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矩阵的同时相似上三角化问题张永伟（2011080010008）数理基础科学班指导教师：王也洲、何军华 【摘要】本文讨论了阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。 【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester不等式一引言文【1】告诉我们：两个可交换的阶矩阵在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若能相似对角化，那么一定能同时相似对角化。但是对于一般的阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan矩阵相似，也就是说，任意阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论阶矩阵同时相似上三角化的问题。二正文定义2.1：对于阶矩阵，用表示矩阵的秩。性质2.1：若能同时相似上三角化，那么有公共的特征向量。证明：因为可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵，使得且。设，则，。所以有公共的特征向量。因此能同时相似上三角化的必要条件是有相同的特征向量。性质2.2：若能同时相似上三角化，那么为幂零矩阵。证明：由性质2.1的证明可知,。又因为，所以，即为幂零矩阵。性质2.3：设为2阶矩阵，那么(1)若为幂零矩阵，则；(2)当且仅当有公共的特征向量。证明：因为或时，结论显然成立，所以不妨假定，当为幂零矩阵时，易知的特征值一定为，于是存在可逆矩阵使得，所以。又因为，当时，有，从而方程有非零解，显然是的公共特征向量；当时，根据Sylvester不等式，知 。若，显然有公共特征向量；若 ，则，此时必有，于是存在可逆矩阵使得或，其中。设，则当时，所以或，显然，此时有公共特征向量；同理当时，也有公共特征向量。以上我们证明了二阶矩阵有公共特征向量是的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。不妨设是的公共特征向量，将扩充为二维空间的一组基，令,显然为上三角矩阵。当有公共特征向量时，则有非零解，所以。下面讨论更为一般的情形。性质2.4：假定为阶矩阵且，若，则有公共特征向量。证明：因为，由Sylvester不等式得到。若，则有公共特征向量；若，则有，于是，又因为,所以，此时与矛盾。性质2.5：满足条件的任意阶矩阵可以同时上三角化。证明：由条件知矩阵具有公共特征向量，不妨设是的公共特征向量，将其扩充为维空间的一组基；当时，由性质2.4知，可以同时上三角化；假设当时结论也成立，现在考虑时的情况。不妨设是的公共特征向量，同样将之扩充为维空间的一组基，令，则有，。于是，因为，所以，由数学归纳法知可以同时上三角化。推论2.1：假定，那么当时，有公共特征向量。性质2.6：如果存在使得成立，则可以同时上三角化。证明：因为,与前面证明类似，可以得出结论。推论2.2：若存在满足条件,则可同时相似上三角化。推论2.3：若存在使得成立，则可同时相似上三角化。三总结本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。这对将来解决类似问题带来很大的方便。参考文献【1】黄廷祝
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