（基础数学专业论文）共轭类长和子群性质对有限群结构的影响.pdf

共轭类长和子群性质对有限群结构的影响 刘晓蕾 ( 中山大学数计学院，基础数学专业博士生) 指导教师：王燕鸣教授 摘要 本文主要讨论有限群在对其子群或元素给出某些条件之后成为可解、超可解、或幂零 的可能性本文推广了关于共轭类长的几个定理，并仿照共轭类长讨论了循环子群的共 轭个数对群结构的影响，得出了有限群是可直分解的充分和必要条件；对可分解为两个 子群乘积的有限群的一些特殊形式进行了讨论，得到了有限群可解及超可解的条件；分 别用拟正规性和一拟正规性取代c - s u p p l e m e n t 中的正规性而得到了c - s u p p l e m e n t 概念的 两种推广，并用这两个概念给出了有限群的可解性、超可解性以及幂零性的一些刻划； 尝试了有限群中置换化子条件的取代得到了d j s r o b i n s o n 关于置换化子条件的深刻 结果的很有意义的推广；推广了覆盖与远离概念的使用范围，较系统地研究了有限群中 的覆盖与远离概念对有限群的主因子的可解性的影响，得到了有意义的结论 关键词：有限群，共轭类长，置换化子，覆盖和远离 i n f l u e n c e so fl e n g t h so fc o n j u g a c y c l a s s e sa n ds u b g r o u p so nt h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s x i a o l e il i u ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，z h o n g s h a nu n i v e r s i t y ) s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n m i n gw a n g a b s t r a c t i nt h i s p a p e rw es t u d yt h ei n f l u e n c e so fl e n g t h so fc o n j u g l yc l a s s e sa n ds u b g r o u p so l l s t r u c t u r ea n d p r o p e r t i e so f f i n i t eg r o u p s s o m ei m p o r t e n tr e s u l t so nl e n g t h so f c o n j u g a c yc l a s s e s a r ei m p r o v e d w es t u d yt h er e l e t i o n sb e t w e e nn u m b e r so fc o n j u g a c yc y c l i cs u b g r o u p sa n dt h e s t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p af i n i t eg r o u pw h i c hi s f a c t o r e d & p r o d u c to ft w os u b g r o u p s i si n v e s t i g a t e dt og e tn e wc r i t e r i af o raf i n i t eg r o u pt ob es o l w b l eo rs u p e r s o l v a b l e w et r y t og e n e r a l i z et h ec o n c 印t c - - s u p p l e m e n t t h ep e r m u t i z e rc o n d i t i o ni ss u c c e 目f u n yw e a k e n e d w i t ht h eh e l po f c o v e r i n g - a v o i d e n ，w ec h a r a c t e r i z ec h i e ff a c t o r so ff i n i t eg r o u p s k e y w o r d s ： f i n i t eg r o u p s ，l e n g t h so fc o n j u g a c yc l a s s ，p e r m u t i z e r ，c o v e r i n g - a v o i d e n c e 第一章绪论 1 1 引言 群是代效学最基本，也是最重要的概念之一它不仅在数学本身，即使在现代科学的 诸多方面都有广泛而重要的应用从产生到现在，群论经历了近2 0 0 年经过众多数学 家的努力，群论不断地解决问题，也不断地提出问题；不断到在其他学科得到应用，也 不断地从其他学科获取思想和方法在群论的众多分支中，由于自身的特点，有限群论 无论从理论上，还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位 有限群论，最重要的无疑是有限群的构造理论研究有限群的构造理论，有许多重要 的方法其中。通过元素或子群的性质来刻画有限群的结构，一直是一个活跃的课题， 有着十分丰富的内容 利用元素刻画有限群结构，有一些经典结果比如。借助于特征标理论，b u r n s i d e 证 明了单群的元素的共轭类长不能是素数幂，进而证明了著名的矿q 6 阶群可解性定理利 用元素的共轭类长刻画有限群的结构，也有一些经典结果r b a e r 1 1 详细研究了每一个 素数幂阶元素的共轭类长是素数幂的有限群；c a m i n a 2 】则把b a e r 问题局部化，引入了 q - b a e r 群的概念d c h i l l a g a n dm h e r z o g 4 利用有限单群分类定理对元素的共轭类长 与群结构的关系进行了相当广泛而深刻的研究王燕鸣教授和j c o y 6 1 用初等方法对 d c h i u a g 和m h e r z o g 的结果进行了深化和改进我们将在本文第二章进一步研究元素 的共轭类长与群结构的关系 利用子群性质来刻画有限群有多种途径，也有许多深刻的结果 正规性是群论的一个非常基本的概念作为正规性的早期推广。o r e 和k e g e l 等人引 入了拟正规和”一拟正规的概念用拟正规和”一拟正规的概念，人们对有限群进行了广 泛的研究。得到了丰富的成果近几年来，正规性概念又得到了深刻的推广在5 1 1 中， 王燕鸣引入了c 一正规性概念，并成功的用e 一正规性给出了有限群可解性，超可解性等 的新准则c 正规性已是现在有限群论中个频繁出现的概念之后，王燕鸣【3 2 】又推 广e 一正规性，引入了c s u p p l e m e n t 的概念，并用此概念得到了有限群的可解性、超可 解性及幂零性的新的刻茴。作为c s u p p l e m e n t 的推广。本文第三章引入了两个新概念 人们可以通过各种子群。比如极大子群、极小予群、s y l o w 子群、s y l o w 子群的极大 子群来研究有限群s c h m i d t 证明了每个极大子群幂零的有限群可解；t h o m p s o n 4 4 1 证明了有一个奇效阶极大子群幂零的有限群可解；i t o 证明了每一个极小子群在中心内 的奇数阶有限群幂零；b u e k l e y 5 3 l 证明了每一个极小子群正规的奇数阶有限群超可解； 王燕鸣、a b a l l e s t e r - b o l l i n c h e s 和郭秀云【23 】更一般地证明了一设日是有限群g 的超可 解剩余如果日的极小子群和4 阶子群在g 中均有c s u p p l e m e n t ，那么g 是超可解的； p h a l l 证明了有限可解群的基本定理，即有限群可解的充分必要条件是该群的每一个 s y l o w 子群有补( c o m p l e m e n t ) ；王燕鸣【3 2 1 则将此结果推广为：有限群可解的充分必要条 件是该群的每一个s y l o w 子群有c s u p p l e m e n t w i e l m d t l l 6 1 证明了这样的著名定理t 一个有限群若能写成两个幂零子群之积，则该 群一定可解关于可分解为两个子群乘积的有限群，有许多更一般的结果本文第三章 第三节就这类群的若干情形进行了讨论 b e i d l e m a n 和d r o b i n s o n 2 0 深入研究了置换化子条件对有限群结构的影响，给出了满 足置换化子条件的有限群的深刻刻画所谓置换化子条件是指；每一个真子群真包含在 其置换化子中利用有限单群分类定理，b e i d l e m a n 和d r o b i n s o n 证明了下述定理：满 足置换亿子条件的有限群g 必定可解，且其主园子的阶或者是4 ，或者是素数如果 是g 的4 阶主因子，那么g 在上诱导完全自同构，即a l c g ( t v ) 垒s 3 我们在本文第 四章对置换化子进行了深入研究，证明了上述定理在相当弱的条件下依然成立 在刻画有限群及其某些子群时，覆盖和远离是很有用的例如，g a s c h i i t zf 4 7 1 在有限 可解群中引入了所谓的p r e - f r a t t i n i 子群，这些子群是共轭的p r e - f r a t t i n i 子群远离群的 被补的主因子，但同时覆盖所有其他主因子c h a m b e r s 【4 目得到了有限可解群的子群是 i - p r e - f r a t t i n i 子群的一个充分条件t o m k i n s o n 【刚给出了构造一类群的方法，这类群 子群或者覆盖，或者远离一个有限群的每一个主因子f _ a q u e r r o 4 6 在对某类子群要求覆 盖和远离性质后，分别得到了个有限群的p 一超可解性。超可解性之后，郭秀云【4 8 l 系统地研究了具有覆盖和远离性质的子群对群的可解性，超可解性及其他性质的影响， 得出了丰富的结果在本文第五章。对一个有限群的给定的主因子，我们用覆盖和远离 得到了其可解的若干条件 1 2 一些常用结论和符号 本文只讨论有限群下面只列出文章中频繁出现的符号至于一些出现次数很少的符 号。其具体含义，在出现的部分规定 ”：素数集 ”( g ) ：g 的阶的垒部素因子所成集合 & ：n 级对称群 a t l ：n 级交错群 0 。( g ) ：g 的最大正规丌- 子群 2 h g ：h 在g 中的核，即g 的包含在h 中的最大正规子群 x g ：。的共轭类 f ( g ) ：g 的f i t t i n g 子群 壬( g ) ：g 的f r a t t i n i 子群 由于在本文多次出现，我们在这里不加证明地列出若干众所周知的重要定理 定理l ( b u r n s i d e ) 1 9 ，v i ，定理8 3 1p a q 6 阶群可解 定理2 ( b u r n s i d e ) 1 9 ，i i ，定理5 4 |设p 是有限群g 的阶的一个紊因子p 是g 的一 个s y l o wp 一子群如果n o ( p ) = c o ( p ) ，那么g 有正规p 一补 定理3 ( f e i t - t h o m p s o n ) 1 9 ，i i ，定理3 s l 或i 酬 奇阶群可解 定理4 ( w i e l a n d t ) 1 8 ，i x ，定理3 8 】个有限群若能写成两个幂零子群之积则该群 一定可解 定理5 ( h u p p e r t ) 1 8 ，i x ，定理1 1 2 】有限群超可解的充分必要条件是其每一个极大子 群有素数指数 由于l h a t t i n i 子群圣( g ) 被定义为g 的所有极大子群的交，故我们可以得到下述定理t 有限群g 超可解的充分必要条件是a t ) ( a ) 超可解 定理6 ( s e h u t - z a s s e n s h a u s ) 1 9 ，i l l ，定理4 3 1 设是g 的个正规h a l l 子群，则 ( 1 ) n 在g 中有补； ( 2 ) 若或a n 可解，日和矾是在g 中的两个补子群，则日和日1 在g 中共 轭 注意，因为( t g l ，l g n i ) = 1 ，故l l 和i g n l 中至少有一个是奇数根据上述定理3 ， 奇数阶群必可解，因而( 2 ) 中的可解性条件总满足 我们在这里也罗列一些与本文有关的基本概念t 假设日是有限群g 的一个子群那么t 如果对任意9 g ，有h g = h ，则说日是g 的个正规子群； 如果对g 的任意子群l ，有h l = l 日，则说日是g 的一个拟正规子群 3 如果对g 的任意s y l o w 一子群p ，有尸= p h ，则说h 是g 的一个 一拟正规子群； 如果存在g 的个正规子群l 使得g = l 日，且工n ，则说日在g 中是c 一正 规( c n o r m a l ) ； 如果存在g 的一个子群k ，使得g = 日，且k n 日月c ，则说日在g 中有c 一补 f c s u p p l e m e n t ) 4 第二章有限群的共轭类长与群结构 2 1 共轭类长与群结构 本章研究有限群的共轭类长与群结构的关系先来做如下约定； 设g 是一个有限群对z g ，z g 表g 的包含z 的共轭类，l x o i ( 也被称为z 在g 中的指数) 表z g 包含的元素个数，称为共轭类长；c o n ( g ) 表g 的所有共轭类所成的集 合对一个任意的集合n ，用l n l 表n 包含的元素个数 人们广泛研究了这样的问题t 给定群g 的共轭类集c o n ( g ) ，究竟能得到g 的什么信 息? 有很多文献得到了有意义的结果。例如，r b a e r 1 1 详细研究了每一个素数幂阶元素 的共轭类长是素数幂的有限群，证明了著名的定理t 有限群g 的每个素数幂阶元的共 轭类长是素数幂的充分必要条件是g 是g l ，g 。的直积，这里g l ，瓯满足如下条件 ( 1 ) 如果t j ，则( i 瓿l ，l 岛1 ) = 1 ( 2 ) g ，的阶至多有两个不同的素因子。且所有s y l o w 子 群是交换的c a m i n 8 1 1 2 】则把b a e r 问题局部化引入了q - b a e r 群的概念，得到了q - b a e r 群的详细信息 d c h i l l a ga n dm h e r z o g 4 】利用有限单群分类定理对元素的共轭类长与群结构的关系 进行了相当广泛而深刻的研究王燕鸣教授和j c o s s e y n 则用初等方法对dc h i l l a g 和 m h e r z o g 的结果进行了深化和改进，证明了下述定理t 定理a设g 是个有限群，p 是1 g 1 的一个素因子，且满足t 如果q 是l g l 的一 个素因子，则q 不整除p 一1 如果g 的共轭类长均不被p 2 整除，那么g 是一个可解p - 幂零群，且g q ( g ) 的s y l o w p - 子群至多是p 阶的进一步有，若p 是g 的一个s y l o w p - 子群，则p ，的阶至多是p ；如果p o p ( g ) ，那么岛( g ) 是交换群 定理b设g 是个有限群如果对任意z g ，l z g l 无平方因子，那么g 超可解， 且g f ( g ) 和g ，均是阶无平方因子的循环群，此外，f ( g ) 的类至多为2 ，而g 是亚交 换群 在【3 】中，任永才证得了下述定理 定理c 设g 是一个有限群，p 是i g i 的一个素因子那么g = o p g ) x o p , ( g ) 的 充分必要条件是z 对g 的任意p ，元z ，p 不整除l z g i | 5 但是，正如我们已经看到的一样，在有关文献中，讨论共轭类长对群结构的影响时， 或者要求全体元素满足一定条件，或者要求全体p ，一元满足一定条件我们也知道，一般 情况下，就所有元素给出条件和就部分元素给出条件会有不同结论因此，我们自然可 以提出问题t 不要求全体元素( 全体p ，元) ，而只要求全体素数幂阶元素( 全体素数幂阶 p ，- 元) 的共轭长满足一定条件，会有什么结果? 下面进行详细研究 引理2 1 1 ( 【4 ，引理1 】)设z g ，粤g 那么 ( 1 ) 对z n ，有i z z g l ( 2 ) l ( z ) g “i l l = g | 引理2 1 2 ( w i e l a n d t ) ( 参看1 2 1 )o p ( c ) 包含g 中全部指数为p 的幂的p 一元 证明设z 是g 的个指数及阶均为p 之幂的元取p s u l p ( g ) ，使得z p 因 i ：z g i = i g ：c b ( z ) l 是p 的幂，易知g = e b ( 。) p 因而( z g ) = ( z g 。 z ) 9 ) 一( z p ) p 又因 ( ) 翼g ，故( z g ) q ( g ) 特别地有z ( z 。) sd p ( g ) 盒曩2 1 1设2 是g 的个元紊，p 是i g i 的个素因子如果z 不$ 1 - t ( 啡( g ) ) ， 那么p l l = 。| 证明如果p 不整除i i ，那么p 不整除i g ：c b ( z ) i 于是知，c c ( x ) 的s y l o w p 一子 群也是g 的s y t o wp 一子群根据s y l o w - 定理。存在尸s 姆) ，使得p c 舀( z ) ，即。 z c o ( p ) 但由于o p ( g ) 含于p ，所以c g ( p ) se b ( ( g ) ) ，进面z c o ( o p ( g ) ) 矛盾 命墨2 1 2设g 的p 一元均有素数幂指数若d p ( g ) 交换则 ( 1 ) c g ( o p ( g ) ) 包含g 的全部p 元； ( 2 ) g c c ( 0 p ( g ) ) 是一群； ( 3 ) c 的每个p - 元的指数是p ，数 证明( 1 ) 假设命题不真那么存在一个p 一元z 不属于c c ( o p ( g ) ) 根据假设， l j = 矿，这儿q 是一个素数，p 是一个非负整数若口= p ，剥由弓l 理2 1 2 ，z 0 ，( g ) s c g ( o p ( g ) ) ，矛盾因而q p 于是存在g 的一个s y l o wp - 子群使得p c g ( z ) 这样 z c c ( p ) sc a ( 岛( g ) ) ，又一个矛盾 ( 2 ) 由( 1 ) 即得 ( 3 ) 设z 是g 的一个p 元若l z 。i = 矿，则据引理2 1 2 ，o p 【g ) 显然c c ( o p ( g ) ) s 6 c b ( z ) 故1 z 。l = i g ：c 0 ( z ) 1 整除 c c g ( o p ( g ) ) | 这意味着o = 0 注记这类似于f 1 ，b o l 的( 5 ) 回忆一下，对一个有限群g ，以及素数p ，如果我们有等式g = o p ( g ) 0 一( g ) ，则称g 是p 可直分解的根据定义，p _ 可直分解当然是p 一可解的 定理2 1 1设g 是一个有限群，p 是l g i 的个紊因子那么g 是p 可直分解的 的充分必要条件是对于任意素数幂阶的p ，元毛p 不整除l z g | 证明显然。只需证明充分性 先证明g 有唯一s y l o wp - 子群p ，因而尸里g 令n = 勖f p ( g ) 若1 n l = 1 ，结论当然成立设1 n i 1 考虑g 在n 上的共轭作用根 据s y l o w 定理，g 在n 上作用传递由【5 ，t h e o r e m l 】，存在一个素数r 及r 一元g g ， 使得9 无不动点作用于n 上，即，对任意p s v f p ( g ) ，有p a p 设r p 那么根据假 设，p 不整除1 9 g i = i g ：c g ( g ) 1 因此据s y l o w 定理，存在z g 使得p 。s c o ( g ) 这表明 ( p ：p = p z ，矛盾若r 。p ，再由s y l o w 定理，存在$ g 使得g p ，这意味着p 9 ；p 2 ， 又个矛盾这样我们证明了g 有唯一s y l o w p 一子群p ，因而p 宴g 根据s c h u r - z a s s e n h a u s 定理，存在g 的个h a l l p r 一子群日使得g p 日，且g 的所 有h a l l 一一子群共轭设z 是日的一个素数幂阶元那么根据假设，p 不整除i i 因 而psc a ( x ) 注意到日可由素数幂阶元生成，我们有psc a ( h ) 这样g p xh = 0 p ( g ) o p ，( g ) 注记本定理推广了定理c 下面我们来减弱定理a 中的条件 定理2 1 2设g 是一个有限群，p 是l g i 的个素因子，使得；如果q 是1 g i 的一 个素因子那么q 不整除p 一1 假定g 的一元的共轭类长均不被p 2 整除。那么g 是一 个可解的p 幂零群，且e o d g ) 的s y l o wp - 子群的阶至多是p 证明这里只证明g 是一个可解p - 幂零群至于g 啡( g ) 的s y l o wp - 子群的阶至 多是p 的证明，因其类似于【6 ，t h e o r e m1 】的证明，故略去 若p = 2 ，根据 3 ，t h e o r e m2 】，g 是2 一幂零的根据f e i t t h o m p s o n 定理，g 可解 如果p 2 ，g 是奇数阶的，因而根据f e i t t h o m p s o n 定理，g 可解 7 现在证明g 还是一个p 一幂零群假设结论不真，取g 为一个极小反例容易验证， 真商群和真正规子群是p 幂零群由于p 一幂零群形成饱和群系，因此可以设g 有唯一一 极小正规子群n ，西( g ) - 1 ，c n 是p 一幂零群注意到g 可解，可设是舻阶初等交换 r 一群，这里r 是个素数进一步，还有f ( g ) = n = c g ( ) 设r p 取吖是g i n 的 正规p 一补，那么，易验证t 也是g 的正规p 一补这是个矛盾故r = p 令m 是g 的 个极大正规子群那么m 是p 一幂零的。且f g m l = q ( p ) 。是个素数显然m 1 易证g n 是矿群若m n ，那么由于m 是p 一幂零的，故o p ，( m ) 1 但显然o p ，( m ) 正规于g ，进而n o r j ( m ) ，矛盾于是m = n ，且i g n i = 口因g i n = n g ( n ) c g ( n ) 同构于a u t ( n ) 的一个子群，故i g n l 整除l a u t ( n ) 1 如果卢= 1 ，那么1 a u t ( n ) l = p - 1 ，因 而有咖一1 这与假设矛盾，因此，卢 1 另一方面，根据s c h u r - z a s s e n h a u s 定理，存在一 个子群q ，使得g = n q ，n n 0 = 1 因是g 的极小正规子群且可解，故0 是g 的极大 子群令0 = ( z ) ，则显然有c b ( 神= ( z ) ，进而1 l = i g ：c o ( x ) 1 = i g ：( z ) l = i n | _ 矿 p 这与题设矛盾因此g 是p 一幂零的 定理2 1 3设g 是一个有限群，p 是i g i 的一个素因子，使得；如果口是i g l 的一 个素因子，那么口不整除p 一1 若g 的索数幂阶元的共轭类长均不被矿整除，那么g 足个可解p 一幂零群。且p ，等于1 或是p 阶的 证明首先证明g 是个可饵p 一幂零群假设结论不真，取g 为一个极小反例 若p 2 ，由假设，g 是奇阶的，因而根据f b m t b o m p s o n 奇阶定理，是可解的若p = 2 ， 应用1 7 ，p r o p o s i t i o n 知g 也可解 根据引理2 1 ，1 ，g 的真商群是p 幂零群由于p 一幂零群形成饱和群系。因此可以设 g 有唯一极小正规子群n ，且t i n 是p 一幂零群注意到g 可解，可设是矿阶初等 交换群令m 是g 的一个极大正规子群那么显然nsm 根据引理2 1 1 ，m 是p 一 幂零的，且i g m j = g 如果口= p ，那么显然m 的正规p 一补也是g 的正规p 一补，矛 盾故口p 因g n 是p 一幂零的，且没有p 阶商群，故g n 是矿群若m n ， 那么l o p ，( m ) 粤g ，这意味着n o f ( m ) ，矛盾于是m = n ，且l g n i = q 假设 n 一1 由于i g n l = i n c , ( n ) c g ( n ) i 整除i a u t ( n ) l ，我们得口i p l ，矛盾于假设因而必有 n 2 根据s c h u r - z a s s e a h a u s 定理，g = 扣) ，其中h = 口若存在元素t ( 1 ) n ，使得 u c g ( z ) ，那么由于是交换的。故有u z ( g ) 这样n = ( u ) z ( g ) ，且g = ( z ) n ， 即，g 是幂零的，矛盾因此c b ( z ) = ( z ) 这表明p 2 _ l 1 i g ：( z ) 1 = 1 g ：c 台( z ) ；l ， 也矛盾于假设这样我们证明了g 是个可解p 一幂零群 现在来证明其余的结论令p 是g 的一个s y l o w p 一子群，那么p 兰g q 一( g ) 因而p 也满足定理假设取z p 由假设，i p ：c ( 删墨p 因而对所有z ，有圣( p ) s c p ( z ) 这 8 表明p ，垂( p ) z ( p ) ，其中z ( p ) 是p 的中心由于p z ( p ) 兰( p 圣( p ) ) ( z ( p ) 肛( p ) ) ， 而p 圣c p ) 是一个初等交换群，故p z ( p ) 是一个初等交换群或1 而且对任意。p ， 妒z ( p ) 因p ，z ( p ) ，故对p 的任意元z ，有讧，y p = 妒，引= 1 这表明p ，是一个 初等交换群或1 注记定理2 1 2 和定理2 1 3 都可以视为定理a 的主要结论的推广 为了讨论可分解群的情况，我们引入如下引理t 引理2 1 3设g 是一个有限群如果对g 的每个素数幂阶元z ，i z 。i 均无平方因 子，那么g 超可解 证明假设结论不真，取g 为个极小反例 根据定理2 1 3 ，g 可解根据引理2 1 _ 1 ，定理条件被商群保持由于超可解群形成 饱和群系，因此可以设g 有唯一极小正规子群，且垂( g ) = 1 ，g n 超可解群因此 f ( g ) = c c ( n ) = n 可设是矿阶初等交换群，这里p 是个素数令l n i = 矿，则当然 有k 1 取u n 是g n 的个极小正规子群，那么由于g n 超可解，i m i n i 可设为 素数口假设g = p 那么m q ( g ) s f ( g ) = n ，矛盾因而q p 由s c h u r - z a s s e n h s u s 定理，m = ( z ) ，其中= q 如果存在u ( 1 ) n 使得“c o ( x ) ，那么由于n 是交换 群。有”z ( 肘) 由于z ( m ) c h a r m 宴g ，故z ( m ) 塑g 于是nsz ( m ) ，且m = ( z ) n 因此( x ) c h a r m ，进而( z ) 宴g 由的极小性，n = ( z ) ，这矛盾于口p 因而c m ( x ) = ( z ) 这表明i z ”1 = i m ：( z ) l = i g l 因为p 2 i t n i ，得p 2 | 1 m | 但是，根据假设及引理1 ，p 2 不 整除i 一1 矛盾 定理2 , 1 4设a 与b 是g 的正规子群。满足g = a b 若对a u b 的蜒一素数幂阶 元z ，i 矿i 均无平方因子，那么g 超可解 证明易知定理条件被商群保持 首先证明g 可解根据引理2 1 。1 和2 ，1 3 ，a 及b 均超可解，特别的。均可解但由 于g a = a b a 兰b a n b ，知g 似可解 现在证明g 超可解假设结论不真，取g 为一个极小反例 由于超可解群形成饱和群系，因此可以设g 有唯极小正规子群n ，g n 超可解，且 壬( g ) = 1 设i n = 矿，其中k 1 那么f ( g ) = n = c g ( ) 若a ，= 1 或b 7 = 1 ，那么根 据8 ，t h e o r e m3 1 ，g 超可解，矛盾故及b 均是g 的非单位正规子群注意到的 唯一性，得n5a 7 及n b 另一方面，因a 可解 1 但z ( k ) c h a r k 里g 因而z ( k ) 受g 再由的唯性，n z ( k ) 这表明 k = n ( z ) 是g 的个幂零正规子群，故k f ( g ) = n ，矛盾因而c k ( x ) = 。) ， i i = l k ：c k ( z ) i = l k ：0 ) 1 = l n i = 一且k 1 根据引理2 1 1 ，这又矛盾于假设 回忆一下，g 的一个子群日如果与g 的任意子群的乘积都是g 的一个子群的话， 我们称h 为g 的一个拟正规子群我们知道，正规子群是拟正规子群但反过来不必 换句话说，拟正规性是正规性的真推广也有大量事实说明，关于正规性的条件能产生 的结论，在替换为关于拟正规性的条件之后，不再成立因此我们有必要在定理2 1 4 中 用子群的拟正规条件来替换正规条件 定理2 1 ，5设a 和b 是g 的拟正规子群，且g ；a b 如果对所有$ a u b ，l z g 无平方因子，那么g 可解 证明显然，条件是商群保持的 首先证明g 可解由1 6 ，t h e o r e m2 t ，a 及b 均超可解，当然可解若a g = 1 = b a ，那 么根据 lo 】，a 和b 幂零由k e g e l - w i e l a n d t 的著名定理，g 可解因此，不失一般性。 假设a c ) 1 对i g i 做归纳法得，g a g 可解因a g 可解，知g 可懈 下面证明g 超可解假设结论不真，取g 为个极小反例 由于超可解群形成饱和群系，因此可以设g 有唯极小正规子群，且垂( g ) = 1 令 i 驯= p k ，其中 1 那么f ( c ) = n = c g ( n ) 若如= 1 或b g = 1 ，那么根据 1 叫，a 或b 幂零再由【8 ，t h e o r e m3 】，g 超可解，矛盾注意到的唯性，我们有n a c 及n b g r 因a 与b 在g 中拟正规，f ( a ) 和f ( a ) 含于f ( g ) = n 中于是f ( a ) = f ( b ) ；n 考虑a 根据【6 ，t h e o r e m2 l ，a f ( a ) = a n 是阶无平方因子的循环群令口= m a x ”( a ) 及a q s y l q ( a ) 因a 超可解，故有a 。粤a 及山sn 这表明p = q = m a x r ( a ) 且 n s y l ，( a ) 根据s c h u r - z a s s e n h a u s 定理，存在一个p ，- h a l l 子群a l ，使得a = a , n 进 一步，由【6 ，t h e o r e m2 1 ，可设a 1 = z ) 同样，可以证得，p = m ”( b ) ，s y l p ( b ) ， b = b 1 i 。，且b 1 ；0 ) 根据【1 1 ，v i ，4 6 l ，可设日= a l 岛= 征) ( ”) 是。的一个h a l l 子群 再由1 1 1v i ，1 0 1 】可设。) 日 1 取k 是日的含于( z ) 的极小正规子群则n g ( k ) 日， 且= ( z “，其中m 是一个整数另一方面，根据假设。矿不整除j ( z ”) g l 这表瞬 1 n n c g ( z “) s n n o ( k ) 由于交换，故f l n a ( k ) 旦，n n n g ( k ) 璺n c ( k ) 但 1 0 g = n h = n n o ( k ) 因而n g r ( k ) 笪g 由的极小性及唯一性，有n n g ( k ) = n 这样，m 3 ( k ) = g ，即。k 塑g 再次根据假设，ns k 但由于k 是一一群，这是不可 能的 2 2 共轭类的一种类比 这一节，我们尝试共轭类的一种类比 设g 是个有限群，p 是素数， 表素数集，d t ( g ) 表可解群g 的导长对一个有 限群g ，所谓g 是”可直分解的，是指g = g ( g ) 锈，( g ) 我们知道，对于群g 的任意一个元素z ，g 的含z 的共轭类长是i g ：c b ( z ) 1 自然地， 我们也可以考虑类似的问题，即g 的共轭的循环子群扛) 的个数i g ：n g ( 扛) ) l 与该群结 构的关系事实上，这方面有丰富的内容例如，容易证明，g 幂零的充要条件是对每 一个p ，r ( g ) 及g 的每个p 一元z ，j g ：舀( ( 。) ) j 是p 的幂再比如，x m z h o u 证明 了t 对于给定的有限群g 及素数热如果对g 的任意元霸l g ：( 。) ) j 与p 互素，那么 g 是p 一幂零的尽管这样。只有很少的作者进行这方面的研究，见【1 3 】本节在这个方 向做了探讨，具体地说。就是利用共轭的循环子群( 。) 的个数讨论有限群的直积分解 引理2 2 1设、r 是g 的个正规子群，m n ，g 那么l n ：n nc 1 注意到c n 超可解，故如果设l n 是 g i n 的极小正规子群，则i l i n i = q 是素数且q pl 当然正规于g 由s c h u r - z 8 s s e n h a u s 1 3 定理，l 有一个p 一补s 且s 是口阶令s = ( z ) ，k