（概率论与数理统计专业论文）奖惩系统的推广及应用.pdf

摘要 汽车保险奖惩系统是现代精算学中的一个重要研究课题从本质上看，奖惩系统即 是对于发生一次或多次索赔的投保人合理地增收保费，给予惩罚，而对于没有任何索赔 发生的投保人合理地给以保费折扣，给予奖励，并且力求使这种系统在一种意义下达到 最优保险实践证明，在机动车辆保险中引入b m s 具有重要的理论和现实意义本篇论 文主要研究多重风险责任情形下的最优b m s 本文分为四部分， 第一部分讲述了奖惩系统的背景、意义，我国现有的奖惩系统性质，以及奖惩系统 的优缺点和研究进展 第二部分研究了奖惩系统的数学建模车险的重要性促使精算师们努力地寻找不同 的费率系统，在大多数的b m s 系统中为了给每个风险分配正确的权重都使用了二次 损失函数，但它导致了非常高的惩罚额，这势必会影响保险产品的市场竞争力为了避 免这个问题。在本文中，我们引入了熵损失函数到b m s 系统 第三部分研究了多变量混合p o i s s o n 分布在奖惩系统中的应用传统关于b m s 的研 究和讨论大部分都是集中于单一风险责任情形，而在实际情况中，多重风险责任的情形 例如汽车综合险的最优b m s 设计对保险公司来说可能更具有吸引力因此本文我们引 入了多变量混合p o i s s o n - 对数正态分布和多变量混合p o i s s o n - 逆高斯分布，并给出了它 们在熵损失函数下的最优b m s 第四部分则将b m s 系统应用到寿险精算领域中 关键词t 奖惩系统，熵损失函数，多变量混合p o i s s o n 分布，联合分布函数，b a y e s 定理，p o i s s o n - 对数正态，p o i s s o n - 逆高斯，最优b m s a b s t r a c t b o n n s - m a l u ss y s t e mi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hp r o j e c ti nn o n - l i f ea c t u a r y i ne s s e n c e t h es y s t e mi st h a tt h ei n s u r e ra s k sm o r ep r e m i u mt ot h ep o l i c yh o l d e r sw h oh a do n e o rm o r ec l a i m si nl a s ty e a r ，a n dg i v e sd i s c o u n tt ot h ep o l i c yh o l d e r sw h oh a dn oc l a i m s i nl a s ty e a r a n dw et r yo t t rb e s tt og e ta l lo p t i m a ls y s t e mi nas e n s e f r o mi n s u r a n c e p r a c t i c e ，w ek n o wt h a tb m sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l8 e l l s et oi n s u r a n c e o nm o t o rv e h i c l e s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h eb m sa b o u tm u l t i - r i s ki n s u r a n c e p o r t f o l i o t h e r ea r ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fb m s a n di t sa d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s ，a n dw ea l s or e v i e wt h el i t e r a t u r eo nb m s i nt h es e c o n dp a r t ，w er e s e a r c ht h em a t h e m a t i c a lm o d e l l i n go fb m s ，i nm o s tc o m p a - h i e s ，t h ei m p o r t a n c eo ft h ea u t o - i n s u r a n c ep r o m p t e dt h e i ra c t u a r i e st ol o o kf o rd i f f e r e n t t a r i f fs y s t e m st h a td i s t r i b u t et h ee x a c tw e i g h to fe a c hr i s ka m o n gp o r t o f o l i o s i nm o s t s i t u a t i o n s ，t h e yu s eq u a d r a t i cl o s sf u n c t i o nb u ti tm u s tc a i 】h i g hp e n a l t y , a n dt h i sw i l l i n f l u n c et h em a r k e tc o m p e t i t i o no ft h ep o l i c yp r o d u c ti no r d e rt oa v o i dt h ep r o b l e m ，i n t h ep a p e r ，w el l s ea ne n t r o p yl o s sf u n c t i o n i nt h et h i r dp a r t ，t h ea p p l i c a t i o no ft h em u l t i - r i s kp o i s s o nd i s t r i b u t i o ni nb m sa r ed i s - c u s s e d i nt h ec l a s s i c a lb o n u s - m a l u ss y s t e m ，m o s tr e s e a r c ha n dd i s c u s s i o na r ea b o u ts o l e r i s kr e s p o n s i b i l i t ys i t u a t i o n b u tt h ed e s i g no fb m so fm o s tm u l t i p l er i s kr e s p o n s i b i l i t y s i t u a t i o ns u c ha sa u t o m o b i l ec o m p r e h e n s i v ei n s u r a n c eh a v em o r ea t t r a c t i o n s ow ec o n - s i d e rt h eb m sa b o u tm u l t i - r i s ki n s u r a n c ep o r t f o l i o w et | s em u l t i - r i s kp o i s s o n - l o g n o r m a l d i s t r i b u t i o na n dm u l t i - r i s kp o i s s o n - i n v e r s eg u a s s i a nd i s t r i b u t i o n a tt h ee n do ft h ep a p e r ，t h eb m sa r eu s e di nt h el i f ei n s u r a n c e k e y w o r d s ：b o n n s - m a l u ss y s t e m ，e n t r o p yl o s sf u n c t i o n ，m u l t i - r i s kp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ， u n i o nd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，b a y e st h e o r e m ，p o i s s o n - l o g n o r m a l ，p o i s s o n - l n v e r s eg a n s - s i a n ，o p t i m a lb m s 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名荪批日期 学位论文使用授权声明 以易 - - - j ：- - - - - - - - - - - - - - - - - 一 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位做储签名强谢缉导师签名lj 元勃1 4 日期t d 7 1 日期t t ，7 善 第一章绪论 机动车辆保险一直都是财产保险的一个重要部分，在成熟的美国保险市场，汽车保 险占整个产险市场中个险市场的6 0 ，随着我国经济的发展，机动车辆在我国的普及率 也越来越高，机动车辆保险已经成为社会关注的一个重要保险品种近几年来，机动车 辆的保险的保费收入已经占财产险业务总保费的6 0 以上特别是0 6 年7 月实施交强 险以来，汽车保险奖惩系统将更加成为现代精算学中的个重要研究内容 1 1 奖惩系统 “奖惩系统”的英文为。b o n u s - m a l u ss y s t e m 。从其本质上来看，奖惩系统即是 对于发生了一次或多次索赔的投保人合理地增收保费，给予惩罚即“m a l u s 。，而对于没 有任何索赔发生的投保人合理地给以保费折扣，给予奖励即“b o n u s ”，并且力求使这种 系统在一种意义下达到最优 奖惩系统的基本目的是客观地评价每位投保人的风险并收取合理的保费，此外，奖 惩系统的使用还可以激励驾驶员安全驾驶当然，奖惩系统必然会伴随追奖现象，即当投 保人面临小索赔额时，往往不向保险人报告而自己支付，以避免未来保费的增加或追求续 期保费的折扣奖励，追奖的直接结果是保险人会因小额赔付减少引起的更高比例的相关 费用的减少而降低基础保险费水平加拿大机动车辆保险业于1 9 5 0 年最早采用b m s ， 之后在北美、欧洲等地的国家普遍采用，但奖惩系统在各国的使用情况各不相同，受到 各自国家法规的影响我国的机动车辆保险起步较晚，相对于世界上其它国家来说，我 国现行的b m s 还很落后 1 、我国很多保险公司的b m s 只考虑了上一年有无索赔情况，而没有考虑索赔次数 的多少，一年中有一次或多次索赔对保费的影响是相同的因而，一旦发生一次索赔， 就会使司机放松警惕，驾驶的危险更大，从而也说明了现行的b m s 不能全面反映投保人 的风险信息 2 ，奖惩等级次数太少国外保险公司的b m s 等级一般在2 0 个左右，有的甚至超 过3 0 个，而目前我国几大主要保险公司的b m s 等级数都相当少，一般只有几个等级， 等级次数最多的太平洋财产保险公司等级数也只有9 我们知道，奖惩等级越多，风险 区分就越细，保费就越公平 3 、奖惩等级之间的差距不是很明显，差s q t j , 对司机的激励作用就小因此，我国目 第一章绪论华东师范大学硕士论文 2 前的机动车辆保险b m s 在鼓励司机安全驾驶上所起的作用还不明显 4 、我国现行b m s 只考虑了投保人的索赔次数的历史记录，而没有考虑每一次索赔 的索赔大小其产生的结果是。不合理地估算投保人的风险水平因为一个投保人的风 险水平不仅仅反映在索赔次数上，而且与索赔大小紧密相连因此我们应该更好的研究 及应用b m s 1 2 奖惩系统的优点和缺点 b m s 自其推出以来，在世界各国都得到了推广和应用，b m s 系统具有很多明显的 优点 1 、采用b m s 系统有助于改善风险的非同质性不同的投保人的风险水平是不同 的。在相同的投保时间内，不同投保人的出险次数是不相同的，这就是我们所说的风险 的非同质性对于不同风险水平的投保人来说，保险公司收取的保费也是不相同的保 费确定时，保险公司主要依据年龄、性别、职业等先验变量，但是诸如驾驶员的判断力、 反应敏捷性、超车欲望，个人饮酒行为等指标却是不可度量的如何克服这些不足，改 善风险的非同质性呢? b m s 系统正是一个行之有效的方法。它在变量分组的基础上，进 一步通过每个投保人的索赔记录来对保费水平进行调整，降低存在于各费率组中的风险 的不均匀性，使保费收取更合理 2 、采用b m s 系统可以鼓励司机安全行车，避免驾车人道德风险，可以减少交通事 故，保持社会安定同时，也可以避免小额赔款的发生，从而降低了索赔成本和管理费 用，对保险公司来说也是十分有利的 3 b m s 系统是针对老顾客的一种优惠制度，不会因为费率计划的公开而被其他 的竞争者模仿而减少获利能力，b m s 系统中的老顾客群是不能被其他竞争者模仿的资 源，有利于稳定 当然，b m s 系统也有些缺点，也有人对此系统持批评态度； 1 ，违背了大数定律，保险公司在计算保险费率时所依赖的是大量保单的索赔经验， 而不是个体保单的索赔经验但是b m s 系统是通过个体保单的索赔经验调整投保者的 续期保费，这是违反大数定律的 2 投保者之间的相互合作被削弱了幸运的投保者即没有发生保险事故的投保者 对不幸投保者在保费缴付上的帮助被削弱了 第一章绪论 华东师范大学硕士论文 3 3 破坏了投保者的经济稳定性投保者购买保险的初衷是通过缴纳固定的保费将 其不确定的随机风险转嫁给保险公司，但在应用b m s 系统得条件下，投保者还得承担续 期保费的变异性 总体来说。b m s 对保险人和被保险人双方都还是很有利的，我们应该加以更好的 完善和应用 1 3 韩国b m s 的特点及启示 到目前为止，韩国是世界上唯一采用考虑索赔大小的b m s 的国家加之，韩国的国 民消费意识和文化跟我国有很多相近之处，b m s 在韩国的成功应用可以对我国车险的 发展起到借鉴作用 和我国机动车辆保险一样，韩国车险费率也经历了一个自由化渐变过程1 9 9 4 年 起，韩国的车险费率实行了自由化此后b m s 得到了很好的发展，很多韩国的保险公司 在收取机动车辆保险续保费时，将索赔次数和索赔大小一同考虑在内下面我们以三星 火灾海上保险公司的b m s 为例； ， 此公司对于续保保单，其保费系数依据前期保费系数，评价期是否有事故发生、事 故点数，以及过去三年有无事故而定该公司首先按事故性质定下点数，它将事故内容 分为四类，每一类计点方式都不相同 下面以”人身伤害事故”为例： 计点依据 区别事故内容点数 死亡事故 i 级 每起4 点 对人事故2 级7 级每起3 点 人身伤害事故 8 级1 2 级每起2 点 1 3 级1 4 级 每起l 点 自己人身事故汽车损害每起l 点 低于5 0 万韩元每起1 点 对物事故 超过5 0 万韩元每起o 5 点 点数定下之后，便由点数按b m s 的规定确定其保费系数，其规定如下 第一章绪论华东师范大学硕士论文4 前期保费系数续保费系数 事故点数为0 5 以下s4 0 有事故发生时 4 0 事故点数为1 ：4 5 ( 若算出的保费 事故点数为2 以上，( 3 0 + 事故点数+ 1 0 ) 系数超过2 0 0 4 5 ( 4 0 + 事故点数4 1 0 ) 按2 0 0 计算) 事故点数为0 5 以下；前期保费系数 5 0 以上 事故点数为0 5 以上一( 前期 保费系数+ 事故点数+ l o ) 4 0 4 5 4 0 5 0 ，5 5 4 5 无事故发生时 6 0 5 0 6 5 一1 1 0 前期保费系数一加 1 1 5 以上1 0 0 可以看出，三星火灾海上公司的b m s 不仅考虑了索赔的次数，而且考虑了每次索 赔的严重性，同时对于事故的严重性，三星火灾海上公司还区分为不同的情况来对待， 比如区分为对人的事故和对物的事故。进一步体现了投保人风险的真实性和准确性，比 国际上其他的b m s 系统更加健全，也非常值得我国借鉴和学习 1 4b m s 的研究进展 早在1 9 6 2 年，m a r c e l 就开始了n c d ( b m s 的一种特殊情况) 问题的研究，并用 期望索赔次数创建了n c d 折扣费率表在1 9 6 4 年，b i c h s e l 和b u h l m a n n 等系统地提 出了期望值保费原理，也就是每个投保人所缴纳的保费与他的未知索赔次数成正比后 来，j e a nl e m a i r e ( 1 9 7 9 ) 在假设投保人的索赔次数服从负二项分布的基础上，创建了奖 惩系数表十多年后，在l e m a i r e ( 1 9 9 5 ) 一文中，又用平方差损失函数和期望值保费计 算原理，以及负二项分布作为索赔频率的拟合分布函数获得了一个最优的b m s 再后 来，j f w a l h i n 和j p a r i s ( 1 9 9 9 ) 仍然根据期望值原理和零效用原理，假设索赔次数服 从非参数分布模型创建了最优奖惩系统，同时他们还将其与参数复合分布下的b m s 作 了比较2 0 0 2 年m a r i rd el o u r d e sc e n t e n o ( 2 0 0 2 ) 解决了非马尔可夫b m s 的等级保 费确定问题，文中获得了路径依赖奖惩原则下的最优等级保费p a o l av e r i c o ( 2 0 0 2 ) 与 f a b i ob a i o n e ( 2 0 0 2 ) 基于索赔次数b m s 的充分性与透明度做了很有意义的工作 在国内，关于b m s 的研究主要基于后验信息，对此做出主要贡献的是孟生旺和袁 第一章绪论华东师范大学硕士论文 5 卫，孟生旺根据期望值原理标准差原理、零效用原理等，同时假设索赔次数服从混合 负二项模型、二项一贝塔模型，以及其他复合泊松模型，比较系统地创建了一系列最优 e m s 而王奕渲和周叔子等其他学者也在考虑索赔额大小等方面的b m s 理论上做了一 些工作他们的成果为我国机动车保险研究奠定了基础随着车险研究地深入，相信还 会有更多的学者致力于b m s 的研究并做出重大贡献 第二章b m s 的数学建模和损失函数 2 1b m s 的数学建模 一b m s 的定义 使用b m s 的车险系统具有以下特征t 1 ，投保人被分为若干个有限等级，每个等级用c i ( i = 1 ，2 ，s ) 表示，年保险 费的多少只依赖于不同的等级，根据其所在的等级交纳相应的保险费用 2 ，投保人从某个特定的初始等级c i 开始其驾驶生涯 3 在某个保险期问( 通常为年度) ，个投保人所在的等级是由上一个保险年度所在 的等级和上一年保险年度的索赔次数唯一确定的 如果一个车险费率系统符合上面的三个特征，我们就认为此车险费率系统采用了 b m s 系统下面我们给出b m s 的数学定义t 当费率模式满足以下三个要素时，称为奖惩系统 1 、保费水平b p = ( b 只，b 只) ，其中s 为等级数，是一个大于1 的自然数； 2 、初始等级； 3 ，转移规则，即当索赔次数已知时，决定由原等级转移到新等级的规则 奖惩系统可以用马尔可夫链理论进行分析和构建l o i m a r a n t a 等在马尔可夫链理 论的基础上对奖惩系统的性质做了研究在此类研究中，均对奖惩系统作了一些假设： 1 、每个保险期间有相同长度( 通常是一年) ； 2 保单组合被分为有限个等级，且每个保单在一个保险期间内将只处于一个等级； 3 ，假设所有新加入投保人将被归入同一个类； 4 、奖惩系统的转移规则仅与投保人的以往索赔次数记录相关 在上述假设下，投保人在系统中的状态形成了一个有限状态的离散马尔可夫链如 果假设投保人的驾驶能力在一段时间内没有变化，那么这就是个时齐的马尔可夫链一个 有着有限等级8 的奖惩系统的转移规则可以用一个8 + 8 的矩阵a 表示，元素a ( i , j ) 是一 保险期问后从等级i 到等级j 所对应的索赔次数假设a 所对应的马式链是不可约的， 且存在个最佳等级，即若投保人无索赔则将停留在该等级( 折扣最高的等级) ，那么该 马尔可夫链是非周期的 二、奖惩系统的评价指标 要对奖惩系统的性质作分析和研究，我们需要一些评价奖惩系统的指标常讨论 6 第二章b m s 的数学建模和损失函数华东师范大学硕士论文 7 的评价奖惩系统的指标包括乎稳分布、系统的弹性、惩罚严厉性指标、系统的收敛程度 这些指标都是针对一个封闭的保单组合而言 定义1 平稳性t 乎稳分布才3 = ( ” ，面，力) 是在索赔频率等于a 的条件下， 当系统内各等级的保单比例不随时间而变化的概率分布我们已经得出结论t 对于任一 由b m s 确定的马尔可夫链来说。均存在唯一的平稳分布 定义2 、系统的弹性t1 9 7 2 年，l o i m a r a n t 首先引入弹性的概念奖惩系统的弹性 q ( 入) 为- 町( a ) = ! 里铲= 生擗 其中b p ( 入) = ( b p i 砖) 是索赔频率为a 的投保人的平均平稳费率这个指标度 量的是当索赔频率发生变化时对整个系统的影响当假设索赔金额是独立同分布随机变 量且索赔金额与索赔次数相互独立时，理想的弹性函数应该是线性的，即索赔频率的相 对增加也应该使保费具有同样的相对增加 定义3 、惩罚严厉性指标t 根据勒梅尔的理论，各国的b m s 系统不存在优劣，只存 在惩罚的严厉性我们可以根据以下一些指标来计算b m s 的严厉性。 相对稳定平均水平i r s a l = 毪端焉徽铲 对新司机的隐性惩罚t e e l = 堂厶堕笔轰耋南翥产 稳定是被保险人的变异系数。f = i ； 簪 根据勒梅尔的观点，其中变异系数是最能代表严厉性的指标 定义4 、系统的收敛性；对于一个有着索赔频率的被保险人，其自初次投保起的t 次连续保险期间的等级分布的总偏差为t 口矿) t l 磁( t ) 一丌 t = 1 其中，或为初始等级是i 的投保人经过t 个保险期间后处于等级l 的概率，矸为等级 z 的平稳分布 由上面这些评价指标，我们就可以对不同的b m s 系统进行比较评价 三、最优奖惩系统 满足下面条件的我们就称为最优b m s ， 第一，对投保人的公平性，即对投保人所收的保费和它带来的风险期望值是相等的 第二，对保险人的财务平衡性，即奖惩系统中所有奖励总和等于惩罚总和 第二章 b m s 的数学建模和损失函数华东师范大学硕士论文8 第三、系统最优性，即所有投保人所缴保费与风险之差的加权平方和最小，或均方 误差最小 假设对某个投保人观察t 年，用表示其在第j 年的索赔次数，从而关于该投保人 的信息就是向量= ( 硒，一，瓦) ，那么在已知信息下( k l ，k ) 的条件下，可以对 该投保人在下一保险期间的索赔次数风险( 如丸+ 1 ) 进行估计因此，奖惩系统的构造 可以看成是自然界与精算师之间的连续的统计博弈，每次博弈都可以定义为个三位体 啦+ 1 = ( a 0 ，d t + l ，r + 1 ) ，其中t 1 、n o 表示自然策略空间，a o 是未知参数入( 如索赔频率) 的可能取值； 2 、d t + l 表示在时问( t + 1 ) 时保险人的策略空间显然d t + - 是a t + 1 ( 冠) 的函数， 其中a t + 1 ( ) 应能使每一个观察向量都对应一个值+ 1 ； 3 、用丑h l = 忍+ l ( a t + l ，a ) 表示保险人在时刻( t + 1 ) 的损失函数或风险函数，它是 当实际状态为a 时，保险人做出决策a 件l ( 磁) 时的损失厶 + l ( a 件1 ，a ) 的期望，即； r t + 1 = 忍+ l ( a t + l ，a ) = e 【厶+ t ( a ”l ，a ) 】= l t + t ( a 件1 ，a ) p ( 寇l a ) 其中是对所有可能的索赔向量膨求和，是索赔频率为a 的投保人发生磁的概率 记r ( a l ，凡，；a ) = 昆( 丸，a ) 是保险人的总期望损失对于a 的每一个值 以及对所有的( a 1 ，九，；a ) ，如果 r ( a ；，a ；，；a ) r ( a l ，a t ，；a ) 则系列( a i ，k ，) 被称为一致最优的但是因为在保险实务中，我们不可能对低风 险和高风险的投保人收取差异太大的保费，所以一致最优是不太可能实现的若定义最 优系列( 姆，k ，) 满足， r ( a ：，。一，n ，。；a ) = ( 。，i ，n t f ，k d r ( a 1 ，九，；a ) w a l d 和w o l f o l i t z 证明了这样得到的最优解是存在的由此得到的奖惩系统为最优奖惩 系统 2 2 熵损失函数下的奖惩系统 在大多数的b m s 系统中，都是使用了二次损失函数，但是二次损失函数会导致很 高的惩罚额在i s a b e l ( 2 0 0 3 ) 中讨论了指数损失函数下的p o i s s o n - 逆高斯模型的最优 b m s 。本文中我们引入熵损失函数讨论最优b m s 第二章b m s 的数学建模和损失函数华东师范大学硕士论文 9 令g ( 1 ，t ) 表示保费函数，在熵损失函数下，我们要解决如下问题 在e i n g ( n i ，m ) 】_ 1 的限制下，求解 r a i ne l ( 志) 。- c l u ( 志) - 1 】 c 0 ，c 越大，损失函数的图像越陡峭，惩罚额和奖励额都越低 定理2 1 在e 1 n g ( n 1 ，批) 】= 1 的限制下， 呼f 【( 丽万0丽) 一。h ( 丽 0 、 _ 习万广 矿( n l ，m ) = e x p 1 + l n e ( e 。i n l ，m ) 一：e 1 n e ( 0 。l l ，m ) 】) ( 2 2 1 ) 证明：由于c e 陋贡两南) = c ( ( e l n 0 ) 一e l n g ( n 1 ，肌) ) = o 实质上就 是求吗ne ( 虱丙i ；_ 丽) 。的解我们有； 。e ( 志) 。7 q o 2 e 旧丽南) 阢，删 = e e x p - c l n g ( 1 ，m ) e ( o 。i l ，肌) 1 = e e x p c l n g + ( l ，m ) 一c l n g ( n i ，m ) ) e x p 一c l n g ( 1 ，肌) ) e ( e 。l l ，n o 】 = o t e e x p c l n g + ( l ，m ) 一c l n g ( 1 ，m ) 其中口= 唧 一c l n g + ( l ，n t ) e ( e 。i n , ，m ) 由j e n s s e n 不等式及已知e 1 n g ( n 1 ，m ) = 1 得， e e x p c l n g + ( 1 ，m ) 一c l n g ( n , ，批) e x p c e l n g ( 1 ，肌) 一e l n g ( l ，肌) 】 = 1 因此，当g ( 1 ，n t ) = g + ( l ，m ) 时，e 虱丽南) 。达到最小，故矿( l ，肌) 即为所求得最小解，下面我们来求解矿( 1 ，) ie x p 一c l n g ( l ，m ) e ( e 。l 1 ，t ) = o z i e 【z n 9 ( 1 ，t ) 1 = 1 第二章b m s 的数学建模和损失函数华东师范大学硕士论文 1 0 由第一个等式得到： l n g * ( l ，m ) = c 1i n e ( o 。i l ，肌) 一_ c ll n q ， 代入第二个等式可以解出n ，其值为。 q = e x p e 陋e ( o 。i n , ，t ) 】一c ) 于是，我们得到 矿( ”l 一，啦) = 唧 l + c i1 n e ( o 。，m ) 一1 e i n e ( o 。i n , ，札) 】 即是我们所求得最小解 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s 3 1 多变量混合p o i s s o n 分布的介绍 一、多变量混合p o i s s o n 分布的基本假定 设混合分布的结构函数h ( x ) 对应的随机变量叩属于某个分布族t 2 = ( z ) ，z 1 0 ，o 。) ，如殿 ，其中，印为某个开区域，q 为参数向量0 的维数同时，若叩q ， 则对某个实数c 0 ，有c o n 设某保险公司保单组合中包含多种风险责任的保单，相应的索赔次数分别是胍，i = 1 ，2 ，s ，总索赔次数为n = e m 同时假定满足下列条件t 1 、在给定结构随机变量q 的条件下，m 与是独立的，其中i j 2 、在给定结构随机变量”= a 的条件下，肌分别服从参数为o t n 的单变量p o i s s o n 分布 = 、多变量混合p o i s s o n 分布的相关性质 下面我们就在上匠的假定下来讨论多变量混合p o i s s o n 分布的一些性质 性质3 1 在上述假定下，n = 肌的分布在给定”= a 的条件下是参数为a 啦 的p o i s s o n 分布 此性质由概率母函数的唯一性即可证，此处就不再加以证明。 性质3 2 在上述假定下，m 0 = 1 ，2 ，s ) 的联合概率分布为， p r ( 1 = n l ，n 2 = n 2 ，m = ) =业裂丽鲁等斋n(=m+n2hi!n21o t 2 咖。) n 。! ( 口1 + + n 。) m 十m 十一+ m 、 叫 其中p r ( = n 1 + n 2 + + ) 是具有参数为( n l + o t 2 + + ) 的p o i s s o n 分布的混 合分布，结构函数仍然为m 的结构函数 证明t p r ( 1 = n l ，n 2 = n 2 ，虬= m ) = f o 。p r ( n i = 礼- ， k = 砌， = n 。i 目= a ) 九一( a ) d a ：厂。：；：；：二：军。一(nt+cn+n。)-。(a)d1jo”l ! n 21 n 51 。 ”。、“ 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 2 =业n裂irt21 雨毒4 - 鲁每佗。! ( 1 + a 2+ 0 8 ) ”1 + ”2 + + “ j ，o 。e c a ，+ 。t + + a 。， 丛! ! 二! ；n ! l 二；j n 二二2 ；? ； ：；! ：；：二兰( ) a -( + + 。+ 扎s ) ! =生翌j!丝掣iii乏竺兰；要三每pr(nnl!n21 - 4 - - 4 - = n + 他+ + n 。) ! ( a ld 2 + 嘞) “”2 + ”。 。 ” 由上，我们得出了联合概率分布 3 2 多变量混合p o i s s o n - 对数正态在熵损失函数下的最优b m s 一、多变量p o i s s o n - 对数正态的联合概率分布 设r 为具有参数p 与矿的对数正态分布，密度函数为； ( a ) ：而1 e x p ( 彳l na - = u 一) 2 定理3 1 多变量p o i s s o n - 对数正态的联合概率分布为， p r ( i = n l ，n 2 = n 2 ，凡= m ) a ? 1 q 尹 n 1 i n 21扣ns c 驴s 掣阍酬毒硼 s 其中x 一( p + ( e n t ) 口2 ，口2 ) f = 1 证明：首先由性质3 1 可得； 所以 p r ( 1 = n l ，2 = n 2 ，m = n 。f q = a ) ：竺! ：竺i ：氅：e 一( a - + m + + a 。) a n - + n ：+ + m n x ! n 21 n 。! ” p r ( n l = n l ，n 2 = n 2 ，肛= m ) = f 0 6 。p r ( n 1 = n t ， b = 砌， 。= n 。l ”= a ) 九口( a ) d a = f 0 0 0 篇n l r ”奇n s e 巾l 一+ 一( - ) a - 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 3 e ! 王! 呈：堡：e 一( a - + m + + m ) 1 a n - + n 2 + + m n l ! n 21 n j ! 。 一占型二掣! n 、，互磊 a 2 篇焉志驴。唧卜a ；啦一艺笋m c 令l n a = x ， = 端去仁毗蜘i = 1 计，妒铲 ：鬻志仁计驴竺车竺，如 ：豁咖。嘶i 筚，= 1 i = 1 仁卅c 却志计掣 。 。( m ) c r 2。 i 簧基豸等唧似喜啦) + 二兰拟e x p 一喜a 。矿) ) 巨ktlk12剖ku t 由前文的假设有t m = k j ，其中i = l ，2 ，8 假定观察值杨是随机变量畅的 j = l t 具体实现，并假定是独立同分布的且m = 垃j = 啦这样，有了一个观察矩阵k ，就 j = l 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 4 有一个t + l 期的索赔频率的最优化估计a t + 1 ( k ) 同时根据前面假定具有索赔频率o t a 的投保人索赔次数的s * t 维分布为， 为 p r ( k n ，k 1 2 ，k l t ；k 2 1 ，如，2 , ；虬1 ，凰2 ，蟛t i a ) = s nti=l所c=垂鱼号孚e一一j=l 11 扛= ，2 o 定理3 2在多变量p o i s s o n - 对数正态模型下且采用熵函数损失函数时，最优b m s ( 硒1 ，k 1 2 ，k i t ；鲍l ，如，k 2 t ；匠1 ，琏2 ，) = 刚+ 1 黜一；弛聃e ( e x p _ p - 叫o e e 勘y ) ， 其中n 。= t 啦 = 1 公式中，x 一( p + ( j ) 口2 ，口2 ) ，y 一+ 矿( e + n + ) ，口2 ) i = i j = i 证明：根据b a y e s 公式， h o ( a i k ) = p r ( k n ，k 1 2 ，k i t ；配l ，如，k 2 ；l ，k s 2 ，；i a ) h o ( a ) ， p r ( k h ，k 1 2 ，k u ；如1 ，硒”，硒；k s l ，e 2 ，；k 。, i a ) h e ( a ) d a j 0 垂垂呼。一- 志型掣 2 面鬲磊翠 一a 鳝e 叫袱唧卜甓， ：!i；!；!一 。a量s暑t硒。叫掣aj0；唧 鼍乒m u ：整! 竺i 竺! 二型! l “丈毛姜1 “。 j 0“e 卅t 喜小笺乒m 第三章 基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 5 一垫鲨挚掣l 而a 唧似( ) + i = 1 = l 始e 。e ：。k , j 一1 ( 场) 0 - 2 2 e ( e x p - t 啦e 。 ) = 1 ot 唧 一a o 啦) 一p ( k , a ( i = l j = l 确矽( 1 n a p ) 。、 22 a 2 j 其中，x n ( u + ( 甄) 盯2 ，口2 ) 由上文，我们知道了a 的后验密度函数，同时为了简化表达式。我们令s 于是 n 。= t 啦 e ( k n ，k 1 2 ，蜀t ；弼l ，杨，玩；配l ，配2 ，虬) ，矿2 竹。2 、 = 篆鲁志z o o a ( c + - 1 ) 卅必一掣m ，仃2 扎。2 、 = 篆轰三荠志仁唧t - - a e y - - ，d y ( 令 l n a = y ， ，| f 7 2 n 。2 、 = 篆姜高挈志仁e 一唧t y 2 _ 2 u y - 2 a 。2 ，( c + n ) y + i 2 西 e x p # c + 盯2 阮，+ _ o - t 广。- )。， = 1 面石j 可l e 细( 咄8 ) 】， 其中y 一+ 口2 ( e + n 。) ，口2 ) 所以； l n e ( a c i k l l ，k 1 2 ，k l t ；尬1 ，鲍t ；虬l ，圮2 ，尬t ) e m + t a 2 c 2 n 鞘 产 旦l 耐 啦 砖 2 墓 联 。 屙 。 翰 。埘 。： = 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 6 根据第二章得( 2 2 1 ) 在熵损失函数下t 矿m t ，一，仇) = e 印 l + ：l n e ( e 。l n - ，啦) 一：e 【l n e ( e 。i 1 ，：) 】) 下面我们将值代入，即得； 所以定理得证 o ( k l t ，k 1 2 ，k i t ；k 2 1 ，如，地；k s l ，蚝2 ，琏t ) = 唧 l + 1 黜一：肌丽e ( e x p - a e r ) ，, 3 3 多变量混合p o i s s o n 逆高斯在熵损失函数下的最优b m s 一多变量p o i s s o n - 逆高斯的联合概率分布 设口为具有参数p 与p 的逆高斯分布，密度函数为t ”) 叫2 嗍3 ) 1 2 e x p - 坠群) 定理3 3 多变量p o i s s o n - 逆高斯的联合概率分布为。 p r ( 1 = n l ，2 = n 2 ，肛= ) ：箜! i ：箜n e ”11 他! ! 。；鼍咐。( 旷1 ( 1 铆喜a ；) 幻1 d 其中 = - 1 2 证明t 首先由性质3 1 可得。 所以t 匠，( 印_ 1 ) ( 1 + 2 卢壹。；) 一( 势蝴 p r ( i = n l ，2 = n 2 ，m = 仇1 , 7 = a ) = 鱼n l 三n # + n n se 一( a l + a 2 + - + a m n 1 + 啦+ 斗n 。 h i ! n 2 ! 。 一 p r ( n 1 = n l ，n 2 = 砌，肛= n 。) = o 。p r ( n x = n 1 ， k = 耽， 。= n 。i 叩= a ) ( a ) d a = z ”等鲁等e 小，讹+ m 一慨- 机比棚3 、- 1 胆e x p 一坠群m 第三章基于多变量混合p o i s s o n 分布下的最优b m s华东师范大学硕士论文1 7 由b e s s o n 和p a r t r a t ( 1 9 9 2 ) ，p a n j e r 和w i l l m o t ( 1 9 9 2 ) ，t r e m b l a y ( 1 9 9 2 ) 知l 脚m 胪) - l 归唧卜紫 = 型垫器趔趔 其中 一1 2 ，凰( ) ：百1 ”广l e _ u 。( x + z 1 ) 出 将其带入i - _ 式得。 = f 0 0 0 等鲁等小1 蛔+ + a m ”+ 相- 型垫锷铬塑趔扒 = ；：j ：；j - ；i ：；i ；：；：苦z o o p c 名- r “+ ，a c ：二n t + 一l ，e