（电力系统及其自动化专业论文）电力系统无功电压分析.pdf

查查查堂堡主兰垡丝塞! ! 墨 a b s t r a c t w i t h 血er e a l i z a t i o no ft h ef u t o r ec h i n e s ei u t e r c o n n e c t e dp o w e rs y s t e m s ，t h ep o w e rn e t w o r kb e c o m e s l a r g e ra n dv o l t a g eb e c o m e sh i g h e r p r o b l e m s o c c u r r e dr e c e n t l ym a k et h er e s e a r c h e ra n do p e r a t o rt or e c o n s i d e r t h ev a r v o l t a g e c o u t m lp r o b l e ma n di t si n f l u e n c et ot h ep o w e rs y s t e m s a l ls o r t so f a l g o r i t h mi ns o l v i n go p t i m a lr e a c t i v ep o w e r i ss t u d i e da n d a n a l y z e da n dt h e i ra d v a n t a g ea n d d i s a d v a n t a g ei sp o i n t e do u t t h ep r o b l e mo f r e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o ni si n f e a s i b l ei ns o m ec a s e s w h i c h i e a d st ot h ev o l a t i l i z a t i o ni ni t e r a t i o no fp r i m a l - d u a li n t e r i o rp o i n tm e t h o di nt h ep r o b l e m t h i sh o m o g e n e o u s i n t e r i o r - p o i n tm c t h o di su s e dt os o l v et h er e a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n t h ep r o p o s e dm e t h o dc a nd e t e c tt h e i n f e a s i b l ep r o b l e me a s i l ya n di ti sa l m o s ta se f f i e i e n ta sp r i m a l - d u a li n t e r i o rp o i n tm e t h o d t h ec a l c u l a t i n g r e s u l t so f i e e e 3 0 一n o d es t a n d a r ds y s t e ma r ed i s p l a y e d a n d i ts h o w s t h a t t h i s m e t h o dc a l l b e u s e d i n p r a c t i c e t h ev o l t a g es t a b i l l t yp r o b l e mi sa l s os t u d i e d t h e r ei ss t i f rp r o b l e ma n dd i s c o n t i n u i t yp r o b l e mw h e nw e u s ei n t e g r a t i o nf u n c t i o nd u r i n gs i m u l a t i n gt h ev o l t a g es t a b i l i t yi np o w e rs y s t e m s v a r i a b l e - s t e pi n t e g r a t i o n m e t h o di su s e dt os o l v et h ep r o b l e mo fs h o r t - s t e pa n dl o n gt i m es p a na n dr e d u c et h ec o n n e c t i o ne r r o r t h e m e t h o dt os o l v et h ep o w e rf l o wi ns i m u l a t i o no f v o l t a g es t a b i l 姆i sd i f f e r e n t ，t h ei t e r a t i o nd i r e c t i o ni sg i v e n o u tw h e nt h ej a c o b im a t r i xi ss i n g u l a r i t yu s i n gt r u s t - r e g i o nm e t h o d t h ef a c t o r st oc a u s ev o l t a g ec o l l a p s ea r e p o i n t e do u ta f t e rs i m u l a t i n gac e r t a i ns y s t e r n k e y w o r d s ：r a c t i v ep o w e ro p t i m i z a t i o n ，h o m o g e n e o u st h e o r y , i n t e r i o rm e t h o d ，t r u s t - r e g i o nm e t h o d s ， v o l t a g es t a b i l i t y , v a r i a b l e - s t e pi n t e g r a t i o nm e t h o d i i 东南大学学位论文 独创- 陛声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所里交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意。 研究生签名：徐l 垃 日期：2 0 0 4 3 二、关于学位论文使用授权的声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括干0 登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括于登) 授权东南大学研究生院办 理。 研究生签名：徐绽导师签名：1 舭了 日期：2 0 0 4 3 查堕查堂堡主兰鱼堡苎堕鱼 绪论 1电力系统无功功率控制的意义 随着电力工业的发展，电力系统朝着大容量和大用户的大系统发展，无功和电压问题已经不仅仅是 一个供电质量问题，而是关系到大系统安全和经济运行的重要问题。 1 无功功率分布对电压幅值的影响 以图i - l 所示的简单传输线路为例加以说明。在不考虑输电线的对地电容时，从节点i 输送到节点 j 的功率为p + j q ，节点i 和节点j 的电压分别为和u ，节点i 和节点j 之间的支路阻抗为r + 工v 。 节点电压1 日j 阳天糸力： 抚身。+ 半+ ，半 = u j + a u + j s u 在超高压电力系统中，线路电抗远大于线路电阻 玉如i + 等+ j 等 因而上式可写成 用0 和u j z o 分别代表线路两端的电压，则由( 2 ) 式可得 d ：竺堡竺里二堕 。x p + j q 当线路两端的相角差较小时有c o s oz1 ，所以有下式 q ：坐霉坐 ( 4 )。 z ( 2 ) ( 3 ) 由( 4 ) 可知：无功传输的大小取决于电压的幅值，传输方向由电压高的一端流向电压低的一端， 并且无功和电压的耦台较强。由( 1 ) 、( 2 ) 可知：无功的传输将引起电压的跌落，当传输无功较大时 电压的幅值有可能不满足要求。 2 无功功率在线路中传输引起附加损耗 传输无功功率所产生的无功功率损耗按下式进行计算川： 1口 q o = 吉【( u ，一u ，) 2 + 4 u u js i n 2 习 ( 5 ) 其中a q o 为线路的无功损耗，其他符号的含义同( 1 ) ( 4 ) 式。 可见经电抗传输无功时产生的无功损耗有两部分：一部分是因为沿电抗传输有功功率( 曰 0 ) ， 这是不可避免的；另一部分是因为经联络阻抗传输了无功功率( u j ) 。可见减少线路的无功功率 传输可以减少系统的无功损耗。另外，从有功功率损耗的计算公式p = ( ，+ q 2 ) r u 2 可见，当无 功功率和有功功率通过输电线时都会产生有功损耗，减少系统的无功网损的同时也减少了系统的有功损 查堕查堂堡主堂堡丝兰堕鱼 耗。 3 无功功率对电压稳定的影响 近些年来，在世界范围内发生过许多电压失稳事件。大型互联系统在故障状态下容易发生大的潮流 转移，引起无功支撑能力较弱的负荷区域发生电压崩溃，并产生恶性的连锁反应a 如何防止这类事件的 发生，如何合理的对系统无功功率进行静态和动态的支撑已经成为一个迫在眉睫的问题。 2电力系统无功控制的手段 电力系统无功控制的主要手段有： ( 1 ) 改变发电机的机端电压。应用发电机调压是不需要另外增加投资的调压手段。发电机端电压由励磁 调节器控制，改变调节器的电压整定值即可改变端电压。发电机的电压与发电机的无功输出密切相关。 增加发电机的端电压的同时也增加了发电机的无功输出；反之，降低发电机的机端电压，也就减少了发 电机的无功功率甚至进相运行。因此，发电机的端电压的调节受发电机无功功率极限的限制，当发电机 输出的无功功率达到其上限或下限时发电机就不能继续进行调压。发电机的无功输出和发电机的有功出 力有关，有功出力较小时，无功的调节范围较大调压能力较强。多台机组进相运行时还会影响系统的 稳定性，必须做大量的稳定计算才能进行。 ( 调节变压器变比。通过切换变压器的分接头来改变变压器的变比，可以调节变压器高压侧和低压侧 的电压，进而对系统的无功重新分配，使得在满足调压要求的同时减少系统的有功和无功的损耗，提高 经济效益。但需要注意的是，调节变压器分接头只能改变无功的分布，而没有产生无功注入。因此，只 有在系统无功相对充裕的时候，采用变压器调压才能奏效；在系统无功匮乏时，不合理的分接头调节将 是系统电压崩溃的重要原因之一。在现行的运行规程中，要求系统无功功率不足时首先考虑调节无功补 偿设备，然后进行分接头的调节。 ( 3 ) 应用无功补偿装置调节电压。在电力网适当节点接入并联无功补偿装置，实行就地补偿无功功率， 能够减少系统的无功流动，进而减少系统有功和无功损耗，提高系统的电压水平。在负荷节点配置补偿 电容器，实现无功的就地补偿；在高压输电线配置并联电抗器，平衡线路在轻载时的过剩无功，防止轻 载时系统过电压。这些做法在已经在实际的电力系统中广泛使用。随着电力电子技术的发展，新型的 f a c t s 装置的出现，为电力系统无功调节提供了新的手段。静止无功补偿器( s v c ，s t a l i cv a r c o m p e n s a t o r ) 和静止调相器( s t a t c o m ，s t a t i cc o m p e n s a t o r ) 作为f a c t s 家族中最重要的成员。已经 在电力系统中广泛使用。这些电力电子无功补偿设备的优点是；与旋转同步调相机相比，结构简单，无 转动部件，损耗小；与用真空开关切换的电容器相比，具有无级调节、动态响应的能力。另外，由于 f a c t s 装置响应速度快，因此在送端和受端较为独立的系统中，具有动态支撑电压的能力，对电压稳 定具有特殊的意义。 ( 4 ) 目前有些系统还配置了多级调压系统来处理电压问题。在这样的系统中，把调节局部节点电压的设 备，即在以上( 1 ) 一( 3 ) 中所提及的调压手段作为一级调压系统，并且在此基础上，根据系统的全局状 态( 区域网或地区网) 对一次调压设备进行协调控制，以达到区域安全稳定和经济运行的要求，作为二 级调压系统。三级电压控制处于最高层，是对全系统的控制，由系统控制中心来执行。三级电压控制监 视全系统的电压，以全系统的经济运行为优化目标，并考虑稳定性指标，在紧急情况下可以采取一些紧 急控制的措施，通过二级控制系统的紧急控制手段，实现直接控制。已实际运行的系统有法国电力公司 的二次电压控制系统。 3 电力系统无功优化 由以上的分析可知，对电力系统无功电压进行控制具有十分重要的意义。无功优化就是运用上述各 种无功调节的手段，通过对电力系统的无功电源的优化配置和无功潮流的优化运行，使得系统在满足各 种运行约束和稳定约束的同时，系统具有最小网损或得到最大的经济回报。 - 2 东南大学硕士学位论文 4 本文的主要工作 本文对电力系统的无功优化问题进行了详细的研究和讨论，对区域电网无功优化运行中存在的问题 进行了分析和探讨，对无功优化约束中的电压稳定问题进行了初步的研究和探讨。本文所做的主要工作 如下： 研究和分析了无功优化各种算法的优点和存在的问题 运用同伦内点法求解电力系统无功优化问题，解决了无功优化算法在实际运行中可行域不存在时算 法无法收敛的问题。 通过引入信赖域的概念，解决了将非线性问题线性化处理时的精度问题。 对电压稳定问题进行了初步的研究和探讨。分析了电压稳定动态仿真积分过程中遇到的“刚性问题” 和“不连续问题”，运用变步长积分方法解决了“刚性问题”中“小步长”和“长时间域”的矛盾 以及“不连续问题”中的交接误差。 分析了电压稳定仿真中的潮流求解问题应用信赖域方法给出了j a c o b i 矩阵奇异时牛顿法的迭代 方向。 对电压崩溃进行了仿真模拟，分析了导致系统电压崩溃的原因。 东南大学硕士学位论文 无功优化的基本理论 第一章无功优化的基本理论 1 1 无功优化的基本概念 电力系统运行的首要任务是向用户提供可靠、优质、安全的电能。随着电力系统规模的不断扩大， 电网的互联加强，电力系统的复杂程度和自动化水平也越来越高，这些都需要有更加灵活的控制方法。 能量管理系统( e m s ) 把现代通信技术、计算机技术和系统分析技术应用于电网调度，由于它能兼顾 电力系统的安全性和经济性，因此，自1 9 6 0 年e m s 被提出以来，得到了很大的发展。最优潮流( o p f ) 是e m s 的重要功能之一。由于电力系统有功和无功可以解耦，因此最优潮流问题可分为有功优化子 问题和无功优化子问题。现代电力系统的发展，尤其是电力电子技术的发展为电力系统无功控制提供 了更多的手段，无功优化可以兼顾系统的经济性和安全性正越来越受到人们的重视。 无功优化问题一般分为无功电源的优化配置和无功潮流的优化运行两个子问题。无功电源的优化 配置是指在满足系统的调压要求和电压稳定的基础上，对系统中无功电源的类型、位置和容量进行合 理的配置，使得系统的某一指标，如系统网损、投资回报等达到最优。无功潮流的优化运行是指在一 定的系统运行方式下，通过现有的调节无功的手段，使得系统的无功潮流达到晟优的分布。合理的无 功电源配置是无功优化运行的基础。 无功优化的数学模型表示如下： m i n f = f ( x ，“) 占上 g ( x ，“) = 0 h ( x ，吖) 0 式中，f = f ( x ，“) 为目标函数。典型的目标函数有；系统网损最小、电压质量最优、无功投资回 报最大等。 ”为控制变量即调度人员可以调整和控制的变量。常用的控制变量有： ( 1 ) 除平衡节点以外其他发电机的有功输出。 ( 2 ) 所有发电机节点及安装可调无功补偿设备的节点的无功出力。 ( 3 ) 可调变压器变比。 ( 4 ) 可投切的并联电容器电抗器组。 x 为状态变量即由控制变量和负荷状态唯一确定的其他变量，常见的有： ( 1 ) 除平衡节点以外的其他所有节点的电压相角。 ( 2 ) 除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之外的其他所有节点的电压模值。 也有文献中将发电机节点及具有可调无功补偿设备节点的电压模值作为控制变量的，则他们相应 节点无功出力就要作为状态变量。 等约束条件g ( x ， ) = 0 为潮流平衡方程。 不等约束条件h ( x ，“) s0 包括以下几方面 ( 1 ) 支路潮流约束： ( 2 ) 发电机出力限制； ( 3 ) 节点电压限制： ( 4 ) 可调变压器变比限制； ( 5 ) 并联电抗器或并联电容器投切容量限制。 4 1 2 无功优化发展的历史和现状 1 9 6 2 年，法国学者j c a r p e n t i e r 首先提出了建立在严格的数学基础之上的以非线性规划法为工具 的经济调度问题1 2 】，揭开了最优潮流的篇章。随后，1 9 6 8 年h w d o m m e l 和w e t i n n e y 提出了简化梯 度法解决有功和无功优化问题p 1 ，这是国外出现最早的较有影响的无功优化算法- 对后来的研究产生 了很大的影响。自无功优化的概念出现以来，国内外的学者几乎将运筹学上的各种优化方法都在无功 优化计算上作了研究、尝试和应用。已作的研究工作归纳起来主要有以下几种：简化梯度法91 ，该 方法是建立在牛顿法潮流计算基础上的第一个成功的o p f 算法，但收敛性较差；逐次线性规划方法 这类算法将o p f 问题转化为线性规划( l p 1 i n e a rp r o g r a m m i n g ) 子问题求解，不需形成h e s s i a n 矩阵， 应用较为广泛：逐次二次规划方法 5 1 ，其目标函数采用= 次模型，并对约束线性化处理，求解二次规划子 问题。求解精度较高；直接满足k u h n - t u e k e r 条件的非线性规划方法搠；内点法f 7 l 。表1 1 对各种传 统的优化方法进行了比较t s ! 。 表l 一1 经典的无功优化算法比较 、性能比较 经典算薹 优点缺点 在接近最优点时会出现最速下降搜索方法的锯 梯度 原理最基本，最简单齿现象：对罚函数和梯度步长的选取要求严格， 类算法 收敛慢；不能有效处理函数不等式约束 非线性牛顿可以很好地利用电力系统导在处理不等式约束方面不够成熟，尚不能有效处 规划法法纳矩阵的稀疏性理无功优化中的大量不等式约束 计算速度和问题规模呈多项 内点法式性质，适合于求解大规模无 启动点的选择困难，步长控制复杂，壁垒函数选 功优化问题，可方便处理约束 取复杂 优化精度较高；可方便处理各计算时间随变量和约束条件数目的增加而急剧 二次规划法 种等式和不等式约束 增长：在求临界可行问题时可能导致不收敛 单纯型 数据稳定，计算速度快收敛 线性 法 可靠便于处理各种约束条 将目标函数线性化后误差大，精度不高，需不断 规划 件；理论上比较完善成熟 进行多次潮流计算，敞计算效率不很高 法 多项式时间可解性，算法收敛 内点法可靠，便于处理各种约束条 启动点的选择困难，步长控制复杂，计算精度不 高 件；理论上比较完善成熟 在众多的无功优化算法中，二次规划和线性规划方法理论上较为完备，收敛性较好；非线性规划 方法理论上尚不成熟，在应用过程中存在收敛问题。与二次规划方法相比，逐次线性规划方法具有不 需要形成二阶的h e s s i a n 矩阵，迭代过程可以根据用户指定的精度而终止的优点 9 - 1 1 】，并且1 该方法可 以获得与直接非线性规划方法相当的优化结果 ”。因此，逐次线性规划类算法在实际工程中应用较为 广泛。 线性规划方法中的单纯型法是发展最早应用最广泛的一种算法，但是该算法在计算大规模数值问 题时存在一些致命的缺点：单纯型法不是时间多项式算法。所谓时间多项式算法是指用种算法求解 某一问题时，在最不利的情况下，所需的时间与问题的规模之间满足某种代数多项式关系。如果这个 多项式的阶数不是很高，则可以认为计算时间随问题的规模增长不显著”1 。1 9 7 2 年，v k 1 e e 和g m i n t y 证明，单纯型法不是时间多项式算法，他们构造了一类线性规划问题，用单纯型法求解所需的时间为 查塑查堂堡主堂堡堡苎； 一皇至坠型型堡! i ! ：! 鳖 0 ( 2 u ) ，即与问题的规模呈指数关系。单纯型法的基本思想是从一个顶点开始，每步迭代中移向一个 更好的顶点直到寻得最优解或证明不可行。在这个算法中，由于仅沿着棱搜索相邻的顶点，每步迭代 的计算量很小。但是，正如k l e e m i n t y 例子所说明的，单纯型法可能要沿着可行棱的边界走很长的路 程，几乎走遍所有的顶点才能停止。由于大型应用问题的可行域可能会有非常多的顶点，这可能导致 这种边界法要耗费巨大的计算量。 x a x 0 图i - 2 内点法和单纯型法寻优方向比较 为了减少迭代的次数，内点法在可行域中沿着最短的路径移动，如图1 - 2 所示。然而，这种内点 法在每步迭代中为了找到最好的移动方向通常要考虑所有的可行方向。换言之，内点法以每步迭代较 大的计算量来换取较少的迭代次数。 表1 - - 2 人工智能算法在无功优化应用中的比较p 1 、 性能比较 人工智能；藩、 优点缺点 所需c p u 时间过k ，且随系统 模拟退火法( s a )无功优化的全局收敛性好 规模扩大及复杂性提高而增加 现代遗传算法( g a ) t 1 4 。q 能最大概率地找到全局最优解：可对大型电力系统进行 启发 避免维数灾问题，占用内存少优化需花赞较长的时间 式算 需要的迭代次数比s a 和g a 等少， 禁总搜索算法( t a b u易收敛于局部最优：只适于解决 法 搜索效率高；不需要使用随机数， 搜索法)配电网无功优化等纯整数规划问题 对大规模的复杂优化问题更有效 蚁群寻优算法 ( a c o ib i ) 可避免过早收敛于局部最优适用范围不广 目前尚缺少针对无功优化 人工神经元网络算法计算时间大约为线性规划的一半 问题的训练算法，易陷入局部虽优 现代人工智能方法可以方便的处理离散变量的优化问题。相关的文献对人工智能算法在无功优化 中的应用作了理论上研究和工程上的实践。表1 - 2 对现有的各种人工智能算法在无功优化应用中的优 缺点进行了比较。人工智能方法的相同缺点是速度较慢，不适合于求解规模较大的无功优化问题。 在经典的优化算法中，一般将所有的控制变量和状态变量作为连续变量来处理，实际上无功优化 的某些控制变量如并联电容器、电抗器是离散变量，无功优化本质上是非线性混合整数规划问题。但 由于在工程应用中并不需要求得严格最优解，因此可以将离散变量先作为连续变量来处理，应用上述 的优化方法求得结果以后再进行离散化处理。 查堕查堂堡主堂垡堡苎； 垂堡垡些堕苎苎! 里鱼 1 3 无功优化算法的几点讨论 评价和选择一个无功优化算法一般从以下几个方面进行考虑i l m ： ( i ) 问题规模 在讨论各种算法的优缺点时实际上已经论述了这样一个问题，即需要根据无功优化问题的规模和 性质来选择合适的优化算法。举例来说当无功优化问题的规模较小，控制手段仅有可投切的电容器 和电抗器时人工智能算法可以很好的满足要求：当需要考虑整个区域网甚至整个系统的无功优化问 题，控制手段较多，既有连续调节的发电机调压装置和装设的电力电子设备s t a t c o m 、s v c 等，又 有离散的控制变量如并联电容器、电抗器和可调变压器分抽头，就应该采用逐次线性优化法来求解。 一个适当的优化算法应在可以接受的时间内给出优化的结果。 ( 2 ) 算法的鲁棒性 实际电力系统的运行方式千变万化，因此个好的无功优化算法最优解的获得必须对所选择的初 始值和网络的运行方式不敏感。解的变化要和系统的运行状况和约束条件相适应，这就是要求算法具 有较强的鲁棒性。“一个鲁棒性好的算法应该是可靠的、稳定的并且是不受故障影响的。只要解存在， 它总能找到解否则，明确的指出解不存在。鲁棒性并不需要一定和算法的速度、精度或其他相抵触。 鲁棒性好的算法也不应该因对其不适当的应用而受到损害。” ( 3 ) 无解的处理 在无功优化计算中，无解的情况是指问题不存在同时满足所有约束条件的解，在优化理论中称为 问题不可行。不同的算法。无解情况出现的频率也是不同的，但在整个无功优化的功能设计和算法选 择中必须要考虑无解问题。一个好的无功优化应用程序必须在无解时能够自动的迅速的准确的得出结 论，尤其重要的是能够指出是算法没有找到可行解还是原问题本身没有可行解。在确定出现不可行情 况后，要指出是哪些约束导致了问题的不可行，并采取相应的措施来给出解决的办法和实际的控制手 段。 ( 4 ) 控制变量的调节数目 所有的优化的算法都是将可用的控制变量全部用于优化过程，而实际上某些控制变量的调整量很 小，优化的效果也不大；另外，实际运行的系统潮流状态不断的发生变化，当前的优化结果不能保证 在相继的时间段中是较优的结果，而各个控制变量的操作实际上都是要付出控制代价的( 比如电容、 电抗器不可频繁投切) 。因此，在优化中需要考虑控制变量动作的控制代价，并对优化结果设定相应的 门槛，当控制所能取得的效果低于门槛时，放弃调整以防止控制设备频繁动作甚至系统发生振荡。 查堕查堂堡主兰垡笙壅 垩旦堕丝堕生鎏查堡皇生墨垦歪i ! ! ! 坐 第二章运用同伦内点法求解电力系统无功优化 2 1 研究背景 现代内点优化算法作为一种具有多项式时间收敛性质的迭代算法是现代优化算法上的一个里程 碑。自从该算法提出以来，已经有许多学者将其运用于电力系统的各种优化问题之中。内点算法又称 为严格可行内点算法，原因是算法由一个严格可行的初始点开始迭代，产生一列严格可行点。然而， 无功优化问题求解中，这样的可行点并不总是容易求得的。首先，如果满足所有等约束和不等约束的 可行解存在时，即可行域不为空时求解初始可行点的方法有m 法和两阶段法。且不论这两种方法在 实际求解过程中的困难，仅就其求解的计算复杂度而言，基本上等同于内点算法本身。其次，虽然在 大多数情况下，无功优化问题都是有解的，即存在满足所有等约束和不等约束的解( 或称可行域不为 空) ，但是，在某些情况下，如对节点的电压限制过严，网拓扑发生变化，无功电源不足或分布不合理， 可能不存在满足所有等约束和不等约束的解，即无功优化的可行域可能为空。在这种情况下，无论初 始点如何选取，都不可能是内点，因而内点算法迭代过程无法收敛。文 2 0 】对原对偶内点算法迭代中 的不收敛问题进行了研究，通过借助于约束的对偶变量和互补间隙提供的信息进行不可行探测认为 互补间隙增大，对偶变量超过一定的阀值，就可能出现不可行。但该方法理论上缺乏一定的完备性， 在实际系统中阀值的选取困难，且通用性较差。目前，另外种研究较多的处理不可行问题的方法是 运用模糊技术。根据电力系统运行特点，将不等约束分为控制量物理限制的硬约束( 如发电机的无功 输出容量、节点的可投切无功容量等) 和运行限制的软约束( 如节点电压上、下限等) 。由于软约柬一 般都留有一定的裕度，因而可以用模糊技术来适当放宽软约束条件。从而使得可行域变大这样平直 启动的初始点就有更大可能落在可行域中，从而改善了内点法的收敛性质。但是，上述方法并不能给 出严格的不可行探测判据，内点算法的迭代收敛效果始终不佳，鲁棒性较差。最近，y e 等人【2 1 1 对线性 规划问题给出了一种同伦内点算法，避免了上述提到的所有问题，圆满解决了线性规划内点算法的初始 点选取这一难题。该方法的思想是将原问题嵌入一个较大的问题中并且通过求解新问题给出原问题 的晟优解或证明原问题可行域为空。该方法的计算复杂度接近原对偶内点法，并且迭代能够可靠的收 敛。 同伦内点算法自提出以来就受到了很多学者的重视，并已经运用于电力系统经济运行中0 2 “。本 文的工作是将线性同伦内点算法运用于电力系统无功优化中，对i e e e 标准数据进行无功优化计算， 并将其与原对偶内点算法进行比较，说明算法的有效性和优越性。 2 2 同伦内点法的数学原理 同伦模型最初是由g o l d m a n 和t u c k e r 引入优化理论中的2 ”。该方法的基本思想是将原线性优化问 题嵌入到一个较大的系统中去，新问题是一个总是存在可行解的优化问题。通过对新问题的求解可以 给出原问题的解或者严格的证明原问题不可行，从而来避开原优化问题的不可行情况。实践证明，同 伦方法在线性优化中的应用是非常成功的2 6 ，2 ”。 以下简要的介绍同伦内点方法的基本原理。 考虑线性优化的标准模型 及其对偶问题 m i nc 7 f s 一f 6( c p ) f 20 8 衷南大学硕士学位论文 运用同伦内点法求解电力系统无功优化 m a xb 1 石 s t a 7 石c ( c d ) f l 0 其中，a r m 。kb r m , c r 。 我们有如下k t 方程 i爿考一z = bf o ，z 0 a 7 万+ 功= c 石o ，脚0 【 b r 万一c 7 f 2 pp o ( 2 1 ) k - - t 定理指出，如果己口分别是原问题和对偶问题的最优解，那么该解必定满足k - - t 方程，其 中对偶间隙p = 0 ，z r ”，c o 月是松弛变量。 若引入同伦变量f ，并且定义 m = 0ab 一爿70c b 7 一c t0 x = ，j ( x ) = z 口 这样就得到一个同伦方程： m x = j ( x ) ， z0，j(x)0(2-2) 注意n m 是反对称矩阵，即肘4 = 一m ，并且有如下定理： t h e o r e m 1 考察原对偶问题( c p ) ，( c d ) 和同伦方程( 2 2 ) ，则有 1 若亭，万是原对偶对的最优解，那么工就是对应于r = l ，p = 0 的同伦方程( 2 ) 的解。 2 若x 是( 2 2 ) 的解，那么必有f = o 或p = o ，即妒 0 是不可能的。 。- 若；是c ：- z ，的解，且r 。，那么( 手，詈 是原对偶对c c p ，c c 。，的最优解。 4 若工是( 2 - 2 ) 的解，且p 0 ，那么原对偶对问题中间必有一个问题是不可行的。 1 一，皂警四条性质可以知道，通过求解方程( 2 ) 就能给出原线性优化问题的最优解或证明原优化问题 不可行。 。一 。5 翌票等枣皂1 2 1 ：孽亨竺，但实际上方程( 2 ) 并不具有这样的性质。通过构造如下优化问题， 就可以得出一个恒存在解的问题。 1 令，= e 一蕊”：n + l m 2 e 刁z = 豳a = 嘲 上式中，e 为i 维全1 列向量，0 为磊全。列向量，五为面的维数。 查塑查堂堡圭兰垡笙兰堡旦旦丝堕生鲨苎塑皇查墨竺i i j ! ! 丝 考察如下线性规划削魁： r a i nq r x ( 2 3 ) s 1 m x 一g 可以证明：x = i 是问题c 2 3 ，的一个可行解”9 1 。并且我们知道 在原对偶内点的中心路径( c e n t r a l p a t h ) 方法中，对于任意o 存在唯一的原对偶对的最优解x ( ) ，s ( ) 。当o 时，就得到了问题 ( 2 - 3 ) 的最优解，并且此时口= o 。因此，该最优解又是问题( 2 - 2 ) 的解。这样，原优些粤璺。! ! ：! ( c d ) 就变成了用中心路径的方法求解问题( 2 3 ) ，而问题( 2 - 3 ) 是始终有解，从而完成了算法的 构造。 关于中心路径的迭代求解方法很多，本文所采用的是文【2 8 中所提出的方法，该方法的计算复杂度 为d ( 百i nn ) 。迭代算法如下： 设s 。是迭代精度，。 口 1 是步长参数( 参考值为目= i 击) 1 赋初值x = 8 ，= 1 。 2 且按下式计算x ： 出：2 ( d i a g ( 厮) + m d i a g ( 厮) ) 一1 ( e 一厮) 更新x ，的值，x = x + a x ： = ( 1 一p ) 卢 其中d i a g 表示把向量转为以该向量元素为对角元的同阶矩阵。和运算为向量对应元素相 乘除。 3 若”“ s ，则计算结束，否则转2 。 2 3 算法所使用的物理模型 2 3 1 目标函数 无功优化的目标不同，就有不同的目标函数。一般而言，目标函数是一个包含控制变量和状态变 量的非线性函数。经典的目标函数有以下几种： ( 1 ) 全网有功网损最小，即 m i n e , o o ( 2 ) 系统电压质量最优 在般的无功优化程序中一般将电压质量作为约束条件，而目标函数是某一经济指标。这样出 来的时候，容易使得电压运行在极限值，通常是使得系统电压运行在电压幅值上限，这显然是不利于 系统设备安的。另外，在系统某些紧急状态下，经济性已经降低到次要地位，系统的安全性要求是系 统运行的焦点问题。在这些情况下，我们通常希望能够得到较高的电压质量胜过系统的经济运行。因 此我们选择电压和某安全电压的偏差最小作为我们的目标函数，可表示为如下形式： 10 查堕查堂堡主兰垡堡塞 鎏旦旦竺堕生苎壁塑塑型坐鍪堑墅i ! 坐 商n 跆薯簪 其中”。是指系统的母线数，l 表示节点j 的电压幅值，巧9 ”表示节点? 上期望的电压幅值，可以根据 系统不同的运行方式设置不同的值，也可以取1 w c ：兰m a x ! l m m ，k “表示在节点上最大允许的 电压偏差k 。“= 一“一一“。 ( 3 ) 无功电源优化配置的投资最小 这类目标函数实际上属于第一章中提到的无功电源优化配置问题。当系统无功容量不足，需要增 加补偿设备。或系统进行规划设计是需要进行无功电源配置时，在满足系统安全和调压的前提下，希 望系统的投资尽量小。此目标函数可表示为： m i n q 巩 k = l q 母线k 加装单位容量无功补偿设备的费用 豌母线k 加装的无功补偿容量； 1 1 加装无功补偿器的节点数。 ( 4 ) 投资回报最大 和( 3 ) 一样属于无功电源的优化配置问题，一般以年总支出一回报来衡量，综合考虑的网损、年 运行维护费用、补偿设备投资和投资回报率等经济因素，表达式形式如下【”1 ： l m i n f ( u ，x ) = ( 世。k 。+ 丘世。+ 肛只，) 既一f 。( 晶一尸) 其中，u 一控制变量：x 一状态变量；q 一无功补偿容量：k 。一补偿设备的年维护费用( ) ；k 。装 设单位补偿容量的综合投资( ；元k v a r ) ：磁一投资回收率( ) ；户一有功电价【元，( k w h ) ；a 只一 补偿电容器每k v a r 的有功损耗( k w k v a r ) ：t 一年运行时问( h ) ：q d 一节点f 的补偿容量( k v a r ) ：。 一全网最大损耗小时数( h ) 。r 和p 为补偿前后系统的有功损耗。 本文作为对一种新算法的研究和尝试，对第一种类型的目标函数进行了计算。 2 3 2 约束条件 为保证系统的安全运行和电能质量，系统状态变量和控制变量应满足以下关系 ( 1 ) 潮流方程约束 一只一v , z v _ ，( g c 。s 嘭+ b fs i n 8 口) = o( i = 1 ，2 3 ，”) 查塑查堂堡主兰垡笙；薹垩旦旦笙堕生茎鲞堡皇_ j ! ；! 墨堕垂i ! ! 丝 线一魏一l _ ( g f s i n o # 一b oc o s o # ) = 0 ( i 2 1 ，2 ，3 ，棚 其中名、岛为节点f 的有功和无功电源注入( 无功注入中包括了补偿装置的注入) ；r 、q t i ，, 3 节点的有功和无功负荷：g 口、b f 为为节点导纳矩阵中的元素；0 口为k 和_ 的相角差a ( 2 )运行限量约束 电压约束 对于顺调压1 0 2 5 u 。 1 0 7 5 u , ；对于逆调压玑i t 1 0 5 玑：对于常调压 1 0 2 u 。s 竹s 1 0 5 u 。 补偿容量约束q “。qs q 。 q 。、q j 。是节点安装的补偿容量最大和最小投入量。 可调电压器抽头位置约束。 抽头位置的最大范围一般为2 2 5 。 2 4 逐次线性化 由以上分析可知，电力系统无功优化问题严格说来是一个非线性的混合整数规划问题。要将该问 题化为一个线性优化问题，需要进行如下处理： ( 1 ) 假设该无功优化问题是一个凸规划问题。若该假设不成立，则通过逐次线性化求得的最优值 只能是局部最优解。 ( 2 ) 假设可投切的电容、电抗器以及可调节的变压器分抽头可以连续调节。该假设在实际运行中 不能成立，因此必须将优化所得的结果进行离散化，规整到最接近的离散值。一般而言，该假设得到 的结果会和最优值有所偏差，但工程实践证明，该偏差在可以接受的范围内。 ( 3 ) 将非线性优化问题在运行点进行线性化处理，得到一个线性规划问题，对该线性规划问题进 行求解，就可以得到原非线性问题的近似解；在新的运行点重复上述线性化过程，直到前后两次优化 的结果误差在允许的范围之内。 ( 4 ) 实际上( 3 ) 中的处理存在一些问题，即由线性优化得到的模型可能已经偏离了进行线性化 处理的初始点，从而导致逐次线性化求解失败。对于该问题的处理，将在2 5 节的信赖域问题中讨论。 基于以上的假设，无功优化的线性化过程处理如下： 线性化的系数矩阵所用的初值是经过潮流计算得到的，即严格满足潮流平衡方程( 但是可以不满 足各种约束条件) 。这样线性化的潮流约束变为 瞄m 口 其中，三：丝望 o ( a u u ) = 蠲 m ：塑 a 臼 ：堂 o ( a u u ) 日：o a p a 臼 ( 2 4 ) “ ，口缸 p。l 1，j b a 东南大学硕士学位论文运用周伦内点法求解电力系统无功优化 a ：堂b ：塑 a 蝣0 , 5 k ，m ，h ，为经典j a c o b i 矩阵元素；k为可调变压器分抽头 “，0 为电压幅值和相角；q ，p 为节点无功和有功注入 若将q ，a p 以节点是否可控为主顺序，以原节点编号为辅顺序，将上述潮流方程重新排列后得到 嘉m h a b 小f a u 州u l 警 船h jp l s o 叫j 矧 捌 a u l u 。 蹦m l - x m r - b 习 r “1r 龇 【口j 姐删k q j ( 2 _ s ) 将潮流方程变为( 2 - 5 ) 以后，可以方便的处理各种不等约束。 胍阱 腿觚鳓 厶蚰l q j 。 再考虑目标函数m i n f ( a u ，a o ，舭) = g ( a q c , a k ) 13 东南大学硕士学位论文 运用同伦内点法求解电力系统无功优化 变压器模型如图2 - 1 所示。将支路记为：k ，( f ，j ) 其中，表示变压器支路的标号，f ，j 表示与支路相 关联的节点。 ik ：l y t i j 卜_ ) _ 二h 图2 - 1 变压器模型 则有： 蝎= o k 2 - 1 k 2 0 ) y r - 一警y n 一警嘞地) ( 2 - s ) 牛( 1 k o - 1 k ) y r * 学 ( 2 - ，) = 0 考虑潮流方程： 只= u i i g - ，+ 盖u ，( g u c o s 8 f + b 0s i n j f ) j ， o i = - u 强+ u f 裂n i s i n 6 4 一b 4 蛐6 j ) o 仅计及一次项，忽略高次项有 牛町g 一啄a g # c o s 毛+ 蛾血驴 日1 - a u 口1 将( 2 6 2 - 8 ) 代入得到： a 。= 言筹= _ 2 u ，2 岛3 + u , u j ( g ，c 。s 磊+ 。i 1 1 万一z 同理可得： a a p 2 意2 u ，u s ( g c o s 8 j i + b o s i n 8 j , ) k 0 2 同理可求得b 矩阵 q t u t a b i + u 口j 粥口s i n 8 i j - a b ic o s 8 , ) 耻篆= - 2 2 k 0 3 + u , u j ( g ，s i n 一忡舭。z ( 2 - 9 ) ( 2 10 ) ( 2 - 1 1 ) ) 6 肚l r 峨从蚣 烈r 刈l 4 nm 盯 查堕查兰堡主兰堡垒苎堡旦旦竺堕立鲨苎堡皇查墨竺墨! ! 垡丝 驴等= u , u j ( g o s i n 屯却。s 训k 2 ( 2 - 1 2 ) 注意到a ，b 是高度稀疏的矩阵，其非0 元素计算公式总结如下： ”豢q u 2 州。硼吲轳。s 磊+ b u s i n 6 盹2 ( 2 - 9 ) 久i i = o a a 塥p j j = u 。u j t g i i e o s 5 ”+ b f s i n 6 j _ 憾 ( 2 - 1o ) k ，= 尝- - 2 魄3 地吖g ”s i n 屯- b v c o s d v m 。2 = 篆= u j u j ( g a s i n 6 旷虬哦k 。 2 5 信赖域方法 ( 2 - 1 2 ) 上一节中已经提到了信赖域的问题。这一节中将对其进行全面的论述并给出解决的办法。 在优化理论中，信赖域方法( t r u