（固体力学专业论文）略论加权残数法和变分原理的关系.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 变分原理广泛地应用在力学的各个方面，它是研究力学、物理学和其他 各种技术科学的强有力的工具，在理论上和实用上都有重要的价值。加权残 数法是一种新兴的计算力学方法，计算量小，精度高，简单直观，可以没有 泛函等等。有些文献认为加权残数法和变分原理无关，我们的研究表明加权 残数法和变分原理之间有着密切的关系。 本文首先讨论了加权残值法的基本方法：配点法、子域配置法、g a l e r k i n 法和最小二乘法。接着研究了变分原理的直接方法r i t z 法和加权残值法 的主要方法g a l e r k i n 法的关系，说明两种方法的等价是有条件的。为了 进一步研究加权残数法与变分原理的关系，论述了变分原理各类条件的完备 性。研究表明组合变分原理导致加权残数法中的罚函数法。 本文应用加权残数法中的广义g a l e r k i n 法，建立保守系统的有限元计算 模型，经过严密的数学推演，表明这些模型与应用广义变分原理建立的有限 元模型相同，说明广义g a l e r k i n 法的有效性，同时，也进一步说明加权残数 法和变分原理之间有着密切的关系。 本文还从l a p l a c e 方程和弹性力学基本方程出发讨论了积分方程和加权 残值法的关系。 文章最后得出结论：加权残数法和变分原理有密切关系的，如果联合应 用加权残数法和变分原理，在工程实际中将会将会更有利于解决各种实际问 题和提高计算效率。 关键词：关蚕；变分原理：加权残数法 哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 a b s t r a c t v a r i a t i o n a lp r i n c i p l eh a sb e e nu s e di nv a r i o u sa s p e c t so fm e c h a n i c s i ti sa l l e f f e c t i v em e t h o de s p e c i a l l yi nm e c h a n i c s ，p h y s i c sa n do t h e rt e c h n o l o g yd o m a i n s ， a n dh a si m p o r t a n tv a l u eo nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n m e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l s i san e wt y p eo fm e t h o do fc a l c u l a t i o n a lm e c h a n i c s i th a sal o to fm e r i t ，f o r e x a m p l e ，l e s tc a l c u l a t i o n ，m o r ee x t r a c t i v e ，b r i e f n e s s ，s t r a i g h t n e s s ，h a v i n g n o d e p e n d e n c eo nf u n c t i o n a l ，a n d s oo n s o m el i t e r a t u r e sc o n s i d e rm e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l sh a sn or e l a t i o nw i t hv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e b u ti nt h i sp a d e l i p o i n to u tt h a tt h e yh a v ec o n n e c t i o n i nt h i sp a p e r , t h ee l e m e n t a r ym e a n so fm e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l sr p o i n t c o l l o c a t i o nm e t h o d ，d o m a i nc o l l o c a t i o nm e t h o d ，g a l e r k i nm e t h o d ，a n dl e a s t s q u a r e sm e t h o d ) a r ed i s c u s s e df i r s to fa 1 1 t h e nt h a t i nw h i c hc o n d i t i o n sr i t z m e t h o da n dm e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l sa r ec o n n e c t e di sd i s c u s s e d f o rd e e p s t u d y i n g ，t h em a t u r i t yq u a l i t y o fe v e r yq u a l i f i c a t i o no fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei s m e n t i o n e d i n v e s t i g a t i o n si n d i c a t ec o m b i n e dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i l lr e s u l t i n m e t h o do fp e n a l i z e df u n c t i o n 一t h e n ，u s i n gg e n e r a l i z e dg a l e r k i nm e t h o d ，w ef o u n df i n i t ee l e m e n tm o d e l s o fc o n s e r v a t i v es y s t e m a f t e rr i g o r o u sm a t hd e d u c t i n g ，w ef i n dt h e s em o d e l sa r e e q u a lt ot h ef i n i t ee l e m e n tm o d e l st h a tw ea r ef o u n d e db vv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e i t e x p l a i n st h a tg e n e r a l i z e dg a l e r k i nm e t h o di se f f e c t i v e i nt h es a l t l et i m e ，i ts h o w s t h e r ea r ec l o s er e l a t i o n s h i pb e t w e e nv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dm e t h o do fw e i g h t e d r e s i d u a l s a f t e rt h a t ，s e t t i n go u tb yl a p l a c ee q u a t i o na n db a s i ce q u a t i o no fe l a s t i c i t y m e c h a n i c s ，t h ec o n n e c t i o nb e t w e e ni n t e g r a le q u a t i o na n dm e t h o do fw e i g h t e d r e s i d u a l sa r ed i s c u s s e d i nc o n c l u s i o n m e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l sa n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea r e c o n n e c tw i t he a c ho t h e rn e a r l y i fw ec a nc o m b i n et h e s et w ot h e o r i e st ou s ei n v a r i o u sp r a c t i c a lq u e s t i o n si tm u s tb em o r ev a l u a b l e k e yw o r d s ：r e l a t i o n s h i p ；v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e s ；m e t h o do fw e i g h t e dr e s i d u a l s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的 引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明 引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开 发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 结果由本人承担。 作者( 签字) ：。盘笪 日期：对年，月2 日 啥尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章引言 变分原理和它在许多力学分支包括弹性力学、塑性力学和流体力学方面 的应用，已有一段很长的历史。变分学是数学的一个分支，它研究一些函数 的函数( 称之为泛函) 的驻值性质。这样，变分学的目的就不是含有有限个 变量的函数极值，而是在一组容许函数中选定一个函数，使给定的泛函取驻 值“3 。通过建立给定问题的泛函，由变分极值或驻值条件，提供给定问题的 控制方程，并和原问题的控制方程等价，称为固体力学的变分原理：对给定 问题泛函中的变量，用近似的试函数表示( 主要是做有限元离散) ，再由变分 的极值或驻值条件得到代数方程组，称为变分原理在固体力学中的应用。3 。 变分原理广泛地应用在力学的各个方面，在理论上和实用上都有重要的 价值。在经典的变分原理中，问题的求解是寻求使具有一定已知条件的泛函 取驻值的未知函数。科学史上第一个变分原理是几何光学中的最短时间原理， 由法国学者费马( f e r m a t ) 于1 6 6 2 年提出。力学中的第一个变分问题，一般 认为是牛顿( n e w t o n ) 于1 6 8 7 年在其著作自然哲学的数学原理中提出 的，在书中有在“稀疏”介质中沿轴运动的转动物体所受的阻力为最小的形 式这样一个问题。最为著名的变分问题是最速降线问题，它于1 6 9 6 年由约 翰伯努利( j o h a n nb e r n o u l l i ) 以公开信的形式提出，由他本人以及莱布尼兹 ( l e i b n i z ) ，牛顿( n e w t o n ) ，雅f 白努利( j a c o b b e r n o u l l i ) ，洛必塔( u h o s p i t a l ) 等人予以解决。最速降线问题是无条件的，1 6 9 7 年约翰伯努利还解决了另 一称之为“条件变分”的问题短程线问题。但是关于这一类问题的普遍 理论后来是由欧拉( l e u l e r ) 在1 7 4 4 年和拉格朗r ( l l a g r a n g e ) 在1 7 6 2 年所解决的。在1 7 4 4 年欧拉还解决了在给定长度的所有简单闭曲线中确定一 条线使之保持最大面积的问题，并发表了一系列文章，奠定了数学新领域一 一变分学的基础。17 4 4 年欧拉发表了变分学的著名论文，其中特别给出了定 积分 b j = f e 0 ，y ，y 。) e l y ，_ ) ，0 ) = 口，y ( b ) = 卢 v a 取极值的必要条件，即欧拉方程 哈尔滨工程大学硕士学位论文 芒一要笔。o ( ；。删 a y d xa y 、 欧拉的推导并不是十分严格，后来拉格朗日( l a g r a n g e ) 给出了极值条件的 严格推导。以上就是历史上三个有名的变分问题，其中最速降线问题被认 为是变分原理发生的起源。变分原理的奠基人就是约翰- f 白努利的学生欧拉 ( e u l e r ) 和拉格朗日。 在变分学中存在两类互逆的问题，一类是将泛函的驻( 极) 值问题转化 为微分方程的初( 边) 值问题，称之为正问题；另一类问题是把微分方程的 初( 边) 值问题转化为泛函的( 驻) 极值问题，称为逆问题“，。从2 0 世纪初 r i t z 提出变分原理的直接近似解法即著名的r i t z 法后，学术界对变分学中逆 问题的研究倍加关注，推动了弹性力学和塑性力学中变分原理的研究和发展， 2 0 世纪六、七十年代，随着电予计算机的广泛应用，弹性力学和塑性力学中 广义变分原理问世，以弹性力学和塑性力学中变分原理和广义变分原理为基 础，有限元素法迅速发展起来，并且在解决许多科学和技术问题中获得巨大 的成功，直到今天有限元素法已经成为近似计算各种科学和技术问题的有力 工具。 加权残数法是一种数学方法，可用于求得偏微分方程、常微分方程以及 积分方程的近似解，许多应用科学或工程科学中的控制方程或积分方程被求 得近似解后，问题即获解“3 。用这种方法求解微分方程时，首先要假设个 试函数( t r i a lf u n c t i o n ) 作为近似解，带入微分方程后得到残值( r e s i d u a l s ) ， 为了消除这些残值我们按域内某种平均意义的方式组成了消除残值方程组， 同时也引进一个权函数( w e i g h t e df u n c t i o n ) ，通过解消除残值方程组可以确 定试函数中的待定系数，从而确定试函数即得到近似解“1 。1 9 8 2 年全国首届 加权残值法学术会议在厦门召开，此次会议起到了巨大的影响和推动作用， 会后各高校、研究所、设计院等及个人群起研究加权残值法甚为众多，研究 成果迭出“1 。1 9 8 6 年第二届加权残值法学术会议在杭州召开，与会代表共1 5 3 人，入选论文1 3 2 篇，之后我国的加权残值法学术研究论文纷纷投向国际走 向世界”1 。在国外加权残数法被广泛的应用于计算流体力学、热传导、扩教、 对流等问题，结合电子计算机的应用，解决了大量的工程力学及应用科学的 问题。在一些情况下，与有限元法比较，这种方法具有精度高、计算量小、 简单直观等优点m ，以及简便、精确、节工省时、经济、应用广泛等n ，。然而 大量的计算实践证明，以变分原理为基础的数值计算方法有限元法及差 分法，应用广泛、能处理复杂问题，是一种有卓越成效的数值计算方法，以 前在数学、力学、结构或非结构的各个技术领域中看来是无法获解的问题， 它都能解决，但其本身也有一些缺点，比如当泛函不存在时就不能使用，实 施时输入数据较多，而加权贱数法币好能避丌这些缺点，但是它发展较晚， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 应用的范围还很小，不如变分原理广泛，很多问题还没有现成的程序，即没 有计算机化。因此，如果能将两者结合起来，互补长短，将更有利于解决工 程实际问题。 这两种方法各有优缺点，可以说它们对于求解各种工程问题都做出了一 定的贡献。有些学者曾经在一些文章中曾指出，加权残数法具有方法原理的 统一性，应用的广泛性，不依赖于变分原理o o ”1 ，即说明加权残数法与变分 原理毫无关系，而另一些文章中却说若选取适当的权函数，可以用加权残值 法建立一些以变分原理为基础的有限元模型”1 ，g a l e r k i n 法是r i t z 法的推广， 加权残值法和变分原理是有一定的关系的，本文在这里略论两者的关系， 目的在于探讨两者是有关系的，而且关系密切。希望更有益于人们对于有限 元法的认识和研究，促进加权残值法和有限元法的结合”3 ，在解决各种形式 的工程和应用科学实质性问题时能更具广泛性，并使计算精度大大提高，手 工算量大大减少，尽量实现计算机化。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章加权残数法和变分原理的关系初探 加权残数法( m e t h o d o f w e i g h t e dr e s i d u a l s ) 是一种求解微分方程 式近似数值解的方法。国外学者将它广泛的应用于流体力学问题的求解中， 它具有方法原理的统一性、应用的广泛性、工作量小、准确便捷等优点5 1 。 1 9 7 8 年开始，国内学者将其应用于固体力学问题中，经过二十几年的发展， 加权残数法已在弹性力学、板壳结构、泛函研究、试函数研究、非线性问题、 及动力问题等方面取得了初步成果。 2 1 加权残数法的基本概念 2 1 1 基本概念 如果有一个固体力学问题的控制微分方程及边界条件分别为 凡一f ；0 ( v 域) g u g ；0 ( s 边界面) 其中：“待求函数；f ，g 微分算子 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ，g 不含“的已知函数。 我们假定一个试函数为： d 2 荟c f m ( 2 - 3 ) 其中c i 为待定系数，m 为试函数项。将( 2 - 3 ) 作为解代入( 2 1 ) 及( 2 2 ) 中，一般不会满足，于是分别出现了内部残数q 及边界残数 (r i ；f 矗一ft 0 r 8 = g i g 0 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 为了消除残数，我们引进内部权函数_ 和边界权函数，列出消除内 ，。l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 部残数及边界残数的方程式，分另t j ；n 下： f r , w , d v1 0 ( 2 6 ) c r s w n d s = 0 ( 2 7 ) 式中，内部，b 边界，转换为代数方程组后，可以求解待定系 数c 。o = 1 ，2 ，n ) ，将t 代入式( 2 3 ) ，即可获得这个固体力学问题的近似解。 2 1 2 基本方法的类型 加权残数法的具体做法很多，按坐标函数的性质可划分为域内残数法( 满 足边界条件而不满足微分方程) ，边界残数法( 满足微分方程而不满足边界条 件) ，和混合残数法( 微分方程和边界条件都不满足) 三类；按权函数的性质 基本上划分为：配点法、配域法、g a l e r k i n 法、最小二乘法等；或者将其中 的两者组合使用，如最小二乘配点法、子域配点法等。 2 1 3 加权残数法用于弹。陛力学问题 以位移h 为基本变量的弹性力学基本方程为： n 州( 三“t ，+ 三h ，) ，+ i = 。在y 中 c z 一8 ， 其中n 。为刚度系数，上式的边界条件为： 取试函数为： n 班，( 1 u k d t 三t 1 ”，一耳= 。在上 “一u 。= 0在e 上 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) z 2 1 a i = c p i = ( 上，y ，z ) + ( 五) ，z ) ( 2 1 1 ) 其中：。( t y ，z ) 选定的试探函数 n 。待定系数。 这样一来，问题就转化为确定待定系数a 。，使得( 2 - 1 11 成为某种意义 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 下最好的近似解。将( 2 - i i ) 代入( 2 - 8 ) 、( 2 9 ) 和( 2 一i o ) $ e ， 的近似解，它不能使方程得到精确满足，所以必定出现残数： 一r2 n 州( 三；t ，+ 三五，- ) 】，+ 瓦在v 中 由于只是j ( 2 1 2 ) 嘞阻+ i 毛书一p i 在& 中( 2 - 1 3 ) 墨一m 一“r 在中 ( 2 1 4 ) 只有当z 正好是问题的精确解时，残数才会为零。然后我们引入权函数， 加权残数法就是通过选择权函数”k ，使得残数的某种加权平均值等于零，用 来确定口。的值。可得 印r + 俨吨嚣_ 0 。1 5 其中： w t m ( z ，y ，z ) v 域中的权函数；吃( x , y ，z ) 边界上的权函数。 很明显，权函数和吨应使( 2 1 5 ) 式中的各项具有相同的量纲，否 则( 2 1 5 ) 式便毫无意义。 2 2 加权残数法的基本方法 2 2 1 配点法 2 2 1 1 概念 这种方法的实质就是在物体域内选若干个点， 函数为权函数： u ；6 0 一z ，) 其数学性质为： a c 工一z ，2 i ：耄； 使残数为零，选用d e l t a ( 2 - 1 6 ) ( 2 1 7 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 因此我们有： f 。6 0 ，皿- 1 ( 2 - 1 8 ) f a ( x - x j 皿* 曼篡口， 协 f f ( x ) ( x - x j 叫。j 篙裂， 协z 。， fr w a v = f r ( x ) 6 ( x - - x j ) d r = r ( x ，) o ( 2 2 1 ) ( ，= 1 ，2 ，3 ，行) 由此我们可以确定待定系数c i ，求出近似解u ，。 可见，配点法的技巧在于控制点选得好。这里指出，如果试探函数选择 得满足边界条件而不满足v 域中的微分方程，则只需在域内配点，只产生域 内残值；反之，如果试探函数满足v 域中的微分方程而不满足边界条件，则 需要在边界上配点，只有边界残值；如果试探函数的选择既不满足域内的微 分方程也不满足边界条件，则需要同时在域内和边界上配点。 2 2 1 2 配点法用于弹性力学基本方程 权函数： w 矗2 a ( “t 一霉，2 言j ：二善； c z - z z ， 其中： “i = “f ( x ，y ，z ) 反= ( 置，羹，j 。) 选定的点，或称为控制点 得 e = 丸+ 谚。 ( 2 - 2 3 ) 式中屯和表示 b 控制点确定的试函数，将( 2 - 2 3 ) 代入( 2 1 5 ) ，可 靴州c 拉，+ 一1 q 。卜丘卜屯砂= 。( 2 - 2 4 - 1 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 巧卜i 1 q 彦，一霉卜扔。( 2 - 2 4 - 2 ) ；铀( 蠢n “九m + 塞丸崮晚蛐+ 。) + 丘= 。 n 州( n “九。，+ n “丸- n ，+ 哦。，一n ，+ 办。n ，) 一霉= o 山 - 1m - 1 n 。蛾。+ 蛾。一瓦2 0 ( 2 2 4 3 ) ( 2 2 5 ) 如果选取的点皿满足边界条件，则( 2 2 5 ) 就可表示为： 。 4 】 n 一 b ( 2 2 6 ) 4 系数矩阵 卜 待定系数的矩阵 l 口l 已知量 2 2 1 3 举例 例2 1 设有如图2 1 所示等 截面简支梁，作用均布荷载q ，求 梁中点的挠度w m ，。 解：对梁的弯曲问题，微分方程 ( 2 - 8 ) 变换为 f a d 2 出 。_ t m 一口= 。 其中：e a r 一梁的抗弯刚度 边界条件为：w = 0 ，= 0 w = 0，t = ， 图2 1 等截面简支梁 0 =豳 、，一 一 妒一吩 一 仃置 得可化简经 、，、，j i 哈尔滨工程人学硕士学位论文 取坐标函数为 品。c 1s i n 竺+ c 1 s i n 一3 n - x 因为坐标函数满足边界条件，而不满足控制微分方程，故用域内残数法，可 得 蜀；彤c n 5 舢- 一：s i n 孚】- q 采用配点法，因为有两个参数c l 和c 2 待定，故选择两个控制点x = 三和 x = 二- ，在控制点处令残数为零，则得如下方程- q t 眦；2 彤( 带c - 埘c 2 h 。 引一；彤铷+ s l c 2 中。 由上式解得待定参数c i 和c 2 为 g c 2 将c l 和c ：代入坐标函数，可得问题的近似解 品= 学船降+ 丽1s i n 芋 梁中点的挠度值为 乩x = a + 4 5 1 i t 一南愕= 0 0 1 2 3 6 6 等- - 精确解为三丛；0 0 1 3 0 2 0 8 丛，近似解与精确解的相对误差为5 ， 3 8 4e je j q 一 可一酣 f f 学嘉 哈尔滨工程大学硕士学位论文 可见，采用二阶近似便可求得可观的近似解，如果采用高阶近似，可以获得 更精确的近似解。 2 2 2 子域配值法 2 2 2 1 概念 将物体的域v 及其边界面s 划分为k ，k 个子域，并如此选择权 函数 f 1在第i 个子域中 2 o在第i 个子域外 q 2 7 代入消除残数方程式为： r 剐k = 0 t f r c l v 2 = 0 j k f r c l v = 0 ( 2 2 8 ) 兑 便可得到n 个关于口。的代数方程，解出a 。后，便可得到问题的近似解。当 子域选择得很小时，可以用积分中值定理做近似。 类似于配点法中的情况，如果试探函数的选择只满足边界条件而不满足 域内的微分方程，则只在域内应用配域法；如果试探函数的选择只满足域内 的微分方程而不满足边界条件，则只需在边界面上进行配域；如果试探函数 的选择既不满足域内的微分方程也不满足边界条件，则需要在域内和边界面 上进行配域。对于弹性力学问题，只要适当的划分矿域，并在每个子域中令 残值的积分为零，列出代数方程组，就可求出待定系数，确定近似解。 2 2 2 2 举例 例2 2 设有如图2 2 所示等剖面简支梁，载荷集度为q 和2 q 。如图所示。 试求梁的挠曲函数w ( x ) 。 解：q 和2 q 作用在两个区问，梁弯曲的控制方程分别为 哈尔滨工程大学硕士学位论文 口坐d x 4 嘲= 。 1 脚立d x 4 一口：。 o s 工s 三 三s 工sz ， 品= z 4 一披3 + f ( c 1 + c ：x ) 应 用子域配置法，取o s x s 土2 和土2 sxs f 两个子域，并令子域残数为零，则有 一一2 0 q 1 ；广 一_ 0 ff f ffilif !， 一z z l 兰 一一 2 一 图2 2 分段载荷简支梁 耻后i 【f 可d4 w 吻卜；。 耻巾雾dw 斗= 。 将w 表达式代入上式，经运算可得 f e j 2 4 c 。一1 8 c 2 一2 9 = 0 1 e j 2 4 c l + 4 2 虹卜q = 0 解得： c 2 ：一l ；c 1 ：生 6 0 e j 2 4 0 e j 将c l 和c 2 的表达式代入试探函数，可得 品= 上6 0 e j 2 i x k 孵一手) l j i4 zj 这正是问题的精确解，没有任何误差。 2 2 3g aie r k jn 法 2 2 3 1 方法简述 假定由n 个满足边界条件( 包括几何边界条件和力边界条件) 的函数 妒。，仍，用它们的线性组合来表示近似解： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 应2 ( 2 - 2 9 ) 则伽辽金法就是： 舻q a f l v = 0 ( f - l 2 ，肌) ( 2 - 3 0 ) 也就是说权函数就是试函数，即m = 仍。g a l e r k i n 法的优点就在于它可 以直接用微分方程运算，而不需要一个泛函，这样就克服了在很多问题中需 要寻找泛函的困难。 2 2 3 26 a i e r k i n 法运用于弹性力学基本方程求解 若权函数取为，并且将坐标函数取的满足边界条件( 2 1 0 ) ，则( 2 1 5 ) 变换为 一。盟n 州眵+ ) 嗍叫酽渊z 咖) 引z 抛， 因为选择的“满足位移边界条件，故知在上有，2 0 ，故将( 2 - 3 2 ) 代入 ( 2 - 3 1 ) 可得 卅叫+ 引一硫卜驴s o 嬲= 。协s s ， 上式等价于 卅世t ) 。1 u 寸蕊卜驴硫 ( 2 3 4 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 应用对合变换，可将上式变换为 毋睁“6 ；“一动i p 一妒6 五扯o ( 2 3 5 ) 进一步应用对合变换，可将上式变换为 删矾4 一动叩y 一胪6 ：扔o ( 2 - 3 6 ) 用可变函数代替坐标函数，则有 巧 6 旷驰i p 一旷m t 豳= i j ( 2 3 7 ) 、蛄 这正是虚功原理的表达式。g a l e r k i n 法的基本原理就是虚位移原理，即一个 平衡系统的力对于任意假象的位移做的功等于零。 2 2 3 3 举例 例2 3 设有如图2 3 所示等剖面简支梁，跨中受集中力p 作用，试求挠度w 的近似解。 解：选择坐标函数 w = 。l 8 m 了 满足位移边界条件，在两端的挠度和 弯矩为零： p 品( 。) ：。，品( ，) ；。； y l ， 幽d x 2l 。- o ，掣l o 二 将品代入( 2 3 4 ) 或( 2 3 5 ) 式，可得 。 一一 向丛d x 2 譬出一邵品l f 。 靴3 斛旆脯支梁 应用g r e e n 定理( 进行分部积分) ，可得 l 彤等唾李出：彤譬a 害l “u 雾a 巫d x 出 ；日譬a 譬出一日雾叭- + j 。t 刖瓦d 4 w a 玩 嗡月i j 兵上栏大学坝士学位论又 窘6 施一朋品l f o 将试探函数表达式代入上式，可得： f 等”户卜。 由于d 口，的任意性，由上式可得： 等旷 解得： 将口。的表达式代入坐标函数，可得问题的近似解 2 2 3 p j r j c 一；面8 1 n 了 若以x ：昙代入上式，可得跨中点挠度近似解： 2 l p w i x - ；4 百 与跨中点挠度的精确解w 1 ；啬相比，误差为1 4 5 。 例2 4 设有半径为a 的固支边圆盘，在半径为b 的中心圆面积上受均布荷载 吼，求解w 。 解：取挠度的表达式为： w = c 1 w l = c l ( 1 一) 2 一甜一 兰 口 哈尔滨工程大学硕士学位论文 石d w 4 - c , ( 1 2 a t u - r万一一7 此问题是对称问题，用极坐标表示其微分方程为 ，d ( v 4 w ) wr d r2 f q w 。r d r 图2 4 固支边圆盘 v 4 w = c 嘉+ 吾导) 2 w = c 嘉+ 詈嘉一吉嘉+ 砉争w 将警，窘，窘，矿d 4 w 一叫得z 所以 v 4 w = 哗：= h = ( 1 7 f 2 a ) 2 口一 啊等( t 一2 胁= f 们一9 22 胁 将c 1 代入w 中去得 c 1 = 丛6 4 d 篓a ( 3 3 善a + 乓a ) l z 、z4 7 w ：丝一 6 4 d 1 5 笙矿 一 叩 4 一矿 一 = 堕矿 二矿 誓 印 丝 2 一口 ，一 = 叶一一， 一一一 办矿 砰上 旷f 嘞 上掰上 旷f 竽 、， ，- 旷 一一 + 矿 3一 p 扩一矿 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 2 4 最小二乘法 2 2 4 1 概述 在v 内残数r 平方的积分为： ，( c 。) 。fr 2 d v ( 2 3 8 ) 为了使残数平方尺：在矿内为最小，则要求上式满足兰：o ( f ；1 ，2 ，n ) 于 o c i 是得到： 工r 芸d y = 。，2 ，n ) ( 2 - 3 9 ) 对二维问题将呸= n 。丸代入得 m - - 1 j ：| 只芒以= 。 2 2 4 2 用最小二乘法求解弹性力学的基本方程 m 小础州知刚卜椎州知刚卜卜 坦k c 吣- 一覃肛扣刚旷霉卜 妒乜x 沪班 眈4 d 为了使，( ) 取得极小值，令型皇止：o ，得： o a i m 珊州知叫，+ 毒n 廿矿 计竹扣川”叫者卜知刚n ，卜 哈尔滨工程大学硕士学位论文 世盼五, ) 棚a - - a 。- a , 拈；。 ( 2 4 2 ) 其权函数为者肛三瓴朋，州，者卜三瓯彦小和者喀。 这便是最小二乘法的列式，对于具体的问题，我们可以选用一定的试函数使 它满足边界条件，这样就只剩下y 域内的残值，简化式( 2 - 4 2 ) 求出口。 2 2 4 3 举例 例2 5 设有如图2 5 所示等剖面固支粱，均布荷载为q 。试求挠度w 的近似 解。 解：选择坐标函数 品= c x 2 一咿 因为w 选择满足位移边界条件， 又问题中未出现力边界条件，故 得v 域中的残数为： b ：彤尝一日；2 4 e c 一目 积 图2 5 等剖面固支粱 应用最小二乘法，引入权函数警使v 域中的残数为零，则得 正彤等d y = j ：( 2 4 e j c 一口) ( z 。彤) 出= o 解得参数： c ；乏茜 将c 代入坐标函数，可得： 品= 寺z 2 ) 2 玟尸。绎帚问题的精确解了。 一 _ 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3r i t z ：法 2 3 1 基本概念 我们知道，r i t z 方法为变分直接方法，它是通过选择一个试探函数来逼 近问题的精确解。将该试探函数代入某个科学问题的泛函中，然后对泛函求 驻( 极) 值，以确定试探函数中的待定参数，从而获得问题的近似解。 造用位移函数满足几何边界条件，而不必满足力的边界条件： 皿= 口。 ( 2 4 3 ) 可以看到上式与式( 2 - 2 9 ) 的形式相同，只是在位移条件上有差异，其中 为设定的函数，它在边界上的值等于边界位移，n 。为任意常数。 假定一个总能量的近似值为厅，那么皿就是使疗取极小值解 旦! ：0 加。 ( 2 。4 4 ) 这样我们就可得到mx i 个方程，正好能解出n 。，从而确定珥。 2 3 2 以弹性力学的最小势能原理为例来说明问题 方程( 2 - 8 ) 、( 2 - 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 描述的力学问题可以处理为最小势能原理 驻( 极) 值问题。最小势能原理的泛函为： 玎5 诈n 州阻，1 胁叩1 ，t ) 画卜妒唧郴， 其先决条件为： q i ：0存一t ( 2 4 6 ) 选取坐标函数二。，使其预先满足边界条件( 2 4 6 ) 长 “l 。2 “i m f p i ， ( 2 4 3 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 二；诈毒怡一划画卜办( 2 _ 4 7 ) 将二变分，并令6 ；= 0 ，可得 m 酬n 州阻，争t ) a ( 扣垆1 - ) 一动喀卜驴6 酗_ o ( 2 4 8 ) 应用对合变换，式( 2 4 8 ) 可以变换为 缈阻蕊一币叩矿一驴6 ：z 办= o ( 2 再一次应用对合变换上式变换为 彤p 玉一动叩矿一驴6 ：肌o 2 删 如前所述，这是虚功原理的表达式。 2 3 3 探讨r i t z 法与( 1 a io r k in 法是否等价 比较本节r i t z 方法的推演和2 2 3 节中g a l e r k i n 方法的推演，可见( 2 4 9 ) 式与( 2 - 3 6 ) 式相同，( 2 5 0 ) 式与( 2 3 7 ) 式相同。 以下，用r i t z 方法解2 2 3 节中的例2 3 和例2 4 。 我们知道，r i t z 方法的解题步骤是将二对坐标函数中的待定参数n 。取驻 值，则有 旦：0 m ：1 ，2 ，n ( 2 4 4 ) 3 a 。 由( 2 - 4 4 ) 可建立n 个代数方程，由该代数方程组解出a 。，代入试探函数， 便得到问题的近似解。 例2 3 中的梁的弯曲问题的最小势能原理的泛函为 玎= 栌1 i 万d2 w p 2 卜i 哈尔滨工程大学硕士学位论文 选取坐标函数 石x 胪4 1 8 1 “了 黼一一_ h 爿面卜蕊l 一 将；变分，并令6 ；：0 ，可得： 永巾雾6 雾卅品卜一讯广 分部积分 上彤碧a 譬出：彤雾d 2 w a 譬b 一吖盟d x 3 圳i 。+ j 几。刖万d 4 w 。玩 将上式代入6 ；中，并考虑到边界条件，可得 ，e ，坐d x 46 池一踟品l 。：= 。 将坐粕数代址式，骢( 等”p 卜。 由于6 口。的任意性，由上式可得代数方程： 可4 4 e j 口。一p ；o 解得：口。= 而2 3 p 将口的表达式代入试探函数表达式中，可得问题的近似解 2 1 3 p 万石 ”而8 1 “丁 用r i t z 法解例2 4 ： 取挠度的表达式为： w = c ，一事，2 c - + c ：c ，一薯，+ g c - 一丢，2 + 哈尔滨工程大学硕士学位论文 可以满足位移边界条件： 叱= o ，瓤，o 现在取w = c 1 w 1z c l ( 1 一；) 2 ，轴对称极坐标下薄板小挠度弯曲的形变势能 为：吖悖d r 2 ) 2 + 净r = ”吖 r 等c t 一，纠2 + 吾 等。一刍r 2 卜2 号笋 式中。删1 2 ”朗为抗弯刚度，石o u = 等 叩。h 陆= 吲种一砉，2 胁；孚”等+ 型o c = 曼警3 a = 型3 ( 3 3 笔a + 等a ) 2 、 2 47 c 1 一q o a 4 ( 6 4 d 、，一s 笔a + 乌a 笔a 1、 z4 ，z 这与用g a l e r k i n 法求得的解完全洋 由以上讨论可见，无论从理论分析方面或者计算实例方面讨论问题，r i t z 方法和g a l e r k i n 法都是等效的。但是我们不能由此做出r i t z 方法和g a l e r k i n 法等价的结论。 我们可以看到，在弹性理论中，看( 2 - 4 3 ) 和( 2 - 3 9 ) ，如果采用相同的 坐标函数，那么由r i t z 法得到的系数与用g a l e r k i n 法得到的系数是相同的， 所以这两种方法在这个领域内是相互等同的，对于线弹性理论问题，g a l e r k i n 法可直接从微分方程入手，但所选的位移要满足所有的边界条件，而r i t z 法 需要一个泛函，位移只要满足几何边界条件，各有利弊。我们还应“i 注意到， 以上我们研究的是保守系统，对于保守系统可以说r i t z 方法和g a l er k i n 法等 效“。对于非保守系统情况就不一样了。我们知道，非保守系统的l 最功原理 r ，一矿 一 o 小一 + 矿一矿 一 p 矿一矿必 = w 哈尔滨 ：程大学硕士学位论文 表示为 f f f ( a , j & , j - f , d “- 一“6 耳) d y 一巧( i 6 “t + “i 6 再) 以s = 。( 2 _ 5 1 ) 对于这类非保守系统，g a l e r k i n 法仍然适用。但是，一般来说，非保守系统 不存在全量形式的泛函，所以不能应用r i t z 方法。可见，g a l e r k i n 法较之r i t z 方法具有更宽广的应用范围。 这里指出，对于保守系统，r i t z 方法和g a l e r k i n 法等效，说明变分原理 与加权残数法有亲缘关系。对于非保守系统，也有相应的变分原理与g a l e r k ：n 法等效，这就是非保守系统的变分原理。有的学者进一步将( 2 5 1 ) 式写为 巧阻嘞一动”印瓦 d 矿一班i 帆+ “i 6 i ) 嬲= 。2 _ 5 2 称为拟势能原理；有的学者将( 2 5 2 ) 改写为如下形式 叫虮i l a o k t e 6 e k t 画) 肌旷鸭撕( 2 - 5 3 - 1 ) 6 q 2 f f y u 。6 fr f f u 。s p u d s ( 2 5 3 - 2 ) 并将 如+ 6 q = 0 ( 2 - 5 4 ) 称为非保守系统的拟势能原理。 2 4 高阶拉氏乘子法、最小二乘法和罚函数法 2 4 ，1 高阶拉氏乘子法 2 4 1 1 概念 拉格朗日乘子法( l a g r a n g em u l t i p l i e r ) ，简称拉氏乘子法，是由法国数 学家拉格朗日在1 0 0 多年前发明出来的，用于求解条件极值或驻值问题的重 要工具。1 9 8 2 年，钱伟长教授提出了高阶拉氏乘子法，并将其应用于变分原 理，获得了更一般的泛函，推广了拉氏乘子法的应用。 高阶l a g r a n g e 乘严法原来的表述是这样的：设，= 0 为某一变分原理泛 函的约束。为了清除这个泛函的约束，我们应该对泛函增加一项修萨妒( ，) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 而且f = 0 时 妒( ，) ，。= 0 ( 2 5 5 ) 这样就是说，当f ；0 时，泛函还原为原来的形式。设妒( 厂) 在厂= 0 处是f 的 正规函数，所以妒( ，) 在f 很小时，可以展开为f 的幂级数如下 妒( ，) = a l l + a 2 ，2 + ( 2 - 5 6 ) 但当a 1 = 0 时，有 妒( ，) = a ：，2 + ( 口： 当，很小时，的高阶项可以略去，于是 妒( ，) 喜口：，2 ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 其中，口2 称为二阶l a g r a n g e 乘子，或者简称高阶l a g r a n g e 乘予。 2 41 2 残数平方泛函的极值原理 假设某力学问题的控制方程和边界条件中分别为 rl ( u ) 一f = 0 在y 域中 ( 2 - 5 9 - 1 ) l b ( u ) 一g = 0 在边界s 上 ( 2 5 9 2 ) 选择坐标函数为 ：= n 。 ( 2 - 6 0 ) 则有残数方程 r 1 = ( ：) 一厂一0 = 嚣( i ) 一g 一0 残数平方泛函表示为 n r 媾1 = m 。；d v + f j p ；畦d s ( 2 6 1 1 ) ( 2 6 1 2 ) ( 2 6 2 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中，岛为域中的加权系数，以为边界加权系数。请注意，加权系数和权 函数是有区别的。加权系数的作用有两个：( 1 ) 若边界条件很重要，可以人 为的增大风的值，以保证该条件的重要性。( 2 ) 可以用来调节域中残数和边 界残数的量纲。从加权系数的两个作用可以看出，它与加权函数w 的意义不 同。 残数平方泛函( ；) 应当具有如下性质，方可用来