MATLAB语言课件第3讲MATLAB语言的符号运算.ppt

3MATLAB语言的符号运算,3.1.1符号变量与基本运算1、符号变量与符号表达式,3.1基本符号运算,使用sym()函数可以创建符号变量和符号表达式例：a=sym(abcd)f=sym(a*x2+b*x+c)定义了符号变量f后，通过f可对其进行一系列操作：df=diff(f)df=2*a*x+bnf=int(f)nf=1/3*x3+1/2*x2+c*x,上例中，系统自动地将x作为自变量处理，而将a、b、c等作为常量参数。即符号表达式中含有多于一个符号变量时，在没有指定自变量时，Matlab会自行决定自变量。其原则为：除了i和j之外，字母位置最接近x的小写字母；如果式子中没有上述字母，则x会被视为默认的自变量。,Matlab自变量确定原则如下：符号表达式默认自变量a*x2+b*x+cx1/(4+cos(t)t4*x/yx2*a+bb2、符号运算数值运算的大部分运算规则与MATLAB语言的各种数值运算函数都适用于基本符号变量的解析运算。例：R=sym(-1+sqrt(5)/2)%定义符号数值symswtF=sin(w*t)%定义一个正弦函数表达式,3.2微积分,1、极限Matlab提供了求表达式极限的函数limit，其基本用法如下：limit(f,x,a)x趋近alimit(f,x,a,left)x左趋近alimit(f,x,a,right)x右趋近a,3.1.2符号运算的扩展利用MAPLE数学专用软件实现实现符号运算的扩展。,例：limit(1/x,x,0)limit(1/x,x,0,left)limit(1/x,x,0,right)例：求如下函数的极限：symsxalimit(x+a)/(x-a)x,inf),2、微分Matlab求微分的函数是diff()说明：用diff(f)求f对预设独立变量的一次微分；diff(f,t)求f对独立变量t的一次微分;用diff(f,n)求f对预设独立变量的n次微分diff(f,t,n)求f对独立变量t的n次微分;f可以是标量、向量、矩阵。,例：已知求f(x)的微分。symsabcxf=a*x2+b*x+cdiff(f)diff(f,a)diff(f,a,2)diff(diff(f),a),3、积分Matlab求积分的函数是int()说明：用int(f)返回f对预设独立变量的积分；int(f,t)返回f对独立变量t的积分；int(f,a,b)求f对预设独立变量的积分，积分区间为a,b，a和b为数值式；int(f,t,a,b)求f对独立变量t的积分，积分区间为a,b，a和b为数值式；,int(f,m,n)求f对预设独立变量的积分，积分区间为m,n，m和n为字符式f可以是标量、向量、矩阵。例：求下列积分：f=sym(sqrt(x)/(1+x2)int(f,0,inf),3.3方程求解,1、利用符号表达式求解代数方程例1:求解一元二次方程的根。f=sym(a*x2+b*x+c)solve(f)solve(f,a),2、利用符号表达式求解线性方程组例2：求解线性代数方程x+y+z=10 x-y+z=02*x-y-z=-4f1=sym(x+y+z=10);f2=sym(x-y+z=0);f3=sym(2*x-y-z=-4);x,y,z=solve(f1,f2,f3),3.4微分方程求解,符号运算中的微分方程求解函数可利用如下格式dsolve(方程1，方程2，)函数格式说明：可多至12个微分方程的求解；默认自变量为x，并可任意指定自变量t,u等；方程的各阶导数项以大写字母“D”作为标识，后接数字阶数，再接解变量名；初始条件以符号代数方程给出，如果初始条件项缺省，其默认常数为C1,C2,等；返回变量的格式为：Y1,Y2,=dsolve(),下面是一些实例：一阶微分方程dsolve(Dy=a*y,x)dsolve(Df=f+sin(t)y=dsolve(Dy)2+y2=1，s)一阶微分方程，给定初始条件dsolve(Dy=a*y,y(0)=b)dsolve(Df=f+sin(t),f(pi/2)=0)y=dsolve(Dy)2+y2=1，y(0)=5,s),二阶微分方程dsolve(D2y=-a2*y)二阶微分方程，给定初始条件dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/2)=0)2个微分方程x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x)f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-5*f+2*g),2个微分方程，给定初始条件x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x,x(0)=0,y(0)=1)f,g=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-5*f+2*g,f(0)=0,g(0)=1)3个微分方程，给定初始条件u,v,w=dsolve(Du=u+v,Dv=-v-2*w,Dw=-u,u(0)=0,v(0)=1,w(0)=1),3.5微分方程求数值解,微分方程数值求解函数与基本应用格式为：t,y=ode23(fun,T0,Tfinal,Y0)t,y=ode45(fun,T0,Tfinal,Y0)函数说明：（1）ode23采用龙格-库塔二阶算法ode45采用龙格-库塔四阶算法（2）fun为由m函数定义的微分方程组的m函数名。（3）T0,Tfinal,为数值积分区间，仿真范围（4）Y0为微分方程的初始条件向量。,例：解下列微分方程组：初始条件：x1(0)=x2(0)=0,x3=1e-10,1、求微分方程的数值解第一步：建立M函数functionxdot=zmfun(t,x)xdot=-8*x(1)/3+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)第二步：解微分方程t_final=100;x0=0;0;1e-10;t,x=ode23(zmfun,0,t_final,x0)；plot(t,x),2、求微分方程的解析解令：x=x1,y=x2,z=x3symsxyzx,y,z=dsolve(Dx=y,Dy=z,Dz=-25*x-15*y-7*z+25,x(0)=1,y(0)=1,z(0)=1)ezplot(x)；holdonezplot(y)；ezplot(z)holdoff,例：解下列微分方程：初始条件为：x1(0)=x2(0)=x3(0)=0,u为单位阶跃输入。解析解：令x1=x,x2=y,x3=zx,y,z=dsolve(Dx=y,Dy=z,Dz=-6*x-11*y-6*z+2,x(0)=0,y(0)=0,z(0)=0),数值解：第一步：建立M函数functionxdot=zmfun4(t,x)xdot=x(2);x(3);-6*x(1)-11*x(2)-6*x(3)+2第二步：解微分方程x0=0,0,0;t_final=100;t,x=ode23(zmfun4,0,t_final,x0)plot(t,x),3.6符号表达式的运算,常用的符号运算函数symadd(a,b)symsub(a,b)symmul(a,b)symdiv(a,b)sympow(a,b),3.7符号表达式的简化,常用的符号表达式运算函数collect(f)将表达式f中同次幂的项合并；expand(f)将表达式f展开；factor(f)将表达式f因式分解；simplify(f)利用代数规则对f进行简化；simple(f)尽可能对f做简化，目的是使表达式f以最少的字表示出来。,3.8积分变换,1、Fourier变换调用格式如下：通过F=fourier(f)求时域函数f的Fourier变换如果采用F=fourier(f)的格式，默认积分变量是x;如果采用F=fourier(f,u)的格式，指定u为积分变量；invfourier()为Fourier反变换。,例：计算时间函数的Fourier变换。symstwf1=sym(exp(-t2);F1=fourier(f1,w)例：计算时间函数的Fourier变换。symstwf2=sym(0.1*exp(-t2)*sin(t-pi/3)F2=fourier(f2,w),例：求下列函数的Fourier反变换symsw,tsym(sqrt(pi)*exp(-1/4*w2)f1=ifourier(F1),2、Laplace变换Laplace变换的定义：Laplace反变换的定义：Laplace变换函数的调用格式为：通过L=laplace(f)求时域函数f的Laplace变换。通过f=ilaplace(F)求频域函数F的Laplace反变换。,例：求下列函数的Laplace变换：symst,sf1=sym(t5*sin(t)L=laplace(f,s)symst,sf2=sym(sin(t)*cos(t)L2=laplace(f2,s),例：求下列函数的Laplace反变换：symst,sL1=sym(s+3)/(s*(s+1)*(s+2)l1=ilaplace(L1)L2=sym(s2-8)/(s+4)*(s2+16)l2=ilaplace(L2),3、Z变换Z变换函数的调用格式为：Z=ztrans(f)求下列函数的Z变换symsn,zf1=sym(exp(-1*n)*sin(n)Z1=ztrans(f1)Z反变换函数的调用格式为：Z=iz