（概率论与数理统计专业论文）中国货币市场短期利率波动的动态加权估计.pdf

摘要 摘要 长期以来，中国货币市场一直缺少一个基准利率。1 9 9 6 年推出的全国银行 间同业拆借利率c h i b o r 没有能够成为基准利率，至今已名存实亡。2 0 0 7 年1 月4 日，上海银行间同业拆放利率作为我国基准利率的雏形正式亮相，再次踏上 成为基准利率的征程。 s h i b o r 目前处于发展初期，仍或多或少地受到其他利率的影响，如银行间 质押式回购交易利率。在本文中，我们对银行间质押式回购交易中成交量最大， 交易最频繁的短期利率r 0 7 d ，即7 天回购利率，和7 天期的s h i b o r 进行分 析，可以看到它们之间的相互引导关系。我们将介绍一种将时域估计和频域估 计动态整合在一起的波动率估计方法，并将其用于r 0 7 d 的波动率分析，同时和 其他几种波动率的估计方法作出比较，得到一个较好的结果。 关键词：s h i b o r ；r 0 7 d 波动率；时域估计；频域估计；动态整合 a b s 仃a c t a b s t r a c t c h i n a sm o n e ym a r k e th a sb e e nl a c ko fab e n c h m a r km a r k e tr a t ef o ral o n gt i m e c h i n ai n t e r - b a n ko f f e r e dr a t e ( c h i b o r ) w h i c hb e g a nf r o m19 9 7i sf a i l u r et ob e c o m et h eb e n c h m a r ka n de x i s t si nn a m eo n l y o nj a n u a r y4 , 2 0 0 7 ，s h a n g h a ii n t e r - b a n k o f f e r e dr a t e ( s h i b o r ) c o m e st ot h ew o r l da n di sh o p e dt ob et h eb e n c h m a r kr a t e i nt h ei n i t i a ls t a g eo fd e v e l o p m e n t ，n o ws h i b o ri ss t i l li m p a c t e db yo t h e ri n t e r e s tr a t e sm o r eo rl e s s ，s u c ha si n t e r - b a n kc o l l a t e r a l i z e dr e p ot r a n s a c t i o nr a t e s 。w e w i l lc h e c kt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nr 0 7 d ( 7d a y sc o l l a t e r a l i z e dr e p oi n t e r e s tr a t e ， w h i c hh a st h el a r g e s tt r a d i n gv o l u m ea n dt r a d e sm o s tf r e q u e n t l ya m o n gt h es h o r t - t e r m c o l l a t e r a l i z e dr e p oi n t e r e s tr a t e s ) a n d1 - w e e ks h i b o r d y n a m i ci n t e g r a t i o no ft i m e - a n ds t a t e - d o m a i ne s t i m a t o r sf o rv o l a t i l i t ye s t i m a t i o nw i l lb ei n t r o d u c e d ，a n da p p l i e d t ot h ev o l a t i l i t ye s t i m a t i o no fr 0 7 d ，w h i c hh a sb e s tp e r f o r m a n c ec o m p a r e dw i t ht h o s e m e t h o d sr e f e r r e di nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：s h i b o r ；r 0 7 d ；v o l a t i l i t y ；t i m e - d o m a i ne s t i m a t o r ；s t a t e - d o m a i ne s t i m a - t o r ；d y n a m i ci n t e g r a t i o n 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名： 拦，鹾 签字日期： 丝翌：! ：2 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 日公开口保密(年) 作者签名：氇盛 签字日期：坦l ! ：l差 第1 章引言：中国利率市场现状与基准利率 第l 章引言：中国利率市场现状与基准利率 1 1 利率市场化 利率是资金的价格，反映资金的供求状况，同时又受到物价水平、经济周期 和预期的影响。利率是连接货币因素与实际经济因素的中介变量，作为调节经 济活动的重要杠杆。利率是一个重要的经济指标，是围家调节国民经济的一个 重要的、强有力的经济杠杆。利率同其他商品的价格一样，随市场上资金供求状 况的变化而不断变化：当市场上对资金的需求大于供给时，利率上升；反之，当资 金的需求小于供给时，利率卜降。利率是市场上资金供求关系的反映，掌握利率 趋势就基木掌握了资金供求状况。同时，利率又能影响资金的供给与需求，促进 资金供求趋向平衡。 我国的利率体制曾对经济起到过重要的促进作用，但随着我国市场经济的 发展，目前的利率管制已经严重的束缚了经济的发展。中国目前的利率体系基 本上是一种以银行存贷利率为中心的管制利率体系，中央银行对利率由直接的 决定权与管理权。中央银行在决定利率是主要考虑社会资金总供求状况、企业 成本水平、银行利润和市场价格总水平等因素。这样的利率体系更多的是考虑 了微观经济的效应，而对于调节宏观经济则表现出操作上的不成熟和效应微弱。 由于市场经济的发展，社会资金供求总量和结构变化已不完全由围家直接控制， 中央银行对利率的调整相对于社会经济生活的变化来说显得迟缓笨拙，货币政 策意图也难以有效传导。 利率市场化是一个国家金融自由化改革的重要组成部分，它是更有效的配 置资源的方式。利率市场化是一项国内金融体制改革的过程，是政府或者货币 当局逐步放松或放弃对利率的直接控制或限制，让资金市场供求关系决定利率 水平的利率决定机制的变迁过程。 第l 章引言：中国利率市场现状与基准利率 利率市场化已经成为困内金融研究的一个热点，其中一部分研究成果见 金菲( 1 9 9 4 ) 【2 3 1 、李念斋( 1 9 9 7 ) 1 2 6 】、赵英军( 1 9 9 7 ) 3 9 】、赵怀勇( 2 0 0 0 ) 【3 7 1 、赵尚 梅( 2 0 0 3 ) 【3 8 1 、史宝平( 2 0 0 3 ) 3 2 】、李安定和白当伟( 2 0 0 6 ) 【矧、黄国平，汪 荔( 2 0 0 6 ) 【2 0 1 等。 随着我国经济体制逐步向市场化改革的深入，中国人民银行近十年来制 定并实施了一系列重大的政策：1 9 9 6 年，中国人民银行正式放开了银行间同业 拆借利率，全国银行间统一拆借市场启动，标志着利率市场化迈出了具有开创 意义的一步；同年，财政部通过证券交易所市场平台实现了国债的市场化发 行；1 9 9 7 年银行问债券回购利率形成，成为我国重要的资金价格基准；1 9 9 8 年， 中国人民银行改革了贴现利率生成机制，贴现利率和转贴现利率在再贴现利 率的基础上加点生成，在不超过同期贷款利率( 含浮动) 的前提下由商业银行 自定；1 9 9 8 年、1 9 9 9 年，中国人民银行连续三次扩大金融机构贷款利率浮动幅 度；1 9 9 9 年，中国人民银行扩大商业银行对中小企业贷款利率的上浮幅度和县 级以下金融机构的贷款浮动权限；1 9 9 9 年，财政部首次在银行间债券市场实现 以利率招标的方式发行债券；2 0 0 0 年，中国人民银行改革外币利率管理体制，实 现外币利率市场化；2 0 0 3 年以来，中国人民银行连续三次扩大金融机构贷款利 率浮动区间；2 0 0 4 年，中国人民银行取消了除城乡信用社以外的贷款利率上限 和存款利率下限，这标志着我国利率市场化顺利实现了“贷款利率管下限、存款 利率管上限 的阶段性目标。 2 0 0 4 年1 0 月，中国外汇交易中心宣布正式发布债券7 天期回购利率指标。质 押式回购利率迅速成为市场计算融资成本的重要基准利率，特别是7 天期和l 天 期品种，以7 天期质押式回购利率为基准的浮息债应运而生。 2 0 0 6 年3 月8 日，外汇交易中心在此前基础上又推出银行问回购定盘利率，其 品种主要是1 大$ 1 7 天期，进一步丰富了“回购系”f 的基准利率。 2 0 0 7 年1 ) 1 4 日，上海银行问同业拆放利率( s h a n g h a ii n t e r - b a n ko f f e r e dr a t e ， 2 第l 章引言：中国利率市场现状与基准利率 简称s h i b o r ) 正式开始运行，并启动每同发布制度，中国利率市场化之路由此 走出了标志性一步，上海未来将成为中国利率体系的定价中心之一。 1 2 基准利率的选择 根据中国人民银行网站( w w w p b c g o v c n ) ，中国的利率可以分为官方利率和 市场利率两种类型，官方利率包括：再贷款利率、再贴现利率、存款准备金利率、 超额存款准备金利率和金融机构法定存贷款利率。同时，中央银行还控制存贷 款利率的浮动范围。如果考虑信用风险在内，市场利率则包括：银行同业拆借利 率、银行间国债回购利率、交易所国债回购利率、央行票据利率、国债利率和企 业债券利率。 在多样化的利率体系中，各种利率都是彼此联系、相互影响的。在这个体系 中，必然会有一种或少数几种利率对于利率体系的总体变动产生决定性影响。 这种利率形成整个市场的“基准”。市场化的基准利率的缺失，已经成为制约我 国利率市场化进程的一个因素。 关于基准利率，黄达在其主编的中国金融百科全书( 1 9 9 0 ) 中是这样解释 基准利率的：“在金融市场上，由于利率的多样性与利率体系的复杂性，金融市 场上的投资者和参与者不可能对每种利率都给予高度关注。同时，在多种利率 并存的同时，总有某一种利率起着决定性作用，当它变动时，其他利率也相应发 生变动。这使得借贷双方没有必要注意全部利率的变化，而只需了解这种关键 性利率的水平及变化趋势即可。这种在整个金融市场上和整个利率体系中处于 关键地位、起决定性作用的利率即为基准利率。” 具体将哪个利率指标设定为基准利率，不同的国家可能会有不同的选择。 孙友杰( 2 0 0 5 ) 3 3 概括了六个主要的选择标准：良好的市场主体结构、大额的市 场交易量、良好的市场工具结构、合理的利率期限结构、良好的可控性和与其他 经济指标具有较高的相关性。也就是说，基准利率的形成应该是由市场形成的， 第l 章引言：中国利率市场现状与基准利率 它应具有数量众多、类型不一的交易主体，有大额的市场交易量以反映市场的 流动性。市场上存在各种不同期限的同类交易工具，从而产生了不同的利率水 平。期限的多样性要求基准利率拥有较合理的期限结构，各工具之间的价格结 构能够基本合理地反映由期限体现的流动性溢价。基准利率是货币当局制定和 实施金融政策必须高度关注和利用的对象，必须能成为其操作货币政策的重要 工具。基准利率还应该与其他货币市场利率和较长期的市场利率具有较高的相 关性，这样才能保证货币当局政策意图的顺畅传导；其次，基准利率也应该与货 币供应量、居民消费指数乃至储蓄率和固定资产投资率具有一定的相关性。此 外，央行基准利率的选择还受经济管理体制、市场发育程度、经济发展水平等客 观条件的制约和影响。 在实现了利率市场化的国家，基准利率往往是一种货币市场利率，如银行 间同业拆借利率、再贴现利率、国债回购利率、短期国债利率等等。英国、德国、 法国、西班牙等国家的基准利率就是短期国债回购利率，美国的基准利率是三 个月国库券利率，同本的基准利率是银行间拆借利率。 至于中国利率市场化中该选什么利率作为基准利率，不同的学者有不同的 看法。黄国明( 1 9 9 7 ) 2 0 1 认为短期国债市场规模过小，不具备成为基准利率的条 件，而选择同业拆借利率作为基准利率，能够贯彻央行放松利率管制，实行以货 币供应量为货币政策中介目标的政策意图。陈时兴( 2 0 0 1 ) 【1 8 】认为国债交易规 模大，变现力极强，价格形成与波动能够灵敏的反映资金市场供求的变化，并且 能够较好的反映不同期限的利率水平，因此，国债利率是中央银行制定利率政策 所能参照的最佳的市场基准利率。李社环( 2 0 0 1 ) 1 2 7 认为我国信用风险较大，国 债回购的安全性比同业拆借高，但由于国债回购市场还处于分割状态，使得同 业拆借利率作为基准利率有一定的优势。温彬( 2 0 0 4 ) 【3 5 】用1 9 9 8 年到2 0 0 1 年 的数据做实证分析，比较了再贴现利率、银行间同业拆借市场利率、银行间债券 市场回购利率和银行问债券市场现券交易利率这四个利率，结论是银行间同业 4 第l 章引言：中国利率市场现状与基准利率 拆借市场利率和债券市场回购利率更适合做基准利率，但对这两个利率的最终 选择还有赖于客观经济条件的变化发展。孙友杰( 2 0 0 5 ) 【3 3 】对我国现有的各种 货币市场利率进行逐一分析，认为当前我国宜选择银行间债券回购利率作为央 行基准利率。综上所述，对于基准利率的选择，观点主要集中于银行间同业拆借 市场利率、银行间债券市场回购利率和国债利率。应该指出，这些研究成果是基 于不同时期的中国利率市场的具体情况而得到结论的。 在2 0 0 7 年s h i b o r 推出后，央行一直致力于把它打造成为中国货币市场的 基准利率，然而刚推出不久的s h i b o r 要想成为真j 下的基准利率，仍是任重道 远。在现阶段，s h i b o r 仍然或多或少地受到其他利率的影响，如银行间质押式 回购交易利率。在下一章中，我们对银行白j 质押式回购交易中成交量最大，交易 最频繁的短期利率r 0 7 d ，即7 天回购利率，和7 天期的s h i b o r 进行分析，可 以看到它们之间的相互引导关系。在第三章中，我们介绍一种将近期数据和历 史数据融合在一起的波动率估计方法，并在第四章中将其用于r 0 7 d 的波动率 分析，同时和其他几种波动率的估计方法作出比较，得到一个较好的结果。 第2 章r 0 7 d 与i w - s h i b o r 第2 章r 0 7 d 与1 w - s h i b o r 2 1r 0 7 d 与s h i b o r 的诞生 2 1 1 银行间债券市场7 天回购利率r 0 7 d 2 0 0 4 年以来，受宏观经济运行，预期加息等因素影响，银行间债券市场债券 收益率不断上升。由于1 年期定期存款利率相对固定，以其为基准的浮息债券只 能通过利差变化来反映市场波动，失去了规避利率风险的作用。因此，债券市场 讨论新的利率指标作为浮动利率债券的利率基准。由于银行间债券市场7 天回购 参与机构多，交易活跃，成交量大，不易被操纵，其利率也成为市场短期利率的 基准。市场人士都将目光集中在7 天回购利率上，并希望及时了解7 天回购利率 的走势。 中央结算公司及时响应市场需求，组织市场专家，包括国家开发银行，中信 证券等机构的专家和研究人员，经过多次认真讨论，达成了共识，并编制了“债 券市场r 0 7 d 利率指标与走势图 。该指标和走势图己于2 0 0 4 年7 月1 0 e 通过“中 国债券信息 向市场公开发布。受中央结算公司的影响，其它一些机构也加入讨 论，并编制了类似的货币市场利率曲线，促进了浮息债券新利率基准的形成。 中央国债登记结算公司编制的r 0 7 d 平均利率，数据源采用的是全国银行 间债券市场的结算数据，包括来自各种交易途径的全部成功交易数据。r 0 7 d 是 全国银行问债券市场回购期限为4 7 天的回购交易的统称，r 0 7 d 实际包含了回 购期限为4 7 天的全部回购交易。 专家认为，中央结算公司编制的浮息债券利率基准更加具有科学性，并存 在两方面的优势：一是以结算数据为数据源，准确可靠。银行问债券市场是场外 市场，交易与结算没有实现互联。交易数据存在虚假交易和失真现象，容易被操 纵；而结算数据包括来自各种交易途径的全部成功交易数据，真实全面。操纵结 第2 章r 0 7 d 与i w - s h i b o r 算数据的成木较高，因此更加稳定。二是对异常交易的剔除。为防止r 0 7 d 异常 交易的干扰，中央结算公司对每天r 0 7 d 的加权平均数进行了修订，剔除了一定 比率的最高和最低利率，保证数据的科学性和准确性。 2 1 2 上海银行问同业拆放利率s h i b o r 在s h i b o r 之前，我国货币市场存在多种利率，包括债券回购利率、同业拆 借利率、央行票据发行利率、短期国债利率、短期融资券利率、商业票据利率等， 但是缺乏真正市场化的基准利率。近年来央行一直在努力构建我国货币市场的 基准利率体系。1 9 9 6 年开始推出银行问同业拆借利率即c h i b o r 。2 0 0 4 年1 0 月， 银行同业拆借中心发布债券7 天回购利率作为货币市场基准利率的参考指 标。2 0 0 6 年3 月，同业拆借中心又对外发布了期限为隔夜和7 天的银行间回购定 盘利率，进一步丰富了回购基准利率。与此同时，在近年连续滚动发行的基础 上，1 年期央行票据的发行利率也已成为货币市场上较长期限利率的定价基准。 这样，目前我国货币市场存在两个主要的利率指标：7 天回购利率和1 年期央票 发行利率。 但是，上述指标均存有明显缺陷，都不能成为真正意义上的基准利率。 就7 天回购利率而言：第一，它与国际上通行的以同业拆借利率为基准利率的惯 例不一致。第二，回购利率为实盘交易数据，盘中波动较大，可能被操纵。第三， 期限太短，基本都集中在一个月特别是7 天以内( 三个月到一年的回购也有，但成 交很清淡) 。目前市场上三个月到一年的利率主要参考央票的发行利率。但就央 票而言：第一，它是中国特色的公开市场操作工具，是为了对冲外汇占款而产生 的，受政策的影响较大，无法保证未来的稳定性和连续性。第二，央票不是每天 发行，所以不是每天都有发行利率。 2 0 0 7 年1 月4 日，上海银行间同业拆放利率( s h a n g h a ii n t e r - b a n ko f f e r e dr a t e ， 简称s h i b o r ) 正式开始运行。上海银行阳j 同业拆放利率，以位于上海的全国银 行间同业拆借中心为技术平台计算、发布并命名，是由信用等级较高的银行组 第2 章r 0 7 d 与1 w - s h i b o r 成报价团自主报出的人民币同业拆出利率计算确定的算术平均利率，是单利、 无担保、批发性利率。目前，对社会公布的s h i b o r 品种包括隔夜、l 周、2 周、1 个 月、3 个月、6 个月、9 个月及1 年。 s h i b o r 报价银行团现由1 6 家商业银行组成。报价银行是公开市场一级交 易商或外汇市场做市商，在中国货币市场上人民币交易相对活跃、信息披露比 较充分的银行。中国人民银行成立s h i b o r 工作小组，依据上海银行间同业拆放 利率( s h i b o r ) 实施准则确定和调整报价银行团成员、监督和管理s h i b o r 运行、 规范报价行与指定发布人行为。 全国银行间同业拆借中心受权s h i b o r 的报价计算和信息发布。每个交易日 根据各报价行的报价，剔除最高、最低各2 家报价，对其余报价进行算术平均计 算后，得出每一期限品种的s h i b o r ，并于l l ：3 0 对外发布。 金融衍生品特别是利率衍生品都需要一个基准利率作为合约标的。比如 l i b o r ，e u r i b o r 等都是国际上知名的基准利率，被广泛应用于衍生产品定价 及合约结算。长期以来我国基准利率缺失，严重制约了金融市场特别是衍生产 品市场的发展。s h i b o r 的推出意味着我国金融市场建立起了真正的价格中枢， 将为人民币汇率产品如远期汇率、汇率期权，人民币利率衍生产品如利率互换、 利率期权、利率期货( 远期) 等提供定价基准，将会极大地促进人民币衍生产品市 场的发展。 2 2 r 0 7 d 与1 w 二s h i b o r 之间的关系 银行问债券回购利率和上海银行间同业拆放利率是当前货币市场具有指导 意义的两种短期利率，分别反映了银行间债券市场和银行间同业拆借市场的 短期融资成本。其中最具代表性的是7 天期质押式回购利率r 0 7 d 和7 天期的 9 烛粼一 一一 一一一 蒌一一一 黼删 一一一一一一：| 垂一 一一一 一一一一一 第2 章r 0 7 d 与1 w - s h i b o r s h i b o r ( i w - s h i b o r l 。 o 旦 田 寸 n 1 w s h i b o r & r 0 7 df r o m2 0 0 6t o2 0 0 8 01 0 02 0 03 0 0 4 0 05 0 0 0 1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0 t i m e ( d a y s ) 图2 17 天s h i b o r 与7 天回购利率从2 0 0 6 年到2 0 0 8 年的走势图及差异 从图2 1 中可以看到，7 天的s h i b o r 与7 天的回购利率契合度很好，走势较 一致，数据之间相关性很高，这可能与s h i b o r 报价更多地参考回购利率有关。 平稳性检验 为了研究7 天回购利率与1 w - s h i b o r 之间可能存在的引导关系，我们先对 1 w - s h i b o r 和r 0 7 d 序列进行平稳性检验。这里采用最常用的恩格尔格兰杰 s h i b o r 数据来源于w w w s h i b o r o r g 银行间债券i 旦i 购利率数据米源十w w w c h i n a b o n d c o r n c i ! 1 0 o 寸o n o n o m。cmjouio 第2 章r 0 7 d 与1 w - s h i b o r ( e n g l e g r a n g e r ) 基于残差的a d f 检验。对一阶差分后的序列进行单位根检验， 结果( 表2 1 ) 表明两者皆为平稳序列，可以进行因果分析。 因果检验 表2 1 i w - s h i b o r 和r 0 7 d 差分序列的甲稳性检验结果 为方便计，我们将r 0 7 d ，i w - s h i b o r 分别记为r 7 ，w l 。对a ( r 7 ) ，a ( w 1 ) 建立回归方程： ( w 1 ) f = 啦( w 1 ) 卜f + 伤( 胛) 卜i + u t f = lf = l k七 ( 胛) f = a ；a ( r 7 ) 卜f + 尉( w 1 ) 卜i + u ： ( 2 1 ) ( 2 2 ) 在原假设n o ：j b l = 皮= = 段= 0 ，磁：卢：= = = 俄= 0 成立的情况下： ，= 面( s s e 瓢r - 两s s e u ) 万k 一嘶一埘 ( 2 3 ) 其中船耳为施加约束时的残差平方和，s s e u 为没有施加约束时的残差平方 和，r 为样本容量，七为最大滞后除数。 我们对滞后阶数k = l ，2 ，6 分别做因果检验，p 值如表2 2 中所示。可以 看到，7 天期回购利率对7 天期的s h i b o r 具有长期的引导作用( 在9 5 的水 平下显著，下同) ，反之则不太显著。 第2 章r 0 7 d 与1 w - s h i b o r 表2 21 w - s h i b o r 和r 0 7 d 差分序列的因果检验结果( p 值) 2 3小结 银行间回购利率和上海银行i 日j 同业拆放利率作为当前货币市场具有指导 意义的两种短期利率，两者之间存在着相互引导关系，其中银行问回购利率 对上海银行间同业拆放利率的长期引导作用尤为明显。我们在后面探讨货币 市场短期利率的波动性时，将采用r 0 7 d 作为研究对象，一方面由于r 0 7 d 对 1 w - s h i b o r 的长期引导作用，另一方面是因为r 0 7 d 推出的时间较早，具有比 较大的样本量。 1 2 第3 章波动率估计的动态加权 第3 章波动率估计的动态加权 在预测未来事件或做投资决策时，经常考虑两种有用的信息，一种是 基于近期数据的，一般采用滑动平均等方法；另种是基于历史数据的， 如a r m a ，t a r ，a r c h 模型等或一些非参数方法。假设现在r 0 7 d 的价格是墨， 我们要估计其波动率，可以对近期的波动率作加权平均( 如指数加权) ，也可以 对所有位于墨附近的历史数据作加权平均( 如e p a n e c h n i k o v 核估计) ，如何把 这两种有价值的信息有效地结合起来是一个有趣的问题。f a n ( 2 0 0 5 ) 3 提到了一 种动态整合的办法，得到一个较为有效的波动率估计。 为了更好地解释这一方法，我们考虑r 0 7 d 从2 0 0 4 年到2 0 0 8 年期间的 1 1 9 5 个日数据( 图3 1 ) 。假设当前日期为2 0 0 8 年1 1 月2 6 日，此时r 0 7 d 的价格 是2 5 3 8 ，对应的时间点t = 1 1 7 0 。要估计此时的波动率，一方面我们可以采用 过去两个月左右的数据，即图3 1 ( a ) 中的垂直阴影区域数据，作指数光滑估计； 图3 1 ( b ) 是涵一x 1 ) 2 对时刻t 1 的散点图，短划线是指数权值，长划线是指 数光滑平均的结果，记为6 0 i m e 。另一方面，我们也要考虑两个月之前的历史数 据，这样有助于我们做出更好的决策。当前的价格是2 5 3 8 ，我们采用介于区间 2 5 3 84 - 0 2 5 内的历史数据，即图3 1 ( a ) 中的水平阴影区域数据，作核估计；图 3 1 ( c ) 是( 墨一墨一1 ) 2 对那些介于介于区间2 5 3 8 士o 2 5 内的x f 一1 的散点图，短 划线是e p a n e c h n i k o v 核，长划线表示核估计的结果，记为6 讲。这两种估计在 预测波动率的文献中均有使用，前者在j e m o r g a n 的风险度量中尤为突出，后者 被用于非参数回归( 见t o n g ，1 9 9 5 1 1 7 】；f a n y a o ，2 0 0 3 5 】等) 。 将这两种近似独立的估计作动态加权( 0 w t 1 ) ，我们可以得到一个新的 第3 章波动率估计的动态加权 f a ) r 0 7 df r o m2 0 0 4t o2 0 0 8 ( c l s t a t e - d o m a i ne s t i m a t eo fv o l a u i i t y 图3 1 时域估计和频域估计示意图。( a ) r 0 7 d 的价格：垂直的阴影部分表示用于时域估计的区域，水平 阴毖部分表吞用于频域估计的区域。( b ) 时域估计：散点表示时域内荇点波动的平方值，矩划线表 蚕勇士拳超值计嫠錾丛值，长划线表番指罄卷澍的结罘。( c ) 频域估计：散点表示频域内各点波 动的平方值，矩划线表示e p a n e c h n i k o v 核，长划线表示核估计的结果。 一 估计： 舒= 萌溉+ ( 1 - - w t ) 吼积 ( 3 1 ) 现在问题在于如何选择合适的晰，使得该估计达到最优。一种比较合理的方法 是最小化该估计的方法，由此可以得到最优动态权值： mrg慨min，砌厂(辞)=丽瓦va再r(1参t丽2,state) ( 3 2 ) 上式中的方差估计将在后面给出。 1 4 第3 章波动率估计的动态加权 3 1 波动率估计 波动率估计是现代金融分析一个很重要的方面。它是投资组合风险的一个 度量，在v a r ，资产定价，资本配置及风险调整回报率等方面均起重要作用。目 前有大量的文献研究波动率的时域估计和频域估计，在f a n & y a o ( 2 0 0 3 ) 5 j 一书 中有关于这方面的综述。 3 1 1 时域估计 时域上最常用的波动率估计是滑动平均估计： t l o m , a 2 ，t = n - 1 坪， ( 3 3 ) o 朋r a ，= n 2 一节， 【r 3 ，j ) i = t - n 其中k = x t 一五一1 ，n 是滑动窗宽，这个估计忽略了飘移项。它的一个推广是指 数光滑估计( e x p o n e n t i a ls m o o t h i n ge s t i m a t o r ) ： 篚s ，f = ( 1 一九) 姥l + 九磋s ，- l = ( 1 一九) 垃1 + 九贮2 + 九2 赃3 + ) ( 3 4 ) 其中九是光滑参数，j em o r g a n ( 1 9 9 6 ) 1 2 】称它为衰减因子( d e c a yf a c t o r ) 。 由于指数光滑估计3 4 中的权重是指数衰减的，所以它实际上只使用了近期 的数据。可以修j 下为明显只使用了n 个数据的估计： o 聃2 r = 舄髀n 2 矿1 当九= l 时，它退化为滑动平均估计3 3 。 时域估计的渐近正态性 命题3 1 ：在条件( a 1 ) 和( a 2 ) f ( 见附录) ，我们有 0 2 ( 几) 一0 - 2 ( r u ) l r l s u l ( p 一1 ) ( 2 们，协，“【t r , f 】， 其中系数k 满足e 【k 2 ( p + 6 ) 】 0 。 由h 6 1 d e r 不等式，我们可以建立时域估汁的渐近正态性： ( 3 5 ) 1 5 第3 苹波动率估计的动态加权 定理3 1 ：假设砰 0 。在条件( a 1 ) 和( a 2 ) ，如果n _ + 且n a 一0 ，则有 篚s一砰_0，aet 0ae o 言s 一。广_ ， 进一步，如果极限c = l i m 胛。n ( 1 一九) 存在且n a ( p 一1 ) ( 2 p i ) _ 0 ，则有 何 磋印一砰】s l fn ( o ，1 ) ， 其中砰，= c 掣岩。 证明过程可参见f a n ( 2 0 0 3 ) 3 1 。 3 1 2 频域估计 为了保证时域估计与频域估计的渐近独立性，我们去除已用于时域估计中 的n 个数据，将剩余的n 一行个历史数据用于频域估计。故t 时刻的历史数据集 为 ( 飞，巧) ，i = 0 ，n - n 1 ) 。我们用加权最小二乘法求0 2x ) 的局部线性估 计略 ) = l ： ( 反l ，一孵 勉( r f j 一工) 2 w h ( a 2 ) r r a i n e - - a l - - r f f z ) ， ( 3 6 ) ( 反l ， 一v 屹剐孵 勉( r f j 一工) 2r f f z ) ， ( 3 6 ) 其中w ( ) 是核函数，h 0 是窗宽。我们将选用e p a n e c h n i k o v 核函数，同时使用 交叉验证的方法选择窗宽。 频域估计的渐近正态性 在f a n & z h a n g ( 2 0 0 3 ，定理4 ) 【7 】中给出了频域估计的渐近正态性。设 b = f u i w 2 ( u ) d u ，= 0 ，l ，2 ，p ( ) 为马尔科夫过程 r s ) 的密度函数，则我们有： 定理3 2 ：设工为p ( ) 支撑的内点，p ( ) 和d 2 ( ) 在工的邻域内二阶可导。在条 件( a 3 a 6 ) 下，我们有 v ( n - n ) h d 2 ( x ) 一仃2 ) 】眈0 ) - 呈n ( 0 ，1 ) ， 其中s ； ) = 2 v o t r 4 0 ) p ) 。 1 6 第3 章波动率估计的动态加权 3 2 时域估计和频域估计的动态加权 在这一节我们将通过计算波动率时域估计和频域估计的方差得到最优动态 加权w f ，同时给出两者渐近独立的定理。 时域估计的方差 对于指数光滑估计3 5 ，虽然我们可以采用定理3 1 给出的渐近方差，然而 由于该估计是班f 的加权平均，我们可以通过假设k 一一n ( 0 ，砰) ( 对于足够小 的j ) 直接计算出方差： 憾f ) 蹲2 彩善n 扩一p ( 1 h i ) 等簪 l + 2 笔船( 1 - 3 , 2 ( n - k ) ) ( 硼，( 3 7 ) 其中p ( 歹) = c 打( 早，垃j ) 是序列( 贮j ) 的自相关系数，可以用历史数据估计出 来。由于指数衰减，事实上只有前3 0 阶的左右的p ( j ) 对方差的计算有贡献。 频域估计的方差 现在我们来估计方差6 蟊= 霹( r f ) 。在f a n y a o ( 1 9 9 8 ) 吖叼和f a n & y a o ( 2 0 0 3 ) 【5 】一书6 2 中有详细介绍。令 且 = t 善- i v j ( x ) c 飞- x ) ，w ( 竿r t i x ) = ( r f f7 w ( t ) i = i 、， 驭护w ( 竿) 【喇吨叫喇川m 卅钟) ， 则局部线性估计可表示为： 于是其方差可近似表示为： t l 菇 ) = 昏( 工) 乎 r ( 6 ；0 ) v a r y 2 l r t , = 工) 考孑 ) 2 6 4 ) 考产 ) ( 3 8 ) f = lf = l 1 7 第3 章波动率估计的动态加权 动态加权 结合3 2 、3 7 、3 8 ，我们可以得到动态权值： 其中 虻黧挲塑丁， ( 3 9 ) 2 砑a 4 匿v t - 哥1 两丽i u j 。= 辫 l + 2 美船( 1 - - , a l , 2 ( n - k ) ) ( 卜确) 在实际应用中，我们将从序列 p ( f ) ) 譬i 中截取其中的一段如 p ( i ) 3 0 l 来简化计 算。 于是我们得到了波动率的动态加权估计： 其中砖，= 鳍( r f ) 。 萌= 如磋s ，- f ( 1 一协) 鹾， ( 3 1 0 ) 时域估计和频域估计的渐近独立性 我们得到动态加权估计的前提是时域估计和频域估计的渐近独立性。忽略 其飘移项( s t a n t o n ，1 9 9 7 1 卅；f a n & z h a n g2 0 0 3 7 】) ，估计篚s ，和d w 2 都是 乎) 的线性组合。下面这个定理提供了时域估计和频域估计的渐近独立性，并且建 立了动态加权估计的渐近正态性： 定理3 3 ：记当前时刻为t n ，s 2 ，f = j 2 ( ) 。在定理3 1 和定理3 2 的条件下，如 果条件( a 2 ) 在粕时刻成立，则我们有 ( a ) 渐近独立性： 以( 磋趼一o ) ，x ( n - , ) h ( e 2 s , f 一砖) 加 r 呈( 。，如) ， ( b ) 蟹w 的渐近正态性：若极限d = l i m n 。n ( n 一，1 ) 】存在，则 v ( n - n ) h o a ( d i 2 , w 一舔) n ( o ，1 ) ， 第3 章波动率估计的动态加权 其中t o = 嵋s ，w i d + ( 1 一w t n ) 2 加。 3 3 波动率估计的b a y e s 方法 波动率的b a y e s 估计 还有一种b a y e s 方法能把时域估计和频域估计结合起来，可将近期的数据 k 一再，耳一1 视为来自总体n ( 0 ，a 2 ) 的独立样本，并作为一种先验信息。为了将 历史信息融合进来，我们假设方差仃2 服从参数为( 口，b ) 的逆g a m m a 分布，即有 密度函数 f ( t r 2 ) = 扩f 一1 ( 口) 仃2 ) 一( 口+ 1 ) e x p ( 一b l a 2 ) 记为仃2 一i g ( a ，易) 。我们知道 e ( a 2 ) = 刍，吲= 南，m 。d e ( o 2 ) = 雨b ( 3 1 1 ) 和频域估计一样，超参数a 和b 可以从历史数据中估计出来。 在给定y = ( y t 一盯一，k 一1 ) 的条件下，很容易得知仃2 的后验分布是 ，g ( 口4 ，b + ) ，其中 拈口+ 多肚互1 善n 垃舢 由3 1 l 可知，仃2 的b a y e s 均值为 牝各= 喜( 豺2 w ( 2 ( 川m ) 于是b a y e s 估计可以写成 岛= 南疏 f + 端鄙， ( 3 - 1 2 ) 其中滑动平均估计，由3 3 给出，鄙= b ( a 1 ) 是先验均值。 为了将指数光滑估计3 5 包含进来，我们可以取矿个数据进行局部光滑， 1 9 第3 章波动率估计的动态加权 其中 于是得到下面这个估计： 。 一r n 1i - i 1 一a n 矿2 三九2 茜 l = 1 一 罐广南醯，f + 杀器鄙 = 两晶6 e s , t j r 高与6 ：；( 3 m ，2 = 万西矿可f 面d。二方瓦古可声丽睇( 王1 3 ) 特别地，当；l = 1 时，估计3 1 3 将退化为3 1 2 。 先验参数的估计 b a y e s 估计3 1 3 中的超参数a t ，b r 可以从t 时刻前的历史数据中得到。近似 地，我们有 e 【乎fr f 】仃2 ( 厂f )v a r r t 2 i r , 】2 仃4 ( 吩) ， 0 2 ( 吩) 可以用霹( n ) 来估计。我们前面假设砰的先验分布是i g ( a r ，协) ，则由矩 方法，令 可以解得 e ( 砰) = 习b t = 菇( r f ) ， 懈) = 矿丧两= 2 ) 岛= 2 5纹= 1 5 6 2 ( r f ) 代入3 1 3 中，我们得到如下估计： 铝i f - 两舄高- , 2 f + 高鬟嚷( 3 1 4 ) 噬，r2f 万辅而西，+ f 玄巧苛丽嗨 ) 可惜的是，估计3 1 4 中的权值是静态的，和t 无关。因此，b a y e s 方法并不能很 好地解决这个问题。 第3 章波动率估计的动态加权 3 4 小结 通过动态加权，我们将波动率的时域估计和频域估计结合起来，得到了一个 更有效的估计；而另一种同样融合这两种信息的b a y e s 方法，由于其权值是静态 的，不随时间变化，不能很好地反应利率的波动。在下一章中，我们将对r 0 7 d 进行实证分析，同时与其他波动率的估计方法作出比较。 2 l 第4 章中国银行间市场7 天同购利率的波动率估计 第4 章中国银行间市场7 天回购利率的波动率估计 为方便计，我们将采用表4 1 中的缩写来表示对应的波动率估计方法。其中 前两种方法可以在f a n & g u ( 2 0 0 3 ) 4 中找到，第一种是直接借用历史数据的标 准差来估计波动率，第二种用的是j e m o r g a n 1 2 】的风险度量方法，其中指数光 滑参数为0 9 4 ；推广的时间相依c k l s 模型可参看f a n ( 2 0 0 3 ) 8 1 。 表4 1 几种波动率估计的记号及描述 缩写 方法描述 用历史数据波动的标准差估计波动率。 r i s k m j p m o r g a n 的风险度量方法。 g a r c h 广义自回归条件异方差模型，g a r c h ( 1 ，1 ) 。 c k l s 推广的c k l s 模型( f a n ，2 0 0 3 ) ，系数依赖十时间。 n o n b a y 非参数b a y e s 方法( 3 1 4 ) ，九= 0 9 4 i n t e g 时域和频域的动态加权估计( 3 1 0 ) 4 1 波动率估计的指标 为了可以比较各种波动率估计方法的优劣，我们引入以下三种指标( 其他 指标可参见d a v 6 & s t a h l ，1 9 9 7 ) 【2 】： 第4 章中国银行间市场7 天回购利率的波动率估计 超出置信区间的比率( e x c e e d e n c er a t i o ，e r ) 这个指标衡量的是给出的估汁超出水平口置信区间的比率。在j 下态模型下， 给定波动率的估计6 2 ，超出置信区间的比率( e r ) 计算如下： f + r t l e r ( o t 2 ) = m 一1 ，( 所 0 使得e i p ( b ) 1 2 ( p + 6 ) l 且e l a ( r ，) 1 2 ( p + 6 ) l 对任意