奇数和偶数.doc

凯 学 家 教 中 心 凯学AAA家教网 全力打造南宁市一流家教平台一、奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。2.奇数与偶数的运算性质性质1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数。性质2：偶数奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数。例1、l+2+3+4+2001+2002加是奇数还是偶数? 分析与解：因为只要求判断和的奇偶性，根据加减运算中奇偶性的规律知，不必求和，只需弄清加数中有多少个奇数即可。1，2，3，4，2001，2002这些加数是一奇一偶排列的，所以其中共有200221001个奇数。1001是奇数，这说明所给加法算式中共有奇数个奇数，所以和一定是奇数。例2、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。例3、某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？分析 为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析.我们把每一个黑、白格看作是一个座位.从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。解：从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，1312，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位。例3 的解法，采用了黑白两色间隔染（着）色的办法.因为整数按奇偶分类只有两类，所以将这类问题转变为黑白两色间隔着色，可以帮助我们较直观地理解和处理奇偶性与染色的关系的问题.二、基本概念整除：一般地，如a、b、c为整数，b0，且ab=c，即整数a除以整数b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作ba.否则记为ba如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。常用记号：因为“”、所以“”.公约数和最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如果用a和b表示两个自然数，那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a，b）a，b=ab。这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公约数，再用最大公约数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。例1、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？x=4y 28=4728x=4y47又4是x和28的最大公约数，（y，7）=1，4y7是x和28的最小公倍数。x28=4252x=425228=36要求的数是36。例2、求21672和11352的最小公倍数。解：（21672，11352）=1032 （1032可以用辗转相除法求得）21672，11352=21672113521032=238392。质数与合数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：1不是质数，也不是合数。质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。互质：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数互质。例1、求240的约数的个数。解：240240的约数的个数是（41）（1+1）（11）=20 240有20个约数。例2、有3个自然数a、b、c.已知ab=6，bc=15，ac10.求abc是多少？解：623，15=35，1025。（ab）（bc）（ac）=（23）（35）（25）a2b2c2=223252（abc）2（235）2abc=23530有a222，b2=32，c2=52，其中22=4，329，5225，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，224，329，42=16，112=121，122=144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数. 可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。三、整除的性质：1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。即：如果ca，cb，那么c（ab）。如： 210，26，那么2（106），并且2（106）。2. 如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bca，那么ba，ca3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。即ab，bc，那么ac。4. 如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果ba，ca，且（b，c）=1，那么bca。如： 228，728，且（2，7）=1,那么（27）28。例1、李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元.已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？解：9.2元=92分2847，根据整除“性质2”可知4和7均能整除92。42可知处能填0或4或8。因为79020，79424，所以处不能填0和4；因为79828，所叫处应该填8。又9828分=98.28元98.28283.51（元）答：每支钢笔3.51元。四、数的整除特征能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.能被5整除的数的特征：个位是0或5。能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例、求能被26整除的六位数分析 26=213 能分别被2和13整除 解此题可以从2解:2 y 可能取0、2、4、6、8又13 13能整除与的差.当y=0时,由于13910,而13又要整除与910之差 13又=100x+19=713x+9x+13+6 易知只有当x=8时,139x+6根据整除的性质,有139x+6 当y=0时符合题意的六位数是819910 五、带余数的除法一般地，如果a是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，0rb，使得a=bq+r。当r=0时，我们称a能被b整除。当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为ab=qr，0rb。例 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。解：被除数除数=商余数，即被除数=除数商+余数，251=除数商+41，251-41=除数商，210=除数商。210=2357，210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。六、辗转相除法：优点在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数。例1 用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。解：4811=21981+849， 1981=2849+283， 849=3283，（4811，1981）=283。补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。例2 求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？解：（1260，1008）=252， 882，1134）=126，又（252，126）=126，（1008，1260，882，1134）=126。七、同余：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab（modm）. （*）上式可读作：a同余于b，模m。同余式（*）意味着（我们假设ab）：a-b=mk，k是整数，即m（a-b）.例如：15365（mod7），因为365-15=350=750。同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。性质1：aa（mod m），（反身性）这个性质很显然.因为a-a=0=m0。性质2：若ab（mod m），那么ba（mod m），（对称性）。性质3：若ab（mod m），bc（mod m），那么ac（mod m），（传递性）。性质4：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m），（可加减性）。性质5：若ab（mod m），cd（mod m），那么acbd（mod m）（可乘性）。性质6：若ab（mod m），那么anbn（mod m），（其中n为自然数）。性质7：若acbc（mod m），（c，m）=1，那么ab（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。注意同余式性质7的条件（c，m）1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。例如610（mod 4），而35（mod 4），因为（2，4）1。例1、求乘积4188141616除以13所得的余数。分析 若先求乘积再求余数，计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。解：4182（mod13），8148（mod13），16164（mod13）， 根据同余的性质5可得：41881416162846412（mod13）。答：乘积4188141616除以13余数是12。例2、求自然数的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。解：24256256（mod 10），342531125313（mod 10），（22）10042666（mod 10），6365（mod 10），即自然数的个位数字是5.例3、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。解：5，6-2=28，即28适合前两个条件。想：28+5，6？之后能满足“7除余1”的条件？28+5，64=148，14