（科学技术史专业论文）《缀术算经》研究.pdf

宿姆帆s a 仃r e ，( t o h o k uu n i v e r s 吼东北大学狩野本) i st h ei a t e s to n eo f t h e mw h i c hi sa d a p t e do nt h ef o u n d a t i o no f 话f s 成，招us a 门招，( n a t i o n a i a f c h i v e so | j a p a n ，内阁本la n df ：琳跗u 话凡e 扫e s e n s e j 了爸括鲫括u ( u n i v e r s i t yo f t o k y o ，东大本) t h e n 。r e f e f r i n qt 0t h em o d e mm a t h e m a t i c s ，t h ea u t h o ra n a i v z e sl h e c o n t e n t so f7 - e l s l 盯，招，s a ，) 胎，s y s t e m i c a yu n d e rt h ev i e wo ft h et r a d i t i o n a i m a t h e m a t i c si nc h j n a ，a n dd i s c u s s e st h er e l a t i o n s h i do fb e t w e e n1 a k e b e s m a h e m a t i c a ia c h l e v e m e m sa n ds e k it 矗k a k a z u s i na d d i t 沁na n d 竹1 e t r j a d i t i o n a jm a t h e m a t i c si nc h i n a f i n a i y ， u n d e rt h ev i e wo fm a t h e m a t i c a im e t h o d 0 1 0 q va n dt h e n e o c o n f u c j a n i s mo fs o n ga n dy u a nd v n a s t i e s t h ea u 嚏h o rd i s c u s s e s 廿1 e e s s e n t a lc h a r a c t e ro f 丁e f s 咄j 姆己，w h i c hn j n st h r o u 日h7 船l ，m ! s u & m | l ( e f ，a n d t a k e b e sm a t h e m a t i c a it h o u g h ta n dm e t h o d o i o a yr e 们e c t e df r o mt h ej i s h i t s u s e t s u ( 自质说) a tt h ee n do ft h eb o o k t h ea u t h o rm a k e st h e n c i u s i o nl h a t t a k e b e s 殆f s l 咖括ui s ，a c t u a y ，t h ec o | i i g a t i o no ft h em e t h o d so fd e d u c i i o n a n di n d u d l o n ，i nw h j c h1 a k e b ep a y sm o f ea 杖e n t i o nt ot h em e t h o do fl n d u c t i o n 。 b u th ei g n o r e st h ep r o o fo fp r e c i s er e i v i n go nt h em e t h o do fd e d u c t i o n b a s i n gt h ea n a i y s i s ，t h ea u t h o rg e t st h a tm a t h e m a t i c a it h o u g h tc o m l n g f r o mt h ea u 廿1 0 r sp r e f a c ea n dj i s h 娃s us e t s uo ft h e7 台括啪括u s a 几榭 i s r a t f l e rc o n n e c t i n gt om a i n s t r e a mp h o s o p h yo fz h u z ia n dy a n g m i n g ( 朱子学、 阳明学) o ft h et j m e ，t h a nh a v i n gn o t h i n gt od ow i l hp h i i o s o p h yt h d u g h tw h i c hi s t h ev i e wo fs o m es c h 0 i a r s a n d ，t h eo r i q i no ft a k e b e m a t h e m a t i c a lt h o u g h t m a y b et r a c eb a c kt ot h en e o - c 0 n f u c i a n i s m0 fs o n 口a n dy u a nd v n a s 廿e si n c h i n a k e yw 口r d s ： 伯詹e b e ，臼f a 疗，d ： 乃括l 以，f s us a 几七e 丘7 - e 姆舢u ，e nr i ( c 汀c i e t h e o r y ) ：m a t h e m a t i c a it h o u g h t ：m a t h e m a t i c a im e t h o d o i o g y 缀术算经研究 绪论 十七世纪三十年代，日本禁止基督教传播的蔡教政策演变为锁国政策，从 1 6 3 3 年到1 6 3 9 年，德川幕府先后发布五次锁国令，形成了闭关自守的封建统治 格局，一直延续到1 8 5 3 年的开国。在锁国体制下，传播西方学术的南蛮学终止， 东方传统科学在这一时期获得较好的发展，其中传统数学椰算最为发达，4 并 使古代东亚传统数学达到了最高水平。 和算渊源于中国古代传统数学，历史上有两次主要的中国古代传统数学知识 大规模地传入日本，主要是对汉魏和元明数学知识的吸收。直至关孝和的出现， 日本传统数学成就较之以前达到了一个极高的水准，形成了历史上的一个飞跃发 展，由主要对中国数学内容的摄取，转变为独立的数学研究和发展，这一时期被 日本数学史界称作“日本数学的独立时期”，正是在这一阶段，和算成就达到了 鼎盛。日本数学教育家、数学史家小仓金之助( 1 8 8 5 1 9 6 2 ) 曾说：“在日本学 问中，和算是最好地发挥了日本人独创性的一个领域，如果无视这一点，日本的 学问和文化是无从谈起的 。缀术算经的作者建部贤弘正是在此一时期的 和算发展史上饰演着举足轻重的角色。 建部贤弘及其缀术算经的数学成就不仅在和算史上、乃至世界数学史上 都占有重要的位置，而且全书都在以“和算书中独一无二的体例”( 藤原松三郎 明治前日本数学史) 来诠释“缀”之思想，“缀术”之名取自中国刘宋时期的 大数学家祖冲之的著作缀术 ，建部贤弘从自己的理解出发，赋予“缀”字以 新的含义：“缀术为缀而探索、以会术理者也”，即一种探索数学规律的方法。 但是，长期以来，与关孝和相比，和算史界对建部贤弘的研究明显不足，他 的一些数学成就也没有得至q 应有的重视。在数学史研究的民族主义倾向的背景 中，日本学者“言和算必推关氏”，关孝和作为和算的奠基人在数学史上的地位 毋庸置疑，然而也被过高地推崇而尊为神圣。建部贤弘与关孝和的年代接近，又 是关氏门下弟子，即使“青出于蓝而胜于蓝”也难免被掩盖在关氏的光环之下， 客观而言，这种光环实质上造成了对于建部贤弘成就研究的阴影，不利于作出客 观、正确的历史评价。 在以往的日本数学著述中，关于建部贤弘的业绩及其缀术算经都有不同 程度的介绍，论述的内容也比较分散。如日本学士院编明治前日本数学史第 二卷、远藤利贞的增修日本数学史等通史著述，对建部贤弘及其缀术算经 有概括性介绍，三上义夫在文化史上j 口见亡；5 日本。数学l ( 岩波书店，1 9 4 7 ) 与关孝和。业绩巴京坂。算家并i ：中国，算法邑关系及矿比较( 东洋学报， 1 9 3 4 ) 的有关章节中也论述过建部贤弘的业绩，并且就和算“缀术”的发明权问 题，与林鹤一进行了很长时间的论战【2 j 删。树田全的建部贤弘。数学t 圣。思 想( 数学研究会、日本评论社，1 9 8 2 年8 月号) 对缀术算经进行了解说。 平山谛在和算家，一 建部贤弘( 数学史研究，通卷1 1 1 号，1 9 8 6 ) 中 简述了建部贤弘的生平与业绩。杉浦光夫的和算家。思想c ，pt ( 东京大 学教养学部教养学科纪要第8 号，1 9 7 6 ) 及匮理和算家口) 解析学i ：) p 【( 东京大学教养学部比较文化研究，第2 0 集，1 9 8 2 ) 中，也论述了建部的 缀术算经研究 数学思想以及圆理方面的成就。法国人a h o r i u c h i 的t h et e t s u j u t s u s a n k e i ( 17 2 2 ) ，a n18 t hc e n m r yt 阳a t i s eo nt h em e t h o d so fi n v e s l i g a t i o ni n m a t h e m a 廿c s ，( i n ：t h ei n t e 噶e c 珏o na fh i s t o a n dm a t h e m a t i c s ( e d s c s a s a k i 柏i ) 。s c i h 帕r k s h i s i u d 1 5 ，b r k h a u s e l b 觞e i f l 9 9 4 ，1 4 9 - 1 6 3 ，) 对缀术算经也有一定的论述。 最近几年，日本数学史界兴起对建部贤弘及其著作的研究热潮，如东京大学 科学史博士佐藤贤一博士论文以建部贤弘的大成算经( 约1 6 8 8 1 7 1 1 ) 为题， 徐泽林、小松彦三自b 及其弟子也对大成算经展开了研究f 4 撕】，【6 】。森本光生、 小川束、徐泽林、横冢启之对缀术算经中的圆理展开深入研究川，【8 】，【9 l 。佐藤 建一、横冢启之对建部贤弘盼弧率、算历杂考进行了研究i 姗。竹之内修对 建部贤弘的研几算法( 1 6 8 3 ) 进行了研究1 1 1 j 。 目前日本数学史正在编纂建部贤弘全集，并且森本光生正在英译缀术算经。 综观上述前人的研究可以发现，对缀术算经的研究比较零敖，主要集中 在如圆理等一些具体的创造性成果的研究上，整体性研究不足，尤其是数学思想 方法的讨论比较肤浅，而且也是基于日本民族本位立场。 对于缀术算经中的数学问题以及建部贤弘的数学方法论、数学思想与中 国数学及儒学思想背景之间的联系，没有进行深入的研究。至今尚无以缀术算 经为主要研究课题进行研究的学位论文，对于这样一部由和算史上最伟大的数 学家所著述的反映当时和算最高成就的算书，没有进行系统全面深入的研究，可 谓是数学史上一件憾事。 本文旨在，在前人工作的基础上，从数学传播史和比较数学史的角度出发， 把建部贤弘在缀术算经中的数学成就及其数学方法论，置于整个汉字文化圈 数学史中加以分析，重点以缀术算经的数学内容、思想实质与中国数学传统、 中国哲学思想的关系为切入点，对缀术算经予以系统的研究，以期全面而准 确地认识这部杰出的数学著作，并且对其予以客观公正的评价。 2 缀术算经研究 第1 章建部贤弘及其成就概述 1 1 、建部贤弘所处的时代背景 1 7 世纪初至1 9 世纪中叶，是日本封建社会发展的最高阶段，也是武家政治 发展的集大成阶段。因德川家康( 1 5 4 2 1 6 1 6 年) 予1 6 0 3 年在江户( 今东京) 开 设幕府，故史称江户时代，亦称德川时代。以1 8 6 8 年的“明治维新”为日本近 代史的开端，这段时期是日本最后一个封建政权时期，可称为日本的前近代时期。 江户时代是一个复杂而纷纭的历史时期。首先，在政治、经济、社会方面， 武家政治的完全成熟掩盖不了其社会的内在必然矛盾，而商品经济相对发达、城 市的不断发展、町人阶层的产生与成长，其背后却是农民阶级受到的剥削更为严 重，阶级继续分化。社会生活中，城市文化气息日渐浓厚，城市商人阶层生活安 逸，广大农民却因天灾人祸而过着艰辛的农耕生活。在思想文化方面，江户时代 既有幕府官方的严密控制，又有相对的宽松解禁提倡。 这一时期的文化是安土、桃山文化的延续，被称作日本传统文明中的“文化 春秋”，在武家文化新发展中，町人文化迅速成长。自初代将军德川家康至第三 代将军家光( 1 6 0 4 1 6 5 1 年) 完成了幕藩体制国，稳定了幕府统治。为了应对危害 集权统治的潜在因素，幕府颁布了诸多法令并规定了等级森严的“士农工商”身 份制度，对朝廷、幕臣、寺院、地方诸侯、各阶层武士、农民、手工业者以及商t 人的本分、义务、法律诉讼乃至行为礼仪，皆作出详细、严厉的规定与限制。为 实行思想统治，从1 6 3 3 年开始，先后五次发布了禁教令，禁止天主教的传播， 由此而逐渐演变为锁国，只留下长崎的出口岸这一线天窗维持着与中国、荷兰的 贸易往来，将日本列岛笼罩于一张严密的封建统治网中。德川幕府的建立，结束 了长期的混战，不仅人民得以休养生息，更值得注意的是武士阶级的存在形态随 之发生重大变化，攻略杀伐已不是他们的职业，他们逐渐转交成为适应幕藩体制 下的行政官僚，这样的角色转换，使幕府开始重视新的统治方式及其统治理论一 儒学1 1 “，同时，武士作为安逸的社会阶层得以发展武士文化而成为可能。 自7 世纪中期以来，蓬勃发展的商业城市中产生了新的阶层町人阶层， 这主要是指以商人、手工业者为主体的城市平民阶层。商人没有政治地位，不受 尊敬，但他们靠经商积累了大量财富。如德川时代初期的巨商大多是依靠同幕府 的关系，获利于海外贸易。德川时代中期崭露头角的是经营金融业或生活必需品 而支付的新兴商人；商人的身份虽受蔑视，但他们积聚的巨富却无人能够小觑。 财富给他们以力量与自信，最终把从前曾为贵族、僧侣、武士阶级所把持的文化 转移到町人及城市平民的手中，这是日本历史上文化的承担者首次决定性地从统 治阶级移向被统治阶级，町人自己开始了文化的仓q 造，而由他们所创造的文化被 称为“町人文化”。新兴的町人文化繁荣于元禄年间( 1 6 8 8 1 7 0 4 年) 与文化( 1 8 0 4 1 8 1 7 年) 、文政( 1 8 1 8 1 8 2 9 年) 年问，所以元禄时期被誉为“日本的文艺复 兴”。自锁国开始已经历了半个世纪，文化已显著地露出日本独特的倾向，日本 传统科学在这一时期得到了史无前例的迅速发展。由于受到朱子学术中论理研究 方法的影响，在学术上出现了合理主义的精神【1 3 1 。其中传统数学和算最为发 达，并使古代东亚传统数学达到了最高水平。 哳谓幕藩体制，就是通过幕府与藩( 各地方诸侯的顿国) 来统治人民的政治与社会的组织形式 3 缀术算经研究 日本全国总图，是把幕府元禄年间所制日本地图进行了改订，上面有建部贤弘所 题“日本总图仕立候一件”之文句，并有“隧蓍士不休书”的署名。建部贤弘不 仅收集各国的地图，更是注重测望邻国的高山记其方位角，然后据此作为衔接邻 国地图的参照物，建部贤弘为了将来制作更为糖密的地图，说：“密侯极星之高 而订南北之位，精验月望之食而正东西之程”，阐述了根据天体观测正方角为根 本的思想| 1 7 l 。 在这期间，他于享保六年( 1 7 2 1 年) 二月十一日开始任职两城( 本丸与西丸) 的御留守居，即掌管本丸与西丸二城郭的警卫职务，虽是7 0 0 石俸禄的布衣之位， 但其实是闲职。 享保十一年，梅文鼎的历算全书舶载到长崎，吉宗命建部贤弘译述此书， 贤弘“加以狗马老赢曷胜酬盛意，而辱广异闻，遂上书誊写一部，令平璋中根式 译之，诣阙迸”l j ，托付给汉学造诣很深的门弟中根元圭翻译，中根元圭于享 保十三年附上训点”完毕，名为新写译本历算全书，共4 6 册，建部贤弘作序， 于享保十八年奉呈与吉宗，收入红叶山文库，今藏于宫内厅书陵部1 1 9 】。 享保十五年( 1 7 3 0 年) 五月十五目，贤弘迁为御留守居番 ，十七年( 1 7 3 2 年) 三月一日为广敷御用人 。享保十八年( 1 7 3 3 年) 7 0 岁，请辞国，二月十一 日按其心愿免职，被赐为寄合，十二月四日隐居，隐居料为廪米3 0 0 依。元文四 年( 1 7 3 9 ) 七月二十日病逝，享年7 6 岁。葬于江户小日向服部坂上禅宗盘鲁具寺 ( 即今柬京都文京区小石川小日向台町小曰向神社，后因东京市区变更，建部家 墓地从此处迁至中野区上高田1 2 1 2 的青毫典寺) 。法名安山道全居士【2 0 1 1 2 1 j 。 束京都中野区上高田卜2 1 2 龌舆寺建部家墓地( 照片由徐泽林教授提供) 4 训点，日本人阅读汉文时，在汉字旁边和下方标出汉字读音的假名与断句的句点。 。御留守居蛋，幕府武士职名，负责值夜的大奥警备和内务官职1 0 0 0 石俸禄的布衣之位。 。广敷，江户城的本丸与两丸的大奥的一部分。本丸，是位于城中心的昂主要的城郭。西丸，是江户城本 丸西部的一郭，是将军的世予居住的地方，也是将军隐居地，即今天东京的皇居。大奥是将军丈人御台所 及侧室居住的地方，禁止男挂进入。静广敷用人就是负责御广敷的庶务、会计等职责。 o 源白中国古代的“大夫七卜阿致仕”。 6 缀术算经研究 上述三种抄本的章节结构与内容，都有出入。内阁本由自序、目录、正文十 二条、自质说、附录( 中根元圭编) 五部分组成，而东大本则由序言、正文十二 条( 含自质说) 、附录三部分组成。狩野本由序言、目录、正文十二条( 含自质 说) 三部分构成。 内阁本的章节安排如下【2 6 】： 自序 目录 探法则四奈 乘除据理探法第一 立元据理撂法第二 约分据敷探法第三 招差椐敷探法第四 探术理四条 织工据理探术第五 直堡据理探术第六 算脱据教探术第七 球面据敦探术第八 探员数四条 碎抹据理探数第九 开方据理探数第十 圆数据敷探觳第十一 弧数据敷探敷第十二 自质说一条 附录 东大本结构如下1 2 7 1 ： 自序 探因乘法则第一 探归除法则第二 探重互换术理第三 探开平方数第四 探立元法则第五 探药种为方术第六 探四角垛术第七 探求球面积术第八 探算脱法第九 探圆教第十 探孤数第十一 探碎抹术理第十二( 包含“自质说”) 附录 东大本并无目录，序言之后就是内容，以上目录是从内容中摘选出来；东大 本的自质说没有自成一章，而是直接续在第十二章内容的后面。 狩野本结构如下| 2 8 】： 序言 目录 缀术算经研究 偏驳于办工 、修多尽尹乇更；至少j 无处也凡员数；于办术理二于少法则二 于少总于成元来自然；具l ，l ，者产v 是尹会七少，、敢于新= 其道多蹊夕儿；非 只自然，道；合会天少产；班i 霉；r 萋葡霎刚藿亩儡蓥翮翥窆篷 车堂磊黼； 蓠鸶参藉薹一锶赢氍毫l 酬型一峪灞霎礤委羹爹薹鞍肾一岌薹篓萋e 蓐赣? 2 博篓型耋妻薹茅蓍釜i | | j 耋e 三璧? l 曼i 一夏矿一j + 这个公式在西方第一次出现是在1 7 3 7 年e u 】e r 给j o h a n nb e m o u l l i 的封信 函中o ，而贤弘是在享保7 年即1 7 2 2 年给出的这个公式。由此开拓了和算无穷级 数研究的基础。 ( 2 ) 圆理弧背术 在该书中，建部贤弘改变了缀术算经中获得( a r c s j n z ) 2 展开式的推演方 法，建部贤弘通过构建圆内接多边形的边长与矢的代数关系，以秦九韶的高次方 程开方法推演n e w t o 二项展开式，再获得( a f c s i n 工) 2 的无穷级数展开式。此方法 名日“皈除求商术”或“皈除得商术”，后来和算家称其为“开方缀术”，这种代 数方式的处理，具有普遍性与一般性，成为其后和劈无穷级数展开式推演的主要 方法。 (3 ) 弧率和算历杂考 弧率主要论述弧背术，以及给出了每一度角所对应的正弦、正矢的三角 函数值的制作方法，并在最后附上三角函数表，其中的函数值达到小数点后儿 位，这是日本最早的三角函数表，是在梅文鼎历算全书的割圆八线表传入日 本之前的创造的o 。算历杂考涉及到天文历算问题的应用，其中正弦、正矢的 三角函数值更为精确，达到了小数点以后1 3 位。 (4 ) 累约术 在该书中，建部把关孝和的零约术加以推广，创立“累约术”的有理逼近方 法。对任意实数口、6 、c ，有l “一6 y c l ( ( 为任意小的正数) ，求整数x 、y 的值，即丢番图逼近问题，这类问题在西方数学史上最初出现在雅可比( j a c o b i ) 的遗稿论文( c r e l l ej o u a n a l 6 9 ，1 8 6 9 ) 即j a c o b i s 卫o r i l h m 中，而建部则早在他 14 0 年前就对这个问题进行了论述。 (5 ) 发微算法演段谚解 l6 7 4 年关孝和用笔算对古今算法记( 1 6 7 1 年，汉口一之) 中的1 5 个遗 题作了解答，著发微算法出版，由于书中笔算过程不明显，而且只公布了问 题的答案，省略了解题的实际步骤，因此引起一些异议。于是，建部贤弘于1 6 8 5 年著述了发微算法演段谚解，对关孝和书中所省略的地方做出详尽补充。发 微算法演段谚解的出版，对于关孝和发明的笔算代数方法“傍书法”( 后来称 之为“点窜术”) 的普及起到了重要作用，由此而促进了和算的进步。 (6 ) 角术 角术，即确定正多边形边长、半径、边心距、对角线之闻代数关系的数学问 。参照b j b l j o i h e c am a l h ( 3 ) 1 9 0 4 j - p 2 7 0 的e n e 甜r o m ，d 盯b e 如e c h s c l 删s c h e n le u l c ru n dj o h a n nb e m o u 眦 。 割圆八线表收入中国的祟祯历书之中，此书是在享保1 2 年传八日本的。 1 x 缀术算经研究 三一。三八三一九二六，弱，o 如着重号部分的数字所示，所记载的位数大大地增加了。 ( 1 4 ) 狩野本的第二节是内阁本、东大本的第一节，内阁本、东大本最后一段： “矢极尹微产少于以尹其数尹探于术于索、乡”o ，在狩野本中改为：“其术背 边；近岳者；，最密罗得少 虽p 乇，尚半圆= 近岳者；及匕难多，是尹半圆= 近等者= 及小廿yp 五少一，其术多乘= 多于，布算甚难 ，是以背近jp 半圆 = 近哿；至少弧背数件，限尹立于，乘数不多，自然，法= 从尹远近均夕精数 ，得少，假数尹设尹常法 天，今矢，最乇微产少半背幂尹碎约 尹、法术尹探 ，l ，了p 如左。” ( 1 5 ) 狩野本从“定半背幂”到“六沉差”的数表 中记录了丝单位以后的6 2 、 6 3 位的数值，比内阁本和东大本多出1 5 位。 ( 1 6 ) 狩野本在从“一差”到“十五差”的乘数、除数表的后节，没有东大本最 后的部分“是= 据于会得、弧圆，、不竭，以于质 工故= 其术乇又不竭了以 于求、缶，h 亨”，而内阁本中在东大本这部分之后还有关于数尽、不尽的讨论回。 ( 1 7 ) 狩野本没有内阁本、东大本最后的注释部分 。 ( 1 8 ) 狩野本第二公式的表记载了丝以后6 5 位，比内阁本、东大本多1 4 位哆。 ( 1 9 ) 没有东大本的“探碎抹术理第十二”o ( 2 0 ) 狩野本末尾有关于“算数的心”的观点，在内阁本中作为独立的一部分标 题为“自质说”，东大本和狩野本都没有把这部分独立出来。 ( 2 1 ) 狩野本没有内阁本和东大本中的附录 ( 2 2 ) 对于小数近似值的记载，狩野本和东大本都去掉了数字后面的“微强、微 弱”等字眼。 书中即使相同的章节里面的设问和解答及注释也有些许差异。 狩野本“探求球面积术第七”是异同比较多的一章，尤其是欠缺内阁本、东 大本中数学论的部分值得注意，即省去了包含“质形法( 则) 术( 理) ” “( 员) 数”等建部数学论的关键词语，如( 7 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 所示；但是，如( 1 5 ) 所示，狩野本“探弧数第十一”详细记述了内阁、东大本记述简略的内容，而且， 也用到了“法术”这样的用语。综上可以得出这样的结论，狩野本和内阁、东大 本相比省去了对于数学论的记述，狩野本是数学思想记述最少的一本，但是，狩 野本里记载的计算结果的数值位数更多，看来是更侧重于计算数据的精确程度。 还有就是，虽然在数学内容上，东大本和狩野本相似，但在书写字体上，狩 野本和内阁本更为接近，两本多使用生僻字和日语汉字的繁体字，但是狩野本自 “探算脱术第八”往后，字迹开始变得潦草，而且愈加混乱，大小不，这种 前后书写风格的不一致，似乎不是一个人所为。而这种情况也并未出现在其他两 本中；东大本中日语汉字的简体字较多，且生僻字很少见；还有就是在书写风格 上，东大本也不同于其他两本，狩野本和内阁本书写 ：= 整，字体圆润丰满，而东 大本中汉字连写较多，字体清瘦流泻，且日语假名的使用多过其他两本。 。狞野本第2 7 页，最后的“六”是丝阻后第6 8 位 。内阁本第4 0 页，东大本第2 8 页，狩野本第2 5 页 。内阁本4 5 页东大本3 3 页 。内阁本4 7 4 8 页，东大本3 5 页，狞野车3 3 页 。内阁本4 8 页，东太本3 5 3 6 页 8 内阁丰5 3 页，东大本4 0 4 1 页，狞野本3 7 3 8 o 内阁本是“探碎抹数第九” 缀术算经研究 2 3 。些看法 关于三个本子成书的时闻顺序，众说纷纭，见仁见智，唯一可以肯定的是 内阁本为最早成书的本子。对于其他两个本子的先后，学术界分歧较大，基本 有两种意见，一种是以小松彦三郎为代表的，认为最先是内阁本，其次是狩野 本，再次是东大本1 3 0 j ；另一种意见是以小川束为代表，认为最先是内阁本，其 次是东大本，再次是狩野本p ”。 经过上面的比较分析，笔者不揣浅陋，有以下几点看法： 首先认为东大本并非建部贤弘本人所编写，极有可能是后人在阅读内阁本之 后重新编写的，东大本的内外标题均称建部为“先生”，建部贤弘本人非常谦虚 谨慎，这点可以从书中表达对自己的评价“质偏驳、鲁钝”，以及建部贤弘在称 呼自己用到“吾”时，都是比其他字小一号，由此可知，建部贤弘行文当自谦， 所以他应该不会称自己为“先生”，并且一般的著作者都不会在自己名字后面加 上“先生”阻自称，所以，笔者持上述观点。其次，东大本中的“探药种为方之 术第六”，讨论的是组合数学问题，这章是内阁本中所没有的，联系整体看这章 的风格，在十二章的每章中阚或后面，都会有建部贤弘对这一类型的数学问题做 总结性的概括，并提炼出自己的数学思想或方法论，但唯独这一章从头至尾除了 设问和解题没有任何题外之话，结尾时也只是在“解题本术”后直接加上一句“此 为缀术也”，未免有些牵强，这一章和全书整体风格明显不符，应该是东大本的 编省按自己的意愿加上去的。三个本子当中，只有内阁本有建部贤弘的印章，故 内阁本无疑是建部贤弘亲笔所书，狩野本的字体刻意模仿内阁本，包括把“一” 写作“乙”、“三”写作“参”，“吾”字由于自谦而比其他文字小一号，但内容同 于东大本，故笔者认为狩野本的底本是根据内阁本和东大本而来，但狩野本的编 者似乎认为数学方法论以及数学思想不太重要，而去掉了内阁本中关于数学认识 论的段落，把重点放在了计算方面，其实重新编写缀术算经也是一个再创造 的过程，反映了作者的个人偏好和数学能力。但是，狩野本的作者尽力贴近内阁 本的原貌，因此标题和书的格式都同于内阁本，虽然没有把“自质说”单列一章， 原因可能就是一f - 面所说的，是编者轻视数学方法论的讨论。狩野本和东大本都没 有内阁本的“探求直堡极积术第六”，这是和算史上第一次讨论极值问题，建部 贤弘给出了相当于求多项式函数极值的费尔玛方法，是建部贤弘最重要的数学成 就之，奇怪的是，这么重要的问题为什么东太本和狩野本却都舍弃了呢? 另外，在内阁本的“探求球面积第八”中，建部贤弘给出了两种求球表面 积的方法，第二种方法和微积分先驱者之一的开普勒求积思想完全一致，为积分 思想的萌芽，可以说是建部贤弘非常重要的数学思想之一。但是，在东大本和狩 野本之中却不是出现在建部贤弘阐述方法的术文即“解题本术”之前，而是转移 到“解题本术”之后。对于关孝和探讨两种方法的优劣的议论之中，在这一点上 东大本和狩野本又各有不同。在东大本中并没有说明第二种方法为谁所属，而在 狩野本中紧随“解题本术”之后，说明第二种方法为关孝和所刨，但关孝和的著 述中，并无求球表面积方法，其“圆理”中也并无关于球表面积的内容，又何谈 此问题的解法昵。因此，可以推测第二种方法的归属并非狩野本中所言关氏所创， 不妨大胆推测，这两个抄本的编者，只是片面的知道关孝和对于第二种方法的赞 美，而误以为此方法为关孝和所创，以至于出现这种断章取义、妄下结论的谬误。 当然，关于三个抄本之间关系的问题，因可资考的历史信息不足，目前尚不 能确定，需要对具体细节作更加细致的分析。 缀术算经研究 数而探法者也。”道虽了建部贤弘何以“约分法，为例阐述“据数探法，的原因， 即从数值本身的特点出发而建立相对应的约分法则。 3 1 4 探招差法第四 例题：假如有四角尖垛，底面1 9 ，问积几何? 答日：积2 4 7 0 个。 建部贤弘所用的招差法即关孝和的累裁招差法。和算招差法最早出现在关孝 和的括要算法( 1 7 0 9 ) 元卷“垛积总术”与大成算经( 1 7 1 0 ) 卷五“叠乘 第二”之中。累裁招差法问题相当于，对于插值多项式 ) ，葺，( z ) = 口l 工+ 席2 j 2 + 口声3 + - + d 。z “ 在，1 个不同的点工，工：，x 。上的取值为只，y ：，n ，如何确定系数 打，口：，n 。a 所求插值多项式中的常数项n 。被省略，原因是此问题源于中国历 算，中国历算家在处理实际问题时一般常取常数项为零1 3 9 j 。和算家在此沿袭中算 家的术语，把插值节点t 称作各段限数，函数值y ；= 厂o ，) 称作各段元积， z = 羔：口，+ 8 ：工+ a 。j “的值t ：生( i ：1 ，2 ，n ) 为定积，多项式系数 x工 口。，口：，依次称作定差、平差、立差、三乘差、，l 一1 乘差。后来安岛直 圆( 1 7 3 3 1 8 0 0 ) 将其扩充到含有常数项口。的一般情形，并称之为直差。 累裁招差法主要分为四个部分：设元积第一、招差数第二、定加减第三、齐 差率第四。后两个部分是关于招差符号和奇零数的处理方法，招差过程主要包含 在前两个部分之中。 所谓“设元积法”，就是给出确定n 次插值多项式的必要条件：，i 阶均差相 等。“招差数”的过程如下： 限数元积定积平积立积 ，y ，z ，；旦，出，；至i ，6 ：2 ，。鳢， z l 工2 一x lx 3 一z 】 工：，y ：，z ：丝，出：；尘生，6z z ：丝，一 上2工3 一x 2x 4 一z 2 屯，) ，2 ，：丝，。至至，6z z ，。盟， x 3x 4 一i 3 x 5 一x ， x ，_ y ，z ；竖，出，：垃一1 ，_ y 。一1 ，z = 盟，屯= 二。二! 生 z 一1j 一卫n l h 1 乘积 6 1 2 2 2 6 “一2 2 1 工 一工1 缀术算经研究 如果设直堡( 长方体) 的阔为x ，长方体的长为工+ 7 ，高为8 吖，则体积函数 为y ( x ) 一z o + 7 ) ( 8 一，当长阔高有上述关系时，求体积的最大值。 建部贤弘先根据立元之法( 天元术) 得到体积函数： y 0 ) = ( 和x 差h + ( 和一差p 2 一z 3 ( 1 ) 建部贤弘首先以积数y o ) 与原式相消得开方式： 矿( z ) + ( 和x 差弦+ ( 和一差) z 2 一石3 = o 常数项的最大值以开尽方级( 一次项) 为限度，立阔为商作为未知量，用原式根 据“开出商数法”，求一次项的极限。 所谓“开出商数法”，就是运用综合除法解方程式，也即关孝和的“开方翻变 之法，计算原理如下： 对于一般的n 次多项式 厂( x ) 孟口。工4 + 口l z 4 1 + - + 口 一l z + d 以x 啦除，得商为 ( x ) = 工8 1 + 6 l x “一2 + - + 6 。一2 工+ 扫。l 余为丸，即，0 ) = 0 一口) o ) + k 上式等号右边展开得 0 一口) ( 6 0 x “。+ 6 l 工“一2 + + 6 ，一2 工+ 6 。_ 1 ) + 6 = 6 0 x “+ ( 岛一6 0 口扣“- 1 + ( 6 2 6 l 口p “一2 + - + ( 6 。一】一钆一2 口) x + ( k 一一。口) 所以 口o = 6 0 ，n 1 = 6 l 一4 ，应2 = 6 2 6 1 d ，口。，1 畜乜1 一乩一2 口，口。= 6 ，一6 。一1 口 即 不： = 口o ，| i ，j = 口1 + 6 0 口，6 2 = 口2 + 6 1 n ，- ，屯一1 = 口一，+ 6 z d ，= 口。+ 6 。一1 n 于是，由口。，q ，口。和口求6 0 ，岛，吒- 】以的计算过程，如下所 参见平山浠、下平和夫、广赖秀雄编：关孝和全集，大阪教育图书株式会杜，1 9 7 4 ，1 3 7 缀术算经研究 若6 ：= 0 ，则口为，( x ) ；0 的解。 然后对商逐次施行同样的计算，以3 次方程式甜3 + k 2 + 甜+ d = o 为例， 首先立适当的商为a ，重复3 次综合除法 口口6cd n a口d 2 + 6 a4 孑+ 6 孑+ c 口 口口口+ 6口d 2 + 6 a + c口i + 6 孑+ c 口+ d f = n 口口2 口+ 6 口 d2 口a + 63 4 + 2 6 a + c ( ：q ) 口口 d 3 口a + 6 ( p ) # ， 商。上面三段的综合除法可以变形为 烈3 + 奴2 + “+ d = ( z 一口x 矗( x 一8 ) 2 + p ( x 一8 ) + 窜) ( + ) 等号右边含有的n 一) 2 + p o 一口) + 口称为第一变式，对此施行上述相同的运 算： p n p q a pn ；b 2 + p 9 n 口卢+ p疗卢2 + p 卢+ g ( = f ) 口疗 n 2 口卢+ p ( = 5 ) 若f = o 为呵f 尽方”，此时，卢为变式为o 的方程式的解，“开方算式”中把卢 称为方级定商。若令z a = y ，则上述计算可变形为 掣2 + p y + 鸟= ( y 一芦) ( 口( y 一声) + r ) ( t 。) 等号右边含有的n ( y 一) + ，称为第二变式，对此施行同样的计算 若“= 0 为“开尽廉”，“开方算式”中把y 称为廉级定商，若令) 一声= z ，则上 述计算可变形为 缀术算经研究 盯+ ，；( z r 扣 ( 2 + ) 整理得 瓤3 + h 2 + a + d = 0 一口) ( ) 一声) ( z y ) z “一a ) ( x 一( 口+ 卢) ) ( y 一( 卢+ y ” = “一口) o 一( 口+ 卢) ) 仁一( a + 卢+ y ) ) 解为a 、乜+ 、a + ，+ r 。 “开出商数法”，即求方程式的解的方法，在本题中运用这种方法求导函数。 对于开次多项式，( z ) ，若 ，扛) ；0 一口) ，1 ( 曲+ ，j = ，0 ) ，1 ( 工) = 仁一a ) ，2 0 ) + r 2 ，厂2 = ，1 ) ， 一- ( z ) = 0 一n ) 扛) + ，厶= 一，0 ) 则 故 又 m 叫口) + 掣( 一) + 掣( 一) 2 + + 学”咿 小n ， 掣+ 掣卜。，+ 学卜矿。卜， 删= 华+ 争，+ + j ! ：! 堕( 石一。) n 一，；，( 。) n ! 、7 荆啦n ) 掣+ 掣卜，+ 学广2 + 华 胁降+ 学”小+ 学- 2 ，= 掣 = 掣加一o ，s ，川， 建部贤弘把未知量x 作为商，施行“开出商数法”，例如，函数 缀术算经研究 o 0 6 o 0 0 6 32 3 81 7 2= f d 1 8 32 5 61 7 2= f 口 0 1 81 5 4 6 8 - 32 5 7 80 1 7 3 2 = ( 芦 一o 1 8 32 5 9 60 1 7 3 2 = ( 0 0 1 8，o 1 5 5 8 6 8 3- 2 5 9 7 8o 仇7 3 3 2 = ( 一o 0 1 8 32 5 9 9 60 0 1 7 3 3 2= ( y = 6 菪把小数部分o 6 、o 0 6 、o 0 0 6 取为o 7 、o 0 7 、o 0 0 7 ，则剩余就为负，故 把解从左边近似的情况，4 6 6 6 是最佳近似，但是并不能确定是否是6 的循环， 值得注意的是4 6 6 6 。竺， 3 对此，建部说”所得阔尺下带不尽，故以原式实三因、方依旧、廉三约，开 平方除之得一十四尺，三约得四尺三分尺之二”。，即令f = 缸，y 0 ) = 0 就变形 11 为5 6 + 专f 一 f 2 = o ，去分母得：3 5 6 + 2 f f2 = o ，再施行一次开平计算： 4 121 6 8 1 0一8 0 188 8 1 0 11 88 8 48 8 12 20 一f 2 + 2 f + 1 6 8 = ( f l o ) ( 一1 f 一8 8 ) + 8 8 = 一a2 一1 8 a + 8 8 ，( f 一1 0 = a ) = ( 一4 x 一口一2 2 ) + 0 。缀术算经第六，探亘堡极积术，建部贤弘，内阁文库藏抄本，第2 3 5 8 1 号 缀术算经研究 m 一1 时，最后所剩下的一个石子为初数之石子。此时，”一1 叫做正限数。 这一减去一的理由，是由于以初数之石子为白石，其他为黑石，希望最后剩白石， 九1 就成了黑石的数。 脱数肌正限数，1 1 213 7 1 53 1 33 58 3 06 9 414 8 1 1 1 5 52 51 11 43 6 6 1271 37 3 72 24 99 22 3 4 3 1 9 814 91 92 9 99 0 1 4 52 0 72 3 34 7 4 1 0 11 52 17 02 2 6 建部所述的方法正是如上图所示，反映了以归纳方法求最后一个石子是初数 的石子的条件。 首先从两个两个一数，考虑捡验什么时候正好( 整与不整) ，为方便起见， 将起初数的石子定为黑子，余者为白子，为达到日的，只须确定白子数为n 1 即 可。通过检验，当白子数分别为1 、3 、7 、1 5 、3 1 、等数时，对m = 2 合适。 再考虑每3 个数之，则n 1 _ 3 、5 、8 、3 0 、6 9 、 再考虑每4 个数之，则n 1 = 1 、4 、8 、1 1 、1 5 、 再检验下去，每1 0 个数之时，n 一1 应为：l 、1 5 、2 1 、7 0 、2 2 6 、所以l 、 1 6 、2 2 、7 1 、2 2 7 等数是每1 0 个数情况的解。 3 2 4 探求球面积术第八 假如有球径一尺，问面积几何? 答日：面积三百一十四尺一五九二六五三五 九弱。 依削片之术，【细抹者，不顺质故不用】求径一尺oo 一厘之球积，减径一 尺之球积得片实积【一寸五七二三六七六四六七二强】，以片厚【五毛】除之得 片面积【三百一十四寸四七三五二九三四四强】。 亦求径一尺oo oo 一丝之球积，减径一尺之球积得片实袒【一厘五七。八一二 。三四八一强l 以片厚【五忽】除之，得片面积【三百一十四寸一五九二九六七 七五强l 。 又求径一尺ooo o oo 一微之球积，减径一尺之球积时，得片实积【一丝 五七。七九六四八三八七强】，以片厚【五织】除，得片面积【三百一十四寸一 五九二九六七七五弱】，随是片厚之最微，真数徐显者也。 视三件片面积，依损约术求得球面真积三百一十四寸一五九二六五三五九 弱。探此见积数为圆周之法。敌领会当圆周法乘。即以圆周法约球面积，得整一 百之数，此即为径自乘之数，探会而成本术。 亦球心看作锥之尖，球半径看作锥高，球积看作锥积，积乘锥法三以锥高除，得锥面 积，便为球积。 f 解题本术1 置球径自乘，以圆周率乘之，如径率而一，得面积也。 此题是求球表面积。建部的方法是用关孝和的“削片法”分别求出直径分别为 3 3 缀术算经研究 西= 1 + ，( 1 _ 1 ，2 ，3 ) 和d o = 1 的球的体积k 和，建部给出1 = o 0 0 1 、：= o 0 0 0 0 1 、 岛= o 0 0 0 0 0 0 1 三个插值点。 削片法是关孝和于括要算法( 卷四) 中推广割圆术求球体积的方法。其 算法大意如下： 设球直径如1 ，以平行截面截其为厚度o 0 2 的5 0 个薄片，上下半球各2 5 个薄片，于是设相应的弦、矢为，j 、珥( f = l ，2 ，2 5 ) ，根据勾股定理，分别求 出弦z 。的幂，根据公式： 琶一竿x o 吆= 华x o 毗； 求各薄片之体积，这- 二方法来源于村松茂清的算俎之求玉率【4 吼，见b 球体积第 一次近似值为k = 2 磊曰i ，称作初积d 再