（概率论与数理统计专业论文）一类椭圆方程边值问题的概率算法.pdf

摘要 在物理学、工程技术等众多领域中广泛存在着二阶椭圆型偏微分 方程边值问题，由于定解区域无界或区域边界上的条件复杂，使得许 多边值问题的准确解很困难、甚至于无法获得。随着计算机技术的迅 速发展，数值解法越来越受到人们的重视。探讨建立新的方法、完善 发展传统方法，对实际问题进行数值研究有着重要意义和发展前景。 对于调和方程及一类泊松问题等曾有文献提出了一种高效概率 数值方法，本论文通过更进一步的深入研究，将此方法推广应用到了 一类复杂的椭圆边值问题，建立了此问题在有界和无界区域上的概率 算法。基于椭圆方程与概率论中的扩散过程等之间的密切联系，该方 法从边值问题的解可以表示成某个扩散过程或随机过程泛函的期望 出发，将问题离散化，并运用了布朗运动、漂移布朗运动等扩散过程 的某些特有的性质。研究表明：与传统数值求解方法相比，这种方法 在降低维数、逐点求解、无界区域求解等方面具备一定的优越性。 绪论部分综述了椭圆型偏微分方程边值问题的背景、研究现状以 及目前求解边值问题的主要数值方法，并介绍了概率算法的思想。 论文第二章简述了椭圆方程边值问题、布朗运动、马尔可夫性等 相关的预备知识。 第三章在已有研究的基础上，建立了一类有界区域上高维椭圆边 值问题数值解的概率算法。 第四章将概率算法推广到一类较复杂的无界区域边值问题上，通 过在无界区域外部构作一个辅助球的方法，将无界区域问题转化为定 解区域边界上的问题，再在边界上进行剖分，将问题离散化，然后求 出离散问题的数值解。其中不仅运用了漂移布朗运动及其强马尔可夫 性，还利用了其从球外任意一点出发、首中球面的位置和时间的联合 分布等。 第五章给出了数值算例，以显示该方法的有效和简便。论文最后 对概率算法作了小结。 关键词二阶椭圆方程边值问题，概率算法，布朗运动，漂移布 朗运动，强马尔可夫性 a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f s e c o n do r d e ra r ea p p e a r e di nm a n yf i e l d ss u c ha sp h y s i c s 、m e c h a n i c sa n d e t c i ti su s u a l l yt h a tt h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mc a nn o tb ee a s i l y o b t a i n e da c t u a l l yb e c a u s eo fc o m p l e xb o u n d a r yo ru n b o u n d e dd o m a i n s w i t ht h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e r s ，p e o p l ep a ym o r ea n dm o r ea t t e n t i o n t ot h en u m e r i c a ls o l u t i o n b o t hi nt h e o r ya n dp r a c t i c e ，i th a sab r i g h t f u t u r et od e v e l o p en e wm e t h o d sa n di m p r o v et r a d i t i o n a lm e t h o d s ae f f i c i e n t p r o b a b i l i s t i cc o m p u t i n gm e t h o df o rh a r m o n i ca n d p o i s s o np r o b l e m si sp r o p o s e d i nt h et h e s i st h i sm e t h o di sf u r t h e rs t u d i e d a n di se x t e n d e dt oak i n do f c o m p l i c a t e de l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o v e rb o u n d e da n du n b o u n d e dd o m a i n s b a s e d0 1 1t h er e m a r k a b l e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f u s i o np r o c e s s e sa n ds e c o n d - o r d e re l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ef i r s t l yr e p r e s e n tt h es o l u t i o no ft h eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m 嬲t h ee x p e c t a t i o no fd i f f u s i o np r o c e s s e st om a k et h e p r o b l e md i s c r e t i z e d f i n a l l y , b yu s i n gt h es t r o n gm a r k o vp r o p e r t yo f b r o w n i a nm o t i o ne t ct oo b t a i nt h es o l u t i o n st ot h ed i s c r e t i z e dp r o b l e m s t h es t u d ys h o wt h em e t h o dh a ss o m ea d v a n t a g e sc o m p a r e dw i t hs o m e i nc h a p t e r1 ，t h ep r e s e n tc o n d i t i o n so fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h e e l l i p t i cp r o b l e m s ，t h ep r o b a b i l i t yt h e o r yw h i c hc o n n e c t sw i n lt h ee l l i p t i c e q u a t i o n s ，a n dt h em a i nn u m e r i c a lm e t h o d sa l es u m m a r i z e d e s p e c i a l l y t h em a i ni d e a so f t h e p r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o d a r ei n 仃o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h ee s s e m i a lc o n c e p t i o n s ，p r o p e r t i e sa n dt h e o r e m se t e i nt h e e l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dp r o b a b i l i t yt h e o r y i n v o l v e di nt h et h e s i sa r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3e s t a b l i s h e st h ep r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o df o rak i n d o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so v e rb o u n d e dd o m a i n s c h a p t e r4g e n e r a l i z e st h em e t h o dt oa k i n do fc o m p l i c a t e db o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so v e ru n b o u n d e dd o m a i n s i tb a s e s0 1 1t h es t o c h a s t i c r e p r e s e n t a t i o n s o fs o l u t i o n s i n t h eb o u n d e dd o m a i no u t s i d et h e u n b o u n d e d ，a l la u x i l i a r yb a l li sc o n s t r u c t e dt om a k et h ep r o b l e mo v e r u n b o u n d e dd o m a i m st u r n e di n t oap r o b l e mo v e rb o u n d a r y s u b d i v i s i o n o v e r b o u n d a r yi s n e e d e dt om a k et h e p r o b l e md i s c r e t i z e d t h e d i s t r i b u t i o n so f t h et i m ea n d p l a c eo f h i t t i n gs p h e r e sf o rb r o w n i a nm o t i o n o rb r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f tf r o mo u t s i d es p h e r e si se m p l o r e dt og a i n t h en u m e d c a ls o l u t i o n i nc h a p t e r5 ，t h en u m e r i c a le x a m p l es h o w st h ep r o b a b i l i s t i cm e t h o d i sb o t hc o v e n i e n ta n d e f f i c i e n t f i n a l l y , w es u m m a r yb r i e f l yt h em e t h o d k e yw o r d sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r e l l i p t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs e c o n do r d e r , p r o b a b i l i s t i cn u m e r i c a lm e t h o d s ， b r o w n i a nm o t i o n ，b r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f t ，s t r o n gm a r k o vp r o p e r t y 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：扭墨鲢 日期：这! 丛年j 卫一月二兰苎日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，e p , 学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名；整丝导师签名型马魄碰年卫月丝日 第一章绪论 1 1 椭圆方程边值问题研究概况 1 1 1 研究现状及背景 偏微分方程( p d e ) 是伴随着物理学、力学等自然科学及工程技术的发展面 出现的，早期建立p d e 的有根据牛顿引力理论而推导出的描述引力势的拉普拉斯 方程和泊松方程、流体力学中的纳维一斯托克斯方程组等。另外。像描述波的传 播的波动方程，描述传热和扩散现象的热传导方程也都是古典的p d e 。自1 9 世 纪开始，相继出现了大量的p d e ，如描述微观粒子的薛定谔方程、广义相对论中 的确定引力场的爱因斯坦方程、在基本粒子研究中有重大作用的杨一米尔斯方程 等等。随着现代科学和技术的进步，p d e 产生和应用的范围已远远超出了传统领 域。对于建立的p d e ，通常需要作出各种附有具体条件而构成典型问题的解，然 后根据实际测量结果来检验和修正相应的物理理论。通过求解p d e ，使人们对自 然现象获得更加深刻的认识，并能预见新的现象。尽管人们研究发展了特征线法、 格林函数法、积分变换法等许多方法去求p d e 的准确解，但遗憾的是仍有大量的 p d e 的准确解是难以获得的【“”。 在数学上，边值问题是要找出一个满足已知n ) e 和特定边界条件的函数，它 与椭圆型p d e 相联系的，但和解双曲型p d e 初值问题有很大不同，解边值问题比 较困难，这是由于物理上要求边值问题的解必须在全部定义域上获得，面初值问 题是在局部范围内的解。边值问题的解一般需要满足一定的边界条件或初始条 件，因为定解区域无界或区域边界上的条件复杂，使得我们对于大多数p d e 边值 问题很困难或无法求得准确解。对于大量不能获取准确解的，通常只好转求它们 的数值解。随着计算机技术的迅速发展，p d e 的数值解法，越来越受到人们的重 视，探讨建立新的方法、完善发展传统方法，对实际问题进行数值研究有着重要 意义和发展前景。 下面我们简要介绍p d e 数值求解的主要方法( 参见文 5 2 1 ) 6 a l e r k i n 法是较早出现的求p d e 边值问题数值解的方法，其主要思想是： 将边值问题化成与之等价的变分问题，如位能原理、虚功原理、杂交和混合变分 原理，然后用g a l e r k i n 法求解相应的变分问题。虽然建立了较完善的收敛性和 误差估计理论，但在应用中会遇到一个重要问题，即逼近空间的构造问题，传统 的g a l e r k i n 法通常取代数多项式、三角多项式或与某一特定问题的函数类作为 逼近空间，但这种作法有很大的局限性。首先，逼近空间的函数应满足本质边界 条件，当区域几何形状不规则或边界条件过于复杂时，这一要求很难实现，其次， 即使这种逼近空间作出来了，要形成g a l e r k i n 方程( 涉及到大量积分的计算) 并求解它( 方程的系数矩阵非稀疏) 也很困难，需要大量计算，甚至大型计算机 也难以完成。 自1 9 4 0 s 以来，数学家和力学工程师借助网格剖分和样条函数方法，用分片 多项式函数构成逼近空间，克服了传统的构造逼近空间遇到的困难，使g a l e r k i n 法发展到一个新阶段，文献上把这类g a l e r k i n 法称为有限元法。几十年来，有 限元法在理论和应用方面取得很大的成功，成为求解p d e 边值问题的主要数值方 法。后来发展起来的自然边界元方法、非协调元方法、混合元、区域分解算法等， 也发挥了很大的作用。 另一求解p d e 边值问题的主要方法是差分方法，它已有较长的历史以及深入 的研究。基本思路是：首先对定解区域作网格剖分，将其剖分成有限多个子区域， 然后在网格结点上用差商代替导数，将偏微分方程及其边界条件离散化，得到相 应的线性代数方程组，即称为差分方程组。最后，求解方程组，得到p d e 的数值 解。差分方法需要对定解区域进行剖分，然后才能将定解问题离散化，因而适用 于有界区域边值问题即内边值问题，当定解区域为高维时，区域剖分、结点加密、 代数方程组的求解等都相当困难，另外差分方法有时要受到差分格式的限制。 m o n t e - c a r l o 差分方法、m o n t e - c a r l o 有限元方法基于m o n t e c a r l o 方法， 它们都是以大数定理为基础，通过随机模拟的统计结果的得到数值解，它不需要 解代数方程组，质点随机游动的时间不依赖于区域的维数，这是它们的优势，但 是实现一次随机过程模拟所需要的随机数数目往往是很大的，少则几千个，多则 2 亟堂僮论塞蓥= 童绻垃 几十万、百万个以上，而且这些随机数的产生必须简便可靠，这是不容易的。 为了更清楚地阐述概率算法，下面介绍有限元法、耦合算法的基本思想。 1 1 2 有限元法 亡：= m t ， 砸，v ) = 善db 蛾谵 g ( v ) 2 触 其中b 甜= 斋，疵= 出( i ) 出埘) 。 形” ) = p ：d 4 v ( q ) ，h m c 。= 妇上无限次可微函数 g ( q ) = 0 c 。心) ：s l l p 掣在q 中紧呻肛= 扛q ：g ) o 其中口：h 。) ，例：db l ，d a ，表示函数，的口阶分布导数。g 按范数 9 ，| | 。，加= f ；萎i 矿 ，l 出1 9 ( 1 p 0 ，使得 v h 0 , v e e t k , c i ，溉：e e t * c 2 则称剖分t ，h 0 为拟一致剖分。 考虑在拟一致剖分r 建立l a g r a n g e 型线性有限元空问，记 s 一位) = ，c ： 4 ，最( p ) ，v e e t ， 4 亟圭堂僮监塞签二耋绪监 磷= 和s 6 ：1 ，i 。= o 其中只q ) 为e 上全体一次多项式。可见，爵q ) c 硪( q ) 。 对于每个结点薯o = 1 ， ，) ，存在函数厶e 甜( q ) ，使 厶b ) = 岛，y = l ，n 厶，i = 1 ，构成空间黠( q ) 的基函数。于是，每个v 黠( q ) 可表示成 v = 如也 ( 1 3 ) 相应于问题( 卜2 ) 的离散问题为；求6 醋( q ) ，使得 口0 。，v ) = g ( v ) ，v v e 醋 ) ( 1 - 4 ) 在前面的条件下，此问题必有唯一解。由( 1 - 3 ) 有 矿= 砧6 k 地 ( 卜5 ) 令 v = 三。，i = 1 ，n ( 1 6 ) 将( 卜5 ) 、( 卜6 ) 代入( 卜4 ) 得 羔矿b - 也，句) ；g 也) ，_ ，：1 ，n 求解这个线性方程组，即得边值问题( i - i ) 的有限元数值解“6 “) ，i = i ，n 。 关于有限元解的收敛性，由 8 有 引理 - - u h 0 呐由- - o ( h ) 其中删。，皿= e s ss u p l v ( x l 朋n 通过上例，我们看到有限元法的思路是，将边值内问题转化为与之等价的某 个泛函的极值问题，即相应的变分问题。然后，通过求解变分问题来求解边值内 问题。它需要把整个定解区域剖分为有限数且的单元，以每个单元上的分片多项 式为基函数，构成整个区域上的有限元空间。然后在这个有限元空问上，求解相 应的离散的变分问题，从而得到数值解，这里需要求解一个未知数个数与剖分内 亟堂位i 幺塞箍= 童绪论 结点数目相等的线性代数方程组。可见，虽然有限元法求解边值内问题是有效的， 但是它确实存在一些不足。用有限元法求解高维问题时，在单元形状、区域剖分、 线性代数方程组求解等方面有时会出现很大的复杂性，以致于带来计算量过大等 问题。有限元法需对整个区域进行剖分，再求得整个区域上所有网格结点上的数 值解，当只需求在某几个特殊点的数值解时，按有限元法做显然会浪费很多的工 作量。另外，有限元法很难解决无界区域上的边值问题即外边值问题。 1 1 3 耦合算法 自然边界元法( 或称边界积分方程法) 近二十年来在求解p d e 边值问题上取 得了许多研究成果，该方法的思路是先将区域上的边值问题化成边界面上的积分 方程，再用g a l e r k i n 法( 或其它数值方法) 求解，它具有的最大优点是可以用 来解决园内( 外) 区域、球内( 外) 区域等特殊区域上的椭圆边值问题，但用该 方法导出的方程组，其系数矩阵往往为非对称的“满矩阵”( 即很少零元素) ，给 计算造成很大困难，另外还会遇到大量奇异积分的计算。对一般的区域，自然边 界元法需要与有限元方法结合起来才能解决问题，因此，自然边界元方法仍依赖 于一般的有限元方法和差分方法。 耦合算法由自然边界元法与有限元法耦合而成，它与区域分解算法是目前求 解外边值问题的主要方法，但目前的结果也多用于二维问题。 通过下面对耦合算法的介绍，可以了解到现有求解外问题方法的一般思路。 考虑边值问题 f 一= o ，在d 中 (1-7) i ”= 厂 在a d 上 其中d c r 2 是一个有界开集，a d 为其边界，d 为a d 的外部区域，“满足适当 的无穷远边界条件。 令 日v ，= 莎窑象+ 考考，埘 5 悯= 岛昙考锄跏= 厢 眩( d ) = 0 卜啊( d ) ，“i 。= o 则边值问题( 卜7 ) 等价于变分问题： 求”喇( d ) ，使得甜i 。= ，且有 h ( u ，v ) = o v v 眩( d ) 作包围a d 的圆周r ，其方程为x 2 + y 2 = r 2 。入工边界r 将区域d 分为两部 分，即a d 和r 所围的有界区域d l 和r 外部的无界区域d 2 。将自然边界归化法应 用于无界区域d ：，而在有界区域d 1 内应用有限元方法 采用极坐标( ，d ，可得r 上的自然积分方程为 a “ o n 丽14封( r ，缈7 rs i n 2 导1 “7 其中行为a d 的外法向方向。于是有 嚣似力2 吵面8 u 瓦0 v + 考考) 姗= ( 驴纱( 瓦0 u 瓦0 v + 考劬= 蜀纰v ) + 日z 积d 其中 姒州= 2 j # 2 f x 一研1 ) 州印v o ( o ) d o 抛 从而变分问题等价于：求吲( d 1 ) ，使得即i a d = ，且 h t ( u ，v ) + h z ( u ，v ) = o , v v 嘲( q ) 相应的离散变分问题为；求s a d , ) ，使得l a d = ，且 马( ，v d + h ：( ，v h ) = o ，v 岛( d 1 ) 其中魏( d 1 ) c 列( d 1 ) 为d l 上的有限元空间，岛( b ) = 瓯( d 1 ) ，1 ，| a d = o 。在 7 硬堂焦j 金塞箍= 童缝j 金 作d 上的有限元剖分时，使其在人工边界r 上的结点就是r 上的等分点。于是 由离散变分问题得到线性方程组 q u = ， 其中u 为待求的数值解构成的矩阵，q = q 1 + q 2 ，q i 及q 2 分别通过双线性型 凰( 甜，v ) 及日：( ”，v ) 求出，即a 由有界区域d i 上通常的有限元方法得到，q 2 由圆 外部区域上的自然边界归化法得到，右端，则由厂得到。求解这个线性代数方 程组，得到外边值问题( 卜7 ) 的数值解。 通过上面的阐述，我们看到耦合算法，首先是在无界区域上引进一条人工边 界，在人工边界上给出适当的人工边界条件后，将问题近似地转化为有界区域上 的边值问题，再进行数值求解。为使原问题的解与有界区域上边值问题的解的误 差很小，在人工边界上给出的人工边界条件必须具有高精度，目前这个问题仍在 研究当中。另外，其它的已有的求解外边值问题的方法与耦合算法类似，都是要 与区域上的有限元法结合起来做，当然也存在着与有限元法同样的不足。 1 2 概率算法 一直以来，概率论的发展就与其它学科的发展是紧密联系、相互促进的，特 别是近二十年来，这种概率论与其它学科的交叉融合尤为显著和密切，形成了一 些新的学科分支和学科生长点，如概率与随机算法和计算复杂性、概率论与p d e 等，其中运用概率论研究p d e 就取得了众多的研究成果( 参见文 2 2 4 0 ) 。 扩散过程理论在物理、化学、生物、经济、工程等领域中有广泛的应用，例 如：分子运动、带噪声的通讯系统、期权与期货定价等一系列研究中，扩散 过程都是一个很好的近似模型。 此外，扩散过程也与微分方程的研究有密切的联系，许多扩散过程的泛函， 例如击中分布、平均吸收时间、占位时间分布、不变测度等等都是一些微分方程 的边值或初值问题的解。不仅扩散过程理论有时可以提供一些系数与边界要求较 宽的微分方程解的存在性、唯一性条件，而且概率意义的直观也可以为微分方程 的问题的合理提法提供启迪。 8 众所周知，随机微分方程经常可以决定扩散过程，例如，有的扩散过程就是 指关于布朗运动的随机微分方程 a x , = 烈置) d t + 似置) d 形 ( 卜8 ) 的解。其中，形是一个布朗运动 扩散过程与二阶椭圆型和抛物型偏微分方程之间有着广泛的联系，许多二阶 椭圆型和抛物型偏微分方程的问题的解可以表示成某个扩散过程的泛函的期望。 特别地，二阶椭圆型偏微分方程边值问题的解可以表示成由方程( 1 - 8 ) 所决定的 扩散过程的泛函的期望。 如考虑较简单的拉普拉斯方程： i a u = o 在d 中 (1-9) i 甜= f ，在8 d 上 其中d c r 4 ，d 为有界开集，8 d 是d 的边界，是8 di - 的连续函数，8 d - 每点规则。 问题( 1 - 9 ) 的唯一有界解就可以表示为 巩吩= e 矿( 职。) 】，v x d ( 卜l o ) 文 6 1 - 6 3 初步研究了调和方程及一类泊松方程等模型方程较简单的边值问 题，提出了一种高效概率数值方法。基于椭圆方程与概率论中的扩散过程等之间 的密切联系，本论文通过更进一步的深入研究，将此方法推广应用到了一类复杂 的椭圆边值问题，建立了此问题在有界和无界区域上的概率算法。 基本步骤是：首先，对区域d 的边晃扩d 进行剖分，建立有限元空间，并构 造边界如上相应的基函数，从而将问题离散化。然后，将辅助球b n 的边界扩 也进行相应的剖分，并且建立边界8 b r _ 1 ：满足一定条件的函数。最后，利用布朗 运动等扩散过程的强马尔可夫性和它们的球面首中位置或首中时分布，以及条件 期望的性质等等，建立一个未知数个数与边界8 d 上结点数目相等的线性代数方 程组，求解这个方程组，就可以获 ；导问题的数值解。若是无界区域，则将其转化 为定解区域边界上的问题加以解决。 9 亟堂焦途奎筮= 童绻i 幺 研究表明，该方法对某些类型的二阶线性椭圆方程边值问题较为适用，它能 有效解决已有的某些数值方法中存在的一些不足，减少了计算量，提高了效率。 首先，这种概率算法从解的随机表达式出发，将定解区域上的问题转化成了定解 区域边界上的问题，只需要对边界进行剖分，因此，三维问题就转化为了二维问 题，离散结点数目大大地降低，代数方程组的未知数的个数相应地大大降低，工 作量大幅度减少，使计算机能更好地发挥效用。其次，因为求解是逐点逐点进行 的，所以，当只需要知道区域内个别特殊点上的数值解时，就可以只求这几个点 上的值，不会浪费工作量。另外，可将无界区域上的问题转化为无界区域边界上 的问题，从而解决外问题，最后，随机表达式对边界的要求是非常一般的，只要 求边界点规则，对边界的形状没有什么特别的限制。所以，这种概率算法可适应 各种边界复杂的情形，例如可以应用于具有复杂边界的电场问题等。 1 3 论文主要内容和结果 绪论部分综述了椭圆型偏微分方程边值问题的背景、研究现状以及简介了求 解边值问题的有限元法、藕合算法等主要数值方法，并介绍了概率算法的思路。 第二章简要叙述了椭圆方程边值问题、布朗运动、漂移布朗运动及马尔可夫 性等相关的预备知识。 第三章在文 6 卜6 3 初步研究的基础上，探讨了一类复杂的有界区域上椭圆 边值问题数值解的概率算法。由于该问题的解的随机表达式较复杂，首先我们将 问题离散化。再利用布朗运动、漂移布朗运动及其球面首中位置和首中时的联合 分布等性质，最后给出了概率算法步骤。 第四章将概率算法推广到一类较复杂的无界区域边值问题，通过在无界区域 外部构作一个辅助球的方法，将无界区域问题转化为定解区域边界上的问题，再 在边界上进行剖分，将问题离散化，最后求出离散问题的数值解。其中不仅运用 了漂移布朗运动及其强马尔可夫性，还利用了其从球外任意一点出发、首中球面 的位置和时间的联合分布等。 第五章给出数值算例，以显示概率算法的简便和有效。最后对这一方法作了 小结和说明。 1 0 第二章预备知识 本章介绍了椭圆边值问题、布朗运动、漂移布朗运动、马尔可夫性等相关概 念和结论( 参见文 卜4 、4 1 5 0 ) 。 2 1 椭圆方程边值问题 符号说明： = 萋善表示拉普拉斯算子，v = ( 云，去，击) 表示哈密尔顿算子。 定义2 1 1 当一个微分方程除了含有几个自变量和未知函数外，还含有未 知函数的一个或多个偏导数时，称为偏微分方程( p d e ) ，一般来说，它可以写成 包含几个自变量墨y 和这些变量的未知函数“及其偏导数“，甜，1 1 。，甜， 的方程的形式 f ( x , y ，“，甜，甜材，甜掣，) = 0 这里，方程是在自变量五弘的拧维空间皿”中的一个适当的区域d 内考察 的。若能找出在d 内恒满足方程的那些函数= u ( x , y ，) ，则称其为方程的解。 出现在方程中未知函数的偏导数的最高阶数称为p d e 的阶。 定义2 1 2 如果一个p d e 对于未知函数及它的所有偏导数来说都是线性的， 且方程中的系数都仅依赖于自变量，那么这样的p d e 就称为线性p d e 。 二阶线性p d e 一般分为椭圆型、抛物型和双曲型三类。 刀个自变量而，屯，的二阶线性椭圆型p d e 的形式为 而置v 2 = f ( x i ，善2 ，x n ，“唧，甜勺，甜) 所谓边值问题就是要找出一个满足已知p d e 和特定边界条件的函数，它是与 椭圆型p d e 相联系的。 2 2 布朗运动和漂移布朗运动 符号说明： d 一正整数。置。一d 维欧氏空阃，胄一实数域；b ( r 。) 一只4 上的b o r e l a 一代数； = 红r 。：4 x8 o 为常数，善= 细- ，：，国，) ，8 j 忙m 0 lt - i d c r 4 ，为开集，铀表示d 的边界，万= d u 印，= r 4x d ，d = d 0 8 d ； ( g f ) 测度空间，【q ，f ，p ) 概率空间，其中q = ( 国) 是基本事件9 0 所成的集， ，为。中子集的盯一代数，p 为f 上的概率测度； e 表示在概率空间( q ，只p ) 上关于概率测度p 求期望，表示关于概率测度 求期望。 定义2 2 1 设 e ；，o 是f 的一个非减的子盯一代数族，即只只f ， 其中0 j t 0 0 。若对每个t 0 ，置是e 一可测的随机变量，则称随机过程x 适应僻 。 定义2 2 2 如果x 是一个随机过程，r 是一个随机时间，即r 是一个f 一 可测的随机变量，其值在 o ，o o ) 中取。定义函数五在事件 r 上为 x r ( 脚) = 以t 神( 毋) 如果以( 国) 对所有的印eq 有定义，那么置也能定义在q 上。这时，令 局( 。) ( 口) = 以 ) ，在 f = 上 定义2 2 3 ( q ，f ) 是一个可测空间，) 是f 的一个非减的子口一代数族。 一个随机时间丁称为关于饵 的一个停时，如果对于每一个t 0 ，事件口g t e 一个随机时间t 称为关于 的一个可选时。如果对于每一个t 0 ，事件 锣 f e 设r 为一停时，令 弓= 彳e f ：x , t v t o 有n ， e 称日为r 前事件盯一代数。 定义2 2 4 对v t 0 ，定义 只= n 一只+ i 称盯一代数族识 是右连续的，如果e = z + 成立。 参见 3 3 ，有下面两个命题成立。 命题2 2 5 停时是可选时。当僻 右连续时，可选时也是停时。 命题2 2 6 如果reb ( r 。) 是闭集，过程x 的样本轨道连续，则击中时 何r ( = i n f t o ：x ，( c o ) r 是一个停时。 定义2 2 7 称随机过程x 关于盯一代数族 e ) 是循序可测的，如果对v r 0 和s ( r 4 ) ，有 q ，国) ：0 ss s f ，q ，爿，( o j ) 彳 ( 占【o ，f 】) o 只 亦即，如果对v t 0 ，映射 ( s ，国) 卜只( 功 是( 【o 明g b ( 【o f 】) o f ) ，一( ，b ( r 。j ) 可测的。 命题2 2 8 如果随机过程x 是右或左连续的，且适应盯一代数族嘏) ，则x 关于魍，是循序可测的。 命题2 2 9 设z = z ，e ；o s f a o 是一个循序可测的过程，r 是关于盯一 代数族饵，的一个停时，那么按照定义2 2 2 定义在 f o o ) 上的随机变量x r 是 e 一可测的。 定义2 2 1 0 设( q ，f ，p ) 为一概率空间，g 为f 的一子盯一代数，设x 为 数学期望存在的随机变量，令，为x 关于户的不定积分，即 ，( 4 ) = 尉，蝴e f 于是，为一个符号测度，而且，关于p 是绝对连续的，如果将y 和p 都限制于测 度空间( q ，g ) 上，则仍然有，关于p 绝对连续。这时，存在唯一的g 一可测的 随机变量y ，使得 “口) = i y d p ，v b g 即有 研玩1 = e x i b 】，v b e g 称随机变量r 为x 关于g 的条件( 数学) 期望，记为e ( x f g ) 。 参见 4 4 、 5 0 成立 命题2 2 ”设g 为f 的子盯代数，条件期望具有下列性质； ( 1 ) 若e ( x ) 存在，则研e ( x l g ) 】存在，且 e z ( xjg ) 】= e ( x ) ( 2 ) 若x 为g 一可测，则 z x i g = z ，a & ( 3 ) 设c l ，g 为常数，x 、y 、g x + c , r 的期望存在，则 研c i x + c 2 y i g 】= c l 耳x l g 】+ c 2 目r l g 】， 乐童 ( 4 ) 设x 及x y 的期望存在，且】，为g 一可测，则 n x r i g 】= 珥z f g 】， & 命题2 2 1 2 设随机变量x ，y 的数学期望都存在，而且x ，l r 是相互独 立的，则有 e ( x r ) = e ( x ) e ( n 定义2 2 1 3 设( q ，f ，p ) 为一概率空间，若有a f ，r p ( a ) = 0 ，则称a 为p 一零概集。 一个口一代数族 e 被称为满足通常条件，如果它是右连续的，且昂包含f 1 4 中的所有户零概集。 定义2 2 1 4 一维标准布朗运动矽= 形，e ；ost 畸是一个连续适应的过 程，定义在某个概率空间( q ，f ，p ) 上，且具有性质： ( i ) = 0 ，& & ； ( 2 ) 对v o s t ，增量形一睨独立于e ，且服从均值为0 ，方差为卜s 的 正态分布。 定义2 2 1 5 设d 是一个正整数，是( r d ，联r 4 ) ) 上的一个概率测度。又 设矽= 形，e ；o f m ) 是一个定义在某个概率空间( q ，只p ) 上，而且取值于足4 中的连续适应过程，这个过程被称为一个初始分布为芦的d 维布朗运动，如果它 满足： ( 1 ) p ( 黟0 r ) = z ( r ) ，v r b ( r j ) ； ( 2 ) 对v o j t ，增量形一形与只独立，且服从均值为0 ，协方差矩阵等 于p s ) 1 。的矗维正态分布，其中i d 是d x 矗阶单位矩阵。 如果( 缸 ) = l ，则称形是一个开始于工的d 维布朗运动。 如果任何p 一零概集的子集都属于f ，则称f 关于p 是完备的。对于每个概 率测度p ，用f 9 表示f 按p 的完备化。 令 毒n p f p 其中n ，表示对所有概率测度来求交集。那么称声中的集为普遍可测集，称 户，暑( 更) 可测的实值函数为普遍可测的。 定义2 2 1 6 一个d 维布朗族是指一个在测度空间( q ，f ) 上适应的d 维过 程矿= 形，e ；f o ) ，它对一族概率测度 瑚一成立： ( 1 ) 对每个尼，映射善一( f ) 是普遍可测的； ( 2 ) 对每个x e r 4 ，p ( w o = = 1 ； ( 3 ) 在每个下，过程矽是个开始于工的d 维布朗运动。 定义2 2 1 7 对于给定的某个测度空问( q ，f ) 上的随机过程 x = 置，e ；o s f ( ，称 见：o 呻q ，s 0 为族位移算子，如果每个b 是f ，f 可测的，且 置。 ) = 置 ) v e q ，s , t 0 进一步，对任何一个随机时间$ ，定义随机位移算子良：扣 - - ) q 如下： ( o s c o ) ( t ) = ( 只砷( f ) ，在 s = s 上 令 e 。= 盯( z ；o j s ，) f ：= o 心t 。f j 、 定义2 2 1 8 设d 是一个正整数，一个d 维强马尔可夫族是指一个循序可测 的、在某个( q ，f ) 上的过程x = 置，e ；f o ) ，且有一族( g f ) 上的概率测度 p 。 。一，使得 ( 1 ) 对每个户- ef ，映射工卜p ( ，) 是普遍可测的； ( 2 ) p 0 ，o = = i ，v x 孟。； ( 3 ) 对任何x r 。，任何有界，? 一可测的随机变量r 以及任何关于 e 的 可选时s ，有 e 。( y 。0 s i + ) = e x , ( y ) 尸一& & 在岱 噼上 即 1 6 殛堂僮论塞箍三重亟备翅迟 e 。( 】，。以j + ) ( ) = y ( m ) p 以i 1 c 一( d 功) 只一a & 口 s o o l 参见 4 9 ，下面的两个结果成立。 引理2 2 1 9 一个d 维布朗族是一个强马尔可夫族。 引理2 2 2 0 设j = 五，只；r 芝o ，( q n ，妒 ，一是一个强马尔可夫族， 而且过程z 右连续，设s 是) 的一个可选时，r 是一个c + 一可测的随机时， 对所有的国q 成t ( e o ) s ( c o ) ，那么对任何x r 4 和任何的有界连续函数，： 盖4 _ r ，有 e 。l f ( x r ) l + 】( 国) = e j k 佃l f ( x r t 。卜s 佃) ) 】 p 。一& & 毒 r o ( i = 1 , 2 ，1 ) ，贝u 对v a f ，有 p ( 一) = ，( 彳i 马) p ( 马) + p ( a i 岛) p ( 岛) + 斗p ( 彳l 岛) p ( 风) 即全概率公式。 1 7 2 3 随机表达式 设6 f ( 善) ( 善) ：1 j ，d ，是胄4 寸五的连续函数，定义漂移向量 和离差矩阵 p ( x ) = ( 6 l ( 苫) ，b a x ) ，b a x ) ) 皈功= ( 嘞( 功) 一 考虑随机微分方程 a x , = 敝x t ) d r + o - ( x t 、d 职 写成分量形式亦即 一 d 斫；规( 置) 出+ 盯( 置) d 形。 - t 1 s i t js d ( 2 - 1 ) 这里，矽= 形；o s ， 0 0 是一个d 维布朗运动，x = z ；0 f ) 是一个样本轨 道连续、取值于r 4 中的随机过程。 定义2 3 1 称三组合( x ，矿) ，f ，固，) 是随机微分方程( 2 一1 ) 的一 个弱解，如果有 ( 1 ) ( q ，f ，即是一个概率空间，( e 是，的一族子仃一代数，并且满足通常 条件； (