（基础数学专业论文）脉冲微分方程的振动性.pdf

摘要 本论文主要讨论了一类二阶非线性脉冲微分方程的振动性，一类脉 冲中立型时滞微分方程的振动性，以及一类脉冲泛函微分方程的振动性 与渐近性全文共分为四章 第一章简单概括了本学科的背景和研究进展，以及本文将要考虑和 研究的问题 第二章研究了一类二阶非线性脉冲微分方程 ， i ( n ( t ) z 他) 口) 7 + f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一7 ) ) = 0 ，t t k ，k = 1 ，2 ， iz ( 亡毒) = 鲰( z ( 如) ) ，( 吉) = h k ( x 他七) ) 的振动性利用脉冲微分不等式，得到了方程振动的某些充分条件 第三章研究了一类脉冲中立型时滞微分方程 ，n lp ) 一c ) z 一r ) 】7 + p ( t ) f ( x ( t 一丁) ) + q i ( t ) f ( x ( t 一吼) ) = 0 ，t t o 值1 iz ( 亡j ) = b k ( x ( t k ) ) ，k = 1 ，2 ， 的振动性通过建立一些引理，得到了方程振动的一些充分条件 第四章研究了一类脉冲泛函微分方程 z 7 ) + p ) z 一7 ) 一q t ) z ( 亡一以) = 0 ，t 如 z ( t k ) = b k x ( t ；1 刊眨确州郴s + 喜仁以刊如，d s k n 的振动性与渐进性利用李雅普诺夫方法，得到了脉冲函微分方程的振动 性与渐近性的充分条件 关键词：脉冲微分方程，时滞，振动性，渐近性 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eab r i e fa c c o u n to ft h eh i s t o r ya n dc u r r e n ts t a t u so ft h e e p i d e m i cm o d e lr e s e a r c h ，a n di n t r o d u c et h em a i nw o r ko ft h i sa r t i c l e i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o n so fak i n do fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r o d ew i t hi m p u l s e s ( n ( 亡) ) 口) + f ( t ，z ( 亡) ，x ( t 一7 ) ) = 0 ，t t k ，k = 1 ，2 ， z ( 亡j ) = 夕七( z ( 亡七) ) ，( 亡吉) = h k ( x 7 ( t _ l c ) ) b yu s i n gi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f t h eo s c i l l a t i o no ft h ee q u a t i o n sw h i c hw ed i s c u s s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o no ft h en e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hi m p u l s e s i 陋( 亡) 一c ( t ) x ( t r ) 】+ p ) ， 一7 ) ) + q i ( t ) f ( x ( t 一以) ) = 0 ，t t o ， n iz ( 亡j ) = k ( z ( 埘) ，k = 1 ，2 ， i = l 0 ，矿= p q 0 ，p ，g 为整数且为奇数0 t 1 t 2 o ) ，又，( 亡，t ，口) 矿( 移) p ( 亡) o ) ，其中p ( ) 在i t 。一7 ，+ o 。) 上连续p ( t ) o z 妒( z ) o ( 秒0 ) 矿( z ) 0 ； ( i i i ) 鲰( z ) ，h k ( z ) 在( 一0 0 ，+ o o ) 上连续，且存在正常数c k ，d 七，d i ，使得：c i g 忌( x ) h c k ，喉h k ( x ) h d k 定义2 1 1 函数z ：一7 - ，+ ) 一r ，t o o 称为( 2 1 ) 的解，如果 ( 1 ) t 【t o 一下，+ o o ) 且t t k 时，z ( 亡) 满足( o ( 亡) z 俅) 盯) 7 + ，( 亡，z ( 亡) ，x ( t 一7 - ) ) = o ； ( 2 ) 在每一个脉冲时刻氏，z ( t j ) = 纨( z ( 如) ) ，z 他吉) = h k ( x 他七) ) 且z ( 亡) ，( 亡) 都 是左连续的 定义2 1 2 方程( 2 1 ) 的解为非振动的，如果这个解最终为正或最终为 负否则称该解为振动的 为了证明我们的主要结果，需要下面的引理 引理2 1 1 【9 】设 仇， ) g ( t ) m ( t ) + ) ，t t k ，t t o ， m ( t j ) 以m ( 如) + b k ，七= 1 ，2 ， 3 高校在职硕士学位论文 其中0 t o t 1 t 2 岛时，由引理2 1 1 得 刚s ( 寸) t j t 女 勺时，由引理2 1 1 得 ) 纠寸) n 儡厶d k 南如 t j t k t 。0s t k t j 1 定理2 2 1 假设条件( i ) 一( i v ) 和引理2 2 1 成立，存在一个正整数k o ，一 个非负常数c ，非负连续函数g ( ) ，t ( 幻一7 - ，+ ) 当七时，1 和 垆7 ( z ) c 0 看 t ( ) 。尸( s ) d s = + o o ( 2 2 ) ，t 0 t o t k s 其中 即) = 一邮叫删+ 0 唧( o ( t t o ) 由引理2 2 1 可知一( 亡) o ，t ( t 奄，t k + l 】，k = 1 ，2 令 螂) = 揣 那么叫( 亡毒) o ( k = 1 ，2 ) ，叫 ) o ( t t o ) ，由于( o ( t ) ( z 7 ( 亡) ) 7 0 ，固有 ( 口( 亡) ( z 7 ) ) 口a ( t 一7 ) ( z 7 一丁) ) 盯， 蔫岛而1 习嘲妒( z ( 亡一丁) ) = _ o 吾( 亡一下) “r 7 由条件( 钇) 和方程( 2 1 ) 知，当亡t k 时 叫c 亡，= 一譬菩槲一盯竺堡琶霎鼍笔萼兰萼亏竞麦群 呻( 亡) 一盯蝌+ 吾c 而1 习 0 4 t 一下i 一m 叫h ) 孚器姒圳吾 一 器】1 + 。字器删0 令 口= 字，x = 鹗，y 刮亡) 由引理2 2 3 得 了a + l 万w ( 习t ) 删k 。n ( w 亡一( t ) 丁) 1 。1 + 吾吾删1 + 吾 州哪) + 彻( 卜丁) 一c ( 口+ 1 ) 9 ( 亡) 】；1 训( 亡) 6 脉冲微分方程的振动性 当t = t k , t 奄一7 - 岛则i 七 叫( z 毒) = 端竺譬辫竺肇辫= d 嚣似( 靠) 当亡= 如，t 七一下= t i 贝, l j i 七 叫c 绣，= 端竺焉耕号譬端= 彬c 如， 则有 伽( 右) 伽( 舌手) 幻 i “i 。蜈e x p ( t o 。一c ( 盯+ 1 ) 夕( t ) 吾出) t o “ t ， 一r 。器。d ；e x p ( f s t - c ( 州m 也) 刮) g ( s ) l + 吾) 如 = 细隳。d j ；唧f ，j 厂t o 。- c ( 州m 炉) 小( 才) t o “ o ( t 幻) 由 引理2 2 1 得到z ( 亡吉) o ( k = 1 ，2 ，) ，( 亡) o ( t t o ) 因为c ：1 ，( 忌= 1 ，2 ，) 得 x ( t t ) x ( t 1 ) z f 亡 1 x ( t ，1 z f 亡 1 7 高校在职硕士学位论文 很明显，z ( 亡) 在，+ o o ) 上是单调非减的由方程( 2 1 ) 和条件( 托) s ) = ( o ( 亡) ( ) ) ) 7 = 一f ( t ，z ) ，z ( 亡一丁) ) 一p ( 亡) 妒矿( z ( 亡一7 _ ) ) ，1 t o , t t 知 ( ； ) d ：s ( t k ) 由引理2 1 1 得到 ) 鲥s ) 蜒一见盯p 删u 叫坯吲 s t k t ，8 t “ tl v 佗j 由上述不等式得到 z 78 ) 岗吾i 认i 埘 、羔 、口 一7 ) ) 砒l 刈叫) 矧吾i 冰i 埘出) 砒) 揣岗吾i 认i 埘出，砒厂 从而对于s ( t k ，t 七十1 】有 薹川新k 。旦蚶出，砒卜 薹，意如 f 意如 这与f 2 3 1 r 2 4 1 矛盾即方程化1 1 糯动 乖丝 推论2 2 1 假设条件( i ) 一( 劾) 和引理2 2 1 的条件成立，存在一个正整 数，一个非负常数c ，非负连续函数9 ( t ) ，t ( 一下，+ ) 当庇k o 时， 1 ，b k 1 和 + o o p ( 舌) 出= + o o ( 2 5 ) 8 脉冲微分方程的振动性 成立，其中尸( 亡) = p ( 亡) 一c a ( t - 丁) 9 ( 亡) 1 + 吾) e x p ( 丘c ( 盯+ 1 ) 夕( u ) 吾砒) 那么方 程( 2 1 ) 是振动的， 证明不失一般性，令= 1 由k 1 知 j 厂t o 。( t 觋。咿1 删s 嗍(26)oth 0 ，7 - c r i 0 ( 既) 亿) 兽为实数列满足o t o n r ，且七 r k 5 o 。 ( i i i ) 0 b k 1 ，p ( t ) c ( t o ，+ ) ，矿) ，吼c ( t o ，+ o o ) ，r ) ，i = 1 ，2 ，n ， c ( r ，r ) 对任意函数钍：r _ + 冗，记u + ( 亡) = m a x u ( t ) ，o ) ，u - ( t ) = m a x 一让( 亡) ，o ， 多( 亡) = p ( t ) 一盯( 亡一7 - ) 玩( 亡) = 吼( 亡) + q f ( t 一以) ( i v ) c ( t ) p c ( t o ，co ) ，r + ) ，p c ( t o ，o o ) ，矿) 表示满足如下条件的函数 集，：，+ o o ) 一r + 满足，在i t o ，n 】和每个( ，住+ 1 】( 后1 ) 上连续，且对所 有的k 1 ，l i mf ( t ) = ，( 付) 在此我们定义p = m a x r ，丁) ，5 = w i n r ，吼) 3 2 主要结果 引理3 2 1 设存在正常数2 使，当y o 时有 o 0 0 。 ( 3 3 ) 1 3 高校在职硕士学位论文 _ _ - m i i - _ _ _ _ _ _ - _ l _ - _ _ - _ - _ _ l _ _ - - _ - _ - - l _ 成立，假设 c ( 付) c ( ) ，k 肠詹： 尼1 ，住一r 氕，i 七)( 3 4 ) 6 ：c ( 对) c ( ) ，危马七： 七1 ，弦一r = 死，i 0 工f ! ! 量量攀存在点列 露) ，瓦如，满足熙瓦= + o o ，且z ( 死) = 氍z ( s ) 于是由( 3 2 ) 可得 吣”。 弛) 一( 驴c ( 跏( 死叫一喜仁以秭小胂s 刈驴c ( 孙( 轴) 一喜仁以) 如 刈死，卜聃喜e 如) 。 由名( 亡) 的单调性知z ( 亡) o 对所有古舌2 成立z ( 右) 有界， 。l i r as u p z ( 亡) ： m ，则对任意的e o ，存在t 亡2 ，使当t 时有z ( 亡一r ) o 即z ( t ) z ( 亡) o ，x ( t ) z z ( t ) o 若z ( ) 是方程的最终负解， 同理可证引理成立 引理3 2 2 【1 2 l 假设q c ( 陋o ，o o ) ，r + ) j t 不能最终为零，如果 矿 ) + q ) 可( 亡) o ，t t o , t - t o , t ，( 3 7 ) i 可( t ) = y ( ) ，矿( 付) 矿( ) ，k = 1 ，2 ， 有最终正解，那么 矿( t ) + q ( t ) y ( t ) = o 也有最终正解 引理3 2 3 假设条件( z ) 一( i v ) 与( 3 4 ) ( 3 5 ) 成立，设存在两个正常数后，z ， 当y o 时有 k 趔 f 若 n f t - - q i c ( t ) + k q ：( ( s ) d s 1 ，( 3 8 ) z ( 亡) 如( 3 6 ) 式定义，z ( ) 为( 3 1 ) 式的最终正解，且二阶脉冲微分不等式 邪) + ；( 亡) o ，亡t o , 亡仉， ( 3 9 ) i 可( 砖) = 可( ) ，矿( 付) 矿( 亿) ，k = 1 ，2 ， 无最终正解，则z 他) 0 ，( 1 - + ) 0 ，z ( t ) m 若亡1 ( t ，兀+ 1 ) ，我们证明当亡1 ( t l , 乃+ 1 ) 时z ( 亡) m ，否则令t 。= r a i n t ( t l , 瓦+ 1 】，x ( t ) m ) ，当t 1 一p t m ，z ( 亡) = m 由于z ( t ) o 由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 有 m = z ( 亡) c ( 舌+ ) z ( 扩一r ) + q f f ( x ( s ) ) d s 卜，+ 喜仁以删d s m 这样得到一个矛盾接下来我们证明z ( 磷，) m 否则z ( t 。) m ，由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 有 m 列啪 卜，+ 妻i - - - - 1 j r r i + 1 - 一1 州d s m m 这样得到一个矛盾同理我们可以证明当1 ( 几+ 1 以+ 2 ) 时z ( 亡) m ，且z ( t 2 ) m ，从而 x ( t ) m ，t t l 令 t l _ i m 。z ( 亡) = 口 情形1q = o , i 汉t 2 t l , 使得t 2 t l 时z ( 亡) 丢( + p z ( s ) d s ，舌 t 2 , t 2 + 纠 1 6 脉冲微分方程的振动性 情形2q o ，由z ( ) 单调减少知当亡 亡1 时z ( t ) q ，从而由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 有 容易推出 从而 z ( ) q + c ( 蝴一r ) 一壹t - - 以町他( s ) ) 如 i = 1j t - - l q + m ，t t l x ( t ) n q + m ，t t l + ( n 一1 ) p ，n = 1 ，2 ， 从而存在t 3 t 2 , 使得 。t i ，mz ( t ) = o o t 、 z ( t p 砚i t + p z ( s ) d s ，t t 3 , t 3 + 纠 综合情形1 和2 ，存在t t 2 使得 接下来，我们证明 令t + p ( t m ，t m + 1 ) 否则令 则有 z ( 亡p 石1 ，f t + p z ( s ) d s , te 阢j f l + 纠 ) 昙，z ( s ) d s 幽 我们证明 z ( 亡) 丢r + p z ( s ) d s , t e t + p ，+ 。】 r = m i nt t + p , t e ( ，“：z ( 亡) 万1 上t + p2 1 ( s ) d s ) ， 雄) p 小) d s 艇p t 1 州= 石1 厶t p 小) d 5 1 7 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 高校在职硕士学位论文 由( 3 6 ) ，( 3 8 ) 有 却z ( s ) d s = x ( t - z ( t ，+ c c t ，+ ；：。， t t + * - 一a r t 忌酊c s ，d s 丢f z c s ，d s 搿却小) d s + 小) d s = z 却小) 如 这样得剑一个才盾，凼此( 3 1 0 ) 成业i 司埋找们日j 以让明 蛾+ 1 ) 丢广却z ( s ) 如 因此 ) 丢厂小) d s 舵嘲叫 ；i 上t 币) d s t t + 下 令 秒( 亡) = 石i 厶t z ( s ) d s ， 有可( 亡) 0 ，矿( 矿) = z ( 矿) o 同时 帅) + i j d k p ( 训亡) 。，亡t + t , y ( t ) = ( 死) ，可( t ) 可( 亿) 这说 j v ( t ) o 是不等式( 3 7 ) 的最终正解，与假设矛盾，引理证明完毕 引理3 2 4 【1 5 1 如果p ( t ) o , 贝j l 方程矿( t ) + p ( t ) 可( 亡) = o 是振动的，如果 规t 甜亡，出) d s 呈 或者非振动的，如果对足够大的亡， t 加丢 定理3 2 1 假设条件( i ) 一( i 钉) 与( 3 4 ) ( 3 5 ) 成立，k = l 兰f t - a c ( ) + f 酊( s ) d s = 1 ，( 3 1 2 ) i - - - - 1 j t 一7 1 8 脉冲微分方程的振动性 和 恕i n f 亡0 。哪) 虿p ( 3 1 3 ) 成立那么方程( 3 1 ) 振动 证明设z ( 亡) 方程( 3 1 ) 的最终正解，z ( t ) ! l ( 3 6 ) 定义由引理3 2 1 和条件 3 1 2 我们有z ( t ) 0 另一方面由引理3 2 4 和条件( 3 1 3 ) 知方程( 3 9 ) 振动，由 引理3 2 3 矢n z ( t ) o ，得到矛盾，定理证明完毕 3 3 一些例子 例3 3 1 考虑方程 j 陋( 亡) 一 z 一丌) 】+ ( 1 + ls i n t d x ( t 一2 7 r ) + ( 1 + l0 0 8 亡i ) z ( t 一3 7 1 ) = 0 iz ( t ) = 南( z ( 亿) ) ( 3 1 4 ) 显然条件( i ) 一( i v ) 和( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 成立，由定理3 2 1 可知方程( 3 1 4 ) 是振动的 1 9 高校在职硕士学位论文 4 1 引言 4 一类脉冲泛函微分方程的振动性与渐进性 本章，我们讨论了一类脉冲泛函微分方程的振动性与渐进性： l z 心) + p ( t ) z ( 亡一下) 一q t ( 亡) z - ( v i ) = o ，亡垴 z c 如，= 6 奄z c 亡i ，+ c 1 6 ， - - k tp c s + 丁，z c s ，d s + 喜 ：以q c s + 吼，z c s ，d s ， 【七 ( 4 1 ) 其中，p , q i c ( ，+ 。) ，肘) ，丁，以 o ，+ o o ) ，7 - 恶麓 以) ，k 是一个常 数，0 t o t 1 t 2 t k ，。l 如= o o ，z ( 坛) 定义为当t = “ 十 时z ( 亡) 的左极限。 4 2 主要结果 。墨s u pl 正r p ( s + 丁) d s + 正r p ( s 十2 r ) d s + 耋仁q ( s + 吼) 如 7 tq ( 帅) i - 1 ( 4 2 ) + 搿正( s + 2 7 - ) d si c “， - 2 + pc s 伸+ 喜fq c s + a i ) d s 卜， 沁州眇w ( s ) 如+ 喜f 训识s ) d s ， 警- - p 沁刊砉c 以s ) d s + 喜训卜r 州u w d s 2 1 一童茎垄竖翌圭兰堡笙奎一 盟d t ( m 妒 p ( s 砌) d s - - p * ( m ) ( r 即州识s ) d s 面d v s f 一2 + 以s + 下冲+ e r p 邯+ 2 州s + 善n 上一t - - r 以q 。+ 以冲 + 崭胁刚州s 卜刊识如t t b ( 4 + 等而上一r p 弋s + 2 7 - ) d s l p 弋t + 丁如弋一“ 峥? 当亡：如时，我们有 ， y m ) = k ) 一喜仁以q ( s + a i ) x ( s ) d s - e p ( s + 巾( s ) 如j y m ) = 卜一善上一下q l p p 净d m s j + ( ，州s 栅) 妻i = - i 小牡出脚 + ( 二rp + ( s + 2 丁) ! s t k p * ( u + 丁) z 2 ( 乱) 砒d s 12 = 磋广x ( t 沪妻c 训如) d s _ p ( s m s j = 磋沪z 吖托净。灿一l p 。 弦。m s j + c r 州s 栅) 龇驰出删s + 二下p + ( s + 2 r ) j f s t p * ( 他+ 下) z 2 ( 札) 如d s 12 k ) 一喜。仁以q ( s + a d x ( s ) d s - ep ( s 竹m 叫 卜一善一r q lp 。竹净p m s j + 州s 砌) 喜z 8 咖删s + 二fp 4 ( s 十2 丁) h p ( u + 下) z 2 ( u ) 机d s 从而由( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 可知 p ( t + r ) x 2 ( t ) l 1 ( t o ，+ o o ) 2 2 脉冲微分方程的振动性 因此对任意p o 有 舰f t t p 脚+ 丁) z 2 ( s ) d s = 。 ( z ) ( 亡) = t 时u ( t ) o ，否则存在一个数列t 1 ，吃亿，当_ o o 时，可( ) = o ，所以 t 1 + i m 。y 2 ( 死) = 0 ， 这与q o ，相矛盾，因此当t 知 z 亡t 七+ 1 ) 时，有可( 亡) o 或可( 亡) o ，同时y ( t k + 1 ) = b k y ( t ；) o ，因此在t + 1 t 七+ 2 ) 上秒( ) o ，从而在t 陬，) 上秒( t ) o ，由( 4 4 ) 有 熙卜喜仁以刊= ( s ) d s - p c s 州叫= 危他7 ， 存在且有限由( 4 2 ) 有 娄j t - - 扣t 以刊如) d s + 上t - - 。，r 州m 啪s扛：1 ， = 可( 亡一r ) - y ( t ) + 可( 如) 一( 可( 坛) ) 】 取t _ 。，对所有k 有t 知一t k 一1 入有 妻厂。- - o q ( s + 吼) z ( s ) d s + i t p + ( s + 7 ) z ( s ) d s ：o( 4 8 ) 萎j t - - l q ( s + 咖( s ) 。t - - t p + ( s + 枇) s = o( 4 8 ) i 一1 v 由( 4 6 ) 有 1 i mz ( 亡) = h t - - - o o 、 证明完毕 定理4 2 2 假设定理4 2 1 的条件成立，和壹( 1 一b k ) o o 成立，那么方 程( 4 1 ) 的每一个解当亡一o o 时趋向一个常数 证明我们只需要证明( 4 8 ) 成立，证明类似定理4 2 1 娄j r t - - 。孓m 郴s + 仁r 州m s 膨t l r- ，t r 2 4 脉冲微分方程的振动性 = y ( 一7 - ) - y ( t ) + ( b k 1 ) ( y ( 坛) ) t - - v t k t 由( 4 7 ) 和壹( 1 一“) ，取亡_ o o ，可知( 4 8 ) 成立，证明完毕 t = 1 定理4 2 3 假设定理4 2 1 的条件成立，或定理4 2 2 的条件成立，那么 方程4 1 的任意振动解当t _ o o 时趋于零 定理4 2 4 假设定理4 2 2 的条件成立且 g o o p ( s + r ) d 8 = 0 0 ( 4 9 ) ，t o 那么方程( 4 1 ) 的任意解当t _ 0 0 时趋于零 证明由定理4 2 3 ，我们只需证明方程( 4 1 ) 的任意非振动解当t 。o 时 趋于零 4 3 一些例子 例4 3 1 f 州+ 击雄- 2 ) 一知- 1 ) = 叭舢， 卜扣南卅南 e 2 南小油+ 仁1 南如冲 【七 ( 4 1 0 ) 由定理4 2 1 ，可知当亡一0 0 时，方程( 4 1 0 ) 的所有振动解趋于零又由定 理4 2 3 ，可知当t _ 。时，方程( 4 1 0 ) 的所有解趋于零 2 5 参考文献 1 】l u o ，j m s e c o n d - o r d e rq u a s i l i n e a ro s c i l l a t i o nw i t hi m p u l s e s j c o m p u t e r sa n d m a t h e m a t i c s 嵌现a p p l i c a t i o n s ，2 0 0 3 ，4 6 ：2 7 9 - 2 9 1 2 】李维娜，何宏庆，仉志余二阶非线性脉冲微分方程的振动性【j 】数学的实践与 认识，2 0 0 8 ，3 8 ( 2 0 ) ：2 1 2 - 2 1 6 3 】p i n g ，m d & w g g e o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s j c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c s 埘纨a p p l i c a t i o n s ，2 0 0 0 ， 3 9 ：2 1 7 - 2 2 5 【4 】c h e n ，y w f e n g o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a ro d ew i t hi m p u l s e s j m a t h a n a l a 卯 1 9 9 7 ，2 1 0 ：1 5 0 - 1 6 9 【5 】5h a r d y , g h j el i t t l e w o o d g p o l y a i n e q u a l i t i e s ，s e c o n de d i t i o n m 】c a m - b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 8 ：1 6 7 - 1 7 8 6 】6 毛卫华二阶非线性具时滞脉冲微分方程振动性 j 】华南师范大学学报，2 0 0 2 ， 1 ：6 m 6 7 7 】a g a r w a l ，r p p j w o n g o s c i l l a t o r yb e h a v i o ro fs o l u t i o no fc e r t a i ns e c o n do r d e r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 6 ，1 9 8 ：3 3 7 3 5 4 8 1g r a e f , j r j h s h e n i p s t a v r o u l a k i s o s c i l i a t i o no fi m p u l s i v en e u t r a ld e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 2 ，2 6 8 ：3 3 1 0 - 3 3 3 【9 】l a k s h m i k a n t h a m ，v & d d b a i n o v p s s i m e o n o v t h e o r y 吖i m p u l s i v ed i f f e r - e n t i a le q u a t i o n m w o r l ds c i e n t i f i c ：s i n g a p o r e ，19 8 9 ：2 8 6 - 2 7 4 【1 0 】b a i n o v ，d d & p s s i m e o n o v s y s t e m sw i t hi m p u l s e 咖c ts t a b i l i t y , t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s m e l l i sh o r w o o d ：c h i c e s t e r ，1 9 8 9 ：4 2 4 5 【1 1 】张颖，赵爱民一阶中立型时滞微分方程的振动性【j 】数学的实践与认识， 2 0 0 8 ，( 3 8 ) 1 6 ：2 2 0 2 2 4 【1 2 】于爱文，李建利具正负系数的脉冲中立型时滞微分方程的振动性 j 】湖南师 范大学自然科学学报，2 0 0 7 ，2 0 ( 4 ) ：3 0 - 3 4 【1 3 】刘兴元，具有正负系数中立型时滞微分方程的振动性 j 】四川师范大学学报， 2 0 0 6 ，2 9 ( 2 ) ：1 9 2 - 1 9 6 【l4 】黄国亮脉冲微分方程的振动性【d 】湖南：湖南师范大学，2 0 0 4 ：2 2 3 3 1 5 】h i l l e ，e n o - o s c i l l a t i o nt h e o r e m s j t r a n s a m e r m a t h s e c ，1 9 4 8 ，6 4 ：2 3 4 - 2 5 2 【1 6 】庚建设具有正负系数的中立型时滞微分方程【j 】数学学报，1 9 9 1 ，3 4 ( 4 ) ：5 1 7 - 5 2 2 【1 7 1s h e n ，j h & z c w a n g o s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o r so fs o l u t i o n so f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s j 】a n nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 4 ， 1 0 ：6 1 6 9 【l s s h e n ，j h i p s t a v r o u l a k i s x h t a n g h i l kt y p eo s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o n c f i t e r i af o rn e u t r a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j s t u d i e so y t h eu n i v e r s i t uo fz i l i n am a t h e m a t i c a ls e r i e s ，2 0 0 1 ，1 4 ：4 5 - 4 9 1 9 】l 出，b s & b g z h a n g o s c i l l a t i o no ff i r s to r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 0 ，3 9 ：1 2 7 4 - 1 2 8 1 f 2 0 j 陈志彬，张爱平，李蓓一类变系数泛函微分方程的振动性与渐进性【j 】湖南 工业大学学报，2 0 0 8 ，2 ：2 9 - 3 1 【2 1 】廖六生，王晓萍具正负系数的中立型时滞微分方程的渐进性 j 】湖南大学学 报，2 0 0 1 ，2 ：i i 1 5 【2 2 s h e n j h & j s y u a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hp o s k i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 5 ，1 9 5 ：1 - 6 【2 3 】l a d a s ，g a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fr e t a r d e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j p r o c a m e r m a t h s o y , 1 9 8 3 ，8 8 ：2 4 2 5 3 【2 4 】c h u a n ，x g l a d a s o s c i l l a t i o ni nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a - t i v ec o e f f i c i e n t j c a n a d m a t h b u l l ，1 9 9 0 ，3 3 ：4 4 2 - 4 5 0 【2 5