（光学工程专业论文）长周期平板波导光栅的理论研究.pdf

摘要 摘要 本文比较详细地论述了长周期平板波导光栅的基本理论，其中包括平板波导 理论、模式耦合理论、波导光栅理论、微扰论以及波导系统的传输线理论，并在 此基础上推导出长周期波导光栅的模式耦合方程和位相匹配条件。 为了比较不同材料对长周期波导光栅的影响，我们以折射率不同的两种聚合 物材料b c b ( b i s b e n z o c y c l o b u t e n e ，1 5 5 0 n m 时折射率为1 5 4 2 2 4 ) 或者e n r ( e p o x y - n o v o l a k r e s i n ，1 5 5 0 n m 时折射率为1 5 7 ) 为光栅和波导的核心材料，以 p m m a ( p o l y m e t h y l m e t h a c r y l a t e ) 为覆盖层，并以二氧化硅，硅为基底层的长周 期波导光栅为例，较系统的阐述了长周期波导光栅的设计原理。 文中分t e 模和t m 模两种情况，利用c 语言和m a t l a b 编制相关程序， 计算出了波导光栅中传输光波的单模条件，绘制了导模层厚度与光栅周期的关系 曲线、长周期波导光栅的光栅周期与波导透射功率谱中最大功率衰减位置的关系 曲线，g 位相匹配曲线等。 此外，还详细讨论了波导光栅的设计参数对传输光潜的影向。文中的分析涉 及到不同传播模式下波导光栅的周期、波导层厚度、光栅的高度以及光栅长度等 参数，并重点讨论了最大功率衰减峰( d i p ) 的大小和位置以及3 d b 带宽。另外， 还对可能出现的双共振波长和过耦合现象进行了分析和论述。并通过以 ：的分 析，对长周期波导光栅作为掺铒光纤放大器的增益补偿器( 也可称作增益平坦 器) ，以及作为带阻滤波器等方面的应用原理作了分析探讨。 关键词：耦合模理论，传输线理论，微扰论，长周期光栅，波导光栅，增益平坦 化 a b s t r a c t a b s t r a c t t h er e l e v a n tt h e o r i e sf o r l o n g p e r i o dw a v e g u i d eg r a t i n g ( l p w g ) a r e d e m o n s t r a t e dt h a ti n c l u d ep l a n a rw a v g u i d et h e o r y , c o u p l e d m o d et h e o r y , w a v e g u i d e g r a t i n gt h e o r y ，p e r t u r b a t i o na n a l y s i sa n dt r a n s m i s s i o nl i n em e t h o d o nt h eb a s i so f t h e s et h e o r i e s ，t h ec o u p l e d - m o d ee q u a t i o na n dp h a s e m a t c h i n gc o n d i t i o ns u i t a b l ef o r l p w ga r ed e r i v e d t od e m o n s t r a t et h ee f f e c to fd i f f e r e n tm a t e r i a l so nt h el p w g , t w ok i n do f p o l y m e r s ：b i s b e n z o c y c l o b u t e n e ( b c b ) a n de p o x y n o v o l a k r e s i n ( e n r 、a r e s e l e c t e da sb o t h g u i d i n gl a y e r a n d g r a t i n gm a t e r i a l s ， w i t ht h e p o l y m e t h y l - m e t h a c r y l a t e ( p m m a ) a st h ec l a d d i n g m a t e r i a la n dw i t ht h es i l i c o n d i o x i d eo ns i l i c o n ( s i 0 2 s i ) a st h es u b s t r a t e t h ep r i n c i p l eo f d e s i g n i n g a l lo p t i m i z e d l p w gi sd e m o n s t r a t e di nd e t a i l o u rr e s u l t sc o v e rb o t ht ea n dt m m o d e s u s i n gcp r o g r a ma n dm a t l a b l a n g u a g e ，s i n g l e m o d ec o n d r i o no fl p w gw i t ht w ok i n d so fk e ym a t e r i a l si s o b t a i n e d t h ed e p e n d e n c eo f g r a t i n gp e r i o do nt h ew a v e g u i d el a y e rt h i c k n e s sa n dt h e d e p e n d e n c eo f t h em a x i m u m a t t e n u a t i o n ( d i p ) o nt h eg r a t i n gp e r i o di nt r a n s m i s s i o n s p e c t r u m ，i e p h a s e m a t c h i n gc u r v ea r ec a l c u l a t e d b e s i d e s ，t h e e f f e c t o ft h el p w gn b r i c a t i o n p a r a m e t e r s o nt h e p o w e r t r a n s m i s s i o ns p e c t r u mi sa l s od e s c r i b e d ，i n c l u d i n gt h ee f f e c t so ft h eg r a t i n gp e r i o d ， t h ew a v e g u i d et h i c k n e s s ，t h eg r a t i n gh e i g h ta n d l e n g t ho nt h et r a n s m i s s i o ns p e c t r u m ， e s p e c i a l l yo nt h ed i pa n df w h m i na d d k i o n ，t h ed u a l r e s o n a n c ea n do v e r - c o u p l i n g p h e n o m e n o na r ea l s od i s c u s s e d t h r o u g ht h ed i s c u s s i o na b o v e ，w ea l s oa n a l y z et h e a p p l i c a t i o no fl p w g a sag a i nf l a t t e n i n gd e v i c ef o re r b i u m - d o p e df i l t e r a m p l i f i e r ( e d f a ) ( o rg a i ne q u a l i z e r ) ，o rab a n d - r e j e c t i o nf i l t e r k e y w o r d ：c o u p l e d m o d et h e o r y ，t r a n s m i s s i o nl i n et h e o r y ，p e r t u r b a t i o nt h e o r y ，l p g w a v e g u i d eg r a t i n g ，g a i nf l a t t e n i n g i l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁盗盘茎 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 学位论文作者签名： 签字日期：3 一唯年月名曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘注盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤生盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：弓移乞 签字目期：& l p 年月罗日 导师鹳：磁犯莎 签字目期：z 卿乎年 f 月i o 曰 一 o 侈 q 4 月 第一章绪论 第一章绪论 1 1 概述 近年来，国内外对长周期光栅( l p g ) 特别是长周期光纤光栅( l p f g ) 的研究工 作十分活跃，并且集中大量的人力、物力进行了广泛深入的研发工作，并取得了较好 的实用效果。氏周期光纤光栅尺寸小、易于制备，无后向反射，具有很好的选频作用。 因为这些特点，长周期光纤光栅被研究用来作为掺铒光纤放大器( e d f a ) 的增益补偿 器 1 】，带阻滤波器 2 ，波长选择滤波器 3 】，宽带插分复用器 4 】等。此外，由于它对 温度、压力等外界因素较为敏感，可制作各种光纤传感器，如压力转换传感器 5 】、化 学浓度传感器【6 、液位传感器 7 ，8 等器件。在实际应用方面，也从最初的模式转换 器 9 ( 诱导露。三昂：，上昂。h l 晶模式之间转换) 发展到已研制成实用的掺饵光纤放大 器( e d f a ) 的增益平坦化器件，带阻滤波器 1 0 以及热敏，压敏传感器和光纤光栅传感 器等 1 1 ，短短几年就已从实验室走向生产实用化。目前，这些器件已在光纤通信和 传感系统中显示出巨大的潜力。 长周期光栅不仅可以在光纤上实现，在波导结构上制备也是可能的。长周期波导 光栅( l p w g ) 除了具有长周期光纤光栅的特点之外，还具有长周期光纤光栅无法比 拟的优点：几何外形及材料选择不受限制。长周期波导光栅的这一优点为它取代长周 期光纤光栅提供了可能，并在最近几年引起了研究人员的关注。随着波导光栅理论和 制备手段的改进与成熟，长周期光栅器件的制备必将得到进一步完善和发展。 然而到日前为止，仅有几篇关于长周期光栅在波导上制备过程的文章 1 2 ，1 3 ，t s o i 等利用一种负极性环氧树脂( e n r ) 作为光栅的核心材料以及条形波导的薄膜利料 1 2 ，在s i 0 2 s i 基底上制各出了长周期波导光栅；c h i a n g 等人描述了 1 3 用离子反应 刻蚀技术，在具有覆盖层的离子交换平板玻璃( b k 7 ) 上实现长周期波导光栅的制备过 程。对于长周期波导光栅理论的研究很少有相关的文献报道。制备不同用途的高性能 长周期波导光栅需要选择优化的光栅和波导参数，需要较为完备的长周期波导光栅理 论。这不仅便于理解实验物理现象，还对设计高性能的波导光栅器件提供了理论指导， 有助于器件的改进和发展。 1 2 长周期光栅在e d f a 增益平坦化方面的应用 同前光纤通信的发展从光纤低损耗波长1 5 5 0 n m 的c 波段向邻近波段l 、s 波段发 展，相应的宽带技术就成为关键技术之一。w d m 长距离传输系统就要求放大器能对s 十c 十l 三波段同时放大，且增益平坦。在整个放大器带宽内，采用密集波分复用 ( d w d m ) 技术，大幅度提高光纤系统的传输容量是目前光纤通信领域的最主要的研 究方向之一。 第一章绪论 宽带光放大器可简单地分成三种【1 4 】：( i ) 稀土掺杂光纤放大器，如掺饵光纤放大 器( e d f a ) 、掺铥光纤放大器( t d f a ) 和掺镨光纤放大器( p d f a ) ：( 2 ) r a m a n 光纤放大器； f 3 1 半导体光放大器。对于常规通信波段，目前多采用e d f a 对光信号进行放大。 e d f a 是高速长距离光纤通信系统中不可分割的重要组成部分，它的优点是高泵 浦光子效率、高增益饱和、高输出功率和低串道效应，并且在1 5 2 0 n m 1 6 1 0 r i m 都存 在放大的可能性；但是，在1 5 3 0 n m 1 5 6 0 n m 波段e d f a 才有较大且平坦的增益( 图 l l 为掺铒光纤放大器的增益谱) 1 5 】。在d w d m 系统中各个通道不同的波长，带宽 较宽，e d f a 的增益在如此宽的范围内不可能完全均匀，由于其增益曲线的不均衡导 致刁i 同通道输出信号的相互串扰，从而导致令人难以接受的误码率。这对w d m 宽带 宽传输系统放大有很大的限制。因此，增益谱的不平坦性是影响掺铒光纤放大器在密 集波分复用系统中应用的主要制约因素。 l l - - - - - - 1 0 髓，n m 一八 弋 铲6 5 7 图1 1 没有增益平坦器件e d f a 的增益谱 针对这个问题，人们提出了多种实现掺铒光纤放大器增益平坦化的技术方案 【1 6 】。首先，基于简单可变衰减器原理，制成了在点到点传输网络中应用的端到端均 衡器 1 7 】，然而并不适用于多点网络。针对器件的研究，人们研制了双芯径光纤滤波 器【1 8 】、机械变形光纤 1 9 年1 1 n i j 蚀光栅 2 0 。但是它们不是体积大就是制作工艺复杂， 不适合大批量生产。后来，又采用了闪耀布拉格光栅进行增益平坦化【2 1 】，过去这种 光栅是被用来将光束耦合为背向传输辐射模的。尽管上述方法均进行了不同程度的改 进，但是在比辐射耦合的波长稍长几纳米的波长范围内它们会产生一3 5 d b 的背向反射。 此外，闪耀光栅闪耀角的大小还要精确控制，以减小背向反射的影响。 近年来，人们提出使用长周期光栅作为进行e d f a 增益平坦化器件，避免了上述 问题。它损耗低，背向反射小，对极化不敏感，结构紧凑，并且很适合于大量生产。 通过改变曝光条件以及多个光栅的串联连接，人们很容易制各出增益谱不同的光栅来。 由于长周期光栅的这些特点，它一般被用作衰减光谱选择器件，可以有效地消除光源 的自发辐射。如受激波长为1 5 4 5 n m 的发光管，自发辐射波长1 5 3 01 1 i n ，把吸收峰值为 一日，日露一磐描弹 第一章绪论 1 5 3 0n m 的光栅插入此系统中滤掉1 5 3 01 1 1 1 1 的光，同时也用带阻滤波器消除r a m a n 激 光器中不需要的s t o k e s 序翻j 2 2 ，保证激光器输出功率被逐级放大。 此外，需要指出的是，实验结果表明，作为实际应用的长周期光栅，通过多个光 栅的串联连接，进行掺铒光纤放大器的增益平坦化很有效。 过去几年，这种作为e d f a 增益平坦化器件的研究主要集中在长周期光纤光栅方 面。实际上，由于长周期波导光栅除了具有长周期光纾光栅的特点之外，还具有几何 外形及材料选择不受限制等优点。因此，有可能为e d f a 增益平坦化开辟另一条途径。 1 3 长周期光栅在传感器方面的应用 长周期光纤光栅作为热敏、压敏及折射率敏传感器可用来测量应力、应变、温度 和折射率的变化f 2 3 。它不仅具有光纤光栅传感器的普遍优点( 诸如波长编码传感信号 可消除幅度或强度的影响；是自参考型器件，测量的是绝对量而不需考虑初始参量) ， 而且还具有宽带宽、高灵敏度等特点，这种优势已在近期研制成功的热敏、压敏传感 器 2 3 上得到了充分的体现。如长周期压敏传感器，其压力系数为b r a g g 光栅的2 倍： 对于热敏传感器，长周期的热敏系数为b r a g g 光栅的1 0 倍。 人们利用它的高灵敏度及较宽的响应范围，将热敏、压敏传感器应用到复合材料 中作灵巧结构监测之用【2 4 】。这种埋置于材料中的长周期光栅传感器也可对材料的制 造、结构的组装及材料使用过程中的内部参数的变化作实时监控。因为这种器件本身 既是传感器又能传输信号，因而更易于埋置于材料中而不影响结构的整体强度分布的 完整一t 生 2 5 1 。由于长周期光纤光栅传感器能方便地写入纤芯，无需连接器、机械装配 及研磨工艺或校准措施，加之体积小，成本低，可靠性高，而且这种器件特别便于阵 列，可同时对建筑物、桥梁等大型建筑的不同部位的载荷量作实时诊断，在不久的将 来可望将其用于公共事业，如医疗、交通及过程控制和国防工业中。 耋! ：! 生! 里鱼皇兰堕鱼塑叁塑堕堑 堂塑耋型生。! ! ! !垒墨! ! ! !垂堕些堕塑呈! l p w g t1 7 61 3 l p w g 2 l 作为e d f a 增益补偿器的l p f g 2 5 4 作为传感器的l p f g 2 5 作为可调滤波器的l p f g 3 5 1 3 1 6 2 4 1 3 一1 8 7 1 7 1 3 在长周期波导光栅方面，t s o i 等人 1 2 通过实验对l p w g 与l p f g 的参数进行了 比较( 如表1 ) 。其中，l g 是光栅的长度，a 2 是3 d b 带宽。可以看到，同样的衰减峰 值( 1 0 d b ) ，l p w g 比l p f g 的长度要小( n 3 ， 如果n 2 = n 3 ，则称该波导为对称平板波导，如果n 2 n 3 ，则称为非对称平板波导，这 里专门叙述非对称平板波导的光学性质。首先介绍光在平板波导中传播的线光学图像， 然后再利用光的电磁理论较为严格地处理光波导模式及场分布等基本性质，为后面的 叙述建立必要的理论基础。这里始终假定导波光是相干单色光，并假定光波导是由无 损耗、各向同性、非磁性的无源介质构成。 2 1 平板波导的射线光学理论 本节讨论和研究光在平板波导中传播的射线光学模型 2 6 1 ，并利用这个模型介绍 介质波导理论的基本概念和术语，其中包括传播模的性质、导模、传播常数、导模的 截止以及波导的有效厚度等。射线光学图像是一种简明直观的模型，但值得指出的是， 为了解释波导中光的传播特性，还必须引入位相和相干等波动概念，再配以波导中锯 齿光线传播的模型，这样才能得到光波导的色散方程和分立导模的结果。因为导波光 是准一维平面波，本节介绍的射线光学模型是讨论介质平板波导时所特有的。 2 1 1 反射与折射 光在平板波导中传播的图像，是光线在薄膜一基底和薄膜一覆盖层分界面上发生 全内反射，而在薄膜中沿“z ”字形路径传播的图像。下面将简要分析折射与反射的物理 过程，并回顾有关定律及其一些推论。 光通过两种不同的介质时，发生反射和折射现象。当光从光密介质射向光疏介质， 而入射角大于临界角时，所出现的全反射并不是真正的“完全”反射。首先光必须入 剁，在不同的条件下，具有不同的透射深度：其次，全反射出来的光，在不同的条件 下经历着不同的相位突变和偏振变化。由此可见，光的反划与折射具有深刻的物理内 霪 第二章介质平扳波导理论 容，它是光与界面物质相互作用的结果。 考虑如图2 2 所示的分界面，其两侧是折射率分别为n l 和n 2 ( 1 1 2 n 2 n 二。 薄膜衬底分界面上的全反射临界角设为e ，而薄膜一覆盖层 分界面上的全反射临界角设为0 。显然，0 。 0 。当入射角0 逐渐增大时经分析可知，存在着三种不同的情况，如图2 - 4 所 示：( a ) 对应于入射角小的情况( 即0 0 ， 臼。) ，从衬底一侧 入射的光按照菲涅耳定律进行折射，并穿过覆盖层从波导逸 出。此时，光没有受到限制，相应于这一图像的电磁模式称为 “辐射膜”( 或称“包层膜”) 。( b ) 传播方式称为“基底辐射 第二章介质平板波导理论 由于导模是实际在光波导中传播的光波，它是研究所有光波导器件的基础，因此 以下将着重研究导模。 2 1 3 平板波导的导模伫” 图2 5 表示了平板波导的侧视图及坐标系，图中画出了对应于导模的z 字形的波 阵面。前面已指出，平板波导的导模可以用锯齿形光线图像描述，并且锯齿光线与界 面法线的夹角0 只能取有限个离散值。设波导中的光沿坐标x 方向传播，而在z 方向 受到限制。至于在垂直于x z 平面的y 方向上，由于波导的尺寸相对比较大，所以在 理论上认为平板波导的几何结构和折射率分布沿y 方向是不变的，并可进一步认为光 场沿y 方向也是均匀一致的。于是可以看出， 波的图像，一个是斜向上传播的，另一个是斜 向下传播的，其波阵面法线是图2 5 所示的锯 齿形光线。设这两个平面波是单色并相干的， 其角频率为，自由空间的波长为九，则自由 空间的波数为： k 。= c = 2 7 c 九( 2 9 ) 式中：c 是真空中的光速。图2 - 5 所示的平面 波的波矢量为 l k = k o n l p = k o n i s i n 0 锯齿光线实际上是两个重叠的均匀平面 程蒜嚣n 3 小可”弋i s 基厩r 图2 - 5 平板波导的侧视图 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式中，1 c 和d 分别为波矢k 的x 分量和z 分量。由此可见，薄膜中的波动场按以下方 式变化：e x p i ( _ + k z - i - 厨) ( 2 13 ) 式中，盯前面的正负号分别对应于斜向上和斜向下传播的平面波。考察某一x 为 常数的波导截面，这时只能看到光波沿z 方向的上下运动，因而可不考虑光波沿x 方 向的运动，以下从这个观点出发推导平板波导维持单模的条件，设一光波从薄膜下界 面( z = 0 ) 出发向上行进到薄膜上界面( z - h ) ，在上界面经历全反射后返回到下界面， 存下界面又经历全反射与原先从下界面发出的光波叠加在一起，将此过程中光波所经 历的相移累加起来，可以看到，为了达到相干加强( 谐振) 的结果，这个相移累加总 和必须是2 石的整数倍。对于厚度为h 的薄膜，光线第一次横向穿过薄膜的相移是商， 在薄膜一覆盖层分界面上的全反射相移是2 以，另一次向下横穿薄膜的相移也是砌， 在薄膜一称底分界面上的全反射相移是一2 ，。因此，光波能在薄膜中传播的条件， 即平板波导能维持导模的条件是： 第二章介质平扳波导理论 2 x h 一2 妒t 3 2 妒1 2 = 2 m z c ( 2 1 4 ) 式中，m 为模序数，它取从零开始的有限个正整数。相移庐：和葫，是由式( 2 ，7 ) 和( 2 8 ) 所描述的角度0 的函数。由此可见，只有满足方程( 2 1 4 ) 的入射角0 才为波导 所接受，即波导对光线的入射角是有选择性的。在厚度h 确定的情况下，平板波导所 能维持的导模数量是有限的，因此m 只能取有限个正整数。方程( 2 1 4 ) 称为平板波 导的模式本征方程，该方程的未知数是戚目。于是给定的r n ，一定有尾或民与之对 应。风叫作m 阶导模的传播常数，吼，叫作i t i 阶导模的模角。当然上述方程也可以表 示成0 9 光频与传播常数的关系，故上式也称作平板波导的色散方程。 将式( 2 7 ) 和( 2 8 ) 代入方程( 2 1 4 ) ，可得到的与两种偏振态有关的平板波导 模式本征方程。 对t e 模，有砌：m 玎+ a r c t a n ( 旦) + a r c t a n ( 旦) ( 2 1 5 ) 【( - i t 式中， 盯= ( 氏2 2 一2 ) “2( 2 ，1 6 ) p = ( 2 一f 0 2 n 2 2 ) 1 7 2 ( 2 1 7 ) q = ( 2 一k 0 2 3 2 ) ( 2 1 8 ) 对t m 模，有 砌= m 盯+ a t c t a n ( f 1 1 f 里) + a r c t a n ( 7 t r 旦)( 2 1 9 ) ，盯玎，盯 由式( 2 5 ) 和( 21 2 ) n p a 看出，导模的传播常数介于平面波在衬底和薄膜的波数之 间，即有 为了方便，定义波导的有效折射率n = p l k 。 根据式( 2 2 0 ) ，可知它的取值范围是 ( 22 0 ) = n 。s i n 0 ，n 又可称作模折射率或模指数， 胛2 n n i( 2 2 1 ) 利用有效折射率，可将平板波导的模式本征方程改写成意义更明确的形式，即 t e 模： - 2 ) “2 啪r c t a n ( 兰等) 2 + a r c t a n ( 尝朵广2 ( 2 2 2 ) t m 模： ( n i _ n 2 ) 1 2k o h = m z + a r c 螂等) ( 篙等) a r c 劬咚2 ) ( 等等尸2 】( 2z ，) 船聆一v 门，地一川。 这些不同形式的平板波导模式本征方程可用来研究波导的各种不同性质。 第二章介质平扳波导理论 2 1 4 平板波导的传播常数 为了研究光在平板波导中的传播特性，必须根据模式本征方程( 2 1 5 ) 和( 2 1 9 ) 求得 导模的传播常数。本小节将讨论平板波导模式本征方程的图解方法和数值分析方法， 并通过实例说明光在平板波导中传播的图像。 ( 1 ) 模式本征方程的图解方法 对于平板波导中的基模( m = o ) ，模式本征方程( 2 1 5 ) 或( 2 1 9 ) 变为 砌= 磊2 + 1 3( 2 2 4 ) 若波导是对称的，即一：= 心，则杰：= 氟，于是上式化为 砌= 2 1 3( 2 2 5 ) 图2 6 表示对称和非对称波导基模的模式本征方程图解。图中画出了关于0 角的两 种相移曲线，即光在薄膜中的横向穿越相移k o n ，c o s o h ( 图中以点线画出) 和光在薄膜 上下界面上的全反射相移之和( 珐：+ 氟，) 。下面就( 珐：+ 氟，) 的两种情况，即氟：= 珐， 的对称波导( 图中以实线画出) 和非对称波导( 图中以虚线画出) 分别加以分析。对 于对称波导，图中实线和点线的交点给出了基模的“z ”字形路径的臼角值。随着 变得越小，“z ”字形就显得越尖锐( 0 越小) 。但是，尽管薄膜厚度取得很小( 或光波 k 很长) ，也总存在着一个解。这就意味着，对称平板波导的基模是不会截止的。对于 非对称平板波导，从图上考察点线与虚线之间的交点，可以看到，在( a ，+ 磊，) 曲线 中只有用阴影表示的那部分习大于薄膜一称底分界面上的临界角0 ，。于是，对于较 薄的薄膜( 或较长的波长) ，无法得到点线和虚线的交点。这意味着非对称平板波导并 不总能维持导模，即使是基模，也存在着截止条件口= k o n ，。 下面研究多模情况。以t e 模为例，把平板波导模式本征方程( 2 1 5 ) 改写为 t a n ( k h ) ：竺垡虫 盯一p q 利用关系式 p = 2 ( n 12 一n 2 2 ) 一k2 1 72 以及 q = 【女o2 ( ”12 一n 32 ) 一k - 2 】1 72 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 可将式( 2 2 6 ) 的右端改写为 图2 6 平板波导的基模的色散方程图解示意嘲 f ( 幽) = 丽k h ( r , 2 矿- n 2 i 2 ) ( k 瓦o h ) 2 矿- ( k h 丽) 2 i 而t 2 + 丽 ( r t l2 二- r t 3 孬2 ) ( k 丽o h ) 2 f - ( k 丽h ) 2 下 2 ( 2 2 9 ) 第二章介质平扳波导理论 一。) j ) j 卜j 1 吖i r k 三2 图2 7 本征方程( 2 2 6 ) 的图解 图2 , 7 为方程( 2 2 6 ) 的图解，图中实线表示t a n ( 砌) 和( 砌) 的关系，虚线表示f ( x h ) 和( 幽) 的关系。实线与虚线的交点给出模式本征方程的解。由这些交点可以得到一系 列( a ：h ) 值，再利用关系式。2 + 风2 = k 0 2 h 2 ，可得到导模的传播常数。绘制图 中这些曲线时，使用的参数为( 2 一n 22 ) “2 k o h = 1 1 和( 啊2 一7 3 2 ) ”2 k 。h = 2 4 ，使式( 2 2 9 ) 的分母为零的点是曲线f ( 砌) 的极点。而曲线f ( 幽) 在下式解出的点上终止，即 肋= 一f 2z ) “2 k o h( 2 3 0 ) 这是因为当( 砌) 超过式( 2 3 0 ) 给定的数值时，式( 2 2 9 ) 中两个平方根表达式之一将 变成虚数。在图2 7 中，实线与虚线有4 各交点，它们对应于波导所承载的4 个t e 模。 为了更好的理解平扳波导模式本征方程的性质，定义参量 v = ( 一h 2 z ) “2 k o h( 2 3 i ) 随着v 值的减小，虚线的终止点向左移动，实线与虚线的交点数目减小，表示导 模的数目减小。当v 足够小时，虚线的终止点移向第一个正切曲线分支的左边，这时 虚线与实线没有交点。这意味着当薄膜厚度h ，光频和折射率的平方差( n 2 一 ，2 ) 都足够小时，波导不能承载导模。但对于对称平板波导，虚线的终止点落在砌轴上， 即当v = k h 时，f ( 砌) = o ，虚线至少与第个正切曲线分支相交，因此至少存在一个导 模。这意昧着对称平板波导的基模不会截止，这与前面的结论一致。 ( 2 ) 模式本征方程的数值解 平板波导的模式本征方程除了用图解法求解夕b 2 8 1 ，还可以用数值方法求解。根 据数值解绘制出的平板波导色散特性曲线，可用来讨论光在平板波导中的传播特性， 也可供波导设计和测量使用。 图2 8 是根据数值解画出的有效折射率n 对波导薄膜厚度h 的关系曲线。而图2 - 9 是光频c o 对传播常数口的关系曲线。在这两个图中，只画出了前三个低阶模的色散曲 5 4 3 2 ，d 0 矗0 4 5 日岜k，暑簧 第二章介质平板波导理论 线，但都标出了截止厚度和截止频率。由图2 8 可以看到，但h 等于截止厚度时，有 效折劓率n 等于衬底折射率n 2 。当h 增大时，n 随着增大，但趋于一个上限值n i ( 薄 膜折射率) 。显然，h 增大时模式数量随之增多。图2 - 9 可以看到，在截止频率处， 传播常数取下限值k 0 h ：。 削2 - 8 平扳波导n 对h 的曲线图2 - 9 平板波导历j f - o 的曲线 当印增大时，趋向于上限值k o n 。同样，随着频率的增大，模式数量也之增 加。图中。i 、甜c 2 、出。3 、分别是m 为0 、1 、2 三个导模的截止频率。图2 - 9 除画出了导模分立谱外，还画出了辐射模的连续谱。 2 1 5 古斯一汉欣( ( o o s h a n c h e n ) 位移和波导有效厚度 在以前的讨论中，认为入射光抵达界面时，入射和反射在同一点发生，只产生一 个位移，实际上却不然。古斯和汉欣在1 9 4 7 年作了一个实验，证明反射点离入射点有 一段距离，并给出定量的公式。所谓古斯一汉欣位移，即实际反射点与理想反射点之 间的距离 。一雨7s南in 0 ( 1 2 一h ，叫” ( 2 3 2 ) 式中，c 为常数，当n l = 1 5 2 ，n 2 = l 时，c = 0 5 2 ；3 , 为光波长。这个现象的出现是基于 实际光线具有一定的空间谱宽，也即实际上的光线由一光束构成，它们指向同一入射 点，但入射角有一角宽度口。 为了确定图2 1 0 所示的光线纵向位移2 x s 的大小，现研究入射角稍有不同的平面 波组成的简单波包。如果相应波矢的x 分量分别为，则入射波包在z = 0 的分界 面的复振幅为 a ( x ) ； e x p ( i & 6 x ) + e x p ( - i f i x ) e x p ( if i x ) = 2 c o s ( , f l f l x ) e x p ( i f l x )( 2 3 3 ) 第二章介质平扳波导理论 在应用反射定律( 2 2 ) 和( 2 6 ) 到每个平面波之前，必须考虑到，反射刚出现的 相移妒是口( 或p ) 的函数。对于和华都很小的情况，可以用微分公式把展开为 如下形式： ( 华) = 矿( ) 老举 ( 2 羽) 图2 - 1 0 在界面上全反射的光线图像 由此得到反射波包在z = o 处的复振幅为： 口( x ) = e x p i ( & f l x 一2 萨) + e x p 一f ( 肛一2 a 0 ) e x p i ( a f l x 一2 ) 】 2 c o s a , a ( x 一2 x ，) l e x p i ( f l x 2 ) 】 式中 铲舅 上式就是波包络即光线纵向位移的简洁形式。 t a n 0 k 0 x = = 二二= = = = = - 2 _ 船：2 对于t m 模，则有 t a n 0 _ 2 丽 v ”一“2 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 利用式( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，对于t e 模有 ( 23 7 ) ( 2 3 8 ) 如图2 - 1 1 所示，光线的纵向位移表示光线穿过衬底深度z s 后才被反射。其值为 z s = l( 2 3 9 ) t a n 0 、7 如果把这个结果与以后将给出的电磁场的解进行比较，可以发现。这些解预示着在衬 底内存在着一个迅衰场，其衰减常数与光线的贯穿深度z 。密切相关。 为了得到波导中与能流概念相一致的“z ”字形传播的光线模型，必须在薄膜一 覆盖层分界面上引入古斯一汉欣位移。图2 1 1 表示平板波导的光线模型。其纵向位移 分别为2 x 。和2 x 。，光线贯穿深度分别为z 。和z 。作为光线贯穿的结果，波导的有效 叫 卫：啦 + 生： 第二章介质平板波导理论 厚度比h 大，即 ，= h + z ，+ ：。 图2 一】t 平板波导中z 字形传播的光线圈像 ( 2 4 0 ) 以后将会看到，只要提出能流或能量交换的问题，波导有效厚度也就作为平板波导电 磁理论的特征参量出现。导波光略微渗入称底和覆盖层，但基本上限制在有效厚度 。 的范围内。 2 2 波导的归一化参量m 1 本节介绍一种有用的波导折射率的通用曲线。通过定义几个归一化参量，这些通 用曲线适用于波导参量是任意值的情况，同时能把波导参数减少到有限的几个，这对 波导设计者意义甚大。 一个非常有用的波导参数是已经提到过的归一化频率或归一化薄膜厚度v ，它定 义为 v = 砌q 2 一 2 2 ( 2 4 1 ) 另外两个参数的定义与模型类型有关，即对t e 模和t m 模，这些参数稍有区别，因 此须对t e 横和t m 模分别进行研究。 2 21 t e 模 对t e 模，有效折射率n ( 和卢) 有关的归一化波导折射率b 可定义为 ，2 一心2 自2 r ( 2 4 2 ) 船】一玎2 同时，我们引入一个量度波导结构的非对称性量a 为 22 订，一门1 口2 。r 专( 2 4 3 ) 仃l 一行2 该参量描述波导结构的非对称性，其取值范围从完全对称( n ，= m ) 时的零到极 度不对称( n 2 n 3 ，而n l v n 2 ) 时的无穷大。通过定义这两个归一化参量，平板波导t e 第二章介质平板波导理论 模的色散方程( 2 1 5 ) 可以写作 z砌。c。s砌，一z“，c辔v晋n 2 s i n _ 2 2 0 1 _ 2 2 a r c t g 。i n , 2 篆s i i n 雩_ 2 i 0 m ；- ；手n 2 2 ：= z 埘丌c z a a ， 电可写成如下形式： v 瓜= m 瓦+ t a n 匹1 - b r s 辱 m = 0 , 1 2 ，( 2 4 5 ) 这种形式的色散方程仅出现三个参数，它表明归一化的波导折射率6 。( p ，a 。) 只依赖 于两个独立的参数：归化频率v 和波导非对称参量a 。 由式( 2 4 5 ) 的数值结果得到如图2 1 2 所示的一口归一化曲线图，这里按照四 个不问的非对称参量的值以及m = o ，l ，2 的模序数，画出了头三个t e 模的波导折射率 b t e 与归一化频率v 的函数关系。 圹 d 纺 n a - i彭 二：， 。量彤 彩彭 媳形移气纱 j 皤严8 嬲 l 一0 | i。船 l a i“趣”譬弦 i i t ，弦 强 v i 。 i f7 | 静 24681 0 1 21 41 6 , o r 图2 一1 2 各种不同对称度的波导b t e 与归一化频率v 的函数关系 对波导设计者来说，波导中导模的截至是一个重要的概念。所谓导模的截止，从 线光学的角度来说，即在这一点上光线的入射角正好等于薄膜衬底界面上的全反射 临界角，而有效折射率正好等于衬底的折射率，即有 n = n 2 或b t e = o 。 f 2 4 6 ) 在色散关系式( 2 4 5 ) 中，令b t e = o 和m = o ，可得基模的截止频率v o 为： = t g 。1 口m( 2 4 7 ) 上式也可以写成关于薄膜厚度h 与波长丸的关系式： ( 导) 。= 圭( 2 吨2 ) 一j 智“厍 ( 2 4 8 ) 2 石 由式( 2 4 7 ) 可知，若1 7 m = 0 ，则= 0 ，于是可知对称平板波导的基模是不截 0 9 8 7 6 5 4 3 2 l 口 吣 ” 叭 。 啊 第二章介质平扳波导理论 止的。对于强非对称波导 c 扣 口m 。o 。，故有= r e 2 ，于是由式( 2 4 8 ) ，可得 1 r 2 4 9 ) 第1 1 1 阶模的归一化截止频率v 。为：吃= + 删t( 2 ，5 0 ) 当模序数m 非常大时，有 m t g ，于是上述关系成为平板波导中允许承载导模数目 的近似公式： 珊：娑( 。2 吨z ) ( 2 5 1 ) 对波导设计者感兴趣的单模传输问题，从上述讨论不难看出，单模传输的条件是 l ( 2 5 5 ) 1 + 日陌 h l a = 0 , o 柚， m 1 0 峨l 1l liii ! i 1ii i il i ll jlll n ；il i i ll ； ln 1 1l |lill | im 1 i l lil ld 兰0 ，乞i 蔓群 l l i f 口= l i ，哆，7 ：l 、ia i1i| z 卅。：，0 _ 碍$ | l i f f fl # 1 0 d ：卵( 扩。 l l螂一生 ! 囊夕二p 夕：i 乏+ ij f ：；p ： ：f - 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