（计算数学专业论文）若干矩阵方程问题的讨论.pdf

摘要 约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方 程的解，不同的约束条件，不同类型的矩阵方程，能得到不同的约 束矩阵方程问题。矩阵扩充问题是在某种约束条件下构造矩阵a ， 使得矩阵a 的一个子矩阵为a o 。1 9 7 9 年，h h o c h 8 t a d 首次提出并讨论 了j a c o b i 矩阵逆特征值问题，此后，矩阵扩充问题成为当今计算数学领 域最热门的研究问题之一。 约束矩阵方程问题和矩阵扩充问题在结构设计、结构动力学、生物 学、电学、分子光谱学、自动控制理论、振动理论、非线性规划、动 态分析等许多领域都具有重要应用，故讨论以上问题有着实际应用背 景。 本篇硕士论文研究了若干约束矩阵方程问题和矩阵扩充问题，完成 的主要工作如下： 1 讨论了由主子阵以和缺损特征对( a ，恐) ，( p ，蚝) ，( u 易) 构造五对 角实对称矩阵 的一些问题，得到了相关结论，同时将结论应用在一类 特殊的五对角实对称矩阵上，得到了算法和数值算例； 2 利用广义奇异值分解讨论了矩阵方程( xa x a y a e ) = ( e ，o ) 在对称次反对称矩阵集合中的解、极小范数解和在双对称矩 阵集合中的解、极小范数解及f 半) 正定解： 3 借助四元数的复表示方法，研究四元数矩阵方程组a y = b ，x d = e 的最小二乘问题和极小范数解的问题，并对主子阵约束下的方程组的 解进行了讨论，得到了它们的显式表示。 关键词：主子阵，缺损特征对，对称次反对称矩阵，双对称矩阵， 正定对称，半正定对称，四元数矩阵，复表示，最小二乘解，极小范 数解，子矩阵约束， a b s t r a c t 1 h ec o n s t r a i n e dm a t r 没e q u a t i o np r o b l e mi s ，i nac o n s t r a i n e dm a t r i x s e t ，矗n d i n gas o l u t i o no ft h em a t r 汝e q u a t i o n d i 跳r e n tc o n s t r a i n e dc o n - d i t i o na n dd i 往宅r e n tm a t r i xt y p ew i l ll e a dt od i 丹b r e i l tc o n 8 t r a i n e dm a t r 诙 e q u a t i o np r o b l e m t h em a t r i xe x t e n s i o np r o b l e mi 8 ，u n d e rs o m ec o n - s 纽i n e dc o n d i t i o n s ，c o n 8 打u c t i n gam a t r 波aw i t h8 百v e nm a t r i xa oa s i t s8 u b m a 乞r i x 0 n1 9 7 9 ，h h o c h 8 t a d 矗r 8 td i s c u s s e dt h ei n v e r s ee i g e i l v a l u e p r o b l e mo fj a c o b im a t r i x a 盹e rt h a t ，t h em a t r i xe x t e n 8 i o np r o b l e mi 8i n g r e a 七d e n l a n d t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o np r o b l e ma n dt h em a t r 波e x t e n s i o n p r o b l e mh a eb e e nw i d e l yu 8 e di n8 t r u c t u r a ld y n a m i c s ，b i o l o g y e l e c t r i c i t y ，m o l e c u l a rs p e c t r o s c o p y ，c o n t r 0 1t h e o r y v i b r a t i o nt h e o r y ，n o n l i n e a r p r o g r a m ，d y n a m i ca n a l y s i sa n d8 0o n ，s ot h ed i s c u 8 8 i o no ft h ep r o b l e m s a b o v eh a sa c t u a la n da p p l i e db a c k g r o u n d i nt h i sp a p e r ，w ec o n 8 i d e rs e v e r a lk i n d so fc o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n p m b l e ma n dm a t r i xe ) ( t e n s i o np r o b l e m t h em a i na c h i e v e r n e n t 8 瓤ea s f o l l o w ： 1 t h ep r o b l e mo fc o n s t r u c t i n gar e a ls y m m e t r i cf i v e - d i a g o n 以m a t r i ) 【 厶f r o mi t sd e f e c t i v ee i g e n - p a i r ( a ，恐) ，( p ，硷) ，( 工，z 2 ) a n dap r i n c i p l e s u b m a t r i x 以i sd i s c u s s e d s o m en e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n so f s o l v a b i l i t ya r ed e r i v e d as p e c i a lr e a ls y m m e 七r i c 矗v e _ d i a g o n a lm a t r i xi s c o n 8 i d e r e d an u m e r i c a la l g o r i t h ma n dan u m e r i c a le x p e r i m e n ta r e 西v e n 2 t h el e a s tn o r m ，p o s i t i v es e m i d e f i n i t ea n dp o s i t i v ed e 最n i t er e a ls o l u t i o n so fb i s y m m e t r i cm a t r b ( e q u a t i o n s ( a t x a ，x a y a d ) = ( d ，o ) a r e c o n s i d e r e db ya p p l y i n gt h eg e n e r a l i z e ds i n g u l a tv a l u ed e c o m p o s i t i o n t h e l e a s tn o r ms o l u t i o n so fs y m m e t r i ca n d8 k e wa n t i s y m m e t r i cm a t r i xe q u a t i o n s ( a 丁。x 4 ，x a y a d ) = ( d ，0 ) a r ea l s oc o n s i d e r e d 。 3 t h el e a s t s q u a r e ss 0 1 u t j o n sa n dt h el e a s tn o r ms o l u t i o n so ft h e q u a t e r n i o nm a t r i xe q u a t i o n sa x = b a n dx d = ea r es t u d i e db yu 8 i n g l l c o m p l e xr e p r e 8 e n t a t i o no ft h eq u a t e r n i o nm a t r i c e s w ba l s od i s c u s st h e s o l u t i o nw i t ha8 u b m a t r i xc o 瑚t ra i 】1 to ft h ee q u a t i o n s a 1 lt h es o l u t i o n s a r ee x p l i c i ts o l u t i o n s k e y w o r d s ：p r i n c i p l es u b m a t r i x ，d e f e c t i v ee i g e n - p a j r ，s y m m e t r i ca n d s k e wa n t i s y m m e t r i cm a t r i x ，b i s y m m e t r i cm a 七r i x ，p o s i t i v es e m i d e f l n i t e ， p o s i t i v ed e 矗n i t e ，q u a t e r n i o nm a t r i x ，c o m p l e xr e p r e 8 e n t a t i o n ，l e a s t - s q u a r e s s o l u t i o n ，l e a s tn o r m8 0 i u t i o n ，s u b m a t r i xc o n s t r a i n t 1 1 1 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 作者签名；立舡衅途日期：拦。：五 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文 在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：谰硝木论 日期： 沙；善 导师签名： 日期： 5防6芬趴 n 嚏 第一章引言 约束矩阵方程问题就是在满足一定条件下的矩阵集合中求矩阵方程的解。不同 的约束条件，不同类型的矩阵方程，能得到不同的约束矩阵方程问题。如：已知 矩阵x ，b 和小，求满足某种约束条件的矩阵a ，使得a x = b 且1 l a 一岔= m i n 的 问题( 称为矩阵方程j 4 x = 日的最佳逼近解问题) 是一类约束矩阵方程问题；己知矩 阵x ，且和a ，求满足某种约束条件的矩阵a ，使得j i a x 目0 = m i n 且| | a 一小| | = m i n 的问题( 称为最小二乘问题| | a x 一曰| | = m i n 的最佳逼近解问题) 也是类约束矩阵 方程问题。 矩阵扩充问题就是给定矩阵a 的一个子矩阵a o ，在某种约束条件下构造矩阵a 的 问题。随着科学技术的发展，有各种各样已有的系统( 如结构设计系统，参数识 别系统等) 需要改善或扩充。所谓系统扩充问题就是将现有系统扩充为一个更 大的系统使现有系统为扩充后的大系统的子系统。由于一个离散系统往往用一 个n 阶矩阵a 来描述，离散子系统扩充问题就是指给定矩阵a 的某个主子块，在 一定约束条件下构造矩阵a 的问题。因此，离散子系统的扩充问题实际上就是 矩阵的扩充问题。1 9 7 9 年，h h o c l l 8 t a d 首次提出并讨论的j a c o b i 矩阵逆特征值问 题1 2 】：给定n 阶j a c o b i 矩阵矗和实数a 1 ， 2 ，a 2 。，构造一个2 n 阶j a c o b i 矩阵也。， 使得a 1 ，a 2 ，一，a 2 。是j 2 。的特征值，并且j 竹是如。的n 阶顺序主子阵，就是类j a c o b i 矩 阵的扩充问题。矩阵扩充问题是一类约束矩阵反问题。 约束矩阵方程问题和矩阵扩充问题在结构设计、结构动力学、生物学、电学、分 子光谱学、自动控制理论、振动理论、非线性规划、动态分析等许多领域都具有重要 应用。 近年来，四元数矩阵在刚体力学，量子力学和控制论等中的应用日趋广泛和重 要降7 。在上述四元数的理论研究和实际数值计算中，常常会遇到些四元数方程组 的解或近似解的问题，即四元数矩阵的最小二乘问题和极小范数问题。但由于四元数 乘法的非交换性使得四元数矩阵的最小二乘问题很难解决。目前，人们对四元数矩阵 方程组解的讨论往往用四元数矩阵的矩阵分解来讨论净1 0 】，但这种讨论并不能很有 效直观的将四元数矩阵和复矩阵联系起来，从而制约了四元数应用学科的发展。 1 9 9 6 年，戴华和p e t e rl a n c a s t e r 研究了产生于振动理论中的矩阵方程a 7 x a = d 和( a 7 x a ，x a y a d ) = ( d ，o ) 的对称、半正定解，并且利用奇异值分解方法给 出了有解的充要条件及解的一般表达式f 3 】。1 9 9 8 年，胡锡炎、张磊和谢冬秀首次在 双对称、双反对称、对称次反对称和反对称次反对称集合类中进行了矩阵反问题 a k = b 的研究t 并得到了一系列的成果f 1 4 - 1 6 】。随后，戴华，白中治，周富照等 人也进行了研究 1 6 - 2 4 】。2 0 0 0 年，胡锡炎，张磊等人对由主子阵和缺损特征对扩充 实对称三对角矩阵的问题进行了讨论 2 5 ，2 6 】。2 0 0 3 年，刘永辉研究了四元数矩阵方 程a x a 8 = b 的最小二乘解【8 l ，姜同松研究四元数的代数结构并且得到了四元数矩阵 的复表示 1 2 ，13 j 。2 0 0 5 年，盛兴平研究r 矩阵方程组a y = b ，x d = e 的极小范数解 和最小二乘问题f 1 1 1 。 1 本文在以上研究成果的基础上做了以下工作： 在第二章中，讨论了由主子阵 和缺损特征对( a ，) ，( p ，k ) ，( 坫易) 构造五对角 实对称矩阵厶的一些问题，得到了相关结论，同时将结论应用在一类特殊的五对角实 对称矩阵上，得到了算法和数值算例； 在第三章中，利用广义奇异值分解讨论了矩阵方程( a 7 x a ，x a y a e ) = ，0 ) 在对称次反对称矩阵集合中的解、极小范数解和在双对称矩阵集合中的解、 极小范数解及( 半) 正定解； 在第四章中，借助四元数的复表示方法，研究四元数矩阵方程组a y = b ，x d = e 的最小二乘问题和极小范数解的问题，并对主子阵约束下的方程组的解进行了讨 论，得到了它们的显式袭示。 最后给出一个基本定义和一些常用符号： 定义1 1 设a 伊。m ，存在唯一的x g m ，满足： ( 1 )a x a a ，( 2 )x a x = x ， ( 3 )( a x ) + = a x ，( 4 )( x a ) + = x a ， 称x 为矩阵a 的m o d r e p e n r e 广义逆，简称为m p 逆，记a + 。 注：当x 只满足( 1 ) 式时，称x 为矩阵a 的 1 ) 逆，记为a ( 1 ) ； 当x 只满足( 1 ) ( 3 ) 式时，称x 为矩阵a 的 1 ，3 ) 逆，记为a ( 1 3 ) ； 当x 只满足( 1 ) ( 4 ) 式时，称x 为矩阵a 的 l ，4 ) 逆，记为a ( 1 ，4 ) 。 基本符号： r “( c “)实( 复) n 维空问 q四元数体 a 矩阵 厶意阶单位矩阵 e 第七个元素是1 的单位列向量 正码i 阶单位阵岛的第j 列 r ( a )a 的值域 ( 4 )a 零空间 a 的转置 a t a 的m o o r e p e n r o s e 逆 r n n 尼a a 的秩 | in o b e n i u s 范数 a ba 与b 的h a d a m a r d 乘积 盯( a )a 的特征值的全体 2 第二章五对角实对称矩阵的扩充问题 所谓n 阶j a c o b i 矩阵五是指具有如下形式的n 阶三对角实对称矩阵 = ( o lb l “n 2k 。 k 一1 6 n 一1 其中所有吼和“均为实数，并且所有饥均为正数。j a c o b i 矩阵扩充问题就是给定j a c o b i 矩阵的一个子矩阵，在某种约束条件下构造j a c o b i 矩阵的问题。自1 9 7 9 年，h h o c h 8 t a d f 2 1 首次提出并讨论了谱数据约束下的j a c o b i 矩阵扩充问题，即d o u b kd i m e m 8 i o n 问 题以后，人们对j a c o b i 矩阵扩充问题的研究产生了浓厚兴趣。2 0 0 0 年胡锡炎等提出并 讨论了在缺损特征对和顺序主子矩阵约束下的j a c o b i 矩阵扩充问题f 2 5 ，2 6 1 。 设n 阶五对角实对称矩阵为 厶= 0 16 lc 1 6 l口2 6 2c 2 c lb 28 3b 3c 3 口 ，幻，c k r ，且幻 o ，“ 0 ，i = 1 ，2 ，一，礼；= 1 ，2 ，一一，札一1 ；七= 1 ，2 ，一，扎一2 2 0 0 6 年戴华等人研究了五对角实对称矩阵的逆特征值问题i 2 7 1 ：给定不相等 的实数a ，p ，p 和三个n 维实向量x = ( z 1 ，z 2 ，。) 7 ，y = ( l ，2 ，) 7 ，z = ( z 1 ，砘，一，) 7 ， 构造一个n 阶五对角实对称厶，使得( ) l ，x ) ，( p ，y ) ，( p ，z ) 是厶的三个特征对。这就是一 类五对角实对称矩阵的扩充问题。这类五对角实对称矩阵扩充问题在振动理论和结构 设计等领域有着重要应用。 本章将在前面工作的基础上讨论如下在缺损特征对和顺序主子矩阵约束下的五对 角实对称矩阵扩充问题： 问题a ：给出五对角实对称矩阵厶的阶主子阵 ( 1s 茎n 1 ) ，和缺损特征对 ( a ，x 2 ) ，( p ，蚝) ，( p ，2 ；) ，a 芦， ，芦 求出x 1 ，m ，五并补齐五对角实对称矩阵厶，使得( a ，x ) ，( 卢，y ) ，( ，z ) 是厶的三个特 3 旷旷咖 一 o h 跏缸 以 以 加如跏 h 孙 一 征对，其中x 1 ，m ，互计，蜀，硷，五r ”一，且 x = ( 尧) = t 。，z z ，一，z 一，z t + - ， y = ( 芝) 砘弛舭 z = ( 象) = c z ，幻，- ，钆，z 一+ - ，。) ? ，) 7 ， ，) 7 当= o 时，问题a 为特征对逆问题。当k = n 时，问题a 为求厶的特征值a ，p ，对 应的特征向量，因此本章仅讨论1 曼n 一1 的情形。 本章内容主要分为三个部分：第一部分介绍准备知识和引理，并将问题a 分解 成两个与线性方程组有关的问题a 1 和a 2 ；第二部分分别研究问题a 1 和a 2 存在唯一解 的充要条件并由此得到问题a 的相关结论；第三部分给出问题a 的特殊情况和数值算 法。 1 准备知识 记慨( o ) = 如t ( o 厶一 ) 且l p o ( n ) = 1 ，且，表示i 阶单位阵蜀中的第j 列， 蜘) = ? ( 兰：乏：咱- 2 艮：艮。) 用厶一。表示厶右下方他一 阶五对角实对称矩阵，口) 表示矩阵a 的特征值集合。 引理2 1 设也是z 阶五对角实对称矩阵，d 冠对于方程组 ( o 五一以) ，= m 目z + 礼蜀f 一1f 2 1 ) 则当口口( 正) 时，存在唯一解，且解为 ，= m ( a 五一西) 一1 蜀z + n ( 。五一也) 一1 岛，j 一1 2 石尚( 。，6 一m ：( 。) 一c j _ 2 札z ( a ) 朋一t ( 口) ) 7 + 齑( ，( d 一。f ) 吼一知) 一覆。仰一3 ( d ) ，一虬( ) ) 7 证明：由n 叠口( 五) 知( n 一正) 可逆，则 ，= ( ，2 ，。，1 ) 7 一r n ( o 五一也) 一1 蜀j + n ( n 厶一 ) 一1 蜀f 一1 其中五一t2 历南【m 6 f - 1 忱一2 ( d ) 一m c f 一2 咖一z ( a ) + n 一啦) 忱一2 ( n ) 一n c z 吼一3 ( ) 五2 石寺可【m 妒l 一，( 0 - ) 一嘲一- ( 。) 引理2 2 设4 是f 阶五对角实对称矩阵，。，i 臼r ，o 卢 4 ，= ( ，1 ， ，i ) ，g = ( 9 1 ，卯，卯) 分别是方程组 ( o 五一 ) ，= m 目l + n 蜀，! 一l ，( p 丑一 ) 9 一s 局l + t 蜀，f l 的解，则当口，p ga ( j 1 ) 时 ，t 9 = ( m f 舌+ 竹冒五一1 ) ( o 五一丑) 一1 ( 卢五一 ) 一1 ( s 日z + t 局，l 一，) 【m 卯+ “卯一l s ，l t ，l 1 ( a 一卢) 证明：由两个方程组得到 旺矿 一矿矗f = m g l + n 9 i 以，8 p g pj i g = s 氛+ t | l 。 因a 卢，9 t 正，= ，7 也9 ，故有 ( a 一口) ，t 9 = m g l + n 虮一l s t ，l l( 2 2 ) 则，7 9 = m 9 f + n 卯一l s ，i t 一1 】( 。一卢) 。证毕。 由厶x = a x ，厶y = ，y i 厶z = y z ，1 n l 得到 ( a 厶一以) x 1 = ( 6 k z 女+ 1 + z k + 2 ) 上 + q l z k + l b ，k 一1 ( 肛厶一 ) m = ( 6 k 玑+ 1 + c k 弧+ 2 ) 王+ c k 一1 弧+ l 鼠，k l ( v 一以) z 1 = ( b k + 1 + e k + 2 ) 上k k + c k 一1 。k + 1 既，k l，o 们 一k 弼= a 尥一( c 一1 k 一1 + k o k ) 晶一k ，l c k z b 一 。2 、 一k k = p 蚝一( 。k l 讥一l + k 玑) 五j 一1 一玑j k k ，2 厶一 磊= z 2 一( o 一1 2 * 一1 + k 钆) e 。一 ，l q e 。一k 2 由于求得的x 1 ，k ，蜀要保证 x = ( 尧) ，y = ( 芝) ，z = ( 笔) 是五对角实对称矩阵 的特征值a ，“，对应的特征向量，从而要求 x ? y = 0 ，y r z = 0 ，x t z 2o ， 因此，求解问题a 等价于求解如下的问题a 1 和问题a 。 问题a 1 给定阶五对角实对称阵以( 1 n 一1 ) 及a ，p ，兄( 入肛，a p ，p ) ， 恐一+ 1 ，z 。) t k = ( 掣女+ 1 ，) t ，磊二( 弛1 ，锄) t 月 5 求出 x l5 ( 。l ，z ) 7 ，h = ( l ，挑) 7 ，蜀= ( 旬，铂) 7 兄 6 膏 0 ，嚷一1 0 ，“ o ，使得 问题如给定a ，“p 兄n “a 一) ，及 凰= ( z i + l ，。n ) 7 ，b = ( 虮+ 1 i ，) 7 ，邑= ( + 1 i ，舻一 求n 一阶五对角实对称矩阵五一 ，使得 ( 2 4 ) f 参一女恐= a 托一h 一1 一1 + 6 陬) b 咄1 一c 胁晶咄2 一k = b 一( b l h l + k 鲰) 置。一一魏班蜀。一jf 2 5 ) 【 一k 邑= z 2 一( c k l 缸l + k ) 日。一女，l c 七点k 一女、2 其中g 女，玑，“，z m l ，玑一l ，一1 ，靠，一l ，是问题a 1 的解。 2 问题a 的理论解 皇型粤2 ，可知，z 一l ，批，玑一l ，l 都可以由k ，“，c 一l 线性表示， 具体表示如下： 。 z 女一12 谚者可【( 6 k 一- 妒k 一。( ) 一c k 一2 妒t 一2 ( a ) ) ( 。k + 。“+ z k + 。靠) + ( ( a 。k ) 一。( a ) o k 二 虮一1 玑= # 一l c ；一2 一3 ( a ) ) 。k + l 一1 k l ( a ) ( z 女+ 1 6 + z + 2 c k ) 一砂k 一1 ( a ) 。k + 1 c k l ( 6 k 一1 【p 一2 ( p ) c 一2 妒 一2 ( 肛) ) ( ”k + l k + g t + 2 吼) + ( ( p n k ) 妒k 一2 ( p ) ) ) 瓠+ l 一1 1 + 玑+ 2 c k ) 一妒k 一1 ( p ) 弧+ l c 一1 “2 机一2 ( p ) ) ( 讯+ l k + 。 + 2 c k ) + ( ( v o k ) _ p 一2 ) 一c l 一2 l p k 一3 ( ) ) 名i + l c 一l 】 3 石最两 一1 ( ) ( + 1 “+ 讯+ 2 “) 一曲女一l ( v ) + l c k 所以我们可以得到如下定理 ( 2 6 ) 凝警茗 叫邓刨薹 x m 历和t ” ；，l r 、，2一一一一一嗽 一。一。一。h一一 矗厶厶n心吻 限吣粥粥怕 妇a 赢 o 心 一陟妒却翮 一妒| 定理2 1问题a 1 有解的充分条件是： ( 1 )p k ( ) o ，l p k ( 肛) o ，妒 ( p ) o ( 2 ) 三元两次方程组 南 ( z 女+ 1 弧一以弧+ 1 ) h + o + 2 纨一岱搬+ 2 ) c k + ( + l 弧一1 一z 一l 弧+ 1 ) “一1 】 + 霹k = o ) 南【( 茁k 十1 一 + 1 ) k + 十2 一钆+ 2 ) + ( 。k + 1 名k l z k 一1 + 1 ) “一1 】 十x z 2 = o 瓦与i ( 玑+ l 一虮钆十1 ) h + ( 弧+ 2 一鲰讯+ 2 ) “+ ( 鲰+ l 稚一l 一弧一1 + 1 ) q 一1 】 + 蜉磊= o ( 2 7 ) 存在解k o ，一1 o ，靠 o ，其中z k ，。k l ，挑，弧一1 ，珞一1 如( 2 6 ) 式所示。 证明：由引理2 1 ，引理2 2 和以上的线性表示( 2 6 ) 即可知若方程组( 2 7 ) 存在正 解，则问题a l 有解，又帆( a ) o ，( p ) o ，机( v ) 0 ，所以解可以表示为 蜀= ( 6 七z + 1 + “z 女+ 2 ) ( a 厶一以) - 1 上k k + c k 一1 + l n 厶一 ) _ 1 鼠，k l( 2 8 ) m = ( h 虮+ l + c i 可k + 2 ) ( p 厶一以) - 1 上 + q l 弧+ 1 ( p 一靠) 。n ，女一1( 2 9 ) 历= ( “钆+ 1 + c k + 2 ) ( p 厶一以) _ 1 上k k + c 一l 。k + l ( 厶一五) _ 1 取， 一l( 2 1 0 ) 证毕。 定理2 。2 问题a 1 存在唯一解的充分必要条件是： ( 1 )妒k ( a ) o ，妒t ( 弘) o ，妒女( 王，) o ， ( 2 )三元两次方程组( 2 7 ) 存在唯一解“ o ，一l 0 ，仇 0 证明：充分性：由定理2 1 即可得证。 必要性：设问题a l 存在唯一解，则由引理2 1 知( a ) o ，帆( p ) o ，仇( ) o ，且“ o ，c e 一1 o ，吼 o 也是方程组( 2 7 ) 的唯一解，即条件( 1 ) ，( 2 ) 成立。 证毕。 7 记 ( 2 3 ) 茁 + 1 c k + l + z k + 2 k + 2 + o k + 3 血k + 3 + o * + 4 6 k + 3 + z k + 5 。k + 3 = a z k + 3 挑+ 1 q + 1 + 弧+ 2 6 k + 2 + 鲰+ 3 0 + 3 + 珊+ 扣k + 3 + 弧+ 5 “+ 3 = a 挑+ 3 ( 2 一( n 一七一2 ) ) 名k + l q + 1 + 2 奄+ 2 6 k + 2 + 2 k + 3 毗+ 3 + 讯+ 4 6 * + 3 + 讯+ 5 + 3 = a + 3 z 女c k + k + 1 6 膏+ 1 + z 女+ 2 c + 2 + o + 3 6 + 2 + z + 4 c k + 2 = a z + 2 纨+ 执+ 1 6 e + l + 鲰+ 2 8 i + 2 + 纨+ 3 k + 2 + 妊+ d 嚷+ 2 = a 鲰+ 2 ( 2 一( n 一七一1 ) ) 讯+ 名k + 1 6 七+ 1 + 孙+ 2 0 + 2 + 2 + 3 奴+ 2 + 。女+ 4 + 2 = 丸氇+ 2 一l 一1 + h + z k + 1 n k + l + z k + 2 “+ 1 + z k + 3 + 1 = a z k + l 剪t 一1 c k 一1 + 虮“+ 鲰+ 1 n + 1 + + 2 6 + 1 + 掣k + 3 + l = a ”k + l( 2 一( n 一七) ) o k 一1 q l + k + 旅+ l o k + 1 + o k + 2 k + l + z k + 3 + l = a + 1 z 玑l t 。r i l 0 = l ，2 ，一， 一七一2 ) 皿；= d e ( 既)0 = 1 ，2 ，礼一女一2 ) 水蚓= 隧囊誉 6 ，一砰1 z 川z n + 1 毋“+ 1 一 蜘 l 十l 拶1 “。一 8 d 1 2 = o = 一1 ，n ) n 一一16 i + 1 ) 。+ 1 十1 毋“+ 。鲰* 1 十l 毋1 ”) 。十l ，_-jl_-【，l-_i，、lli_、，li_，、i 1tj一 m 址蜘址 _ _ o 1 _ 叫；叠 。l 1j + + + 瓠钆 2 2 2m 肌撕 _。l = 日 1、，j 吼叭盈 _。l = x 1j i 。n 一 一lz m6 ；“一+ 1 l d ：砷= l 弧；一i - l 口6 一+ ”l = l ，2 ， ；一女一2 ) ， l - l _ l 一。6 争“ 定理2 3 问题a 2 存在唯一解的充分必要条件是： ( 1 ) d ；o ，d ；d “ o ，0 = 1 ，2 ，n 一女一2 ，j = 1 ，2 ，3 ) ( 2 ) 胁n ( b ) = r m ( 慨，6 ( ) 一c i 拉柚】) = 2 ，且若 ，p l l p 1 2p 1 3 、 尸 k ，6 恤+ 2 一“。k k ) 】= l o 仇2p 2 3 i ， 、o o o 这里p 是初等行变换矩阵，则p 2 3 m 2 0 ( 3 )。k + l ，可k + 1 ，+ 1 不同时为o 证明： 问题a ：存在唯一解当且仅当线性方程组( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 恤一是) ) 存 在唯一解且机，c i o ( t = 女+ 1 ，n 1 ) 而线性方程组( 2 一1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 一m 一一2 ) ) 存在唯一解当且仅 当取t o ，删d “ o ，0 = 1 ，2 ，n 一女一2 ，j = l ，2 ) 成立。即条件( 1 ) 成立。 线性方程组( 2 一( n 一一1 ) ) 是关于6 k + 1 ，吼+ 2 的两元方程组，所以其存在唯 一解当且仅当条件( 2 ) 成立。 对于方程组( 2 一( 礼一k ) ) ，若z k + 1 i + 1 ，+ 1 不同时为o ，则可得 fa 一( “l z 一l + “。k + k + 1 。k + 2 + + 1 z + 3 ) z + 1 ，z 女+ l o 吣- 2 ：二乏篡戮乏芝嘏搿牌嚣三曼嚣荽。 【 靠+ l o ( 2 1 1 ) 若在z + 1 ，讥+ 1 ，+ 1 中有两个或两个以上不为o ，则我们需要证明由上述 表达式中训算得到的+ l 相等。不妨设。+ l 0 ，弧+ 1 0 ，由引理2 2 ，定 9 理2 1 和x 7 y = 0 知 o a 一( o k 一1 z 女一1 + z k + 6 k + l o 女+ 2 十+ 1 k + 3 ) z k + lj 一一【c k 一1 鲰一l + k 讥+ h + l 掣k + 2 + 吼+ 1 玑+ 3 ) 玑+ 1 邓刊+ 赫瞄蚓+ 志i ；：茇 l 照! l 。k + 1 z k + 2 l 士 蔓士! l z 女+ 1 + 3 啊m “ 鲰+ l 口m5 啊抖删1i 口彰啪i 邓刊+ 黔等岔舯t 一看爵旧：i 扫k 土1 z + 2z k + 1l ! 呈士!z k 十3o + 1 z k 十l 弧+ 1f 玑+ 2 玑+ l z k + 1 胀+ 1i 弧十3 鲰+ 1 ：( 入一弘) + 撼= ? z 。+ 。口。+ ；+ 黜= 娄z 。+ ；鲰+ ， 所以方程组( 2 一仰一) ) 存在唯一解。必要性显然可知，证毕。 定理2 4 问题a 存在唯一解的充分必要条件是： ( 1 )a ，p ，v 掣口( ) 且方程组( 2 6 ) 存在唯一的正解 ( 2 )d “o ，磁d “ o ，0 = 1 ，2 ，一，n 一女一2 ，j = 1 ，2 ) ( 3 )r o n ( 。巩) = r n 而( i 巩，b 【+ 2 ) 一c k x ( k ) 】) = 2 ，上l 若 ，p l l p 1 2 p 1 3 、 p 【b k ，b 忙+ 2 ) 一c * 五) 】= i o p 2 2 船3 i ， o o o 这里p 是初等行变换矩阵，则p 2 3 兜2 o ( 4 )z k + 1 ，f k + 1 ，+ 1 不同时为o 3 问题a 的特例及算法 在现实应用中，我们更经常遇到的是一些特殊的五对角实对称矩阵，如何由 主子阵和缺损特征对构造这一类特殊的矩阵就显得更有应用价值。下面给出一 个常见的特殊五对角实对称矩阵的讨论问题，结论，算法及数值算例。 1 0 特例2 1 ：在五对角实对称矩阵厶中，c l = c 2 = = 一2 = c ，即 = 口1b 1 c 6 l0 2 6 2 c c 6 2n 36 3 c c 6 ”一3 o n 一26 n 一2 c c 6 n 一2 o n lk l c 6 ”一ln h 问题五：已知a ，肛( p ) ，恐= ( 。t + l ，z + 2 ，z 。) t ，虼= ( k + l ，掣 + 2 ，t ，s h ) t ， 以，求j 白= ( z 1 ，z 女) 7 ，m = ( l ，鲰) 7 ， 一k 及h ，使得( ) 、，x ) ，( p ，y ) 都 是 的特征对。 推论2 1 特例2 1 有唯一解的充要条件是： ( 1 ) 关于b k 的一元二次方程 ( z k + 1 0 恤一z 七3 陪+ 1 ) + ( z + 2 掣一z k s 脯+ 2 ) c + ( z 知+ l 掣女一l z 堕业+ 霹y 2 ：o ( 2 1 2 ) 有唯一芷解。 ( 2 )z k + 1 ，瓠+ l 不同时为0 且 a 一“ z n _ lz m + 1 口弘t 一1j 0 0 ( 1si 礼一七一1 ) 。 根据上面的推论，我们可以得到求解特例2 1 的算法： ( 1 )对给定的黯( 1 墨毛钆一1 ) ，计算妒b ( a ) ，妒k ( 芦) ，妒k 一1 ( a ) ，妒一l ( 肛) ，l p k 一2 ( a ) 妒 一2 ( p ) ，妒女一3 ( a ) ，妒k 一3 ( 肛) ，妒k 一1 ( a ) ，妒k 一1 ( p ) ，妒b 一2 ( a ) ，妒k 一2 ( 肛) 和砑k ， 若( a ) = o 或讯( p ) = o ，则问题无唯一解。 ( 2 )解方程( 2 1 2 ) ，若存在唯一正解则进入( 3 ) ，否则无唯一解。 ( 3 )根据( 2 8 ) ，( 2 9 ) 求出唯一解x 1 ，h ( 4 )对给定的女( 1s 自茎n 一1 ) 和给定的i ( 1 t n 一一1 ) ，计算 b3 ” 若结果不等于o ，则计算 若结果 0 ，则可以求出唯一解o 。一i + 1 数值算例2 1 ：给定a = 2 ，6 ，p = 18 ， 和 求x l ，m r 4 ， ， ( m ，b ) r ， k “最后根据( 2 1 1 ) 求出o k + l 。 兄= ( 3 4 ，一2 8 ，2 4 ) 7 ，硷= ( 一2 3 ，o 6 ，1 3 ) 7 剖 耻m 吲 2 61 3 612 80 l3 64 1 13 1 71 2 8 1 2 8 3 1 7 2 61 5 2 01 ，2 81 5 22 0 9 o01 2 81 2 1 7 4 ooo1 2 8 000 0 0 o 1 2 8 1 2 1 7 4 32 9 8 7 3 1 8 7 5 1 2 8 0 0 0 1 2 8 3 1 8 7 5 8 9 9 3 0 2 0 1 3 2 0 0 0 0 1 2 8 2 0 1 3 2 3 1 3 5 4 4 小结与问题 本章主要解决了问题a 有唯一解的情况，但尚未能解决问题a 有解的一般情况 问题a 有解的一般情况仍需继续探讨。 1 2 黔竹屉驼 = l & 2 l r ；n 船 1 4 3 1 k 船0 一 o ，反 o ，i = 1 ，2 ，一，s 记 ；，、f o ，j 忙l 吼，2i 去， 1 3 = c 妒。k 。，慨，= ：；二：i ： c sa ， 研= x 彤”| a x 日+ 日x r a g f = m m ) 岛= x 帮。5 | a x 日+ 日x 7 a = e 则( 1 ) 岛非空的充要条件是c 7 = g 且其元素通式可表为 x = a 一1 皿 e 一日( m y ) t a