分析动力学约束理论.ppt

2019年12月20日 Page1 清华大学航天航空学院王天舒 tswang 分析动力学之约束理论 2019年12月20日 Page2 本节内容 内容1 约束 广义坐标 内容2 约束的几何意义 内容3 约束对运动的影响 位移 速度 虚位移是约束被 冻结 后此瞬时约束允许的无限小位移 与时间t的变化无关 t 0 分析力学的基础概念 虚位移 2019年12月20日 Page3 1 1位形空间 对于物体运动的客观空间 引入笛卡儿坐标系Oxyz 为描述一个质点的运动 需考虑在每一时刻t的向径r t 对于由N个质点所构成的系统 则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状 位形 引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c 令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C 称为位形空间 运动的多维空间描述 2019年12月20日 Page4 系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点c C空间的一个点c对应于系统的一个位形 当系统的位形随时间变化时 其位形表现点在C空间中画出了一超曲线 即一维的轨迹 称为系统的C轨迹 C轨迹的一般性质 1 C轨迹是连续的 2 C轨迹可以有重点 3 C轨迹的拐点仅发生在如下情况 a 静止点处 b 在有打击作用的时刻 位形空间的特点 2019年12月20日 Page5 1 2约束 约束 非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制 约束方程 用数学方程表达各质点所受的限制条件 在由两个或更多质点构成的系统中 不受约束的运动是不存在的 绝大多数的运动都是约束运动 约束 2019年12月20日 Page6 具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束 1 3完整约束 完整约束 homonomicconstraint 2019年12月20日 Page7 如约束表达式中不显含时间t 则称其为定常约束 scleronomicconstraint 否则称为非定常约束 rheonomicconstraint 定常约束和非定常约束 2019年12月20日 Page8 对于定常约束 一个约束方程构成位形空间上的一个N 1维固定曲面 对于非定常约束 系统运动的c轨迹必须位于该曲面内 约束方程的几何解释 2019年12月20日 Page9 1 4广义坐标 能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标 选定广义坐标后 系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定 广义坐标数为 N 质点总数r 完整约束的总数 广义坐标 2019年12月20日 Page10 取一组新的坐标 两组坐标之间的变换关系 两组坐标均可以描述质点的位形 考虑系统由一个质点构成 约束方程为 x y 0 广义坐标 2019年12月20日 Page11 注意到完整约束关系 则有 即可以用两个坐标表示系统的位形 广义坐标 在广义坐标下系统的完整约束自然满足 约束方程可不予考虑 广义坐标 2019年12月20日 Page12 设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束 引入一组新的变量q 令变换关系中的前r项为完整约束 其余部分任选 但要求变换式为无关组 则可以得到从x到q的变换 广义坐标 2019年12月20日 Page13 注意到完整约束关系 则有 即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示 当采用广义坐标时 完整约束自动满足 广义坐标 2019年12月20日 Page14 假设约束曲面是光滑的 有 在约束面上的任一点处的充分小临域内 约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内 而不是约束曲面内 虚位移在约束曲面的切平面内 约束对无穷小位移的影响 局部特性 2019年12月20日 Page15 在光滑球面上运动的质点 球面方程为 约束方程 无穷小的位移改变应满足 约束对无穷小位移的影响 例 2019年12月20日 Page16 设在无穷小位移上的约束为 其中g z 为z的已知函数 求加在有限位移上的约束 解 没有加在有限位移上的约束 若令加在有限位移上的约束为 则有 加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动 速度约束不一定对位移有限制 约束与有限位移和无穷小位移 例 2019年12月20日 Page17 不可化为完整约束形式的约束为非完整约束 大多数实际遇到的非完整约束问题 其约束方程为质点速度的一次代数方程 1 5非完整约束 非完整约束 2019年12月20日 Page18 上述形式的微分约束称为Pfaff约束 将速度形式的约束方程写成微分形式 对于完整约束 有 则系统的约束方程可以统一表示为微分形式 有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献 Pfaff形式 2019年12月20日 Page19 完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上 非完整约束 例 对于非完整约束 可否由原点到达空间中的任一点 x1 y1 z1 在xy平面内作函数y f x 解 定义质点的轨迹为 非完整约束的特点 可达性 2019年12月20日 Page20 显然质点的轨迹满足 1 过原点 2 过 x