高中阶段数学思想方法教学研究--优秀毕业论文 参考文献 可复制黏贴.pdf

西北师范大学 硕士学位论文 高中阶段数学思想方法教学研究 姓名：韩慧萍 申请学位级别：硕士 专业：学科教学数学 指导教师：傅敏 20061101 高中阶段数学思想方法教学研究 摘要 传统高中数学教学忽视数学思想方法的教学，这已经严重影响了我国2 1 世 纪人才培养的模式。本文适应当前我国新的基础教育课程改革的要求，从高中数 学教学现状出发，提出在高中数学教学进行数学思想方法教学的必要性和教育价 值；并在研究了相关的教育教学理论的基础上，分析了数学自身的学科特点和特 有的精神气质，并结合前人已有的成果和自己的教学实践，阐述了高中阶段数学 思想方法教学的原则和操作程序等，从理论和实践两方面论证了在高中阶段进行 数学思想方法教学的意义。 通过研究表明，高中阶段数学思想方法教学，特别在教师教学和学生学习两 方面都具有独特韵功能。本文在广泛调研的基础上形成了对数学思想方法教学的 一些观点，希望通过理论和实践上的一些努力做出一些尝试性的工作，为中学数 学教学改革提供有益的参考。 关键词：高中数学教学数学思想方法教学策略 i i 高中阶段数学思想方法教学研究 a b s t r a c t t h ei g n o r a n c eo fm a t h st h i n k i n gm e t h o d si nt r a d i t i o n a lm a t h st e a c h i n gi nh i g h s c h o o lh a sg r e a t l yi n f l u e n c e dt h em o d eo ft r a i n i n gp e r s o n a li nt h e2 1 “c e n t u r y t o m e e tt h en e e d so fn e wc o u r s er e f o r mi ne l e m e n t a r ye d u c a t i o n ，t h ep r e s e n te s s a y p o i n t s o u tt h en e c e s s i t ya n dv a l u e so ft e a c h i n gm a t h st h i n k i n gm e t h o d si nh i 曲s c h o o ! a f t e r s t u d y i n gt h er e l e v a n tt e a c h i n gt h e o r i e sa n da n a l y z i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c so fm a t h s ，t h e p r e s e n te s s a ye x p l a i n st h ep r i n c i p l e sa n do p e r a t i o ns e q u e n c eo ft h et e a c h i n go fm a t h s t h i n k i n gm e t h o d sa n da n a l y z e dt h em e a n i n go ft h et e a c h i n go fm a t h st h i n k i n g m e t h o d si nt h e o r ya n dp r a c t i c e t h es t u d ys h o w st h a tm a t h st h i n k i n gm e t h o d si nh i g hs c h o o lh a v eas i g n i f i c a n t f u n c t i o nf o rs t u d e n t sa n dt e a c h e r s t h ep r e s e n tw r i t e re x p e c t st h a tt h ei d e a si nt h i s e s s a y , w h i c ha r cb a s e do ns t u d ya n ds u r v e yc a ng i v es o m er e f e r e n c et ot h em a t h s t e a c h i n gr e f o r mi nh i g hs c h 0 0 1 k e yw o r d s ： m a t h st e a c h i n gi nh i g hs c h o o lm a t h st h i n k i n gm e t h o d s t e a c h i n gs t r a t e g y i i i 高中阶段数学思想方法教学研究 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 始尊莹擎 臼期 矽多， 日期：竺：生：! ! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：堇辫导师签名；触日期： 高中阶段数学思想方法教学研究 第一部分：引言 一、论文研究的目的和意义 随着数学教育的发展，教学的教育功能越来越为人们所认识。数学不仅是 人们参加社会生活、从事生产劳动和学习研究现代科学技术必不可少的工具， 而且它的内容、思想方法已成为现代文化的重要组成部分，因而引起广大数学 教育工作者对数学思想方法的探索和研究兴趣。1 9 9 2 年8 月国家教委制定的九 年义务教育数学教学大纲中，明确提出数学思想和方法是数学知识的组成部 分。新的数学课程标准“前言”中又指出：数学为其它科学提供了语言、思 想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、 想象力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思 想、方法和语言是现代文明的重要组成部纠1 1 。教师应激发学生的学习积极性， 向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程 中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学 活动经验。 所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之 中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产 生的本质认识，基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、 总结性和最广泛应用性的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思 想的基本特征，并且是历史地发展着的。f 2 j 所谓数学方法则是处理、探索、解决问题，实施有关“数学廖想”的技术 手段与操作程式。“方法”是指向“实践”的，是理论用于实践的中介，数学方 法的运用、实施与数学思想的概括、提炼，是并行不悖、相互为用、互为表里 的。由于数学方法与数学思想互为表里，它们都建立在一定的知识基础上，反 过来又促进知识的深化和向能力的转化【3 1 。从数学方法论的角度考虑这种既同 一又有差异，但却没有明确界限的数学思想和数学方法及其关系时，特别是考 虑到中学生的实际认识水平，因而在教学大纲、教科书和实际教学中，通常把 “数学思想”和“数学方法”笼统地称为“数学思想和方法”或“数学思想方 法”。本文也是基于这样的认识并运用的。 数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷 的数学发现的源泉。学生只有把数学知识上升到数学思想方法，才能有效地提 高中鼢段数学恩想方法教学研究 高数学素养，乃至学生的整体素质。首先，数学思想方法是素质教育的重要内 容。素质教育要求我们教育要面向全体学生，让每位学生都得到全面发展。为 了实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得 到不同的发展。” 】数学思想方法比形式化的数学知识更具有普遍性，在学生未 来的工作和生活中有更加广泛的应用。其次，数学思想方法有助于教师正确的 把握教材。高中数学教学体系包括两条主线：一是数学知识，这是写在教材上 的明线：二是数学思想和方法，是隐含在数学知识中的暗线。教师只有掌握数学 的思想和方法，才能明确领会教材编写的意图。才能从整体上、本质上去理解 把握教材，才能科学、灵活地设计教学过程，选择教学方法，提高教学效率。 再有，数学思想方法有助于培养学生的能力。0 ) 完善认知结构良好的数学知 识建构不只是取决于知识点的多少，更为重要的是知识的联系、组织方式，是 结构捧列的层次性和有序性数学思想方法能够优化这种组织形式，促进各部 分数学知识的融合，成为数学知识结构的核心和灵魂。( 2 ) 指导学习迁移。数学 思想和方法是对数学知识的提炼和概括，它一旦形成，不仅对数学思维活动起 指导作用，而且会对学生的世界观、方法论产生深刻的影响，形成学习效果的 广泛迁移，包括从数学领域向非数学领域的迁移。( 3 ) 促进思维发展。数学思想 方法的渗透对促进学生恩维发展起着重要的作用，有利用培养学生的解决问题 的能力，有利于对学生进彳亍辩证唯物主义的启蒙教育、审美教育等 但从我冒目前高中数学教学现状来看，教学中对数学思想方法的重视程度 还远远不够，数学教学以概念、定理、规律的灌输，大量的习题谰练为主要的 教学模式仍然占据着课堂教学的主要位置。数学是作为人类文化遗产中的一个 主要部分，它来源于人又服务于人，因而是- - f - 人类科学。而在数学学习被降 低为记忆公式和概念时这一特尉的文化价值就丧失殆尽了。胪j 为了克服传统数学教学的弊端，在高中数学教学中探索数学思想方法教学 的有效方式和途径作为改变当前高中教学现状的重要内容正日益受到国内外学 者的广泛重视。发挥数学思想方法教学的特点和优势，探寻数学思想方法教学 的途径和方法是数学教学应对当前普通高中课程改革的主要途径之一。 二、国内外研究现状 数学思想方法教学作为数学教学研究领域的一个重要内容，受到数学学科 形成的深刻影响，因此对数学思想方法教学的理解必须沿着人类对数学思想方 法认识的轨迹进行理性的思索。列宁告诉我们，进行研究“最可靠、最必需、 2 高中阶段数学思想方法教学研究 最重要的就是不要忘记基本的历史联系，考察每个问题都要看某种现象在历史 上怎样产生，发展中经过了那些主要阶段，并根据它的这种发展去考察这事 物现在是怎样的”。1 6 1 ( 一) 国外观点 在西方，最先提出数学思想方法论观点的可以追溯到t h a l e s ( 公元前7 6 世纪) ，他是古希腊第一位数学家，他的观点包括这样两个思想：数学命题应加以 演绎证明；在数学中应先建立一般的原理和规则。由于他的努力，数学开始成 为- - f 演绎科学。1 7 l p y t h a g o r a s ( 公元前6 世纪) 系统地提出了数学思想方法论， 他认为“数的要素就是万物的要素”，因而可以用数学来把握自然的规律。 p l a t o ( 公元前4 2 7 一前3 4 7 ) 发展了p y t h a g o r a s 的数学方法论，他认为，科学思维 的认识形式是概念，人们只有用数学概念来认识世界1 8 】。他发展了演绎证明的 思想，指出这种证明应该有出发点。这是最早的公理化思想，完整地提出数学 中所用的逻辑体系，而提出数学证明原理以及数学知识理论化的工具( 公理法) 的是古希腊的a r i s t o t e l e s ( 公元前3 8 4 一前3 2 2 ) 现存称为古典逻辑的二值原理及 三段论证法的逻辑规则也是由他奠基的。现行高中数学教学中，逻辑法占据教 学的主要位置就不难从中找到出处。 欧洲文艺复兴时，古希腊人认为：“数的要素就是万物的要素”，数学是世界 的“本质”之一，因而具有必然的真理性，可以用数学来把握自然的思想也得 到复兴和进一步发展，因而数学是研究其他科学的工具。g a l l i ( 1 5 6 4 一1 6 4 2 ) 首先确认了这种数学方法论思想，并且提出用数学公式表达科学知识，尤其是 自然规律的新的方法论原则，他是把数学方法和实验方法相结合并用于科学研 究的第一个人。s c a r t e s ( 1 5 9 6 1 6 5 0 ) 对数学方法作了重要的发展，提出了数学 一演绎法，一方面，他把数学看成是作为方法的科学；另一方面，他又认为数学 方法是演绎推理的工具，只有利用数学，才能从必然的真理演绎出可靠的知识 来。他把代数的推理方法与逻辑相结合，使之成为普遍适用的演绎推理工具( 称 之为“万能方法”1 。d e s c a r t e s 把这一工具用于古典几何，创建了解析几何学， 这是微积分思想的雏形，并由此证明了计算和证明相统一的数学方法论。1 9 】 2 0 世纪初，随着集合论悖论的发现，数学出现了一场“危机”，人们从各 个方面去寻求解决的方案，其+ 是采取某种方法对集合论进行一定的限制，从 而避免产生悖论；其二是从整体上对数学的思想方法、数学理论结构进行新的探 讨。前者导致了公理集合论，而后者引出数学基础的各种学派，这些学派同时 高中阶段数学思想方法教学研究 讨。前者导致了公理集合论，而后者引出数学基础的各种学派，这些学派同时 也提出了不同的方法论观点。逻辑主义者想用逻辑方法来排除悖论，他们试图 从逻辑推导出整个数学，但未获成功，不过按他们的把数学逻辑化的方法论原 则，人们实现了普通逻辑向数理逻辑的转变。 公理化思想发展的一个方向是结构主义的方法论，其代表为3 0 年代起的法 国b o u r b a l d 学派。其方法论要点是：数学是以数学结构作为研究对象的；全部 理论或大部分数学都可以按照结构的不同而加以分类：数学理论的发展，就是 各种结构的建立、改进和扩充；几种数学结构之间的联系、沟通和统一，也是 数学发展的形式之一。 由上述可知，国外数学基础研究显示出数学具有一种在一定阶段上反思自 身的方法论特点。对此，齐民友这样表述：数学不仅仅研究宇宙的规律，而且 也研究它自己，在发挥自己力量的同时又研究自己的局限性，从不担心否定自 己，而是不断反思，不断批判自己而且以此开辟自己前进的道路。0 0 l ( 二) 国内观点 我们自古社会生活都是以农业生产为主，古代的数学方法论与西方不同， 中国古人认为，数学产生于人的实践活动，特别是测量、计数等活动中，因此 可以用于人的实践，即社会生活的各个领域。应用是中国古代数学的且的，数 学表述为与社会生活密切相关的“应用数学”体系，数学知识按应用方向而系 统化。利用数学来解决实际问题一般都涉及具体的数据，因而重计算是中国古 代数学方法论的特点之一，由于计算的需要，努力发展的是各种算法，数学的 发展表现为算法的改进和新算法的提出，现代数学方法论已经接受了这一观点。 中国古代数学还开创了数学模型法。许多数学著述以数学模型为纲建构章节。 公元1 世纪成书的九章算术，系统而全面地确立了中国古代数学方法论的上 述特点。因此我国的数学教学往往带有倾向于应用的痕迹除了与考试选拔的 有关之外，这与我国的数学形成的传统还是有很大的关系，在教学中对数学学 科内涵不求甚解的弊端因此暴露无疑。 鸦片战争后西学传入我国，对我国传统的数学思想方法论产生了剧烈的冲 击，随之诞生了一批富有才华的数学家和教育家，对我国的教育产生了深远的 影响。以华罗庚、苏步清和陈景润为主要代表，他们都对我国数学思想方法论 研究领域做出了积极的贡献。 综此，数学方法论是数学发展的产物，它对数学研究与数学创造起着十分 4 高中阶段数学思想方法教学研究 重要的导向作用，因而又对数学的发展起着重要的促进作用。而数学方法论的 作用，使它受到数学界、数学哲学界和数学教育界的多方面重视和深入探讨。 近年来，由于许多国家( 包括中国) 在中学数学课程标准( 教学大纲) 中提出了数学 思想和数学方法的教学要求，数学方法论研究进入了中学数学教师的日程，提 出了诸如“头脑编程”和“数学建模”等与数学教育有关的新的数学方法论课 题，这无疑把数学方法论研究推向一个新的阶段。 在本次高中课程改革中，关注数学知识的形成过程即让学生深刻领会数学知 识形成过程中所蕴涵的数学思想方法成为了本次新课程改革的亮点。因此，提高 数学教师的专业素质，并积极将数学教师的专业化发展与教育教学相结合就成为 了新课程推进过程中的难点。“九年义务教育课程方案实施状况的调查报告”中 指出：我国义务教育以被动接受为主要特征。教学以教师讲授为主，很少让学生 通过活动与实践来获取知识。 1 1 1 特别是在数学教学中，学生对数学思想方法的理 解与认识更是肤浅，报难形成对数学学科结构较为完整的理解。对在高中数学教 学中，这样的问题依然突出。这反映了数学思想方法教学是否符合了本次新课程 要求的重要闯题，成为了当前数学教学研究人员和数学教师研究的热点。宋改霞 的 ，2 0 0 4 ， 1 0 ) ，李玲的 数学与数学思想( 达县师范高等专科学校学报，2 0 0 5 ，3 ) ，林 红珊，郑庆玉的数学思想方法研究与教学( 中国教育科学探究，2 0 0 5 、7 ) 等文献都是针对当前新课程形式下对数学思想方法教学问题的讨论。在研读这些 文章可以发现，作者们都从新的知识观和新课程的理念出发，探索符合我国实际 情况的高中阶段数学思想方法教学的新途径。 总的来说，我国数学思想方法论和数学思想方法的教学研究起步较晚，与 国外同类研究相比还存在较大差距。我国广大数学教育工作者虽然在一定程度 上认识到了数学思想方法教学的重要性，但对于数学思想方法教学的理论依据 仍缺乏系统深入的分析，许多看法来源于经验体会，缺乏广泛的调查研究和理 论上的论证，更缺乏具体的实证性研究，而如何通过教学实践发挥出数学思想 方法的积极作用，还缺乏有指导性、可操作的教学模式或实践方式。当前国内 高中数学教师对待数学思想方法的态度如何? 理论基础是什么? 数学学科的本 质特点是什么? 各种数学思想方法的特点是什么? 此类闯题都需要作系统的梳 高中阶段数学思想方法教学研究 理、分析和研究。 三、论文研究的思路和方法 针对以上所谈不足，论文将采取历史法、文献分析法、实验研究法、调查 法等多种教育研究方法对高中阶段数学思想方法教学的问题深入研究，拟研究 思路如下： 1 、高中阶段数学思想方法教学的内涵及教育价值 论文首先阐述高中阶段数学思想方法教学的教育价值，并且根据对当前高中 阶段数学思想方法教学的调查情况分析数学思想方法教学的必要性。 2 、高中阶段数学思想方法教学的理论建构 其次，论文将从各种数学思想方法的特点及与高中阶段数学思想方法教学的 关系、数学学科的特点、高中生学习特点等几方面构建高中阶段数学思想方法教 学的理论基础。 3 、高中阶段数学思想方法教学的原则、思路和方法 论文根据国内外学者的理论与实际研究成果，概括出高中阶段数学思想方法 教学的方法和教学原则，并以实际操作案例提出高中阶段数学恩想方法教学特点 和思路。 最后，对该论文进行评价和总结。对全文研究进行评价与总结，在反思中对 高中阶段数学思想方法教学过程中遇到的深层问题进行分析，并对研究的前景进 行展望。 第二部分：高中阶段数学思想方法的内涵及数学思想 方法教学的教育价值 一、高中阶段数学思想方法概述 数学思想方法是数学的灵魂，是数学的本质，是联系各方面数学知识的纽带。 其中，数学思想是对数学理论和方法在更高层次上的提炼和概括，属于理性认识 的范畴；数学方法是人们在数学活动中使问题得以解决的途径和手段- 是数学理 论与实践的中介，并指向数学实践活动。中学教科书中处处渗透着基本数学思想， 是中学数学的精髓，因而在中学数学教学中应该有选择地渗透一些数学思想方 法，使学生选用且善用。 1 、化归与转化的思想方法 高中输段数学思想方法教学研究 化归思想是把个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较 为复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于 一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。数学史表明，数学家 解决问题的传统，就是要作变换把问题转化为已知的或易于解决的领域的“新” 问题。这就是化归与转化的思想方法。它在数学学习与数学研究及数学发明与发 现中具有重要的方法论意义。具体地说，就是当待解决的问题难以直接解决时， 根据问题的性质、条件或关系的特点，采取适当的变换方法而对问题进行转换， 最终把它转化并归结为容易的、较简单的或已经解决的问题的思想方法。因而从 本质意义上讲，数学中分析问题解决问题的思维过程就是不断地化归与转化的过 程。将复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题直观化，化实际问题 为数学问题，化难为易，变未知为已知，化一般为特殊，化特殊为一般，化抽象 为具体等。代数中高次向低次转化，多元向一元转化，数转化为形，形转化数， 三角中的恒等变形，儿何中图形的变换，坐标的变换等。 化归的基本途径与方法是： ( 1 ) 等价转化：将原命题转化为与已知等价的命题： ( 2 ) 数形转化：将问题中的数量关系( 解析式) 与空间形式( 图形) 关系相 互转化； ( 3 ) 降维与升维的转化； ( 4 ) 构造法：“构造”一个合适的数学模型使问题易于解决。 在数学教育实践中，努力培养学生化归与转化的思想意识并最终形成学生个 体的化归与转化的能力，对提高学生的数学思维能力和创造性地解决问题的能 力，具有决定性的作用。 2 、数形结合的思想方法 数形结合思想方法是指在研究一对象时，既分析其代数意义，又揭示其几何 意义，用代数方法分析图形，用图形直观理解数、式中的关系，使“数”与“形” 各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来数形 结合思想方法采用了代数方法和几何方法中最好的方面：几何图形形象直观，便 于理解；代数方法的一般性、解题过程的机械化、可操作性强、便于把握因此 数形结合思想方法是学好高中数学的重要思想方法之一。下面以高一数学新教材 的内容为例谈谈数形结合思想方法的渗透运用。 数形结合思想是充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来。即通过 高中阶段数学思想方法教学研究 作一些如线段图、树型图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系， 使问题简明直观。就高一数学新教材的知识点的分布的而言，数形结合思想方法 的重点结合部是：集合的关系与运算、绝对值不等式、一元二次不等式( 教材主要 介绍豹解法是利用“三个二次”的关系，辅以二次函数的图象) 、映射的定义、 函数的定义域、值域、函数的性质( 单调性、奇偶性、周期性) 、互为反函数的函 数图象闻的关系、等差数列的通项公式及前n 和公式、三角函数的定义、用与单 位圆有关的有向线段表示三角函数值、向量等。向量的内容是高中数学新大纲新 增加的，向量是既有大小，又有方向的量，向量的凡何表示是有向线段，又通过 向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，使向量运算完全代数化，把关于向 量的代数运算与数量( 向量的坐标) 的代数运算联系起来，从而把形与数紧密结合 起来，这样很多几何闯题的证明，就转化为学生熟知的数量的运算，这使得向量 成为数形结合桥梁，成为中学数学知识的一个交汇点。 3 、函数与方程的思想方法 函数的思想方法，就是利用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量 关系，建立函数关系式，运用函数的知识，使问题得到解决。这种思想方法在于 揭示问题的数量关系和本质特征，重在对问题中的变量的动态研究，从变量的运 动变化，联系和发展角度打开思路。 方程思想是从问题的数量关系分析入手，运用数学语言将问题中的条件转化 为数学模型( 方程，不等式或方程与不等式的混合组) ，然后通过解方程( 组) 或不等式( 组) 来使闯题获解。 函数与方程是数学的主要研究对象。函数与方程主要是研究变量之间相互联 系、相互依赖、相互制约、相互转化的关系，这种关系普遍存在于客现世界事物 之间而函数与方程的思想方法正是客观世界事物之间普遍联系规律在数学领域 中的体现。 4 、分类整合的思想方法 分类思想方法是一种等价特殊化，其基本思想是：为了解决一个有关一般对 象x 的问题，可将x 分解为特殊的组合，而关于特殊对象的问题是易于解决的。 人们可以从这种对象的组合过渡到解的组合而获得原问题的解。 分类思想方法是高中重要的数学思想方法之一，它是一种重要的思维形式， 需以各种知识融汇贯通为前提，应注意为什么要分类? 怎样进行分类? 应遵循什么 原则? 8 高中阶段数学思想方法教学研究 明确引起分类讨论的原因，有利于掌握分类整合的思想解决问题，分类讨论 的主要原因有： ( i ) 由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函 数的定义、直线与平面所成角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等。 ( 2 ) 由数学运算要求引起的分类讨论：如分式运算中分母不为零，偶次方根 为非负，对数中真数与底数的要求，不等式中两边同乘以个正数，负数不等号 方向的影响等等。 ( 3 ) 由图形的不确定性引起的分类讨论。 ( 4 ) 由参数的变化引起的分类讨论，某些含参数的问题，由于参数的取值不 同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 ( 5 ) 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列组合问题，应用问题 等等。 总之分类讨论的目的是把复杂问题分解为诸个简单问题， 三f 便“各个击破”， 是一种解决问题的策略，体现出局部与整体的辩证关系。 运用分类整合思想的基本步骤是： ( 1 ) 明确讨论的对象，即对哪个参数进行讨论； ( 2 ) 对所讨论的对象进行合理分类； ( 3 ) 逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ( 4 ) 归纳总结：将各类情况总结归纳。 分类时，要保证：1 、分类中的各子集是互相排斥的，即没有重复；2 、分类 中所有子集的并集应等于全集，即没有遗漏；3 、每次分类必须持相同本厦属性 的标准；4 、分类讨论应当逐级进行，不能越级。 5 、特殊与一般的思想方法 由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程 之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的 基本认识过程就是数学研究中特殊与般的思想。 特殊与一般的思想方法是广泛适用的一种重要的数学思想方法，对于一般性 问题，抽象问题，运动变化问题和不确定问题都可考虑用此方法去探求解题途径， 比如，对于递推数列问题，可以采用“归纳一猜想一证明”的方法去解决问题， 首先通过特例探索，发现一般规律，然后再用这个规律来解决其它特殊问题，这 是特殊与一般的思想方法最常见的应用之一。再如某些特殊问题，如求值，比较 高中阶段教学思想方法教学研究 大小，要注意研究其数量特征，发现一般模型，再由一般解决特殊；而对于抽象 函数问题，一是常联想具体的，熟知的函数，实现抽象向具体的转化，二是通过 赋值，把抽象问题具体化：还有一些“信息迁移题”，常从简单情形做起，通过 观察，归纳和类比，进行合乎逻辑的推理，得到一般的规律，再用来解决相应问 题，这种题型对阅读理解能力要求教高，对“一般与特殊”的辨证关系的理解和 掌握要达到教高的层次。所以说这种数学思想方法的应用水平能反映出学生的数 学素养和一般能力，因此考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置。 此外，中学阶段，常用的数学思想还有：字母代数的思想、集合和映射的思 想( 包括函数的思想) 、极限的思想等等。理解、掌握和运用数学思想方法是数学 学习的重要组成部分，因为“没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括 数学思想方法的数学知识”。因此，在数学教学中，不仅要重视数学知识的学习， 同时也要注重数学思想方法的掌握。只有二者兼顾，才能切实培养和提高学生的 数学能力。教师在数学教学中应注意有目的、有选择、适时地进行渗透。 二、高中阶段数学思想方法教学的教育价值 首先，从高中数学教学的目标出发，论文从以下三方面论述高中阶段数学思 想方法教学的教育价值。 ( 一) 数学思想方法是学生形成良好数学认知结构的前提 现代认知心理学认为，数学学习的过程是学生建立、扩大或重新组合数学认 知结构的过程。因此，数学教学的根本任务就是促使学生的数学认知结构不断地 得到优化和发展【1 2 1 。所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己理 解的深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合 成的一个具有内部规律的整体结构。由此可见，数学认知结构是数学知识结构在 学生头脑中的反映，是学生在学习的过程中逐渐积累起来的数学观念系统。从数 学认知结构的组成要素来看，主要是数学概念、定理、公式、法则等以及它们之 间的联系方式，数学思想方法以及作为数学认知活动动力系统的非认知因素等。 其中，数学的概念、定理、公式、法则及它们之间的联系方式是数学认知结构的 硬件”，是进行有效数学活动的物质基础”，但它们本身并不具各能动性；数学思 想方法作为数学认知结构中的一个主要成分，蕴涵在具体的数学知识之中，发挥 着纽带作用，决定着知识之问的联结方式。学生一旦理解和掌握了数学思想方法， 就会形成条件化的知识，这样，当学生面临问题时，便能迅速、准确地从头脑中 检索、提取与任务相关的知识，形成问题与知识之间的丰富联结，并最终选择出 1 0 高中阶段数学思想方法教学研究 解决问题的最佳方案，而这也正是良好数学认知结构的最主要的特征。可见数学 思想方法是数学认知结构中最积极活跃的因素。另外，从数学认知结构的形成过 程来看，数学认知结构是以原有的认知结构为基础，通过同化或顺应转化而形成 的。但无论是同化过程，还是顺应过程，本质上都是已有数学认知结构与新数学 知识之间相互作用，实现从旧的平衡向新的平衡转化的过程，而转化正是数学思 想方法的核心与精髓。因此，学生的数学认知结构能否优化和发展，与其对数学 思想方法的掌握有很大的关系。数学思想方法决定着数学认知结构的状况，是学 生形成良好数学认知结构的前提条俘。 ( 二) 数学思想方法是培养学生数学能力的根本途径 数学知识的积累为数学能力的形成创造了条件，但知识不能自动转化为能 力，知识水平的高低不能与能力大小成正比，因此，培养学生的数学能力必须寻 找其他途径。长期以来的实践表明，试图通过让学生做大量习题，进行解题训练 来培养学生的数学能力的教学并不成功，主要原因在于忽视了数学思想方法的作 用。事实上，在学生具备了一定的知识之后，数学能力培养的关键是运用数学方 法在数学活动中积累感性认识，随着感性认识的积累达到一定的程度，学生的认 识便会发生飞跃，形成对一类数学活动的理性认识，即有关的数学思想，与之相 伴随，学生的数学能力便逐渐形成。因此，数学思想方法是培养学生数学能力的 根本途径，对学生数学能力的提高具有统摄作用。 中学阶段的数学能力，重点是运算能力、空间想象能力、思维能力以及运用 数学知识分析问题、解决问题的能力。这些能力的培养，都是在学生掌握和运用 相应的数学思想方法的基础上得以形成的。运算能力是指会根据有关法则、公式 正确处理数据，能够理解算理，能够根据问题条件寻找并设计合理而筒捷的运算 途径。运算能力的高低取决于运算技能、思维水平以及对算理的理解等，其核心 则是在正确理解概念的基础上，掌握转化的思想方法，提高学生对数或式的变形 能力。空间想象能力主要指能够想象几何图形的运动和变化、能够对复杂图形进 行分解并确定量和位置等关系。空间想象能力的培养是几何、代数、微积分等课 的共同任务，其中，图形的变换思想、数形结合思想以及有关的各种数学方法则 对学生空间想象能力的培养起着基础性的作用。思维能力包括掌握逻辑的有关方 法进行推理，正确表达自己的思想和观点，能运用数学的概念和思想方法认知数 学关系，促进个体思维品质的优化。在思维能力的培养中，数学概念的理解和掌 握是基础，而在数学问题解决活动中，突出数学思想方法的形成和掌握则是培养 l i 高中阶段数学思想方法教学研究 学生思维能力的关键。分析和解决实际问题的能力是一种综合能力，在实际数学 问题解决中，需要学生能够将解决具体问题的思想方法、逻辑方法和一般的数学 思想方法综合运用。上述分析表明，数学能力的培养随能力成份的不同，所采用 的手段和方式各有侧重，但核心是学生必须掌握和学会运用各种数学思想方法， 只有这样，才能充分发展学生的数学能力。 ( 三) 数学思想方法是培养学生创新能力的关键 进入新世纪以来，创新能力作为适应社会发展需要所必备的能力，受到越来 越多的关注，已被确立为基础教育中毖须着重培养的能力。数学作为基础教育的 主要学科之一，又由于学科本身的特点，在创新能力的培养中发挥着独特的作用。 在过去的数学教育中，由于教育教学体制等客观原因，使得在知识内容的学习上 偏重于强调概念、结论等知识的机械记忆，在解题教学中强调套用题型和解决具 体问题时的一招一式，而较少从思想方法的角度关注概念和结论的产生过程与具 体应用，这种教学模式使学生很难达到对知识的真正理解及对其中所蕴含的思想 方法的体会。 因此，数学教学必须强调数学认知活动的全面性，使学生的认识真正有机会 经历数学知识的发生发展过程，这样才能使刨造能力的培养真正落到实处。着眼 于学生创造能力的培养，数学教学必须改变传统的教学模式，把学生作为教学活 动的主体，使教师从数学知识的传授者变为数学活动的组织者、指导者、参与者 和研究者。教师应充分发挥创造性，依据学生的年龄特征和认知特点，设计具有 探索性和开放性的数学问题，给学生提供自主探索的机会。让学生在观察、实验、 猜测、归纳、分析和整理的过程中去理解一个数学问题是怎样提出来的、一个数 学概念是如何形成的、个结论是怎样探索和猜测到的以及结论是如何应用的。 在这样的过程中，数学思想方法发挥着极其重要的作用，主要体现在它为学生提 供了有关如何学习、如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识与 事实性知识的结合是非常紧密的，它们相互渗透、相互融合，这就要求在数学教 学中，教师应把这些策略性知识的传授与数学具体知识的学习运用结合起来。从 而使学生一方面获得知识，另一方面体会到知识发生发展过程中的思想、方法。 “因此，数学思想方法在培养学生创新能力方面发挥着关键作用。 数学思想方法在数学教育中的价值不仅表现在阻上三个方面，事实上，它体 现在培养学生素质的多个方面，如数学思想方法有利予学生个性心理品质的培 养，有利于学生正确世界观的形成等。因此，在数学教学中，教师要提高对数学 1 2 高中阶段数学思想方法教学研究 思想方法教育价值的认识，加强数学思想方法的教学，从而提高数学教育的质量。 三、高中阶段数学思想方法教学的现状分析 高中阶段数学思想方法教学的价值在那里? 理论依据是什么? 教学的原则 和策略有哪些? 等等，从教育学的角度来看，这些问题的解决似乎应该以一个基 本的事实为前提，即当前高中数学教学的实际情况为出发点。为了了解这些问题， 我于2 0 0 5 年9 月问在兰州市一部分中学和本人工作的兰州一中对高中数学教师 和学生进行了一次调查。 ( 一) 调查的内容、对象、方式 以调查问卷的形式分别对教师数学思想方法教学情况( 见附录一) 和学生的 数学学习情况( 见附录- - ) 进行了调查。其中教师问卷包括1 2 个问题，其内容 涉及到当前高中阶段数学思想方法教学的现状；、存在现状的原因；教师自身对数 学思想方法的理解：对高中数学变革的思考等。可以说调查内容对高中阶段数学 思想方法教学的概括是比较全面的。 此外，还特别为高中学生设计了一份关于高中阶段数学思想方法学习的问卷。 内容涉及到：学生眼中的数学学习：学生对教师教学效果的评价；平时学习数学 的主要方式；效果如何；如何对数学学科进行理解等等。从学生的学习数学的情 况可以进一步洞察当前数学教学的主要特点和问题，有助于从不同角度加深对该 课题的理解。 另外，在问卷调查的同时，本人还采取了访谈和观察的方法，以便核实几种 调查方法是否具有较高的一致性，从而获得较高的调查信度。在选择调查对象的 时候，我选择了省级重点高中、市级重点高中、普通高中的数学教师近3 0 名， 高中学生近4 0 0 名。调查采用了课上调查的方式，这样让学生在较短的时间内做 出判断和回答，这主要是出自对调查本身真实、客观、准确的考虑。 ( 二) 调查结果及分析 1 、在近3 0 名高中数学教师中发下问卷2 7 份，实际收回2 5 份，其中2 份不 合格。全面分析统计结果可以明显看出以下事实： ( 1 ) 以教材为主体组织教学在高中数学教学中占主要地位，缺乏对数学思 想方法的梳理。有8 5 3 的教师通常以教材为主组织教学，教师很少或者根本不 整理知识点的形成过程中所蕴涵的数学思想方法。在教学资源的利用率上，还存 在过分依赖教材的情况。 ( 2 ) 许多教师对目前的高中阶段数学思想方法的教学感到不满意，并且普 高中阶段数学思想方法数学研究 遍认为当前的数学教学不适宜当代高中学生的学习特点。从调查中显示有5 1 2 的教师认为当前的数学教学的效率低下，数学思想方法在教学中不能得以很好 的体现，使学生逐步丧失数学学习的兴趣。在教学资源较为丰富，教学手段多元 化的现代社会仍然采用公式、定理的讲解十大量习题训练的教学模式已经妨碍 了教学目标的实现，很难达到新课程对人才培养目标的要求。 ( 3 ) 教师有改变当前高中数学现状的愿望，希望将数学思想方法引入教学 之中，但同时也存在较多的顾虑。从调查的情况来看，有4 0 3 的教师认为倡导 数学思想方法教学会提高学生的学习兴趣，3 5 5 的教师认为能够加深学生对数 学规律和概念的理解，2 l 。l 的教师认为能够更好的培养学生的学科素养和科学 精神。从这些方面来看，任何一个方面的突破都是对变革传统数学教学的一种认 同。但教师也同样存在些顾虑，包括有2 2 6 的教师感到教学将会无从下手， 有2 6 7 的教师感到高中阶段教师精力有限，在备课中不能投入太多的精力，也 有2 7 9 的教师担心影响考试成绩。 2 、在近4 0 0 名高中生中发下问卷3 9 2 份，实际收回3 9 0 份，其中1 0 份不合 格。全面分析统计结果可以明显看出以下事实： ( 1 ) 传统的接受式学习+ 大量的习题训练占据了学生学习的主要位置，并且 学生对数学学习兴趣淡薄。学生学习数学普遍是听教师在黑板上讲解，然后进行 大量的习题训练，这占整个被调查学生的9 3 6 ，有3 2 1 的学生对当前数学 学习不感兴趣，4 2 o 的学生认为学习数学就是听老师讲课本上的知识，而很少 听说或系统整理出数学思想方法。 ( 2 ) 学生有对教师改变传统数学教学和改善自己数学学习的愿望，希望自 己能够成为真正学习的主人。在调查中有7 3 9 的学生认为在真正认识数学、理 解数学、学会应用数学是他们的希望，特别高一学生对该问题表现出更大的热情。 上述两项调查的结果具有较高的一致性，这表明本次调查结果真实地反映了 当前高中数学教与学的实际情况，达到了预期的目的。 第三部分：高中阶段数学思想方法教学的理论基础 一、高中生认知的特点 高中生身心发展趋于成熟，社会接触面更广，社会交往更频繁，学习内容较 初中更复杂、更深刻，升学的压力和学习环境的逐渐开放促使他们社会化进程的 1 4 高中阶段数学思想方法教学研究 加速。这些要求内化为高中生的自身的需要，与原有认知结构形成新的矛盾，成 为高中生认知发展的动力。同时高中生由于生理与心理的发展进入了新的阶段， 也形成了一些新的认知特点： 1 、高中生认知结构的完整体系基本形成。高中生认知结构的各种要素迅速 发展，各种认知能力不断完善，认知的核心成分思维能力更加成熟，抽象思 维占据优势地位。辨证思维和创造思维有了很大的发展。 2 、高中生认知活动的自觉性明显增强。由于理论思维能力趋于成熟和自我 意识的发展，高中生观察力、有意识记忆能力、有意想象能力迅速发展，思维的 目的性、方向性更明确，自省能力增强。 3 、认知和情意、个性因素协同发展。高中生的认知的发展离不开情感、意 志和个性等心理因素的发展，两者总是相互作用。高中生情感丰富、意志力增强， 兴趣更广泛和稳定，学习动机更强烈，理想、世界观开始形成，行为的自觉性更 高，这一切都给认知发展以强大的推动力。 二、高中阶段数学思想方法教学的心理学依据 1 、从奥苏伯尔认知有意义接受学习理论看 美国心理学家奥苏伯尔认为有意义学习的过程就其本质而言，是新知识与个 体认知结构中原有的适当观念相互作用，从而获得新的更高层次的分化的建构过 程，个体获得新知识的内部认知过程有：下位学习、上位学习和并列结合学习等。 由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新 知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学 习。学生掌握了一些数学思想和方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学 习了，下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义。” 即可使新知识能够顺利地纳入学生己有的认知结构中去，学生学习了数学思想方 法就能够更好地理解和掌握教学内容。例如：如果学生掌握了类比的数学思想方 法，在学习分式时，就会利用分数的有关知识，加以类比，很快就掌握了分式的 有关知识。 2 、从布鲁纳的认知发现理论看 布鲁纳的认知发现理论起源于完形说，他继承了完形说的观点，否定刺 激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认 知结构的过程。布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科 的基本结构。”所谓基本结构就是指：“基本的、统一的观点，或者是一般的、基 高中阶段数学思想方法教学研究 本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”。“数学思想方法是 数学学科的一般原理的重要组成部分。数学思想方法是数学认知结构中最积极最 活跃的因素，是认知的实现因素。布鲁纳认为：“除非把一件事情放进构造好的 模型里面，否则很快就会忘记”，“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失 不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新 构思起来，高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆 那个现象的工具。”由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”在 数学学习中是至关重要的。 本世纪六十年代，布鲁纳第一次把迁移问题作为教育问题的核心提到日程 上来，之后受到各国心理学家和教育学家的关注，学习能够迁移，这是学习中 的普遍现象，如果学生认知结构中具有较高的抽象、概括水平的观念，对于学 习是有利的。美国心理学家贾德( j u d d ) 的迁移实验表明，掌握一般原理有利于迁 移，学生学习