t e daq u e u eo fn e s t e dc l o s e ds u b s p a c e sb yu n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y - n o m i a lb - s p l i n e ，a n dh a sr e s e a r c h e dt h et w o - s c a l er e l a t i o n sa n dt h en a t u r eo fb a s e f u n c t i o n so fi t b a s i cd i g i t a lb - s p l i n eh a sb e e nu s e dt ob u i l dw a v e l e tb a s e s s p l i n ew a v e l e t i sv e r yi m p o r t a n ti nw a v e l e ta n a l y s i s m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si st h ec o r ec o n - c e p to fw a v e l e ta n a l y s i s i ti sag e n e r a lm e t h o dt ob u i l dw a v e l e tb a s e sb yu s i n g s c a l ef u n c t i o nt oc o n s t r u c tm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，a n dn e x tt oc o n s t r u c tw a v e l e t b a s e s s o ，i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，ih a v ed i s c u s s e dw h e t h e ri tw a sp o s s i b l e t oc o n s t r u c tm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i sb yu n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lb s p l i n e u n f o r t u n a t e l y , b e c a u s eo ft h eb a s e so fu n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lb s p l i n ea r e r e p l a c e db yh y p e r b o l i cf u n c t i o n s ，i td o e s n tm e e tt h es c a l a b i l i t yc o n d i t i o n s o ，i t c a n tb u i l dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a n y w a y , ic a n tu s eu n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y - n o m i a lb s p l i n et oc o n s t r u c tm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i su s i n gt h es i m i l a rm e t h o do f b a s i cd i g i t a lb s p l i n e k e yw o r d s ：u n i f o r mh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lb - s p l i n e ；b a s i cd i g i t a lb s p l i n e ； m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；w a v e l e tb a s e s i i 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了 明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 刘芷砍 学位论文版权使用授权书 日 期：沙d 占瞬箩目劲习 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的论 文在解密后使用本授权书 一学位论文作者签名：刘茁形己 指导教师签名： 日期： 第一章引言帚一早，ii 由于n u r b s ( 非均匀有理b 样条) 既可以表示自由曲线曲面，又可以表示一些 传统的解析几何模型，如圆锥曲线等，而成为现行的c a d c a m 造型系统的一个 标准然而n u r b s 在形状设计和分析中存在一些局限性比如：n u r b s 模型不 能精确表示超越曲线，如摆线，螺旋线等，而这些曲线在c a d c a m 中非常有用 再者，有理曲线，曲面表示形状时除了控制顶点外，还需要额外的参数，即每个控制 顶点处的权因子，而人们对权因子的选取以及它们对形状的影响还不是很清楚 为了发扬n u r b s 模型的优点，克服其缺点，避免有理表示形式，许多学者提 出了曲线曲面造型的新模型在这些模型中，大多数把b 样条的某些多项式用非 多项式来代替而得到张纪文提出了由 s i i l t ，c o s t ，t ，1 ) 的线性组合得到的c - b 样 条曲线c - b 样条曲线作为三次b 样条曲线的一个推广，它与传统b 样条曲线有 许多相似的性质c - b 样条曲线还可以精确地表示椭圆和圆弧段，这一性质使得 其可能成为c a d c a m 系统中几何造型的一个重要工具，然而c b 样条只能表示 一次多项式曲线( 6 】，【7 】) 吕勇刚给出了空间 s i n t ，c o s t ，t 3 ，t 扣4 ，t ，l 上一 类广义样条的显示构造方法这类样条具有与b 样条相类似的性质，它可以表示 ( k 一3 ) 次多项式曲线，而c b 样条只是其k = 4 时的特殊情况( 【1 】) 称 s i n t ，c o s t ，t k 一，t 4 ，t ，1 ) 的线性组合得到的多项式为k 阶三角多项 式同时称由分段的k 阶三角多项式组成的曲线是k 阶三角多项式样条分段结点 等距的时候称为k 阶均匀三角多项式样条 记t t = i a ( i = 0 ，4 - 1 ，土2 ，) ，( 0 口7 r ) 为对参数t 轴做均匀分割得到的一 组结点，其中q 为步长( 0 a 7 r ) 记在t i ( i = 0 ，士1 ，士2 ，) 处达到( k 一2 ) 连 续的分段k 阶三角多项式的全体为q 七口显然吼o 关于通常的函数加法和数乘运 算是封闭的，即q 南，a 是一线性空间【1 1 给出了k 3 时，q 南，a 的一组基由于，口 中基的性质与b 样条基的性质相类似，称q 七口上的基为三角多项式b 样条基 三角多项式b 样条基函数是这样构造的：在q 2 a 上定义一组函数： f n 0 2 q ( t ) = 【 2 ( c o s l 口- d s i nt - 丽品面s i n ( 2 a t ) ， 1 0 t 口； o t 2 a ； ( 一，o t ) u ( 2 - ，) 均匀三角多项式b 样条性质研究 i ，2 ，口( t ) = n o ，2 ，o 一 a ) ( i = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，) 当k 3 时，胍，七，口( t ) = 石1 丘。凡，( 南一1 ) ，a ( x ) d x ( k 3 ) ，( i = 0 ，4 - 1 ，4 - 2 ，) 由于b 样条自身的性质非常适合用来构造多分辨分析进而构造小波基，而均 匀三角多项式b 样条是对b 样条的发展和延伸，具有与b 样条相类似的性质因 此自然会联想到这样的问题：三角多项式b 样条的哪些性质与一般的多项式b 样 条相同? 哪些不同? 不同的原因是什么? 用三角多项式b 样条能否构造小波基? 本 文将就上述问题展开讨论 本文的结构如下： 在第二章，总结讨论均匀三角多项式b 样条与一般的多项式b 样条相同或相 类似的性质并进一步探讨出均匀三角多项式b 样条几个新的性质：均匀三角多 项式b 样条可以构造l 2 ( r ) 中的一个闭子空间链，以及它的两尺度方程和基函数 的性质 在第三章，研究用均匀三角多项式b 样条构造多分辨分析的可能性由于均匀 三角多项式b 样条本身的特性，用它构造出的闭子空间链不满足伸缩性因此，简 单地使用一般多项式b 样条构造多分辨分析的方法来用均匀三角多项式b 样条构 造多分辨分析是困难，不可实现的 为方便计，我们将一些必要的预备知识陈述如下： 1 平方可积函数空间l 2 ( r ) 空间 任意的，( z ) l 2 ( r ) ，有丘i ， ) 1 2 如 + o o ( 1 t ) 2 l 1 ( r ) 函数空间 任意的，( z ) l 1 ( r ) ，有丘f f ( x ) l d x + 3 r i e s z 条件 对于任一函数矽( z ) l 2 ( r ) 和常数0 a b ，下面两个叙述等价： ( 1 ) ( 一k ) ：k z ) 满足具有r i e s z 界a 与b 的r i e s z 条件，即，对于任一 ) z 2 a | i c 七i i 磊| f 墨一c k 西( 一七) l i ；b i i c 4 1 1 z = ( 2 ) 的f o u r i e r 变换满足 a 芒一i i 5 ( z + 2 k t r ) 1 2 b 几乎处处成立( 【1 8 】) 一2 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 4 平方可和序列空i 司1 2 任意的序列r 2 2 营+ 一o oi r l 2 。o 5 【x 】表示不大于x 的最大整数 6 f o u r i e r 变换 若f ( t ) 在( 一，。) 上满足： ( 1 ) ，( t ) 在任一有限区间上满足d i r i c h l e t 条件； ( 2 ) ，( t ) 在无限区间( 一，o o ) 上绝对可积( 虑i f ( t ) d t + o o ) 记 ，( u ) = 虑m ) e - w t d t 则 m ) = 去皮，( u ) 一。d w 称前一个式子为，( t ) 的f o u r i e r 变换；称后一个式子为，) 的f o u r i e r 逆变换 ( 1 7 】) 7 自相关函数 函数f ( z ) = 仨，( z + 可) 丽称为f l 2 ( r ) 的自相关函数 8 p a r s e v a l 恒等式 描述在l 2 ( r ) 中函数与它们的f o u r i e r 变换之间关系的p a r s e v a l 恒等式 = 去 ，g l 2 ( r ) 其中 = 嘉后丌f ( x ) 一g ( x ) d x ( 【2 l 】) 一3 一 第二章均匀三角多项式b 样条的性质研究 均匀三角多项式b 样条是对多项式b 样条的发展具体的改造方法是用三角 函数替换多项式函数构造基函数本部分对比研究均匀三角多项式b 样条与均匀 多项式b 样条的性质为方便计，以三阶均匀三角多项式b 样条为条件研究对于 其它阶的均匀三角多项式b 样条也可以用同样的方法研究得到相类似的性质 均匀三角多项式b 样条基函数表达式： i一可鬲丽o t s i n t ，0 t q ； o ，2 口( 亡) = 一南s i n ( 2 0 t 一芒) ， qs 亡2 a ； 1 0 ， ( 一o 。，q ) u ( 2 q ，c o ) 批，2 ，q ( 亡) = n o ，2 ，口 一i a ) ( i = 0 ，4 - 1 ，士2 ，) 当k 3 时，批，k ，n ( t ) = 苎y t - 口m ，( 蠡一1 ) ，q ( z ) 如( k 3 ) ，( i = 0 ，土1 ，士2 ，) 因此，通过计算得到：n o ，3 ，a ( ) 的表达式 i 可南( c o s 亡一1 ) ，0 t q ； _ 骞嚣二鬈嚣菩2 a 吲 0 ，t ( 0 ，3 a ) ( 【1 】【2 l 】) 这说明，均匀三角多项式b 样条与均匀多项式b 样条一样，具有局部支集性 引理2 1 3 芒一( z ) = 1 ，x r t m ，七( 亡) = 1 ，t r ( 【1 】【2 1 】) 这说明，均匀三角多项式b 样条与均匀多项式b 样条一样，具有归一性 引理2 1 4( z ) 在整个参数空间上为仇一2 阶连续m ，南( 亡) 在整个参数 空间上为( k 一2 ) 阶连续( 【1 】1 2 2 】) 这说明，均匀三角多项式b 样条与均匀多项式b 样条在连续性方面一致 引理2 1 5 m ，k ( i a + k a t ) = m ，知( t q + t ) ，亡【0 ，k a 】m m ( - 署- i - z ) = ( 筹一z ) ，x r ( 【1 】【2 2 】) 这说明，均匀三角多项式b 样条与均匀多项式b 样条在对称性方面一致 引理2 1 6 砌_ ( z ) = m m 一1 ( z ) 一朋r m 一1 ( z 一1 ) 巩，：( t ) = 昙( v ：c ，七一1 ( t ) 一 代- t - i ，七一l ( t ) ) ( 【1 】【2 1 】) 这说明，均匀三角多项式b 样条与均匀多项式b 样条基函数的导数具有相类 似的形式 2 。2 均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线相类似的性质 整个参数空间上的均匀三角多项式b 样条曲线如下定义：记定义在【a ，6 】上 的k 阶均匀三角多项式样条空间为q 七，q 【0 ，6 】不妨设a = k a ，b = m + 1 ) q ，显然 n 1 ，七，口( 芒) ，n 2 口( t ) ，以，知，a ( t ) ( 礼k ) 是空间q 七，。【o ，6 】的一组基( 【1 】) 因此利用 基函数m ，k ，口( t ) ，( i = 1 ，2 ，几) 可以将q 七，口【口，6 】中的曲线表示如下： p k ( t ) = 坠1 只m 七t a ( t ) ，k a t ( 佗+ 1 ) 口， n k 一5 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 其中只( i = l ，2 ，n ) 为控制顶点，p = 【只，p 2 ，r 】为控制多边形 m 次多项式b 样条曲线方程可写为： p m ( z ) = 墨1 唬必，m ( z ) 其中也( i = 1 ，2 ，佗) 为控制项点，又称德布尔点顺序连成的折线称 为b 样条控制多边形舰，m 0 ) ( i = 1 ，2 ，礼) 称为多项式b 样条基函数， 其中每一个称为b 样条它是由一个称为节点矢量的非递减参数x 的序列： x ：z 1 x 2 z n + m + 1 所决定的m 次多项式样条 引理2 2 1均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都具有几何不变 性和仿射不变性 曲线曲面的几何不变性是指它们的数学表示及其所表达的形状不依赖于坐标 系的选择或者说在旋转与平移变换下不变的性质其中的旋转与平移变换仅是仿 射变换中保持形状不变的一种刚性变换仿射变换还包括其它的变换，如比例与剪 切变换( 这时形状就发生了变换，那是生成图形所需要的) 具有归一性的基表示的 曲线不仅具有几何不变性，而且具有仿射不变形( 【2 3 0 也就是说，想要获得经仿射 变换后( 形状可能发生了改变) 的表示，只需对原表示中的系数矢量执行同样的变 换即可( 【1 】，【2 2 】) 引理2 2 2均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都具有较强的凸 包性它们的凸包都是定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集( 【i i ，【2 2 1 ) 这是由的均匀三角多项式b 样条基与基数b 样条基的非负性和归一性得到 的这一性质确定了均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线的所在范围 如果两个相交元素的凸包不相交，可以肯定它们不相交 引理2 2 3 均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都具有局部性质 m 次b 样条曲线上参数为z 【x t ，x 件1 】的一点p ( z ) 至多与m + 1 个控制顶点 d a j = i m ，i m + 1 ，i ) 有关，与其他控制顶点无关；移动该曲线上的第i 个 控制顶点也将至多影响到定义在第i 个m 次b 样条支撑区间( 翰，而+ m + 1 ) 上的那 部分曲线的形状对曲线的其余部分不发生影响( f 2 2 1 ) 类似地，均匀三角多项式b 样条曲线上，改动一个控制顶点，曲线上最多只有 2 ( 2 k ) 段曲线的形状发生变化，而曲线的其余部分不受影响 一6 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 引理2 2 4均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都具有对称性 以b ，b ，r 为控制顶点的与以r ，r 一1 ，p 1 为控制顶点的k 阶三角 多项式b 样条曲线是同一条曲线，但方向相反( 【1 】) 即： 鍪1 只批，k ( i a + t ) = 翟l r i 批，k ( i o t + 七q t ) t 【0 ，尼q 】 类似地，有以d 1 ，d 2 ，厶为控制顶点的与以厶，厶一1 ，d 1 为控制顶点的k 阶三角多项式b 样条曲线是同一条曲线，但方向相反 引理2 2 5 均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都具有变差减小 性 变差减小性指的是任一平面与平面均匀三角多项式b 样条曲线或者平面基数 b 样条曲线的交点说不会超过它与控制多边形的交点数但包含整个控制多边形 的平面除外这一性质导致了如下的凸性定理：如果平面均匀三角多项式b 样条 曲线或者基数b 样条曲线的控制多边形是凸的，那么所定义的均匀三角多项式b 样条曲线或者基数b 样条曲线也是凸的( 【l 】，【2 2 】) 引理2 2 6均匀三角多项式b 样条曲线与基数b 样条曲线都满足保凸性 即，如果控制多边形是凸的，那么所产生的曲线也是凸的 2 3 均匀三角多项式b 样条几个新的性质 2 3 1 均匀三角多项式b 样条可以构造l 2 ( r ) 中的一个闭子空间链 定义2 3 1对于每个正整数仇，m 阶具有节点序列z 的基数样条空间是 这样所有函数f c m 一2 的集合，f 对任意区间( k ，七+ 1 ) ，k z 属于7 1 m 一1 ，即 fk 七+ 1 ) 7 r m - 1 ，七z ( 2 1 】) 取nl 2 ( r ) 令咿表示它的l 2 ( r ) 闭包即盱是包括nl 2 ( r ) 的 l 2 ( r ) 最小闭子空间记作： 咿= c l o s l 2 ( r ) 一7 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 由于( z ) 具有紧支撑，故m m ( x ) 的整数平移的集留= ( z k ) ：k z ) 在咿中即历c 盱，留是咿的一组基 本文主要考虑节点序列2 一j z ，j z 的基数样条空间瓯当j l 五时，具有 节点序列2 - j l z 的一个样条函数还是具有节点序列2 一力z 的个样条函数我们有 一个双向无限的基数样条空间的嵌套序列 c 2c 南1cs oc 砩c 锯c 其中器= 类似于w 的定义町表示瓯f 3l 2 ( r ) 的l 2 ( r ) 闭包得到l 2 ( r ) 的基数 样条闭子空间的一个嵌套序列 c 鹏c 嵋c 咿c 胛c 吩c 而且 2 t m , , ( 2 j x 一七) ：k z ) 是町的一组基 均匀三角多项式b 样条具有相类似的性质以三阶的情况为例证明 定理2 3 1用三阶均匀三角多项式b 样条可以构造l 2 ( r ) 中的一个闭子空 间列( k ，g z ) ，满足 cn 2cu 1ckckckc 且( m ，3 ，2 一垴( t ) ，i z 】- 是k 的一组基 证明：令k ，口表示q 3 ，n n 2 ( r ) 在l 2 ( r ) 中的闭包， ，口= c l o s l 2 ( r ) 由均匀三角多项式b 样条的性质可知，n o 。3 ，口( t ) 具有有限支撑【o ，3 a 】，而且有 0 ，3 ，口( t ) l i 号黼i + i 号黼i + i 器i + o 。 所以有i n 0 3 口( t ) 1 2 。，故而有厶i n o 3 ，a ( ) 1 2 + o o 一8 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 即肛，3 ，n ( t ) l 2 ( r ) ，( i z ) 因而知 趣，3 ，a ( z ) ，i z ) 是，a 的一组基 通过对步长o l 作二进分割来构造闭子空间链 空间q 3 ，a 是在i 口，( i z ) 处达到1 阶连续的三角多项式b 样条全体现取步 长为；o l ，得到空间q 3 暑a q 3 癌a 是在 o z ，0 z ) 处达到1 阶连续的三角多项式b 样条全体所以 q 3 ，qcq 3 ， 口 v 3 ，扣= c l o s l 2 ( r ) 则，qc ，妒 同样地，可知m ，3 ，；a 是，；q 的一组基 依次地，取新步长为万1 a ，o z ) ，可得到一列线性空间q 3 ，2 - o z ) 满 足包含关系 cq 3 ，2 2 口cq 3 ，2 acq 3 ，qc q 3 巷口cq 3 ，壶qc 因此得到满足包含关系的一列闭子空间 巧= k ，2 一垴= c l o s l 2 ( r ) ，0 z ) cv - 2cv - 1cv oc c 且 m ，3 ，2 一坫( 亡) ，i z ) 是k 的一组基 2 3 2 均匀三角多项式b 样条两尺度方程的性质 l 2 ( 酞) 空间中的嵌套序列岬，j z 的任何两个相邻的子空间之间有一定的 关系对于每个歹，因为( 2 z ) 町，町c 唿1 ，有 m m ( 2 x ) = 芒一厶，七朋- m ( + 1 z k ) 其中 r ，知：k z ) 是平方可和序列空间2 2 中的某个序列 经过计算有 = 旧+ 1 瓯 0 k m ； 七( 一o 。，0 ) u ( m ，o o ) 一9 一 均匀三角多项式b 样条性质研究 所以( z ) = 罂0 2 一m + 1 镌( 2 z k ) 这称为m 阶基数b 样条的两尺度关系 均匀三角多项式b 样条具有相类似的性质以三阶的情况为例证明 定理2 3 2 o 3 ，a ( t ) 的两尺度方程的系数序列是平方可和序列 证明：n o ，3 ，a ( ) 的表达式是： n o ，3 ，。( t ) = 可南( c o s t 一1 ) ，0 t q ； 号嚣兰蓑寄c o s t + 穹精s i n t + 丽c 0 6 ，a t 2 a ； 可是岛s i n 亡+ 面躺c o s 亡+ 玎f 丽1 ， 2 a t 3 q ； 0 ，( 一，0 ) u ( 3 q ，o o ) 由此可得到0 ，3 ，a ( t ) 的表达式： o ，3 a ( t ) = 不南面( c o s t 一1 ) ， 舞c o 坛s i n ，i a 呷+ s 釉i n a 咖t + 睾， 一s i n 涎- s i n t + 生c o s t + 丽1 一c 0 2 ( c 0 6 口- 1 ) i n 2 ( c 0 6 c 。- - 1 ) ， 一s + c + 丽一， 0 t 互i u ，o ；q t o r ； a ts 豆3 u ，o ( 一，0 ) u ( 2 q ，o o ) m ，3 ，a ( t ) ，i z ) 是k ，口的一组基， m ，3 ， a ( ) ，i z ) 是k ，百1 a 的一组基 k ，口k ，喜q 那么存在常数只，( i z ) ，使得0 3 a ( ) = i 只m ，3 ，。( t ) 由于o 3 a ( t ) 的支撑区间【0 ，3 q 】，所以i = ( - 2 ，- 1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 对于其余 的i 值玑3 吾a 三0 ，t 【0 ，3 a 】 o ，3 ，a ( 亡) = p 2 - 2 ，3 ， a ( 亡) + 只1 - 1 ，3 ，口( t ) + r o ，3 ，扣( ) + p 1 l ，3 ， 口( t ) + 马2 ，3 ， q ( ) + b 3 ，3 ，；口( t ) + 只4 ，3 ， 口( t ) + b 5 ，3 ，扣( 亡) 9 0 , 3 , a ( 亡) 为轴对称图形对称轴为z = 2 q ，所以有 n 0 ，3 口( ) = n o ，3 ，口( 3 a t ) 川3 。( t ) 与3 3 癌口( t ) 关于直线z = l q 也是对称的所以有： 一1 0 均匀三角多项式b 样条性质研究 一 当t 【0 ，互3 q 】时， m ，3 ，q ( t ) = 3 艄 a ( 3 q t ) o ，3 ，q ( 亡) = p - 2 - 2 ，3 ，a ( t ) + p 1 札1 ，3 ，a ( t ) + 岛0 ，3 ，口( t ) + p 1 1 ，3 ， 口( 亡) + b 2 ，3 ，a ( t ) 有0 ，3 ，口( 3 a 一亡) = p _ 2 5 ，3 ， q ( 3 a t ) + p - 1 4 ，3 ， 口( 3 a t ) + 岛3 ，3 ，a ( 3 a t ) + p 1 2 ，3 ，丢a ( 3 q t ) + 岛1 ，3 ，；a ( 3 q 一亡) 当t 【0 ，2 q 1 时，( 3 q t ) 【i 3 q ，3 a 】 即有t 【2 q ，3 q 1 时， 0 ，3 ，口( t ) = p - 2 n 5 ，3 ， q ( ) + p - i n 4 ，3 ，q ( t ) + 昂3 ，3 ，；口( t ) + 只2 ，3 ，a ( 。) + 恳1 ，3 ， a ( 亡) 又由于此时有， n o ，3 ，n ( t ) = p 5 5 ，3 ，吾q ( t ) + 只4 ，3 ，；a ( t ) + 昆3 ，3 ， 口( ) + 易2 3 q ( 亡) + p 1 1 ，3 ， a ( 亡) 因为 川3 ，；i 。( 亡) l 2 1 ，2 ，3 ，4 ，讣) 为线性无关的，所以有 p _ 2 = p 5 ，p _ 1 = p 4 ，p o = p 3 ，只= p 2 当t 【0 ，互1 q 】时， 即只= p 3 一， t - 2 ，- 1 ，4 ，5 o ，3 ，a ( t ) = 尸- 2 - 2 ，3 ， a ( t ) + p - 1 _ l ，3 ， a ( 亡) + 昂o ，3 ， a ( t ) - 南( c o s 亡一1 ) = p - 2 丽如】+ p _ 【搦c 。s 【硒1 ( c 。s 亡一1 ) 】 解得只2 = 0 ，卫1 = 0 ，p o2 丽币1 两； n o ，3 ，q ( t ) = p 1 l ，3 ， 口( 亡) + 晶0 ，3 ， 。( t ) + b l ，3 ，口( t ) 丽b ( c 。s 亡一1 ) = p _ 1 l 2 ( 唧s i n ；q a 面s i n ( t + q ) + 南c 。s ( 件i q ) 丽b 1 + p o 【糍c 训+ 耥s i n + 乖c 0 8 - g t 】+ 只 【南c o s ( ( t 一 q ) 一1 ) l 一1 1 一 + 均匀三角多项式b 样条性质研究 解得p 1 = 综上可得p 一2 = p 1 = p 4 = p 5 = 0 p 02p 32 币莉1 p 1 = p 2 = 只li 一2 ，一l ，0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ) 均为有界值因而满足li p , 1 2 0 和b = 1 的一个l u e s z 基( 【2 1 】) 均匀三角多项式b 样条具有相类似的性质以三阶的情况为例证明 引理2 3 4对于任意的自然数k ，c o sk x 均可由 表示k 为偶数时，c o s k x 只有偶次项，末项为( 一1 ) c o s x 的一元k 次多项式 k 为奇数时，c o sk x 只 有奇次项，末项为- - 1 ) 字七c o s z c o s k x 前三项的系数为口1 = 2 ( 七一1 1 ， 0 2 = 一k 2 伪一，a 3 = k ( k 一3 ) 2 ( 七一6 1 ，( k 3 ) 证明： k = 1 时，c o sz = c o s x k = 2 时，c o s2 x = 2c o s x 2 1 k = 3 时，c o s3 x = 4 c o s x 3 3 c o s x k = 4 时，c o s 4 x = 8 c o sx 4 8 c o sx 2 + 1 s i n2 x = s i n z 2 c o s z s i n 3 x = s i n x ( 4c o s x 2 1 ) s i n 4 x = s i n x ( 8 c o s x 3 4 c o s x ) k = 5 时，c o s5 x = 1 6 c o s x 5 2 0c o s x 3 + 5 c o s x 8 i n 5 x = s i n x ( 1 6 c o s x 4 1 2 c o s x 2 + 1 ) k = 6 时，c o s6 x = 3 2c o s x 6 4 8c o s x 4 + 1 8c o s x 2 1 一1 2 均匀三角多项式b 样条性质研究 s i n 6 x = s i n x ( 3 2 c o s x 5 3 2 c o s x 3 + 6 c o s x ) 当k = f 为偶数时，假设 c o s l z ：2 ( 1 1 ) ( c o s z y 1 2 ( 1 3 ) ( c o s x ) ( 。一2 ) + l ( 1 3 ) 2 ( f 一6 ) ( c o s x ) ( 1 - 4 ) + o k 一6 ) ( c o s x ) ( 2 6 ) + + a 2 ( c o s x ) 2 + ( 一1 ) 壶 s i n i x = s i n x 【2 ( t 一1 ) ( c o s z ) ( 一1 ) 一( z 一2 ) 2 ( f 一3 ( c o s z ) ( f 一3 ) + ( f 一3 ) ( z 一4 ) 2 q 一6 ( c o s z ) ( f 一5 ) + 6 f 一7 ) ( c o s x ) ( 一7 ) + + ( 一1 ) 一1 z c o s z 】 当k = f + 1 时 c o s ( 1 + 1 ) x = c o s l x c o s x s i n l x s i n x ：2 ( t 一1 ) ( c o s z y + 1 一1 2 ( 1 3 ) ( c o s z ) ( 。一1 + l ( 1 3 ) 2 ( 1 6 ( c o s z ) ( 一3 ) + 七一6 ) ( c o s z ) ( 一5 ) + + 口2 ( c o s z ) 2 - i - ( - 1 ) c o s x 一( s i n x ) 2 【2 0 一1 c o s x ) o 一1 一( z 一2 ) 2 ( t 一3 ( c o s z ) l 一3 ) + q 一3 ) ( z 一4 ) 2 u 一6 ( c o s z ) ( f 一5 ) + 域l 一7 ) ( c o s z ) ( 一7 ) + + ( 一1 ) ( ；一1 ) j c o s x ：2 ( 1 1 ) ( c o sx ) 1 + 1 一1 2 ( 1 3 ) ( c o sx ) ( 一1 + l ( 1 3 ) 2 ( 1 6 ) ( c o sz ) ( f 一3 ) + 口一6 ) ( c o s x ) ( 。一5 ) + + 口2 ( c o s z ) 2 + ( 一1 ) ；c o s x - - 【1 一c o s x ) 2 】【2 一1 ( c o s z ) 一1 一 ( 2 2 ) 2 ( 1 3 ( c o s z ) “一3 + ( z 一3 ) ( z 一4 ) 2 ( 1 6 ) ( c o s z ) ( f 一5 ) + 6 ：l - t ) c o s x ) ( 一7 + + ( 一1 ) ( 一1 ) 1 c o s x ：1 2 ( t 1 ) - 4 - 2 u 一1 】( c 0 8z ) 。+ 1 一p 2 ( 1 3 + 2 ( 1 1 + ( 2 2 ) 2 ( f 一3 ) 】( c o sz ) 卜1 + 【l ( 1 3 ) 2 ( t 一6 + ( 2 2 ) 2 0 一3 + ( 1 3 ) ( 2 4 ) 2 ( 1 6 】( c o s z ) 。一3 + u a l ( + 七一1 6 ) c o s x ) 。一5 ) + + a 1 1 + 1 ) c o s x ) 3 + 【( 一1 ) 一( 一1 ) 一1 ) f 】c o s x ：2 1 ( c o s x ) l + l 一( 1 + 1 ) 2 “一2 ( c o s z ) 2 1 + ( 1 2 ) ( 2 + 1 ) 2 ( 1 5 ) ( c o s z ) 。一3 + u a l ( + k 1 5 ) ( c o sz ) ( 一5 ) + + o + 1 c o sx ) 3 + ( 一1 ) ；( z + 1 ) c o s x 当k = f 为奇数时，假设 c o sl z ：2 ( t 一1 ) ( c o sz ) l 1 2 ( t 一3 ) ( c o sz ) ( 。一2 + l ( t 一3 ) 2 ( f 一6 ) ( c o sz ) ( f 一4 ) + a l k - e ) ( c o s z ) ( 2 6 ) + - 4 - a a ( c o s x ) 3 + ( 一1 ) 警c o s x s i n l x ：s i n x 【2 ( t 一1 ) ( c o s z ) ( 1 一1 ) 一( z 一2 ) 2 “二3 ) ( c o s z ) ( 1 3 ) + ( 2 3 ) ( 2 4 ) 2 ( t 一6 ) ( c o sz ) “一5 ) + b l , - 7 ) ( c o sz ) ( 一7 + + ( 一1 ) 掣】 当：c + 1 时 c o s ( 1 + 1 ) x = c o s f z c o s x s i n i x s i n x = 2 ( z 一1 ) ( c o s x ) 1 一1 2 ( 一3 ( c o s z ) ( 一1 + t ( t 一3 ) - 2 ( t - 6 ) ( c o s z ) ( 1 - 3 ) + n l ( 七一6 ) ( c o s z ) ( f 一5 ) + + 。3 ( c o s x ) 3 + ( 一1 ) 警l ( c o s x ) 2 一( s i n x ) 2 眇1 c o s x ) 一( f 一 1 3 - 均匀三角多项式b 样条性质研究 2 ) 2 ( 一3 ) ( c o s z ) ( 一3 + ( z 一3 ) ( z 一4 ) 2 ( 。一6 i ( c o s z ) ( 。一5 ) + 研f 一7 1 ( c o s z ) ( 一7 + + ( 一1 ) 掣1 = 2 ( 一1 ) ( c o s z ) + 1 一c 2 ( 1 3 ) ( c o s z ) ( 1 1 ) + z ( z 一3 ) 2 ( 一6 ( c o sz ) ( 一3 ) + o k 一6 ) ( c o s x ) ( 一5 + + a 3 ( c o s x ) 3 + ( 一1 ) 净t ( c o s x ) 2 一【1 一( c o s x ) 2 】【2 ( 1 1 ) ( c o s z ) c 一1 ) 一 ( f 一2 ) 2 ( f 一3 ( c o sz ) ( 卜3 + ( f 一3 ) ( z 一4 ) 2 ( f 一6 ( c o sz ) ( 卜5 ) + 哦f 一7 ) ( c o sx ) ( 一7 + + ( 一1 ) 掣1 = 2 t ( c o s x ) 1 一( z + 1 ) 2 “一2 ) ( c o s z ) 一1 + ( z 一2 ) ( f + 1 ) 2 ( 1 5 ) ( c o s z ) 一3 + 0 1 似+ 一1 5 ) ( c o s x ) ( 一5 ) + + o g + 1 ( c o s x ) 2 + ( 一1 ) 掣 故而得证c o s 妇均可由c o $ x 的一元南次多项式表示七为偶数时，c o s 妇只 有偶次项，末项为( 一1 )