（运筹学与控制论专业论文）广义似变分不等式解的存在性和算法.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 变分不等式在运筹学、计算机科学、系统科学、工程技术、交通、经济与管理等许多方 面有广泛应用，在二十世纪的最后2 0 年里，它受到了许多学者的特别关注广义似变分不等 式是变分不等式的推广形式，涉及数理经济学、金融学、控制论、机械学、物理学等学科， 是研究多目标规划和多层规划的重要基础和工具，也是目前应用数学领域倍受关注的热点 之一对这一问题的研究涉及凸分析、线性和非线性分析、非光滑分析、集值分析等数学分 支，有重要的学术价值和相当的难度本论文主要从理论和算法两方面研究了b a n a c h 空间 特别是自反b a n a c h 空间中的广义似变分不等式问题，包括纯量型的广义似变分不等式和向 量型的广义似变分不等式，它们统一和推广了许多已有的变分不等式和向量变分不等式 本论文所阐述的主要研究结果可概括如下： 1 第2 章主要阐述b a n a c h 空间中单值的广义似变分不等式解的存在性和算法利用极 大极小不等式，证明了自反b a n a c h 空间中广义非线性混合似变分不等式解的存在性 和唯一性，并利用辅助原理，提出和分析计算广义非线性混合似变分不等式近似解的 迭代算法，建立了算法的收敛性准则同时，利用投影的技术，研究了h i l b e r t 空间中 一类特殊的广义强非线性拟变分不等式解的存在唯一性，构造了带误差变步长三步扰 动迭代算法，证明了算法的收敛性； 2 第3 章主要研究b a n a c h 空间中集值的广义似变分包含( 不等式) 解的存在性和算法 利用自反b a n a c h 空间中非凸、下半连续q 一次可微真泛函的一一邻近映射的概念，得 到了一类广义集值似变分包含与一类w i e n e r h o p f 方程的等价性基于这种等价性， 提出了两种新的一般的迭代算法，证明了这类广义集值似变分包含的解的存在性及两 种迭代算法的收敛性而且，对h i l b e r t 空间中一类广义集值混合拟变分不等式，提出 了三步预估一校正的迭代算法，在没有任何单调性的假设下证明了算法的收敛性； 3 第4 章给出了两类广义向量似变分不等式解的存在性的主要研究结果利用新引入的 二元向量值映射相对于其中一个变元的a ( “) 一凸性、( h ，q ) 一伪单调性和映射的次连 续性的概念，及著名的k k m 定理和n a d l e r 引理，得到了广义的向量型的m i n t y 引 理( 广义线性化引理) 并且在( h ，”) 一伪单调性条件下证明了一类集值映射广义向量似 变分不等式解的存在性利用所得到的广义的m i n t y 引理和这类广义向量似变分不等 广义似变分不等式解的存在性和算法 式解的存在性，在次连续的条件下得到了另一类紧值映射的广义向量似变分不等式解 的存在性结果； 4 第五章在第四章的基础上，通过引进m i n t y 型和s t a m p a c c h i a 型q 一真拟单调性和目一 伪单调性的概念，利用著名的k k m 定理，在次连续性的条件下，分别研究了m i n t y 型 和s t a m p a c c h i a 型向量似变分不等式解的存在性及两种类型的向量似变分不等式的解 的存在性之间的关系最后，利用集值映射的k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理， 得到了自反b a n a c h 空间中向量似变分不等式组解的存在性结果； 5 第六章研究的变分不等式组是第五章所引进的变分不等式组的特殊情形，这类变分不 等式组在解一类m p e c ( 具有均衡约束的数学规划) 问题中有重要应用从而给出了 利用变分不等式组求解m p e c 问题的几个研究结果和算法格式等 关键词：广义似变分不等式；变分不等式组；m p e c 问题；解的存在性；算法 广义似变分不等式解的存在性和算法 e x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa n da l g o r i t h m sf o rg e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sh a v em a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si no p - e r a t i o nr e s e a r c h ，c o m p u t e rs c i e n c e ，s y s t e ms c i e n c e ，e n g i n e e r i n gt e c h n o l 0 9 3 t ，t r a n s p o r t a t i o n ， e c o n o m i c sa n dm a n a g e m e n te t a li nt h el a s t2 0y e a r so ft h et w e n t i t hc e n t u r y , t h e yh a v e b e e np a i dc l o s ea t t e n t i o nb ym a n ys c h o l a r s g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l h k ei n e q u a l i t i e sa r eg e n e r a l i z a t i o no fv a r i a t i o n a li n e q u a h t i e s ，w h i c hi n v o l v em a t h e m a t i c a le c o n o m i c s ，f i n a n c e ，c o n t r o l t h e o r y , m e c h a n i c s ，p h y s i c sa n d8 0o n t h e yb e c o m ea ni m p o r t a n tf o u n d a t i o na n dt o o lf o r s t u d y i n gm u l t i o b j e c t i v ea n dm u l t i l e v e lp r o g r a m sa n do d eo ff o c a lp o i n tp r o b l e m sp a i dc l o s e a t t e n t i o nb ys c h o l a r si nt h ef i e l do fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，r e s e a r c ho nw h i c ht o u c hu p o ns u c h m a t h e m a t i c a lb r h n c h e sa sc o n v e x ，l i n e a ra n a l y s i sa n dn o n l i n e a ra n a l y s i s ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ， s e t v a l u e da n a l y s i s t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c hf o rt h e mh a si m p o r t a n tl e a r n i n gv a l u ea n dc e r t a i n d e g r e eo fd i f f i c u l t y t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d yg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si nb a n c hs p a c e s ，e s p e c i a l l y ，i nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s ，w h i c hi sa nu n i t ya n de x t e n s i o n o fal a r g en u m b e ro fk n o w nv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si n c l u d i n gs c a l a r i z a t i o ng e n e r a l i z e dv a r i a t i o n l l i k ei n e q u a l i t i e sa n dg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l 1 i k e i n e q u a l i t i e s ，f r o mt h e o r ya n da l g o r i t h m t h em a i nr e s u l t s ，o b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n ，m a y b es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o na n da l g o r i t h m sf o rac l a s so fs i n g l e - v a l u e d g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a m i k ei n e q u a l i t e si nr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e sa r e s t u d i e d b ya p p l y i n gm i n i m a xi n e q u a l i t i e s ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n st o ac l a s so fg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rm i x e dv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sa r eo b t a i n e d a l s o ag e n e r a la l g o r i t h mi ss u g g e s t e de x p l o i t i n ga u x i l i a r yp r i n c i p l et e c h n i q u ea n dt h ec o n - v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sp r o v e d a tt h es a l n e t i m e ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rac l a s so fg e n e r a l i z e ds t r o n g l yn o n - l i n e a rq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h r e e - s t e p p e r t u r b e di t e r a t i v ea l g o r t h mw i t he r r o r si sc o n s t r u c t e da n dc o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v e s e q u e n c eg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h mi sd i s c u s s e db yp r o j e c t i o nt e c h n o l o g y ； 大连理工大学博士学位论文 一一 2 i nc h a p t e r3 ，t h ee x i s t e n c ea n da l g o r i t h m sf o rac l a s so f s e t - v a l u e dg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n c l u s i o n s ( i n e q u a l i t i e s ) i nb a n a c hs p a c e si sm a i n l yd i s c u s s e dm a k i n gu s eo ft h e j 1 一p r o x i m a lm a p p i n go f - s u b d i f f e r e n t i a io fn o n e o n v e x ，s e m i c o n t i n u o u sf i m c t i o n a ii n r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s ，t h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ec l a s so fg e n e r a l i z e ds e t v a l u e d v a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o u sa n dac l a s s o fw i e n e r - h o p fe q u a t i o n si se s t a b l i s h e d f h r - t h e r m o r e ，t w oc l a s s e so fn e wa n dg e n e r a li t e r a t i v ea l g o r i t h m sa r es u g g e s t e da n dt h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ec l a s so fg e n e r a l i z e ds e t - v a l u e dv a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s a n dt h ec o n v e r g e n c eo fs q u e n c e sg e n e r a t e db yt h et w oc l a s so fa l g o r i t h m sa r ep r o v e d i na d d i t i o n ，ac l a s so ft h r e e - s t e pp r e d i c t o r - c o r r e c t o ri t e r a t i v ea l g o r i t h m sf o rac l a s so f g e n e r a l i z e ds e t v a l u e dm i x e dq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e si ss u g g e s t e d c o n v e r g e n c er u s u l t so fa l g o r i t h m sa r eo b t a i n e dw i t h o u ta n ym o n o t o n i c i t y ； 3 i nc h a p t e r4 ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rt w oc l a s s e so fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e si sd i s c u s s e d a p p l y i n gc e r t a i np s e u d o m o n o t o n i t ya n dh e m i c o n t i n u i t y o fi n v o l v i n gm a p p i n g sa n dt h ek n o w nk k mt h e o r e ma n dn a d l e rl e m m a ，t h eg e n e r a l - i z e dv e c t o rm i n t yl e m m a ( g e n e r a l i z e dl i n e a r i z a t i o nl e m m a ) a n dt h ee x i s t e n c et h e o r e m s f o rac l a s so lg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e su n d e rt h ep s e u d o m o n o n i t y o ft h em a p p i n g sa r ep r o v e d m o r e o v e r ，t h ee x i s t e n c er e s u l to ft h eo t h e rc l a s so fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l - - l i k ei n e q u a l i t i e sw i t hc o m p a c t - - v a l u e dm a p p i n g su s i n gg e n e r a l i z e d m i n t yl e m m aa n dt h ee x i s t e n c er e s u l to ft h ec l a s so fg e n e r a l i z e dv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k e i n e q u a l i t i e si so b t a i n e d ； 4 c h a p t e r5 i sd e v o t e dt os t u d yac l a s so fs y s t e m so fv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e sb a s e do nc h a p t e r4 b ym e a n so ft h en e wc o n c e p t so fm i n t ya n ds t a m p a c c h i a 一p r o p e rq u a s i m o n o t o n i c i t ya n d _ 一p s e u d o m o n o t o n i c i t ya n dt h ek n o w nk k m t h e n - r e i n ，t h ee x i s t e n c er e s u l t so fs t a m p a c c h i aa n dm i n t yv e c t o rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s a n dr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h et w ov e c t o rv a r i a t i o n a l - l i k e i n e q u a l i t i e s 缸ed i s c u s s e du n d e rt h ec e r t a i nh e m i c o n t i n u i t yc o n d i t i o n m o r e o v e r ，t h e e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h es y s t e m so fv e c t o rv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e si nr e f l e x i v e b a n a c hs p a c e si sp r o v e db yt h ek n o w nk a k u t a n i - f a n g l i c k s b e r gf i x e dp o i n tt h e o r e m ； 5 c h a p e r6 i sd e v o t e dt os t u d yac l a s s o fs y s t e m so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，w h i c hi s as p e c i a le a s eo ft h ec l a s so fv e c t o rv a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t i e ss t u d i e di nc h a p t e r5 a n dh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nm p e c ( m a t h e m a t i c a lp r o g r a mw i t he q u i l i b r i u mc o n i v 广义似变分不等式解的存在性和算法 s t r a i n s ) p r o b l e m a sr e s u l t ，s e v e r a lr e s u l t so nm a k i n gu s eo fs y s t e m so fv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e ss o l v i n gm p e cp r o b l e ma n da l g o r i t h ms c h e m ee t a la r eg i v e n k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l - l i k ei n e q u a l i t i e s ；s y s t e mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ；m p e cp r o b l e m s ；e x i s t e n c e ；a l g o r i t h m s v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位 的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名日期 大连理工大学博士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文 作者签名趣垩煎趔垩型 指导教师雩孽彳琶型等 歹i 磊卜 诋“； 。i f 哩避盘哪 里q o 鲤燮! 鹾坐月4 鹭 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 本章简要地介绍广义似变分不等式问题的背景和研究现状，包括( 纯 量型的) 广义似变分不等式和广义向量似变分不等式，并对相关文献做 7 综述，概述了本文研究的内容以及取得的主要结果 1 1 广义似变分不等式问题的背景和研究现状 “变分不等式”的英文为“v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ”，也有人译为“变分不等方程” 于1 9 6 4 至1 9 6 7 年，由s t a m p a c c h i a “，h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a “，l i o n s 和s t a m p a c c h i a 3 j 在研究一系列数理问题时首次提出1 9 7 2 年，d u v o u t 和l i o n s 4 】研究了变分不等式在 机械、物理两方面的应用；b r d z i s l 5 】研究了它在数学中的应用；渐渐地，变分不等式 问题作为一个新的研究课题开始受到数学工作者的关注1 9 7 5 年，n o o r 在其博士论 文( 6 1 中研究了变分不等式的一些基础理论问题 2 0 世纪8 0 年代，变分不等式问题受到越来越多的关注学者们利用投影法、辅 助原理法、线性逼近法、牛顿法，罚函数法等方法从理论、算法和应用三方面同时研 究这一问题，其中包括解的存在性、逼近解的全局误差界、求解算法以及它们在控制 与最优化、非线性规划、经济、金融、运输等领域中的应用同时，还将这一问题加 以推广。形成了广义集值变分不等式问题，如见文献 7 1 7 】 9 0 年代以后，变分不等式问题逐渐形成了一个研究热点 s h i 1 q 和r o b i n s o n ”】 分别介绍了w i e n e r - h o p f 方程( 也称法映射) ，并讨论了该方程与变分不等式之间的等 价关系此后，这一方程被广泛地用来研究变分不等式问题解的存在性、解的算法和 参数解的灵敏性大量的研究结果使得变分不等式问题形成了一个较为完整的理论 体系，见文献i 2 0 1 2 2 1 在这一时期，学者们并未满足于只对变分不等式本身进行研 究，同时也从各个方面对这一问题加以推广和改进，以适应更广泛的应用 变分不等式的一个极为有用的推广就是带有非线性项的混台变分不等式由于非 线性项的存在，投影法和w i e n e r h o p f 方程均无法使用，这给研究带来了不少困难但 是当非线性项是真凸下半连续泛函时，它的次微分映射是一个极大单调的集值映射， 于是学者们利用集值映射的预解算子来代替投影算子作为一个突破口这一想法最早 是由m a r t i n e t 1 2 3 】和b r d z i s 1 2 4 】提出的，随后h a s s o u n i 和m o u d a f i 2 1 将之加以改进和完 善 n o o r l 2 3 , 2 6 1 在预解算子的基础上又提出了预解方程并建立起它和混合变分不等式 广义似变分不等式辑的存在性和算法 之问的等价关系之后，利用预解算子和预解方程将针对变分不等式问题的许多研究 结果推广到混合变分不等式问题上由于计算( 或估计) 预解算子比较困难，学者们叉 提出了辅助原理法，或称辅助变分不等式法这一方法最早由l i o n s 和s t a m p a c c h i a l 3 】 提出的近十年来，这两种方法被广泛地用来研究混合变分不等式问题解的存在性以 及提出各种迭代算法，可参阅文献f 2 5 3 1 1 我们通常所说的变分不等式理论的基本内容就是研究各种类型的变分不等式解 的存在性和唯一性，解( 或解集1 的性状及其逼近问胚，以及各种问题的应用因此， 变分不等式的基本问题之一就是解的存在性问题纵观研究无穷维空间变分不等式解 的存在性的历程，我们发现研究变分不等式的解的存在性的方法可归纳如下t 其一，灵活地利用几个经典的大定理，如b r o w d e r 不动点定理、k k m 定理、k y f a n 极大极小原理等，这种方法可以看作是经典不动点理论的一个重要应用1 2 0 l ；此方 法伴随着变分不等式的产生就使用，目前叉重新受到人们的重视，利用这种方法，通 常可以在较一般的条件下解决变分不等式的解的存在性同题，在一定程度上是对连 续而不可微问题的推广其二，将变分不等式( 包含) 问题转化为等价的不动点问题， 构造迭代算法，然后利用空间完备性证明迭代序列收敛到变分不等式( 包舍) 的解 第二种研究方法曾受到人们的青睐 2 33 0 , 3 5 - 4 1 这种方法的核心有两个：一如何把 问题转化为等价的不动点问题? 常用的技巧有辅助原理，预解方程和预解算子技巧 2 a - a o , 3 5 - 4 1j ；二如何构造迭代算法? 常用方法有预估一校正的多步迭代算法、隐式方 法以及对预解方程和辅助变分不等式做适当变形后的迭代法其三，在研究变分不等 式解的存在性方面，近年来出现了一种方法一例外簇方法利用例外簇的概念，证明 变分不等式或者有解，或者对定义域中任意一点，有关于这一点的一个例外簇从而 可通过证明变分不等式没有关于这一点的一个例外簇，来说明变分不等式有解，参阅 文献( 4 2 4 6 】 对于求解变分不等式包括( 集值) 混合变分不等式、( 集值) 变分包含的广义变分 不等式，学者们提出了大量的迭代算法大致可分为： 对求解线性变分不等式问题，有类牛顿法( n e w t o n l i k em e t h o d ) ”- 7 8j 和投影法 ( p r o j e c t i o n - t y p em e t h o d s ) ”_ 8 2 j 等对求解单调非线性单值变分不等式，最简单的算法 是g o l d s t e i n l e v i l i n - p o l y a k 投影法 s 2 - s 3 1 ，它是一种显示法；对应的隐式法是逼近点法 s s - s 6 j ；基于这两种方法，k o r p e l e v i c h s _ 提出了超梯度法( e x t r a g r a d i e n tm e t h o d s ，又称 k o r p e l e v i c h 法) ，它实际上是一种特殊的预测校正法( p r o d i c t o r - c o r r e e t i o nm e t h o d ) ：在 预测过程中采用了g o l d s t e i n - l e v i l i n p o l y a k 显示投影法，在校正过程中使用了隐式逼 近点法；k h o b o t o v “j 改进了超梯度法，得到k o r p e l e v i c h k h o b o t o v 法；h e 和l i a o i s q 利用更好的预测、校正步长改进了k o r p e l e v i c h - k h o b o t o v 法由于计算( 或估计) 投影算 2 大连理工大学博士学位论文 _ ，_ _ _ p _ ，_ 一_ _ h 一 子比较困难，学者们又提出了辅助原理法这一方法最早是由l i o n s 和s t a m p a c e h i a 3 】 提出的，g l o w i n s k i ，l i o n s 和t r e m o l i e r e s 9 将之加以改进并用来求解混合单值变分不等 式；n o o r l 9 1 】在辅助原理法的基础上提出了一般的预测校正法对求解集值变分不 等式问题，s h i ” 和n o o r 9 q 分别独立地提出了基于投影算子的w i e n e r - h o p f 方程法； n o o r l 9 2 1 利用辅助变分不等式提出了三步预估一校正法对于集_ 直混合变分不等式， 当非线性项是一个真凸下半连续泛函时，n o o r 2 “”- 9 目利用集值映射的预解算子提出 了预解方程法和隐式法，后一种方法是求解经典变分不等式的隐式法p 0 3 的推广； 由于隐式法在很大程度上依赖于初始罚参数，为了减轻这一依赖性，h e l 9 q 提出了非 精确隐式法；w a n g 等人【”o 在带自适应罚参数的选择方向法 1 0 1 1 的基础上提出了带 参数的非精确隐式法；k a z m i i ”2 ) 提出了变参数m a n n 型和i s h i k a w a 型扰动迭代法； n o o r 1 0 3 - 1 0 5 】利用预解算子和预解方程又提出了分裂法和预测一校正法当非线性项不 可微时，n o o r 25 】首先提出了辅助原理法，但他没有解决辅助问题解的存在性；h u a n g 和d e n g 5 s l 将此法加以改进，提出了新的辅助原理法和其他迭代算法；n o o r ”l 利用辅 助变分不等式提出了求解一般集值混合变分不等式问题的三步预测一校正迭代法此 外，对于不同类型的集值混合变分不等式，还有一些与上述类似的算法，这里就不一 一介绍了，可参阅综述性文献1 2 ，2 3 2 4 ，1 0 4 似变分不等式( v a r i a t i o n a l l i k ei n e q u a l i t y ) ，也有人称为预变分不等式( p r e v 丑_ r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ) 是变分不等式的一种推广形式由于它与非凸规划之间的密切关系，目前 受到许多学者的关注似变分不等式的概念最初出现在文献1 3 1 中，随后许多作者对 它进行了研究，广义似变分不等式或广义似变分包含是似变分不等式的推广形式 2 0 0 0 年，l e e 4 7 】和d i n g 4 8 】分别介绍了集值映射的q 一单调性和真泛函的口一次微分 及w 一邻近映射的概念( 其中r ：h h h 是一个单值映射，h 是一个h i l b e r t 空 间) 2 0 0 2 年，d i n g 4 9 1 在b a n a e h 空间中引入了非凸的下半连续次可微真泛函的，一邻 近映射的概念2 0 0 4 年，k a z m i 和a h m a d 等人将 一邻近映射和j 一邻近映射的 概念进一步推广，给出了b a n a c h 空间中的一邻近映射的概念，并在j 是一个单值 单调和l i p s c h i t z 连续的条件下，证明了非凸q 一次可微真泛函的一邻近映射的存在 性及在全空间上的l i p s e h i t z 连续性”一邻近映射、j 邻近映射、p 一邻近映射的 概念是对应真凸下半连续泛函的次微分的预解算子概念的推广可利用这些概念研 究广义似变分不等式解的存在性和构造迭代算法相应地，广义变分不等式( 变分包 含) 可推广到广义似变分不等式( 似变分包含) 来研究同时，对于这类似变分不等式 问题，可构造邻近点算法，广义w i e n e r h o p f 方程来逼近其近似解对于非单调的广 义混合似变分不等式，利用极大极小不等式、k k m 定理等研究其解的存在性日趋活 跃，目前取得了许多成果在解的存在性得到解决后，一般利用辅助原理的技术来构 3 广义似变分不等式解的存在性和算法 造算法，产生了单步到三步的预估一校正迭代算法，具体的，参阅文献【4 7 7 4 】_ 另一方面，随着古典变分不等式理论和应用的不断深化，人们自然地想到把古典 变分不等式中的映射由“数量”值推广到“向量”值，在空间中加上特殊的结构( 序结 构) ，也能保证原来古典变分不等式的形式，这也是随着经济、生产的高速发展，带动 人们对生活品质追求的一个反映向量变分不等式由g l o w i n s k i ”6 于1 9 8 0 年在舻空 间中首次引入，由于多准则的考虑随后，许多学者对向量变分不等式做了研究，参看 文献【1 2 7 1 5 8 像我国的学者陈光亚、杨晓奇等较早地把注意力转到无穷维空间中 向量变分不等式问题的研究，并将其应用于向量最优化和向量均衡问题中【”7 - 13 5 】，还 有一些学者研究了向量变分不等式解的存在性及解的性态( 如连通性) 和与最优化之 间的关系 t 3 6 - 1 5 0 1 从整体上看，解的存在性的研究结果可分为：所论空间从n 维欧氏 空间到无穷维抽象空间；映射由单值映射推广到集值映射，从映射的条件上看，从要 求连续到次连续、上( 下) 半连续；从凸到拟凸、锥凸、锥拟凸等各种的广义凸性；从严 格单调到伪单调、常锥伪单调、变锥伪单调、拟单调等广义单调性无论在纯量型变分 不等式还是在向量变分不等式的研究中都起着重要作用为此一些学者对广义凸性、 广义单调性做了研究，参见文献f 1 5 9 1 9 3 以上发展趋势与纯量型变分不等式有相 似之处，但由于其特殊的形式又有其自己的特点似向量变分不等式是一般向量变分 不等式的推广形式，由于是研究非凸最优化问题、非凸和非可微最优化问题强有力的 工具而受到一些学者的关注 k h a n ，s a l a h u d d i n ，s i d d i q i ，a n s a r i l e e y a o ，y a n g ，d i n g ， c h a n g 等人研究了向量似变分不等式解的存在性，参看文献【1 5 1 1 5 8 】文献【1 5 8 】的 作者还研究了向量似变分不等式和最优化之问的关系另外，f a n g 和h u a n g 1 6 5 - m 7 】 还研究了强隐向量变分不等式组和广义序补问题组解的存在性问题有关纯量型的 广义变分不等式组解的存在性和算法的研究结果较多，在此不一一列举了，参阅文献 1 6 4 1 6 9 和里面的参考文献目前，有关向量变分不等式的研究结果和纯量型的变 分不等式相比不是那么丰富，由于映射的一般性和无穷维空间结构的限制，研究仅限 于理论层面上，算法的构造是一个难于解决的问题，必要时需借助于新的数学工具 广义向量似变分不等式是向量似变分不等式的推广形式，目前，对广义向量似变分不 等式的研究结果相对颇少因此，研究广义向量似变分不等式及似向量变分不等式组 的解的存在性从而带动向量优化和多层规划的推进无疑是一项重要而有意义的工作 m p e c 问题( 具有均衡约束的数学规划问题) 是类重要的数学规划问题，均衡 约束是指带参数的变分不等式或互补约束，在自然科学和工程技术中有许多应用，目 前有许多研究成果，参阅文献【1 7 0 1 7 6 1 ，而用变分不等式组来求解m p e c 问题所见 文献不多 1 2 广义似变分不等式问题的数学模型 4 大连理工大学博士学位论文 1 2 1 纯量型的广义似变分不等式问题的数学模型 纯量型的广义( 似) 变分不等式在不致引起混淆的情况下，我们简称为广义( 似) 变分不等式如无特别说明，本文通篇假设e 是一个实b a n a c h 空间，e + 是其对偶 空间，h 是一个实的h i l b e r t 空间，”l l 表示e 或中的范数，( ，) 表示e 和e + 之间的偶对或中的内积 d 是e 或日中的一个非空闭凸集；c b ( e ) ( c b ( e ) ) 和 c b ( h ) 及g ( e ) ( c ( f ) ) 和c ( h ) 分别表示e ( e 。) 和h 中的所有非空有界闭集组成的 集簇及e ( e + ) 和日中的所有非空紧子集组成的集簇令a ：e 一2 ”是由 a ( x ) = ，e i ( ，z ) = l l z | | 2 i z | | = i l ，l i s ) ，v z e 定义的正规对偶映射，我们将用j 代表正规对偶映射的一个选择众所周知， 如果e 是光滑的，则是单值的，如果e = h ，则a 是恒等映射给定集值映射 t ，a ，b ，c ：e c b ( e + ) ，g ：e c b ( e ) ，单值映射m ，n ：e e 一f ，q ：e e e 和g ：e e o ：e e r u + 。) 是一个不可微的非线性双泛函符号、c 、 d o m a 、r g e a 、g p h a 和a 。分别表示包含、严格包含关系及集值映射a 的定义域、 值域、图象和逆映射，即； d o r a a = x e a ( z ) 0 ) r g e a = e + ij z d o m as a ( z ) ) ； g p h a = ( t ，y ) e e lz d o m a ，y a ( z ) ) ； a 一1 ( ) = z ey 4 ( z ) ) ，v y e 4 显然一“是一个集值映射且d o r a4