（应用数学专业论文）一类强耦合抛物型方程组初边值问题解的整体存在性.pdf

y6 44465 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽私 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究髓 果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的p 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的晚明并表示了谢意。 研究生签名：主擎煎 一日期：至翌占 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件秆 电子文档，可以采剧影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许沦文被查阅和借阅，呵以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公伽( 包括 ：0 登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：主j 堕 导师签名：圭竭垒日期：加争。善 摘要 本文考虑了强耦合抛物型方程组的初边值问题 s t = ( d l + 0 e i l 8 ) 8 】+ s ( a l c 1 1 8 一c 1 2 “一c 1 3 u ) ，z q ，t 0 ， “t = 【( d 2 + 0 t 2 1 8 + a 2 2 u ) u 】+ u ( a 2 一c 2 1 8 一c 2 2 u c 2 3 v ) ，z q ，t 0 ， t = a ( d 3 + 0 3 1 s 十a 3 2 “+ a 3 3 v ) v + v ( a 3 一c 3 1 8 一c 3 2 u c 3 3 v ) ，q ，t 0 ， 舅( z = 券( 。= 舅( z = o ， 茁施，t o ， s ( x ，0 ) = s o ( x ) 0 ，u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，u ( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，$ q ， 其中qcr ”( n 2 ) 是有界光滑区域， 岛表示a q 上的外法向导数在这篇文章中我 们分别研究了：( i ) n = 1 ，a 2 1 = 0 时解的整体存在性和一致有界性，( i i ) 礼= 2 ，乜3 2 = 0 时解的整体存在性 第一节是引言和主要定理，简要地介绍上述问题的工作进展，然后利用最大值原理 和常微分方程的比较原理给出一些基本结果，最后叙述本文的两个主要定理 第二节讨论n = 1 ，0 1 2 1 = 0 时解的整体存在性和一致有界性首先利用h s l d e r 不等 式，常微分方程的比较原理，得到i | s i | l 。，i l 。的估计再利用g a g l i a r d - n i r e n b e r g 不等式以及由此推出的几个引理和推论，得到i l 。( q ) 的估计以及i i 怯( q ) 的估计 最后证明本文的第一个结论 第三节讨论n = 2 ，q 3 2 = 0 时整体解的存在性首先利用g a g l i a r d n i r e n b e r g 不等式、 内插不等式、p o i n c a x 6 不等式、嵌入定理以及g r o n w a l l 不等式，给出解的l 2 估计为 了进一步的证明，引入有关抛物型方程的两个重要引理和一个积分不等式然后用归纳 法得出解的驴估计最后借助于已有的估计，利用抛物型方程的正则性理论证明本文 的第二个结论 关键字：抛物型方程组，强耦合，初边值问题，整体解，有界性 a b s tr a c t i nt h ep a p e r ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gs t r o n g l yc o u p l e dp a r a b o l i cs y s t e m s 8 t = a 【( d l + a l l s ) s + s ( a l c 1 1 8 一c 1 2 u c 1 3 v ) ， 寥q ，t 0 ， t | t = ( d 2 + c e 2 1 8 + a 2 2 u ) u 】+ u ( a 2 一c 2 1 8 一c 2 2 u c 2 3 v ) ， z q ，t 0 ， v t = 【( d 3 + o 3 1 s + o t 3 2 u + a 3 3 t i ) u + v ( a 3 一c 3 1 8 一c 3 2 u c 3 3 v ) ，z q ，t 0 ， 骞( z ，t ) = 筹( z ，t ) = ( z = o ， z o n ，bo ， 8 ( x ，0 ) = s o ( x ) 0 ，u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) 0 ， z q ， 2 w h e r eqi sab o u n d e dr e g i o ni nr ”( n 2 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r y0 f 1 i nt h i st h e s i sw ew i l l p r o v et h a t ：( i ) i f n = 1 a n d g 2 1 = 0t h e nt h es o l u t i o n e x i s t sg l o b a l l ya n di sb o u n d e d u n i f o r m l y , a n d ( i i ) i fn = 2 a n da 3 2 = 0t h es o l u t i o ne x i s t sg l o b a l l y i ns e c t i o n1 ，b yu s eo ft h eh s l d e ri n e q u a l i t y ，t h ec o m p a r i s o np r i n c i p l eo fo d e a n dt h e n i r e n b e r g g a g l i a r d oi n e q u a l i t y , w ef i r s t o b t a i nt h ee s t i m a t e so f l i s l l l 2 ( q ) ，| i “| | l 2 ( n ) ，0 口| l l 2 ( n ) a n d 慨i i l 2 ( q ) ，a n dt h e n o b t a i nt h e 咧_ ( q ) e s t i m a t e so fs o l u t i o n s a tl a s t ，w ep r o v et h e u n i f o r mb o u n d e d n e s so fs o l u t i o n s i ns e c t i o n2 ，f i r s t l y ，w ea p p l yt h en i r e n b e r g - g a g l i a x d oi n e q u a l i t ya n dg r o n w a l li n e q u a l i t y t oe s t a b l i s ht h el 2 ( q ) e s t i m a t e so fs o l u t i o n s t h e nw ep r o v es o m el e m m a sa b o u tt h ep a r a b o f i c e q u a t i o n sa n d ad i f f e r e n t i a li n e q u a l i t yw h i c ha r eu s e dt oo b t a i nt h e 口( q ) 一b o u n d so fs o l u t i o n s f o ra n y p 1 i nf a c t ，t h i si sa c r u c i a ls t e pi nt h i sp a p e r f i n a l l y , w ea p p l ys o m eb a s i ct h e o r i e s o fp a r a b o l i ce q u a t i o n st oe s t a b l i s ht h eg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s k e yw o r d s ：p a r a b o l i cs y s t e m s ，s t r o n g l y - c o u p l e d ，i n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ， g l o b a ls o l u t i o n s ，b o u n d e d n e s s 1 引言 4 本文研究强耦合抛物型方程组初边值问题 f 8 t = 【( d l + 口l l s ) s 】。+ s ( a x c l l s c 1 2 u c 1 3 1 ) ) ， 。( o ，1 ) ，t 0 ， j m = f ( d 2 + a 舶- u ) u 】z 。+ u ( a 2 一c 2 1 掌一c 2 2 口a c 2 3 l j ) ， 窜( 0 ，1 ) ，t 0 ， v t = i ( d a + 。3 1 8 + a 3 2 u + a 3 3 v ) v z + v ( a 3 一c 3 1 8 c 3 2 t l c 3 3 1 2 ) ，z ( 0 ，1 ) ，t 0 ，( 1 1 ) ls ( z ，t ) = u 。( z ，t ) = t k ( ，t ) = 0 ，。= 0 ，1 ， 0 ， 【s ( x ，0 ) = s o ( x ) 0 ，u ( ，0 ) = u o ( x ) 0 ， ( 。，0 ) = v o ( x ) 0 ，z ( 0 ，1 ) 解的整体存在性和一致有界性，以及强耦合抛物型方程组初边值问题 8 t = ( d l + o q l 3 ) s + s ( a x e 1 1 9 一c 1 2 t 上一c 1 3 1 ) ，z q ，t 0 ， “= ( d 2 + o t 2 1 8 + 。2 2 t 上) t 工】+ u ( a 2 一c 2 1 8 一c 2 2 一c 2 3 v ) ，z q ，t 0 ， 仇= 【( d 3 + a 3 1 3 + 。3 3 u ) 削 + ( 口3 一c 3 1 8 一。3 2 钍一。3 3 u ) ，z q ，t 0 ， ( 1 2 ) 舅( 州) = 券( 州) _ 。o ，v ( 州) _ 0 i 。眠t o ， 5 ( z ，0 ) = s o ( x ) 0 ，u ( 。，0 ) = u o ( ：c ) 0 ， ( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ， 。n 解的整体存在性，其中初值s 0 i u o ，v o 哪( n ) p n 并且8 0 ，u o ， o 是非负的且不恒等于 零d i ，a 1 1 ，a 2 1 ，q 2 2 ，o e 3 i ，0 3 2 ，口3 3 ，皿，q ( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 都是正常数 方程组( 1 1 ) 和( 1 2 ) 都是s h i g e s a d a ，k a w a s a k i 和t e r a m o t o 研究三物种相互作用关系 时提出的模型( 1 5 ) 8 t = a ( d l 十n 儿s + a 1 2 t + q 1 3 ) 8 + s ( a l c 1 1 8 一c 1 2 u c 1 3 ) ， 毗= a ( d 2 + 。2 1 s + a 2 2 t + a 2 3 ”) u 】+ u ( a 2 一c 2 1 s c 2 2 u 一。2 3 ) 毗= a f ( d 3 + 口3 l s + 口3 2 u + a 3 3 ”) u 】+ v ( a 3 一。3 1 s c 3 2 u c 3 3 _ t ) 嘉( 州) = 丽o u ( 州) = 塑o u ( 州) = o ， s ( z ，0 ) = 5 0 ( z ) 0 ，u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，口( $ ，0 ) = v o ( x ) 0 ， o q ，t 0 ， z q ，t 0 ， 。q ， t 0 ，( 1 3 ) o a q ，t 0 ， o n 的特殊情形，其中q 是r n 中的有界光滑区域，表示o n 上的外法向导数s ，u ，” 分别表示三个物种的分布密度，因为 0 ( i j ) ，所以上述系统是一个竞争模型 d l0 = 1 ，2 ，3 ) 是扩散系数，表示物种由于自身的生活习性而导致的迁移( i = 1 ，2 ，3 ) 是自扩散系数，表示由于物种内部的竞争而导致的迁移a 幻( i j ) 是交错扩散系数， 表示不同物种之间的竞争而导致的迁移n 0 = 1 ，2 ，3 ) 表示物种的出生率q i 表示由 于物种内部的竞争而导致的死亡率q j ( i j ) 表示由于物种之间的竞争而导致的死亡 率齐次n e u m a n n 边界条件表示这个竞争系统是自我封闭的，即通过边界没有进出 有关这方面进一步的生物学背景，参见文献 1 2 ，1 3 ，l5 】 5 从a m a n n 的一系列文章 1 ，2 ，3 中可以知道方程组( 1 3 ) 解的局部存在性，根据 a m a n n 的结果，对于8 0 ，t l 0 ， 0 0 u 譬( q ) ，p n ，方程组( 1 3 ) 存在唯一解 s ( z ，) ，u ( z ，t ) ， ( z ，t ) g ( 【o ，t ) ，w 7 j ( q ) ) n c ( ( o ，t ) ，c 。( n ) ) ， 其中t ( o ，o c l 是解s ( 而) ，“( z ，t ) ，”( 蜀 的最大存在时间下面的结果也是由a m a n n 在 文献 2 中给出的 定理1 1 设初值8 0 ，u o ， o 哪( q ) ，i o n 对v o t t ，方程组( 1 1 ) 存在唯一解 5 ( z ，t ) ，t ( 。，t ) ，u ( z ，t ) g ( 【o ，t ) ，w ；( n ) ) n c ”( 而( o ，t ) ) ，其中0 tso 。是解的最大存 在时间，并且若s ( z ，) ，u ( z ，t ) ，u ( 。，t ) 满足 。 s u t p t i l 5 ( ，) | | 哪( n ) o 。，。：茹，。) n 哪( n ) o 。，。 s u k p t i i ( ，。) 1 l 哪( n ) 。， 则t = 。另外，若- s o ， d o ，叼( n ) ，则s ( z ，t ) ，t ( 。，t ) ，u ( z ，t ) g ( 【o ，o 。) ，孵( n ) ) ，并且 。i 黑愀，。) | | 叼( 。，。i 忍。，) o 岬( o o ，。! s u t 0 ， ， 1 器( 叫) ：器( 刈) ：o ，。觚t o ， ( 1 4 ) 【u ( 。，0 ) = u o ( x ) 0 ，v ( z ，0 ) = v o ( x ) 0 ，q ， 已有不少好的结果 s e o n g - as h i m 分别在文献 1 6 ，l7 j 中研究了n = ( 0 ，1 ) 时的情况， 得到如下结果t 当扩散系数满足下列条件之一时，( 1 4 ) 的解一致有界并且一致收敛于 正常数解； ( i ) 口l l = 0 2 2 = 0 ，d l = d 2 ， ( i i ) o 。2 1 = 0 ，o q l 0 ， ( i i i ) 0 1 2 1 = a 2 2 = 0 ， ( i v ) a 2 1 = a l l = 0 ，d l d 2 g ( 晋) 2 a 2 ( 其中c 是某个正常数) 不过，s h i m 的方法很难推广到n 2 的情形，目前没有看到有关结果k i m 在文献 9 中研究了( 1 4 ) 当q l l = a 2 2 = 0 ，n = 1 ，d x = d 2 时光滑非负解的整体存在性d e u r i n g 在文献 4 中给出了当o l l = a 2 2 = 0 时古典解的整体存在性对于a l l = 0 2 l = a 2 2 = 0 的情形，r e d l i n g e r 在文献 1 4 】中用o l b l h ( u ) 一c i o 代替a l b a u c l ( h 满足某种增 长性条件) 研究了问题( 1 4 ) ，并得到整体吸引子的存在性对于n = 2 的情形，l o u ，n i 6 和w u 在文献 1 1 】中证明了当0 2 1 = 0 时解的整体存在性 y a g i 在文献【1 9 】证明了当 咒= 2 ，0 0 2 i 8 口i l ，0 a 1 2 0 时解的整体存 在性 在第二节中我们利用s e o n g - as h i m 方法，来证明方程组( 1 1 ) 的解的整体存在性和 一致有界性在第三节，我们利用r e d l i n g e r 的方法证明当n = 2 时方程组( 1 2 ) 的解的 整体存在性 下面我们先给出方程组( 1 1 ) 与方程组( 1 2 ) 的解s ( z ，t ) ，u ( 。，t ) ，”( z ，t ) g ( f o ，t ) ，w 蕾( q ) ) n g 。( q ( 0 ，t ) ) 的一些初步结果： 引理1 2 设s ( z ，t ) ，“( z ，t ) ，u ( z ，t ) 是方程组( 1 1 ) 的解，则对v ( 。，) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ，有 础( 卫，t ) 0 ，0ss ( 。，t ) m o ，0 “ ，t ) m o ，( 1 5 ) 其中m 。= m a x 且c l l ，旦c 2 2 ，i i s o l i p ( n ) ，i i “o l i p ( n ) ) 引理1 2 设8 ( z ，t ) ，“( 。，t ) ， ( z ，t ) 是方程组( 1 2 ) 的解，则对v ( 。，t ) n ( 0 ，t ) ，有 u ( 。，t ) ，口( z ，) o ，o 8 ( z ，t ) s m 。= m a x 暑，岫n ) ) ( 1 6 ) 证明；利用文献 1 4 】中命题3 1 的证明方法易得上述结论成立 1 3 注1 ：在本文中，所有蛆，a j 均表示仅依赖于系统的参数以及初值s 。，u o ，”o 的常 数所有尬( t ) ，a ，j ( t ) 表示不仅依赖于系统的参数以及初值s o ，u o ，v 0 ，而且还依赖于解 的最大存在时间t 的常数q ：= n 0 ，t ) 引理1 3 存在正常数 如，使得对方程组( 1 1 ) 的解s ( z ，t ) ，u ( z ，t ) ，w ( z ，t ) g ( 【o ，t ) ，w ：( o ，1 ) ) n c 。( ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ) 成立 u ( 。，圳l 1 ( o ，1 ) m o ( 1 7 ) 证明”的方程两边在( 0 , 1 ) 上积分可得 丢小t ) d z = o l v ( 6 3 - - c 3 1 3 - - c 3 2 u - - c 3 3 1 ) ) 如 s 蜘1 v 如一c 3 a 上i v 炉如，( 1 8 ) 进一步由h s l d e r 不等式得 丢z 1 ”出。s 上1 u 如一c a a ( o lo 出) 2 记f ( t ) = 如v d x ，则 再根据常微分方程的比较原理得 从而，我们有 巾) m a x ，( 0 ) ，嚣) = m “ 五州z ，罢) l i v ( ，t ) l l l , ( o ，1 ) sm o ， 证毕 口 引理1 3 7 存在正常数m 1 ，m t ( t ) 使得对方程组( 1 2 ) 的解s ( g ，t ) ，“( 。，t ) ，u ( z ，t ) 满足 i l u ( ，t ) i l - ( n ) 冬 乱，i i ( 。，t ) i l z ( q ) 5m t ，t 【0 ，t ) u h l 2 ( q t ) sm i ( t ) ，i l 。( q ，) m 1 ( t ) 7 ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) 证明：( 1 9 ) 两式的证明同引理1 3 至于( 1 1 0 ) 的两式，我们只需对类似于( 1 8 ) 的 两边在( o ，t ) 上积分，并利用( 1 9 ) 的结果立即可得 证毕 口 a 1 l 2 ( q t ) m r ( t ) ，i i u l l n 。( ) m i ( t ) 最后给出本文的主要结论： 定理1 4 若s o ，t o ， o i 矿( o ，1 ) ，s ( z ，) ，u ( 。，t ) ， ( z ，t ) g ( 【o ，t ) ，h 学( o ，1 ) ) nc * ( ( o ，1 ) ( 0 ，t ) ) 是方程组( 1 1 ) 的极大定义解，则存在正常数m 舫，使得 m a x ( 1 l s ( ，t ) 1 1 w ；( o ，1 ) ，m ，t ) l l w j n ，则方程组( 1 2 ) 的解 s ( z ，t ) ，“( z ，t ) ， ( z ，t ) a ( f o ，。) ，叼( n ) ) n c 。( f i ( o ，o 。) ) 2 问题( 1 1 ) 解的整体存在性和一致有界性 在这一部分，我们就n = l ，s o ，v 0 w ；( q ) 时，证明( 1 1 ) 的解的整体存在性和一 致有界性不失一般性，我们取q = ( 0 ，1 ) 8 2 1 l i s l l l ：( o ，1 ) ，i l u l l l 。( o ，1 ) 放h o ，1 ) 的估计 定理2 1 1 设s ( z ，) ，u ( 。，t ) ，”( z ，t ) 是初边值问题( 1 1 ) 的解，则存在正常数m 2 ，使得 l i s ( 。，t ) l l l 2 ( o ，1 ) sm 2 ， 0 t ( ，t ) l l l 2 ( o 1 ) m 2 ，| | u ( ，t ) l l l 2 ( o ，1 ) m 2 ，v 0 ，t ) ( 21 ) 证明我们分为以下几个步骤： 第一步： s 方程两边同时乘以s 在( 0 ，1 ) 上积分，并利用h 6 1 d e r 不等式得 ；旦d t 序出= 0 18 ( d 1 8 + a i i 8 2 ) 。如+ 13 2 ( ( 1 1 - - c 1 1 8 - - c 1 2 1 1 - - c l a v ) d x = 一z 1d l + 2 a r t s ) 8 2 2 d x + z 1s 2 ( n t c - ，s c z u c t s ”d z n 1 2 1 s 2 如咱18 3 出 妯1 8 2 d x - c l l ( 弘如) 。， 由常微分方程的比较原理得，存在一正常数m 2 1 ，有 l i s ( ，t ) i l 2 ( 0 ，1 ) 5m 2 1 类似得到，存在一正常数m 2 2 ，有 ( ，t ) l l l 。( o ，1 ) s 2 第二步：”方程两边同时乘以 并在( o ，1 ) 上积分得 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ；丢弘如 = z 1 ”( a s ”+ n s - s ”+ n 。z u ”+ n s 。u 2 ) 。a 。+ z l y e ( a 。一c s - s c a 。“一铅a u ) a z = 一：1 d 3 + o z 3 1 s + c x 3 2 t t + 2 0 t 3 3 v ) v x 2 如一a a ，18 z ”x 如一a s 。z 1 “。”出 + z 1 u 2 ( 。a 咱z s 咱。u 咱s u ) 如 兰一如z 1 ”。2 如- - 2 0 t 3 3 2 1 ”。2 如十a 。z 1 ”2 出一a s 1 8 z v v m 出一a s 。1 ，a z a v 如 为了得到。3 詹s 。v v 。d x ，a 3 2 詹u 。”d x 的估计，我们引入下面几个引理 9 引理2 1 2 ( 参见文献 6 ) 设qc r ”有界，a q c m ，则任给u w p ( n ) ，1 g ，r o 。，0 j 仉有下列不等式成立 i d u i p c ( i d ”u 伊川一。+ l u 从( 2 5 ) 其中i 1 = i + 口( ；一导) + ( 1 一。) ：，击。 1 且m n q 满足下列条件之一， ( i ) r q ， ( i i ) 0 业r n r q 1 ， ( i i i ) 业r n r q = 1 且m；不是一非负整数 ( 正常数c 仅依赖于n ，m ，正q ，r a ) 注2 。在上式以及在下面的证明中，我们用f k 表示| i l ，( o ，1 ) 推论2 1 3 存在正常数c ，使得对v u 1 附( o ，1 ) ，有 g ( 川朔u 驴+ ) ( 2 6 ) 证明：取m = 1 ，r = 2 ，q = 1 ，则m ，r t q ，n 满足引理2 1 2 条件( i i ) ，由( 2 5 ) 即得所需结 果 推论2 1 4 存在正常数c ，使得对v t w ( o ，1 ) ，有 i “。l 。g ( j u 。i ；7 5 l 钍i ：7 5 + | u i ) ( 2 7 ) 证明：取m = 2 ，r = 2 ，q = 1 ，则m ，r ，q ，n 满足引理2 1 2 条件( i i ) ，由( 2 5 ) 即得所需结 果 引理2 1 5 对v u w ( o ，1 ) 且t 。( o ) = u 。( 1 ) = 0 ，则 川2 s k 。妙卢( 2 8 ) 证明：由詹“：出= 一詹u u 。d x i u 。l ：i u l 。，立即得上式成立 引理2 1 6 对v u 明( o ，1 ) 且t ；( o ) = “。( 1 ) = 0 ，则 i “。1 2s l u 一妙雠卢 ( 2 9 ) 证明；据引理2 1 5 的结论，有 ：1u ：扣一z 1 u 批。d x 0 ，使得对v e ，0 1 ，有 i f 2 1 0 。sg ( ( 1 + ) i f l ；+ e f 厶l ；) ( 2 1 0 ) 证明：( i ) 先假定，c 1 ( o ，1 ) ，由( 6 引理5 2 ) 得，存在f 四( r 1 ) ，使得 ( i ) f = f ，。( 0 ，1 ) ； ( i i ) i f l l w g ( r ，) 硎川哪( o ，1 ) ，j = 0 ，1 ， 并且对f ，有 lj f 忆w ( r - ) 厶，l ( f 2 ) 。i d z = 2 厶ti f f 。l d x 厶( r 1 2 + r e 2 i ) d x = e l b i l 。( r - ) ：+ l f l 2 。( r - ) ， 因此对，有 l ，2 l 。l e v i l ( r - ) 冬i b j ：( r ) + i 1l rl l 2 ：( 置t ) s 占g i l ，( o ，1 ) + i ( 7 ，旧2 ( 2 1 1 ) 由此即可得( 2 1 0 ) 成立 ( i i ) 对，- 孵( o ，1 ) ，则存在 ) g 1 ( o ，1 ) ，使得 忱一f 1 1 w ；( o ，1 】_ 0 ，忱一州l z ( o ，1 ) _ o ，l 一：i o o _ 0 ，( t _ 。) ， 因此我们用 代替f ，用r 代替f ，也可以得到 i 砰1 0 0 g o l l ( o ，1 ) + 詈l i ；， ( 2 1 2 ) 对( 2 1 2 ) 两边取极限，即得所需结果 下面我们继续定理2 1 _ 1 的证明，应用上面的引理与推论来估计 。- 小毗蛐s 。z 1 u 出 由h s l d e r 不等式，引理1 2 和引理2 1 7 我们有 i ：0 1 8 x * d v z 如l s ；z 1 ”：出+ 去z 1s 。2 ”如；上1 ”：出+ 去k i 蝥j ( 1 ”出 ；上1 w ：如+ 1 m o i 蚓色 s ；上1 u 。：如+ g ( e ) z 1 s ：如+ s 1 8 乞如，( z 1 3 ) j ( 1 “。”。出l ；z 1 ”。：如+ l f fv u 2 d x _ ；z 1 ”：如+ 五1 蝥z 1 ”出 ；z 1 ”；出删s ) z 1 u ：如+ e z l 2 缸 ( 2 1 4 ) ；盖上1 ”2 a z 一a 。上1 ”：a 。一( z 。s a 一；a 。z 一；a a 。) f l 口 ： ，。，。， + g ( s ) ：1 ( 甜2u 2 x ) d z + 0 1 ( s ：。+ u 。2 d 0 。) 如 j 0 下面估计z 1 ( s 。2 。+ u ：。) d z s 的方程两边同时乘以( 一s z z ) 并在( 。，1 ) 上积分得 ；袅上1s ：d x = - f o o ls x x ( d l + a 1 1 8 2 ) z ，：d z - f o $ 3 z z ( 一c u s 咱。u 咱。州z = 一z 1 s 。( d ls x x + 2 0 t l l s 2 。- k 20：11sszz0 ) d z z s 3 一( 卿一c l l s c 1 2 u q 3 ) 如 j ju o 由推论2 i 3 以及( 1 7 ) ，有 j 2 c ( i v 。l ：3 i v l ：3 + j u l l ) g 埘；7 3 ( | ”。l i 7 3 + 对7 3 ) 由此进一步得 一。：a 。s g ( ”2 a 。) 3 + g ， 类似由推论2 i 4 以及引理1 2 可以得到 一小甜2u ) 如一g ( 小：+ “2 + g 因而( 2 2 3 ) 可以写成 ；旦d t z l ( v 2q - s ：+ “：) 出 一d 3 2 1 ”：如一0 1 f 0 1 ( s ：。+ u ：。) 如+ 岛z 1 ( v 2 + s ：+ u ：) 出+ g 一c _ 。l 1 ”2 出) 3 一岛( 上1 ( s ：+ u ：) 如) 2 + 岛z 1 ( v 2 + s 。2 + u ：) 如+ g 一g ( 0 1 ( ”2 + s ：+ “：) 如) 2 十q z l ( v 2 - k s 。2 十) 如+ e ( 2 2 4 ) 再根据常微分方程的比较原理知，存在正常数m 2 a 使得 m ，t ) l l l 。( o ，1 ) 墨m 2 3 ，( ，t ) l l l 。( o ，1 ) sm 2 3 ，怯( 。，t ) i i l ：【o ，1 ) 曼尬3 ( 2 2 5 ) 定理2 1 1 证毕 口 2 2 恢( ，圳l 。( d ，) ，慨( ，刚l t ( o ，。) ，怯( 删h ) 估计 定理2 2 i 设s ( 。，t ) ，( $ ，t ) ，u ( 。，t ) 是初边值问题( 1 1 ) 的解，则存在正常数m 3 使得 i i s 。( - ，t ) l l l 。( o ，1 ) 尬，1 1 。( ，刚l 。( o ，1 ) 尬，怯( ，圳l 。( o 1 ) 尬 ( 2 2 6 ) 证明前面两式的证明见( 2 2 5 ) ，下面证明i i v 。( ，t ) l l z , ( o ，1 ) ! 尬 的方程两边同时乘 以( 一口。) 并在( 0 ，1 ) 上积分得 ；爰z 1 喇2 z 1 3 一“ z z ( d 3 + a 3 1 s u + a 3 2 t 上u + a 3 3 2 ) d z f z z ( 0 3 一c 3 l s c 3 2 u c 3 3 ) d z j 0j 0 z 1 ( d 。+ 蛳s + 嘞u + z 咖小。2 。一a 。，1 3 x z 。x 出- - 2 ( ，3 1 1 s x v x 。如 一z a a t z 1 u 。”。”；。a 。一。a zz 1 “。”。a z 一：。z 1u ：。如 + 。z 1 ”：如+ c 。t z ls ”。如+ c 。z 1 “”。如+ 鼬z 1 ”2 z 出 ( z 肿， 由h s l d e r 不等式，引理1 2 ，引理2 1 7 ，并利用第二节的结果以及分部积分有 13 x x ，) 。如 1 s z z l 。o 叫z m 。z 1 2 0 - 由常微分方程的比较原理 知，存在正常数尬使得 ( 1 孔t ) 如慨，v t ( o ，t ) 1 5 定理2 21 证毕口 定理1 4 的证明：由定理2 11 ，定理2 2 1 的结论，我们立即得到( 1 1 1 ) 成立对于 ( 1 1 2 ) ，我们只需利用s o b o m v 嵌入定理哪( o ，1 ) l g n ( o ，1 ) ，0 口 2 ) 时，证明方程组( 1 2 j 的解的整体 存在性结果 3 1 l ：( n ) 及删驴的估计 定理3 1 1 设s ( x ，咄u ( x ，) ，口( 马) c ( i o ，t ) ，暇) ) n o 。( q ( o ，卸) 是初边值问题 ( 1 2 ) 的解，则存在正常数m 4 ( t ) ，使得 u ( ，o i i l ：( n ) m 4 ( t ) ，i i v ( ，t ) l l l z ( n ) 茎m 4 ( t ) ，vt 0 ，t ) ( 3 1 ) 证明：“方程乘以“并在n 上积分。同时利用f 1 6 1 d e r 不等式得 ；丢五u 2 如+ 五( d 2 + o c 2 1 s + 2 g 2 2 u ) i v u l 2 如 = 。2 l 厶u v s v u 如+ 上“2 ( n 2 - - c 2 1 8 一c 2 2 u c 2 3 。) 出 s 劬z 上i “v s v ”j 出+ 。五“2 如一吨。五“3 咖 e 1 1 v u | l ：) + q 1 1 u v s 0 ：( n ) + 0 2 1 1 t , 1 1 1 。( n ) 一c 2 2 i n l 一击l l u l l 羔z ( n ) i i v u i i ：z ( n ) + g l l “v s i i 知( n ) + q 1 ( 3 2 ) 其中q1 满足： 。2 州l l 。( n ) 一c 2 2 i n l 一钏”1 1 2 ：( n ) o 1 下面我们来估计g i i u v s 嵫( n ) 因为n = 2 ，有内插不等式( 参见文献 1 8 】) 知 ( n ) u u 2 l n ) 巍n ) ：删发n ) ( | | v u 怯( n ) + 口( n ) ) 1 胆， 因此 c d l u w l l ：。( n ) g 2 ( n ) l l w l l ：, ( n ) g l ：( n ) ( 1 l v u 怯( n ) + l 。( n ) ) l l v a l l 2 t ( n ) e j i v 训1 2 。( n ) + 虞i f u l i 玉( a ) ( 1 l w l l ：t ( n ) + i l w l l ：t ( n ) ) s e | | v u i l 玉( n ) + c 42 l l “i 睦：( n ) ( 1 l v 4 圭t ( n ) + 1 ) ( 3 3 ) 1 6 将( 3 3 ) 代入到( 32 ) 中得 ；磊d 五u 2 d x + 鲁五i v u l 2 如 c 4 a i i 圳2 。( ( 1 l v s l i 。( n ) + 1 ) ( 3 另一方面，由g a g l i a r d n i r e n b e r g 不等式( 参见文献 6 ) ， 驴( n ) sc ( 1 l v u 嵫i 2 ( n ) i i u 嵫1 2 ( n ) + b i l l - ( n ) ) ， 并利用引理1 3 的( 17 ) 知 。t ( 厶u 2 d x ) 2 百d 2 厶l v u 2 d x + c 4 s ( 3 司 将( 3 5 ) 代入到( 3 4 ) 中得 丢厶u 2 出+ q t ( 厶u 2 出) 2 瓯蚓i u i l 2 狮) ( 1 l v s i l l , ( m + 1 ) ， 进一步得到 d i n u 2 d 。s 瓯6 恻1 兰：( n ) l l v s 惜( n ) + 吼_ 7 ( 3 6 ) 下面我们估计i i w l i l t ( n ) 记 = ( d l + a 1 1 8 ) 8 ，则 w t = ( d i + 2 a i i s ) a w + ( d i + 2 q n s ) s ( l c 1 1 8 一c 1 2 t 上一c 1 3 v ) ( 3 7 ) 对方程( 3 7 ) 乘以( 一a w ) 并在轨上积分，同时注意到引理1 2 与引理1 3 的结果，有 二i v ”( 。国1 2 如一百1 五i v ”( z ，叫2 如+ 厶。( d i + 2 a l i s ) i n ”i 2 d z 出 = 一，。( d i + 2 0 q l s ) 8 ( a l c 1 1 8 一c 1 2 t $ 一c 1 3 v ) a w d x d t sc i i l x w l i l z ( 口，) ( 1 + l l u l i l t ( o ，) + i f r i l l 。( 口，) ) 钏 睡( o ，) + 瓯d t ) ， 所以 ；上l v ”( 。1 2 如+ 警厶。l u 1 2 d x d t _ c a “t ) 由此得 i i w o i i l 。( n ) a1 0 ( t ) ，i i 1 1 l 。( q t ) 戗1 0 ( t ) ( 3 8 ) 另一方面，由不等式( 【1 l 】，引理2 , 3 ) i i l l w # ( m c ( n ) ( i l z x w l i l ，( n ) - i - i i i i l ，( n ) ) ， 并且注意到”( z ，t ) g | 酬l z ( 钉) 吼1 0 ( t ) ，v ( x ，f ) n 0 ，t ) ，为正常数) 得 厶。，d x d t 0 ，( 3 1 0 ) ls ( o ，0 ) = s b ( z ) ，z q ， 其中a ( t ) 是一致椭圆算子，其定义域是矸孕) 若a ( t ) 的系数在口， i = n ( r ，t ) 中 是一致h 5 1 d e r 连续，并且对v s h t 】， 0 ，( + a ( s ) ) 。皆存在，则存在一发展算子 u ( t ，s ) ，使得( 3 1 0 ) 可以写成下面形式： s ( t ) = u ( t ，r ) s ( r ) + u ( ，s ) f ( s ) d s ，( 3 1 1 ) ，c 1 8 其中f ( s ) x = ，( z ，s ) ，并且对v t 0 ，r 1 ，卢0 ，a 3 ( t ) 是有定义的，且有下面的嵌入 ( 参见文献【8 ) ； d ( a # ( t ) ) l + g “( q ) ，如果2 卢 肛4 - ! r d ( a ? ( t ) ) qw 1 ，9 ( n ) ，如果2 3 1 一兰+ ! p ” ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 引理3 2 1 设r ( 1 ，。o ) ，对( 3 1 0 ) 的任一解s ( # ，) ，有 ( i ) 如果对v t r 0 ，若a ( t ) 的系数是有界连续的，并且对某个r 3 ，有，l r ( q ，t ) 则 i i s l l w , - - ( 。，。) 曼