（应用数学专业论文）倒向随机微分方程的数值解法及其在金融中的应用.pdf

宁复大学硕士学位论文中文摘要 摘要 倒向随机微分方程( b s d e s ) 的研究源于随机控制和金融数学等问题。它作为种蕈要的数学模 型已被广泛地用j 二控制、金融、偏微分办程等领域关一j ：倒向随机微分办程数值解万而的文献却 不多见，由于许多的倒向随机微分方程不能求出解析解，因此对其数值方法的研究具有重要的意 义本文的主要研究内容有如下两方面： l 、本文给出了倒向随机微分方程的半隐式e u l e r 格式的离散方法，并在方程系数满 足l i p s c h i t z 条件下，证明了此种离散方程解的存在唯一性另一方面。利用l e v y 定理和g r o n w a l l ；l 理，证明了离散方程解的稳定性和收敛性，通过实例对算法进行了验证 2 、由于倒向随机微分方程可以解决许多金融问题，所以研究倒向随机微分方程具有蓬要的应 用价值，但是许多倒向模型不能求出解析解，因此数值方法是研究其解的重要工具本文讨论的是完 全市场上的未定权益问题，主要足以期权定价为例，给出了期权定价方程的半隐式e u l e r 离散格式，并 用一个实际算例验证了我们的算法 关键词：倒向随机微分方程；收敛性：稳定性；g r o n w a l l 弓 理 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t b s d e sa r cc o n s i d e r e df r o mi s s u e ss u c ha ss t o c h a s t i cc o n t r o la n df i n a n c i a lm a t h w h i c hh a sb e e n w i d e l yu s e di na r e a so fc o n t r o l ，f i n a n c ea n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sa ni m p o r t a n tm a t h e m a t i c a l m o d e l , b u tt h es t u d yo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o no fb s d e si sl i m i t e d ，b e c a u s em a n yb s d e sc a nn o tg e tt h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n s oi ti se s s e n t i a lf o ru st os t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o do fb s d e s t l l i sp a p e rm a i n l y d i s c u s s e st h ef o l l o w i n gt w op o i n t s f i r s t l y , t h ep a p e rp u t sf o r w a r dt h ed i s c r e t em e t h o do fs e m i i m p l i c i te u l e rf o r m u l ao fb s d e s ，a n d p r o v e st h ee x i s t e n c eu n i q u e n e s so fn u m e r i c a ls o l u t i o nw h e nc o e f f i c i e n to fe q u a t i o nm e e t st ol i p s c h i t z c o n d i t i o n ，t h e np r o v e si t ss t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eb yu s i n gg r o n w a l ll e m m aa n dl e v yt h e o r e m ，f i n a l l y t h en u m e r i c a la l g o r i t h mi sv e r i f i e dt h r o u g ha ne x a m p l e s e c o n d l y , b e c a u s eb s d e sc a nb es o l v eal o to ff i n a n c i a lp r o b l e m s ，h o w e v e r , m a n yb a c k w a r dm o d e l s a r en o ta b l et og a i nt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n ，s ot h en u m e r i c a lm e t h o di sav a l u a b l et o o lo fs o l v i n gb s d e s t h i sp a p e rs t u d i e st h ec o n t i n g e n tc l a i mo nt h ec o m p l e t em a r k e t a n dp r i m a r i l yt a k e so p t i o np r i c i n ga s a l le x a m p l ea n dp r o v i d e st h ed i s c r e t em e t h o do fs e m i i m p l i c i te u l e rf o r m u l ao ft h ec o n t i n g e n tc l a i m e q u a t i o n s ，f i n a l l y , t h en u m e r i c a la l g o r i t h mi st e s t e db yap r a c t i c a le x a m p l e k e yw o r d s ：b a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；c o n v e r g e n c e ；s t a b i l i t y ；g r o n w a l ll e m m a i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：缄时 间：加穸年多月e t 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 避 瓣 时 间：卅年g 月z 日 时 间：知步年多月2e t 宁夏人学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 倒向随机微分方程的简介 加年代末以来兴起的随机微分方程( s d e ) ，是数学中一个非常热门的研究领域，许多著名的数学 家投身于这一研究领域并获得了辉煌的成果通过研究，人们对自然界的随机现象和经济金融领域 中的风险本质与统计规律有了深刻的认识【l 】1 一直到9 0 年代初这个领域的研究基本上局限于正向 随机微分方程的研究。正向随机微分方程适用于描述和解决随机过程的统计特性问题丽倒向随机 微分方程( b s d e ) 研究的是，在随机或不确定的环境里，要达到将来的预定目标，如何确定当前的状态 和策略作为终值条件的目标是随机的，而获得当前时刻的解是确定的 线性倒向随机微分方程由b i s m u t 2 在1 9 7 8 年提出的，非线性情况的摹本框架是由彭实戈 与p a r d o u x 3 在1 9 9 0 年提出的，如方程( 1 1 ) ，并证明了其适麻解的存在唯一性 1 - d y ( t ) = f ( t ，y ( ) ，z ( t ) ) d t z ( t ) d w ( t )，、 1y ( r ) ：专 u j 这里是一个给定的b 町测的随机变量( 关于耳町测住这里的具体含义是：它是只有到t 时刻 才能确定的营) 方程( 1 1 ) 与b i s m u t 2 】提出的方程的小同之处在于，它除了对w ( t ) 适应的未知过 程y ( t ) 求解之外，还有一个适应过程z ( t ) 也要求解这个z ( t ) 足d w ( t ) 前的系数，也就足布朗运 动对y 的干扰强度即使d 前的系数f ( t ，y ( t ) ，z ( t ) ) 中彳i 含z ( ) ，一旦，确定后，根据y 额度 最终状态，这个干扰强度z ( t ) 也就完全确定，因为e p a r d o u x 和彭实戈证明了在，关于】， z 满足 一致l i p s c h i t z 条件下，方程( 1 1 ) 存在唯一的一对解( y ( ) ，z ( t ) ) o 丁非常巧合的是，1 9 9 2 年，著名经 济学家d u f f i e 和e p s t e i n f a r 中提出了这一方程的个特别典型的情况，不确定环境f 的效用函数应 当由一种新的”随机微分效用”来递归解出，获得了如下特殊情况的倒向随机微分方程 id y ( t ) = ，( y ( t ) ，z ( t ) ) d t g ( t ) d w ( t )，。、 iy ( t ) = 0 名 此时，中的z ( t ) 刻画了效用函数的”风险厌恶”程度但d u f f l e 和e p s t e i n 的理论只能处理，是z 的 平方或，不含z 的两种情况k a r o u i 、p e n g 和q u e n e z 4 1 的文章对此进行了系统的论述，合理地解 释了为什么需要更一般的倒向随机微分方程来刻域效用函数 倒向随机微分方程( b s d e ) 的理论提出后，许多学者就致力与这研究领域，关卡有限维倒向 随机微分方程的理论研究已获得了辉煌的成就，但对无穷维倒向随机微分方程的理论研究还比较 少【5 - i o i ，文献【1 l 】详细介绍了倒向随机微分方程理论的发展及应用倒向随机微分方程作为种币 要的数学模型已用于偏微分方程、金融数学、随机控制、微分几何等领域彭通过倒向随机微分 方程获得了非线性f e y n ma n k a c 公式，从而可以用束处理诸如扩散方程和n a v i e r - s t o k e s 方程等最要 非线性偏微分方程，见文【1 2 】e ik a r o u i 和q u e n e z 发现金融市场的许多重要的派，上汪券( 如期权期货 等) 的理论价格可以片j 倒向随机微分方程解出 i s 一16 i 宁夏大学硕上学位论文 第一章绪论 学者们虽然对倒向随机微分方程的理论有了深入的研究，已获得了大量的成果，但是关于其解 的性质、如何描述其解的形状特征，如何求出其解等问题仍是倒向随机微分方程进一步应用和发 展的关键由于仅仅线性和一些特殊的倒向随机微分方程的解析解町以求f ：，而大多数倒向随机微 分方程的解析解不能解出来，因此，可以将连续型倒向随机微风方程离散化，用其离散解来刻画连续 型解的具体形状和特征是一个行的通的方法另夕卜，由于倒向随机微分方程结构的复杂性，这就要求 在具体的数值评算中：需要解决诸如信息流的结构、b r o w n 运动的离散化、离散解的适应性、收敛 性等问题，这些都是解决离散型倒向随机微分方程的关键环节 1 2 倒向随机微分方程的数值方法 倒向随机微分方程在金融实践中有着很强的应用背景，人们对方程的解的信息还需要更详细 更直观的了解因为很多金融问题( 如障碍期权、美式期权、欧式期权等) 都不存在解析解，所以建 立求解倒向随机微分方程的数值方法成为一个值得关注的问题在倒向随机微分方程数值方法的 研究中。无论从其研究的历史，还是从结果的丰富程度，或是从算法的实现来看都比较落后，因此，研 究倒向随机微分方程的数值方法是。个新兴的，富有挑战性的研究课题，还有很多问题有待于我们 的解决 j m e m i n 、p e n g 和许明字1 1 7 】基于e p a r d o u x 幂1 s p e n g 的位j 向隧机微分方程( b s d e ) ，讨论了离散型 倒向随机微分疗程解的存在唯一，并利用人数定理证明其离散解的收敛件，开拓了倒向随机微分方 程数值解的研究m a ，p r o t t e r , s a nm a r t i n 和t o r t e s 1 8 】用离敝流的方法考虑了以f 倒向随机微分方程 的数值方法 舻+ z 1 ，( 8 热) d s l z s d w s( 1 3 ) 其中是f l 可测的随机变量，f 是l i p s c h i t z 连续函数，w ；是定义在完备概率空间( q ，f p ， 五 t o ) 上五适应的标准布朗运动用二项随机游动m 离散布朗运动w ，m 以互1 的概率增加或 减少击令如= 石i ：i = 0 ，n ，t = 磊1 可以通过e u l e r 差分( 左节点差分) 给出( 1 3 ) 的筹分格式 因此有 皖= f ( m ”) + j ，赡) t 一z 峭 ( 1 4 ) j = i j = i 可z = 皖+ 。+ f ( t i ，可z ) t 一2 嚣咝十。 假设p 是m ( n ) 生成的自然流，求数学期望u f 得 3 ，一f ( t i ? 醒) t = e 可z + 。i 冗) 进行- 次迭代求解得到数值近似方法 链 ( 1 5 ) ( 1 6 ) = f ( m ( ”) ) ，z r = 0 = e 可最+ 。ir ) + i f ( t , ，可z ) ( 1 7 ) = e f 赡+ 。+ 去，( 如，蛇) 一秒z 】( 馏+ 。) 1 i 霸) 一2 一 宁夏人学硕士学位论文 第一章绪论 这种方法依赖于用简单随机游动m c n ) 对布朗运动的近似，使方程的终值条件一般容易实 现，但是这种方法只能得剑弱收敛的结果而且，只能求解生成元，不依赖于z 或者，是z 的线性函 数彭j b s d e ，当，是z 的线性函数时u l 删g i r s a n o v 变换化为不包含z 的情况 1 3 论文的主要内容与创新点 本文研究的是以下形式的倒向随机微分方程 fd y ( t ) = 一，( ，y z ( t ) ) d t + z ( t ) d w ( t ) 【蜥 = ( 1 8 ) 主要内容有以下几方面： l 、简要介绍了倒向随机微分方程及其数值方法的研究现状和应用背景 2 、采用e u l e r 差分格式的数值方法，给j ；了倒向随机微分方程半隐式e u l e r 格式的离散形式，并 证明了离散解的存在唯一性在方程的系数，不包含z 或只是z 的线性函数( 若，是名的线性函数 时可以通过g i r s a n o v 变换化为不包含z 的情况) 的假设条件下，利用l e v y 定理、g r o n w a l l 弓l 理证明了 离散解的稳定性和收敛性，并通过实例对算法进行了说明 3 、利用倒向随机微分方程町以解决许多会融问题，由于会融中的许多倒向模型很难求出解析 解，冈此数值方法是研究其解性质的有利t 具奉义讨论了完全巾场上的未定权益问题，主要是以期 权定价为例，给出了期权定价方程的半隐式e u l e r 差分格式，并通过一个实际算例验证了我们给出 的算法的有效性 创新点： l 、目前，关于证向随机微分办程数值解的研究很多，其理论也比较完善，但对于倒向随机微分 方程的研究，大多文献讨论的是解性质的理论，如解的存在性、唯一性和稳定性等本文给出了倒向 随机微分方程的数值解法，并讨论了其数值解的存在唯一性，稳定性和收敛性 2 、在现有的金融数学模型的研究中，大多都给出的是能求出解析解的倒向随机微分方程。本文 对解析解不能求出的倒向随机微分方程的会融数学模型进行了研究，利用半隐式e u l e r 离散方法，对 一类金融数学模犁数值解进行讨论，并给出数值汁算结果。 一3 一 宁夏人学硕上学位论文第”：章预备知识 2 1 预备 第二章预备知识 本章主要介绍一些必备的知识 定义2 1 1 3 8 j 若一个随机过程彬( ) ，t 0 满足： ( b dw ( o ) = o ； ( b 2 ) w ( t ) 是独立增量过程，即对任意0st o t z t n ，随机变量w ( t k ) 一w ( t k 1 ) ( 1 k 礼) 相互独立； ( b 3 ) 若0 8 t ，贝uw ( t ) 一w ( s ) 一l v ( i t ( t s ) ，盯2 ( 亡一s ) ) 则称( t ) ，t 0 为b r o w n 运动，也称为w i e n e r 过程常数i t 称为偏移系数，口2 称为过程的强 度 若p = 0 ，口2 = 1 ，则称( t ) ，t 0 为标准b r o w n 运动 定义2 2 3 9 】在【o ，翻上定义的随机过程，( ) 称为阶梯函数，如果存在【0 ，纠的划分q = t o t 1 t 。= p ，使得 f ( t ) = ，( 如) ，t i t 件1 ，0 i n 一1 定义2 3 设( ) ，t 0b r o w n 运动，f ( t ) 为在圮b ，p 1 中的阶梯函数，则称随机变量 ，口 n 一1 e f ( t ) d w t = 巾七) p ( m ) 一0 4 t k ) 。o k = 0 为f ( t ) 关t b r o w n 运动u ( t ) 的随机积分，义称为n 6 积分 2 2 非线性f e y n m a n k a c 公式 正向随机微分方程和倒向随机微分办程皿然分别仃各r i 的存在唯一性定理，但两者之f n j 的实 际意义有着霞要的不同存在唯性对正向随机微分方程而言仅农明我们可以掌握系统未来行为 的统计规律，对倒向随机微分办程而吉贝u 意味着我们能够明确地决定现在应该怎样去做以实现一 个给定的将米目标 h 人们讧刻会问：对于个具体的倒向随机微分方程如何算出它的解米? 我们现 在的回答只能是：对一般的情况而二，这仍然是一个末解决的f j 题，对大部分倒向随机微分力程我们 还不能具体计算出其解来幸运的是，对于实际巾常见的些典型情况我们知道如何去解了这是因 为我们获得了一类与正向随机微分办程的解耦合的倒向随机微分办程的解与一类拟线性二阶偏微 分方程的解的对应关系这就是彭实戈于1 9 9 2 年获得的非线性f e y n m a n k a c 公式这在珲论上 引起了婀个方而的作用：一办而是通过与随机微分办程祸合的倒向随机微分办程来表示偏微分方 程的解，另一方面足结合偏微分方稗的方法来解决 我们以下仅就部分耦合的情况介绍一下f e y n m a n k a c 公式对任意给定的( t ，z ) 一4 一 宁夏大学硕士学位论文第二章预备知识 f 0 ，卅冗n ，设过程( 霹，。) t 。s t 是如下扩散型随机微分方程的解 jd 霹= 6 ( 群。) d s + 仃( 鬈，。) d 巩 i 鬈乒 =z ( 2 1 ) 其中6 ( z ) ：舻一舻和盯( z ) ：舻_ 舻d 是给定的函数，使得对任意的( z ，t ) ，方程( 2 1 ) 都存在唯 一的解以下考虑与方程( 2 1 ) 耦合的倒向随机微分方程 鬈21 熙垮”，露j ) d s + “霹) d 叱，s 【以卅 ( 2 2 ) 【蹿# = 垂( 砗j ) p “7 其中，( z ，耖，z ) ：冗n r m 胪d 一胪，圣( z ) ：舻一r m ，且，关于( z ，y ，z ) 满足线性增长条 件，关于( 。，耖) 满足l i p s c h i t z 条件从而对任何的( z ，t ) ，方程( 2 2 ) 有唯一的解( 埒”，鸳，) 当8 = t 时，把垮，可以看作是( z ，t ) 的函数 譬l 。：t = ( z ，t ) ：舻xl o ，刁叶胪，( 2 3 ) 彭在文1 2 1 j 中给出了这一函数与下列拟线性偏微分方程组的解的关系 象+ l 、u + f ( x 川叼垆0 ( 圳凹x 1 0 ，刀 ( 2 4 ) 【u ( x ，t ) = 圣( z ) 、7 其中l 足_ 阶椭圆微分算予，即 肌互1 。n 旦o x i o x 3 + 壹i - - - - 1 坼画0 0 巾神一 其主要思想可以用以下引理来概括： 引理2 5 【2 2 ，2 3 l 若由( 2 3 ) 定义的函数u ( z ，t ) = ( 札1 ，u 2 ，t l m ) 丁扛，t ) 是西1 的，则它也是偏微 分方程( 2 4 ) 的唯一的四1 解；反之，若力- 程( 2 4 ) 有谤1 的解，则解唯一且关系式( 2 3 ) 成立在这两种 情况下我们都有 埒，= 牡( 霹r ，s ) ，冒，。= 盯vt ( 群一，s ) 证明：我们仅考虑如何从( 2 4 ) 式推出( 2 3 ) 若让四1 足( 2 4 ) 的。个解，对 运用j 防公式可得 山( 2 4 ) 式可以得到 ( “( _ 雩a c ，t ，s ) ) t s 。s t d u ( x ；r ，s ) = 【甏+ l u l ( x 爹”，s ) d s + 仃v t ( 义r ，s ) d w ， t l ( x 。，t )= 圣( x ；。) 【謇+ 驯( 邮) d s = - f ( 刚( 即) ，仃v t t ( z 3 ) ) d s 一5 一 宁夏大学硕上学能论文第_ 章预备知识 从而若在( 幸) 中令 埒，= t l ( 群，- ，占) ，露，f = 盯v 札( 群”，s ) ，s 陋，卅， 则湿然有( 1 7 r ，2 善，。) 是倒向随机微分方程( 2 2 ) 的解，r ( 2 3 ) 式成立 证毕 若在( 2 1 ) 中令t = 0 ，b 专0 ，口= 厶仰阶单位矩阵) ，则x 芋，o = z + 巩，此时想要解出倒向随机微 分方程( 2 2 ) 的解( 1 7 ，v ，露，o ) ，只要观察到z + w ：的值，然后代入下式 ( 野0 ) t = 牡舡+ 肌，叭( 霉0 ) 巧= 器 + 职，s ) 江1 ，2 ，仇，歹= 1 ，2 ，n 其中u ( x ，t ) 是下面偏微分方程的解 鲁+ 撕+ ( z ，t ，v t ) = 0 ，o ，) 舻【0 ，邪， lu i ( x ，t ) = 包( z ) 在( 2 3 ) 式中，取m = 1 且，= c ( z 挎+ l ( z ) 此时对 鬈e x p ( c ( 群j ) d r ) 碰用j ；o 公式得 “( 州) = 髟一= e f t t e 印( z 8c ( 鲜q z ( 霹c ) d s + e 圣( 群勺e 印t c ( 霉勺n ( 2 剐 其巾就( z ，t ) 足卜- 列线性偏微分方程的解 孝t 让+ 曼皇+ “= 0 。) 舻f 0 ，t i ， ( 2 6 ) lt ( z ，卵= 垂( z ) 、 ( 2 5 ) 式就是著名f l 勺f e y n m a n k a c 公式 一6 一 宁夏大学硕上学位论文第三章倒向随机微分方程的半隐式e u l e r 差分法 第三章倒向随机微分方程的半隐式e u l e r 差分法 3 1 引言 1 9 9 0 年彭实戈和法国学者e p a r d o u x 给出了如下形式的倒向随机微分方程f 3 j jd y ( t ) = - f ( t ，秒( t ) ，z ( t ) ) d t + z ( t ) d w ( t )，。，、 l 暑，( t )= f 、。 其中，：【0 ，卅xq r m xr m d _ j p 为五的可测过程，w 是d - 维布朗运动，z ( t ) 是布朗运动 对y ( t ) 的干扰强度，是厅可测的随机变量 目前，对于形如方程( 3 1 ) 的倒向随机微分方程，其适应解的存在唯一已有了大量的研究，如彭实 戈和e p a r d o u x 3 1 对于其数值方法的研究，一些学者采用离散流的方法，得到了生成元，依赖于y 的 倒向随机微分方程的数值解a n t o n e l l i 和k o h a t s u 一日i d 0 【2 4 l ，c o q u e t , m a c k e v i c i u s 和m e m i n 2 5 提 i l 了相应的数值方法在他们的方法中，终值泛函的离散不易实现，ma 等1 1 8 】提出的采用e u l e r ( 左节 点) 差分格式的数值方法，本文给出了半隐式e u l e r 差分的数值方法，在方程系数，满足l i p s c h i t z 的 条件下，通过对饰朗运动的离散，证明了倒向随机微分方程离散解的存在唯一性，并在，小包含z 或 只是z 的线性函数时，利用l e v y 定理、g r o n w a l l 引理证明了离散解的稳定性和收敛性 3 2 预备知识 设空间( q ，只五，p ) 是一个完备的概率空问，其中五是山( w s ，s ) 所生成的盯代数，即： 五= 盯 w s ，0 s 班 定义3 1 一个向量值的随机过程义t = x ( u ，t ) 称为五一适应的，如果对于每一个 t 1 0 ，c o ) ，义t ( ) 是关于五可测的随机变量 直观地讲，五代表t 时刻我们所能掌握的信息，而噩是五一可测的适应过程则是说对任何时 刻t o 我们都能确定托在t o 时刻以前的轨线可以这样去理解：对于任何当前时刻t o ，x t 在t o 以前 的行为是完全确定的，而此时过程的随机性表现存o 时刻以后，即将来行为的不确定i ： 定义3 2 一对过程( y t ，魂) 如果满足( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，则称它们为倒向随机微分( 3 1 ) 的解 注l ：我们仅限于讨论给定时间区问【o t 】上的平方u j 积的随机过程 e z t 附d o 。， 其中i 1 表示e u c h l i d 一范数：i z l = ( ? k 1 2 ) 满足以上限制的五一适应的r ”值的随机过稃的 伞体记为m ( o ，正r ”) 它娃然是。+ h i l b e r t 审问方程( 3 1 ) 待求的曲个未矢过程，即：( 玑，盈) 它们分 别取值于r m 和r m d 的半方可积的通虑过程 ( 玑，忍) o t s 丁m ( o ，? ；r m r m a ) ， 一7 一 ( 3 2 ) 宁夏大学硕上学位论文 第三章倒向随机微分方程的半隐式e u l e r 差分法 ( 其中空间矽d 的e u c h l i d 范数是例= ( 打k z r 】) ) 但在方程( 3 1 ) 里我们只对y t 设定终端条件： y r = f ，足给定的关于厅可测的平方可积的随机变量 注：2 这坦岛可测的具体含义是：当将来时刻r 变为”现在时刻”时我们就知这个随机变量具 体取什么值了一个典型的例了是= o ( 毗。，毗：，暇。) ，0 t l t 2 ，t n t 其巾1 2 i ( ) 是( 确定的) b o r e l 可测函数，当然毒也可以取为确定的常数：专= c 胪这相当j 。给将来确定 目标” 定x 3 3 一对过程的唯一性是指如果在m ( o ，t ；r m r m xd ) 空间中，存在两个过程( 计，矗) 和( 赞，彳) ，它们都同时满足方程( 3 1 ) 则有 t tt t 刀i 毋一d l a t = 0 ，e l 露一z j d t = 0 ，0，o 下面我们先对b r o w n 运动进行离散，再给出倒向随机微分方程( 3 1 ) 的离散形式 设 靠) o 七n 为初值岛= 0 的随机序列， t k o k 。为区问【o ，卅的一个分割，定义一族关于 豇递增的信息流( 露) o k s 。，其中 冠= a 咒= 矿，专- ，靠) 这里我们用随机游走来离散化b r o w n 运动，设在时问f 0 ，t i 上有一个d 维的标准b r o w n 运动 ，对时问区间 o ，t 】作划分：0 = t o t 1 t 竹= t ，并记a = m 凹托+ l t t ) ，瞰= 睨一职一1 ，i = 1 ，2 ，礼易得e ( 形) 2 = a t i 当然我们为了以后书写以及证明的方便，我们 取区间的甲均划分，即将区问【0 ，t i 甲均分成n 份，每。小段时问为h = 等，第i 个点记为f i ，对应 的每段时问 ：的位置移动为 、九舒) 1 i n ，其中如= 0 ， 舒) 1 。为独立同分布且取值为有限 个值的，并满足条件：e 嚣= 0 ，d 嚣= 1 进而我们设w ”( t ) = o t 。舒，则易见，当礼_ o o 时，有w n ( t ) _ ( t ) o e ，即w n ( t ) 几乎处处收敛y - 彬( t ) ，对于上面定义的信息流 冠垒咒= 口( 岛，专l ，) 则有咒一五。( 扎一。) 为了方便我们以卜的讨论，如无特殊说明均取维数d = 1 ，下面来对倒向随机微分方程( 3 1 ) 进 行离散 首先对方程 d y ( t ) = - ( t ，s ，( ) ，z ( t ) ) d t + z ( t ) d w ( t ) 两边在f t k ，t k + 1 】上积分得 1 由( 幻= 一 0 , 对v w ，y 2 ，z l ，z 2 及七，总有 f ( t ，y l ，z 1 ) 一，( t ，y 2 ，沈) l c ( i v l 一w l + i z l 一z 2 1 ) 成立，且e 七l f ( t k ，鲰，锄) 1 2 h 0 ，对vy z ，沈及七，总有l ，( f ，y 1 ) 一，( t ，驰) l c 7 ( i v l 一耽i ) 成立，r e kl f ( t k ，弧) 1 2 h 。o 那么有如卜定理 定理3 1 若假设( h 1 ) ，( h 2 ) 成立，则当c & c 0 时 ( 秒1 ) 一( 抛) ( 1 一a h c ) ( y l 一耽) 所以妒( 可) 为单调递增函数，且当y _ 4 - o o 时，( y ) 。- i - c o ，由零点定理可知函数妒( 轳) 有唯一零 点，从而有唯一的冠可测的随机变量城满足离散方程( 3 4 ) 定理得证 对于格式( 3 4 ) 不仅适用于解决形如( 3 1 ) 类氆的倒向随机微分方程，也可适用于化为( 3 1 ) 形式的 倒向随机微分方程，如 曲( ) 。_ ，( t 删州) ( 舭) 托( 。) ( 3 6 ) 【y r = f 从而有下面的定理，其实质是对方程( 3 1 ) 形式的推广 定理3 2 设虿= h ( y ，z ) ，v = z 一九( 剪，z ) = f ( 乏y ，名) ，由隐函数存在定理可知，若函数f 在以点 p ( 尹，y o ，严) 为心的领域d 内满足条件： 1 ) ，巧，在d 上连续； 2 ) f ( 尹，y o ，z o ) = 0 ； 3 ) ( 妒，y o ，z o ) = o ； 则在点q ( ，矽o ，名o ) 的邻域g 内，存在函数h 使得z = ( 乏y ) 由此可把方程( 3 6 ) 化为如方 程( 3 1 ) 的形式 id y ( t ) = - f ( t ，可( ) ，| l ( 乏y ) ) d t + 翮( t ) i y r= 专 从而可以利用( 3 4 ) 的离散方法证明其解的存在唯一性 对于一般的离散b s d e 方程来说，可积名的计算比较困难，而且在证明离散方程解的收敛性和稳 定性时会遇到徽大困难，所以以下我们假设方程的系数f ( t ，y ，之) 不含z 或着只是z 的线性函数( 当 ，是z 的线性函数时可以通过g i r s a n o v 变换化为不包含z 的情况) d y ( t ) 2 ：，( 如秒( 。) ) d + z d ( ) ( 3 7 ) l y v= 对方程( 3 7 ) 的离散得 蟾5 璺1 + f q ，( 2 k ，可嚣) + ( 1 - a ) f ( t k + l , 可辞1 ) 1 一z 2 专爵1 ( 3 8 ) 蜘=p 对方程( 3 8 ) 两边取条件期单得 e ( 秽嚣i 霹) = e ( y 嚣+ l + h a f ( t k ? 醒) + ( 1 一n ) ，( k + l ，秒2 + 1 ) 】l 矸) 一e ( z 嚣雁辞，l 霹) 义因为z 譬与磐l 相，t 独讥，所以有 e ( 缮瓜磐。i 嚣) = 以e ( z 嚣l 露) e ( l i 露) = 0 一l l 宁夏火学硕士学位论文第三章倒向随机微分方程的半隐式e u l e r 差分法 进而方程( 3 8 ) 可化为 鳕2 墨y 孙l + 州q ，( 屯可譬) + ( 1 口) ，( “+ 1 ，秒群1 ) 】i 冠) ( 3 9 ) 【如= p 、。 下面将对方程( 3 9 ) 进行收敛性的分析 3 3 2 离散解的收敛性分析 为讨论办程( 3 9 ) 的收敛性问题我们引用下面几个常见的引理并作一些准备工作 g r o n w a l i 引理【1 9 】设叩只可适应的随机过程( 珈o ) o t 及确定的函数a t 0 满足下 面不等式 纨e ( 叼+ z t 0 s 玑l 五) 则存在正数m 使得y t m e ( u i ：f t ) l e v y 定理f 2 0 j 设y 为随机变量，( 兀，佗z ) 为非降的仃域列且e l y l + 。o ，令 歹矗= v 嘉曼元，i 。= n n = - 。厶 则有 e ( y f 厶) 五暑e ( y i 兀。) ( 礼_ 。o ) ，e ( y l y n ) 寂s e ( y l f - o o ) ( n _ 一。o ) 引理3 3 【4 1 】y 为随机变量，且e l f l 0 时 进而可得到 由条件数学期望的性质得 i 鳍1 - o ) 上五适应的m 维标准b r o w n 运动 这类方程在金融中的许多问题中出现，由b l a c k 和s c h o l e s 2 6 ，m e n o n 2 - r ，2 8 l ，h a r r i s o n 和 k r e p s 2 9 1 ，h a r r i s o n 和p l i s k a z o ，d u f f i e 1 6 1 和k a r a t z a s 3 1 1 等人提出的未定权益定价都可以用倒 向随机微分方程的形式表示为了确定到期时刻t 的未定权益0 的价格，可以构造投资组合y ， 使其在时刻t 的最终财富与支付总额相同这个复制投资组合耖的动力系统可由一个倒向随机 微分方程给出，这个倒向随机微分方程具有线性牛成元，和与套期保值投资组合对应的z ，这样t 时刻的期权价格自然与t 时刻套期保值投资组合的价值相关一般情况下，由于存在着许多可能复 制的投资组合，因此价格难以确定，如果通过套利定价理论( a 啪给出风险中：证概率测度，对套期保 值投资组合z 的町移 性给出一定约束，使其在原始概率下平方可秋，那么这一j n j 题是适定的，即存在 唯的价格和唯一一的套期保值投资组合 另外，在f o l l m e r 和s c h w e i z e r l 3 2 j ，e lk a r o u i 和q u e n e z l 3 3 】研究的不完伞市场的定价理论中凶 为最终财富总额相同的投资组合不一定能够构造出来，所以价格不能r f l 无套利定价理论决定e l k a r o u i 和q u e n e z ：1 3 l 考虑的超出镱略提出的一1 - 部价格的概念，强调了套期保值问题和定价问题的 两重性，其中的上部价格是非线性倒向随机微分方程的解f o l l m e r 和s c h w e i z e r a 2 1 提出了局部风 险最小策略，其中的价格是线性倒向随机微分方程的解 c v i t a n i c 和k a r a t z a s t m 提出了投资组合的凸约束，l l i 此扩展，e lk a r o u i 和q u e n e z a a 提出了不 完全市场的约束情况，给出了用非线性倒向随机微分方程解决高借款利率的套期保值问题，在这种 情况下，财富过程的动力系统出非线性凸倒向随机微分方程给出 金融数学中的价格分析