（应用数学专业论文）齐型空间上分数次积分算子构成的多线性交换子的有界性研究.pdf

摘要 本文主要研究齐型空间卜分数次积分算子与某些局部可积函数所生成的多线性交 换子在函数空间上的有界性问题。也就是说，我们系统地研究了齐型空间x 上的分数次 积分算子l 分别与b m d 函数和l i p s c h i t z数所生成的多线性交换子砖在2 ( 1 p o o ) 空间、h a r d y 空间、h e r z - h a r d y 空间、t r i e b e l l i z o r k i n 空间等的有界性以及各种 端点估计。 首先，我们证明了齐型空间x 上的分数次积分算子构成的多线性交换子t 的( 护，l q ) 有界性。在这部分内容中，我们采用两种方法证明，其一是s h a r p 函数不等式，并利用 此s h a r p 不等式证明了t 是驴( x ) 到口( x ) 有界的，其中1 p 1 y ，1 q = 1 p 一7 ；其 二是g o o d a 不等式，并利用此不等式同样证明了贮是1 2 ( x ) 至u l q ( x ) 有界的。 其次，证明了齐型空间x 上分数次积分算子构成的多线性交换子i 疆j b m o 估计。 本章包含两部分内容，其一是中- l 、, , m o r r e y 空间的人中心b m o 估计，且这一估计对分数 次积分算子构成的多线性极大交换子膨也成立；其二是h e r z 空间$ 口m o r r e y h e r z 空 间上的c b m o 估计。 再次，证明了分数次积分算子构成的多线性交换子砖在珲( x ) 和日霹? ( x ) 的有界 性，b i b m o ( x ) ，1 i m ，石= ( b 1 ，b m ) ，事实上，t 在非齐次日e r 名一h a r d y _ 间日k a 罗( x ) 上也有界。 然后，证明了该分数次积分算子与l i p s c h i t z 醇, j 数生成的多线性交换子贮分别是从 驴( x ) 到护，) 有界的，其中1 p m f l + ，y ；从h p ( x ) 至i j l q ( x ) 有界的；从日蠕，p ( x ) 到砭p ( x ) 有界的；从日嗣- 1 9 1 + 7 p ( x ) 到上右1 。1 竹p ( x ) 有界的。 最后，证明了分数次积分算子构成的多线性交换子e 在端点的有界性，即露是 从l 1 7 ( x ) 至, j b m o ( x ) 有界的；然后，设0 ，y 1 ，1 p 1 7 ，云= ( b l ，6 m ) ，其 中6 ，b m o ( x ) 且1 j m ，则鹛是从锑( x ) 至u c m o ( x ) 有界的；如果对任意一 个支撑在球b 上的日1 ( x ) 一原子a 和当乱b 时，有 m ， i ，i 1 ( 1 1 ) 善三2 砰( 、l ( 取z ) 一玉k li 以( 取秒) 一玉) 盯。( 耖) 毗( 们q ( z ，u ) 1 ) 咖( z ) a 则巧是从日1 ( x ) 到l 1 ( 1 7 ( x ) 有界的。 关键词：分数次积分算子；多线性交换子；b m o 空间；h a r d y 空间；h e r z 空间； h e r z - h a r d y 空间；t r i e b e l 一助z o r 兢n 空间；l 印s c 九旌z 空间；弱日e r 2 空间；嘭 空间；c m o 空间；c b m o 空间；中, b m o r r e y 空间 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro f t h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ro nt h es p a c e so fh o m o g e n e o u st y p e ，i e ，w es t u d y s y s t e mt h eb o u n d e d n e s so n 妒( 1 p 。o ) s p a c e s 、h a r d ys p a c e s 、h e r z h a r d y s p a c e s 、t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e so ft h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s 跫g e n e r a t e db yt h e f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ri fa n db m of u n c t i o n so rl i p s c h i t zf u n c t i o n so nt h es p a c e s o fh o m o g e n e o u st y p ex m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rs o m ek i n do fe n d p o i n te s t i m a t e sf o r t h e s em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s a tf i r s t ，t h e ( l p ( x ) ，口( x ) ) 一b o u n d e d n e s sf o rt h em u l t i l i n e a xc o m m u t a t o r 鹛i s p r o v e d i nt h i ss e c t i o n ，w ea d o p tt w om e t h o d si np r o v i n gi t o nt h eo n eh a n d ，t h e s h a r pf u n c t i o ni n e q u a l i t yi sp r o v e d ，b yu s i n gi t ，w eo b t a i n 露i sb o u n d e df r o m 妒( x ) t ol q ( x ) ，w h e r e1 p 1 7a n d1 q = 1 p 一7 ；o nt h eo t h e rh a n d ，t h eg o o d - a i n e q u a l i t yf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ri i sp r o v e d b yu s i n gi t ，w ea l s oo b t a i ni i sb o u n d e df r o ml p ( x ) t ol q ( x ) s e c o n d l y , t h eb m 0 e s t i m a t e sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r 业r e l a t e dt ot h e f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ra l ep r o v e d i nt h i sc h a p t e r ，w ec o n t a i nt w op a r t s f o r o n et h i n g ，w ee s t a b l i s h ) - c e n t r a lb m oe s t i m a t e sf o r 卫o nc e n t r a lm o r r e ys p a c e s ， a n ds od o e st h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ro ft h ef r a c t i o n a lm a x i m a lo p e r a t o r 磁f o r a n o t h e rt h i n g w ep r o v ecbmoe s t i m a t e sf o rt h em u l t i l i n e a xc o m m u t a t o ro nh e r z a n dm o r r e y h e r zs p a c e s t h i r d l y , t h eb o u n d e d n e s sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o ri 皂o n 畔( x 、a n dh r 1 f d 口d ( x ) a r ep r o v e d ，w h e r e 玩b m o ( x ) ，lsi m ，b = ( b i ，6 m ) t h e n ，w eg e tt h a t 鹛i sb o u n d e df r o m 2 ( z ) t o 矽成。( x ) ，w h e r e1 p m e + ，y ； h p ( x ) t o 三g ( x ) ；h 端炉( x ) t ok 口0 2 t , p ( x ) ；h 嗣- 1 9 1 + 7 护( x ) t ow k q 2 i - 1 q l + p ( x ) ， w h e r e 业i sg e n e r a t e db yt h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p s c h i t z s p a c e f i n a l l y ，t h ee n d p o i n te s t i m a t e sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r 鹳a r es t u d i e d t h e ya x eb o u n d e df r o ml 1 nt ob m o ( x ) m o r e o v e r ，l e t0 一y 1 ，1 p 1 ，ya n d i = ( b l ，b m ) w i t h 幻b m o ( x ) f o r1 歹m t h e n 砖i sb o u n d e df r o m 琊( x ) t oc m o ( x ) l a s t ，i ff o ra n yh 1 ) 一a t o mas u p p o r t e do nc e r t a i nb a l lb a n d 乱b ， t h e r ei s 薹暑“暇矿酣协m 枷如i ) v 。叫忡m i i t h e n 砖i sb o u n d e df r o mh 1 ( x ) t ol w ( 1 7 ) ( x ) k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ；b m o s p a c e ； h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ；h e r z - h a r d ys p a c e ；t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e ； l i p s c h i t zs p a c e ；w e a kh e r zs p a c e ；b ；s p a c e ；c m os p a c e ；c b m os p a c e ； c e n t r a lm o r r e ys p a c e 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：张耀日期：a , o 年f 月谚日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“) 日期：，户年月日 日期：工。加年岁月2 净日 衫 稚 彤 砍川叫 名 名 签 签 者 师 作 导 1 1研究背景 第一章绪论 调和分析从产生到发展都是与微分方程的研究密切相关的，特别是二十世纪五十 年代以来由a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 建立和发展起来的一整套奇异积分算子理论在 微分方程研究中得到广泛的应用。分数次积分算子( 又o q r i e s z 位势) 就是在对微分方程 的研究中产生的另一类重要算子。例如，在求解拉普拉斯方程乱= f 时，形中的好函 数就可以用分数次积分算子代替。分数次积分算子在函数空间中的有界性的研究也是 调和分析巾十分活跃和热门的课题，由此形成和发展起来的许多实变方法和技巧，已经 被广泛应用于算子有界性的研究当中。例如，彤巾经典的h a r d y l i t t l e w o o d - s o b o l e v 定理( 见f 1 ) 告诉我们标准的分数次积分算子厶是( 汐，l q ) 型的，其中1 p q o o ， 0 口 n p 和1 q = 1 p q n 。除此以外，分数次积分算子在许多空间的性质得 到研究，如l e b e s g u e 空间，h a r d y 空间，弱h a r d y 空问，h e r z 型h a r d y 空间，b m o 空间， o r l i c z 空间，广义c a m p a n a t o 空间，乘积空间等。 与分数次积分算子相关联的交换子是一类重要的算子，其重要性在于交换子可 用于刻划函数空间，同时，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问题有着密切的 联系，而且又是一个非卷积型的算子，所以对这类算子的研究是现代调和分析的热点 问题之一。二十世纪七i 年代以来，对这种交换子的研究i 分活跃，并取得了非常丰 富的成果。1 9 8 2 年，s c h a n i l l o ( 见【2 】) 引进了分数次积分算子的交换子【6 ，l 】并且证明 了【b ，厶 是从口( 彤) 到( r n ) 上的有界算子，其中1 p 扎a ，1 q = 1 p 一佗。丁 勇( 见3 】) 和c r u z u r i b es f o 及：f i o e n z a ( 见 4 】) 分别建立了分数次积分算子交换子【6 ，厶】的 端点估计同时也说明了f b ，厶】不是( l 1 ，l n ( n - c 0 ，o o ) 有界的。 r n 上的分数次积分算子是近代调和分析研究的主要内容，已取得很多重要结果。 齐型空间是一类比舻更广泛的测度度量空间，肝上的l i p s c h i t z 区域，l i p s c h i t z 曲线 及h e i s e n b e r g 群在赋予适当的测度与度量后都是齐型窄间的例子。近十年来，齐型空间 上的分数次积分算子的交换子理论也取得了许多成果，b r a m a n t i 和c h r i s t i n a ( 见【5 】) 证 明了分数次积分算子的交换子在齐型空间中的( 口，l q ) 有界性，陈冬香和陈杰诚( 见【6 ) 得到了分数次积分算子的交换子在齐型空间中的端点估计。以上的结果都较为分散， 奉史作者将对分数次积分算子构成的多线性交换子的有界性做较系统的研究。 1 2 预备知识 给定一个集合x ，一个函数d ：x x _ 冗+ 叫做x 上的拟距离如果满足以下条 件： ( i ) 对x 中的z 和，d ( x ，y ) 0 和d ( z ，y ) = 0 当且仅当z = y ， ( i i ) 对x 中的。和可，d ( x ，y ) = d ( y ，z ) ， 1 ( i i i ) 存在一个常数k 1 使得 d ( x ，y ) k ( d ( x ，z ) + d ( z ，y ) ) ( 1 1 ) 对x 中的每一个z ，y 和z 均成立。 令肛为x 的子集盯- 代数上的正测度，集合x 包含半径为7 的球b ( z ，r ) = ：d ( x ，y ) r ) 。我们假定肛满足二倍条件，即存在一个常数a 使得 0 p ( j e 7 0 ，2 r ) ) a 肛( b ( z ，r ) ) o 均成立。 上述结构( x ，d ，p ) ，其中d 和p 为如上所述，叫做齐型空间。在( 1 1 ) 和( 1 2 ) m 的常 数k ，a 叫做空间常数。 在奉文，b 表示x 中的一个球，对于一个球b 令后= p ( b ) 1 厶f ( x ) d p ( x ) 且厂的 s h a r p 函数定义为 黝= s 跏u p 志加沪f b i d # ( y ) 众所周知( 见【7 】) 戌z ) s 跏u p 。i n g f 志上i m ) 川m n 我们说6 属于b m 0 ( x ) ，如果扩属于l o 。( x ) 并a 定义l l b l b m o = j i b # 1 1 l 一我们知 道( 见【7 】) i i b b 2 k 1 l b m o c k l l b l b m o 若6 = ( b i ，6 m ) ，b m o ( x ) ( j = l ，m ) ，那么 1 1 5 l l s m o ( x ) = i l b j l l s m o ( , o j = l 若如l i p p ( x ) ( j = 1 ，m ) ( 见第五章) ，那么 俩l i p t 3 = i i 慨l i l 锄 j = i 若如c b m o p j + ，+ - ( x ) = 1 ，m ) ( 见第三章) ，那么 俩m 耐= n1 1 1 1 m o 一” j = i 令m 表示h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子 m ( ，) ( z ) = s u pp ( b ) 1 | ，( 可) l 舡( ) ； 那么鸠( ，) 表示鸩( ，) = ( m ( i f l p ) ) 1 p ( o p ) 。令鸩为分数次极大算予即 l r ( f ) ( x ) = s u pu ( b ) 1 - 1 | y ( y ) l 礼( y ) ，0 ，y 1 ； 2 定义 舰“烈z ) = ：酱( 及毒两上i ，( 训。础( 矽) ) v 。，。 7 l ，。 t 为了方便对给定止整数m 和1sj m ，我们令四表示集合 1 ，m ) 的具有j 个不 同元素的子集盯= 仃( 1 ) ，盯( 歹) ) 的集族对舌= ( 6 ，6 仇) ，盯叼，定义o r 。= 1 ，仇) 盯，k = ( b ( 1 ) ，如o ) ) ，b = b ( 】) b o ) ，lj 醵i l b m o ( x ) = j b , , o ) jj b m o ( x ) i i b ，o ) i i b m o ( x ) ，i l i l 锄= i i b 盯( 1 ) i i l 咖i i b o ) i l l 锄和1 1 6 盯l l c b m d 最置= i i b 盯o ) i i o b m o ，z m ii b 。( j ) ii o b m o p j + 1 ， j + l 。 定义1 2 1 假设0 = 1 ，m ) 是x _ h n 定的局部可积函数。令为分数次 积分算子即 ( ，) ( z ) = k i ( z ，) ，( 可) d 肛( 可) ，0 。 且多线性交换子为 巧( 以z ) = 丘( 一) q 7 ( 删) m ) 批( 可) ( 1 4 ) 很明显上面定义的交换子与( 1 3 ) 定义的交换子是等价的。因此，我们在定理的证明过 程中将使用( 1 4 ) 中定义的交换子。 3 引理1 2 1 ( 见【8 】)对任何的 ( z ) 驴( x ) ，1 冬i 2 ，；1 + i 1 = 1 ， 1 ，s 1 ， 有h s l d e r 不等式： 志z 舯州洲( 志z c 删雠，) v ( 志上c 删眦，) v 8 引理1 2 2 ( 见【9 )令d 是集合x 上的拟距离，同样存在集合x 上的拟距离d ，一个 有限常数c 和一个数0 e 1 ，使得d ，与d 等价，且对x 中的每一个z ，y 和名存在以下 不等式 ld ，( z ，y ) 一d ，( z ，) lsc d ( z ，名) ( d c x ，y ) + d tc z ，可) ) 1 一 4 第二章齐型空间上分数次积分算子构成的多 线性交换子的( 汐，l q ) 有界性 第一节 s h a r p 函数不等式 令t c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子，c o i f m a n ，r o c h e r b e r g 和w b i s s ( 见【1 0 ) 证 明了一个经典的结论，即交换子f 6 ，卅( ，) = t ( b f ) 一抒( ，) ( 其中6 b m o ( r ) ) 在驴( 舻) ( 1 p o o ) 上是有界的。在 i i 1 3 】中，得到了一些c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子 构成的多线性交换子的s 九。印函数估计。本节的主要目的是证明分数次积分算子构成 的多线性交换子的s 九口叩函数不等式，作为应用我们得到了此交换子的( p ，l q ) 型不等 式。 2 1符号及引理 引理2 1 1 ( 见【1 4 】) 设0 7 1 ，1 p 1 n ，1 q = 1 p 一，y 且l 为分数次积分 算子如定义1 2 1 所述，则l 是( x ) 至u l q ( x ) 有界的。 引理2 1 2 令1 1 ，当lsj 七时，使1p l + + 1 僦= 1 和1 q l + + 1 q k = i r 。然后我们应用h s l d e r 不等式1 肋l + + 1 助知= 1 和l q l + + l 吼= i r ，我们就可以得到结论。 5 2 2定理与证明 定理2 2 1 设b m o ( x ) ，j = 1 ，m 。则对于l t 0 使得任何f 曙( x ) 和任意的圣x ，有 c 蛳乍弧m 。似卅薹暑舰c 相，) 证明： 只需证明对于函数，曙( x ) 存在常数岛，如下不等式成立： 志脾似垆洲啦以计著m 暑尬c 嘲川) 固定一个球b = b ( x o ，? ) 和孟b 。 我们首先考虑m = 1 时的情况。i 尸, 1 1 = f x 2 b 和如= 厂) ( ( 2 b ) c ，- h - ( b 1 ) 2 s = p ( 2 b ) _ 1 止b6 ( 可) d p ( 可) ，那么 霉1 ( ，) ( z ) = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 b ) i y ( 厂) ( z ) 一互( ( 6 1 一( 6 ，) z b ) ) ( z ) 一五( ( 6 一( 6 z ) 2 b ) 如) ( z ) 令g = 互( ( ( 6 1 ) 2 b 一6 1 ) 尼) ( z o ) ，则 l 霉1 ( 厂) ( z ) 一g i i ( b l ( x ) 一( 6 ，) 2 b ) 乙( ，) ( z ) + 互( ( b 1 ) 2 b 一( 6 - ) ) ( z ) + 互( ( ( 6 1 ) 2 b 一6 t ) 厂2 ) ( z ) 一互( ( ( 6 ) 2 b 一6 ，) ，2 ) ( z o ) i i ( 6 ( z ) 一( 6 - ) z b ) 互( 厂) ( z ) i + i 互( ( 6 ) 。且一( b 1 ) f 1 ) ( x ) l + i 互( ( ( 6 ，) z b 一6 - ) ，2 ) ( z ) 一互( ( ( 6 ，) 2 b 一6 ) 尼) ( z o ) i = a ( x ) + s ( x ) + c ( z ) 对于a ( z ) ，取1 肛+ 1 f = 1 ，应用h 6 l d e r 不等式得 志上a ( z ) 舡( z ) s c ( 志小刊。b l t ，d z ) v ( 志肛惭，) v 。 c l l b l l i b m d 尬( z y ( ，) ) ( 童) 对于b ( z ) ，取p 使得1 t p q 1 7 ，1 q = l i p 一，yk p s = t ，应用互是驴( x ) 蛰j l q ( x ) 的有界性和h s l d e r 不等式得 志上聊) d t ( z ) ( 丽1 上m - 刊。b ) ，蒯刮a 撕) ) v 。 6 c 赤( 加刊z 圳m ) x 2 出) 1 ) 州z ) ) 1 加 c 赤( 小刊。讣) v ( 厶i m 胪删) v p s c 郎，- - l q + i p s - i - ( 1 - - p s l ) p s ( 高南厶i m m t d # z ，) v 。 ( 志小刊。妒) 枷 c f f 6 li i b m o m , ，1 ( ，) ( 童) 刈- j - c ( z ) ，令2l 一，y ，比用p 明一借条仟，m i n k o w s l ( i 小，寺式荆o i o i ca o i j a c | o 当o ，c r 且0 6 1 ，对于z b ，我们z 。，1 0 c(z)=五日，。卫车；苫主鼍专；拱陋，(可)一(6-)。bill(可)ldp(可) c 厶躺h _ ( 6 1 ) 2 b i l l ( 训蛐) c 喜k 渺b 老黔l b l 刊。日舳凇础) c 蚤o o 研r e 硒杀厶蝴| 6 1 ( 沪( 6 1 ) z b i | ，( 列咖) c 妻k = l2 捌万两上啪j 6 1 - ( 6 1 ) 2 堋训蛐) c 8 ( 高“吣沪仇汹厂v ( 南ki f ( 洲) v 。 c 妻忌2 一始1 1 6 ，i i 引订。尬，7 ( ，) ( 岔) k = l c f f b 、f 1 日。，n m ，f ，1 f 叠1 伏l 此 1， 高止c ( z ) d p ( z ) c i l b il b m 。舰，1 ( 以牙) 这就完成了当m = 1 时定理的证明。 现在我们考虑m 2 时的情况，对于i = ( ( 6 1 ) 2 b ，( b m ) 2 b ) ，其中( ) 2 b = 弘( 2 b ) - 1 止b ( 可) 中( ) ，我1 i 有 珈) = 上匿( 驰m ) 卜删小蜘 = 厶瞰z ) 一( b a z b ) 一( 一( h a 2 b ) 】q 7 ( 删) m ) 批( 可) 7 则 = ( 一1 ) 一( 配) 一( 西2 b ) 仃1 ，( 砍可) 一( 两z b ) 仃c q ( 训) m ) 咖( 可) j = o 盯可 。“ = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 s ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 b ) z 7 ( ，) ( z ) - 4 - ( - 1 ) m 互( ( 6 一( b 1 ) 2 s ) ( 6 m 一( b m ) 2 日) ，) ( z ) m 一1p + ( 一1 ) 一( 取z ) 一( 西2 b ) 叮1 ，( 灰可) 一( 两z b ) 叮c q 7 ( z ，y ) f ( y ) d l z ( y ) j = l 盯叩 。“ = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 b ) ( 6 m ( z ) 一( 6 m ) 2 b ) 互( ，) ( z ) - i - ( - - 1 ) m 互( ( 6 一( b 1 ) 2 b ) ( 6 m 一( b m h b ) f ) ( x ) + ( 一1 ) m 一( 取z ) 一( 西z b ) 盯弯。( ，) ( z ) ， l 霉( ，) ( z ) 一互( ( 6 ，一( b 1 ) 2 b ) ( 6 m 一( 6 m ) 2 b ) 尼) ( z o ) l i ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 s ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 。b ) 互( ，) ( z ) l t n 一1 + i ( 取z ) 一( 两。b ) 盯巧。( ，) ( z ) i j = l 盯c 7 + i 互( ( 6 ，一( b 1 ) 2 b ) ( b m 一( b m ) 2 b ) f 1 ) ( x ) i + l 互( n ( b 一( b ) 2 b ) 厶) ( z ) 一互( ( 6 j 一( ) 。b ) 丘) ( z o ) j = lj = l = i i ( x ) + j 1 2 ( z ) + 如( z ) + 厶( z ) 对。j i i ( x ) ， 驭l p l + + 1 + 1 t = 1 ，其甲1 ，j = 1 ，m ，应用h 6 1 d e r 小 等式得 高止 ( z ) d z ( z ) 高上| 6 ，( z ) 一( b 1 ) 2 b i i b m ( z ) 一( b m ) 2 b i i - z - , ( f ) ( z ) i d a ( z ) 弘、1 bi b a 圹( 恻吲z ) ) 蜥( 志伽似刮) v 。 c l l i l l 8 m o 舰( 互( 厂) ) ( 孟) 对于厶( z ) ，应用m i i 血) w s l 【i 不等式和h 6 l d e r l i 等式得 志上狮川z ) m 蚤- 1 善志上i ( b ( x ) - ( b ) 2 b ) 盯l l 弯呵凇出， c 喜暑( 志小圹劫) v ，( 志胁惭，) v 2 8 m 一1 c i i 矗i i b m o 舰西。( 埘( 孟) j = l 口叮 对于厶( z ) ，类似b ( z ) 得 ( 丽1 加亟旷z 硝拗胪叫v 口 c 赤如矿z 训w 惭，广 c 砸i ( il ic 娶m c c z ，一c 址酬批c z ，) v ( 厶叭圳即批c z ，) v c 料珈“一( 志厶缈m 蝴酬叫v ( 茄南厶i 他妒协) 咖 c i | 葫i 。，。坛r f 、f 矛、 嗣丁4 【z j ，耿1 功 j 2l ，m 便得1 p l + + l p m + l i t = 1 ，应 用m i n k o w s k i 不等式和h 6 l d e r 不等式得 砸，= k 耍c 蛐h 捌c 讹沪撕州删咖) | c丘日，。f垂(67(可)一(6，)。b)i生琶轰兰芝笔苦三三黼i，(耖)ldp(可) c 喜纠酗沪z b ) l 揣i m 批， c 喜k 。b 酚沪c 捌i 蔫为i m 懒， c 薹南赤川酗沪劫卜懒， c 喜2 制( 万杀ki 尥”蛐，) v 。 垂( 高l 蝴妒蛐，) 蜥 c 喜o o 尼m 2 “8 驵m 慨b m 。舰似童) 9 c jj 葫l b m o 尬，7 ( ，) ( 童) ， 因此 1， 高上厶( z ) c 1 1 5 1 1 b m 。舰朋( 岳) 这就完成了定理2 2 1 的证明。 定理2 2 2 令幻b m o ( x ) ，j = 1 ，m 。则当1 p 1 n ，1 q = 1 p 一7 时， 露是从驴( x ) 至u l q ( x ) 有界的。 证明： 我们首先考虑m = l 时的情形，在定理2 2 1 中取1 t p 得 霉1 i f ) i l l a i l m ( 霉1 ) ( f ) l l n 。c | l ( 霉1 ( ，) ( ，) ) 襻i l l a c i | 舰( 互( f ) ) l l l a + c | i 舰，1 i f ) i l l a c l l 互( f ) l l l 。+ c i l 舰，1 i f ) i l l e o i i f l l l , + o l k i i l , c l l f l l l , 当m 2 时，定理2 2 2 可以通过归纳法证明。因此定理2 2 2 证毕。 第二节g o o d 一入不等式 本节的主要目的是找到分数次积分算了构成的多线性交换予的g o o d 入不等式，其 中6 l i p p ( x ) 或6 b m o ( x ) 。而且应用这一不等式，我们同样得到了此交换子 的( 驴，l q ) 有界性。 2 3符号及引理 定义2 3 1设o 卢 。耍( 如( z ) 一如( 枷( z m ，( 可) 批( 办 注2 3 1我们的目的是找到刀若的g o o d 入不等式，然后利用这一不等式得到正的 ( 口， ) 的有界性。 1 0 引埋2 3 1 【儿【1 1 j j令0 1 ，1spso o ，则 l b ll l 咖一u b p p l 高，二 6 ( z ) “b m z ) s 字厕1 ( 志fl ) - 6 卯撕) ) 叫ps 字厕l 高6 ( z ) 一6 b i p 批( z ) ) s 字t 乎南加圹c 俐一s u b p i 乎志( 志fl h 脚) v p 引理2 3 2 ( 见f 2 】)令0 1 ，1 r p 1 j l l q = 1 p 一，则 i i m ，f 川i l q c | | 川r p 2 4定理与证明 定理2 4 1 令0 7 1 ，p = 1 一，y ，0 p 1 且b l i p p ( x ) 对歹= 1 ，m 。 ( a ) 设1 7 t p 0 使得对于任意o a ) ) ； ( b ) 当1 7 7 入) ) c ( 叩入) 一i l 刀6 1 ( ) | 1 2 ， c ( 7 7 入) 一7 【| 1 6 1 | i l 劫。讶裔+ 7 ，p ( 厂) ( z ) 】肛( 瓦) 1 1 7 c ( 7 7 a ) 一7 ( 毒入) p ( 百k ) c ( 7 7 ) r 弘( b k ) 如的估计令h = h ( x ) 为与x 有关的一个大的正整数。我们考虑下面两种情形： 情形1 d i a m ( b k ) sh d i a m ( b k ) 令y ( x ，y ) = ( b l ( x ) 一b l ( y ) ) q 1 ( z ，可) ，( 可) 。 选取x 0 鼠使得x 0 x u 七鼠。对于z 鼠，按照【1 5 】得 rr i 雩6 1 ( 庀) ( z ) l i 【y ( x ，y ) 一v ( x o ，y ) l f 2 ( y ) d # ( y ) i + l v ( x o ，耖) ，( 秒) i 咖( y ) j p ( z ，剪) ej r ( z ) ， + i v ( x o ，) ，( 可) i 中( 可) + j 雩6 1 ( 似z o ) i j r ( 茁o ) = i 十i i + i i i + ，k 其中冗( “) = 秒x ：d i a m ( j b 七) p ( 乱，y ) h d i a m ( 7 k ) ) 。现在让我们米分别估 计，j ，和i i i 。对于，我们记 i y ( x ，y ) 一v ( x o ，) j = i ( b l ( x ) 一b l ( y ) ) q 1 ( z ，y ) a ( y ) 一( b l ( x o ) 一6 z ( 夕) ) q 7x o ，可) 如( 秒) f = f b l ( x ) q 7 ( z ，y ) a ( y ) 一b l ( y ) q 1 ( z ，y ) a ( y ) 一b l ( x o ) q 1 ( z o ，y ) a ( y ) + b l ( y ) q 1x o ，y ) a ( y ) 一b l ( x o ) q 1 ( z ，y ) a ( y ) + b l ( x o ) q 7 ( z ，可) 尼( 可) i i ( b l ( x ) 一6 1 ( 黝) ) “( z ，) 尼( 可) i + i ( b l ( x o ) 一6 1 ( ) ) ( q 7 ( z ，y ) 一q 7 ( x o ，可) ) 丘( ) i = + j 1 2 对于厶，应用引理2 3 1 ，h 6 1 d e r 不等式和如下不等式，对b l i p 卢( x ) ，有 i b ( z ) “b i 志b l l l 咖i x - y l 卢札( ) il b ll l 伽肛( b ) 口， 我们得 厶胁脚 ) c 善l 小o ) 助出。) 1 6 l 卜6 1 。) i i q 水) j i 八们协白) 鲴陬忆洲甜薹慨炉。小0 ) i m 胪叫v p x z ( b 2 州。) ) 1 _ 1 v g li b li l 白啊p ( 亩七) 卢p ( b 2 ，。( 如) ) 1 。1 + 卜1 p + 1 加一p 一7 1 2 ( 一l i f ( y ) i p d # ( y ) ) 1 p g l i b i i l 锄弘( 鼠) 卢p ( b 2 州( 铷) ) 一p 嗨h p ( 烈z ) g l i b l i f l 锄2 卅卢晦竹 p ( ，) ( z ) c l l b i l l l , p 卢 知+ 7 ，p ( ，) ( z ) c 入 对于j 1 2 ，注意到p = 1 7 ，应用p 的二倍条件，h s l d e r ：不等式，引理2 3 1 和不等式i i o