（应用数学专业论文）共轭类的算术条件与群结构.pdf

毫 霉 t h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n so fc o n j u g a c yc l a s s e s a n dt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s c h e n 何台i m i n b e ( j i n a nu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fsc i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry o ux i n g z h o n g m a r c h ，2 0 1 1 哪5 iiiii舢5舢48舢8 iiily 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律后果由本人承担 作者签名：敝 日期：加，年3 - 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：弼酌数日期：扫7 年厂月彳日 导师签名： l 哼榉叶 日期：加，f 年r 月三日 摘要 利用共轭类的一些算术条件刻画有限群的结构是有限群理论研究的重要课题， 许多群论学者都在这方面进行了研究，获得了大量的研究成果本文继续围绕共轭 类的算术条件对有限群结构的影响这一课题展开研究设是有限群g 的一个正规 子群，施武杰，王井，m s h a h r y a r i ，m a s h a h a b i 和u r i e s e 先后研究了当分 别为g 的2 ，3 ，4 个共轭类的并时的结构，钱国华，施武杰和游兴中考虑了相反的极 端情形，研究了g 中至多有3 个g 共轭类不在中时g 的结构在钱国华，施武杰和 游兴中工作的基础上，本文继续研究有限群的正规子群外的共轭类的个数对群结构 的影响 第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，研究内容及思路 第二章主要给出本文需要的预备知识，包括基本概念，若干引理及证明 第三章主要研究正规子群轭外恰有四个共轭类的有限可解群的结构设g 是有 限可解群，是g 的正规子群，我们研究了当g 中恰有4 个g - 共轭类不在中时g 的结 构，分别对g 是交换群，g 是非交换群而g n 是阶大于2 的交换群及g 是非交换群 三种情形时的g 的结构给出了刻画 第四章主要研究中心外的共轭类个数对群结构的影响设g 为有限群，在第三 章中要完全刻画当可解群g 有4 个g 一共轭类不在它的一个正规子群中时g 的结构是 困难的，所以我们考虑正规子群是群g 的中心z ( g ) 而去掉g 是可解群的情形，研究 了当g 中至多有五个g - 共轭类不在z ( g ) 中时群g 的结构，并给出了g 的完整的刻画 关键词：有限群，可解群，正规子群，共轭类，中心化子 i a b s t r a c t i ti sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h et h e o r yo ff i n i t eg r o u pt os t u d yh o wt h e a r i t h m e t i c a lc o n d i t i o n so fc o n j u g a c yc l a s s e so faf i n i t eg r o u pi n f l u e n c ei t ss t r u c t u r e m a n ys c h o l a r sh a v es t u d i e dt h e s er e s p e c t sa n do b t a i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s t h i st h e s i sc o n t i n u et oc o n s i d e rs o m ep r o b l e m so fi n f l u e n c e so fc o n j u g a c yc l a s s e so f af i n i t eg r o u po i li t ss t r u c t u r e l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dnan o r m a ls u b g r o u po f g ，s h iw u - j i e ，w a n gj i n ，m s h a h r y a r i ，m a s h a h a b ia n du r i e s eh a v es t u d i e dt h e s t r u c t u r eo fnw h e nni st h eu n i o no f2 ，3a n d4c o n j u g a c yc l a s s e so fgr e s p e c t i v e l y , q i a ng u o - h u a ，s h iw u - j i ea n dy o ux i n g - z h o n gc o n s i d e rt h ec o n v e r s e l ye x t r e m ec a s e ， t h e yh a v es t u d i e dt h es t r u c t u r eo fgw h e ngh a v ea tm o s t3g - c o n j u g a c yc l a s s e s o u t s i d en o nt h eb a s i so fw o r ko fq i a ng u o - h u a ，s h iw u - j i ea n dy o ux i n g - z h o n g ， w ec o n t i n u et oc o n s i d e rt h ei n f l u e n c eo ft h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so u t s i d ea n o r m a ls u b g r o u po faf i n i t eg r o u po ni t ss t r u c t u r e i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ew o r k sr e l a t e dt ot h i st h e s i sa n dc o n t e n t a n dm e t h o dt os t u d yi nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w eg i v es o m en e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e s ，i n c l u d i n gs o m eb a s i cc o n - c e p t i o n s ，l e m m a sa n dt h e i rp r o o f s i nc h a p t e r3 ，l e tgb eaf i n i t es o l v a b l eg r o u pa n dnan o r m a ls u b g r o u po fg ， w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fgw h e nt h e r ea r ee x a c tf o u rc o n j u g a c yc l a s s e so fg o u t s i d en w es t u d yt h r e ec a s e sw h e ngi sa b e l i a n ，gi sn o n - a b e l i a nb u tg ni s a na b e l i a ng r o u po fo r d e rg r e a tt h a n2 ，a n dg i ni sn o n - a b e l i a nr e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h ei n f l u e n c eo ft h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so u t s i d e t h ec e n t e ro faf i n i t eg r o u po ni t ss t r u c t u r e l e tgb eaf i n i t es o l v a b l eg r o u p ，w e k n o wt h a ti ti sd i f f i c u l tt oc o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fgw h e nt h e r ea r e e x a c t4g c o n j u g a c yc l a s s e so u t s i d ean o r m a ls u b g r o u po fgi nc h a p t e r3 ，h e n c ew e c o n s i d e rt h ec a s et h a tt h en o r m a ls u b g r o u po fgi st h ec e n t e rz ( a ) o fga n dd e l e t e t h ec o n d i t i o no fs o l v a b i l i t yo fg ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fgw h e nt h e r ea r ea t m o s tf i v ec o n j u g a c yc l a s s e so fgo u t s i d ez ( a ) a n dg i v ec o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o n o ft h es t r u c t u r eo fg ： k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ，s o l v a b l eg r o u p ，n o r m a ls u b g r o u p ，c o n j u g a c y c l a s s ，c e n t r a l i z e r i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 术语和符号 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况1 1 2 主要研究思路和研究内容2 第二章预备知识 2 1 基本概念3 2 2 若干引理及证明3 第三章正规子群外恰有四个共轭类的有限可解群 3 1 引言和准备1 0 3 2 k g ( g n ) = 4 的情形1 1 第四章中心外共轭类的个数5 的有限群 4 1 引言和准备1 8 4 2 虹( g z ( g ) ) 4 的情形1 8 4 3 k g ( g z ( g ) ) = 5 的情形2 0 参考文献2 9 致谢3 2 ： 附录( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 3 3 【h k d 8 q 8 g d 2 n q 2 n d 2 q 2 s d 2 c 矿 n x | k n 、k p s l ( n ，f ) 术语和符号 一个有限群 一个素数 ： g 的导群，进一步归纳定义， g ( t ) = ( g ( i 一1 ) ) 7 ，g ( 1 ) = g ， g 的中心，进一步归纳定义， 磊( g ) 磊一l ( g ) = z ( g z i 一1 ( g ) ) ，z 1 ( g ) = z ( g ) 有限群g 的阶 z 在g 中的中心化子 z 所在的g 。共轭类 x 的阶 g 中元素阶的集合 最小的非负整数k 使得子集a 是g 的k 个g - 类的并的子集 显然k a ( a ) = l z g ；z gna 历，x g i 群日借助于群k 的半直积 8 阶二面体群 8 阶四元数群 竹阶循环群 2 他阶的二面体群 2 扎阶的双循环群 2 n 阶的二面体群 2 n 阶的四元数群 2 n 阶的半二面体群 矿阶的基本交换p 一群 与k 的半直积，其中k 具有自由不动点作用， 与k 的半直积，其中是作用 下的正规子群： 表示( i c c ( 9 1 ) l ，i c g ( g t ) 1 ) ，其中l ( 缈) l i c c ( g 歹+ 1 ) i 域f 上n 级特殊射影线性群 i v 、， r ?r4 g 吩0 ， ( 1 r c j ： f _ j g p 粥 蚓荆柏删 第一章绪论弟一早z 百i 匕 本文共分四章，第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，研究内容；第二章 主要给出预备知识，包括基本概念，若干引理及证明；第三章主要研究正规子群外恰 有四个共轭类的有限可解群的结构：第四章主要研究中心外的共轭类个数对有限群 结构的影响 1 1课题背景与发展概况 共轭类的长度和个数是有限群中的重要算术量，利用共轭类的一些算术条件来 刻画有限群的结构是有限群理论研究中的重要课题，国内外许多群论学者都做过这 方面的工作利用共轭类研究有限群可以追溯到l a n d a u 证明的一个早期结果：对 给定的自然数7 ，当m i ( 1 t 7 ) 为自然数时方程1 = 0 1 有且仅有有限多个 解令g i ( 1 i r ) 为有限群g 的全体共轭类的代表，且m = i c c ( g , ) l ，则类方程 1 = 2 ，杰即为这样的一个解因此对给定的自然数7 ，具有r 个共轭类的有 限群g 只有有限多个于是引起群论学家兴趣的问题是：共轭类的算术条件( 共轭 类的个数及长度) 怎样影响有限群的结构? 令g 为有限群，对任意的z g ，z g 表示z 所在的共轭类，简称g - 类，i z g f 表示z g 的长度，o ( x ) 表示z 的阶，显然z g 为g 在内自同构群i n n ( g ) 的作用下 的一个轨道令c s ( c ) = i z g i ；z g ) ，即群g 的共轭类的长度之集 b e r n s i d e 在文献1 1 中证明了：任意非交换单群的共轭类的长度都不可能是某 个素数方幂，并给出了有一个共轭类的长度为掣的有限群g 的分类以及共轭类个 数为5 的有限群的分类j p o l a n d ，a v l o p e z 及j v l o p z e 等人在文献【2 】【3 】【4 】中拓 展了b e r n s i d e 用共轭类个数刻画有限群结构的工作 在文献6 1 f 7 1 f 8 1 f 9 1 中，i t o 研究了集合c s ( g ) 对有限群结构的影响i t o 证明了： 若i c s ( c ) i 2 ，则g = pxa ，其中p 为p 一群且a 为交换群；若f e b ( c ) i 3 ，则g 是 可解的；若g 为单群且i c s ( g ) i = 4 ，则g 竺s l 2 ( g ) ，其中口= 2 州且m 2 ；若g 是满 足l c s ( c ) i = 5 的单群，则g 笺s l 2 ( p ) ，其中p ( 5 ) 为素数 文献【1 0 1 1 1 1 2 1 3 】研究了共轭类的长度对有限群结构的影响，例如文献【1 0 】中 证明了：如果对任意的n c 4 c ) ，礼是一个平方自由数，则g 为超可解群且l c f ( c ) l 和i f ( g ) ，| 均为平方自由数；文献 1 1 进一步改进了这一结果文献 1 2 】研究了c s ( c ) 和( g ) 一【l 】- 分别为连续的自然数的集合时有限群g 的结构文献【1 3 】给出了最大 的两个共轭类的长度是连续的自然数时有限群的分类 1 9 8 2 年，前苏联著名数学家s y s k i n 提出了下面的问题( 这一问题被称为著名的 s y s k i n 问题) ：若有限群g 中任何两个同阶的元素均共轭，则g 笺1 ，& 著名的 1 s y s k i n 问题由w f e i t 和g m s e i t z 及张继平分别在文献【1 4 】 1 5 】中独立地解决在 文献【1 6 1 中，张继平考虑了更一般的问题，给出了同阶元在自同构群作用下传递的有 限群的分类因为一个群的中心内的元素只能与自身共轭，游兴中，钱国华和施武 杰在文献【2 1 】中自然考察下面的问题：若有限群g 的中心外的同阶元均共轭，g 有怎 样的结构呢? 他们先研究了同阶的奇数阶元均共轭的有理群，给出了这一类群的比 较清晰地结构，再由此给出了s y s k i n 问题一个简短的新证明 设是有限群g 的一个正规子群，文献2 9 1 【3 0 1 f 3 1 3 2 1 研究了当分别为g 的2 ， 3 ，4 个共轭类的并时的结构，例如文献 3 l 】证明了：若恰为g 的3 个共轭类的 并，则或为一个奇数阶的初等交换p 一群，或为一个亚交换p 一群，或为以7 为核 的f r o b e n i u s 群，其中7 为初等交换群且i 7 l 为素数文献【3 2 】证明了：若恰 为g 的4 个共轭类的并，则或为一个指数为5 的交错群a 5 ，或为一个亚交换p 一群，或 为阶为p 口q 6 的交换群或f r o b e n i u s 群钱国华，施武杰和游兴中在文献f 5 1 中考虑了 相反的极端情形，即讨论了g 中至多有3 个g 共轭类不包含在中时群g 的结构 1 2 主要研究内容 本文在总结了钱国华，施武杰和游兴中研究工作的基础上，对正规子群外的共 轭类的个数对有限群的结构的影响作了进一步的研究 第二章中，我给出了本文所用到的预备知识，若干定义，引理及证明 第三章中，我们研究了当有限可解群g 中恰有4 个共轭类不在它的一个正规子 群中时g 的结构，分别对如下几种群g 的结构给出了刻画：( 1 ) g 是交换群，( 2 ) g 是 非交换群而g n 是阶大于2 的交换群，( 3 ) g n 是非交换群( 详见定理3 2 1 ，定理3 2 2 及 定理3 2 3 ) 第四章主要研究中心外的共轭类个数对群结构的影响设g 为有限群，由第三章 的研究结果可以知道，要完全刻画出当可解群g 有4 个g - 共轭类不在它的一个正规子 群中时群g 的结构是困难的，所以我们考虑正规子群是群g 的中心z ( g ) 而去掉g 是 可解群的情形，研究了当g 中至多有5 个g - 共轭类不在z ( a ) 中时群g 的结构，并给出 了g 的完整的刻画( 详见定理4 2 1 ，定理4 2 2 ，定理4 2 3 ，定理4 3 1 及定理4 3 2 ) 2 第二章预备知识 弟一早 耿官大u 以 2 1基本概念 ： 在介绍本文的主要研究内容之前，我们首先给出了本文研究中用到的有关可解 群，正规子集，f r o b e n i u s 群等基本概念，并介绍了一些基本引理及其证明方法这 章节所给出的引理在我们的推理中是很有用的，在本文的后面章节中我们将自由地 使用这些结果 定义2 1 1 1 2 3 1 称g 为可解群，如果存在正整数佗，使g ( n ) = 1 定义2 1 2 【2 4 】设s 是有限群g 的一个非空子集若s g = s ，对任意g g ，则 称s 为g 的正规子集 定义2 1 3 1 2 3 1设g 是有限群，1 p 时总有i c a ( z ) l p ，矛盾故i f i = p 引理2 2 9 1 2 3 】 设g 是有限群是g 的正规子群若( i g n i ，i i ) = 1 ，则在g 中 有补即存在日g 使得g = 日且日nn = 1 5 引理2 2 1 0 设g 是有限群，和是g 的正规子群且i i = p ，其中2 ，为素数 若对任意的z k n 有i c e ( x ) l = p ，则k 是以为核醛j f r o b e n i u s 群 证明： 因为z c g ( z ) 对任意z g ，所以由l ( z ) l = p 对任意的z k n 及p 为素数，我们有c g ) = 位) 因此c u ( z ) = knc a ( z ) = 扛) ，这样i c e - ( z ) i = p 对任意的z k 一令p s y l ( k ) 由引理2 2 8 ，我们有i f l = p 这样是k 的 正规p 一补由引理2 2 9 ，k = 己且nl = 1 对k 的某个子群l 因为i a d z ) i ：p 对任意的z k 一，所p a c c ( n ) sn 对任意的l n n ，因此由引理2 2 7 ，k 是 以为核的f r o b e n i u s 群 引理2 2 1 1 闭 设g 是有限群，k 是g 的非平凡正规子群使得l ( z ) i = i c e k ( x k ) l 对任意z g k 则g 是以k 为核的n o b e n i u s 群当且仅当( 1 g k l ，1 9 1 ) = 1 引理2 2 1 2 3 9 】设g 是2 一f r o b e n i u s 群，即g 有正规列1 q 白k q g 使得g 与k 分 别是以叫与为核的f r o b e n i u s 群，则叫为奇阶的循环群，g 为循环群，f 4i g k i 1 - i p e 丌( ) p 7 r e ( g ) 引理2 2 1 3 2 8 】 若g = q 2 ，d 2 或s d 2 ，则 ( 1 ) g 有2 1 阶循环子群使得nqg ： ( 2 ) c l ( g ) = m 一1 ； ( 3 ) g ，= 垂( g ) 是阶为2 n 一2 的循环子群，从而a c 7 为4 阶初等交换2 一群： ( 4 ) i z ( g ) l = 2 且g z ( g ) 竺d 2； ( 5 ) 对任意的z g n ，当g = q 2 时d ( z ) = 4 ；当g ；d 2 时o ( x ) = 2 ； 当g = s d 2 时o ( z ) = 2 或4 引理2 2 1 4 设口b csd ，则方程：+ + + = 1 的正整数解( 口，b ，c ，d ) 为： ( 1 )( 2 ，3 ，7 ，4 2 ) ， ( 2 )( 2 ，3 ，8 ，2 4 ) ，( 3 )( 2 ，3 ，9 ，1 8 ) ， ( 4 )( 2 ，3 ，l o ，1 5 ) ， ( 5 ) ( 2 ，3 ，1 2 ，1 2 ) ，( 6 ) ( 2 ，4 ，5 ，2 0 ) ，( 7 ) ( 2 ，4 ，6 ，1 2 ) ，( 8 ) ( 2 ，4 ，8 ，8 ) ， ( 9 ) ( 2 ，6 ，6 ，6 ) ， ( 1 0 ) ( 3 ，3 ，4 ，1 2 ) ，( 1 1 ) ( 3 ，3 ，6 ，6 ) ，( 1 2 ) ( 3 ，4 ，4 ，6 ) ， ( 1 3 )( 4 ，4 ，4 ，4 ) e n ： 由o b c d 得：+ 吾+ ：1 + = l = 4 ，9 , i 而2 口4 ( 1 ) 当口= 2 时，= - i + i 1 + ，从而3 b 6 若6 = 3 ，e h 3 c d 得 = ：1 + i 1 ；，从而7 c 1 2 ，得整数解( 1 ) 一( 5 ) ；若6 = 4 ，由4 c d 得 ： ：1 + ：，从而5 c 8 ，得整数解( 6 ) 一( 8 ) ；若6 = 5 ，由5 c d1 , e 哥面3 = 三1 + ；， 从而5 c 6 ，此时无整数解；若6 = 6 ，由6 c d 得 = i 1 + ：，从而c = 6 ， 得整数解( 9 ) ( 2 ) 当口= 3 时，由3 b c d 得詈= + i 1 + 2 ， , x n 3 b 4 若6 兰3 ， 由4 c d 得；= + j ，从而4 c 6 ，得整数解( 1 0 ) ，( 1 1 ) ；若6 = 4 ， 4 4 c 冬d1 z 可西5 = ：1 + 吾；，从而c = 4 ，得整数解( 1 2 ) ( 3 ) 当n = 4 时，4 4 b c d 得i = + 三1 + 吉3 b ，i , k 而b = 4 ，由4 c d 6 得 = + ：，从而c = 4 ，得整数解( 1 3 ) 引理2 2 1 5设是非交换的可解群g 的正规子群，g n = z g u 可g u z g u 叫g 令i 蚀( z ) l l ( y ) i i c g ( ：) l i c a ( w ) 1 若i a u l = 2 ，n ( i ( z ) l ，i c a ( y ) l ，l ( z ) i ，| c a ( w ) 1 ) 为下列情形之一成立： 1 ) ( 4 ，6 ，1 4 ，8 4 ) ，2 ) ( 4 ，6 ，1 6 ，4 8 ) ，3 ) ( 4 ，6 ，1 8 ，3 6 ) ，4 ) ( 4 ，6 ，2 0 ，3 0 ) ， 5 ) ( 4 ，6 ，2 4 ，2 4 ) ， 6 ) ( 4 ，8 ，1 0 ，4 0 ) ，7 ) ( 4 ，8 ，1 2 ，2 4 ) ，8 ) ( 4 ，8 ，1 6 ，1 6 ) ， 9 ) ( 4 ，1 2 ，1 2 ，1 2 ) ，1 0 ) ( 6 ，6 ，8 ，2 4 ) ，1 1 ) ( 6 ，6 ，1 2 ：1 2 ) ，1 2 ) ( 6 ，8 ，8 ，1 2 ) ， 1 3 )( 8 ，8 ，8 ，8 ) 证明： 注意到对任意的9 g n ，d ( 夕) 为偶数，因此我们可以假定l ( z ) l = 2 a ，i c a ( y ) l = 2 b ，i c o ( z ) f = 2 c ，i ( 叫) l = 2 d ，n a b c d 由l g n l = i n i = i z g l + i y g l + i z g l + i 叫g i 得丢+ + 丢+ 刍= 1 ，因此有引理2 2 1 4 可得结论成立 引理2 2 1 6 1 3 3 设g 为有限群，k a ( g ) 表示g 的全体共轭类的个数 ( 1 ) 若惦( g ) = 1 或2 ，则g 垡1 ，q ( 2 ) 若k c ( g ) = 3 ，则g 竺岛或岛 ( 3 ) 若始( g ) = 4 ，则g 竺q ，d l o 或a 4 ( 5 ) 若k a ( c ) = 5 ，则g 笺g ，d 8 ，q 8 ，d 1 4 ，& ，a 5 ， 岛】岛驯g 】q ( 6 ) 若k a ( c ) = 6 ，7 ，8 ，则与g 同构的群如表l 所示： ( 7 ) 若k c ( c ) = 9 ，且满足i c l 3 2 或者若k a ( a ) = 1 1 ，且满足i g i 3 6 则与g 同 构的群如表2 所示： 引理2 2 1 7 设g 是有限群，是g 的正规子群，若g = ( z n ) 为素数p ( 2 ) 阶群，则k g ( z n ) = 1 当且仅当k c ( z n ) = 1 ，其中1 i 口一1 证明： 我们断言：若o ( z ) = p ，贝u c a ( z ) = c a ( z ) 对l i p 一1 事实 上，若n c b ( z ) ，则z o = n z ，因此口= o 对1 i p 一1 ，于是口c a ( x ) ， 从而( z ) c g ( ) 对l i p 一1 ；反之，若6 ( ) 对1 i p 一1 ， 则b = 缸注意到( i ，p ) = 1 ，可取整数七使得k i 兰l ( m o ) ，则( ) 七b = 6 ( ) 七于 是z 6 = z 诰6 = 6 z 证= 如，这样c 台( ) c 台0 ) ，于是断言成立 由引理2 2 5 ，若k c ( z n ) = 1 ，由k c n ( z n ) = a u 得l e a ( z ) i = i ) i = p ， 因此d ( z ) = p ，于是i c c ( z ) i = l 蚀扛) l = p 显然i ( n ) i = p 对1 i p 一1 ， 因此i c a ( x ) i = lc 【a n ( x u ) l ，故k a ( z n ) = 1 对1 i p 1 同样由引理2 2 5 ，若k c ( z n ) = 1 对l t p 一1 ，因为后g ( n ) = c u ， i ( ) i = i c a m ( = ) i = p ，于是o ( z ) = p 由( t ，p ) = l 得o ( z ) = p ，同样 有i ( ) l = i ( z ) i = p 对1 2 的情 形 定理3 2 ：2 设是非交换的可解群g 的正规子群使得g n = 叫g u z g u 可g u 2 g 为g 的4 个共轭类的并若g n y g 交换群且l c n l 2 ，则下列情形之一成立： ( 1 ) i g n l = 5 且g 是以为核的f r o u b e n i u s 群 ( 2 ) g n l = 4 ，其中l c o ( w ) l = i ) i = 4 ，l c o ( y ) i = l c o ( z ) i = 8 ，g 有正规子 群k 使得 g k l = 2 且g k = w gu ，尸q 8 ，d 8 对p s y l 2 ( g ) ，此时g 有正规 交换2 一补 ( 3 ) g n l = 4 ，其中l c z ( w ) l = l ( z ) i = 4 ，i ( 耖) i = 6 ，l c o ( z ) i = 1 2 ，g 有正规 子群k 使得 g k l = 2 r g k = w guz g ，p 为4 阶交换群，q 8 或d s 对p s y l 2 ( g ) ( 4 ) g n i = 4 ，其中n = g ，l ( 叫) i = i c g ( x ) i = 4 ，i c o ( y ) i = i c o ( z ) l = 8 ， o ( y ) = o ( z ) = 8 ，且c 0 2 ( g ) 竺p