（水力学及河流动力学专业论文）弯曲河道水流运动及床面冲淤数值模拟.pdf

中文摘要 自然界中的河流几乎都是弯曲的。弯曲型河流的运动演变规律对防洪、航运 港口、取水及桥梁的规划设计和正常运行有着重要影响，对其水流运动、泥沙输 移及演变规律等进行全面的研究室十分必要的。 近1 0 来，泥沙数学模型得到广泛的应用，应用领域包括水库和河道泥沙问题、 河口及港口泥沙问题、航道及引航道泥沙问题。本文在边界拟合坐标系下建立平 面二维水流数学模型，并在模型基础上计算了泥沙冲淤工程实例并进行了对比验 证。主要研究内容如下： 对当前数学模型的现状、发展方向和存在的主要问题做了系统的介绍、分析。 详细介绍了弯道水流数值模拟的研究现状、河流复杂边界处理技术的研究状况。 采用边界拟合坐标变换技术，克服由于河道边界复杂而引起的计算困难，详细推 导了平面二维p o s s i o n 方程型坐标变换方程组，选择出本文所用控制函数形式， 并给出具体网格生成算例来验证所选控制函数的合理性。详细推导出边界拟合坐 标系下平面二维水流基本控制方程，利用y a n e n k o 型分步法和a d i 方法，对控制 方程离散求解，建立数学模型，并给出处理模型各种边界条件的数学推导公式。 用f o r t r a n 语言编制计算程序，求解水流数学模型，在给定模型初始边界条 件下，将模型计算结果与实测资料进行比较，验证模型的正确性和适用性。对长 系列水动力和泥沙运动进行了模化处理。应用李家峡建坝后典型水文年长系列的 组合资料，预报了河床经长期冲淤调整后达到基本平衡需要的时间为2 8 年。 关键词：河道水流，变换坐标法，显隐交替法，剖分方程，泥沙数学模型， 泥沙交换；河床变形，长系列数学模型 a b s t r a c t i ti sg e n e r a l l yr e c o g n i z e dt h a tt h ec u r v e dr e a c h e so fr i v e r sa n dc a n a l sr e p r e s e n ta s e v e r ep r o b l e mt ot h ee n g i n e e ra n da r ec h a r a c t e r i z e db yu n d e s i r a b l es i t u a t i o n ss u c ha s c a n a lo v e r t o p p i n g ，b a n ke r o s i o n , s i l t i n g ，p r o g r e s s i o no fm e a n d e r s ，a n ds e d i m e n t t r a n s p o r tw h e nd e s i g n i n gac a n a lo ra r i v e rd e v e l o p m e n ts c h e m e o v e rt h ep a s t10y e a r s ，s e d i m e n tm a t h e m a t i c a lm o d e lh a sb e e nw i d e l yu s e d ， i n c l u d i n gt h ei s s u e so fr e s e r v o i r sa n dr i v e rs e d i m e n t ，e s t u a r i n ea n dp o r ts e d i m e n t i s s u e s ，t h ei s s u e so fw a t e r w a ya n dc h a n n e ls e d i m e n t i nt h i sp a p e r , b o u n d a r yf i t t e d c o o r d i n a t es y s t e mi su s e di nt h ee s t a b l i s h m e n to ft w o - d i m e n s i o n a lm a t h e m a t i c a l m o d e lo fw a t e rf l o w , a n db a s e do nt h em o d e lt h ep r o j e c te x a m p l eo fe r o s i o na n d d e p o s i t i o no fs e d i m e n ti sc a l c u l a t e da n dac o m p a r a t i v ea u t h e n t i c a t i o ni sa l s oc a r d e d o u t t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： s y s t e m a t i ci n t r o d u c t i o n sa n da n a l y s i sa b o u tc u r r e n tm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，t h e d e v e l o p m e n td i r e c t i o na n dt h em a i np r o b l e m sa r ec a r r i e do u t ；t h er e s e a r c hs t a t u so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o no fc h a n n e lb e n d sa n dt h ec o m p l e xr i v e rb o r d e rp r o c e s s i n g t e c h n o l o g yr e s e a r c h a r ed e t a i l e d t h eb o u n d a r yf i t t e dc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n t e c h n i q u ei su s e dt oo v e r c o m ed i f f i c u l t i e sa r i s i n g 舶mt h ec a l c u l a t i o no ft h ec o m p l e x r i v e rb o r d e r , t h ee q u a t i o n b a s e dt w o - d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o np o s s i o n e q u a t i o n si sd e r i v e d , c o m p a r a t i v ea n a l y z et h ei m p a c to fd i f f e r e n tf o r m so fc o n t r o l f u n c t i o nt og e n e r a t e dc o m p u t a t i o n a lg r i dq u a l i t y , c h o o s eap r o p e rc o n t r o lf u n c t i o n u s e di nt h i sp a p e r , a n dg r i dg e n e r a t i o na r eg i v e ns p e c i f i ce x a m p l e st ov e n f yt h a tt h e s e l e c t e dc o n t r o lf u n c t i o ni sr e a s o n a b l e t h eb a s i cf l o we q u a t i o n so ft h eb o u n d a r yf i t t i n gt w o d i m e n s i o n a lc o o r d i n a t e s y s t e mi sd e r i v e di nd e t a i l ，t h eu s eo fy a n e n k os u b s t e pa n da d i t y p em e t h o d sf o r s o l v i n gt h ed i s c r e t ec o n t r o le q u a t i o n s ，t h ee s t a b l i s h m e n to fm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，a n d t h em a t h e m a t i c a ld e r i v a t i o nf o r m u l aa r eg i v e nt od e a lw i t hav a r i e t yo fb o u n d a r y c o n d i t i o n so ft h em o d e l f o r t r a nl a n g u a g ei su s e dt oc o m p i l e rp r o g r a m ，s o l v i n gt h e m a t h e m a t i c a lm o d e lo fw a t e rf l o w , i nag i v e ni n i t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h em o d e l ， t h ef l o wn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ec a r r i e do u ti n t h eg u i d e l i j i a x i am e a n d e r i n gr e a c h b e t w e e nl o n g y a n g x i at h eu p p e rr e a c h e so ft h ey e l l o wr i v e ra n dl i j i a x i a ，t h em o d e l c a l c u l a t i o nr e s u l t sw e r ec o m p a r e dw i t ht h em e a s u r e dd a t at ov e r i f yt h ec o r r e c t n e s s a n da p p l i c a b i l i t yo ft h em o d e l 1 1 1 em o d e l i n ga b o u tl o n gs e r i e so fh y d r o d y n a m i ca n d s e d i m e n tm o v e m e n ti sa l s oc a r d e do u t c o m b i n a t i o ni n f o r m a t i o no fl o n g s e r i e si n t y p i c a lh y d r o l o g i c a ly e a r si sa p p l i e da f t e rc o m p l e t i o no fl i j i a x i ad a m a f t e rl o n g - t e r m a d j u s t m e n to fb e de r o s i o na n dd e p o s i t i o nt h er e q u i r e dt i m ea c h i e v i n gab a s i cb a l a n c e i sc a l c u l a t e d t h ee x c h a n g ea n dr i v e r b e ds e d i m e n tr o u g hs i m u l a t i o no ft h ep h y s i c a l d e s i g ni sp u tf o r w a r d ，a n dr e s e a r c hm e t h o d so ft h eb e de v o l u t i o nm a t h e m a t i c a l m o d e l so fal o n g t e r ma r ea l s oc a r r i e do u t k e y w o r d s ：b e n d i n gr i v e r , a d im e t h o d ，d i v i d i n ge q u a t i o n ，b e dc o a r s e n i n g ， m a t h e m a t i c a lm o d e lo fs e d i m e n t ，s e d i m e n te x c h a n g em a t h e m a t i c a lm o d e lb e t w e e n t w od a m s ，l o n g t e r mm a t h e m a t i c a lm o d e l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取秣蛐j 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发甚： 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘查盘堂或其他教育机构的学位旦姗：| 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文i 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：葡譬锋 签字日期： ，净 钥2 卜 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨奎盘堂有关保留、使用学位论文的剧j 。 特授权墨盗叁堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进i j ：榆 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意，弦 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：像碟律 签字同期：1 叩年争月1 f h 导师虢办火舀 签字h 期：即少年j 月衫 第一章绪论 第一章绪论 弯曲型河流不但具有迂回曲折的外形，还具有蜿蜒蠕动的动态特征。从总体 来看，几乎所有的河流都呈现着弯曲的形态。河流在其整体的弯曲过程中，有的 河段比较顺直，有的河段出现分汉，而每一分汊也常常是弯曲的。我国海河流域 的南运河，淮河流域的汝河下游和沙河，颖河下游，黄河流域的渭河下游，长江 流域的汉江下游以及向有“九曲回肠”之称的长江下荆江河段等，都是典型的弯 曲型河段。美国的密西西比河下游，也是世界有名的典型弯道型河流。 弯曲型河流的运动演变规律，对防洪、航运、港口、取水以及桥梁等的规划 设计和正常运行，有着重要的影响，对其特性、演变规律、形成条件等进行全面 系统的研究是十分必要的。 在当前，数值模拟方法已经成为研究河流泥沙问题的重要手段，数学模型是 对物理现象研究的升华，同时受到应用数学和计算手段的限制。随着泥沙运动理 论和河床演变理论的形成和发展，2 0 世纪中期泥沙数学模型得到初步的研究和应 用，但真正得到发展和深化是在7 0 年代之后。韩其为将非均匀沙不平衡输沙理论 引入到数学模型中，引导了现代泥沙数学模型的研究，大量的模型相继出现，从 不同的角度对模型进行完善和发展，如淤积物干容重、糙率、挟沙力、分组挟沙 力、挟沙力级配、饱和恢复系数等，从一维模吊桥至河东乡河段型到扩展一维模 型和二维模型，甚至到三维模型。二维模型的研究中不可避免地出现了糙率沿横 向的不同、含沙量横向分布等问题。 近1 0 来，泥沙数学模型得到广泛的应用，应用领域包括水库和河道泥沙问题、 河口及港口泥沙问题、航道及引航道泥沙问题。 1 1 河流研究的意义 自然界中的河流几乎都是弯曲的，弯道可以看成是组成河流的最基本单元。 我国海河流域的南运河，淮河流域的汝河下游和沙河、颖河下游，黄河流域的渭 河下游，长江流域的汉江下游以及向有“九曲回肠 之称的长江下荆江河段等， 都是典型的弯曲型河段。美国的密西西比河下游，也是世界有名的典型弯曲型河 段。河流自身的流域特性决定了其几何形状，其弯曲形状是长年水流动力作用下 第一章绪论 的结果。河流两岸的抗冲、抗剪能力与水流冲击、剪切力相平衡塑造了河道的形 态，并在长期的发展过程中经过不断的调整，达到新的平衡【l j 。 弯道水流是指行进在弯曲河道中的水流，弯曲河道的床面和岸壁组成了弯道 水流的外边界。由于边界条件的不同，使得弯道中行进水流的运动特性与顺直河 段中不同。水流进入弯道后，由于离心力的作用，使得凹岸水位抬高，凸岸水位 降低，造成了水面横比降。水面横比降引起弯道断面横向压力差，这种压力差沿 垂线分布的均匀性和流速沿垂线分布的非均匀性，导致了弯道断面横向环流的出 现，这一主体环流与纵向水流一起构成了弯道水流所特有的螺旋流。此外，由于 弯道进口凹岸和出口凸岸均出现水面负比降，依据流体动力学，水面负比降( 压 力沿程增加) 是流速脱离边壁产生水流分离流动的必要条件，因此，上述两处可 能出现弯道分离流，出口凸岸更易出现此现象【2 】。弯道中水流紊动结构复杂，进 入弯段后，其紊动强度要较入弯前自然状态时有所增大，从而会引起水流能量损 失的较大增加；由于弯道水流产生了螺旋流动及可能出现的分离现象，水流紊动 强度有所变化，使得弯道水流的阻力要比相同长度的顺直河段大。 图1 1 弯道水流运动形态 弯曲河道中床面附近水流切应力的分布与顺直河段中有所不同，尤其是在次 生环流发展最强时。最大剪切力区在弯道进口段附近是靠近凸岸，到弯道中段， 开始向凹岸过渡，低剪切力区位于弯道上段的凹岸与凸岸边滩的下游。在流量较 大时，在凹岸弯项附近还会出现第二个最大剪切力区。弯道中床面剪切力的这种 分布，造成了水流的高切应力区与冲刷区的不一致。当河道主流左右摆动时，岸 线所受冲击力和剪切力的沿程变化更是复杂。 研究弯曲河流的特点，有助于我们对河床的冲刷和淤积做出分析和预测，对 河床横断面的凹岸冲刷与凸岸淤积现象做出计算，对河道的裁弯取直及水流的运 动特性做出正确分析判断，对河道岸线的整治、防护采取正确、适当的措施等。 因此，正确认识弯曲河流的运动规律，对河道整治的规划设计、河流工程的建设 与运行、电站的引水排沙、流域的长远规划、河道的防洪设计、桥梁的规划设计 第一章绪论 以及改善河道的通航运行等，都具有十分重要的意义。近年来，城市水资源告急 引发的利用天然河道长距离输水，西部开发的中、小型水电站建设和汛期洪水排 泄等重大水利问题，都要涉及到河道特别是弯曲河道的水力计算问题、弯道岸线 的应力分析计算及河岸稳定性问题。通过建立河流数学模型，系统研究水流、泥 沙问题，指导河流的治理、保护与规划。因此，对弯曲河流进行全面系统的研究 是十分必要的，且具有广泛的应用前景和科学价值。 1 2 弯曲河流的研究现状 自1 8 7 6 年t h o m p s o n 从弯道水槽实验中发现弯道水流同时存在着纵向和横 向流动以来，国内外学者根据不同的研究目的，对弯道水流运动特性及河弯演变 做了大量的研究分析工作。对弯道水流的重点研究，主要表现在水面横比降、横 向环流、纵向垂线平均流速等方面【3 】。 当水流由直段进入弯道后，为适应曲线运动所需向心力的要求，使得凹岸水 面升高，凸岸水面降低，自由水面的平衡状态遭到破坏。由实验可知【4 j ，进入弯 段后既有横比降的出现。最大横比降出现在弯项以下，继而逐渐减小，但直至弯 段出口处仍有一定数值，出弯段后迅速消失。在工程中应用较多的水面横比计算 公式是罗索夫斯基对数公式【5 】及张红武通过引入流速分布公式【6 】，并结合谢才公 式，推出的近似计算公式【7 1 。王平义根据弯道中凹岸区水流结构较凸岸区水流结 构更复杂，故凹岸区和凸岸区的流速分布不同，从而形成不同的水面横比降，并 据此导出弯道凹岸区和凸岸区的水面横比降公式【l 】。此外，黄科院开展的浑水动 床模型实验结果表明，弯道水面出现的横比降还与水体所含泥沙的浓度有较明显 的关系，当含沙量较大时，横比降有所增大，但当水流为高含沙水流时，其值相 对于含沙量较低时的情况并没有太大的变化【8 】，刘焕芳根据这个结论，通过试验 研究得出了整个弯道上水面横比降的分布公式【9 】。 1 9 3 3 年马卡维耶夫由雷诺方程导出了轴对称流的运动方程，随后很多学者 采用不同的纵向流速分布公式和边界条件、连续条件，通过不同途径来对方程求 解，得到了不少环流流速沿垂线的分布公式【6 】。2 0 世纪3 0 年代，著名学者波达 波夫利用n s 方程得到了二元水流的运动方程式，采用抛物线型纵向流速分布公 式，导出了环流流速的垂线分布公式【1 0 1 ，但该公式仅适用于层流或瞬时紊流的 n s 方程，不宜导出时均紊流的环流公式。1 9 4 8 年马卡维耶夫借助于椭圆型流速 分布公式，导出了环流流速沿水深分布的计算公式【j 7 1 。19 5 0 年罗辛斯基及库兹明 r，1 ， 借助指数流速分布公式，并采用假设2 = 上上，导出了环流流速的垂线分布 t p9 第一章绪论 公式；罗索夫斯基根据纵向流速按对数分布的规律，求出了环流流速的垂线分布 公式，但都很难与实际情况相符合 7 1 。1 9 7 4 年，e n g e l u n d 建立了循环弯道中螺旋 流的有关理论【1 1 1 ，但由于边界条件采用了“河底任一点的流速向量应与该点的剪 切力方向相同 的不正确假设，使得计算的横向流速值随谢才系数c 的增减而 变化过大。1 9 7 6 年k i k k a w a 等人借助环流与主流非线性交互作用的假设，发展 了横向流速分布表达式【1 2 1 ，流速指数分布规律被应用于主流的垂直分布，其结果 与矩形水槽试验流速测量结果较为一致。1 9 6 4 年张定邦用简化了的纵向流速对 数分布公式得到环流流速公式【1 3 】，将环流流速分布由定床向动床过渡。19 8 4 年 至1 9 8 6 年，张红武于在大小不同的河弯概化模型上，采用p r a n d t l 的处理方式， 并利用弯道中纵向流速的实测资料进行分【3 j 析，得出了比较简便的环流沿水深分 布公式 4 1 ，但仅在近壁区有明显的优势。1 9 9 2 年孙东坡从紊流雷诺方程出发，采 用普朗特紊流切应力构架，由因次分析确定掺长，探讨了明渠恒定二元环流的流 速分布，导出了环流流速分布公式【l 4 】。 早在2 0 世纪3 0 年代，波达波夫根据n s 方程，并假设液体沿圆形轨迹运动 导出了沿河宽的流速分布公式【l o 】。1 9 4 6 年，卡日尼科夫从紊流理论及实验两个 方面研究了纵向流速，但假设不存在横向环流，这与实际水流运动情况不符【8 】。 罗索夫斯基从三维水流角度来研究弯道水流问题【l5 1 ，把弯道分成三段研究，但由 于在公式的推导过程中未考虑能量损失，故只能在较短的距离内使用。椿东一郎 认为，弯道水流的运动状态是由均匀流过渡到自由涡流，再经形似均匀流的水流 发展成为强迫涡流，据此，他给出了纵向垂线平均流速的平面分布公式【1 6 1 ，王韦 通过试验验证，认为上式在岸壁处存在较大误差，因此给出了修正后的公式【l 】。 1 9 8 5 年t h o m e 等人根据f a l l 河量测段的观测资料，对凹岸区域纵向流速分布进 行了研究，给出了纵向流速在凹岸区域的经验表达式【1 7 】。1 9 8 6 年黄科院根据大 型河弯模型中的测验结果表明研究弯道纵向平均流速的分布尚需考虑弯道的边 界条件和来水条件【8 】。刘焕芳根据弯道水流运动的边界条件和连续方程式，由雷 诺方程沿垂线积分，得到弯道水流垂线平均的纵向运动方程式，该公式在一定程 度上考虑自由水面变形和横向水流运动对纵向流速的影响，但仅适用于规则弯道 中的水流运动，对断面形状或边界沿程发生变化的情况，公式的适用性就受到限 制【8 】。张植堂根据动量定律，建立了以极坐标系表示的弯道二维水流运动方程式， 并导出了弯道纵向垂线平均流速分布公式【1 6 1 ，但该公式在推导过程中没有考虑横 向水流运动的影响，且忽略了水深、比降以及河道阻力的沿程变化，故用于冲积 河弯时难免存在相当程度的近似性。1 9 8 9 年王韦、蔡金德对矩形断面人工弯道 的纵向垂线平均流速进行了理论分析，从谢才公式和水面超高公式入手，建立了 弯道内任一点纵向垂线平均流速的计算公式l l 引。1 9 9 2 年谈立勤等人从弯道三维 第一章绪论 恒定流基本方程出发，假定在全弯道内纵向流速分布符合对数分布规律，由此导 出了弯道纵向垂线平均流速分布公式【1 9 1 。1 9 9 4 年王平义认为，应分区建立弯道 水流纵向垂线平均流速的计算公式，由不可压三维恒定流基本方程导出了变曲率 动床弯道水流纵向垂线平均流速计算公式【2 0 】。 河弯演变主要包括河道的冲淤变形、河弯平面形态的变化等方面。由于弯道 水沙运动的复杂性，现阶段的弯道最大冲深计算公式都是经验或半经验半理论公 式，许多学者对此进行了研究分析。1 9 0 8 年法格给出了弯道冲深与曲率半径有 关的经验公式【2 1 1 ，在实际中获得了较广泛的应用。1 9 7 5 年h o o k e 对弯道输沙率 和剪切力分布进行了实验，认为虽然横向环流对弯道剪切力的分布有一定影响， 并使得冲刷能力较强的表层水流沿凹岸折向河底，但对于凸岸边滩的形成起决定 作用的不是横向环流，而是泥沙运动的横向和纵向分布【2 2 1 。1 9 8 7 年王木兰、汪 德罐【2 3 】根据上游来水为清水，在弯道起动流速公式的基础上求得急流情况下弯道 最大的冲深。19 9 9 年毛佩郁、毛昶刖2 4 j 通过对多个弯道水流的分析，在顺直河 道冲深公式的基础上引入环流加强紊动、助长冲刷的概念，得到了弯道最大冲深 计算公式。河弯蠕动是一个非常复杂的问题，影响河弯蠕动的因素非常多，如来 水来沙条件、岸壁土质结构、河床形态、水流结构和泥沙冲淤等。n a n s o n 和h i c k i n 对加拿大b e a t t o n 河的平面蠕动进行了观测【2 5 矧，认为r b 的大小在确定弯道蠕 动速率中起着重要的作用，其中r b 表示弯道的中心线曲率半径与河宽之比，当 2 4 r b 3 3 时，弯道蠕动速率最大；当r b 超出这一范围时，蠕动速率迅速降 低。目前有关河弯蠕动计算的模型有两种：一种是河流弯道的“动力稳定性 模 型，以i k e d a ( 1 9 8 1 ) 暖7 】和p a r k e r ( 1 9 8 6 ) 2 8 】为代表，他们以圣维南浅水方程为基础， 利用摄动分析理论，建立了河弯蠕动速率的计算公式。另一种是“弯道环流”模 型，以k i t a n i d e r s 等人( 1 9 8 4 ) 【2 9 】和z h o u 等人( 1 9 9 1 ) d 0 l 为代表，他们以弯道 环流的强度变化作为计算蠕动的基础，认为河弯之所以发生蠕动变化，其主要原 因是弯道环流对岸壁的作用。l il i g e n g 和s c h i a r a 3 l 】于19 9 2 年对河弯蠕动速率问 题进行了研究，指出河流蠕动流速与凹岸区域单宽推移质输沙率和河弯的曲线长 度有关。1 9 9 2 年许建林等基于动量矩定律，建立了弯道蠕动的动量模式【3 2 1 。 1 3 河流数值模拟的意义 河流数值模拟以挟沙水流运动和河床演变控制方程为基础，以数值方法和计 算机技术为手段，通过对河流的数值模拟计算，解决河流工程所关心的问题。随 着计算机的出现以及计算机功能的迅速增强，以河道计算水力学、泥沙运动力学 第一章绪论 等学科为基础的河流数学模型得到了很大发展。 河流数学模型是预测河道水沙运动及河床演变的重要工具之一，它与实体模 型相辅相成，是解决实际工程问题的重要手段，发展前景十分广阔。实体模型的 耗资和比尺带来的问题使其在应用和推广的范围上受到限制，对于大范围的工程 规划，实体模型就很难较准确地再现和重演物理现象的历史，适应性很差；而数 学模型对各种问题则灵活多变，省时、高效、无比尺效应，具有较强的通用性， 且可与现代数据和反馈技术相结合，较实体模型具有很大的优越性。 河流数学模型是依据水动力学、河流动力学公式和数学方程式的解来模拟和 预测水流泥沙运动和河床变形，包括水流模型和泥沙模型两大类。随着计算机科 学的日新月异，河流数学模型得到了飞速地发展，从2 0 世纪5 0 年代的一维模型 到7 0 年代二维模型，再到9 0 年代的三维模型。经过多年的研究，一、二维数学 模型已经比较完善，广泛地应用于长河段、长时间水流泥沙运动特性的研究，在 流域规划、水环境保护、河网开发、河口整治等方面取得了巨大的经济效益，在 工程实例中得到了验证和发展。三维数学模型与实际更接近，能对局部河段情况 做精细的模拟，对水沙运动及河床冲淤变化问题进行全面的分析，更好的满足工 程需要，并能促进水沙理论研究的快速发展。因此，计算机数值模拟己成为一种 水科学研究的重要手段。随着国民经济的发展，更多的江河水力资源得到了开发 利用，对河流数值模拟提出了新的要求，同时也为数值模拟的发展提供了一个良 好的机遇和条件。 1 4 河流数值模拟的研究 河流数学模型的研究和应用始于2 0 世纪5 0 年代，主要是用来计算大型水库 的淤积和坝下游的沿程冲刷。由于当时的计算工具为计算尺，运算速度和运算量 都受到很大的限制，这种计算仅限于一些简单的状况，而且精度较差，工作量大， 因此，未能得到普遍推广。2 0 世纪7 0 年代以来，随着电子计算机的普及与计算 机性能的不断提高，这些困难已逐步克服，数学模型的优越性越来越突出。在国 外，冲积河流数学模型发展较迅速，其中以美国、荷兰和法国发展最快。在国内， 2 0 世纪6 0 年代，许协庆、朱鹏程、窦国仁和韩其为等人开始了泥沙数学模型的 研究工作。目前，河流数学模型在理论上得到较快的发展，在实际工程中也得到 越来越广泛的应用，日益成为研究水流、泥沙等运动规律，指导工程设计与规划 的一个强有力手段，普遍受到人们的重视。 经过几十年的发展，数学模型经历了由一维一二维一三维的发展历程，也由原先 在概化水文、泥沙及河床条件下数学模型的建立、率定和验证，发展到与物理模 第一章绪论 相互配合共同回答工程水流和泥沙问题( 复合模型) 的发展阶段。下面简要介绍一 维、二维及三维水沙数学模型的研究现状。 1 4 1 一维数学模型 一维数学模型模拟的是变量在断面上的平均值，基本上能够满足实际工程的 需要，它是至今使用最广泛的一种模型。模型引进一些假设后，沿断面积分三维 n s 方程便可得到一维水流运动方程和连续方程，再引入泥沙连续方程，挟沙力 公式等即可进行一维计算【3 3 1 。一维数学模型一般采用差分法和特征线法进行数值 计算，其基本思路是：将计算河段划分成若干小河段，计算各断面的平均水力、 泥沙因素以及上下两断面之间的平均冲淤厚度的沿程变化及随时间变化情况。一 维模型在理论及实践上都比较成熟，模型计算省时，可快速方便地进行长河段、 长时间的洪水和河床演变预报，因而国内外使用较为普遍。一维数学模型主要由 水流计算、泥沙计算和河床变形计算三部分组成，基本方程包括水流连续方程、 水流运动方程、泥沙连续方程、输沙方程、悬移质扩散方程、泥沙分选和粗化保 护层公式、冲淤量分布公式等。 一维水沙数学模型以其经济灵活的优势见长，已经可以部分取代实体模型试验。 但是，一维数学模型无法给出各物理量在断面上的分布，且由于挟沙水流和可动 床面之间的相互作用十分复杂，因而在模拟河床细部变形、河口和港湾等水域的 流动和冲淤问题时，一维模型就显得无能为力，必须用二维甚至三维数学模型才 能解决0 4 。 1 4 2 二维数学模型 二维数学模型克服了一维数学模型不能计算水沙等物理量沿河宽( 或水深) 方向变化的缺点，目前在工程中得到了较为广泛的应用，正逐步走向成熟。二维 数学模型是从研究河口、海岸水流泥沙运动开始的，h a n s o nw 【3 5 】最早进行这一 研究。二维数学模型的计算相对比较复杂，一般都采用非耦合求解的算法，即水 流方程和泥沙方程分别单独求解，先求水力要素，再求河床变形，交替进行，此 法适合于含沙量小、河床变形缓慢的河道，对于像黄河这样含沙量高、河床变形 剧烈的游荡型河段，采用非耦合求解往往得不到理想的结果，最好采用水流泥沙 耦合求解，但计算将变得十分复杂。 二维数学模型分平面二维数学模型和垂向二维数学模型两种。对于海岸、河 口、湖泊、大型水库、内河等水域，水平尺度远大于垂向尺度，水力参数在垂直 方向的变化，可用沿水深的平均量表示，因而可采用平面二维数学模型模拟p 6 】。 平面二维水沙数学模型在工程上得到了广泛的应用，能够较好地模拟水流、泥沙 第一章绪论 要素在平面上的分布规律，并常常与实体模型结合运用，相互验证，相互提供边 界，取得了较好的经济效益和运用经验，促进了数学模型的深入研究和进一步发 展。而在如窄深潮汐通道、窄深河口地区，有关变量的垂向变化不可忽视，这时 往往要采用垂向二维数学模型。 1 4 3 三维数学模型 在宽阔且较深的海岸河口地区，研究潮流运动、海岸演变及泥沙运动时，通 常的二维数值模拟不能满足要求。此外，像疏浚抛泥、油膜运动、水质污染扩散 等一些专门课题，也需要采用三维数值模拟技术。实际工程中的水流泥沙运动都 具有三维性，只有建立三维水沙数学模型才能很好的满足要求，三维数学模型是 近一、二十年才发展起来的，但发展很快。 国外自2 0 世纪7 0 年代中期就开始了三维数值模拟的研究。国内起步较晚， 2 0 世纪8 0 年代中期才开展研究，但进展较快，己成功应用于一些重要的水利工 程。l c v a nr i j n 3 7 1 基于对流扩散理论，建立了三维输移模型。s h i m i z u 唧j 采用 三维泥沙数学模型计算了弯曲河道的水流及河床变形。f r e n e t t e 3 9 1 等在假定河床 是不可冲刷的刚性边界条件下，建立了一个三维泥沙运动模型，计算了来自上游 点源的泥沙在往下游运动中的扩散和沉积。p r i n o sp 【加】采用三维n s 方程，k - 占 双方程及悬移质的对流扩散方程，对复式断面明渠悬移质的输移进行了数值计 算，并分析了计算的等流速线、泥沙含量和紊动扩散率之间的相互作用对泥沙输 移的影响。华祖林】采用拟合曲线网格系统模拟天然河道边界，在此基础上建立 了弯道河段潮流三维数值模型，并针对弯曲河段可能引起的回流及环流，引入紊 流模型进行精细模拟。马启南、陈永平 4 2 1 基于仃坐标变换和内外模式分裂技术， 建立了杭州湾的三维潮流数学模型。李堤来、窦希萍【4 3 】在正交曲线坐标系下，采 用坐标变换、有限差分、交替隐式求解、动边界处理等方法，建立了边界拟合网 格的三维潮流数学模型。 但是，三维数学模型的发展至今仍然缓慢，尤其是三维泥沙模型更是滞后于 三维水流模型的发展。目前比较成熟的三维数学模型包括水流运动、悬移质泥沙 输移、推移质泥沙输移、河床变形等四部分。水流运动采用雷诺平均的n s 方程， 悬移质泥沙浓度满足考虑泥沙沉降的对流扩散输移方程，根据推移质的不同类 型，采用不同的经验公式确定推移质的输沙率。河床冲淤厚度满足河床变形方程， 可根据悬移质和推移质的输沙率确定。 第一章绪论 1 5 河流数值模拟的求解 描述河流水沙运动规律的控制微分方程一般是非线性的，对于这些微分方 程，一般很难求得解析解，只能通过一定的数值计算方法离散控制微分方程，得 到代数方程组，再对其求解来得到近似数值离散解。 一个数学模型的好坏与该模型采用的数值计算方法有着密切的关系。数值计 算方法决定了控制方程的离散方法、代数方程组的求解方法、网格的划分及边界 条件的处理等，而这些又都决定了模型的计算速度和计算精度。可见在数值模拟 的过程中，数值方法的选择显得尤为重要，应根据所研究问题的特点和计算的精 度要求来定。从数学模型研究开始至今，寻找一种集稳定性、相容性、守恒性、 精确性、健全性、通用性和经济性于一身的“完美 数值计算方法，一直是理论 界和工程界的一个活跃课题。通过数十年来的努力，到目前为止，问世的数值计 算方法不下百种，但还没有一种能够同时具有这么多的优良品质。 目前用于求解数学模型的方法主要有有限差分法、有限元法、有限体积法以 及有限分析法等。 1 5 1 有限差分法 有限差分法1 ( f d m ) 是最古老、也是最有生命力的数值计算方法。它以泰 勒级数展开为工具，对微分方程中的导数项用差分式来逼近，从而在每个计算时 段可得到一个差分方程组。有限差分法数学概念直观，表达简单，其解的存在性、 稳定性及收敛性的研究成果较完善，是一种较为成熟的数值计算方法。 目前在平面二维数学模型中应用较多的f d m 主要是交替方向隐格式法 ( a d i ) ，由p e a c e m a n ，r a c h f o r d 和d o u g l a s 等人在19 5 5 年提出，是一种比较流行 的古典差分法。a d i 法是一种显一隐格式交替使用的有限差分格式，具有显式和 隐式两种差分格式的一些优点。它的表达式简单，不像完全隐式格式那样，每一 步都需要解一个大型代数方程组并且要进行迭代，因而所需内存少，计算量也相 应减小，在计算过程中没有显格式常常出现的波动现象，具有较好的计算稳定性 和精度。该方法己广泛应用在河道及海岸、河口的计算中【4 5 闱。 f d m 的缺点在于不易模拟不规则河道边界，为了克服这一缺点，可以采用 边界拟合坐标变换技术，先将计算区域变换成矩形区域，对控制水沙运动的方程 亦作相应变换，在变换后的计算区域内进行求解，然后将计算结果再变换回原来 的不规则区域去，这种方法即能保证有限差分法计算量小的特点，又可较好地模 拟不规则河道边界，近年来发展较快。 第一章绪论 1 5 2 有限元法 有限元法h 7 1 ( f e m ) 产生于2 0 世纪5 0 年代，最先应用于固体力学，6 0 年代开 始应用于流体力学研究领域，7 0 年代后期开始用于水沙数学模型中。其基本思 想是：将区域划分成若干任意形状的单元( 可以是三角形、四边形) ，在单元上用 插值函数进行插值，然后用一定的权函数在计算区域内加权，使总体离散误差达 到最小，进而得到相应的代数方程组，求解这个代数方程组，就可以得到各节点 上的数值解。如果把f d m 理解为在各网格点邻域内逼近解的话，f e m 就是在整 个计算域上的逼近。 有限元法的优点是网格划分灵活，拟合复杂岸边界容易，网格节点可局部加 密，稳定性好，精度高，适合于几何、物理条件复杂的问题。但数学推导繁杂， 计算量和储存量较大，而且在误差估计、收敛性和稳定性等方面的理论研究与有 限差分法相比还显得不够成熟和完善。尤其在多维计算中，由于有限元法贮存量 大，直接影响着计算速度。因此，在河道计算方面的应用不如有限差分法广泛。 1 5 3 有限体积法 有限体积法【4 8 i ( f v m ) 基本思想是：将计算区域离散为若干点，以这些点为中 心，把整个计算域划分为一系列互相连接但不重叠的控制体，将基本方程对每一 控制体积积分，得出一组以计算节点上物理量为未知数的代数方程组来求解。 有限体积法是从物理规律角度出发，每一个离散方程都是有限大小体积的某物理 量的守恒表达式，具有物理意义明确、可保证离散方程的守恒特性且可以适用于 不规则网格和复杂边界条件的优点。对由一个或多个控制体组成的任意区域，以 至整个计算区域，都严格满足物理守恒定律，不存在守恒误差。由于有限体积法 的优点，在实际工程计算中常常采用该方法作为数学模型中的计算方法。 1 5 4 有限分析法 有限分析法【4 9 1 ( f a m ) 是由陈景仁教授于1 9 8 0 年提出的一种数值方法。其 基本思想是把求解域划分为多个有限小的单元，在每个单元内求解基本方程的解 析解。单元内的解析解把该单元的一个内点上的参变量与该域边界上8 点的参变 第一章绪论 量联系起来，以代数方程表示。由于单元边界上的点即为其邻域内的点，而每个 内点有一个代数方程，因此，联立这些代数方程组可解出原方程的数值解。求解 域边界的参变量为求解联立代数方程组时嵌入的边界条件。有限分析法具有较高 的计算精度，且具有自动迎风特性，计算的稳定性好，收敛较快，在我国有较多 的研究和应用。它克服了有限差分法在求解不可压粘性流体时大雷诺数下的困 难，避免了差分近似中的数值效应，是求解大雷诺数下的各种流体力学问题行之 有效的方法。 上述介绍的方法为目前应用较多的几种方法。从上述对比分析可知，这些方 法各有千秋，但也有不足之处。在实际应用中应该根据研究问题的性质选用合适 的数学模型数值计算方法。 1 6 复杂边界处理技术的研究 天然河道特别是弯曲河道的边界都是极不规则的，岸线蜿蜒曲折，在数值计 算时边界拟合困难，使得计算结果很难保证精度。为了克服这一点，很多学者做 了研究，寻求解决处理复杂边界的办法。 冻结构网格、法【删曾经是处理复杂边界的有效方法，其基本原理是在规则的控 制体网格体系内根据边界形状需要而冻结或堵塞某些控制体，让其余的控制体构 成所要研究的不规则几何区域，以达到粗略近似不规则边界的目的。这一方法在 大尺度模型计算、大范围工程问题中一般能够满足实际工程的需要，并在近海潮 流模型中得到广泛使用。而对于比较精细的模型，比如，污染物排放口的流场和 浓度场计算，这种方法对边界的近似所带来的计算误差不能为流体的计算精度所 接受。另外，冻结网格法还必须在计算时保持对冻结区域的存储，浪费很多计算 时间。 边界拟合坐标系( b o u n d a r y - f i t t e dc o o r d i n a t e s ，b f c ) 是目前应用比较多的处 理复杂边界的方法。采用边界拟合坐标系能使计算网格与计算域边界相重合，从 而使边界条件能准确地引用到计算网格节点上，并使得变换后的网格成为规则的 矩形网格。生成边界拟合坐标系的过程可以看成一种变换，即把物理平面上的不 规则区域变换成计算平面上的规则区域。目前，应用偏微分方程进行坐标变换是 常用的方法，即利用数值计算方法通过寻求满足偏微分方程边值问题的变换坐标 函数的方法获得坐标变换系统，满足最大值原理的椭圆型偏微分方程均可用于构 造任意区域的坐标变换，生成的变换网格将满足一一对应关系，并能够保证一定 的平滑性。边界拟合坐标变换的各类变换方法因试图获得各自的变换特点而常常 第一章绪论 采用完全不同的偏微分方程与变换实施途径。然而，坐标变换方法的不同对于流 体计算的最直接影响莫过于坐标变换网格的特性( 如正交性、