（系统理论专业论文）k次r对称矩阵理论及其应用.pdf

聊城大学硕士学位论文 摘要 发现并利用矩阵的特殊结构对其降阶及其它特殊处理，进而针对相关计算问题设计 好的算法是线性系统和数值代数研究的重要思想和基本方法基于这种思想，本文引进 了两类新的特殊矩阵，即，k 次r 一对称矩阵和k 次r 同余矩阵，对它们的结构及性质进 行了系统的研究和讨论，并解决了两类相关的反问题及其最佳逼近问题证明了k 次r 同余矩阵的线性系统问题可以等价于两个实线性系统问题且其特征问题可转化成两个低 阶实矩阵的相应问题；给出了p r o c r u s t e s 问题有h e r m i t ek 次r 一对称矩阵解的充要条件 以及解的表达式，还通过构造( x ，人) 使得特征值反问题似= x 人有k 次r 一对称矩阵解， 并解决了在这种谱约束下的最佳逼近问题事实上，k 次尺对称矩阵是文 1 ，3 5 3 9 中 a l a n d r e w , w c p y e 等讨论的中心对称矩阵、文 9 ，1 9 ，2 5 q bc h e n 定义的自反矩阵以及文 1 0 ，1 4 ，2 6 中t r e n c h 引入的r 对称矩阵的推广，因而本文所得结果涵盖了上述文献中 的相应结果更为重要的是利用k 次r 对称矩阵的特殊结构可以一次性将其线性方 程组、特征问题、广义逆、奇异值分解、p r o c r u s t e s 问题以及特征值反问题等转化成多 个( 2 ) 低阶子矩阵的相应问题来处理，这在数值计算中的意义是不言而喻的 主要结果如下： 定理a c ”“是k 次r 对称矩阵当且仅当 彳= ( 鼻 只) ( 么。) 。，( 声i 声；) 1 ， 其中 铲 警如乳巍叭一x 胚咖氮 定理令 p 2 【只 一0+ b 一 f 只j ， q 2 1 只 一f + ， f r 一一f rj 则a = b + i c 是k 次r 同余矩阵当且仅当a = 雎q7 ，这里彳，是具有特殊结构的 实矩阵 聊城大学硕士学位论文 定理 若a c “”是k 次r 一对称矩阵；令墨，x 为不全为零的向量组，其中 s 五c 么，l a 0 1 2 广义逆与投影 p e n r o s e ，于1 9 5 5 年，利用四个矩阵方程以非常简单、直观的形式给出广义逆矩阵 的定义设a c ”，x c “一，满足 聊城大学硕士学位论文 _ 二一一 ( 1 ) 么x 么= a ； ( 3 ) ( ax ) = ax ； ( 2 ) x 彳x = x ； ( 4 ) ( 彳爿) h ：x 彳 ( 1 8 ) 定义 1 7 设a c 满足( 1 8 ) 式中四个方程的解彳c ”m 称为彳的 m o o r p e n r o s e 逆，简称m p 逆，记作彳t 看7 7 是 1 ，2 ，3 ，4 ) 的一个非空子集，矩阵x c ”满足( 1 8 ) 式中所有方程标号在 叩中的条件，则称x 为么的一个叩一逆，记作彳”设矩阵么c m 一 的奇异值分解 如( 1 7 ) 容易验证 l 矿( r l 1 m k u ij 川，2 ) ：y ，r 1 k 、| i 三l kj 川卅( r 1 0 ul0 9 ， i l l 即 川卅0k 0 卜 lj 么t = y o - 1 吕 u h = a ( 1 , 2 , 4 ) aa ( 1 , 2 , 3 ) 定义1 8 a c n ，称 尺( 彳) = z c “：x = a y ，y c ”) ( i 1 0 ) 为a 的列空间称 n ( 彳) = y c ”：彳y = 0 )( 1 11 ) 为4 的零空间 定义1 9 设c ”= lom ，z c n 有分解式 x2y + z ，y l ，z m ( 1 1 2 ) 称y 为x 沿m 到的投影用p ，m 表示相应的由cn 到l上的映射，且称 p ，。，为沿m 到三上的投影变换或投影笪子 聊城大学硕士学位论文 定理1 1 0 如果e c ” 是一个幂等矩阵，即，e2 ：e ，则 c ”= r ( e ) on ( e ) ( 1 1 3 ) 定理 1 1 1 设三是c “的子空间，x 是c “内任一向量则在l 中存在唯一 的向量u ，使得 i ix 一“。1 1 2 i ix 一“i | 2 ，v “三，“。， ( 1 1 4 ) 其中ll z il22=xz 对任一z c ”，由定理1 1 1 在l 中所确定的“。，称为x 沿三上到三的 正交投影用p 工表示相应的由c ”到l 上的映射，且称t 为沿l 上到上的 正交投影变换，或正交投影算子显然，罡是h e r m 沈幂等矩阵且有0 = ，一罡 因为aa c ”和 彳a c ”。”都是h e r i ni r e 幂等矩阵，所以 c ”= r ( aa ) on ( aa ) ， ( 1 1 5 ) c ”= r ( a a ) on ( a 彳) ( 1 1 6 ) 1 3 矩阵范数 r 。表示非负实数集合 定理1 1 2 设 ：c ”专r 。 和 y ：c ”专r 。是向量范数定义 忆，：c ”专r o ， 忡忆广，鬟曼。等等= 篡( 川 则称i | ii ，为c ”上的算子范数 常用的算子范数有： i 彳ip 2 = m ，l i a ，：x 1 i 4 x p ，4 c ”。”，p2 = 1 ，2 ， 定义1 1 3 一个定义在c ”上的矩阵范数ij j ，称为酉不变范数，如果 f 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 聊城大学硕士学位论文 1 ) lu 么矿l i = | la| l ，u ，矿为任意酉矩阵， 2 ) i iaif = | faf i2 ，va满足，a ，2k ( a ) = i ( 1 1 9 ) ( 1 2 0 ) 矩阵的谱范数i ：和f 一范数k 是酉不变范数但i 。和l 。不是酉不 变范数如果a 口”有形如( 1 7 ) 奇异值分解式，m i n m ，z ) ，则对于c ”上的 任一酉不变范数l ，有 j j 彳jl = j j f j ( 1 2 1 ) 特别地， a i ：2 ma ，x 仃r ，a f2 1 4 中心对称矩阵与尺一对称矩阵 矩阵a c “”是中心对称的，如果 或是反中心对称的，如果 ( 1 2 2 ) an - i + 1 ，。一+ l = a 玎，1 i ，j n ； ( 1 2 3 ) a n - i + l ，。一+ 1 = 一a 玎，1 i ，j n ( 1 2 4 ) 等价地，如果以是行玎阶次单位矩阵( 即，次对角线上元素全为1 ，其余元素皆为0 的矩阵) ，a 是中心对称( 反中心对称) 矩阵当且仅当j 。aj 。= a ( ，。aj 。= 一a ) 特 别地，对称t o e p l i t z 矩阵就是中心对称矩阵在信息论、线性系统理论、线性估计理论及 数值分析等领域中经常用到中心对称矩阵和反中心对称矩阵 分别用c s m “”和a c s m “”表示复数域上所有n x n 阶中心对称和反中心对称 矩阵组成的集合 定理1 1 4 ( 7 ) 1 ) 如果n = 2 l ，那么 c s m “n = 4 = j # hj j ：m j f im ，日ch 0 ； c 2 5 ， 【， ， f j i f r 7 聊城大学硕士学位论文 f c s m “”： 彳： 【 acs m ”n =a = nu h j ， v ho 【v hj t j l hj i uj l n j l f 1 2 6 ) n ，h c “ “，v c ， ；( 1 2 7 ) a e c i n uh j l v h 0v hj l jf h j l uj l n j n h c j 。l u y c ， ( 1 2 8 ) 定义1 1 5 7 设m ，h c ”。”；j r 是m 阶次单位矩阵；“，c ”；口ec ； p c ”为可逆矩阵令 如= ( 篇p 嚣卜= m 日一p 御- 1 m p ， 2 9 ， 么2 + 1 = b 2m+1= ：菇二口1 ，f p - 1up 一1mpj uhp 、 一p _ u p v 二。m ppj一 _ 。 一 - 1 j 称么：。和彳：。+ 。为广义中心对称矩阵，而称b ：。和b ：。+ 。为广义反中心对称矩阵 若取2 聊阶矩阵既= 古瞄：。 ，可求得q = = 去匕a 且有 “眩= ( 一0 h m0 + h ， 眩= ( m0 一日m 言h ) ； 若取2 m + 1 阶矩阵q ：。+ 。= 去 i q1 0 h 也0 h p 一10p 一1 8 ，可求得 ( 1 3 0 ) chm ， m h h m 一 = 4 。 么 新 m l s 卜 c 甜 彳 = 果 功 聊城大学硕士学位论文 且有 qf ：+ 。= 寺 q 矗+ 。a2 m + l q ：。+ 。= q2 - 1 + 1 b2 m + l q2 m + 1 = 1 0 何 i m h 0 h 0 o 一正v h m h o一尸 i 0h op uu 伍施v h 厄um+h 厄um+h 仪0 h n0 f 1 3 z ) 下面介绍 1 0 】中的r 对称、 r 一斜对称和r 一同余矩阵的特征刻画 定义1 1 6 称矩阵r c ”为对合矩阵，如果r = r 若r ，称r 为非平 凡对合矩阵 定义1 1 7 设矩阵尺是非平凡对合矩阵称矩阵a c “”为尺- 对称( 斜对称) 矩 阵，如果r 彳r = a ( r a r = 一彳) 令厂= d i m 壳r ( 1 ) ，s = d i m 壳r ( 一1 ) 】因为对合矩阵可以对角化并且r i ， 所以一定有r ，s 1 令 p 。，p ，) 和 q1 ，一，g 。)分别是壳只( 1 ) 和hr ( 1 ) 的标 准正交基再令p = a ，p ， ，q = g l ，一，q 。 显然r p = p ，尺q = - q ；p a p = i ， q h q = t 若户= 丛笋，耍= 掣，则( pq ) = ( 声r o t ) 定理1 1 8 a c ”是r 对称矩阵当且仅当 么= ( p q ) 么善p4 三q ( 薹 ， c - 3 3 ， 这里a | p | p = ph 彳p ，彳q q = q 日aq 定理1 1 9 a c ”是r 斜对称矩阵当且仅当 么= ( p q ) ( 彳：p4 占q ) ( 薹 ， c 3 4 ， 聊城大学硕士学位论文 这里a j p q = p n a q ，aq 尸= q ap 定理1 2 0 令非平凡对合矩阵r r “”a = b + ic ，这里b ，c r “n 是r 一同余矩阵当且仅当 a = ( p 这里b p j p = p r b p ，b q q = q r b q ，c | p q = p r c q ，c q p = q ，c p 1 0 ( 1 3 5 ) 、p 坦 一 ，l q q p q c 曰 p p p q 曰c ，jl ， q 聊城大学硕士学位论文 第2 章k 次r 对称矩阵理论 本章定义并刻画了k 次r 一对称( 斜对称) 矩阵和k 次尺- 同余矩阵指出如果a c “” 是k 次r 一对称的( 或k 次r 一斜对称的) 且v c ”是给定的，那么求解肛= v 的问题 和么的特征值问题可降阶为若干维数充分低的矩阵的相应问题利用相关低维矩阵的 相应广义逆可以精确表达彳( 1 ；当r 是正规矩阵时，彳的脚逆和奇异值分解可类似地 得到最后讨论了k 次尺同余矩阵的类似的问题，特别地将其特征问题转化成两个低 维的实矩阵的特征问题 2 1 概念 定义 2 1 ( 9 】) 若r c ”“是广义反射矩阵；即，r = rh = r 则称 a c “”是r 一自反的( 或r 反自反的) ，如果a = rar ( 或a = 一r 彳r ) 定义2 2 ( 1 0 ) 若r c ”是非平凡对合矩阵；即，r = r 一i 。则称 a c “是r 对称的( 或r - 斜对称) 如果a = r 彳r ( 或a = 一r 彳r ) 定义2 3 称r c “”为k 次单位矩阵，如果七是使得r 。= i 。成立的最小 的正整数若r 为常量矩阵，则称r 是平凡的；否则，称r 是非平凡的 定义2 4 若r c “”是非平凡k 次单位矩阵则称a c ”“是k 次尺对 称的( 或r 斜对称的) ，如果尺4r =a( 或rar = 一a ) 定义2 5 若r c ”是非平凡k 次单位矩阵则称a c ”是k 次r 同 余矩阵，如果r 么r = a 例 2 6 设a ，b ，c ，d ，e ，f ，g c ，且al ，彳2 ，r ，p c5 。5 如下： 聊城大学硕士学位论文 a l = r = abcde badce cdbae dcabe fg 0 oo1o o o1oo 1oooo o100o 0 oo01 ，a 2 = ，p = ab ba cd dc 0 5一o 5o 5 - 0 50 5一o 5 - 0 5 fo 5o 5 f 0 5 fo 50 5 f oo0 o 5o o 5o o 5o o 50 o1 可知r 是4 次单位矩阵；4 和4 分别是4 次r - 对称矩阵和4 次r 一斜对称矩阵；p 是列 正交矩阵且尺p = pd i ag ( i ，一1 ，一f ，l ，1 ) 显然，n x n 阶尺- 对称矩阵皿斜对称矩阵) ( 参文献 1 0 ) 一定是2 次尺对称矩阵， 此时r2 = i 。且r i 。；自反矩阵( 反自反矩阵) ( 参文献 9 】) 也是2 次尺- 对称矩 阵，只需令r = r = r 。1 ；中心对称矩阵( 反中心对称矩阵) 就更是2 次r 对称 矩阵的特例，此时尺是次对角线上元素皆为1 、其他位置元素全为零的置换矩阵文献 9 】和 1 0 1 的很多优美结果是本文相应结论的特例 2 2 k 次单位矩阵 我们将使用下面的符号：吼”( 足) 表示n x n 阶非平凡k 次单位矩阵集，即， 孵“( k ) = r c “。“jr = ，。，r2 j 。且r c l 。，1 l k ，c c ) ； w j ( j = 1 ，七) 表示七次单位根，即， 国，：c 。s 堡+ is i n 坐，：1 ，k ( 2 1 ) i kk j 一一 、 对于r 吼”( 尼) ，唆，这里1 z 工尼，表示r 的所有两两不同的特征值； 壳r ( 吆) 表示吒一特征子空间；且记 r 。= di m 壳r ( c oj 。) 】，这里1 口s ( 2 2 ) 定理2 7 若r 吼”( k ) 则存在一个非奇异矩阵p c 舭“使得p 。1rp p p 叩 叩o d c 吲而 c d 而吲 聊城大学硕士学位论文 是一个对角矩阵 证令，吒是r 的所有两两不同的特征值，且它们的代数重数分别为，z 。， n 。因为尺不是常量矩阵，所以1 1 ，乞1 且+ + 乞= 咒令 号4 ，馐) 为壳r ( 丘) ， 1 a s ，的一组标准正交基并令 则有 定义 只= ( 只4 ，甏) ( ，z r j o 阶矩阵) ， r p 。= ，。p 。， p 。p 。= ，如 p a h ，i - i ，( ，一w j lr ) 一 ，= 1 ，a p= 一 1o s ，l q ，( 1 一w ，w k - ) ，= 1 ，口 。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) o o o ， 吒 o o 0；o 眨 聊城大学硕士学位论文 那么 其中1 口，b s 我们有 于是 if 即n2 r ： a = b ， a b ， ( 鼻 只) = ( 声j ；) r ( 2 6 ) ( 2 7 ) 尺= ( 置只) 舭g ( w j , i r j , ，岷乞) ( 声i 声 ( 2 8 ) 因为( 2 8 ) 还可以写为r ：w ，只乒，所以由( 2 6 ) 得 ，= 1 p 一。r = w ，。p 一。，口= 1 ，j 如果r 是正规矩阵，那么 其中1 口，b s 由( 2 4 ) 得 f， n 叩a2 = b ， b ， ( p 1 只) - 1 = ( p 1 只) 且在( 2 7 ) 中，声。= 掣0 = 1 ，2 ，s ) 于是 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) r = ( 鼻p , ) d i 订g ( w ，w 五，气) ( 鼻b ) 何 ( 2 1 1 ) 例 2 8 令r = p d i a g ( i ，一1 ，一f ，1 ，1 ) p ，这里矩阵r 和p 同例2 6 显然r 是 正规4 次尺对称矩阵 引理 2 9 令r 9 1 “( k ) ，p 。，芦。( 口= 1 ，s )由( 2 3 ) ，( 2 5 ) 给出， 且a c ”是任意的那么 1 ) 彳= ( 鼻只) ( 么。) ( 声；声矿 其中a 。6 = p o 日a 圪c ”坫，口，b = 1 ，s 1 4 ( 2 1 2 ) 聊城大学硕士学位论文 r a r = ( 只只) 屹彳。w 厶 ，。，( 声j 声；) 丁， ( 2 1 3 ) 其中a 0 6 = e _ 彳只c 。， a , b = 1 ，s 证2 ) ( 2 1 3 ) 成立，这是因为( 2 4 ) 第一个式子和。r = w 丘。，口= 1 ，s 2 3 k 次r 一对称矩阵特征刻画 我们现在刻画k 次r 对称矩阵类并给出它们的十分有用的性质 定理2 1 0 a c “”是k 次r 对称矩阵当且仅当 彳= ( p 。p ，) ( 么。) bxs ( 芦j p a ，t ) 2 ， ( 2 1 4 ) 其中 厶= r 如黝一舵j b - 0 0 d ”，1 咖氮 证由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 知，r a r = a 当且仅当( 2 1 4 ) 成立如果( 2 1 4 ) 成立， 那么由( 2 7 ) 得 彳( p 。 p ，) = ( p 。 p ，) ( 彳。) ，。， ( 2 1 5 ) 于是如果丘+ 五三0 ( m o dk ) ，那么彳圪= p o a o 。；即，4 。= 掣彳其他情况，以6 = o 这里口，b = 1 ，s 推论2 1 1 若r 吼“( 尼) 有k 个两两不同的特征值，即，s = k 则a c “”是k 次r 对称矩阵当目仅当 4 = ( 只 只) 0 ： 彳t 一1 1 0 a l ，t l 0 oo 0 a 女，t 这里a o 如。= 掣彳最一。( 以= 1 ，k 一1 ) 且如= 掣彳最 ( 2 1 6 ) 若给定x c ”，则存在唯一的向量组x o c ( a = 1 ，s ) 使得 x = 暑五+ + 只以其中x o = 声( 口= 1 ，s ) 这里也，只分别由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 给出 由定理2 1 0 ，我们可得下面重要且有用的结果 聊城大学硕士学位论文 定理 2 1 2 若a c “”是k 次r - 对称矩阵且v = 墨k + + 只圪c ”已给定 那么翩= v 的解( 若存在) 具有下面形式： x = 层五+ + 只以， 其中 4 。叉r 口= 圪，1 口，b s 且：庀+ 以三0 ( m o d k ) 定理2 1 3 若彳c “是尼次r 一对称矩阵；令墨，鼍为不全为零的向量组， 时成立： 4 的一个特征对当且仅当下面两个条件同 1 ) 对所有满足2 t 三0 ( m o dk ) l 拘a = 1 ，s 来说，如果疋0 ，那么( 旯，x o ) 是屯的 一个特征对； 2 ) 对所有满足口6 和丘+ 五兰0 ( m o d 尼) 的口，b = 1 ，s 来说，如果( 霹，霹) 7 0 ， 那么c 纵霹，霹n 是( z 。勺6 的一个特征对 5 证由定理2 1 0 ，若( 旯，p 。x 。) 是么的一个特征对，即， a = l ss 1 11 1 彳己只x 。= 乞只x , 2 ，则a 6 。x 。= 2 x 6 和彳。6 x 6 = 2x 。这里口，b = 1 ，s 满足 a = 1 a = l + 五三。d 尼，若口= 6 ，贝u 以。瓦= k a ；若口6 ，贝u ( 乏6 蔓 = 囊 允 反过来，由a a b x 。= x 。旯得彳咒= 只置a ，这是因为当丘+ 五三o ( m o 歃) 时 an b = p ? a p b 利用- f n 的定n2 1 4 可以求得一个k 次r 对称矩阵的所有特征值 定理2 1 4 若彳c “”是尼次r - 对称矩阵；令妒= d e t ( 4 彦一九t ) ( 如果尼是偶 数) ， 沙2 d e t ( a 聃一兄1 ) ， v = ( 口，6 ) ia ，b = l ，j 满础+ 以= 尼，j o 以和气屯) 则 当1 s k 时 为 疋只 s 硝 丑 m 烬 s 一 口 一 c k 中其 聊城大学硕士学位论文 1 ) 如果k 是奇数，那么 l a ) 若魄诺旯( 尺) ，则 d e t ( a 一心) _ - - ( a ，6 ) i - i 。v ( _ 1 ) 见d e t ( a b a 6 一兄2 乞) ； 1 6 ) 若c o k t ( r ) ，则 d e t ( a 一心) 2 y ( d ，1 6 ) - i v ( 一1 ) a 一d e t ( 屯厶_ 旯2 乞) ； 2 ) 如果k 是偶数，那么 2 a ) 若魄2 诺允( r ) ，则 d 6 t ( a 一鸽) 2 ( 。及v ( 一1 ) 旯讹d e t ( 丸如一a 2 乞) 】； 2 b ) 若魄2 旯( r ) ，则 d e t ( a 一心) 2 缈( d ，f 6 ) iv ( 一1 ) 么a d e t ( a h , a 6 一旯2 乞) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 另外当s = k 时， 1 ) 女l j 果k 是奇数，那么 d e t ( a 一鸽) 2 y 1 6 ) - i 审 ( 一1 ) j o 力一d e t ( a 蚰a b - 允2 乞) ； ( 2 2 1 ) 2 ) 如果k 是偶数，那么 d e t ( a 一力l ) 2 妒少( 。是v ( 一1 ) 允一d e t ( 4 。4 6 一九2 乞) ( 2 2 2 ) 证由定理2 1 0 ，如果4 是k 次r 对称矩阵，那么一定存在非奇异矩阵s 使得 s 一彳s = di ag ( 才l ，一，才，) 如果2j 。三0 ( mo d k ) ， 如果。+ 6 三o ，( m 。d 1 a ，6 s 我们仅证s = 尼且尼是偶数的情形，其它情形可类似证明由条件和( 2 4 9 ) 得 1 、 6 i 以0 4 o 以 ，一 r = 4 中其 一一 聊城大学硕士学位论文 - _ 二= = 一 d e t ( a 一2 i 。) = d e t 一们1 彳t 1 1 o a 1 。t l 0 -ai，0 一1 0 a k ? k 一柚r | 地f ( 彳专，告卅妒帆t 一兄) 。：及v d e t l - a i 一a o b ) 又因为乞乞，所以d p r 一彳2 。1 。屹一a 旯a ，b 】= c 一，旯一d e t c 么。彳。一五z ， 所以( 2 2 2 ) 成立 定理2 1 5 若月孵”( 后) 是正规矩阵且彳c 是七次r 一对称矩阵则彳正规矩阵 当且仅当 彳曼彳。62 彳6 。彳，当。+ 6 三0 ( modk ) ，以，b = 1 ，s 时 ( 2 2 3 ) 证由( 2 1 0 ) 知，如果r 是正规矩阵，那么( 2 1 4 ) 简化为 a2 ( 只只) ( 彳。) 。( 鼻只) h ( 2 2 4 ) 由条件知，么是正规矩阵当且仅当( 彳。) 羔。( 彳。) 。，= ( 彳。) 。，( 彳。) 羔。由定理 2 1 0 可证明结论 我们用b ( a ，6 ) ( 口，b = 1 ，j ) 来i gs s 阶分块矩阵曰的( 口，6 ) 子块；并应用分块矩 阵的广义逆的性质，直接给出下面的结论 定理2 1 6 若j r 孵”( k ) ra ec 是七次尺一对称矩阵则 1 ) 彳uk ( p 。 p 。) ( 彳。) ：! 乞( f j f ；) r ； 2 ) 若月是正规矩阵，则彳+ = ( 只 只) ( 彳。) ：。，( 只 只) h 证 应用( 2 1 4 ) 和( 2 2 4 ) ，可以直接证明1 ) 和2 ) 推论 2 1 7 若r 吼”( 尼) 有尼个两两不相同的特征值，即，s ：尼且a c n 一 是k 次r 一对称矩阵则 聊城大学硕士学位论文 1 ) ao ) _ ( 只 只) 2 ) 若r 是正规矩阵，则 么t _ ( 只只) 0 ； a o ，。) 一l 0 0 ； 4 l t 0 彳! 。0 oo 0 彳艘 彳? “。0 oo 0 彳7 t p _ ： p ? 由此可知如果给定k 次r - 对称矩阵a c “”和n 维向量v c ”，似= v 的解( 若存 在) 和极小范数最小二乘解可分别由( a 。) ，。，的 1 ) 一逆和脚一逆表示 定理 2 1 8 若r 吼”( 七) 是正规矩阵并有k 个两两不相同的特征值，即，s = k 且 a c “”满足( 2 1 6 ) ；令a 。6 = u 。d 。v 。h 是a a 6 的奇异值分解，其中虬和虼分 别是乞0 阶和气气阶酉矩阵，这里口，6 = 1 ，尼满足庀+ 矗三o ( m o c l k ) 则 其中 4 = ：u d i 口g ( d 女一。，。d 。女一。d t ) v ， u = ( p 。一。u 。一。p 。u 。p t u 。) ， y = ( 尸l y l p i lyt ip i 矿t ) 证只斋证明当a + b = k 或2 尼时， 只h 彳p 6 = 只hu d i a g ( d 女- l ，。 d 。卜。d 鼬) yh 只 由( 2 1 4 ) 得，掣彳e = 以。当以，b = 1 ，k 一1 时，有 掣u = ( o 乩o ) ， k - a 彤v = ( o 圪o ) ； b 于是当a + 6 = k 时， p 。h u d i a g ( d k - l ，。d l 扣。玩 y = 虬d 口，。= 如 当a + b = 2 k 时，掣u = ( o ) a n d 彤y = ( o 圪) ；显然有 1 9 一， 聊城大学硕士学位论文 p k h u d i a g ( d k - l ，。d 1 n 。d 肚 y h 圪= u k d k ，= a a 事实上，若r 双”( 死) 是正规矩阵且a c “”满足定理2 1 0 ，a 的奇异值分解式n - - je ha o 。 ( 丘+ 以三0 ( m o dk ) ) 的奇异值分解式得到，这里a , b = 1 ，j 令4 。= 见。咿为 4 。的奇异值分解，其中眈和圪分别是色阶和饶r i b 阶酉矩阵构造与( 以。) 。分块 形式相容的s s 阶分块矩阵移和v 令衫( 口，6 ) = u o ，矿( 日，口) = v o 如果以，b = 1 ，s 满 足 + j b 三0 ( m o d k ) ；否则令u ( a ，6 ) = 0 ，v ( a ，6 ) = 0 于是u 和矿都是酉矩阵且 衫h ( a o 。) 。矿是具有非负对角元的对角矩阵存在刀，z 阶置换矩阵p 使得 p r 扩h ( a 。) 。v p = d i ag ( 仃。，盯。) 其中q o 令d = pr 矿( 彳。6 ) ，。，矿p = diag ( o rl ，一，仃。) ， u = ( 日e , ) o e ，v = ( 只只) 升则u 和y 都是酉矩阵，且彳= u d v 2 4 k 次r 一斜对称矩阵 尽管k 次r - 斜对称矩阵的许多性质司类似地讨论，我们还是给出f 面的定理 和推论2 2 0 ，因为它们对第四部分中讨论k 次r 同余矩阵是很有帮助的本节总是 假设整数k 是偶数 定理2 1 9 a c 一n 是尼次尺斜对称矩阵当且仅当 么= ( p 。 p ，) ( 彳。) 。( 芦；p t - t ，) 1 ， ( 2 2 5 ) 其中 彳扩p o a 如黝4 关菩拱芋，1 啪氮 证 由( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 知，r a r = 一a 当且仅当( 2 2 5 ) 成立如果( 2 2 5 ) 成立， 那么由( 2 7 ) 知 彳( p 。 p 。) = ( 尸。p ，) ( a 。) ，。 于是若丘+ 龙喜且以+ 五芋，则以。= 0 ；若丘+ 五= 专或芋，则么只= 只幺。； 聊城大学硕士学位论文 即，幺。= 掣彳这里以，b = 1 ，s 推论 2 2 0 如果r 吼”( 尼) 有k 个两两不相同的特征值，即，s = k ，那么 a c “”是k 次r 一斜对称矩阵当且仅当 a= p l r ： p t r o o o 4 阜，t 么t 彦 o f ，f 。 l ；l ( 2 2 6 ) l 芦。j 、 其中彳。， 一。= 只么气一。( 口= 1 ，等一1 ) ，a 手+ 6 ，女一6 = p 争4 + 6a p i 一6( 6 = o ，考) 定理 2 2 1 若a c “为k 次r - 斜对称矩阵且v = 弓k + + 只k c 则 a x = v 的解( 若存在) 有如下形式： 其中 x = p lxl + + p ，x ， a 妇x 。= v6 ，以，b = 1 ，s 且t + 以= 喜或警 定理2 2 2 若a c “”为k 次r 斜对称矩阵令 0=det ( a ，正一兄，l ) ；f = det (a4学，学一兄，址) ；4 l 丁，厂三上 = ( 口，6 ) l 口，b = 1 ，s 满足厂l r 胪，。+ 6 = 手或芋) 则1 s k 时有下面结论成立： 1 ) 当忱，( - 0 2 仨j t ( r ) 时， d e t ( a 一2 1 。) = ，1 1 k 、， ( 一1 ) a 一d e t ( a 6 。a 。6 一兄2 j r “) 】； l a 。dj a j 6 2 ) 当魄旯俾) 且( 0 2 诺x ( r ) 时， 4 4 d e t ( a a ，。) = 0 ，职 ( 一1 ) 7 l 允7 l 一d e t ( a 6 。a 。6 一兄2 ，) ； i 口，dj j b 3 ) 当( 0 2 允( 尺) 且纯正兄( r ) 时， 44 d e t ( a 一2 1 。) = f ，i 。- i 一 ( 一1 ) 旯一d e t ( a 妇a 。6 22 ，) 】； l a d l ab 2 1 一 专0 4o ； 卜 4 聊城大学硕士学位论文 4 ) 当蛾，五( r ) 时， d e t ( a 一旯，。) = o r ，骠 ( 一1 ) a 饥一d e t ( a 蚰a 。6 一兄2 ，) 1 a dj 。 t b 定理2 2 3 若么c 是七次尺斜对称矩阵则( 五，p 。彳。) 是彳的 a = 1 一个特征对当且仅当 钆x 。= a x 一。+ 。= 争或等儿6 - 1 ， 其中五，鼍不全为零向量 定理2 2 4 若r 吼“( 七) 是正规矩阵且a c “”是k 次r 斜对称矩阵则a 为正 规矩阵当且仅当 a 私m aba 彳 + 。= 争或芋 6 _ 1 ，一 最后我们给出k 次r 斜对称矩阵的奇异值分解算法不难发现将此算法稍加改造可计 算k 次r 对称矩阵的奇异值分解 算法2 2 5 设r 吼”( 后) 是正规矩阵，a c “”为k 次r 斜对称矩阵求酉矩阵u ， v 和对角矩阵d = di ag ( c rl ，一，盯。) ，使得u av = d 1 ) 输入r ，a ； 2 ) 将r 酉对角化，即，r = ( 鼻，只) d i a g ( c o ，0 9l ) ( 只，只) h ； 3 ) 计算4 。= 掣彳圪的奇异值分解：a 。= u 。d 。v 。 ( a , b = 1 ，s 满足 。+ 。= 争或孚) ； 4 ) 构造与( 4 。) 。相容的分块酉矩阵u ，v ：u ( a ，6 ) = u 。，y ( a ，口) = 圪 ( 口，b = 1 ，s满足。+ 。= 争或芋) ；其他情况，令u ( 口，b ) = 0 ， v ( 口，b ) = 0 ； 5 ) 计算与d = d i a g ( 仃1 ，一，盯。) 置换相似的对角矩阵6 - h ( a 。) ，。，v ；并 计算置换矩阵p 满足pr 扩( 彳。) 。矿p = d ； 6 ) 令u = ( 只，p 。) 扩p ；v = ( 只，只) v p ；即有u a v ：d 聊城大学硕士学位论文 2 5 k 次r 同余矩阵 本部分我们将应用下面的假设 假设2 2 6 正整数k 是偶数；r 吼”( 尼) 是实正规矩阵且有k 个两两不相同特征 值，c o 丘= c o s 半+ is i n 下2 j a r ，以= 1 ，k ；壳j r ( wj 。) ( 口= 1 ，尼) 有由实向量组成 的标准正交基 p l ，一，p ，如) ；a = b + ic ，这里b ，c 都是，z 咒 阶实矩 阵 在假设2 2 6 下，( 2 1 0 ) 蕴涵 ( p 。 p 。) 一1 = ( p 。 p 。) 7 ( 2 2 7 ) 下面的定理刻画了k 次尺同余矩阵类 定理2 2 7 令 p = 嵋 气一，气气+ 。 最一。 f 只 ， q = e 气一。tf 气+ 。 f 最一。 一f 只 则a = b + i c 是k 次r 同余矩阵当且仅当 a=p a ，q 1 其中 这里 a ，= o c l ，圭一1 o c o 0 ： b t l 。l o o b 札号一l o 0 b 丘上 2 2 o 0 一曰札圭+ l o 0 c k ，车+ l oo c k , 冬 。 一b 1 t 一1 o o c 机t l o o ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) b a b = 砰b 只( 口+ 6 = 七或2 尼) ，c 。= e f c e 。( 以+ 6 = 等或警) ( 2 3 1 ) 2 3 丘2 鼻 0 ；o c 一0 o 吼 聊城大学硕士学位论文 a ，b = 1 ，k 和 证如果r a r = an z , r b r = b 且r c r = 一c 因此推论2 1 7 蕴涵 所以 其中 b = ( 只 r ) c = ( 鼻只) a 。= 0 ： b 女一l 。l 0 o c 1 ，圭一1 c “1 0 o 么=b+f c = ( p 1 o f q ，告一。 o o & + 。，告一。 o o 其中和e 6 见( 2 3 1 ) 又因 0 i 0 b lt 2 2 o o o p ) a 。 o b 机扣 0 0 i c h 专+ 1 f c k 妻 。 二 0 ： 0 b t ， 0 p ? ： p ： p ? ： p i ， 只r ： b l 。i l 0 oo 0 b 船 生一1 p = ( p 。p 。) e ( k ，i ) ne ( 以，i ) ， a=1 2 4 r 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) o q ：o ； 一 0 0 “ 生2 c l ：o o ； p 咚o o；艮 圯 b 聊城大学硕士学位论文 ： ( ，一) k r ! - q eki 1 e ( 以，i ) ( p 。p 。) r ， = (，一)兀( 以，) ( ， p 。) 1 ， 口：竺+ 1 旦2 1k 一ll 4 。= e ( k ，i ) 兀e ( 口，i ) a ，e ( k ，一i ) 1 7 e ( 口，i ) ， 4 2 l 口：! + 1 这里e ( a ，吼以= 1 ，k ) 表示将单位矩的第a 行乘以i 所得到的矩阵因此( 2 3 0 ) 成 反过来，如果4 满足( 2 3 0 ) ，其中中间的矩阵4 是实矩阵，那么r a r = a 也因此 有a = b + i c 其中 和 b = p 口b 口| j 一p + p 七b | 七p 七r 利用( 2 4 ) 和( 2 7 ) ( 此时p = p r ) ，很容易证明( 2 3 1 ) 如果给定a o = 1 ，- 1 ，i 或- i ，a = 1 ，k ，任意向量x c “可以唯一表示为 七 x = 万。p 。f 。 a = l 其中i 。= 砰x 百1 ( 以= 1 ，七) 因此定理2 2 7 蕴涵下面的定理 定理2 2 8 若a = b + fc 是k 次尺一同余矩阵且给定 k v = 万口p 。z - 口， a = l 其中 ( “一，唾掣嚷，屯，瓯) = ( - i ，一f ，l ，1 一，1 , - i ) 和v a = t r 瓦1 ( 口= 1 ，尼) 则x2 莩：。万np afa 其中 ( 万l ，万手，万手+ l ，万七一l ，万七) = ( 1 ，1 , - i ，一f ，f ) 为朋= v 的解当且仅当 6丁卜 p 6一七6+ 七一2 b 6+ 豇一2 p 0七一2扣 + r l： p l 2 bp l ： = c 聊城大学硕士学位论文 4 ，( 矿j 可：) 7 = ( 矿j 群) r 定理2 2 8 将求解复n n 阶系统翩= v 的问题转化为求解两个实n x n 阶系统的 问题 么，( 尺e ( i j ) r e ( 膏：) ) r = ( 尺p ( 矿；) 尺p ( 矿：) ) ， 和 a r ( 砌( 膏j ) 砌( 膏：) ) 7 = ( 砌( 矿；) i m ( v r ) ) ， 再者，如果么是非奇异矩阵，那么定理2 2 7 将彳的求逆问题转化为实矩阵4 的求逆的 问题 因为p a = 兄r ( 以= 1 ，s ) ，所以相似的论断同样适用于求解a 的m p 。逆； 即，直接验证可知 x=pa rqt 和y = oa ：p h 满足四个p e n r o s e 条件；因而 aj = oa ：ph 下面的定理2 2 9 中，我们沿用文献 2 中的记号4 考，尼 表示选取分块矩阵 a r 的第喜行和第七列所得到的矩阵；4 睦，k 】表示将分块矩阵a ，的第考行和第尼列所 得到的矩阵去掉剩下的矩阵 定理2 2 9 若彳= b + ic 是k 次r 同余矩阵，则 ( 允，万。尸。f 。) 其中 ( 万1 ，万告，万考+ 1 ，万七一l ，万七) = ( 1 ，1 , - - i ，一f ，f ) 是么的一个特征对当且仅当 1 ) ( 允，( f ；f ：) ) 2 是彳r 丁k ，尼的一个特征对； 2 ) ( 一f 旯，( f j f ；一。f ；+ 。 f ：) ) r 是彳“丁k ，尼7 的 一个特征对 证应用定理