（光学专业论文）声光光学双稳态系统混沌的产生.pdf

摘要 本论文利用光电反馈布拉格( b m g g ) 型声光光学双稳系统的混沌动力学系 统，对声光双稳系统的动力学行为进行研究。本论文完成如下工作： 概述了近些年来混沌动力学的最新发展，阐述声光双稳态现象的产生和声光 双稳系统混沌的产生，总结声光双稳系统混沌研究的已有成果 对声光光学双稳系统混沌的产生条件进行理论研究。在保持其他控制参量不 变的情况下，改变反馈回路的延迟时间使系统产生混沌，并对其进行了数值模拟 对声光光学双稳系统混沌的产生条件进行实验验证。实验中保持其他控制参 数不变，用同轴电缆作为延迟线改变系统的反馈延迟时间，用示波器和频谱仪记 录实验结果，并把实验结果与理论分析进行对照。 关键词：混沌声光双稳系统延时反馈混沌产生 a b s t r a c t t h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro f 锄叫咖啦b i s t a b l es y s t e m 叩唧曲喀i nb r a g g r e g i m ew i t ho p f i c - e l e c 灯o n i cf e e d b a c kl o o pi si n v e s t i g a t e d i nt h i st h e s i sw eh a v e c o m p l e t e dt h ef o l l o w i n gw o r k s ： 1 1 l a t e s ta d v a n c e so f s t u d i e so f c h a o t i cd y n a m i c si sr e v i e w e d ；t h em e c h a n i s m s o ft h e 掣m e 枷o n so f 删c a lb i s t a b l i l i t ya n dc h 躺i na c o u a o - o p t i cs y s t e m sa r e d i s c u s s e da n dt h ea c h i e v e m e n t so fi n v e s t i g a t i o n c h a o si na c o u s t o - o v a cs y s t e ma g e s l m l m a r i z e d 1 1 地c o n d i t i o no fg e n e r a t i o no fc h a o si na na c o 咖p t i co p t i c 山b i s t a b l es y s t e m i st h e o r e t i c a l l ys t u d i e d t h ec h a o si sg e n e r a t e db yv a r y i n gt h ed e l a yt i m eo ft h e f e e d b a c kl o o pw h i l ek e e p i n gt h co t h e rp a r a m e l e r si m c h a n g e 正n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s a l ea l s op e r f o r m e d e x p a h n e n t a le x a m i n a t i o nf o r t h ea b o v et h e o r e t i c a la n a l y s i sb yc h a n g i n gt h et i m e d e l a y u s i n gac o a x i a lc a b l ew h i l ek e e p i n g t h eo t h e rc o n t r o ll x u - m n c t c r su n c h a n g e d ，t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t s a g em o n i t o r e db yo s c i l l o s c o p ea n d 印e 咖a n a l y z e r m e x p e r i m e n t a lr e s u l t sm - ec a m v a r e dw i t hf l a e o r e t i c a la n a l y s i s k e yw o r d s ：c h a o sa e o u s t o - o p f i eb i s t a b l es y s t e m d e l a y e df e e d b a c kg e n e r a t i o no fc h a o s 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，声光光学双稳态系统混沌的产生 是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：主趁 2 1 年月丝日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版 权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：室鎏! 翌 q 年l 月丛日 指导导师签名：塞出竺垒篮! 1年三- 月堡日 第一章绪论 1 1混沌 1 1 1 混沌 这里谈论的混沌的概念与通常人们( 特别是过去) 对混沌( c h a o s ) 一词的 理解完全不一样。在古代，无论中国还是西方，混沌都表示宇宙形成之前的无序 状态。在非线性动力学中，我们可以认为，混沌是服从确定性规律而又具有内禀 随机性的运动。说它的运动服从确定性规律，是指混沌的运动可以用确定的动力 学方程来表述，而不像噪声那样，不服从任何动力学方程；说它的运动具有内禀 随机性，是指它的运动不能像经典力学中的机械运动那样，由某时刻的运动状态 可以预言( 或预测) 以后任何时刻的运动状态，而混沌运动像其他随机运动或噪 声那样，其运动状态是不可预言的，也就是说，混沌运动在相空间中没有确定的 轨道。洛仑兹把混沌运动的这种在确定性系统中出现的随机性称为“貌似随 机”。 1 9 7 5 年李天岩和j y o r k e 在题为周期3 蕴涵着混沌的论文中首先提出了 现在非线性理论中普遍采用的混沌概念，即混沌是非线性系统的一种特殊的运动 状态。现在，人们已经普遍认为“混沌”就是“确定性系统中出现的随机状态” ( 1 9 8 6 年英国皇家学会举办的一次国际性专题学术会上，与会者达成共识) 嘲。 1 1 2 混沌的产生 从洛仑兹方程、受迫振动的达芬方程、若斯勒方程的混沌运动可以看出，系 统中出现具有随机性的混沌运动是由于非线性使系统具有不止一个定点( 定态) ， 当条件恰当( 方程中控制参量取适当的值) 时，这些定点都不稳定，运动轨线交 替地绕着这些不同的不稳定定点来回地跳动( 或者说原来作规则运动时存在的不 同流域现在已经消失) ，这样就必然使运动复杂化，加上系统内禀的涨落也要引 起运动具有随机性，这样就产生了混沌。 1 1 3 混沌运动的基本特征 混沌运动与其他的复杂现象相比，有其独有的特征o 】，主要有： 1 、有界性。混沌运动是有界的，其运动轨线始终局限于某个确定的区域， 称之为混沌吸引域。不管混沌系统内部有多么不稳定，其轨线也不会走出混沌吸 引域，因此，整体来说混沌系统是稳定的。 2 、遍历性。混沌运动在其吸引域内是遍历的，即在有限时间内混沌轨线经 过混沌吸引域内的每一个状态点。 3 、内禀随机性。在一定的条件下，系统的某个状态可能出现，也可能不出 现，该系统具有内禀随机性。 4 、分维性。指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运 动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，具有无穷层次的自相似结构。 5 、标度性。是指混沌运动是无序中的有序状态。针对这种有序状态，可以 理解为：只要数值或实验设备的精度足够高，总可以在较小尺度的混沌区域内看 到其中有序的运动花样。 6 、普适性。是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，不 依赖于具体的系统方程或控制参数而变化。 7 、正的l y a p u n o v 指数、连续功率谱等。 1 1 4 通向混沌的道路 目前研究发现通向混沌的道路有四种啪：倍周期分岔道路、阵发( 间歇) 道 路、准周期道路和k a m 环面破裂道路。 1 1 5 混沌的分类 从混沌的类型上一般可以分为四大类“1 ，即时间混沌、空间混沌、时空混沌 和超混沌。 1 2 光学混沌 光学混沌作为混沌科学的一个分支学科，其发展也已经有近四十多年的历史 了。虽然光学混沌的研究比电路混沌晚，但发展很快。 1 2 1 光学混沌研究进展 关于光学混沌现象，早在2 0 世纪6 0 年代初激光器研制出来后，就在实验室 观察到激光器输出的尖峰效应和跳模现象，存在着确定性混沌，但当时是以驰豫 振荡模型加以解释。最先研究光学混沌的是h i - l a k a l l ，他在1 9 7 5 年从理论上指 出，描写单模激光器运转的麦克斯韦一布洛赫方程与描写大气湍流的洛仑兹方程 在形式上是一致的，从而预言激光混沌的存在，并在研究激光器稳定性基础之上， 建立了均匀加宽激光器的方程组，即洛仑兹一哈肯方程”1 。1 9 7 9 年池田( i k e , d a ) 研究光学双稳态时，建立了光学双稳态的不稳定性模型一池田方程，预示了光学 双稳态系统混沌的存在m 。 8 0 年代，随着激光器理论与技术的不断完善和深化，光学混沌才真正出现 热点和突破，在一系列激光器中观测到了混沌。进入9 0 年代以后，光学混沌的 研究进入一个崭新的发展时期，主要研究如何发展和利用光学混沌。最突出的表 现是参照电学混沌的研究途径，对光学混沌进行有效的控制和利用，并取得了突 破性的进展，出现了混沌控制和混沌同步两大研究热点。1 9 9 8 年- 2 0 0 4 年，大量 的文章是利用各种研究方法去控制和利用混沌，特别是混沌在激光器中以及在光 学安全保密通信系统上的讨论最多，也有相当一部分是讨论光学混沌方程及其稳 定性研究，光学混沌的研究正日趋成熟。 2 1 2 2 光学混沌的分类 根据反馈方式的不同，光学混沌可以分为全光学型光学混沌和混合型光学混 沌，而混合型光学混沌又分为电光混合型和声光混合型光学混沌m 。 1 3 本论文的内容介绍 本论文的研究是在参数延时反馈法控制声光光学双稳态系统混沌的基础之 上，在保持系统其他控制参数不变的条件下，通过改变延时时间的方法，使声光 光学双稳态系统产生混沌，并以此为基础，探讨通过改变延时时间，实现对该系 统混沌的控制。 基于这样的目的，对本论文的工作做如下安排： 第一章为绪论。介绍混沌、混沌的产生、主要特征及分类，同时也对光学 混沌的发展及分类进行了介绍。 第二章阐述声光光学双稳态混沌。阐述声光双稳态现象、声光双稳态系统 混沌的产生，总结声光双稳系统混沌研究的已有成果。 第三章对声光双稳系统混沌进行理论分析。以描述声光双稳系统混沌的微 分方程为基础，在保证控制参数不变的情况下，改变延时时间，研究该系统由单 稳态、双稳态，经倍周期分岔的途径进入混沌。 第四章对声光双稳系统混沌进行实验研究。搭建实验系统，观察该系统在 改变延时时间时，系统出现单稳态、双稳态及混沌。 3 第二章声光光学双稳态系统混沌 从混沌动力学的发展过程可以清楚地看到，各学科和混沌动力学相互影响、 相互促进、共同发展。各学科为混沌动力学的发展提供了必要的研究素材和理论 支持，而各学科也从混沌动力学受到了启发，加速了各学科的发展，这一点可以 从光学混沌的研究上得以明显体现。在这一领域中，声光双稳态的研究占有重要 的地位。 2 1 声光光学双稳态 对光学双稳态方面的研究，最先由麻省理工学院的s z o k e 等人提出“1 ，贝尔 公司的g i b b s 等随后在实验上观察到全光学型双稳态现象。从此之后，对于光 学双稳态系统的研究逐渐出现，报导也逐年增加。由于它在光开关、光信号存储、 光计算等领域具有十分重要的作用，使得这一方面的研究迅速展开。 由于全光学型双稳系统对入射光强和波长有一定的要求，因此又提出了混合 型光学双稳装置，可由电光或声光效应等实现非线性变换，再通过反馈的形式构 成闭环完成双稳功能。1 9 7 6 年，f s p e l l b e r 等在声光光学双稳装置上实现了布拉 格( b r a g g ) 行波声光光学双稳运行“”。此后对这一类型的光学双稳装置的研究 不断深入。虽然电光双稳系统比声光双稳系统容易实现且也比较稳定，但声光双 稳系统由于具有多通道、一维二维皆可、易于集成等特点，所以对它的研究一 直受到重视。 2 1 1 声光光学双稳态的产生 我们可以采用经典理论来说明光学双稳态现象。一个光学双稳态系统，必须 有一个物理量 ，通常是光学介质自哳射率，能够对透射的一级衍射光l 进行调 制，使这个物理量n 和透射率r 之间有如下关系： t 一i o f ( n ) 式中，l 是一级衍射光强，o 是入射光强， 的曲线称为调制曲线。 ( 2 1 ) 即是光学介质的折射率，这个方程描绘 另一方面，透射光必须能够以一种特定的方式控制光学双稳态系统的这个物 理量，使这个物理量的变化量a n 随着透射光的强度而变化。我们假定a ，l 和， 成 正比： a n 地 ( 2 2 ) 式中k 是比例系数，把( 2 2 ) 式代人( 2 1 ) 式中，我们得到 t 一厶一( a n ) ( u , ) ；( n n 。) ) ( 2 3 ) 式中行。是n 的初值。这条曲线称为双稳态系统的反馈曲线。我们可以看到反馈 曲线是一条直线。调制曲线和反馈曲线的交点就是两个方程( 2 1 ) 和( 2 3 ) 的 4 解，这些交点就是光学双稳态的可能的稳定状态。 我们先把输入光强由小变大，然后再把输入光强由大变小。从图2 1 中( 图 中横坐标，0 是入射光光强，直线1 、2 、3 、4 为反馈曲线，曲线为调制曲线) 可 以看到，当输入光强由小变大时，反馈曲线( 直线) 的斜率就由大变小，假定一 开始反馈曲线为直线1 ，它和调制曲线交于a 点。后来入射光强变大，反馈曲线 变为直线2 ，它和调制曲线交于b 点和f 点，这时由于原来入射光强小，光学双 稳态系统处于低透过率状态，透射光强很低，所以处于b 点所代表的低透过率 状态，透射光强很低。接着反馈曲线变为直线3 ，它和调制曲线相切于c 点，交 于d 点，这时由于系统原来处于低透过率状态，系统只能处于c 点所代表的低 透过率状态，透射光强依然很低。入射激光强度再稍微增加一点，反馈曲线将不 再和调制曲线相切，只和反馈曲线相交，系统处于d 点所代表的状态，这时系 统将处于高透过率状态，透过光强突然增强。再增加入射光强，反馈曲线变为直 线4 ，和调制曲线交于e 点，系统处于高透过率状态，透射光很强。在入射光强 由大变小的过程中，工作点将沿着a & d - e 的方向变化。 在相反的过程中，光学双稳态系统的入射光强由大变小，反馈曲线的斜率由 小变大。一开始反馈曲线为直线4 ，它会调制曲线交于e 点。随着入射光强的减 小，反馈曲线变为直线3 ，这时d 点可以和e 点相距较近，或者说d 点所代表 的状态和e 点所代表的状态相近，所以系统只能处于d 点所表示的状态。后来 入射光强进一步变小，反馈曲线变为直线2 ，由于系统原来处于高透射率状态， 所以系统只能处于f 点所代表的高透射率状态，透射光强依然很强。这时再稍稍 减小一点输入光强，系统的反馈曲线就不再和调制曲线相切，而是和调制曲线相 交，交于b 点。这时系统突然变为低透过率状态，透过光强突然变小，最后系 统的反馈曲线变为直线1 ，系统处于a 点所代表的低透过率状态。在这一过程中， 工作点按b 一阻_ f _ & 一a 变化。 我们可以画出，0 和，1 的关系曲线，见图2 2 ，由于图2 1 中e 、d 、f 三点代 表高透过率状态，所以这三点的透射光强较大。同理，a 、b 、c 三点代表低透 过率状态，透射光强较小。这样就形成了图2 2 那样的双稳迟滞回线。和电学一 样，光学双稳态系统也是通过反馈来实现系统的稳定性的。在b f 和d c 段，系 统处于正反馈，是不稳定的。在f e 和a c 段，系统处于负反馈，是稳定的。因 此，系统有两个稳定的状态，形成光学双稳态现象。 i l i l 1 2 图2 1 调制曲线 图2 2 迟滞回线( 图中横坐标，0 是入射光光强) 6 2 1 2 声光光学双稳态的实验验证 我们的实验采用行波型的布拉格( b r a g g ) 声光盒，构成混合型声光双稳系 统。实验装置如图2 3 所示，激光以布拉格( b r a g g ) 角入射。首先研究双稳系统 的声光调制，然后加上反馈回路，调节衰减器，改变入射光强，我们用绘图仪可 以得到布拉格( b r a g g ) 型声光双稳系统的迟滞回线，如图2 4 所示，与理论上的 双稳态迟滞回线图2 4 相吻合。 图2 3 声光双稳系统实验装置示意图 1 h e - n c 激光器2 声光盒3 可控光朗4 光电探测器5 ，7 8 放大器6 延时线9 声光驱动潭1 0 示波器 1 1 半反镜1 2 光电二极管1 3 绘图仪1 4 衰减片 图2 4 双稳态迟滞回线 2 2 声光光学双稳系统混沌 2 2 1声光光学双稳态混沌的产生 下面我们以布拉格型声光光学双稳态的迭代方程来说明自脉冲、分岔、混沌 的演化过程。可以把布拉格型声光光学双稳态系统的振荡过程看作是一种迭代过 程，即由某一时刻的透射光强计算出下一个振荡周期的光强。迭代关系的方程“” 为 7 以+ 。- 万a - p s i n 2 ( 以一瓦) 1 o - o ，1 , 2 ) ( 2 4 ) 式中以+ ，、工为系统变量，肛是与放大器放大倍数及入射光强有关的参数，是 系统的分岔控制参数，a 是放大器的偏置电压，x 。是驱动源的偏置电压，x 。、 工是归一化的电压。由于声光盒的透过光强和系统变量( 归一化电压) 成线性 关系，因此可以把归一化电压看成光强。口是分岔参数，) ( 是第n 步的迭代结果。 一l o k b ( 2 5 ) 式中，0 是入射激光强度，k 是总增益，b 是和声光盒有关的参数。 对于这个迭代过程，我们可以这样理解，每经过时间“迭代一次，“为声光 双稳态系统没有分岔时的振荡周期，蜀为经过万“时间后的第1 1 步迭代结果，k 。 是下一次的迭代结果，也可以理解为经过“时间后由而得到k 。的值，又假定 蜀是峰值。每一次迭代后计算机算出一个计算结果，同时在图2 5 横坐标心 ( 臃- o , 1 , 2 ) 上画出一个点，直到在心处全部可能的值都已经画出来为止。 然后再在一心+ 处计算并画点。图2 5 中p 的计算范围是从0 3 到0 8 。 从图2 5 中我们可以看到，当分岔参数口 0 3 8 1 时，图中每个纵坐标方向 上只有一个点，这时，声光光学双稳系统处于周期1 状态，以基频疡振荡。当 0 3 8 1 口 o 6 4 时，每个纵坐标对应着两个点，这表示振荡中出现了两种峰值， 这表示声光光学双稳态系统振荡周期变为2 气，这种现象称之为周期2 分岔， p = o 3 8 1 称为周期2 分岔点。当系统的分岔参数值0 6 4 以= o 7 1 8 时，系统按照周期加倍的方式进入混沌，这时图3 中纵坐标方向上的点已经连成 一片，周期无限大。进入混沌之后，继续增大分岔参数口，从图2 5 中可以看 到有时纵坐标方向上，只出现有限个数的几个点，这种现象表明系统已经离开混 沌态而进入了有序状态，称之为混沌中的窗口，从图2 5 中我们可以看到在布拉 格声光光学双稳态的混沌态嵌有周期2 分岔、周期4 分岔、周期8 分岔。还有一 些窗口。 从迭代公式( 2 4 ) 的迭代过程可以看到，当分岔参数比较小时，计算机 打出的点数是有限的，这表示声光光学双稳态系统处于有序状态，但是随着分岔 参数的增大，计算机打出的点数越来越多，这表示声光光学双稳态系统可能的 输出光强也越来越多，最后，当分岔参数大于以时，计算机打出的点数为无限 多个，这表明声光光学双稳态系统可能的输出光强数目为无限多个，声光光学双 稳态系统输出光强的变化不再有固定的周期，系统处于无序状态，系统进入了混 沌态。另一方面，当肛 以后，在一些的特定值处，声光双稳态系统可处于窗 8 口2 、窗口4 等有序状态，而脱离了混沌态。如果减小分岔参数肛，使p 以， 系统完全能脱离混沌态而回到有序状态。图2 5 中纵坐标x o ) 表示状态变量。 图2 5分岔图 2 2 2 声光光学双稳态混沌的研究进展 在研究双稳态的同时，混沌的研究也逐渐兴起，而且很快渗透到光学领域， 继激光器不稳定性和混沌的研究之后，1 9 7 9 年，kl k e d a 预言了非线性介质环形 腔可能存在周期分岔至混沌的理论，建立了延时型动力学方程，指出了实验上的 可能性。g i b b s 等人于1 9 8 1 年在长延时的条件下，用实验证明了i k e d a 不稳定性 的存在；o k a d a 等人又在短延时条件下观察到混合光学双稳态装置的周期振荡和 混沌。从o t t 等人“”“”在1 9 9 0 年提出参数微扰法( o g y 法) 控制混沌以来，大 量的改进方法和实验相继出现。由于混沌控制在光学中实现起来比较困难，所以 光学混沌控制的实验报道相对较少。1 9 9 2 年r o y 等人利用自适应比例反馈技术 实现了多模y a g 激光系统的混沌控制“”，但实验装置很复杂。p y r a g a s 根据参数 微扰控制思想，使用自控制反馈微扰法对常微分系统的混沌进行数值模拟控制， 略去了控制中的跟踪计算，且得到较好的控制结果。1 9 9 7 年刘金刚等人“”在延 时微分系统中提出参数延时反馈控制法，实验和数值计算都表明，在一定的控制 强度范围内，受控系统具有负的最大l y a p u n o v 指数，分岔图表明受控状态是原 系统混沌吸引子中的失稳不动点或不稳定周期轨道，在暂态过程之后控制量变为 微扰量，保证了受控系统的拓扑不变性。1 9 9 9 年，刘玉怀等人“”由声光双稳系 统的迭代模型出发，构造一种具有外部正弦信号调制的动力学系统，并数值研究 声光双稳系统在正弦调制下的动力学行为。结果表明，在正弦信号的调制下，系 9 统状态呈现出间歇性混沌及多种演化模式，且随着调制幅度的增大，某种演化模 式在一个调制周期内的出现次数增大，系统第一次出现周期窗口所需的迭代次数 减少，系统状态的包络振幅增大。2 0 0 3 年，张涛等人“”对混沌系统控制参数进 行调制，在接收端取另外一控制参数的系统，通过比较而解调出信息，避免了发 射端和接收端两个混沌系统的同步问题，虽然对混沌系统有一定的改变，但保留 了所需的特性，从而实现了混沌系统的非同步保密通讯。2 0 0 4 年，张涛等人“” 利用外周期信号对处于周期态的声光双稳系统进行驱动，在合适的驱动强度和频 率下，系统可能从周期态转换为l y a p u n o v 意义下的混沌态，提出了混沌反控制 方法。 随着研究工作的不断深入，对光学双稳装置的不稳定性和混沌的研究不断涌 现出新的成果。 应该指出，研究声光光学双稳态周期分岔和混沌运动比较多的人是 c h r o s t o w s l 【i 等人，他们详细研究过周期脉冲产生条件、分岔和混沌行为的特征， 还讨论了噪声对系统的影响“蚓。在此期间，还有很多研究者对此做了大量的分 析和实验报道。 这些年来，关于声光双稳态混沌的研究已经取得了很多突破性的进展，我们 总结一下声光光学双稳态系统混沌研究方面的已有成果”： 1 、建立了声光光学双稳系统延时反馈下的动力学方程( 离散形式和连续形 式) ，并且给出了详细的稳定性分析； 2 、对周期振荡条件有了详细的分析；对倍周期分岔进入混沌的过程有详细 的理论分析和实验结果； 3 、对高阶振荡模式有详细的分析；对实际的锁频振荡有详细的研究； 4 、对周期调制效应有具体的理论和实验研究； 5 、对噪声作用下分岔和混沌行为有理论和实验研究； 6 、对延时混合型光学双稳装置分岔点处的放大弱信号作用有理论和实验结 果，其中包括声光光学双稳态系统； 7 、对外信号作用下的传输效应有了理论和实验分析； 8 、对长延时、短延时及可比延时条件下的混沌和准周期行为都有分别研究； 9 、对各周期区域( 分岔参数和延时时间支撑的参数空间) 和混沌区域有详 细的确定和划分，并对窗口行为进行了深入的研究； 1 0 、以电光型光学双稳装置为例，研究了混合型光学双稳装置振荡模式的动 力学存储功能；对电光型双稳装置存储二进制信息时最高谐波数进行了研究，该 方法对声光型双稳装置也同样有效； 1 1 、已经研究了一般意义的延时方程l y a p u n o v 指数、维数等的理论处理， 有了较好的数值分析方法： 1 2 、对混沌控制、混沌同步、混沌通信及超混沌等方面的研究成果也大量出 1 0 现。 还有很多研究成果，不在此一一列举。 总之，光学混沌的研究可以借鉴混沌动力学中的优秀成果和基本思想，把光 学领域的研究推向深入，同时光学混沌研究的具体方法和其中所反映出的深刻物 理内涵又可以为混沌动力学研究普遍问题提供突破点，也为混沌的控制与应用在 光电子领域寻找物理模型和具体实现提供了依据。 i i 第三章反馈延时法产生混沌的理论分析 在过去的几年里，许多物理学工作者对光学双稳态系统的不稳定性及混沌 行为进行了广泛的研究。理论和实验研究都已经证明，当反馈系统引入一个大于 该系统响应时间的附加延迟时，整个声光双稳系统则会出现自脉冲、倍周期分岔、 高次谐波及混沌行为嘲。 3 1声光光学双稳态系统动力学方程 我们这里研究的是调幅式布拉格( b r a g g ) 型声光光学双稳系统，该系统包括 两个部分，即传输和反馈两部分。 通过声光相互作用的耦合波方程可以解出一级衍射光的衍射效率呀r 2 9 o 在布 拉格衍射条件下，即0 一时，有 缸2 ( 云等) ， 式r e - 口是衍射角，是布拉格( b r a g g ) 角，l 是换能器的宽度( 即声束宽度) ， h 是换能器高度，凡是入射光的波长，乞是超声功率，m 是声光衍射优值，它 是在给定声功率的情况下，测定声光材料衍射效率的一个参量，由于它与声光作 用类型、波的传播方向、偏振态有关，因此对于一个给定的材料，参量m 也不 是一个确定的值。 我们知道，声功率来自射频电磁能，与驱动源电压k 的平方成正比。 故 叮耐喙、訾础2 c 云辱， z ， 式r e - 口是一个常数，k 是驱动源的电压，它又等于放大器输出经调幅电路加到 驱动源的电压减去偏置电压，即k - v , 一v o ，因此有 血2 陡屠，一。) 。， 这里 工一云舡 t ， 邑- 云挚 s ， 由此我们可以看到，x 是一个与放大器之后的信号电压有关的量，即与一级衍 射光光强有关，而x 。是与驱动源偏压有关的量。 1 2 f 面，我们研究一f 与放大器之后的电信号电压有关的量x 的变化情况。 在系统响应时间_ r 内，x 的变化量为 f 譬x ( t f ) 一x q ) ( 3 6 ) z o ) 是t 时刻与放大器之后的电信号电压有关的量，x ( t f ) 是( f f ) 时 刻的量，它与t 时刻的一级衍射光光强，l 有关。 一j o ，7 一l o s i n 2 ( z x 口) ( 3 7 ) 一级衍射光入射到光电二极管后，得到光电压 吃a z x t - t k 7 0 s i n 2 仁一以) ( 3 8 ) r 是光电二极管前的衰减片的透射率，k 是与光电变换效率有关的量。 经放大器之后的电信号电压 - 卢以一圪) ( 3 9 ) 其中卢是放大器的放大倍数，k 是放大器的偏压，利用( 3 8 ) 式可得： m 小乏牌 2 声云等以吲 2 卢云等m z x l 血2 伍一) 】 ( 3 1 0 ) 令舢等等 c s 芦- 警厝 慨 可以看出，a 是与放大器偏压有关的量，口是与入射光光强有关的量，即分 岔参数，x 是与一级衍射光光强有关的量。所以，可以看作系统的相对入射 光强，x 可以看作系统的相对出射光强。故 x o f ) - 石【爿一s i n 2 ( x x j ) 】 ( 3 1 3 ) 有： f 掣一x ( o + 石p 叫i n 2 僻也) ( 3 1 4 ) 在很多情况下，如在研究声光光学双稳系统的不稳定性以及混沌时，需要在 放大器和调制电路之间加入延迟，可以通过计算机、光纤、同轴电缆等方法加入 延迟时间，这时方程( 3 1 4 ) 可以改写成： 1 3 f 警卅( f ) + 石 a - l v s i n 2 x q 吲刮 ( 3 1 5 ) 这里f 是系统固有的响应时间，是延迟时间，a 和】0 分别是放大器与驱 动源的偏置，p 是分岔参数，即相对入射光强，z ( f ) 和z ( f 一) 都是相对出射 光强。 这就是描述调幅式布拉格( b r a g g ) 型声光光学双稳系统行为的动力学方程。 3 2 声光双稳态系统的不稳定性 其实双稳态系统已经形成了闭环系统，因此还可以处于不稳定状态。早在 1 9 8 3 年j c h r o s t o w s k i 等人就发现。“，适当调节布拉格型声光系统的偏压就可以 使系统处于不稳定状态，系统将出现自脉冲、分岔、倒分岔、混沌和窗口等现象。 下面我们以布拉格型声光双稳态系统的迭代方程来说明白脉冲、分岔、混沌 的演化过程。把系统的反馈振荡看作迭代过程，即由某一时刻的透射光强计算出 下一振荡周期的光强，利用电压表示，可得迭代关系式o “： 玑+ l 一4 一c s i n 2 等( 以一u j ) ( h 一0 , 1 , 2 ) ( 3 1 6 ) 口 对( 3 1 6 ) 式中的电压归一化，得 x 。= 石【a _ f l s i n 2 暖一以) 】o - 0 ，1 , 2 ) ( 3 1 7 ) 式中a 和是和偏压有关的常数，玑+ 。和u 是系统输出量对应的声光调制器的 输入电压，d 是声光系统的相干常数，4 和c 是与系统有关的参数，砜是直流偏 压；令玑与以一。之间的时间为( 系统反馈延迟时间) ，p 一耻d 为分岔参 数，而i l 是一级衍射激光光强，_ | 是总增益；以一以仁i d ) 是归一化变量。用 计算机对( 3 1 7 ) 进行数值模拟，得到图3 1 的结果。可以看出，周期二分岔参数 为0 3 7 ，周期四的分岔参数为0 6 3 ：还可以看出，系统出现了自脉冲、分岔、 倒分岔、混沌和窗口等现象。 图3 1 混沌分岔图 1 4 所谓的不稳定性就是指系统能够自发地产生振荡，即自脉冲，如图3 2 所示。 图3 2 声光双稳系统的自脉冲波形图 总结：在布拉格( b r a g g ) 型声光双稳系统中系统出现单稳态、双稳态、振荡 状态、分岔以及混沌、窗口，这些状态的出现取决于偏压的大小；放大器的 放大倍数；输入激光光强；反馈延迟时间。我们知道，系统的分岔参数为 p 一，1 七d ，要改变系统的分岔参数，可以通过改变系统总增益t 的大小。也 就是改变放大器的放大倍数，改变入射激光光强，1 。此外还可以通过改变反馈 延迟时间的方法来改变系统的分岔参数。在实验中采用改变偏压的大小、改变放 大器的放大倍数和系统反馈延迟时间来改变系统的各种状态，实验所使用的声光 光学双稳系统是带有延时反馈的，采用同轴电缆或光纤来实现延时反馈，本实验 用的是同轴电缆来实现延时的。 3 3 声光双稳态系统的线性稳定性分析 现在分析声光双稳态系统的稳定特性。当激光以布拉格( b r a g g ) 角入射时， 布拉格( b r a g g ) 型声光双稳系统可表示为m “： 州- y l o s i n 2 詈州饥】 m1 8 ) r 掣咄( f ) 帆( ) ( 3 1 9 ) 式中“。( f ) 、“：( f ) 、h 。、7 、，、户、盯、f 、b 分别表示输出激光的光电 转换电压、放大后的转换电压、半波电压、直流偏压、光电转换系数、输入激光 光强、放大器的放大倍数、声光晶体的衍射效率、反馈回路的响应时间和延迟反 馈时间。将上述方程归一化得无量纲形式： ，1 p ) - l o g s i n 2 噬( f ) + 如】 ( 3 2 0 ) 掣+ x ( f ) 啡川 ( 3 2 1 ) 其中： ，0 一筇7 u 。( t ) u ( 3 2 2 ) i i ( t ) - 枷。( f ) “ ( 3 2 3 ) j e - 删o u ( 3 2 4 ) x ( f ) 一朋：( f ) ( 3 2 5 ) f = v o z ( 3 2 6 ) t t l v ( 3 2 7 ) 将( 3 2 0 ) 式代入( 3 2 1 ) 得到布拉格( b r a g g ) 型声光双稳系统的动力学方程： 掣“( f ) 却凼2 【x ”，) + 瓦】 ( 3 2 8 ) 现在对这个声光双稳系统进行线性稳定性分析： 令些警o ，得到x ) 1 1 ( * ) ，则( 3 2 0 ) 式变为 ，1 1 0 a s i n 2 “+ x b ) ( 3 2 9 ) 这就是布拉格( b r a g g ) 型声光双稳态系统的稳态方程。在j 0 的适当取值范围 内，输出光强与输入光强，o 之间存在双稳关系，令( 3 2 9 ) 式中象一o ，可得： 2 t t a a ( i l + x 口) ( 3 3 0 ) 由( 3 2 1 ) 式求得系统双稳特性的j 0 的取值范围： 埘t 以t 研+ 弓一尹1 一聊+ o j d 9 切，o o ，1 2 ) ( 3 3 1 将塑掣+ z ( f ) i o 盯s i n ：瞄。一) + 以】在稳态点附近展开，只取线性项，得： d e ，( t ) + s ( f ) 。x o f ，) ( 3 3 2 ) 式中s ( f ) 一z ( f ) 一x ( m ) 。令( f ) i 出“，将得到a + 1 - w e “f ，其中b 是不 随时间变化的常数，aax + 耖是线性化问题的本征值，x 、) ，是线性化本征值的 实部和虚部，工表示振幅的增益，y 表示振幅，形是状态参量。 x + l