（应用数学专业论文）试验函数法在非线性偏微分方程中的应用.pdf

中文摘要 本文运用试验函数法研究了带有非局部源的偏微分方程的全局弱解的不存在性，内 容包括椭圆方程、发展方程全局解的不存在性以及双曲型方程的局部弱解的不存在性 本文的主要内容分为三章 第二章，我们讨论了带有非局部源的椭圆方程全局弱解的不存在性 一谢丽2 知，小m r ( 加卵a z ) 叫9 z 蚪 这里啦j 是c a r a t m o d o r y 函数，且i a i ，j ( z ，u ) l o 【) ( 茁) 川m ；m ，p ， 0 ，q 1 ，( p + 。) q ( q + ) m ；a 0 ( z ) ，6 ( z ) ，卢( 。) 0 ，z 皿；_ 臼( z ) g l 一，v m 1 并且给出了两个典 型的例子 第三章，我们考虑了带有非局部源的发展方程全局弱解的不存在性 卜铲，0 巧2 a i , j ( x , t , u ) = b ( z , t ) l “l p ( 胁) 州9 一，； lu ( 。，o ) = “o ( 茁) 茁r l 其中a i d 是c a r a t h 6 0 d o r y 函数，且l a i d ( x ，t ，u ) i a o ( x ，t ) i i ”；a o ( z ，t ) ，b ( x ，t ) ，卢( t ) 0 ，2 0 l o 。( 觋) ；m ，p ，。 0 ，q l ，( p + 。) q i i l “ 7 7 1 ，1 ) ( q + a ) 我们分两种情况对其进行了研 究：( i ) 卢( 。) i1 ，m = 1 ；( i i ) 卢( 。) c 1 ，v 蚓 m 1 ，m 0 对这两种情况，分 别给出了三个具体的应用 在第四章里，我们给出了下面双曲型方程的局部弱解的不存在性 i 一u m ：6 ( z ) 舻( 晟。f j l u q d z ) 呐 ( z ，t ) 曲； iu ( z ，o ) = “o ( z ) ，“( z ，o ) = “l ( 茁) 卫豫 其中s r = ( o ，t ) ，0 0 ，碍 1 ，( p 十a ) g m & x m ，1 ) ( q + a ) 并得到了此方程有全局弱解的一个必要条件 关键词：椭圆方程发展方程双曲型方程非局部源有限时刻爆破局部弱解全 局弱解试验函数法 a b s t r a c t b y t h et e s tl n c t i o nm e t h o d ，t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h en o n e x i s t e n c eo f g l o b a lw e a ks o l u t i o n t op d e sw i t hn o n l o c a ls o u r c e s t h en o n e x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o nt oe l l i p t i ce q u a t i o n a n dt h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ，t o g e t h e rw i t ht h en o n e x i s t e n c eo fl o c a lw e a ks o l u t i o nt oh y p e r b o l i c e q u a t i o ni s c o n t a i n e di nt h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s s c u s st h en o n e x i s t e n c eo fg l o b a lw e a ks o l u t i o nt oe l l i p t i ce q u a t i o n w i t hn o n l o c a ls o u r c e s 6 ( z ) i u i ，( 上。卢i “| 。d z ) 。7 。x er n w h e r e o z ji sa c a r a t h 6 0 d o 。yf u n c t i o n ，a n d1 0 t ，( z “) 1 曼。o ( z ) j u l m ；m ，p ， 0 ，g 1 ，归+ 乜) q ( q + o ) m ；o o ( z ) ，6 ( 。) ，卢( 卫) 0 ，正r ；卢( 。) c 1 1 m 1 w ea l s og i v 8 w o e x a m p t e s i nc h a p t e rt w ow ec o n s i d e rt h en o n e x i s t e n c eo fg l o b a lw e a k 8 0 1 u t l o nt oe v o l “t l o ne q u a n o n 卜差彘驰圳卵( 胁m 。) 叫4 一，川； l“( z ，o ) = t 上o ( z ) 岳醒。 w h e r ea i ji sac a r a t h 6 0 d o r yf u n c t i o n ，a n dl 啦，j ( x ，t ，u ) i a o ( z ，t ) i u i “；a 0 ( z ，t ) ，b ( x ，t ) ，卢( 。) 2 0 ，乜o l 1 0 。( r ) ；m ，p ，a 0 ，q l ，( p + 吐) q m a x m ，1 ) ( q + 吐) w 色s c u d y h i 8 q u e 8 1 。n i nt w oc a s e s ：( i ) _ 臼( z ) 三1 ，m = 1 ；( i i ) 卢( z ) c l l x l 一9 ，v 1 茁1 m 1 ，m o f b rt h 。8 e w o c & s e 8 ，w eg i v et h r e ea p p l i c a t i o n sr e s p e c t i v e l y c h a d t e rf o u rd e a l sw i t ht h en o n e x i s t e n c eo fl o c a lw e a ks o l u t i o nt oh y p e 。h o l i ce q u 贰i o n f 。一“m = e ( z ) ( 上。p l “l 。a z ) 。柚( z ，e s r ； lu ( ，o ) = u o ( z ) ，珏t ( z ，o ) = u l ( z ) ，z r 去 一 w i t hs t = 瓞v ( o ，t ) ，0 0 ，q 1 ，( p + 。) q m a x m ，1 ) ( g + n ) a n dan e c e s s b x yc o n d i t i o nt o t h ee x i s t e n c eo fg l o b a lw e a k s o l u t i o no ft h i se q u a t i o ni so b t a i n e d k e y w o r d s ：e l l i p t i ce q u a t i o n ，e v o l u t i o ne q u a t i o n ，h y p e r b o l i ce q u a t i o n ，n o n l o c a ls o u r c e s ， f i n i t et i m eb l o w u p ，l o c a lw e a ks o l u t i o n ，g l o b a lw e a ks o l u t i o n ，t e s tf u n c t i o nm e t h o d 笙二童鱼堡 第一章绪论 1 1 背景知识 考虑一个理想气体在多孔介质里沿着某一方向运动，这个运动遵循下面三个运动规 律： 状态方程：p = p o p 。，其中p = p ( 。，t ) 是压力，p = p ( z ，) 是气体密度， 1 ，。) 和 p o 耻是常数， 物质守恒：裳+ d i v ( p 才) = 0 ，其中才是速度向量，a 畔是介质的孔隙率( 即气体 可获得的体积分数) 达西( d a r c y ) 定理：”才= p v p ，其中”毗是气体的粘性系数，弘阻是介质的 渗透系数 如果我们在上面的三个方程中消去p 和才，并不考虑有关的常数，我们就得到下面的 齐次多孔介质方程 “t = a u “( 1 1 ) 其中m = l + a 2 ，u 和气体的密度只差一个常数 此方程源于很多其它实际问题比如，当m 1 时，它描述了在高温下的电离气体 理论；当r , q = 1 时，它就是众所周知的热传导方程；当0 1 ，初值u o 有界可积文f 2 4 得到：如果k ( ，) d y = l ，此方程的临界f u j i t a ，w “ 爆破指数是p c = m + r 一旦二! + 喜但是上下解方法对于更一般的方程 av 嘉去如，讪k 圳卵( 加删础，圳9 咖) 吖。，一。， 解决起来比较困难，不能直接把文【2 4 】的方法推广过去对于带有非局部源的发展方程， 近年来很多学者在有界区域上进行了大量的研究( 如【1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 5 ，2 6 ) 但是，当区域无界 时，对这类问题的研究还很少 1 2 预备知识和主要方法 本文我们介绍一种新的方法一试验函数法来研究方程( 1 4 ) 不存在性问题同时我 们还用这一方法来研究带有非局部源的椭圆方程和双曲型方程，这两类方程关于空间变 量的微分算子和非局部源与方程( 14 ) 是同样的这一方法首先是由t b m i t i d i e r i 和s i p o h o z a e v f l l 在研究椭圆方程的时候提出的，后来文 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 推广了这一方法首先， 我们先求出所考虑的方程的解的带参数的先验估计，然后，根据先验估计，我们得到解 的渐近性态，这一渐近性态与某个趋向于无穷的参数有关最后，令此参数趋向无穷， 我们就得到解的不存在性 试验函数法有下面的一些好处：首先，所有的推理都相当简单明了，不需要较深奥 的数学知识其次，由于不需要适应比较原理的一些假设，这使得我们可以考虑类型更 一2 一 第一章绪论 为广泛的非线性方程最后，我们用这种方法得到的结论是最终的，也就是说，这是目 前所得到的最好的结果 下面介绍几个后面的证明中要用到的重要引理 引理1 1 ( h s l d e r 不等式) 令1 兰p l ，p 。茎o 。，1 p t + 1 p 2 + + 1 p 。= 1 如果 “三p ( o r ) ，= 1 ，m ，习5 么 加“。 引理1 2 ( y o u n g 不等式) 令1 0 3 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 2 1 引言 一塞彘吒如，牡m 1 9 ( 加卵如) 叫4 ，一 - ， e 0 嚣： 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 是，对任意q ( + 2 ) ( n 一2 ) ，定理的结论不真 最近，文 3 用试验函数法研究了问题( 2 1 ) 在a = 0 这样一种简单的情形，得到： 如果1 1 记 圣= 妒( 珞( 8 + ) ；l 妒( s ) = 1 ，0 5 2 )( 2 2 ) 则必存在妒o 西，使得 这里f 嗵 i 妹瞄隆鬻卜唯一瓠 o 。 仁s ， f - ， 。ss 墨- ； 9 ( s ) 2 e x - 尚器 ， 2 a l ( a l 一1 ) 时，有 z 妹睁l 差鬻卜呲n 吼 证毕 口 2 3 主要结论 在这一节里，我们总是假定 这里。是任意的常数 卢( g ) c 1 l x l ， m 1 ( 2 4 ) a ( p ) ；p 口，ffi 。l ；( 妒。) | ，。( 6 妒。) 一，a j - _ d 1 。 j 1 1 至2 其中 一警，一再等等丽，拈者确= ( n - 2 g 2 + 骂a t q ) 堕0 - 2 吼2i ，啦2 万而再可而q 一孑j p 1 一 一。 。黼。卸，一洲n ，吲= i 妻, j = l l 畿l - 我们先给出问题( 21 ) 的弱解的定义 定义2 1 如果存在一个函数u = u ( z ) ，满足 ( 1 ) a i , j ( 。，“) ，b l u l pi | 卢1 q l u l l l ：工毛。( r 。) ； ( 2 ) 对于任意试验函数妒皤( 豫；酞+ ) ，有下面的不等式 l 。b i l l p 啊忏虻一五。塞吡心，u ，酝出 s ， 那么，我们称u = “( 。) 是问题( 2 1 ) 的弱解 运用试验函数法，我们得到了下面的结论 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 定理2 1 假设口满足( 2 4 ) 式如果存在一个试验函数妒o = 妒o ( 2 ) 圣和一个非 负的常数c 2 ，使得舰a ( p ) 2 c 2 ，月b 么方程( 2 1 ) 没有非平凡的弱解 证明：1 没u = n ( z ) 是方程( 2 1 ) 的弱解，那么用妒乘以方程( 2 1 ) ，并在髓”上积 分得： 上。酬“1 9 驴惦妒如上。l u i ”三。( 妒) 出 ( 。6 ) 其中 ，。r n a 2 妒1 如旧) = 毛 恭| 4 ，j 2 l 。 由h s l d e r 不等式和y o u n g 不等式， a o l u l “l 2 ( o ) d x ，庇n s ( 上。i u i ，妒a z ) 者( 五。卢i u i aa z ) 南( 上，l 。l 。c 妒，i 。2c 。妒，一暑卢一；学a 。) 者 e ( ：n b , “, pl i 鼬z ) 删e ) ( 小脚矿2 ( 都一箫出) 苦心) 这里 g ( e ) = ( e 1 ) ”i 9 1 ( a ：) 取e ：2 ，于是由( 2 6 ) 和( 2 7 ) 我们有 厶，6 l u l 一 i 卢；沁l i i ：妒d 。仍( 上，i n 。工t ( 妒) l 。2 ( 6 妒) 一嚣f 9 一嚣；如) ” ( 2 8 ) 这里 凸= 2 ( 叽2 ) 一4 j 。1 ( 口i ) 2 现在取妒o = 啪( p 一2 2 ) ，作变换z = 膳当p m ，1 2 时， 卢一希( 心) 茎c 4 p 嚣4 其中 c 4 ：g i 嚣m a x 1 ，2 希4 ) 7 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 于是由( 2 8 ) 式，有 这里 f 。nb l u i 叫妒如s 岛蛳) 既= 岛暖i 。2 在上式的两端令p _ 。，由定理的假设，我们最后得到 这表明 其中 3 由h 6 1 d e r 不等式 五。川胁1 峙d z 1 ，即p + a m ，( p + n ) 口 ( q + o ) m 但是当( p + d ) q + n ) m 时，必有p + o m 所以在方程( 21 ) 中只要 求( p + 。) q ( q - t - 。) m 2 4 两个典型的例子 在这一节里，我们总是假定口( z ) 满足( 24 ) 式下面我们给出两个典型的例子，他们 的结论( 推论2 1 和推论2 2 ) 是定理2 1 的直接应用，但是它们比定理2 1 更能直观地 看出各个参数对弱解的不存在性的影响 例2 1 考虑下面的方程 一u = 1 z p i u l 9 l l 卢：1 1 l l ；， z r ( 2 1 4 ) 其中p a 0 ，q 1 ，( p 十a ) g q + a 记 a ( p ) = ( ) 。i 。2 一g 第二章一类椭圆方程的非平凡弱解的不存性 其中一l ，0 2 ，一i ，卢l 与定理2 1 的定义一致， 吼：卢1 一丛， ：， l 三；t ( 妒。) i a z ( 1 1 7 妒。) 一一：一zd f ， 1 一 7 1 1 j 1 1 f 1 2 。 、。4 l m 。) ：亡i = 1 塾0 2 ：2 ，妒。= 妒。( m 由引理2 1 ，存在妒。使得f 1 q + a 记 a ( p ) = p o 。( 如) 。i ，。z 其中a l ，0 2 ，j i ，风，l ；( 妒o ) 和妒。与例2 1 中的相同， 0 2 = 卢l + 卢盯i ，如= i i l p l ；+ ( 妒o ) 1 4 2 妒i 4 “叽d “s 1 2 类似于推论2 1 的证明，我们可以找到蛳使得儿 m a x ( m ，1 ) ( g + a ) 当。：0 时，上述问题退化为带有局部源的发展问题，很多学者对此进行了研究 比如，对于半线性发展问题 lu t 一u ：舻， 。r 1 v ，t o ； l 札( z ，o ) = “。( z ) ， z r f u j i t a 【2 0 ，2 1 及a r o n 8 。1 1 和w e i n b e r g e r l 2 2 _ 】，k o b a y a s h i t a n k a 【2 3 ) 证明了当1 。； lu ( 茁，o ) = o ( z ) ， z 碾。 一 一一 箜三童 二耋垄星立堡塑韭! 旦塑堡塑丕查些 的f u j i t a 爆破指数，得到：当i 0 ，( 7 1 = p4 - a ， a o = 印( 联，p e r ) ，b 我们的主要结论是： 定理3 1 假设 a 。2 矿瓦0 9 汀+ c i o q i ，a # 与； 憾矿r ) ，妒砷( 肌r ) ，己捌= ；, 为- , 0 2 q 两o o ( i ) 存在0 0 ，啪垂，和某个非负的常数c ，使得熙山( p ) = g ( i i ) 7u o ( z ) d x o ； j r s 则问题( 3 1 ) 不存在非平凡的弱解 证明：设u = u ( z ，t ) 是问题( 3 1 ) 的弱解，由( 3 2 ) ，有 z i 。蜘m i i i 触础z l 。咖m 眦加上。州批，。) 如( 3 3 ) 由h s l d e r 不等式 以加塞i 畿 t ，= l 。 。 s o 6 i u r | j l u | | i ；妒d z d t 一n u 。( z ) 妒( z ，。) d z 上”( 上。i “p 妒a z ) 者( 上。l “i a a z ) 杀( 二。l o t + a o l 2 ( 妒) 1 4 z ( 。妒) 一署如) 去a t ( 。a ) 再利用y o u n g 不等式，得到 ：i 。啦m i i i 川；妒d x d t 一q 上。州榔，0 ) d z + g z 。0 ( 上， 妒t + a o l 2 ( 妒) p ( b 纠一嚣d z ) 若出 ( 3 5 ) 其中 c 1 = 2 ( j l 2 ) 一4 i 。盯i ，c 2 = 2 箜三童二耋垄垦立墨塑! ! 兰墨翌堡鲍至廷：堡 现在，我们取 妒( z ，) = 妒o ( 矿( 。4 - t ) ) ( 3 6 ) 其中妒o 圣作变换z = 戚，t = , 0 0 t ，那么【3 5 ) 式变为 上l 。蜘川：妒d x d t o ，p 8 i z i 。+ ts 2 p 。 1 再次对( 3 3 ) 式使用h s l d e r 不等式和y o n i l g 不等式，并注意到s u p p k o t + 。l 2 ( 妒) i f 2 p 鞋们得到： z 。二。b l u 严u ；妒d 。d 。s 一上。u 。( z ) 妒( z ，。) d z 十( 儿，啪川川枷砌) 者础时吼z r ，嗜缸) ” 从而，在上式两端令p 一o 。我们最后得到 l i m 6 u 岷d x d t 0 ， p - + c oj o j r 1 所以。：00 e ，即问题( 3 1 ) 不存在非平凡的弱解- 下面我们给出几个例子 、巧 d t1 ( 31 0 ) j 口 例3 1 如果在问题( 3 1 ) 中口( ，u ) = “，b ( z ，t ) ；1 ，那么问题( 3 - 1 ) 变为 差岷1 岫 ( 3 1 1 ) 第三章一类发展方程的非平凡弱解的不存性 其中 我们取口= 2 ，由( 3 7 ) 式，我们有 0 2 。i u 严l t 。l ；d 。d 0 那么，我们可以得到 0 2 。 i i i “咐妒如d t c l y l 一q p 7 所以当卢l m a x ( 0 ，7 ) 时，在上式的两端令p _ o g ，得 0 2 。1 “1 9 1 1 1 “1 1 1 i d z 出s 。， 这和u = o ，一是等价的这样，我们得到了 推论3 1 ( i ) 如果 1 1 ，( p 十a 一1 一；) 0 ， z 。h 唧川i l l q 妒出d t c 1 a e 一岛上。州蝴，0 ) d z 其中 删舻f o 。( 剧等蝎，- 岛=堕o-十22口i+(m+2nr2 1 一u l f 3 1 6 1 f 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 选取妒o ，使得( 3 1 8 ) 式右端的积分有限，这样当伤0 时，存在非负的常数c 使得 l i r aa 2 ( p ) = c 另外，假如对初值还有估计式( 3 ，1 4 ) 成立，类似于例1 ，我们有：当阮 。； 我们取日= 2 一o - ，由( 3 7 ) 式，有 z 。五。i u l 9 u ；妒d 。d sc 、a 一( p ) 一g 。上。u 。( z ) 妒。( z ，。) d z 其中 ， 吲萨矽砒；。降q ，r 妒i 并武) 鼍打 岛= ( + ( 盯一2 ) 口2 ) 垒0 2 + 2 一d ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) z ，( p + 字a 叫 m 邳川( p + 一1 ) + 2 如果在推论31 、推论3 2 和推论3 3 中令= 0 ，n = 0 ，我们得到： 推论3 1 如果1 p s l + 2 n ，屉w u o ( 。) d z 0 ，那么方程 憾篡x e r h r 加 第三章一类发展方程的非平凡弱鼹的不存性 论 没有非平凡的弱解 推论3 2 7 如果 1 。 推论3 3 如果l m a x m ，1 ) ( q + a ) ，q 1 ，d 0 ，所以p + a l l l a l k t t l ，1 ) ，这保证了 g 1 ，0 2 ，o 3 ，0 - 4 1 由h 6 1 d e r 不等式和y o u n g 不等式，有 小蚓出( 小卵妒出) 者( 加卵如) 景( 小邓静蛆 ”id x ) 去 5 e “卵彬l u l 哐d x + c ( e ) ( 上。m m 圹嚣声一鬻d z ) 葛 ( 3 2 3 ) 这里g ( e ) = ( e 口1 ) “i 4 - ( a i ) 一 类似的， n j 悱渤( 删出e 二。b 妒吣i 妇，r 1 i l g 第三章一类发展方程的非平凡弱解的不存性 + g 。) ( 二nl a o l 2 ( 妒) 1 9 4 ( 6 妒) 一筹口- l - z j , , d x ) 矗 这里c ，( e ) = ( e 。3 ) 一。i 。s ( 口；) 由( 3 2 2 ) ( 3 2 4 ) ，取e = 1 3 ，我们得到 以。啪u i l l ：d x d t 0 作变换z = 店，江p o - r 注意到，当眯1 m 时 卢( 必) 。a 。( q l c ；- ”2 m “a o - 2 0 l ( q o - 1 ) p ”2 9 m 。“， 卢( 店) n a 4 1 ( q a s lsg i 。4 m 4 3 一4 ( q 4 。1 矿”( q 4 “ 于是，当p m 2 时 ：。( 厶。m 印圹帑气z ) ”出 ：一c v 一日j 2 ，矗+ 。：2f i l l 2 f p ( p o - ；署a ) 4 2 a r 曼g s a a ( 一) + 五。( 一) z 0 。( 小龇犷m 旷静z ) ”拈e 6 玩 其中c 5 ：町。口。脂口- 2 一m ，“、g 6 = c ；- 。4 m 4 3 2 8 m 。“- 由( 3 2 6 ) ( 32 7 ) ，我们得到 z 。上。b 卜严妒1 1 芦；l u i ：d z d t _ c a g s a 。( p ) + c 3 五口( + c 。c b e 力 ( 3 2 4 1 ( 32 5 1 f 3 2 6 1 ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 1 一 兰三童二耋垄星直堡塑韭垦塑堡塑至查壁 在上式的两端令p 一o 。，得 ，m 。，f 。0 。j f 。b t “i 护； u i l l ： = 仍m “ 晚既，c 4 c 6 ( 3 2 9 ) 由h s l d e r 不等式，有 ：。“l d x d t = ! ：矿，l x l 2 p 2 u 慨i d xd t 。，必须要 此时( 32 8 ) 式变为 ( m 一1 ) ( 一盯) o + 2 ( p + 。一i ) q 0 ：l 。m “小硼c a c 5 蛳) + 钢卅q 渊p ) ( 3 3 3 ) a c 一，= 矿s j ( 2 ( 五i ! ：，a e ) 9 2 a r ， 五c 一，= e 9 。( 丘1 1 m ，t 卢一；署a 。) 艺a t ， b c 一，= 矿4z 2 ( ! j 。；。，a e ) 7 4d r ： 肛风= 碍砌s + 掣杀+ 。蒜高+ 鼎， ，- ，( ，垆1 掣州2 ) n 州2 ) 州叫1 洳l ， ，。：1 翌! ! 1 8 ；塑妒。( p z l z l 。) 。2 ( 妒。( p - o r ) 妒。( p 一2 l z l 2 ) ) 一嚣， 。刮，护亳1 镨似r ，卜删抨r 咖3 由引理2 ，l 的证明，我们可以选取咖使得a ( p ) ，口( p ) 右端的积分有限，而且，l 是有界 的函数那么当卢，= p 2 o 时，我们得到。1 i r a o o ( a ( p ) + b ( p ) ) = 岛 ( q + a ) m a x 1 ，盯1 ) n ( p + o m ) q 2 q + ( n 一仃) o ( m 一1 ) n a + 2 q ( p + a 一1 ) 0 那么问题( 3 3 2 ) 不存在非平凡的弱解 ( i i ) 如果对初值u o 还有估计( 3 1 4 ) 成立，那么当 ( p + 。) g ( q + o ) m a x 1 ，m ) n ( p + a m ) q 0 时，问题( 3 3 2 ) 不存在非平凡的弱解 例3 5 考虑下面的发展问题 “。t。-，。a，u：rn。三：。”iup|卢1加iu| z 豫，t 0 ； ( 3 3 4 ) z 我们令卢。= 伍，得到日= 垃荸等+ 2 孑 詈三要使得口 。，必须要 ( m 一1 ) ( 一口) o + 2 ( p + o 一1 ) q 0 此时( 3 2 8 ) 式变为 ：。0 上，i z i2 t “l u l 9 妒i i 卢；i “l 【i ：d z d t c a c s a ( p ) + c b 万( p ) + g 。g b b ( p ) ( 3 3 5 一2 4 塑三茎二耋塑星查堡塑韭王垦塑鳖塑至壹垦 蛳m 3 ：2 ( 缸篮) 嚣帆 万c ，= 矿( 五l ；。，。声一鬻出) 嚣a 屯 俐4 砒蛐印趟) 哥抚 风：风：亟一2口j+-(rn-1)(n-o-)oz+2旦竺二!+竺! 1 7 4 “ ( p + o m ) 口p4 - n m 。q ( a 3 1 1 ，- ，( ，牡i 掣绯n n 吖m 删铲慨( r ) ) 一加1 ， = 望竺螋o t 妒。( p - 2 f z 。) “2 ( f z t c t w o ( p 一一曲妒。( p - 2 i 。l z ) ) 署， 劁钋忙。叁i 鬻州r ，“惭o c l 抨) 1 伽 由引理2 1 的证明，我们可以选取伽使得a ( p ) ，b ( p ) 右端的积分有限，而且f l 是有界 的函数那么当风= 愚o 时，我们得到。l _ + i m o 。( a ( p ) + b ( p ) ) = q 0 那么问题( 3 3 2 ) 不存在非平凡的弱解 2 5 第三章一类发展方程的非平凡弱解的不存性 ( i i ) 如果对初值u o 还有估计( 3 1 4 ) 成立，那么当 ( p + o ) g ( q + a ) m a x 1 ，m ) n ( p + o m ) q 茎2 q + ( n 一盯) d + l m q + m a x 0 ，7 ) ( p + o 一仇) q + _ 坠( ( m 一1 ) ( 一盯) o + 2 + 一1 ) q ) 口十a m ( m 一1 ) n a + 2 q 0 + o 一1 ) 0 时，问题( 3 3 2 ) 不存在非平凡的弱解 一2 6 韭! 皇二耋翌堕直堡塑i ! ! 墨塑翌壁塑至查堡 第四章一类双曲方程的非平凡的弱解的不存性 4 1 引言 ：曼i 纂：i 翼侧划u l b ( z ，羔竺_ ； c a ， s r = r ( o ，t ) ，0 0 ， 0 有m 州曼c o l r i 。，vr r ；五1 ( z ) 如o 他们证明了如果“( z ) i1 ，p m l q ) 且 第四章一类双曲方程的非平凡的弱解的不存性 2 nsm 或n ( p q ) s + 1 ) r n 2 成立，那么问题( 4 3 ) 没有全局弱解这里既没有要求 u 0 的均值是正的，也没有对其支柱作任何限制m g u e d d a 7 用试验函数法得到了问题 ( 4 3 ) 的局部弱解的不存在性和爆破性质 本文，我们从另外一个角度来研究问题( 41 ) 的不可解性先给出弱解的定义 定义4 1 我们说“= “( z ，t ) 是问题( 4 1 ) 的局部弱解，如果 ( 1 ) “，6 j “l ，i i n l i q i u i l l ：，u “l 0 。( s ) ； ( 2 ) 对任意试验函数妒四。( 函；毗) ，有下面的不等式 s s ，b l “1 9 护。i u il l ：d x d t = j f ru o ( 咖出1 0 ) 如一二。州咖( 圳) 如 + i s u c p ud x 出一上，”妒揪 c a a ， 定义4 2 我们说u = u ( z ，t ) 是问题( 4 1 ) 的全局弱解，如果对任何t 0 ，“( z ，) 都 是问题( 4 1 ) 的局部弱解 4 2 主要结论及其证明 我f f t 妁方法主要是受文【7 ，3 7 】的启发为了便于叙述，记 i s ( 。) = s u p ( 6 ( z ) 口( z ) ；) 一嚣，( 6 ( z ) p ( z ) ；) 一嚣) 其中0 1 = p - b o z , 垆再 塑1 2 望 ( p + a ) q 一( qq - o ) f r 。 日cz，=嚣：；：i：；：iif，b。(。m。)，l卢3(。z。)，。l，q。1。 脚，锻篡筹篙第三 第四章一类双曲方程的非平凡的弱解的不存性 先作下面的一些假定 ( 日1 ) ( h 2 ) 日( z ) d x 0 ，使得对任何 r o ，有叫( z ) 2 0 我们的第一个结论是： 定理4 1 假设( h 1 ) 和( h 2 ) 成立如果 0 哦( u 扛) g - 1 ( z ) ) 2 o o 那么对任何t 0 ，问题( 41 ) 都没有定义在曲上的局部弱解 证明：设u = u ( 。，t ) 是问题( 4 1 ) 的局部弱解我们取 ) ：( 1 一翁甜 j 妒。q 尹c r ；r + ，。妒。- ，妒。c 。，= ；：b i 。l 1 ，所以 上t ( 上。1 妒p ( 。纠一嚣j 臼一卷如) 才出 一： s t 一一砌j ( 厶。蚶( 。两z ) “ ( 48 ) ( 4 ，9 ) f 4 1 0 ) ( 41 1 ) ( 4 1 2 ) 第四章一类双曲方程的非平凡的弱解的不存性 这样由( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 和(