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分形金融市场中的波动持续与协同持续研究 研究生：申敏导师：江孝感东南大学 摘要 波动持续性是广泛存在于金融时间序列的一类普遍现象，波动持续性建模 方法是从动态的角度研究风险变化的一种有效方法。随着世界各国资本市场开放 程度的加强，各国的资本市场的联系越来越紧密，相关性呈上升趋势，因此研究 时间序列的波动持续性和不同时间序列问波动的协同持续性对投资者的风险管 理具有重要意义。由于分形理论能准确地描述经济行为本身的非线性结构特点， 因此有必要将分形方法引入波动持续和协同持续的研究中。 本文在总结目前国际流行的条件异方差的模型基础上，指出了各模型的特点 和局限性。进一步介绍了体现长记忆性的分形市场理论。在单整g a k c h 模型持 续性及检验基础上重点介绍了f i g a r c h 模型，给出了f i g a r c h 的长记忆持续 性检验方法，并对已有方法作了改进，同时将谱似然估计方法引入模型的参数估 计中。为研究多变量f i g a r c h ，本文将协同持续概念进行推广，提出了向量 f i g a r c h 的协同持续性，并给出向量f i g a r c h 协同持续估计和检验的谱方法 以及向量f i g a r c h 协同持续性的性质。此外，本文将普通协整的概念推广到存 在异方差及方差持续的协整，同时考察了相应的协同持续关系。最后将本文所提 出的理论方法，应用到实际金融时间序列中去，考察了沪深股市的波动持续性和 协同持续性。通过实证分析，证实了沪深股市价格向量存在具有异方差的协整关 系，同时存在持续性和协同持续关系，但协整组合不能消除持续性。实证结果还 表明沪、深两股市收益率序列均具有明显的分形特征，波动表现出明显的 f i g a r c h 特性，且两股市波动的长期记忆程度相同，并存在分数协同持续关系。 关键词：波动性；分形；f i g a r b h ；向量f i g a r o h ：持续性；分数协同持续性； 谱似然估计法 r e s e a r c ho nv o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ea n d c o p e r s i s t e n c ei nf r a c t a lf i n a n c i a lm a r k e t g r a d u a t e ：s h e nm i n s u p e r v i s o r ：j i a n gx i a o g a n s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ei s f o u n di nm a n yf m a n c i a lt i m es e r i e s ，t h em e t h o do f m o d e l i n gv o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ei sa l le f f e c t i v ei n s t r u m e n tf r o mt h ep o i n to fd y n a m i c w i t l lt h eo p e n i n go ft h ec a p i t a lm a r k e t so ft h ew o d d ，t h er e l a t i o na m o n gc a p i t a l m a r k e t si nd i f f e r e n tc o u n t r i e si sm o r ea n dm o r ec l o s e r ，a n dt h er e l a t i v i t yi so nr i s i n g t r e n d ，a c c o r d i n g l y ，t h e r e s e a r c ho nt h e p e r s i s t e n c e a n dc o - p e r s i s t e n c ea m o n g m u l t i v a r i a t et i m es e r i e si so fg r e a ti m p o r t a n c et or i s km a n a g e m e mo fi n v e s t o r s b e c a u s ef r a c t a lt h e o r yc a na c c m a t e l yd e s c r i b et h en o n l i n e a rd y n a m i co fe c o n o m i c b e h a v i o r ，i ti sn e c e s s a r yt oi n t r o d u c ef r a c t a lt h e o r yi n t or e s e a r c ho fp e r s i s t e n c ea n d c o - p e r s i s t e n c eo f v o l a t i l i t y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ew r i t e rc o n c l u d st h ep o p u l a rc o n d i t i o n a lh e t e m s k e d a s t i c i t y m o d e l si nt h ew o r l d ，p o i n t so u tt h ec h a r a c t e r sa n dl i m i t so ft h e s em e t h o d s b a s e do n f r a c t a lm a r k e t t h e o r y w h i c hr e p 龇m sl o n gm e m o r y , t h ew r i t e rm a k e sa n i m p r o v e m e n to ne x i s t e dm e t h o do ft e s t i n gl o n gm e m o r yp e r s i s t e n c ea n dp r e s e n t s s p e c t r a l - l i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o do ft h ef i g a r c hm o d e l i no r d e rt or e s e a r c h m u l t i v a r i a t ef i o a r c h ，t h ew r i t e re x t e n d st h ec o n c e p to fc o - p e r s i s t e n c e ，b r i n g s f o r w a r dt h em e t h o do fe s t i m a t i n gu n i v a r i a t ea n dm u m v a r i a t ef i g a r c h ，a n dt h e s p e c t r a m e t h o do ft e s t i n gc o - p e r s i s t e n c e ，w h i c hi s t h ec o r eo ft h i sd i s s e r t a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h ew r i t e re x t e n d sc o m l n o nc o n c e p to fe o i n t e g e r a t i o nt oo n ew i t h c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y a tl a s t ，t h ew r i t e rt e s t st h em o d e la n dm e t h o d d i s c u s s e da b o v ew i t hd a t eo fs h a n g h a ia n ds h e n z h e ns t o c km a r k e t st os h o wt h e e f f e c t i v e n e s k e yw o r d s ：v o l a t i f i t y ；f r a c t i o n ；f i g a r c h ；m u n i v a r i a t ef i g a r c h ；p e r s i s t e n c e ； f r a c t i o n a lc o - p e r s i s t e n c e ；s p e c t r a l - l i k e l i h o o de s t i m a t i o n i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：童终日期：堡垒王 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：壁敛导师签名日期：竺：当 东南大学硕1 1 学位论文 绪论 0 1 论文的研究背景及意义 绪论 时间序列的波动持续性建模理论和方法的产生有着深刻的国际经济背景。自 2 0 世纪7 0 年代以来，由于布霄顿森林体系的崩溃导致国际货币体系的瓦解，以 及7 0 年代末美联储利率体制的调整，造成了世界经济环境的剧烈动荡。个人、 企业和金融机构投资的风险也空前加大，同时由于不同国家利率差异和即期汇率 与远期汇率的差异存在套利机会，又导致利率波动和汇率波动紧密结合在一起， 进一步加剧了国际市场和市场经济国家国内市场的不确定性，市场各方面临的风 险压力进一步增大。基于这样的背景，一方面各种规避风险的金融产品应运而生， 这也促进了相关金融理论的诞生：另一方面，人们也想了解风险背后所深藏的经 济规律以及尽可能对其准确度量的方法和工具。 然而，传统经济计量学是以经济理论为基础的从简单到复杂的静态研究方 法，它不可能为这一问题提供有力地分析工具，只有强调模型设定的逻辑性和连 贯性、注重数据本身的动态结构分析的现代经济计量学才能为波动性的动态建模 分析提供坚实的方法论基础，并引发了后来关于波动性建模的各种理论和方法。 投资组合理论认为，资产收益的不确定性可以用资产的方差和资产之间的协 方差来度量，组合投资的目的是规避风险，以保证获得稳定的收益。在对大量经 济金融时间序列数据的分析中，人们发现经济变量的波动性并不是固定不变的， 而是随时间变化的，即具有时变性。进一步的研究发现，具有时变性的波动又表 现出明显的持续性，即当前波动会持续的作用于未来波动的变化过程。上世纪 8 0 年代初，人们正式开始研究基于资本收益的二阶矩和高阶矩的动态建模问题。 随着世界各国资本市场开放程度的加强，各国的资本市场越来越紧密地联系 在一起，相关性呈上升趋势，也就是所谓的一体化( i n t e g r a t i o n ) 趋势。中国加入 w t o 三年多，证券市场对外开放的多项承诺正逐步付诸实施。随着中国股市与 国际资本市场的联系不断加大，中国发生金融危机的可能性并非不存在。因此， 研究多个市场的风险持续性及风险相关性对投资者的风险管理具有重要意义。 东南火学硕1 学位论史 绪论 0 2 研究现状及存在的问题 一、研究现状 人们在对大量的金融时间序列数据的研究中发现数据的变化存在不确定性， 即经济变量的均值和方差并不如传统经济计量学假设那样是固定不变的，而是随 时间变化的。在这一背景下，以e n g l e ( 1 9 8 2 ) 为代表的大批经济计量学家在建立 新的能有效描述波动的不确定性的手段和方法方面得出了丰富的研究成果并在 实际应用中发挥了重要作用。对不确定性的理论和方法的研究形成了现代金融理 论的基础。 根据绘出某证券的日收益时序及其移动均方差可以看出，收益的随机波动幅 度不是常数。但从其均方差曲线所反映出的波幅可看出，其变动具有较大的惯性， 也就是说均方差呈显著的自回归性。在波动性的建模研究中，1 9 8 2 年e n g l e 开创 性地提出了自回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) 模 型，并将该方法成功的应用于英国通货膨胀指数的波动性研究。由于时序的方差 及均方差随时间而波动是金融时序的主要动态特征，因此a r c h 模型一进入了金 融学界，便象雨后春笋般迅速发展起来。各种类型的a r c h 模型层出不穷，并构 成金融学和金融管理学理论研究的重心，成为现代经济计量学飞速发展的一个重 要领域。a r c h 模型的发展经历了从a r c h 模型到广义a r c h 即g a r c h 模型，从 线性a r c h 模型到非线一陛a r c h 模型以至非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模 型到单整q r c h 模型以至分整g a r c h 模型，从单变量g a k c h 模型到多变量 g a r c h 模型等不同的发展阶段。在众多a r c h 类模型中，最基本最重要的几种 模型为e n g l e 提出的a r c h 模型”、e n g l e 等人的a r c h m 模型 2 】、b o l l e r s l e v l 拘 g a r c h 模型嘲、n e l s o n 的指数g a r c h 即e g a r c h 模型【4 】、b o l l e r s l e v 等人的分数 单整g a r c h 即f i g a r c h 和f i e g a r c h 模型i s , 6 】，a r c h 类模型以其良好的统计特 性和对波动现象的准确描述得到了广泛的应用。a r c h 类模型不仅为应用金融学 家模拟风险之动态过程提供了一个简洁有力的手段，而且为理论金融学家解释 a r c h 特征背后的行为规律开辟了一片新的疆土。目前，许多大的投资银行和金 融机构都使用含有a r c h 模式的资产受险评价( v a l u ea tr j s k ) 模型，频繁监测金 融资产之风险暴露程度，以便及时对任何重大风险变动做出迅速反映。大金融企 业的这种行为，突出地反映了风险动态信号对金融市场参与者行为决策的重要 2 东南大学硕 ：学位论文 绪论 性，a r c h 分析法在金融学中的深远含义也不言而喻。 随着对波动性建模研究的深入，存在于波动过程中的持续性现象也开始引起 人们的关注。金融时间序列的波动持续性首先来自于人们对股票市场价格波动持 续性现象的观察。在对美国股票市场进行的研究中，f r e n c h 、s c h w e r t 和s t a m b a u g h 发现股票收益的方差存在单位根现象【7 】o 此后，波动持续性现象引起了越来越多 的专家学者的注意，并成为现代经济计量学的一个重要研究领域。 由于金融市场中，不同市场间或不同资产、影响因子之间，往往存在着波动 的相关关系。为了分散、化解金融风险，需要进行多个变量波动的相关分析。借 助g r a n g e r 的协整理论 8 】，b o l l e r s l e v 、e n g l e 等人提出了协同持续的概念嘲。b a b a 、 e n g l e 、k r a f t 和k r o n e r ( 1 9 9 1 未发表手稿) 提出的b e k k 模型是现在较为流行的 多变量波动性模型，当多个金融市场呈现出共同的波动趋势时，在个向量 g a r c h 模型的框架内分析金融市场间波动关系能够充分利用残差的方差协方 差矩阵所蕴涵的信息，从而形成更为精确的参数估计值。国内樊智、张世英、李 汉东等人讨论了多变量时间序列关于波动持续性建模以及协同持续的存在性检 验和参数估计问题【1 12 1 。 二、存在的问题 关于金融市场存在的风险持续性及协同持续性尽管已成为人们关注的热点， 且在该领域的研究取得了相当的成绩。但还存在许多不足，有待进一步优化。 主要表现在以下两个方面的不足： ( 1 ) 模型设定局限于单整模型，没能将分形概念引入协同持续的研究中。 ( 2 ) 协同持续定义比较狭隘，仅把消除了方差持续的情况叫做协同持续，这样 就无法描述一般的具有不同程度持续性的时间序列的协同关系，缩小了研究范 围。事实上持续性的减弱也是有意义的，不应把它排除在研究范围外。 由于近些年来，人们越来越发现与传统的有效市场理论相比，用分形理论( 该 理论认为，经济行为本身体现了非线性结构特点，具有时间的分数维特性和统计 上的自相似性质) 来研究资本市场的运行规律，更符合资本市场实际运动规律。 因为它考虑了投资者的非理性预期以及市场对于信息反应的非线性因果关系，能 够反映一般情况下的市场结构和特征，对市场特性的研究更为广泛、深入和切入 本质。而由于波动的持续性和信息的相关性都可以用分形维数来描述，因此风险 东南人学硕i 学位论文绪论 持续性的市场机制应该用分形市场理论来说明。分数单整模型( f i g a r c h ) 或 许能更好地描述时变方差的特点，因此可以将向量f i g a r c h 引入协同持续性的 研究中。 可以将协同持续的定义加以扩展，即对每个分量的分数维为磷的月维向量 g a r c h 模型来说，显然每个分量都具有方差持续性，但对它们进行线性组合后 持续性并不是消除了，而是减弱了的这种情况，即组合的维数降低为d ( d o ， o ；同时为保证锄) 的二阶平稳性，要求多项式1 - a ( l ) 的根在单位圆外。 二、a r c h m 模型 一种简单的投资心理是，风险越大，期望收益也越大；反之亦然。随风险增 大而增加的收益率为风险报酬。8 0 年代初，以利率来衡量风险报酬受到重视。 人们发现传统的期望假设与实际不符，在此基础上人们提出了时变方差的概念 ( t i m e v a r y i n g v a r i a n c e ) ，上述的a r c h 模型即刻画了这种异方差。e n g l e 和 r o b i n s 于1 9 8 5 年将a r c h 模型进行拓展，提出a r c h m ( a r c hi nm e a n ) 模型， 使条件异方差能够直接影响收益均值。 设o t 为风险报酬，y ，为超额收益，8 ，为新息，则有 y ，= 只+ 占。 ( 1 2 3 ) 只= 卢+ 溉 ( 1 2 4 ) v a r ( g ，i q h ) = 盯? ( 1 2 5 ) o - , 2 = + ：。q 毫，= + a ( 三) 毒 ( 1 2 6 ) 其中g 1 表示过去所有卜1 期信息集，并且6 ( 0 0 ， o 。 东南大学硕j 。学位论文 第一章a r c h 类模型综述 a r c h m 模型由于其十分显著的经济意义，而得到广泛的应用。 三、t a r c h 与n a r c h 模型 为克服a r c h 的方差仅与新息的绝对值有关而与符号无关的缺陷以及方差 仅表示为残查平方的线性函数的局限，文 1 3 1 和文 1 4 分别提出了相对a r c h 更 为先进的t a r c h m ( t h r e s h o l d a r c h ) 与n a r c h ( n o l i n e r a r c h ) 模型。他 们的模型定义除方差公式外，其他均与a r c h 定义一致，下面仅列出方差公式： t a r c h ： 盯，= 口o + 口+ ( 上) s ，一口一( 工) 町 ( 1 2 7 ) 其中， 口? = 口。( ，一n ) ，口i = 口，( + y 。) ，占二，= 。：，s 二l = 8 t - t - - 二， ( 1 2 8 ) n a r c h ： 矿= 口。+ 口( 三) 占? ( 1 2 9 ) 1 2 2 第二阶段 熔c h 模型及发展 一、g a r c h 模型 a r c h 模型无法表现某些自相关系数消退缓慢的情形，而且在实际应用中对 完全自由的滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏，在这样的背景下， b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出了g a r c h 模型： y t2 “t + s t q i q 。n ( o 一2 ) 砰：+ 壹s 三，+ 妻岛盯乙：+ 口乜弦卜仁p ? 1 。2 。1 0 i * 1 ) - i p ，g o ，口。 _ o , a ，岛o ( i = l ，p ；j = l ，g ) 当p = 0 时，就是a r c h ( q ) 过程。所以a r c h ( q ) 过程只是g a r c h 嘞g ) 过 程的特例。事实上，g a r c h ( 口q ) 也可写表达成另一种形式： 【l 一口0 ) 一乜? = 功+ 1 一( 三) 】v 。 ( 1 2 1 1 ) 其中v 一，衫，v f 序列不相关，这时g a r c h ( p g ) 可以看成s ，的a r m a ( m , p ) 形式，其中r e = m a x ( p , g ) 。 9 东南大学硕l 学位论文 第一章a r c h 类模型综述 相比较a r c h 模型，g a r c h 模型具有更强的概括能力，开辟了a r c h 模 型族的新篇章。从这时起，大多数新涌现的a r c h 模型多为g a r c h 型，即考 虑了异方差本身的自回归。而其他的a r c h 模型在形式上很容易过渡为g a r c h 型，只是由于具体形式不同，模型的估计、检验难度不同。对没有记忆性的序列 而言，用a r c h 更简洁，精确程度也未必比g a r c h 模型差。 二、e g a r c h 模型 相对于g a r c h 模型，指数g a r c h 模型【1 5 1 ( e x p o n e n t i a lg a r c h ，e g a r c h ) 显得更加优越。模型如下： l n ( 叮? ) = 口+ ：。f l k g ( e 。) + ：。口，i n ( 吐，) ( 1 2 1 2 ) 其中g ( 动= 竹 i z , f - e i z , i ，吁，席是非随机的实数标量序列，g ( ) 被称为信息影响 函数，满足e 烈e f ) = o ，可以看出，当8 0 ，口，0 , - 1 一 1 ，五0 a p a r c h 概括了a r c h 、g a r c h 、t s g a r c h 1 7 18 1 、g j r - g a r c h 1 9 】和 l o g g a r c h l 扯2 1 1 等，后三种不再赘述。 增广g a r c h ( a u g m e n t e dg a r c h ) 模型【2 2 】是比a - p a r c h 概括力更强的模 型。它不仅归纳了a - p a r c h 所归纳的五种模型，还概括了v g a r c h 2 3 1 、 n g a r c h l 2 3 ( n o n l i n e a ra s y m m e t r i cg a r c h ) 、t g a r c h p 4 】( 门域g a r c h ) 等。除了 a r c h - m 和g a r c h m 模型外，增广g a r c h 将现有的其它短记忆a r c h 模型 都包括进去了。由于其强大的概括力，从而在模型设定检验中有得天独厚的优越 性。 四、单整g a r c h ( i g p 戚h ) 模型 将g a r c h 模型用于实证，常常会出现a 参数和卢参数的和非常接近于1 ， 东南大学硕 ：学位论文第一章a r c h 类模型综述 即异方差函数具有近似单位根即单整性。人们把符合这种特征的g a r c h 模型称 为单整g a r c h ( i g a r c h ) 模型【2 5 l 。 i g a r c h 模型是介于短记忆g a r c h 与长记忆g a r c h 模型之间的模型，并 由此引出了方差持续性的概念。 当a r c h 模型的实际估计参数处于“二阶平稳约束”的临界值上时，即 ：，+ ：；。岛= 1 时，就形成了单整g a r c h 模型： 妒( 三) ( 1 一三) 占? = 国+ 【1 一卢( 三) 】q ( 1 2 1 4 ) 其中伊( 三) ( 1 也) = 1 a ( l ) - p ( l ) ，v 尸酽i 此时任何对条件方差衫的影响都将无限持续下去，即一具有“持续性”， 而无条件方差，无穷大。从预测的角度看，二阶平稳g a r c h 和i g a r c h 之间 的区别就是条件均值中i ( 0 ) 过程与i ( 1 ) 过程的区别。它是长记忆g a r c h 模型与 其它g a r c h 模型的分水岭。事实上在长记忆领域的a r c h 模型被提出后，人 们发现i g a r c h 特征很可能是长记忆a r c h 模型在短记忆研究领域的近似。 1 2 3 第三阶段具有长记忆性的a r c h 模型 针对a r c h 模型的扰动项的自相关系数呈双曲率衰减的特征，人们提出了 一系列具有长记忆性的a r c h 模型。主要有三种：分整g a r c h ( f r a e t i o n a l i n t e g r a t e dg a r c h ，f i g a r c h ) 模型 2 6 、分整指数g a r c h ( f r a e f i o n a li n t e g r a t e d e x p o n e n t i a le g a r c h ，f i e g a r c h ) 模型【2 7 1 、长记忆g a r c h ( 1 0 n gm e m o r yg a r - c h ，l m g 舢h ) 模型2 钔。 一、分整g a r c h 模型 定义1 ：若平稳时间序列m ) 的残差平方项，满足差分方程 伊( 工) ( 1 一工) 4 i = 国+ 【l 一卢( 上) 】v ， ( 1 2 1 5 ) 其中伊) 和l - 懈) 分别是p 阶和g 阶滞后算子多项式，若其根均在单位圆外， 则称为分整g a r c h ( p ，g ) 模型。 当0 d 0 5 时，是一个i ( 回过程，此时自相关系数呈双曲率衰减，体现 模型的长记忆特征：当d = - o 时，f i g a r c h 简化为伊( 上) f ? = 出+ 1 一( 三) 】v ，即 为g a r c h 模型；当d = l 时，为妒( 工) ( 1 一l ) 4 = + 1 一( 上) v ，即为单整g a r c h 模型。 东南大学硕j ：学位论文第一章a r c h 类模型综述 f i g a r c h 融合了一阶矩的分整过程与标准g a r c h 过程的许多特点，随着 滞后阶数的增大，参数d 反映了其作用于远距离观测值之间的效果以双曲率缓慢 下降的长记忆性，而参数伊、体现的是它们作用于远距离观测值之间的效果以 负指数率迅速衰减的短记忆性，即d 可以用来描述时间序列高阶滞后的相关结 构，而参数9 、卢可以用来描述低阶滞后的相关结构。f i g a r c h 与a r f i m a 形 式类似，只不过前者研究的是方差，后者研究的是期望。 二、分整指数g a r c h ( f i e g a r c h ) 模型 由前面讨论已知，e g a r c h 在理论上优于g a r c h ，而且与估计g a r c h 模型时发现的情况一样，在估计e g a r c h 模型 l n ( 仃? ) = a + ( 1 一艺旃o ) _ 1 ( 1 + 艺纺涫( 岛一i ) ( 1 2 1 6 ) i - 1 爿 时，i - 妒= 0 的最大根也非常接近于1 ，将上式的e g a r c h ( p ，留) 扩展为 f i e g a r c h ( p , 4 9 ) 得： l n r ? ) = 口+ ( ) “( 1 - l ) 一4 1 + 甲( 三) g ( p ，一。) ( 1 2 1 7 ) 三、长记忆a r c h ( l m a r c h ) 模型 由于许多时间序列数据的波动的记忆性都比短记t z , a r c h 模型所刻画的波 动的记忆性要强。通常g a r c h ( 1 ，1 ) 过程描述短期效应，可以认为不同的波 动部分控制着序列的不同时段，某些部分有很强的短期效应，衰减也非常迅速， 另一些部分则有相对小的短期效应，却能持续相当长的时期。长记忆a r c h ( l m a r c h ) 模型即是基于这种情况下提出的： f 仃? = 二出。盯。2 i n _ - i ( ) i = 1 ( 1 2 1 8 ) i 盯：= 盯2 ( 1 一口，一尼) + 口占三，+ 屈c r ：一l l 其中e c n ( o ，1 ) ，是第1 部分波动的权重，是无条件方差。 以上系统地总结了迄今为止见诸文献的几乎所有单变量a r c h 模型，使之 成为一个体系，并对其中一些较重要的模型作了较详尽的介绍，下面将有针对性 地对现有主要a r c h 模型进行评价。 1 2 4a r c h 类模型评价 最初a r c h 模型的提出，突破了传统异方差模型并更好地与实践相结合， 东南大学硕 学位论文第一章a r c h 类模型综述 而显示了强大的生命力，并成为计量经济学研究方差的重要手段。但是a r c h 存在许多缺陷： ( 1 ) 由于e o ，, 2 ) = a o + a ，e ( y t 勺，a r c h ( 1 ) 可写为= 口矿a 小，2 + v f ，其中 v r = 8 f - e ( e i v , 1 ) = s f 。显然e ( v t ) = o ，e ( v t 2 ) = 1 ，这表明y c - a r ( 1 ) ，即a r c h ( 1 ) 过程是具有“一步记忆”的“波动集群性”( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g e f f e c t ) ，但同时 也意味着弘的自相关系数p ( ) = a d 。由于0 a 1 ) ，而排除了毋随机振荡的可能，而且这种非负限制增加了估计g a r c h 的难度。 与g a r c h 相比，e g a r c h 同样保证了卯的非负性，同时对系数没有限制， 这给估计带来了很大方便。此外，它还克服了g a r c h 的某些缺陷： ( 1 ) 稚0 中的y e i z , i e 表达了新息e ，的大小变化是对异方差彩的影响。而 0 e ，反映了i n ( 确与e t 符号相关。当7 = 0 ，0 o ，则如) o ，即1 1 1 ( 衫) 的新息随收益新息的正( 负) 而为负( 正) ，亦即当收益比预期增加时，t n ( c ) 减小，弥补了a r c h 与g a r c h 的缺陷。 ( 2 ) 由于不论嘶，雠为何值，蠢都非负，所以克服了g a r c h 非负限制的 障碍。 不过，由于e g a r c h 的新息由其条件标准偏差决定，因此波动持续性仅取决 于参数所以波动源对可见变量的波动的效果很难得到解释。 单整g a r c h ( i g a r c h ) 模型是g a r c h 模型的特例，体现了方差持续的 性质。 l m a r c h 模型刻画了大范围的相依性，但当v 很大时，d ，和届的估计将 是很困难的，而且人们无法事先知道到底有多少部分，即的大小。于是人们 考虑当趋于无穷时的极限情况，此时和房可取任意值，从而使部g a r c h 不会对应于任何一个有有限参数的g a r c h 过程。通过考察誓的自相关系数可 看出，长记忆a r c h 模型中t t t 2 的系数a ，是双曲速率衰减的，这比有限参数的 g a r c h 模型衰减地慢得多。 f i g a r c h 与f i e g a r c h 融合了一阶矩的分整过程与标准g a r c h 过程的 许多特点，有很好的应用前景，但由于其非线性性，给参数估计带来了很大困难， 目前关于模型的参数估计及性质特别是多维情形讨论甚少，本文将在后面的内容 中详细阐述。 以上讨论的都是单变量a r c h 类模型，然而事实上，多变量情形才是现今 理论界讨论的重点。 1 3 向量g a r c h 模型 现代金融市场中，不同市场间，或不同资产、影响因子之间，往往存在着波 1 4 东南大学硕 学位论文 第一章a r c h 类模型综述 动的相关关系，随着世界金融市场的飞速发展，这种联系愈加紧密。为了分散、 化解金融风险，需要对多个资产进行组合，进行风险的对冲，而这是建立在对多 个变量波动的相关分析基础之上。因此，需要研究多个变量的波动与风险特性， 把一元a r c h 类模型向多变量过程扩展。 1 3 1 多元g a r c h ( p ，q ) 模型 b o l l e r s l e v 最早利用类似g a r c h 的模型形式研究向量波动过程，提出多元 g a r c h 模型f 刈 y t = f + 占f ql q h n ( o ，皿) v e c h ( h 。) = w + ：。a 。v e c h ( g “s ) + ：。b j v e c h ( h 。) 1 3 1 2 w + a ( l ) y e c h ( e t s t ) + b ( l ) v e c h ( h 。) 其中：k 是维列向量，常表示价格；肌为的条件期望；a i ，b 。为册0 2 维 方阵。a ) 、b ( l ) 分别为q , p 阶滞后算子多项式；w 是f + 1 ) 2 维向量，是条 件方差( 协方差) 方程中的截距项；v e c h ( ) 是按列堆积下三角矩阵的向量半算 子。 1 3 2 对角多元g a r c h ( 9 ，q ) 模型 为了减少多元g a r c h ( p , q ) 模型中的参数个数，b o l l e r s l e v 等建议将矩阵a i 和b 。约束为对角矩阵【30 1 ，这样大大简化了模型的形式，也简化了不同变量、不 同时期方差、协方差间的相关关系。 1 3 ，3b e k k 模型 在多元g a r c h 模型中，令 a ，= ：，( 如。氏) ，b j = ：。( 巩。取) 7( 1 3 2 ) 其中：p 表示k r o n e c k e r 积，则相应的多元g a r c h ( p , q ) 的b e k k 表达式1 3 1 】为： v e c ( h t ) = w + 昌三一( 如固如) v e c h ( t s o )( 1 3 3 ) + 1 ：，( 如9 ) v e c ( h 。) b e k k 的优点是保证了矩阵届的正定性，但模型参数的经济意义不如 g a r c h 形式明确。 东南大学顶l 学位论文第一章a r c h 类模型综述 1 3 4 常相关多兀g a r c h 模型 在多元g a r c h 模型中，用y m 坳表示耳的第i 和，个分量，则二者在f 时刻 的相关系数为 p v = h g t h m h 拼 1 3 4 ) 其中：锄是珥矩阵中的第( u ) 个元素，表示m 和”在t - 1 时刻的条件协方差； h f u h o t 分别为凰矩阵中对角线的第i 和，个元素，分别表示m r 和助在r - 1 时刻的 条件方差。可以看出，相关系数p 彬是时变的。b o l l e r s l e v 3 2 】提出了常相关系数假 设： 盯* = 野 ( 1 3 5 ) 则条件方差矩阵昂可以写作 h r = d , f d t ( 1 3 6 ) 其中：d f - d i a g ( a l ，即b ，咖，) ；厂= ( p 批) n x h 1 3 5 几种模型的比较 由以上介绍可知，多元g a r c h 模型是最能全面刻画波动特性，但也是参数 最多、最复杂的模型，其他模型都可看作是多元g a r c h 的简化。下面将几种模 型的特点归纳如下表： 表1 1 多元g a r c h 类模型比较 模型优点缺点 多元g a r c h全面、准确刻画波动性，经济意义参数多，估计困难 明确 对角多元g a r c h模型简化，参数减少，有一定经济对波动刻圃口j 能不全 意义面、准确 b e k k 保证届的正定性参数经济意义不够明确 常相关多元模型简化，参数减少，有一定经济 常相关约束过强，一般 g a r c h意义难满足 东南大学硕 学位论文第一章a r c h 类模型综述 1 4a r c h 类模型的检验与估计方法 1 4 1a r c h 类模型的检验 a r c h 类模型检验的基本方法是拉格朗日乘子( l m ) 检验【1 1 和b d s 检验 3 3 】。 对于l m 检验，其零假设为：简单回归模型y 尸f l x t + 6 ，毋是正态白噪声过程， 8 t 1 0 t 4 - n ( 0 ，a t 2 ) ；而备择假设为：误差8 t 符合a r c h ( q ) 过程。利用渐进于自由度 为g 的# 分布的统计量t r 2 ，取零假设为不存在a r c h 效应。当铲不存在a r c h 过程时，表明数据是同方差的，如果矿存在a r c h 过程，则8 ，可以表示为过去 残差平方和的形式。 另一种广泛应用的检验方法是b d s 检验。b d s 统计量是基于相关积分的概 念建立起来的一种统计量，它可以用于检验给定数列中的统计独立性。即由序列 ( 鳓，户1 ，2 ，凡构造嵌入向量对k & l ，“，。+ a t = l ，2 ，, n m = n - m + 1 ，其中n 是 嵌入维数，定义相关积分c 。- n ( s ) ，如果当t o 。时，c 。n ( s ) - f f c j r ，且b d s 统计量满足渐进的标准正态分布，则 融是独立同分布的随机序列。为了使用 b d $ 统计量来检验数据中的非线性结构，必须先通过滤波取出其线性相关的成 分，然后对残差序列使用b d s 统计量来检验其是否为独立同分布序列。如果检 验结果拒绝残差是独立同分布的，则意味着数据具有内在非线性。 1 4 2a r c h 类模型的估计 对a r c h 类模型进行参数估计主要有两种途径，一种是极大似然法( m l e ) 和矩估计法( m m ) ，另一种是遗传算法( ( 遗) 。 在模型的似然函数可求出的情况，人们主要采用极大似然法，属于这类方法 包括对常规数值方法( 如n e w t o n 法等) 改进的b h h h 算法 3 4 】和伪极大似然法 ( q m l e ) d s ob h h h 算法是具有很好收敛性的使用方法，其估计具有一致性和 渐进正态性，是一种常用的a r c h 模型参数估计方法。 除了用极大似然法估计参数，还可以用矩估计( m m ) 来估计参数，它可以 回避求似然函数的困难，在实际中有广泛的应用。h a n s o n 提出一种与一般矩估 计方法有相同一致估计和渐进正态分布的改进矩估计法广义矩估计法 ( g m m ) ，g m m 是由正交条件构造一个目标二次型，所求最优参数估计对应二 次型的极小解。在研究连续时间序列或近似连续时间序列的异方差模型时， g a l l a n t 和t a u c h e n 提出另一种矩估计方法的改进有效矩估计方法( 删) 17 东南大学i 磺 学位论文 第一章a r c h 类模型综述 f 捌。极大似然法和矩估计法等最终都要归结为求菜类多变量非线性函数的最优 化问题，而它们采用的都是微分可行方向法。 微分可行方向法容易收敛到局部最优解，为克服此缺点，提出遗传( g a ) 算法。g a 算法是对参数群体进行优化，且它不受函数约束条件( 如连续性、可 微性、单极值) 的限制，同时g a 算法搜索是从问题的串集开始，而不是从单个 解开始，大大减少陷入局部极值的可能性。 1 4 3 对检验与估计方法的评价 对l m 检验法，尽管t r 2 是一个简单而又广泛应用的统计量，但如果上述简 单回归模型由于忽略了重要回归项，a r c h 检验将可能由于这些失误导致误差平 方项的序列相关而被拒绝，因此当a r c h 检验被拒绝时不能认定a r c h 效应必 然存在。 b d s 检验对很多不满足独立同分布的情况都有效，它对a r c h 备择假设的 检验效果与e n g l e 的l m 检验接近。 极大似然法和矩估计法存在以下局限性： ( 1 ) 鲁棒性差，要求目标函数必须平滑，否则导致算法失败。 ( 2 ) 易收敛到局部最优解。 对时域极大似然法的替代是频域极大似然法，正如第二章将要介绍的分形理 论所描述的那样，金融时间序列是高频的大样本数列，常表现出分形特性，具有 长记忆性，在估计具有分形维数的f i g a r c h 模型时，时域极大似然法在参数估 计的准确性和无偏性上将大大低于频域的极大谱似然估计方法删。 1 5 本章小结 本章系统介绍了见诸文献的主要单变量a r c h 类模型和向量g a r c h