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中英文内容摘要 a p o t p 与回复性 摘要 本文提出渐近伪轨跟踪性质( a p o t p ) 的概念，讨论a p o t p 的基 本性质，研究a p o t p 与回复性之间的关系。 在第一节中，我们介绍有关拓扑动力系统的一些基本概念和已 知结果。 在第二节中，我们引人a p o t p 的概念，并讨论a p o t p 在映射迭 代下和拓扑共轭下的不变性质。 在第三节中，我们研究提升系统上的a p o t p ，并证明( 膏，) 有 a p o t p 当且仅当( x ，) 有a p o t p 。 在第四节中，我们研究逆极限空间上移位映射的a p o t p ，讨论 紧致度量空间上连续映射a p o t p 与逆极限空间上移位映射a p o t p 问的关系。 在第五节中，我们研究a p o t p 与p o t p 的关系。并且给出一个 有a p o t p 但没有p o t p 映射的例子。 在第六节中，我们讨论具有a p o t p 的系统。证明对于具有a p o t p 的系统而言，拓扑传递和链传递是等价的；拓扑混合、拓扑弱混合 和链混合是等价的。最后，我们还得到了一个同胚是非游荡同胚的 判定条件。 关键词：渐近伪轨跟踪性质伪轨跟踪性质回复性非游荡 同胚 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 a s y m p t o t i cp s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t ya n dr e c u r r e n tp r o p e r t y a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ean e wc o n c e p t t h ea s y m p t o t i cp s e u d oo r b i tt r a c i n gp m p e r t y ( a b b r e v a p o t p ) ，a n dm a i n l y 拙c l l s st h ef u n d a m e n t a 】p r o p e r t i e so ft h e a p o t pa 肌dt h et e l a t i o n s h i pb e t w e e na p o t pw i t hr e c u r r e n tp r o p e r t y i nt h ef i r s t8 e c t i o n ，w ei n t r o d u c es o m en o t i o n sa n dk n o w nr e s u l t sa b o u tt o p o 1 0 9 i c 以d y n a 棚i cs y s t e m i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ec o n c 印to fa p o t p a n ds h o wt h a tt h e a p o t pki n v a r i a n tu n d e rb o t ht h ei t e r 她e so fm a pa n dt h et o p o l o g k “c o n j u g a c y l i n h et h i r ds e c j o n ，w es t u d yt h er e l a t i o n s l l j pb e w e e nt h ea p o t pf o rc o n j n u o u sm a p ，o nac o m p 托tm e t r i cs p a c exa n dt h a tf o rt h el i f tm a p 厂o f ，o na c d v e r i n gs p a c exa n ds h o wt h a t ( x ，) h a st h ea p o t pi f a n do n l yi f ( x ，) h a st h e a p o t p i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，w es t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ea p o t pf o rc o n t i n u o u sm a po nac o m p a c tn l e t r i cs p a c ea n dt h a tf o rt h es h i f tm a po nt h ei n 、r e r s e1 i m i t s p a c e i nt h e 丘f t hs e c t i o n ，w s t u d yt r a i l s i t i v ep r o p e m e sa n dr e c u r r e n tp r o p e r t i e so f as y s t e mh a i n gt h ea s y m p t o t i cp s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t y i np a r t i c u l a r ，w e o b t a j nac o n d j “d nf o rw h j c hah o m e o m o 巾h i s mj san 0 d - w a n d e r j n g h o m e o m o r p h i s m k e yw o r d s ：a p o t pp o t pr e c u r r e n tp r o p e r t y n o n w a n d e r i n g h o m e o m o r p h i s m u 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为咖夫毫或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意 凇黼张砖、 鳓期：口右年5 月 学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了蝌有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阕。本人础t 鲁以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以呆用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学僦文储签名巧、b 导师签名 嚣麓誊。7 日鳓期学位论文作者毕业去向： c 工作单位： 通讯地址： 梢奄 电话： 邮编： d6 年芎月f7 日 f =v， 引言 引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学。牛顿的运动三大定律以及万有 引力定律给予了系统动力学研究最初的推动力。在牛顿的力学理论中，一个系 统的运动规律完全由一簇以时间为参数的微分方程所决定人们通过求解相 应的方程来探求该系统的运动规律。然而，对许多重要的方程( 如天体力学中 的体问题，23 ) 来讲，要想得到一个显式解是异常困难的，甚至在很 多情况下是不可能的但是，我们有时候又需要知道由这些实际问题决定的微 分方程所确定的函数在其整体范围内的性质于是，人们尝试着不直接求解， 而是借助于对微分方程本身的一些定性的分析来了解和掌握解的性质( 如存 在性，唯一性，稳定性，周期性等) 十九世纪八十年代初，p o i n c 6 创立的 微分方程定性理论为很好地解决这一难题开辟了新的道路，使人们在系统动 力学研究观念上发生了根本的转变 “ 上世纪初，由于非线性振动等实际课题的联系，动力系统的研究获得了令 人瞩目的发展，b i r k h o 圩等将经典微分方程所定义的动力系统抽象为拓扑动力 系统，使这一学科在理论上更加完善近十几年来，动力系统理论已经成为一 个重要的数学分支，并取得了丰硕的成果，成为现代主流科学一非线形科学 的一个重要的组成部分。动力系统理论的发展沿着两条并行的路线，= 一方面是 发现简单性，即探索周期性和稳定性；另一方面是揭示复杂性，在一个统一的 理论基础上，动力系统又被分成四个各具特色的研究领域：拓扑动力系统，微 分动力系统，遍历理论及h a m i l t o n 系统 寻找同胚是非游荡同胚的各种各样的条件是一个非常重要的问题，在| 2 1 中，h m k y 证明了若，拓扑稳定，x 连通且n ( ，) 有内核，则，是非游荡 同胚。在 3 中，证明了如果，是紧致度量空间x 上有p o t p 的可扩同胚且 ，i n ( n 是拓扑传递的，则，是非游荡同胚c h ua n dk 0 0 4 1 又证明了去掉可扩 l 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 性的条件上面结果同样成立。为了进一步研究非游荡同胚的条件，我们提出渐 近伪轨跟踪性质( 简记为a p o t p ) 的概念，研究a p o t p 的基本性质及其与伪 轨跟踪性质( 简记为p o t p ) 的关系，证明了a p o t p 在映射迭代下和拓扑共 轭下是不变的。进一步地，我们考虑提升系统和逆极限空间上的a p o t p ，得 到了( x ，) 有a p o t p 当且仅当( x ，) 有a p o t p ；，在x 中有a p o t p 当 且仅当o ，在l i m ( x ，) 上有a p o t p 最后，我们讨论具有a p o t p 的系统 的传递性和回复性证明在具有a p o t p 的系统中，拓扑传递和链传递是等价 的；拓扑混合、拓扑弱混合和链混合是等价的。特别地，我们还得到了一个同 胚是非游荡同胚的判定条件。 2 预备知识 第一节预备知识 在本节，我们介绍动力系统的一些基础知识。首先我们给出一些记号：设 ，z 和r 分别表示自然数集、整数集和实数集。 设x 是一个拓扑空间，：x 斗x 为连续映射令，o 为恒等映射叫： x _ x ，对任意n ，归纳地定义广= ，。，”1 。称( x ，) 为一个动力系 统。 设( x ，) 为一个动力系统，z x ，如果存在n ，使得广( z ) = $ ，且对 任意o d ，则称，为可扩映射( e x p a n s j v em a p p i “g ) ， 此时称d 为，的可扩常数( e x p a n s i v ec o n 8 t a n t ) 设z 、x ，e o ，如果存在 z o ，z 1 i 。 cx ，使得。o = z ，z h = g 且 d ( ，( z 。) 。) o ，存在，的z 到的e 链。若x 是，的链传递集，则，被称为是链传递 的。显然，拓扑传递蕴含链传递。 映射，被称为是链混合的，若对任意s o 和任意z ，x ，存在一正 整数，使得对任意整数n ，有一条从z 到”长度n 的e 一链。 如果对每一e o ，存在$ 到z 的e 一链，则称点z x 为，的链回归 点。，的所有链回归点的集合记作e r ( ，) 对6 o ，点列t 罢。称为是，的d 一伪轨，如果对每一i o ， d ( ，( 。) ，z 。+ t ) o ，使得，的每一个d 一伪轨均可被x 中某点 一跟踪，那么称映射，具有伪轨跟踪性质( p s e u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t y ) 简 称，有p o t p 。 对于伪轨跟踪性质，有很多重要的结果，从文献睁1 0 中可以得到。 b e n a i n 和h i r s c h 在【1 1 】中提出了渐近伪轨的概念。 4 预备知识 点列 z 。) 墨。称为，的渐近伪轨，如果 1 j md ( ，( 挠) ，粕+ 1 ) = 0 利用渐近伪轨可以给出链传递性的一个刻画。 定理1 1 f 1 2 设x 是度量空间，：x _ 盖是连续映射，工中非空紧致 不变集合m 是链传递的当且仅当m 是，在m 中的某个渐近伪轨的u 一极限 集。 5 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 第二节a p o t p 及其基本性质 为了考虑渐近伪轨的跟踪问题，这一节我们引入一个新的概念一渐近伪 轨跟踪性质，并讨论其它的基本性质。 定义2 1 称x 中点列 z 。) 怨。被点z x 渐近跟踪，如果 0 骢d ( ，”( z ) ，z n ) = o 若，的任意渐近伪轨均可被盖中某点渐近跟踪，那么称，具有渐近伪轨跟 踪性质( a s y m p t o t i cp s e u d o - 0 r b i tt r a c i n gp r o p e r t y ) ，简称为，有a p o t p 下面我们将讨论a p o t p 在映射迭代下的不变性质，首先我们给出一个引 理。 引理2 2 9 】设x 是紧致度量空间，：x x 是连续映射。则对任意给 定e o 和m o ，存在d o ，使得每一d 一伪轨f 。 墨。满足 d ( ，m ( 。k ) ，。m + k ) 占，v 孟0 定理2 3 设x 为紧致度量空间，：盖- x 是连续映射。如果，有 a p o t p ，那么对任意整数 o ，2 有a p o t p 。反之，如果对某整数 而 o ，2 有a p o t p ，那么，有a p o t p 。 证明先证定理的前一部分。对女 o ，令) 墨。为，。的渐近伪轨，即 l i md ( ，。( z i ) ，z 。+ i ) = o ( 1 ) 令纨i + ，= ，( 奶) ( o j o ，由引理2 1 ，存在d ( o ，) ，使得任意6 一伪轨 q ) 婆。满足：对任意 i o ，有 d ( ，。( z 1 ) ，z 女+ 。) o ，使得对所有i 芝，有 d ( ，( z ；) ，z 。+ i ) d 因而点列 抗) 舀满足当i ，有 d ( ，2 ( 茁i ) ，# + t ) e 即当i 时，特别地，有 d ( ，( 犰) ，矾+ 1 ) o ，有，在x 上的一致连 续性知，存在d l ( o ，p ) 满足：若d ( “，口) 而，则对每一个j 1 ，2 ，一1 ) ， 均有 d ( ，j ( u ) ，( u ) ) o ，使得对任意i i o ， d ( ，( f ) ，；+ 1 ) 巧1 ，d ( ，艇( 掣) ，玑) o ， 使得对任意u 、u x ， d ( “，口) 叩= d ( 危一1 ( ) ， 一1 ( 口) ) o ，使得当i 时， d ( 9 ( 肌) ，虮+ 1 ) 卵， 因此，当i 时， d ( 一1 ( 9 ( 价) ) ， 一1 ( 可。+ 1 ) ) p 9 安徽大学硕士论文 a p o t p 与回复性 令嗣= 。( 挑) 0 o ) ，则当z 时，有 d ( h 1 0 9o ( z i ) ，z i + 1 ) p 即d ( ，( 翰) ，蚴十1 ) o ，由 的一致连续性得，存在6 ( o ，e ) ，使得对任意“、 x ， d ( u ， ) 6 辛d ( h ( ) ，h ( ) ) o ，使得当i 1 时， d ( ，。( 嚣) ，z i ) j 因而，当i l 时， d ( 矿( ) ，轨) o ，使得对任一孟贾和6 ( d 1 南) ， 有童半径为6 的邻域玩( 茁) ，使得”：玩( 司- 玩( ( ” ) ) 是等距则( 戈，力有 a p o t p 当且仅当( x ，) 有a p o t p 。 证明首先说明，是一致连续的。由x 的紧致性可知，存在x 的一开覆 盖( ，l ，一，巩，使得对1 茎jsb ，有”一1 ( 屿) = u 。以口，这里若a 芦， 兹n = d ；对任一a ，瓯为开集，口1 积是等距令a 为u 一，巩的 l e b e s g u e 数且o o ，使得d # ) 6 】( v 。，y x ) 蕴含 d ( ，( t ) ，( p ) ) ，令6 ；r n i n 南，d 1 ) 。现若d ( 季，刃 j ( v 童，i x ) ，则 且 d ( 丌( 奎) ，霄( 可) = d ( ，( z ) ，( 分) ) 1 d ( ”。冗i ) ，”。氕妒) ) = d ( ，( ”( 量) ) ，( ”( 争) ) ) o ，使得对每一n 肌，有盈弘( 刁，磊) 5 。令z = ”( 刃，对每 一n 兰1 ，我们有 d ( ，“( z ) ，z 。) = d ( ”。五( 孑) ，”( 磊) ) = 放，i ( 习，霸) 正 因此，l j m 。_ 十o o d ( ，”( z ) ，z 。) = o 。这便证明了，有a p o t p 。 反过来，令如如上。因为，是一致连续的，我们可以选择6 ，o d = d ( 6 0 2 ) 6 0 2 ，使得放叠， d ( 垤，驴x ) 蕴含d ( ，( 茁) ，( 动) = d ( ，( t ) ，( y ) ) o ，使得对每一n 2 ，有承( ) ，磊+ 1 ) j 令。= ”( ) ，对每一 n 2 ，我们有 d ( ，( z 。) ，z 。+ i ) ：d ( 霄。，( 孟。) ，丌( i 。+ 1 ) ) = d ( ，( i 。) ，奎。+ 1 ) 6 因此f 反 墨。为，的渐近伪轨，由，有a p o t p ，可知存在x 中一点w ，使 得l i m 。+ 。d ( ，“( w ) ，z 。) = o 。故存在3 2 ，使得对每一n 炳，有 1 2 提升系统的a p o t p d ( ，”( ) ，。n ) 6特别地，因为d ( ，n 3 ( ) ，g 炳) 6 ，存在西l 吼( i 肌) ，有 ”( 西i ) = ，”。( ) 。令西，一。( 西】) ，则 ，。( ”( 面) ) = o 严( 面) = ”( 峦1 ) = ，。“ 注意到对每一n2 3 ， d ( 7 r 。尹( 面) ，7 r ( 叠。) ) = d ( ，“。7 r ( 亩) ，z 。) = d ( ，n ( 州) ，z 。) j 易见若n ；3 ，盈弘( 面) ，莹3 ) = d ( ，”。( ”) ，z 3 ) d 。对n 3 ，归纳地假设 盈产( 面) ，) = d ( ，“( w ) ，。) 6 因为承产+ 1 ( 面) ，冗奎。) ) 6 0 2 且承，( 童。) ，磊+ 1 ) 6 6 。2 ，因此，减产+ 1 ( 面) ，磊+ 1 ) 6 。又因为”l 瓯。( 磊+ 。) ：晚。( + 1 ) 叶( z n + 1 ) 是等距，我们有 放尹+ 1 ( 西) ，磊+ 1 ) = d ( ”。户+ 1 ( 面) ，7 r ( 罾。+ 1 ) ) = d ( ，“+ 1 ( ) ，。+ 1 ) j 因而，l i ，。诹产( 西) ，玩+ 1 ) = o 。这便证明了f 有a p o t p 。 定理3 1 的证明完成。 对于紧致系统我们有以下定理。 定理3 2 设( 戈，西为在局部等距覆盖映射”下( x ，) 的一个提升，这里 x 和耍是紧致度量空间，厂是满射。则( 贾，乃有a p o t p 当且仅当( x ，) 有 a p o t p 。 证明：因为”是元到x 的局部等距覆盖映射，则对每一口x ，存在z 地 邻域u ( z ) ，使得”。( 矿( z ) ) = u 。瓯，这里若。卢，睨n 弼= o ；对任一叱瓯 为开集，”j 既是等距设，。( 【，( z ) ) = 瓯：”( 良= u ( 。) ，玩c ”一。( u ( z ) ) ) ，= u 。x 芦( u ( 。) ) 。则肛是贾的一个开覆盖。由贾的紧致性，存在芦的l e b e s 艘 数，令为 。选择南有o 6 0 2 。易见如满足定理2 1 3 的条件。因此， 由定理2 1 3 ，( 贾乃有a p o t p 当且仅当( x ，) 有a p o t p 。 定理3 2 的证明完成。 1 3 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 第四节逆极限空间的a p o t p 对每一i ，设置是有度量d l 的紧致度量空间， ：托+ l 呻置为连续 映射，令 x o 。= l 眇( 砭， ) 墨12 ( 。i ，z 2 ，) ：五( 戤+ i ) = ，i ) 空间x o 。称为是映射列瓶 罂l 的逆极限空间， 墨。称为是结合映射 序列。在x 。上定义一个度量d o 。 jh - 罟。一，d t ( 玑) 蚓舢) 5 萎z 1 荐器勒 其中( z l ，) ，( g l ，阮，) x 。注意到j 作为乘积空间n 墨。五的子空 间是一紧致度量空问。 若肌：五- 五连续且对i 满足肌。， = o 埘+ 1 则协) 篷1 在逆极限空 间x o 。中诱导了一个连续映射( 称为诱导映射) ：如( z ) = ( 卯( 。1 ) ，9 2 ( z 2 ) ，) 其中z = ( 口l ，) x 。我们称协) 磐，为原映射序列特别的，若对每 一i j v ，有蜀= 盖和 = 吼= ，那么空间 y ，= l 延p ( x ，) = f ( z l ，z 2 ，。) ：，( z 件1 ) = 。”i ) 称为是，的逆极限空间，且，诱导了一个在b 上的同胚a ，称为移位同 胚。 对任意t ，j 有isj ，定义 ，j = ：x 件l - 墨，若i = j ； ，。，j = 。，i + 1 。疗：玛+ 1 斗x ：，若i o ，选 择正整数，使得对任一”z 之n ，有墨。1 2 o ，使得对任意1 j 茎m 一1 ， d ( “，口) d = d ( ，j ，m1 ( “) ，力，m 一1 ( ” o 使 得若n2 | v t ，则对任意n 之1 ，我们有： 耋群燃舞 击答2 。( 1 + 也( 吼( z ：哪) ，z ：”+ 1 ) ) 2 “+ 1 故 d m ( g 。( 。船) ，z 密+ 1 ) o 使得对任意n 兰2 如( 懿( ) ，。囊) j 由( * ) 得到，对任意1 i m l ， 喀n ( 矗，。一1 ( 蛲( 鼽。) ) ，五，。一i 扛船) ) e 4 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 j 是择点z = ( 2 l ，。2 ，) x c 。便得丌m ( z ) = 芎m 君礼m n o ，川1 ，2 ，则 我们有 如删2 圣蒜溉 ：x 0 堕f ! ：( 盎! 翌二! ( ! 竺! ! ! 盎! 堡= ! ( 兰鉴12 ：2 、 + 子 堕f 鲮( 堡21 兰芝12 ： 篙2 z ( 1 + 以( 卯( ，m l ( 4 。) ) ， ，m 一1 ( z 辨) ) ) 叁磊2 t ( 1 + 咄( 9 ( 盏) ，z ：州) 弋j 堕( 五：竺= ! ! 亟f 垒! 121 盎! 堡= ! f 兰望! ! ! 牟子三 一z o lz 0 0 o ，使得对l i p 一1 ， d ( u ，口) 占= d ( ，( ) ，2 ( ) ) o ，使得 d ( ，( z 。) ，。n + 1 ) 占。 1 6 逆极限空间的a p o t p 对任一n ，定义g ( ”) = ( 尸( z 。) ，一，z t ) l i m + _ ( x ，) ，则若n 我们有 o ，使得对n2 i ，有( 口7 ( 。) ，z ( “) ) p 2 。注意到a ? ( = ) = ( ，“( z ) ，”1 ( z 1 ) ，) ，则o ；却( z ) = ( ，+ ( z 1 ) ，“( z 1 ) ，) 因为z ( ”却) = ( ，9 ( 。+ p ) ，。埘) ，所以对任一n 1 ，我们有 ( 。 z ) ，z 刊) 刍 因为，“( 。1 ) = ，”+ 9 ( 卸) ，故对任一n l ，有d ( ，”9 ( 却) ，z 。十p ) o ，存在从。到1 的j 一伪轨，但却 没有一条真实的轨道通过c 到另外一边 ( 2 ) 有a p o t p 。事实上，假设 z 。，罂。是，c 的一渐近伪轨道。如果 f i m 。z 。= c ，则它可以被固定点c 渐近跟踪。然而，存在o ( o ，( 1 一c ) 4 ) 和无限多个正整数，培，使得对e ( o ，e o ) ， 由，c 的假设，存在1 o ，使得对所有n 兰1 芷( o ，l 】) c ( c 一2 ，1 令 7 s = m 讥 丘( z ) 一z ：c + s 5z 茎l 一争 因此对所有z c + ，1 一2 ，有 o 且，c ( z ) z + 傩如果，c ( z ) c 十e ，l e 2 】贝4 露( z ) 三丘( z ) + 。+ 2 令2 = m 。z l ，【2 ( 1 一c ) 一3 e 】2 傩) ，我们有 露( z ) ( 1 一扣， vn 3 】8 a p o t p 与p o t p 由引理2 2 ，存在r o ，使得如果 z 。 是。是一个 的一渐近伪轨，则 z 。十女一t ( z k ) j ；， v 七1 ( 3 ) 由( 1 ) 和( 3 ) ，存在无限多个整数n k ，使得z 。 c + e ，1 。选择j ( o ，m 汛n 傩，e 2 ) ) ，因为l i m 。- + o 。l ，( 。) z 。+ 1 = o ，存在2 ，使得 ，( 。n ) 一z 。十1 1 6 ， vn 选择使得z 。( c + ，1 对n ，如果z k 【c + ，1 一s 2 ，则 z 女+ 1 = ，c ( z 女) + z + l 一 ( z t ) 。 + ( 7 e j ) z 女， 因此z + l c 十，1 ；如果( 1 一 2 ，1 ，我们亦有。k 十l c + ，1 ，因为 z 女+ 1 = ，c ( 茁) + 茁女十l 一，c ( 石k ) z 一占l e 由归纳法，对所有2n ，我们有z c + ，1 】。通过n 的选择，由( 2 ) 和 ( 3 ) 得 z k ( 1 一，1 】， v 七n 因此1 i m 。_ + o 。= l ，故 z 。) 器。可以被固定点l 渐近跟踪。因而，c 有a p o t p 注5 2 我们不知道p o t p 是否蕴含a p o t p 但我们有以下定理 定理5 3 设x 是紧致度量空间，：x _ + x 是连续满射。若，是可扩的 且有p o t p ，贝0 ，有a p o t p 。 证明假设 z 。) 器。是，的一个渐近伪轨。设e 是，的可扩常数， “) 是这样的一正整数列：对任一正整数，e k o 使得对每一n 肌， d ( ，( z 。) ，z n + 1 ) 6 女 1 9 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 即， 。帆，z 帆上1 ) - - ) 是，的一以一伪轨。因而存在点珊x ，使得对任一整 数i ， d ( ，2 ( 舭) ，。以+ 。) e 七2 选择，一帆( 挑) ，对任一整数i ，我们有 d ( ，帆+ 2 ( ) ，。帆“) 取2 即对每一n 帆 d ( ，“( 讯) ，z n ) o ，使得d ( ，( ”) ，“j ) e 2 选择充分 大的女，使得和l 2 。 e 2 。则存在1 ，。k 。中至少一点，记 为z ；，使得z b ( w ，e 2 ) 假设= z ；，得d ( ，“( ”) ，g ；) e 2 因此 d ( ，“扣) ，叫) 墨d ( ，“扣) ，z ；) + d 扛i ，叫) o 使 得b ( 。，) cu 、b ( 玑e ) cy ，这里b ( p ，0 = 口x ：d ( g ，p ) o ，使得对每一 整数n k ，有r n 一链 和 n = f z = 瑞，塌，z 施= 疗 n = f y = 编，粥，编= z 一 不失一般性，我们选择列 ，：，使得对每一m ，有m 。 m 。， 且当，n _ 。时，f m = m + ，一m 趋向无限。我们构造序列 q 墨。如下： 。i j j m 。：“ 可；b j = 0 ，1 ，一，l ， j = l + l ，2 l ， j = 2 s l + 2 葚：i + t 。， j = ( 2 s + i ) l + 2 ：i + s + 。， 戈= 1 ，2 ，1 + s ，3 = l ，2 ，一，z l 茁焉m 。m j = 是j 1 ( 2 氏帆+ 2 垒1 i ) + 2 8 m m + 2 罂f - 1 i + m s m ， 掣暴t 仉。mj = 备1 ( 2 f k 帆十2 整l t ) + 2 0 m + 1 ) o + 2 鍪f 1 十s m + m 。讯 t m s 。= 1 ，2 ，m n 十s m ，s m = 0 ，1 ，k ， m = 2 ，3 ，一 这里若 o ，使得对任一整数j 如，有 e j 乱 3 i 2 g ， ， d 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 选择j l 如，使得对某整数m ，有 d ( ，巾( 。) ，z 器) o ，使得d ( ，6 ( z ) ，z ) e 且d ( ，“( 。) ，) e 。 这便说明了b ( 9 ，s ) n ，“( 日( 。，) ) 。 定理6 2 的证明完成， 由定义我们知道u q ( 力g 兄( ，) 。然而，我们有以下定理 定理6 3设x 是紧致度量空间，：x _ x 是连续映射。若，有 a p o t p ，贝0 g r ( ，) = n ( ，) = u ( ，) 证明只需说明d r ( ，) u ( ，) 。若口g r ( ，) ，则对每一正整数n ，都存 在一条从z 到z 的l n 一链 z 。) 坠o 。我们构造序列 乃) 墨。如下： iz l j ： j = o ，1 ，女l ， r h ，詈”j = 茸“，2 ，n 3 ， 则 勺 荏。是，的一条渐近伪轨。因此存在一点g x 使得l i m j 一。d ( ，( g ) ，勺) = o 。令0 = l s ：( j h 、则g ，= z 。因此l i m j - 。d ( ，( g ) ，z ) = o 这便说明了 z ( 可，) ( ，) 定理6 3 的证明完成 c h ua n dk o o 给出了有p o t p 的同胚，是非游荡同胚的一个条件。 定理6 删设x 是紧致度量空间，：x 一x 是连续映射若，有 p o t p ，且，i n ( ，) 是拓扑传递的，则，是非游荡同胚。 在定理6 4 中换p o t p 为a p o tp 1 我们可以得到以下更强的结果 定理6 5设x 是紧致度量空间，：x - x 是连续映射若，有 a p o t p ，且，i 。( ，) 是链传递的，则x = n ( ，) = u ( ，) 故，是拓扑传递非游 荡同胚 2 4 具有a p o t p 的系统 证明由定理6 3 ，我们知e r ( ，) = u 【，) 因为u ( ，) 是，的一个链传递 集，所以存在唯一的链分支m 。m 必须包含每一n 极限集和n 极限集( 这 里n 一极限集是指集合。( z ，) = 西x ：存在竹i - o 。使得，”- ( z ) ) ，这祥我 们易得x 中每一点都是链回归的，即x = g r ( ，) 。再由g r ( ，) = u ( ，) ，我们 得到x = q ( ，) = u ( ，) 。因而，是非游荡同胚。由定理6 1 ，是拓扑传递的。 定理6 5 的证明完成。 注6 6 有例子表明紧致度量空间中存在有a p o t p 的同胚使得盖n ( ，) 例如，设2 = 皿z o ，1 和a ：。_ e 2 是移位映射，这里z 表所有整数 集合。设s = ( 甄) 2 ：( 戤，司+ 1 ) e z 这里c = ( o ，o ) ，( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ) 。则 口j s ：s _ s 是一个m a r k w 子移位映射。因为a s 是扩张的且有p o t 只则口s 有a p o t p ( 由定理5 3 ) ，且周期点集一i s 在q ( 一j s ) 中稠密。注意到s 只包含 两个周期点：。= ( ，o ，o ，) 和= ( ，l ，1 ，) ，我们有n ( 口l s ) = f z ， 但是点。= ( ，o ，o ，l ，l ，) 在s 中且不是周期点因此。不是n ( 一i s ) 中点 安徽大学硕士论文a p o t p 与回复性 参考文献 1 h p o i n c a 鹾，l e sm 自h o d e sn o u 僧j l e sd ej a 埘百c a n i q u e 池e ，v 0 1 3 g d i e r _ f f n m ，p n 柳s ，1 8 9 玑 2 m h u r l e y ，c o s e q u e n c e so ft o p o l o g i c a ls t a b i t 弘，d i 脾他n t i c 甜曰口“n t i o 礼s ， 5 4 ( 1 9 8 4 ) ，6 0 7 2 3 na o k i ，1 陆p i c si ng e n e r a l i b p o l o g y ( e l s e v i e r ，a m s t e r d a m ) ，1 9 8 9 4 c h i n - k uc h ua n dk i - s h ik o o ，r e c u r r e c ea n dt h e8 h a d o v ，i gp r o p e r t y p d 厶 0 9 9n 删i 拈a p p f i c n i o 佗s ，7 1 ( 1 9 9 6 ) ，2 1 7 2 2 5 5 rb o w e n ，o n 越i o mad i 骶o m o r p h i s m s ，肘sr 叼计& r 且扎札v 0 1 3 5 ，a m e r m a t h s o c ，p r o v i d e n c e ，r 王1 9 7 8 6 e c o v e n ，i k a n ，j a y b r k e ，p 8 e u d o o r b i t8 h a d o w i q gi nt h ef a m i l yo ft e n t m a p s ，n u ma m m o 晚舶c ，3 0 8 ( 1 9 8 8 ) ，2 2 7 2 4 1 7p h l t e r s ，o nt h ep s c u d oo r b i tt r a c i n gp r o p e r t ya i l di t sr e l a t i o n s h i pt os t a b i l i t y ，l e c 珏r e o e si 豫 彳q ，v b l 6 6 8 ，s p r i n g e r - v 色r l a g ，b e r l i n ，h e i d e l b e r y 1 9 1 2 1 0 8 t g e d e o n ，m k u c h t a ，s h 甜f i n gp r o p e r t yo fc o n t i n u o i l sm a p s ，p m c a m e r m n 玩s o c ，1 1 5 ( 1 9 9 2 ) ，2 7 1 - 2 8 1 9 l c h e n ，s h ，s h a d o w i n gp r o p e t t yf o ri v e r s el l i i l i ts p a c e ，p r o c a m e r 如执舶c ，1 1 5 ( 1 9 9 2 ) ，5 7 3 5 8 0 1 0 m 1 i l s h e ny a n g ，p 8 e u d o - o r b i tt r a c m gp r o p e r t ya n du n i f o r m l yp o s i t i v ee n t t o p y ， c h 伽oa 0 ， 如玩，1 7 ( a ) ( 1 9 9 6 ) ，4 1 l