（计算机应用技术专业论文）粗糙集近似合成与信息变换.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 粗糙集理论是2 0 世纪8 0 年代初由波兰数学家p a w l a k z 提出的一种用于数据分 析的数学理论。二十多年来，粗糙集理论研究逐步深入，并已在机器学习、模式识 别、决策分析、过程控制、数据库知识发现、专家系统等领域获得成功应用。 粗糙集理论的核心算子是从近似空间导出的一对非数值型算子：上近似算子与 下近似算子，这一对近似算子是整个粗糙集理论与应用的基础。目前，对于近似算 子的研究大部分都集中在单个论域的情形，这限制了粗糙集在数据挖掘中的应用。 因此，粗糙集理论中近似空间的合成与近似算子的合成、模糊环境下近似算子及其 粗糙集代数结构、粗糙近似算子与信息变换关系等问题的研究是粗糙集理论研究的 一项基础性工作。 本课题针对上述问题开展研究，首先，给出了各种类型的经典和模糊二元关系 的复合及其性质，定义了两个近似空间的合成的概念，并得到了近似空间的合成与 近似算子合成之间的关系。其次，用公理化方式定义了模糊粗糙近似算子和粗糙模 糊近似算子及其生成的粗糙集代数系统，给出了各种特殊类型的模糊粗糙集代数和 粗糙模糊集代数的性质，得到了模糊环境下粗糙集代数与其导出的系统之间的关系。 最后，提出了可以用粗糙近似算子来表示信息系统中的基本信息粒度。在信息系统 中与对象具有相同信息或相似信息的等价类或相似类可以通过计算对象属性值关于 对象属性近似空间上的上近似得到，并以不完备模糊决策系统为例给出了基于粗糙 集的知识获取方法。 关键词：二元关系，粗糙集，粗糙集代数，信息系统，近似算子 i 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r y ，p r o p o s e db yp a w l a kz i nt h ee a r l y1 9 8 0 s , i sam a t h e m a t i c a lt h e o r y f u rr e a s o n i n ga b o u td a t a w i t hm o t h a nt w e n t yy e a r sd e v e l o p m e n t r o u g hs e tt h e o r yh a s b e e nf o u n dt oh a v ev e r ys u c c e s s f u la p p l i c a t i o n si nt h ef i e l d so fa r t i f i c i a li n t e l i i g e n c es u c h a sm a c h i n el e a r n i n g , p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，d e c i s i o na n a l y s i s ，p r o c e s sc o n t r o l ，k n o w l e d g e d i s c o v e r yi nd a t a b a s e s ，a n de x p e f ts y s t e m s t h ep r i m i t i v en o t i o ni nr o u g hs e tt h e o r yi sap a i ro fu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r si n d u c e db yt h eb a s i cs t r u c t u r e ，a na p p r o x i m a t i o ns p a c e ，c o n s i s t i n go fau n i v e r s e o fd i s c o u r s ea n dab i n a r yr e l a t i o no ni t t h eu p p e ra n dl o w e ra p p r o x i m a t i o n so fas e t c h a r a c t e r i z et h en o n - n u m e r i c a s p e c t o ft h es e t e x p r e s s e db y t h ea v a i l a b l e i i l l b m l a t 如吸_ t h e a p p r o x i m a t i o ns p a c e m o s t s t u d i e so na p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s f o c u s e do no n eu n i v e r s e ，w h i c hm a yl i m i tt h ea p p l i c a t i o no fm u g hs e tt h e o r yi nd a t a m i n i n g t h u sc o m p o s i t i o n so fa p p r o x i m a t i o ns p a c e s ，c o m p o s i t i o n so fa p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r s , s t r u c t u r e s o fa p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa n dr o u g hs e t a l g e b r a s i n f u z z y e n v i r o n m e n t , a n dr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa n di n f o r m a t i o n t r a n s f o r m a t i o na r eb a s i ci s s u e si nt h es t u d yo fr o u g hs e tt h e o r y i nt h i st h e s i s ，t h ec o m p o s i t i o n so fd i f f e r e n tt y p e so fc r i s pa n df u z z yb i n a r yr e l a t i o n s a r cf i r s td e f i n e da n dt h e i rp r o p e r t i e sa l ee x a m i n e d r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nc o m p o s i t i o no f t w oa p p r o x i m a t i o ns p a c e sa n dc o m p o s i t i o no ft h ea s s o c i a t e da p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa r c o b m i n e d t h ef u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sa n dr o u g hf u z z ya p p r o x i m a t i o n o p e r a t o r sa n dt h e kp r o d u c i n gr o u g hs e ta l g e b r a sa r et h e nd e f i n e db ya x i o m s p r o p e a i e so f d i f f e r e n tt y p e so ff u z z yr o u g hs e ta l g e b r a sa n dr o u g hf u z z ys e ta l g e b r a sa r ep r e s e n t e d t h e r e l a t i o n s h i p sb e t w e e nr o u g h s e t a l g e b r a s i n f u z z ye n v i r o n m e n ta n dt h e i rp r o d u c i n g s y s t e m sa r eg i v e n f i n a l i y , t h ea p p l i c a t i o no fr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r st or e p r e s e n t t h eb a s i ci n f o r m a t i o ng r a n u l a r i t yi ni n f o r m a t i o ns y s t e m si sp r o p o s e d t h ee q u i v a l e n c e c l a s s e so fo b j e c t sh a v i n gt h es a m ei n f o r m a t i o no rs i m i l a r i t yc l a s s e so fo b j e c t sh a v i n gt h e s i m i l a ri n f o r m a t i o ni ni n f o r m a t i o ns y s t e m sc a nb ec a l c u l a t e db yt h eu p p e ra p p r o x i m a t i o n s o fo b j e c t a t t r i b u t ev a l u e sw i t hr e s p e c tt ot h eo b j e c t - a t t r i b u t e a p p r o x i m a t i o ns p a c e s k n o w l e d g ea c q u i s i t i o ni ni n c o m p l e t ef u z z yi n f o r m a t i o ns y s t e m su s i n gr o u g hs e tt h e o r yi s a l s op r e s e n t e d 。 k e yw o r d s ：a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s ，b i n a r yr e l a t i o n s ，r o u i g hs e t s ，r o u g hs e ta l g e b r a s ， i n f o r m a t i o ns y s t e m s 独创性声明 y 1 0 1 6 ：5 0 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 铸瞄锣 日期：多。口6 年，月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名： 爹讧e 乙 日期：卵f 年月2 日 指导撕躲潮艮 日期：如e 年| 月2 日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 粗糙集的主要思想是不精确的概念如何用可利用的知识库中的已知知识来近似 描述。传统的p a w l a k 粗糙集模型是建立在二元等价关系上的，且不考虑近似空间和 近似算子的合成问题，因此，为了研究粗糙近似算子的结构和推广粗糙集的应用， 有必要对粗糙近似的合成展开研究，同时对于粗糙集在信息系统知识表示方面需要 更加清晰的描述。 1 1 课题背景 本课题来源于国家自然科学基金资助项目“模糊与随机环境下的粗糙集理论与 知识获取( n o 6 0 3 7 3 0 7 8 ) ”。 在计算机与网络信息技术飞速发展的今天，各个领域的信息与数据急剧增加( 信 息爆炸1 ，并且由于人类的参与使数据与信息中的不确定性更加显著，信息与数据中 的关系更加复杂( 复杂系统) 。如何从大量的、杂乱无章的、强干扰的数据( 海量数据) 中挖掘潜在的、新颖的、正确的、有利用价值知识( 有用知识) ，这给智能信息处理提 出了严峻的挑战，由此产生了人工智能研究的崭新领域数据挖掘a t am i n i n g ，d m ) 和数据库知识发现( k d d ) 。 在d m 和k d d 诸多的方法中，粗糙集( r o u g hs e t ) 理论与方法对于处理复杂信息 系统不失为一种有效的方法。粗糙集作为处理不精确，不确定与不完全数据的理论 是由波兰数学家p a w l a k l l i 于1 9 8 2 年提出的。在知识表示方面其主要思想是不精确的 概念如何用可利用的知识库中的已知知识来近似描述，在知识获取方面主要思想就 是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。 粗糙集理论的基本要素是近似空间，它是由所研究和讨论的对象集( 即论域) 和定义其上面的一个二元关系所构成，由这个近似空间可以导出粗糙集理论中一对 基本概念：下近似算子和上近似算子，这一对近似算子是粗糙集理论构成和应用研 究的基础。我们知道，对象论域和定义其上面的“交”、“并”，“补”三个集合运算构 成了集合代数，若这个集代数再加下近似算子和上近似算子两个一元算子则构成了 粗糙集代数，从这个意义上说粗糙集是经典集合的又一推广形式。由于粗糙集代数 中的“交”、“并”、“补”、“下近似”、“上近似”这五个运算与模态逻辑中的五个模态算 华中科技大学硕士学位论文 子关系非常密切，因此，粗糙集近似算子定义的推广和粗糙集代数结构的研究对于 研究基于粗糙集的逻辑推理具有重要的基础意义。由此可见，对象集上的二元关系 在粗糙集的定义上起着至关重要的作用。对于具有不同性质的二元关系，可以得到 具有不同性质的近似空间，其导出的近似算子性质也各不相同。同时具有各种不同 性质的二元关系所导出的近似算子具有怎么样的性质、定义在不同论域中两个二元 关系的合成所导出的近似算子性质与合成前两个关系各自所导出的近似空间和近似 算子又有怎样的关系、近似算子在各种信息系统中的知识表示的作用等等是粗糙集 理论和应用研究迫切需要解决的问题，也是本文研究的主要目的。 1 2 国内外研究概况 1 2 1 国内外粗糙集研究历史简单回顾 由于粗糙集理论能够分析处理不精确、不协调和不完备信息，因此作为一种具 有极大潜力和有效的知识获取工具受到了人工智能工作者的广泛关注。1 9 9 1 年 p a w l a k 著的以粗糙集为主题的专著的问世【2 1 ，标志着粗糙集理论研究逐渐趋热。从 1 9 9 2 年至今，每年都召开以粗糙集为主题的国际会议，国际上成立了租糙集学术研 究会，并在i n t e m e t 上定期发布电子公告，很多国际s c i 收录杂志出版以粗糙集为主 题的专辑，加速了粗糙集理论的发展与交流。以粗糙集为主题的国际期刊( l n c s t r a n s a c t i o n so nr o u g hs e t s ) 也已正式出版。我国自2 0 0 1 年开始每年都召开以粗糙集 为主题的全国性会议( c r s s c 年会1 ，每年的会议论文集都出版在计算机科学杂 志专辑上面，并于2 0 0 3 年成立了中国人工智能学会粗糙集与软计算专业委员会。目 前，粗糙集理论已被成功地应用在机器学习与知识发现、数据挖掘、决策支持与分 析、过程控制、模式识别等计算机领域。 对粗糙集理论的研究主要集中在：粗糙集模型的推广、问题的不确定性的研究、 与其他处理不确定性和模糊性问题的数学理论的关系与互补、纯粹的数学理论方面 的研究、粗糙集的算法研究以及与人工智能其他方向关系的研究等。这些研究有的 是受应用的推动而产生，有的是纯理论性的。 在p a w l a k 粗糙集模型中，近似空间是由论域及其上面的一个等价关系所构成的。 然而，在实际问题中由于各种不确定因素的存在，信息系统中对象之间不一定能构 成等价关系，因此必须对近似算子及其相关的粗糙集模型进行推广。正因为如此， p a w l a k 粗糙集模型的推广一直是粗糙集理论研究的主要方向之一，而推广的核心问 题就是近似算子的定义，目前主要有两种方法：( 1 ) 构造性方法；( 2 ) 公理化方法。 2 华中科技大学硕士学位论文 1 2 2 粗糙近似算子的构造性研究 构造性方法是对原始的p a w l a k 粗糙集模型的一般推广，也是最为自然的方法， 其主要思路是从给定的近似空间出发去研究租糙集和近似算子。它是以论域上的二 元关系作为基本要素的，定义近似算子，然后导出粗糙集代数系统。 将论域上的二元等价关系推广成任意的二元关系可以得到一般关系下的粗糙集 模型( 也称为广义粗糙集模型) ，基于各种特殊的二元关系可以导出具有各种性质的近 似算子和粗糙集代数系统【”l ，这类模型在不完备信息系统中的知识表示与知识获取 具有重要的应用【”1 ；当知识库中的知识是经典的，即近似空问中二元关系是经典二 元关系，而被近似集合是一个模糊集合，则可以建立粗糙模糊集模型1 1 “”，这种模 型在具有模糊决策的信息系统的知识表示与知识获取中具有重要的应用；当知识库 中的知识模块也是模糊知识时，即近似空间中二元关系是模糊二元关系，而被近似 集合是一个经典集或模糊集，则可以建立模糊粗糙集模型 1 2 , 1 4 - 2 5 j ，这种模型可以应 用于模糊信息系统的知识表示与基于模糊规则提取的知识获取问题【“。当粗糙集 应用于具体的信息系统时，也可以推广成为口粗糙集模型、基于优势关系的租糙 集模型0 0 l 、变精度粗糙集模型m ”1 、以及对连续属性的离散化1 3 4 , 3 s l 等。也有将关 系导出的划分推广成一般的布尔子代数，以此出发去定义粗糙集和近似算子m l 。另 种是将每一个对象所在的等价类看成是该对象的一个邻域，从而推广导出了基于 邻域算子的粗糙集模型田- 4 2 。 二元关系在粗糙集理论中近似空间的构造中起着非常基础的作用，在粗糙集应 用中近似算子的构造都基于二元关系这个基本概念。目前租糙集理论在数据挖掘中 的应用大多数只考虑来自于单一信息源的情形，因此，信息的合成在粗糙集理论研 究中没有引起足够的重视。但在实际应用中，智能信息系统中可利用的信息可能来 自于不同的信息源，人们要针对于来自于不同信息源的信息要作出决策。在我们作 出决策之前如何将来自于不同信息源的信息进行合成是非常必要的一项工作。 构造性方法所研究的问题往往来源于实际，所建立的模型有很强的应用价值， 其主要缺点是不易深刻了解近似算子的代数结构。 1 2 3 粗糙集近似算子的公理化研究 公理化方法也称为算子方法，与构造性方法思想相反，这种方法不是以二元关 系作为基本要素，它的基本要素是一对满足某些公理的一元( 集合) 算子，即粗糙集代 数系统中近似算子是事先给定的，然后再去找近似空间，使得由该近似空间导出的 3 华中科技大学硕士学位论文 近似算子恰好就是给定的由公理定义的近似算子。由公理化定义的具有各种性质的 粗糙集代数反过来可以刻画对应的二元关系的性质。这种研究方法的最明显的优点 是能够深刻地了解粗糙集的代数结构，其缺点是应用性不够强。 用公理化方法研究粗糙集最早的工作当属我国的刘清及其国际合作者l i n t ”1 ， 但他们的研究只局限于p a w l a k 代数系统，即由公理定义的近似算子与二元等价关系 相对应的情形，后逐渐发展到各种具体的特殊二元关系与一般关系下的粗糙集代数 系统m ，“，y a o t 习对于与一般关系对应的粗糙集代数系统作了比较完整的公理化刻 画，并讨论了粗糙集代数系统与其导出的合成系统之间联系。近几年来，模糊环境 下粗糙集理论中近似算子的公理化刻画也取得了很多成果“o 她甄4 7 ”1 ，但模糊环境 下的粗糙集代数系统的特征与其导出的系统之间的研究没有很好地展开。为了更加 深入地了解模糊环境下粗糙集的代数结构，对于具有各种性质的粗糙模糊集代数和 模糊粗糙集代数的特征刻画、粗糙集代数系统与其导出的合成系统之间的关系问题 等是值得进一步研究的课题。 1 2 4 粗糙近似算子在信息系统中知识获取的应用研究 粗糙集在智能信息处理中的应用是通过信息系统来表示，这种信息系统也称对 象属性值表，对象的属性取值反映了该对象在系统中的完全信息。 在p a w l a k 信息系统( 即经典的完备信息系统) 中叫，对于每一个属性子集，由对 象的属性取值可以得到对象集合上的不可分辨关系，从而得到和每一个对象有相同 信息的等价类。在不完备信息系统中1 6 , 7 1 ，对于每一个属性子集，由对象的属性取值 可以得到对象集合上的相似关系，从而得到和每一个对象可能有相同信息的相似类。 在模糊信息系统中，对于每一个属性子集，由对象的属性取值可以得到对象集合上 的模糊相似关系，从而得到和每一个对象可能有相同信息的模糊相似类。这些等价 类或相似类构成了对象在信息系统中的基本信息粒度，利用这些基本信息粒度可以 获得每一个对象集合的下近似和上近似。当信息系统成为一个决策表时，利用每一 个决策类关于条件属性集的下近似和上近似可以分别挖掘出蕴含在系统中的确定性 决策规则和可能性决策。 显然，对象在信息系统中的基本信息粒度是通过定义在对象集合( 即论域) 上二元 关系得到的。由于集合的下近似和上近似有比较明确的物理意义，若对象在信息系 统中的基本信息粒度可以表示为某一个集合的下近似或上近似，则信息系统中对象 的基本信息粒度可以通过粗糙集近似得到比较清楚的解释。 4 华中科技大学硕士学位论文 1 3 课题主要研究工作 1 3 1 课题的研究设想 基于二元关系的粗糙近似算子定义的推广及其特征刻画一直是粗糙集理论用其 应用研究的主要方向。尽管已经有了很多研究成果，但到目前为止，人们对于粗糙 近似算子的合成问题的研究却很少，尤其在模糊环境下研究成果更少，这会限制粗 糙集理论在实际问题中的应用。本课题总体研究设想是：一方面对于基于两个不同 的二元关系复合导出的近似算子与二元关系复合前所定义的各自的近似算子再合成 找出必然的关系，另一方面，讨论具有各种特殊性质的单个二元关系所导出的近似 算子所具有的特征，并反过来用公理化定义的近似算子及其生成的粗糙集代数的性 质来刻画对应的二元关系的性质。粗糙集理论在智能信息处理中有重要的应用，我 们将粗糙近似算子应用于三类常见的信息系统( p a w l a k 信息系统、不完备信息系统、 不完备模糊信息系统) 的知识表示问题，首次给出了信息系统中基本信息粒度的粗 糙近似表示。同时，用模糊粗糙集方法处理不完备模糊决策系统的知识获取问题。 1 3 2 课题的主要工作 本课题的主要工作将包括： 1 比较详细地讨论各种特殊性质的经典二元关系和模糊二元关系的复合； 2 研究经典和模糊环境下各种粗糙近似算子的合成问题； 3 用公理化方式定义粗糙模糊近似算子，模糊粗糙近似算子、相应的粗糙集代 数及其特征性质，并研究各种特殊粗糙集代数系统与其导出的合成系统之间的联系； 4 给出了p a w l a k 信息系统、不完备信息系统和不完备模糊信息系统的基本信 息粒度的表示与粗糙近似算子之间的关系； 5 给出了不完备模糊决策系统中基于规则提取的知识获取的粗糙集方法和算 法。 1 4 论文的组织结构 第1 章将给出课题的背景，介绍了当前国内外与本文相关的研究概况以及课题 的主要研究工作；第2 章将讨论二元关系的复合及其性质，并研究二元关系复合后 所导出的近似算子与复合前两个二元关系所导出的近似算子之间的关系；第3 章将 5 华中科技大学硕士学位论文 给出粗糙模糊近似算子与模糊粗糙近似算子的公理化定义，并研究所生成的粗糙集 代数系统与其导出的合成系统之间的关系，对模糊环境下粗糙近似算子和粗糙集代 数有了比较清楚的刻画；第4 章将给出p a w l a k 粗糙近似算子、广义粗糙近似算子和 模糊粗糙近似算子分别在完备信息系统、不完备信息系统和模糊信息系统中知识表 示中的应用，并以不完备模糊决策系统为例给出租糙近似算子在知识获取中的应用； 最后，将对全文所作的工作进行了回顾和总结。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 二元关系的复合与近似算子的合成 这一章定义了各种类型的经典二元关系和模糊二元关系，并讨论t - - 元关系的 合成及其性质。然后，给出两个近似空间的合成的概念，并讨论合成前的近似空间 所导出的近似算子与合成后的近似空间所导出的近似算子之间的关系。证明了合成 后的近似空间所导出的近似算子恰好是两个近似空间所导出的近似算子的合成。 2 1 经典二元关系及其复合 设x 是非空有限集合，记p ( x ) 与f 僻) 分别为x 的经典与模糊子集全体。记单 位区间，。 o 1 。对于彳f ( x ) ，爿 ) 表示x 属于模糊集合a 的隶属度。记一a 为a 的补集。对于经典集a e p ( x ) ，记l 为a 的特征函数，即若x e a ，则l o ) - 1 ，否 则1 。g ) 一0 记1 ，为单点集 j ，) 的特征函数。对于口，d 表示隶属函数取值恒为口 的常数模糊集。 定义2 1 设u 和形是两个非空有限论域，称r u x w 是从u 到缈的一个二元 关系。若( x ，y ) e r ，称y 为x 关于关系r 的后继，简称为后继，x 为y 的前继。v x e u ， 记足扛) y e w ( x ，y ) e r ，足( x ) 称为x 关于关系r 的后继邻域。若v x e u ，存 在) ，形使( x ，y ) e r ，即足b ) ，l 庐，则称凡为串行关系( s e r i a l r e l a t i o n ) a 若u i w 则 称r u x u 为u 上的一个二元关系，对于u 上的二元关系r ，称关系r 是逆串行的 ( i n v e r s es e r i a l ) ，若魄u ，存在y u 使( y ，x ) 6 r ，即u 咫b ) 一u ；称关系r 是 自反的( r e f l e x i v e ) ，若v x 6 u ，有( 而x ) e r ，即x e & ( x ) ；称关系r 是对称的 ( s y m m e t r i c ) ，若v ( x ，y ) 6 u x u ，( x ，y ) e r 蕴涵( ) ，x ) e r ；称关系r 是传递的 ( t r a n s i t i v e ) ，若v x ，y ，z u ，( x ，y ) e r 与( y ，z ) e r 蕴涵( x ，z ) e r ；称关系尺是欧几里 得的( e u c l i d e a n ) ，v x ，y ，z 6 u ，( 工，) ，) r 和( 为z ) r ；蕴涵( y ，z ) e r ；称关系r 是 相容的( t o l e r a n t ) ，若r 是自反和对称的；称关系r 是等价的( e q u i v a l e n t ) ，若r 是自 反、对称和传递的二元关系。 定义2 2 设u ，v ，w 是三个非空有限论域，r 是从u 到矿上的二元关系，s 是从矿 到形上的二元关系，记 7 华中科技大学硕士学位论文 ro si 0 ，w ) ：| l ，矿( “，v ) r ，( v ，w ) s ) 则ro s 是从u 到矽上的二元关系，称为关系r 与s 的复合关系。特别地，若r 是【， 上的二元关系，记r 2 - ro r ，更一般地，对于正整数k 苫2 ，记”一r o r 由定义2 1 知，若r 是【，上的自反关系，则r 一定是串行和逆串行的。众所周 知，以下定理2 i 成立： 定理2 1 若r 是u 上的二元关系，则 ( 1 ) 若r 是自反和欧几里得关系，则r 是对称关系， ( 2 ) 若r 是自反和欧几里得关系，则r 是传递关系， ( 3 ) r 是自反和欧几里得关系当且仅当尺是等价关系。 定理2 2 若尺是u 上的二元关系，则 ( 1 ) 若露是串行和对称的，则足2 是自反的， ( 2 ) 若尺2 是自反的，则尺既是串行的又是逆串行的。 证明( 1 ) k u ，由于r 是串行的，存在y e u 使( 石，y ) r ，又因为只是对称 的，若( ) ，工) r ，从而o ，z ) r 。r r 2 ，即r 2 是自反的。 ( 2 ) u ，由于r 2 是自反的，故o ，x ) r 2 ，从而存在y e u ，使0 ，y ) e r 且 ( y ，x ) r ，故r 既是串行的又是逆串行的。 定理2 3 若r 是【，上的对称关系，则只是传递关系当且仅当r 是欧几里得关系。 证明设r 是对称和传递的二元关系，v x ，y ，z e u ，若 ，) ，) 且且( x ，z ) r ，由 于r 是对称的，从而( ) ，石) 月。又由于r 是传递的，从而由( ) ，工) 旯和( x ，z ) 且可 得( y ，z ) r ，于是r 是欧几里得关系。 反之，若r 是对称和欧几里得关系，慨，y ，z 【，若( x ，y ) e r 且( ) ，z ) r ，由 于r 是对称的，因此( ) ，x ) r ，又由于r 是欧几里得关系，从而由( ) ，x ) r 和 ( ) ，z ) e r 可得o ，z ) r ，于是r 是传递关系。 定理2 4 设r 是u 上的二元关系， ( 1 ) 若r 是串行、对称和传递的二元关系，则r 是自反关系， ( 2 ) 若r 是串行、对称和传递的二元关系，则r 是等价关系。 证明( 1 ) v x e u ，由于r 是串行的，因此存在y e u 使( x ，_ ) ，) r ，又因为r 是 对称的，a k 而( y ，石) r 由于r 是传递的，故由( x , y ) e r 和( y ，x ) 只得( 工) r ， 即r 是自反的。 ( 2 ) 由( 1 ) 即得。 8 华中科技大学硕士学位论文 定理2 5 若r 是c ，上的二元关系。 ( 1 ) 若r 是串行、称和欧几里得二元关系，则r 是自反关系， ( 2 ) 若r 是串行、对称和欧几里得二元关系，则r 是等价关系。 证明( 1 ) 由定理2 3 知，对称和欧几里得关系一定是传递关系，从而由定理2 4 知r 是自反的。 ( 2 ) 由( 1 ) 即得。 2 2 模糊二元关系及其复合 定义2 3 设u 和是两个非空论域，模糊子集n e f ( v x w ) 称为从u 到上的 一个模糊二元关系，对于( x ，y ) e u x w ，r ( x ，y ) 是x 与y 具有关系r 的程度。若 v x e u ，存在y e w ，使得r ( x ，y ) 1 1 ，则称r 是模糊串行关系；当u 一矿时， r e f ( u u ) 称为【，上的模糊二元关系，称r 是模糊自反关系，若峨u 有 r ( x ，算) - 1 ；称r 为模糊对称关系，若慨，y e u 有r ( x ，y ) i r ( y ，x ) ；称r 是模糊传 递关系，若慨，z e u 有r ( x ，z ) 苫羔，( r ( 毛_ ) ，) a r ( ) ，z ) ) ；称r 是模糊欧几里得关系， 若坳，z 【，有r ( y ，z ) 兰，( 尺o ，y ) r ( x ，z ) ) ；称r 是模糊等价关系，若r 是模糊 自反、对称和传递关系。 定义2 4 设u ，v ，是三个非空有限论域，r 是从u 到y 上的模糊二元关系，s 是从v 到上的模糊二元关系，记 r o s ( “，) - 善( r 0 ，v ) s ( v ，) ) ，0 ，w ) u x w 则ro s 是从u 到上的模糊二元关系，称为关系尺与s 的模糊复合关系。特别地， 若r 是u 上的模糊二元关系，记r 2 i r o r ，更一般地，对于正整数七乏2 ，记 r _ r o r 不难验证以下定理成立： 定理2 6 设r 是从【，到上的模糊二元关系，则 ( 1 ) 尺是模糊串行关系当且仅当对于任意a e i ，r o 是经典串行关系， 若r 是【厂上的模糊二元关系，则 ( 2 ) r 是模糊自反关系当且仅当对于任意口e l ，r 是经典自反关系， ( 3 ) r 是模糊对称关系当且仅当对于任意a e i ，r o 是经典对称关系， ( 4 ) 月是模糊传递关系当且仅当对于任意a e i ，r o 是经典传递关系， 9 华中科技大学硕士学位论文 ( 5 ) r 是模糊欧几里得关系当且仅当对于任意口6 1 ，兄是经典欧几里得关系， ( 6 ) r 是模糊等价关系当且仅当对于任意口，r 是经典等价关系。 由定义2 3 知，若r 是u 上的模糊自反关系，则r 一定是模糊串行关系。类似于 经典情形，由定理2 1 2 5 和定理2 6 可得以下定理2 7 2 1 1 成立： 定理2 7 若r 是u 上的模糊二元关系，则 ( 1 ) 若r 是模糊自反和欧几里得关系，则只是模糊对称关系， ( 2 ) 若r 是模糊自反和欧几里得关系，则r 是模糊传递关系， ( 3 ) r 是模糊自反和欧几里得关系当且仅当r 是模糊等价关系。 定理2 8 若r 是u 上的模糊二元关系，则 ( 1 ) 若r 是模糊串行和对称关系，则r 2 是模糊自反关系， ( 2 ) 若r 2 是模糊自反关系，则r 是模糊串行关系。 定理2 9 若r 是u 上的模糊对称关系，则r 是模糊传递关系当且仅当r 是模糊 欧几里得关系。 定理2 1 0 若r 是( ，的模糊二元关系，则 ( 1 ) 若r 是模糊串行、对称和传递二元关系，则r 是模糊自反关系， ( 2 ) 若r 是模糊串行、对称和传递二元关系，则r 是模糊等价关系。 定理2 n 若r 是【，上的模糊二元关系，则 ( 1 ) 若r 是模糊串行、对称和欧几里得二元关系，则r 是模糊自反关系， ( 2 ) 若r 是模糊串行、对称和欧几里得二元关系，则r 是模糊等价关系。 2 3 广义粗糙近似算子的合成 当一个经典集合被一个广义经典近似空间描述时我们可以得到广义经典粗糙 集。 定义2 5 设r 是从( ，到上的一个二元经典关系，称三元组( u ，w ，足) 为广义近 似空问。v a e p ( w ) ，a 关于近似空间( u ，w ，尺) 的上近似画( 4 ) 与下近似区( 爿) 分别 定义如下： 垦( 爿) - x u ：( x ) 爿) ， 蠢( 彳) 一 z u ：b ( 工) n 一一妒) ( 2 1 ) 序对( 星( 4 ) ，画( 爿) ) 称为广义经典粗糙集，算子星与瓦：p ( 彤) 一p ( u ) 分别称为( 广义) 粗糙下、上近似算子。 1 0 华中科技大学硕士学位论文 注2 1 显然，当【，一w ，r 是u 上的等价关系，当4 p ( u ) 时， 垦( 4 ) 一仁e u ： x 。4 】i u e 工l ：乩c _ a ) ， 页( 4 ) - 仁e u ：乩r a 一小- u 缸k ：【工 。n a 一妒) 故广义近似算子是p a w l a k 经典近似算子的推广形式。 。 广义近似算子满足以下的性质： 定理2 1 2 设r 和s 是从u 到矽上的二元经典关系，则广义粗糙近似算子满足性 质：爿，b p ( w 1 ， ( l p ) r c _ _ s 辛量( 爿) 星( 彳) ，( u p ) r s 辛r ( 4 ) s ( 4 ) ； ( l 1 ) 垦( 彳) - 一页( 一a ) ，( u 1 ) i ( 彳) - - r _ ( - a ) ； ( l 2 ) 星( 矽) u ，( u 2 ) 页( 庐) 一妒； ( l 3 ) r ( a n b ) - 星( 彳) n 星( b ) ，( u 3 ) 元( 4 u 曰) 一i ( 4 ) u i ( b ) ； ( l 4 ) 4 b 辛星( 彳) 星( b ) ，( u 4 ) a c _ b = ，- r ( a ) c _ _ - r ( b ) ； ( l 5 ) 星( 爿u 口) 2 星( 彳) u 星( b ) ，( u 5 ) 页( 爿n 口) i ( 彳) n i ( b ) 定义2 6 设u ，v ，w 为三个有限非空论域，甓- ( u ，v ，r ) 和j = ( y ，w ，s ) 是两个近 似空间，称q t s i ( u ，w ，r 。s ) 为近似空间q 己与s 的合成。记 一ro ( 4 ) 一星( 墨( 4 ) ) ，i 。i ( 彳) 一天( i ( 爿) ) ，4 p ( 形) 则星。墨和瓦。i ：p ( ) 一p ( u ) 分别称为下近似算子显与的合成和上近似算子i 与 i 的合成。 定理2 1 3 设冠- ( u ，y ，r ) 和j = ( v ，w ，s ) 是两个近似空间，则 ( 1 ) 一r 。一s ( a ) t - 忑o s ( 4 ) ，4 p ( ) ， ( 2 ) 星。s _ ( a ) - r o s ( a ) ，a p ( w ) 证明( 1 ) v a e p ( w ) ，慨u ， x 万。i ( 爿) 一工瓦( i ( 彳) ) 一b ( x ) f 1 - s c a ) 一驴 t ，：i v 矿( v bb ) ，v j ( 爿) ) 一如y ( v 匙( x ) ，s s ( v ) n 彳一妒) 1 1 华中科技大学硕士学位论文 如y ( v b 扛) ，j w ( w s ( v ) ，w 4 ) ) 营j w 形( w ( r 。s ) 。( z ) ，w e a ) 一( r 。s ) 。( z ) n 4 一驴 x e r o s ( a 1 故r 。s ( a ) - r 。s ( 彳) ( 2 ) v a p ( w ) ，由定理2 1 2 中的对偶性质( 1 ) 和( u 1 ) 可得 r o s ( a ) 瓦- - j s ( a ) 一面( j ( 一彳) ) - 一面( 一墨( 爿) ) 一星( ( 爿) ) l 星( 墨( 彳) ) i 星。( 爿) 在定理2 1 3 中，当u - v w ，且r s 时可以得到以下推论： 推论2 1 设r 是u 上的二元关系， 甭( 彳) - 页。页( 4 ) ，壁( 爿) 一星。星( 4 ) ，v a p ( u ) 推论2 2 设r 是u 上的传递关系，则 一r 。面( 爿) 页( 爿) ，星( 爿) 墨。墨( 彳) ，v a p ( u ) 证明 v a e p ( u 1 ，由于r 是传递关系，因此r 2c _ r ，从而由近似算子的性质 ( u p ) 得- 万( a ) c - - r ( a ) ，从而由推论2 1 得一r o 瓦0 ) i ) 同理可得 r ( a ) 墨。星( 彳) 2 4 粗糙模糊近似算子的合成 当一个模糊集合被一个经典近似空间描述时我们可以得到租糙模糊集。 定义2 7 1 z 设( u ，w ，r ) 为广义近似空间。v a f ( w ) ，模糊集爿关于近似空间 ( u ，w ，r ) 的上近似i ( 彳) 与下近似星( 4 ) 是【，上的一对模糊子集，其隶属函数定义如 下： 页( 爿) ( 工) 崔( 。) 彳( y ) ，x 【， 星( 爿) ( 小。盈彳( ) ，) ，x u ( 2 2 ) 1 2 华中科技大学硕士学位论文 序对( 星( 彳) ，页0 ) ) 称为粗糙模糊集，算予星- 与- ：fc w ) - - fc u ) 分别称为粗糙模糊 下近似算子和粗糙模糊上近似算子。 粗糙模糊近似算子满足性质【1 目： 定理2 1 4 设r 和s 是从u 到上的二元经典关系，则y a ，曰f ( w ) ，v a e l ， r f l p ) r c _ s 一墨( 彳) 星( 爿) ， r f l l ) 区( 爿) 一一i ( a ) ， r f l 2 ) 区( 彳u d ) - r ( a ) u d ， ， r f l 2 ) 基( k ) - l ， r f l 3 ) _ r ( a n b ) - 星( 爿) n 星( 口) ， r f l 4 ) a b 辛尽( 彳) 星( 曰) ， r f l 5 ) 星( 4 u 口) 2 星( 爿) u 星( b ) ， 定义2 8 设u ，v ，w 为三个有限非空论域， ( r f u p ) r c _ s 辛- r ( a ) c _ - s ( a ) ； ( r f u l ) i ( 彳) - 一星( 一) ； ( r f u 2 ) i ( 彳n d ) 一i ( 彳) n 矗； ， ( r f u 2 ) i ( 妒) - 妒； ( r f u 3 ) i ( 爿u 曰) - 面( 4 ) u 页( b ) ； ( r f u 4 ) 彳曰一页( 彳) 页( b ) ； ( r f u 5 ) i ( 4 n b ) i ( 4 ) n 页( b ) 口己i ( u ，v ，r ) 和j = ( v ，w ，s ) 是两个经 典近似空l 自j ，记 墨。墨( 4 ) 一星( ( 爿) ) ，面。i ( 彳) - 页( i ( 彳) ) ，彳f ( - 矿) 则星。墨和面。i ：f ( ) 一f ( u ) 分别