（应用数学专业论文）动态coherent风险度量和均值方差优化若干问题的研究.pdf

中文摘要 动态c o h e r e n t 风险度量和均值方差优化若干问题的研究 摘要 本论文研究金融数学中的两大问题：动态的c o h e r e n t 风险度量和动态的均值方差 优化问题，共分六章，第一章为绪论，二、三两章讨论c o h e r e n t 风险度量和动态c o h e r e n t 风险度量，后三章讨论负有债务的投资者以及保险公司所面对的动态均值方差优化问 题 我们首先将c o h e r e n t 风险度量从上。空间推广到比之更一般些的护空间上，证明 了一个定义在扩上模下半连续的c o h e r e n t 风险度量必须且只须由一族q 方可积的概 率测度来定义为了便于给出动态c o h e r e n t 风险度量的公理化定义，我们提出了一个 异一c o h e r e n t 风险度量的新概念，其中异是在r 时刻市场信息，r 可以是一个固定时 刻，也可以是一个停时这样的随机时间对于一个满足f a t o u 性质的0 c o h e r e n t 风险 度量来说，它必须由一族限制于。上时与客观概率测度相同并且关于客观概率测度 绝对连续的概率测度砟来定义；如果它又满足r e l e v a n t 性质，那么它可以由砟中的 所有与客观概率测度等价的概率测度群来定义；进一步，我们说明了砖，群两者都是 o 凸集( 即满足只凸性) 我们称以时间集工为指标集的一族五c o h e r e n t 风险度量为 一个动态c o h e r e n t 风险度量，从而给出了动态c o h e r e n t 风险度量的公理化定义而对于 一个满足f a t o u 性质，r e l e v a n t 性质，和t i m e - c o n s i s t e n t 性质的动态c o h e r e n t 风险度量， 我们证明了它必须且只须由一族乘积型稳定的概率测度( 即，m - s t a b l e 概率测度集) 来 直接定义更进一步，我们还成功将这些一般概率空间下的关于c o h e r e n t ，o c o h e r e n t ， 以及动态c o h e r e n t 风险度量的主要理论结果从终期风险推广到现金流风险情形此外 对一个凸多边形等价概率测度集的m - s t a b l e 包的构造问题，我们也得到一些不错的结 果 对于负债投资者的最优均值方差投资组合策略的选择问题，我们首先是在离散时 闻且资产收益率向量的协方差矩阵奇异( 半正定) 的条件下，先将所要讨论的动态均值 方差优化问题转化为一个起辅助作用的二次优化问题( 本质上是一均值方差套期保值 问题) ，再利用动态规划方法( b e l l m a n 原理) 得到辅助优化问题的最优解的解析形式， 再往回转换计算最终得到了负债投资者的最优均值方差投资组合策略及均值方差有效 前沿曲线的解析表达形式通过与无负债且资产收益率向量协方差矩阵正定情形( l i - n g ( 2 0 0 0 ) ) 下的理论结果相对比，进而揭示了投资者随机增值的债务及奇异协方差矩阵 所带来的影响这种影响表现为一个“矩阵替换”和一个债务影响投资调整的向量值 的“影响系数”其次是连续时间情形的讨论，我们应用随机线性二次最优控制的方法 ( s l q 方法) 为我们引入的辅助均值方差套期保值问题得到一个二阶矩阵值的r i c c a t i 方 程，并通过求解这个二阶矩阵值的r i c c a t i 方程及应用i t 5 公式圆满地解决负债投资者 上海交通大学博士学位论文 的最优均值方差投资组合策略的选择问题 相比于负债投资者，保险公司在面对一个由c o x 过程驱动的因保险理赔而产生的 随机损失序列时的最优均值方差投资组合策略的选择问题要复杂的多我们通过域流 的转换克服了因c o x 过程之故导致不连续域流所带来的困难，给出了方差最优鞅测度 的表示形式在证明一个倒向随机微分方程解的存在性之后，成功地得到起辅助作用 的均值方差套期保值问题的最优解，并最终得到最优均值方差投资组合策略及均值方 差有效前沿曲线的解析形式 关键词t 动态金融市场模型；c o h e r e n t 风险度量；表示定理；m - s t a b l e 概率测度集； 均值方差优化问题；奇异协方差矩阵；债务或损失序列的影响；动态规划方法；随机 最优控制方法 a b s t r a c t t h es t u d yo ns o m ep r o b l e m sc o n c e r n i n gd y n a m i c c o h e r e n tr i s km e a s u r e sa n dm e a n v a r i a n c e o p t i m i z a t i o n s a b s t r a c t t h i st h e s i sa i m st os t u d ) , t w oi m p o r t a n tp r o b l e m si nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e d y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r e sa n dd y n a m i cm e a n - v a r i a n c eo p t i m i z a t i o n s i tc o n t a i n s s i xc h a p t e r s ，w h e r et h ef i r s to n ei sa ne x o r d i u m ，t h e2 n da n d3 r do n e sd i s c u s sc o h e r e n t a n dd y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r e s ，a n dt h el a s tt h r e ec h a p t e r ss t u d yt h ed y n a m i c m e a n v a r i a n c eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s w ef i r s tg e n e r a l i z et h ed i s c u s s i o no fc o h e r e n tr i s km e a s u r e sf r o m 己。s p a c et o t h em o r eg e n e r a l l yb m l a c hs p a c e 2 ，a n dp r o v et h a ta ”l i p - n o r ml o w e rc o n t i n u o u s c o h e r e n tr i s km e a s u r ed e f i n e do n 2i sn e c e s s a r i l ya n ds u f f i c i e n t l yd e f i n e db yac o l l e c to f q - s q u a r ei n t e g r a b l ep r o b a b i l i t ym e a s u r e sw h e r eqi st h ed u a li n d e xo fp i nc o n v e n i e n c e o fg i v i n ga na x i o m a t i cd e f i n i t i o no fad y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r e w ep r o p o s ean e w c o n c e p to fr i s km e a s u r et h ej 一c o h e r e n tr i s km e a s u r ew h e r e ，i sa l lo ft h ei n f o r m a t i o n a v a i l a b l ea ttt i m ea n d7 m a yb eaf i x e dt i m eo ras t o p p i n gt i m el i k er a n d o mt i m e w e o b t a i nt h a ta0 一c o h e r e n tr i s km e a s u r es a t i s f y i n gf a t o up r o p e r t ys h o u l db ed e f i n e db y as p e c i a lc o l l e c t 拜o fp r o b a b i l i t ym e a s u r e sa b s o l u t e l yc o n t i n u o u sw i t hr e s p e c tt ot h e o b j e c t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r ea n dc o i n c i d e n tw i t hi tw h e nr e s t r i c t i n gi n 只：a n di fi t s a t i s f i e sm o r et h er e l e v a n tp r o p e r t y ，i tt h e nc a nb ed e f i n e db yt h ec o l l e c t 磁o fa l lt h e e q u i v a l e n t ( w i t hr e s p e c tt ot h eo b j e c t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r e ) p r o b a b i l i t ym e a s u r e s b e l o n g i n gt ob w ea l s oi l l u s t r a t et h a tb o t h 只a n d 群a r eo c o n v e xs e t ，i e ，s a t i s f y t h e0 一c o n v e x i t yp r o p e r t y w ed e f i n eac o l l e c tw i t ht i m es e t2 - ( d i s c r e t e ，o rc o n t i n u o u s ) 8 st h ei n d e xs e to f 五一c o h e r e n tr i s km e a s u x e sa sad y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r ea n d b yt h i sw eg i v ea na x i o m a t i cd e f i n i t i o nf o rd y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r e s w ep r o v e t h a tad y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r es a t i s f y i n gf a t o up r o p e r t y , t h er e l e v a n tp r o p e r t y a n dt h et i m e - c o n s i s t e n tp r o p e r t yi s n e c e s s a r i l ya n ds u f f i c i e n t l yd e f i n e dd i r e c t l yb ya m u l t i p l i c a t i v e l ys t a b l es e t ( m - s t a b l ef o rs h o r t ) o fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s f u r t h e r m o r e ， w eg e n e r a l i z es u c c e s s f u l l ya l lo ft h em a i nt h e o r e m sc o n c e r n i n gt h er e p r e s e n t a t i o n so f d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no f s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y c o h e r e n tr i s km e a s u r e s ，五一c o h e r e n ta n dd y n a m i cc o h e r e n tr i s km e a s u r e sf r o mt h ef i n a l v a l u ec a s et ot h ec a s hf l o wc a s e i na d d i t i o n ，w eo b t a i nan o tb a dr e s u l tw h e nw et r y t os t u d yt h ec o n s t r u c t i o no ft h em s t a b l eh u l lo fap o l y g o n a lc o n v e xs e to fe q u i v a l e n t p r o b a b i l i t ym e a s u r e s a st ot h eo p t i m mm e 8 n v a r i a n c ep o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mf o ra ni n v e s t o rw i t h d e b t ，w ef i r s td i s c u s si tu n d e rt h ec o n d i t i o n so fd i s c r e t et i m ea n dt h a tt h ec o v a r i a n c e m a t r i x e so ft h er e t u r nv e c t o r so ft h ef i n a n c i a la s s e t sa r es i n g u l a rf s e m i p o s i t i v ed e f - i n i t e ) b yt r a n s f o r m i n gt h eo r i g i n a lo p t i m i z a t i o np r o b l e mt oa na u x i l i a r ys t o c h a s t i c q u a d r a t i co p t i m i z a t i o np r o b l e mw h i c hi si ne s s e n c eam e a n v a r i a n c eh e d g i n gp r o b l e m a n dp l a ya k e yr o l ei nf i n d i n gt h ef i n a ls o l u t i o n s ：w eu s ed y n a r n i cp r o g r a m m i n g m e t h o d s ( b e l l m a np r i n c i p l e ) t od e r i v et h eo p t i m a ls o l u t i o nf o rt h ea u x i l i a r yp r o b l e ma n dt h e n t r a c eb a c k w a r dt od e r i v ea n dt oo b t a i nt h ee x p l i c i tf o r mo ft h eo p t i m a lm e a n v a r i a n c e t r a d i n gs t r a t e g ya n dm e a n - v a r i a n c ee f f i c i e n tf r o n t i e r c o m p a r i n gw i t ht h ee x p l i c i tr e - s u i t so b t a i n e db yl i n g ( 2 0 0 0 ) i nt h ep o s i t i v ed e f i n i t ec a s e ，w ec a nd i s c l o s et h ee f f e c t s c a u s e db ys i n g u l a re o v a r i a n e em a t r i x e sa n dt h ei n v e s t o r sl i a b i l i t ya n di l l u s t r a t e db y ac e r t a i nk i n do f s u b s t i t u t i o nb e t w e e nm a t r i x e s a n da nv e c t o rv a l u e d e f f e c t i n gf a c t o r w i t hw h i c ht h ei n v e s t o ra d j u s th i st r a d i n gs t r a t e g yw h e nw et u r nt oc o n t i n u o u s t i m ec a s e ，w ef o l l o wt h es t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lm e t h o d s ( s l q f o rs h o r t ) t oo b t a i na2 - o r d e rm a t r i xv a l u e dp d c c a t ie q u a t i o nf o ro u ra u x i l i a r ym e a n - v a r i a n c eh e d g i n gp r o b l e m ，a n ds u c c e s s f u l l ys o l v et h eo p t i m a lm e a n v a r i a n c ep o r t f o l i o s e l e c t i o np r o b l e mf o ra ni n v e s t o rw i t hd e b tb ys o l v i n gt h i s2 - o r d e rm a t r i xv a l u e dr i c c a t i e q u a t i o na n da p p l y i n g1 t 5f o r m u l at od os o m ec o m p u t a t i o n s i nc o n t r a s tt oa ni n v e s t o rw i t hd e b t ，a ni n s u r a n c ec o m p a n yi sf a c i n gas t o c h a s t i c s e q u e n c eo fl o s s e sc a u s e db yc l a i m s p a y o u tw h i c hi ss u p p o s e dt ob ed r i v e nb ya c o x p r o c e s sa n dt h e nh i so p t i m a lp o r t f o l i os e l e c t i o np r o b l e mi sm o r ed i f f i c u l t w eo v e r c o m e t h ec h a l l e n g ea r i s e nf r o mt h ed i s c o n t i n u o u sf i l t r a t i o nd u et oac o xp r o c e s sb yc h a n g i n g t h ef i l t r a t i o na n do b t a i na ne x p l i c i tf o r mf o rt h ev a r i a n c eo p t i m a lm a r t i n g a l em e a s u r e w h i c hi st h ef o r ma st h ec o n t i n u o u sf i l t r a t i o nc a s e a f t e rh a v i n gp r o v e nt h ee x i s t e n c e o ft h es o l u t i o no fac e r t a i nb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w eo b t a i nt h e o p t i m a ls o l u t i o no ft h ea u x i l a r ym e a n v a r i a n c eh e d g i n gp r o b l e ma n df i n a l l yo b t a i n a ne x p l i c i tf o r mf o rt h ei n s u r a n c e so p t i m a lm e a n - v a r i a n c et r a d i n gs t r a t e g ya n dt h e a b s t r a c t m e a n * v a r i a n c ee 伍c i e n tf r o n t i e r k e y w o r d s ：d y n a m i cm a t h e m a t i c a lf i n a n c em o d e l ；c o h e r e n tr i s km e a s u r e ； r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m s ；m - s t a b l es e to fp r o b a b i l i t ym e a s u r e s ；m e a n v a r i a n c eo p t i - m i z a t i o n ；s i n g u l a rc o v a r i a n c em a t r i x ；t h ei n f e c to fl i a b i l i t yo ras e q u e n c eo fl o s s e s ； d y n a m i cp r o g r a m m i n gm e t h o d s ；s t o c h a s t i co p t i m mc o n t r o lm e t h o d s 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：陈文财 日期：2 0 0 6 年9 月1 7 日 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：陈文财 日期：2 0 0 6 年9 月1 7 日 第一章绪论 1 1 风险度量方法历史演化和c o h e r e n t 风险度量的研究现状 1 1 1 风险度量方法历史演化 风险的本质在于事物变化的不确定性在金融市场中，投资者持有一定数量的某 一金融资产或一资产组合所面临的风险，本质上讲就是这一投资组合在到期时的收益 ( 或净收益) 的不确定性，具体说就是这种收益的不确定性致使投资者可能遭受的损 失因此我们可以说风险即是损失，它富于不确定性之中如何描述资产组合( 或投 资组合) 的风险，进而度量资产组合的风险，是金融投资者进行资产组合选择，资产 组合的风险控制的理论基础因为任一理性的投资者都是力求在资产组合收益与风险 之间寻找一个最佳平衡点，从而使其效用达到最大从数学上看，风险是用概率方法 进行描述的但是概率这一数学方法与金融风险的联姻。并不是一开始就为大家所接 受的概率方法在风险度量上的应用，最早在1 9 3 0 年以前就已经开始了；但是在这 一时期人们对此方法的态度在理论上是将信将疑而在实践上则是否定的一方面是一 些数学家充满热情地将概率方法引进来，而另一方面则是其他一些数学家对概率方法 在风险度量上的应用不断地进行批评和质疑，进而使得概率方法在风险管理的实践中 遭到人们的否定原因主要在于概率方法是用从历史数据中得到的资产收益概率分布 来刻画风险( 收益不确定性) 的，而人们普遍认为历史数据不能说明未来将会发生的 事情由于经济学家和数学家们的不懈努力，特别是上世纪5 0 年代m a r k o w i t z 的现 代投资组合理论的问世，人们最终确认了概率统计方法在风险描述和风险度量上的地 位，而不再计较概率方法的缺陷( 关于这一段历史的详细叙述可参阅文献e l t o ng m c g o u n ( 1 9 9 5 ) ，即文献 2 0 】) 因此，自上世纪5 0 年代开始，数理方法在金融的各个 定量研究领域不断渗透，并且获得了飞速的发展到如今，要是否定概率方法，等于 就是否定整个的现代投资组合理论 既然用概率分布描述资产组合风险，那么又如何度量资产组合风险呢? 很显然， 分布的统计特征自然成为度量风险的重要工具若用随机变量x 表示某一资产组合 的到期净收益，当资产组合收益为一负值时表示该投资组合发生亏损；一x 就表示该 资产组合的到期净损失，其中损失值为一负数时表示该资产组合有一正的净收益在 本文之中，除非特别说明，一个随机变量总是表示某一资产组合的到期净收益，收益 变量与损失变量两者相差个负号在不引起歧义和混淆时，有时我们就称x 为一资 产组合 第一章 绪论 ( 一) 方差( v a r i a n c e ) 资产组合收益x 的期望e x 表示该资产组合的到期时的平均收益如果x 恒为 一个常数，那么这一资产组合的收益是固定的。不确定性消失，因此是没有风险的； 人们对这种固定收益资产接受与否主要取决于它的收益高低，以及是否有比它更好的 投资机会因此期望e ( 一x ) 从来都没有被用来度量x 的风险大小人们关心的是资 产组合收益x 将会怎么样背离人们对这一资产组合收益的期望，这种变动的不确定 性和风险的本质是相一致的因此方差这一统计指标自然就成为了最早的风险度量工 具，即。 v a r ( x 、= e ( x e x ) 2 通常也用标准差瓠丽两来度量风险如果给定x 的个简单样本( x - ，恐，墨) ， 那么v a r ( x ) 的估计量是五1 ( 咒一叉) 2 。其中x = 。1 咒它的计算是非常简便 的显然标准差 石五再) 作为风险度量满足如下性质z ( 1 ) 对任意的非负实数a 0 ， o r ( a x ) = a ”o r ( x ) ( 2 ) 、w r ( x + y ) 睨r ) - i - 移o r ( y ) ( 3 ) 对任意常数8 ，有、 o r + 口) = 移口r ) 方差作为风险度量工具的经典也是最为成功的应用就是m a r k o w i t z 的均值方差分 析( 参阅文献【8 8 】或【5 6 】) 均值方差分析成为现代投资组合理论的基础，m a r k o w i t z 本 人也因此获得诺贝尔经济学奖这一模型通过解决如下带约束条件的二次规划问题， 即： m i n ；训。t j ， 1 t ，= 1 e ( w x ) = p 其中x = ( x l ，恐，k ) 为市场中n 种资产的收益率向量，w = ( w l ，删2 ，) 为资产组合向量，为x 的协方差矩阵，1 = ( 1 ，1 ，1 ) 为单位向量，得到了著名 的均值方差有效前沿曲线以及两基金分离定理正是在均值方差分析的基础上，资产 组合的p 系数理论以及s h a x p e - l i n t n e r - m o s s i n 资本资产定价模型( c a p m ) 得以建 立 从上面标准差的性质( 3 ) 中可以发现，追加或减少一定数量的现金于一个资产 组合并不影响该资产组合的( 方差) 风险大小，这与人们的对风险的直观判断是不吻 2 上海交通大学博士学位论文 合的此外，方差作为风险度量没有区分资产组合收益相对于期望收益水平的两种不 同方向从而是不同性质的偏离或变动如果到期之时资产组合的实际收益大于期望收 益水平，这意味着投资者获得了超额收益，这是任何投资人梦寐以求的事情；相反， 如果资产组合的到期实际收益低于期望的收益水平，这是投资人所不愿看见的因而也 是在作投资决策时需要重点预期与防范的为了弥补方差风险度量的这一缺陷，于是 下半方差( 1 0 w e rs e m i v a r i a n c e ) 以及更一般的下半矩( 1 0 w e rp a r t i a lm o m e n t ) 等替 代风险度量方法便应运而生( 参阅文献【1 4 ) ( 二) 下半方差( l s v ) 与下半矩( l p m ) 为区别资产组合收益相对期望收益的上方与下方两个不同方向的偏离，我们称上 方的偏离为获得超额利润的机会( 简称u p p e ro p p o r t u n i t y ) ，下方的偏离则是发生损失 的风险( 简称d o w n s i d er i s k ) 显然，任一资产组合都u p p e ro p p o r t u n i t y 与d o w n s i d e r i s k 并存的当我们关注d o w n s i d er i s k 时，下半方差就是一个首选的用以替代方差的 风险度量工具对于任一资产组合x ，它的下半方差( l s v ) 风险定义为。 l s v ( x ) = e m i n ( 0 ，x e x ) 】2 若x 的分布密度是，( z ) ，p = e x ，那么 ，p l s v ( x ) = 0 一p ) 2 ，( z ) 出 j 一 当分布对称时 即以均值p 为中心的对称分布) ，下半方差就成为实际上的半方差( h a l f v a r i a n c e ) 也即是，l s v ( x ) = ；v a r ( x ) 此时，在均值方差分析模型中用下半方差代 替方差作为风险度量，没有任何本质的变化，甚至是形式上的变化因此当假定市场 的资产收益向量服从正态分布时，均值方差分析与均值下半方差分析是没有区别的 当资产组合收益x 的分布非对称时，方差与下半方差的比值，即主；等貉，就成为一种 度量分布非对称性程度的手段 当标准下半方差 l s y ( x ) 作为风险度量工具时，很显然它与标准差一样满足同 样的性质如果我们用一个投资者预定的目标收益水平替代下半方差定义中的期望 收益肛时，就得到一个一般形式的下半方差，记为l s k ) 关于均值下半方差分析 的有效前沿曲线，文献h o g a na n dw a r r e n ( 1 9 7 2 ) 【即文献【2 8 】) 解决了这一问题；随 后，h o g a n 和w a r r e n 两人又于1 9 7 4 年在文献f 2 9 1 中建立起了以下半方差三s k 作 为风险度量下时的资本资产定价模型( c a p m ) 3 第一章绪论 作为d o w n s i d er i s k 的风险度量工具。下半方差( l s v ，或l s k ) 实际上假定了 所有的投资者抱有相同的风险态度，他们拥有一个相同的二次的效用函数然而，不 同的投资者对待风险的态度是不相同的，有的是风险回避( r i s ka v e r s e ) 者，有的是 风险喜好( r i s ks e e k i n g ) 者，有的则是风险中性( r i s kn e u t u a l ) 者；就是风险态度 同一类型的投资者。他们的风险承受能力( r i s kt o l e r a n c e ) 也是不同的这些正是下 半方差受到批评并且被下半矩方法所替代的原因b a w a 和f i s h b u r a 分别在文献【9 】 与【2 1 】中提出了下半矩这一风险度量方法下半矩方法相比于下半方差方法，变得更 加灵活与适应 下半矩方法有两个参数，一个是目标收益水平，一个是投资者风险承受能力系 数a 0 资产组合x 在参数( a ，) 下的下半矩风险l p m 。) ( x ) 定义如下， l p m d 计( y ) = e m a x ( 0 ，y 一x ) r 在给定一个简单样本( x l ，恐，置，) 的条件下，l p 舰。，) ( x ) 的统计估计如下。 1 一 l p m ( ) ( x ) = 云 m a x ( o ，一五) 卜 当a = 2 时，下半矩l p m 2 ，) ( x ) 就是下半方差l s v 。, ) 当a = 0 时，下半矩 l p m ( o ，、( x ) 就是资产收益x 小于目标收益水平的概率p ( x ) a = 1 表示投 资者是风险中性者，n l 则表示投资者是风险厌 恶者 毫无疑问，下半矩是关于d o w n s i d er i s k 的非常理想的风险度量工具但是正如方 差等其他传统的风险度量方法一样。下半矩方法并不能告诉我们一个资产组合可能的 最大损失是多少当金融市场( 股票市场，债券市场，外汇市场等) 剧烈动荡时，许多 投资者都遭受灾难性的损失人们在遭受重大的打击之后，意识到在对自己金融资产 进行风险管理与控制的过程中必须去预测从而弄清楚这些资产可能给他带来的最大损 失，以便做到心中有数为了保持金融市场的稳定，金融监管部门也要求各金融( 投 资) 机构对他们资产的风险暴露情况进行经常性的报告于是，伴随着在险值( v a l u e a tr i s k 减v a r 方法的出现，风险度量与风险管理领域中的一场革命性的变革产生了 ( 三) v a l u ea tr i s k ( v a r ) v a r 方法是直接从风险管理的实践中产生的区别于传统方法的一种新型的风险度 量方法它的最早出现足在上世纪8 0 年代末期，一些公司利用它来进行资产的风险 管理v a r 方法一经产生，随后的几年时间里立即成为广受欢迎的风险度量工具 4 上海交通大学博士学位论文 到1 9 9 5 年，以美国银行业的b a s l e 委员会为代表的一些国际金融监管机构纷纷建议 属下的各金融机构采纳v a r 方法进行风险管理，用v a r 方法来计算他们的资产组合 的风险准备金( c a p i t a lr e q u i r e m e n t sf o rm a r k e tr i s k ) 同时，由于v a r 方法的广泛 应用，大量的学者开始不遗余力地对这一新的风险度量方法进行理论和实证的研究 时至今日，v a r 方法早已在风险管理的实践中占据统治地位，而关于这一风险度量方 法的理论分析与实证研究也同样是硕果累累文献【1 9 ， 4 8 1 ，1 4 3 1 ，【4 9 】，1 3 3 等就是其 中的一些富有代表性的成果 给定一置信水平n ( 通常为0 0 5 ，o 0 1 ) ，那么资产组合x 的a - v a r 定义为： v a r , ，( x ) = 一i n f ( a i e ( x 曼o ) 口 显然， y n 凡( x ) = s u p a i p ( - x a ) 之o ) 这表明，持有资产组合x ，损失超过y 口心( x ) 的概率将小于q ，这是个小概率事 件反过来说，就是持有者有1 0 0 ( 1 一o ) 的把握保证损失不会超过v a r ( x ) 可 见，v a r 方法在概率意义上部分地解决了投资者对资产组合将导致的最大损失的预 期问题 因为，x 的分布函数的q - 分位数( a q u a n t i l e ) q c , ( x ) = i n f a i p ( x a ) o ， 因此， y 口r 。( x ) = - q 。( x ) 是o t q u a n t i l e 的相反数如果x 的分布函数f ( z ) = p ( x z ) 是连续的( 即，不存 在跳) ，那么口o ( x ) = f - 1 ) ，其中f _ 1 ( z ) 是f ( x ) 的逆函数如果x 服从正态分布 ( “盯2 ) ，那么( x ) = p + 盯圣_ 1 ( d ) ，其中西( z ) 表示标准正态分布的分布函数显然 若x 服从参数为( p ，盯2 ) 的对数正态分布，则( x ) = 唧札+ 盯圣一( q ) 在实际应用中，有三种方法去计算个资产组合的v a r 值它们分别是( 1 ) 历 史数据模拟，( 2 ) 方差协方差计算法，以及( 3 ) m o n t e - c a r l o 仿真模拟方法第一 种方法首先是从资产组合收益的历史数据中计算一天期的v a r 值，然后乘上以就得 到该资产组合的t 期的v a r 值第二种方法是在假定资产市场的收益向量服从竹维 正态分布的前提下，利用资产市场的历史数据首先估计出收益向量的协方差矩阵，由 此再计算一个资产组合的方差，最后利用正态分布的分位数计算式计算出该资产组合 5 第一章绪论 的 c a r 值第三种方法也称为是随机模拟方法。关于m o n t e - c a r l o 方法的计算步骤 与应用可以参见文献f 4 8 】【3 3 】下面的一些文献成功地解决了v a r 在一些具体的市 场模型下的分析计算问题例如，文献 5 0 1 得到了自回归模型( a r 模型) 下的v a r 分析计算式，而文献 1 0 l 则讨论了g a r c h 模型下的v a r 的分析计算；文献【1 2 】解 决了几何布郎运动( g e o m e t r i cb r o w nm o t i o n ) 模型下的v a r 的分析计算式 容易验证v a r 作为风险度量方法，它满足下面的性质： ( 1 ) 若x 0 ，则v a r c , ( x ) 0 ( 2 ) 若x y ，则v a r a ( x ) v a r 。( y ) ( 3 ) 对任意非负实数a 0 ，v a r y , ( a x ) = a v a 凡( x ) ( 4 ) 对任意实数f t ，v a r , , ( x + 口) = v a r a ( x ) 一o ；特别地，v a r 。( x + y o ( x ) ) = 0 v a r 作为风险度量工具，并非是完美无缺的( 可参阅文献【5 】， 6 】， 3 0 1 ，( 3 8 j 等) 一方面，v a r 方法并没有1 0 0 的把握将资产组合的最大风险控制在一定的范围内， 即使它给出的最大损失值的置信水平为9 9 也不能保证超过这一最大损失的巨额损 失不会发生在风险管理的实践中往往就是那些超过风险预期的巨额损失，使得许多 公司招架不住而走向破产利用v a r 方法进行风险管理与控制，在那些概率虽然很小 的巨额损失面前显得无能为力另一方面， 的道理，也就是说分散投资可以降低风险 我们都知道。鸡蛋不要放在一个蓝子里。 然而从文献 5 】和 6 】对v a r 方法的分析 中我们得知，v a r 方法并不能使得分散投资可以降低风险这一基本原理总是得以成 立这是v a r 方法的最致命的缺陷下面的例证，充分说明了这一点 例( 信用风险) 。设有两种可违约的公司债券x 1 ，恐，分别为甲乙两个公司所发 行。它们的到期时间、到期支付、发行价格都相同它们的违约概率都是o 0 3 ，当甲公 司违约时，x 1 = 0 ，而当甲公司履约时，j ，1 = 1 0 0 ；同样，当乙公司违约时，恐= 0 ， 而当乙公司履约时，x 2 = 1 0 0 墨与。磁相互独立投资者面临如下两个投资方案s ( a ) 购买两张甲公司发行的债券；( b ) 购买甲乙两公司发行的债券各一张现设置信 水平q = 0 0 5 直接计算两个方案的v a r 值易碍，方案( a ) 的v a r 值是 v a r a ( 2 x 1 ) = 一2 0 0 = v a r 。( x 1 ) + y n r 。( 恐) ； 而方案( b ) 的v a r 值是 v a r c , ( x l + 恐) = - 1 0 0 v a r , , ( x 1 ) + v a 冗。( 恐) 可见选择分散投资方案( b ) ，在n = 0 0 5 的条件下用v a r 度量风险时，相比于方案 6 上海交通大学博士学位论文 ( a ) 风险不但没有减小反而是增加了 v a r 方法之所以破坏风险分散化原理，从数学本质上来看，是因为v a r 不满足 次可加性再看下例 例( 期权的风险) 设有关于同一股票且到期时间t 相同的两张股票期权a 与 b 期权a 的初始价格为i , ，当股票到期时的价格岛 u 时，它的到期支付是1 0 0 0 元，否